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10.3 频率与概率
【学习要求】
1.通过具体实例的剖析，了解随机事件发生的不确定性与频率的稳定性。
2.了解概率的意义以及频率与概率的区别与联系。
3.能通过具体的案例用频率估计概率 ,会解决简单的实际题中的频率与概率问题。
4.了解随机模拟试验出现的意义与基本过程。
5.会用模拟的方法估计事件发生的概率，理解用模拟法估计概率的实际意义与实际属性。
【思维导图】
【知识梳理】
1、频率与概率
1.1随机事件的频率：在相同的条件下重复次试验，观察某一事件是否出现,称次试验中事件出现的次数为事件出现的频数，称事件出现的比例为事件出现的频率.
1.2频率的特点：随机事件在一次试验中是否发生具有不确定性，但是，在相同条件下的大量重复试验中，它发生的频率有以下特点：
①在某次随机试验中，事件发生的频率是一个变量，事先是无法确定的.但在大量重复试验后，它又具有稳定性，即频率在某个“常数”附近摆动，并且随着试验次数的增加，摆动的幅度具有越来越小的趋势；②有时候试验也可能出现频率偏离“常数”较大的情况，但是随着试验次数的增加，频率偏离“常数”的可能性会减小；③个别随机事件在一次试验中可能出现也可能不出现，但在大量试验中，它出现的次数与总试验次数之比常常是比较稳定的.这种现象称为频率的稳定性，是随机事件内在规律性的反映.
1.3频率的稳定性(用频率估计概率)
大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件发生的频率具有随机性.一
般地，随着试验次数的增大，频率偏离概概率的幅度会缩小，即事件发生的频率
会逐渐稳定于事件发生的概率.我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们
可以用频率估计概率.
2、生活中的概率
2.1游戏的公平性：在各类游戏中，如果每个游戏参与者获胜的概率相等，那么游戏是公平的.例如，在体育比赛中，裁判员用抽签器决定两个运动员谁先发球，两个运动员获得发球权的概率均为0.5，
所以这个规则是公平的.
2.2天气预报的概率解释：天气预报是气象专家依据气象观测资料和气象学理论以及专家们的实际经验，经过分析推断得到的.天气预报的概率属于主观概率，这是因为在现有的条件下，不能对“天气”做多次重复试验，进行规律的总结，因此，在天气预报中所提及的概率和我们前面通过频率稳定性来
定义的概率并不一样.另外，天气预报中降水概率的大小只能说明降水的可能性大小，概率值越大，表示降水的可能性越大.在一次试验中“降水”这个事件是否发生仍然是随机的.例如，天气预报说“明天降水的概率为90%”，尽管明天下雨的可能性很大，但由于“明天下雨”是随机事件，因此明天仍然有可能不下雨.
3、随机模拟
3.1 随机数的定义：随机数就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会相等.
3.2产生随机数的方法
①利用抽签法产生随机数：要产生（）之间的随机整数，把个大小、形状相同的小球分别标上1，2，3，，放入一个袋中，把它们充分搅拌，然后从中摸出一个球，这个球上的数就称为随机数.
②利用计算机或计算器产生伪随机数：计算机或计算器产生的随机数是依照确定算法产生的数，具有周期性(周期很长)，它们具有类似随机数的性质.因此，计算机或计算器产生的并不是真正的随机数，我们称它们为伪随机数.
3.3用随机模拟法估计概率
①随机模拟法产生的必要性：用频率估计概率时，需做大量的重复试验，费时费力，并且有些试验具有破坏性，有些试验无法进行，因而随机模拟试验就成为一种重要的方法，它可在短时间内多次重复.
②随机模拟法估计概率的思想：随机模拟法是通过将一次试验所有可能发生的结果数字化，用计算机或计算器产生的随机数来替代每次试验的结果.其基本思想是，用产生整数值的随机数的频率估计事件发生的概率.③随机模拟法的优点：不需要对试验进行具体操作，是一种简单、实用的科研方法，可以广泛地应用到生产生活的各个领域中去.④随机模拟法的步骤：建立概率模型；进行模拟试验(可用计算器或计算机进行)；统计试验结果.
【高频考点】
高频考点1. 频率与概率之间的联系与区别
【方法点拨】随机事件在一次试验中是否发生具有不确定性，但是，在相同条件下的大量重复试验中，它发生的频率有以下特点：①在某次随机试验中，事件发生的频率是一个变量，事先是无法确定的.但在大量重复试验后，它又具有稳定性，即频率在某个“常数”附近摆动，并且随着试验次数的增加，摆动的幅度具有越来越小的趋势；②有时候试验也可能出现频率偏离“常数”较大的情况，但是随着试验次数的增加，频率偏离“常数”的可能性会减小；③个别随机事件在一次试验中可能出现也可能不出现，但在大量试验中，它出现的次数与总试验次数之比常常是比较稳定的.这种现象称为频率的稳定性，是随机事件内在规律性的反映.
1．（2023·全国·高三专题练习）“不怕一万，就怕万一”这句民间谚语说明（ ）.
A．小概率事件虽很少发生，但也可能发生，需提防；
B．小概率事件很少发生，不用怕；
C．小概率事件就是不可能事件，不会发生；
D．大概率事件就是必然事件，一定发生．
【答案】A
【详解】“不怕一万，就怕万一” 表示小概率事件很少发生，但也可能发生，需提防；故选：A
2．（2023·全国·高三专题练习）在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了48次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（ ）
A．0.48，0.48 B．0.5，0.5 C．0.48，0 .5 D．0.5，0.48
【答案】C
【详解】频率跟实验次数有关，出现正面朝上的频率为实验中出现正面朝上的次数除以总试验次数，故为.概率是抛硬币试验的固有属性，与实验次数无关，抛硬币正面朝上的概率为.
故选：C.
3．（2022秋·陕西西安·高二校考阶段练习）下列四个命题中真命题的个数为（ ）个
①有一批产品的次品率为，则从中任意取出件产品中必有件是次品；
②抛次硬币，结果次出现正面，则出现正面的概率是；
③随机事件发生的概率就是这个随机事件发生的频率；
④掷骰子次，得点数为的结果有次，则出现点的频率为.
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】对于①，一批产品的次品率即出现次品的概率，它表示的是产品中出现次品的可能性的大小，并非表示件产品中必有件次品，故①不是真命题；
对于②，抛次硬币，结果次出现正面，可知出现正面的频率是，而非概率，故②不是真命题；对于③，随机事件发生的概率不随试验次数的多少而发生变化，是事件的一种固有属性，而随机事件发生的频率，会发生变化，随着试验次数的增加，频率会稳定于概率，但频率只是概率的近似值，并不表示概率就是频率，故③不是真命题；
对于④，掷骰子次，得点数为的结果有次，即次试验中，“出现点”这一事件发生了次，则出现点的频率为，故④为真命题.综上所述，真命题个数为个.故选：A.
4．（2023·高一课时练习）以下说法正确的是（ ）
A．概率与试验次数有关 B．在试验前无法确定概率
C．频率与试验次数无关 D．频率是在试验后得到的
【答案】D
【详解】概率本身是一个在内的确定值，不随试验结果的改变而改变，故AB错误；
频率本身是随机的，在试验之前是无法确定的，在相同条件下做同样次数的重复试验，
得到的事件的频率值也可能会不同，故C错误，D正确.故选：D
5．（2023·全国·高三专题练习）掷一枚硬币的试验中，下列对“伯努利大数定律”的理解正确的是（ ）
A．大量的试验中，出现正面的频率为0.5 B．不管试验多少次，出现正面的概率始终为0.5
C．试验次数增大，出现正面的经验概率为0.5 D．以上说法均不正确
【答案】B
【详解】对于A，大量的试验中，出现正面的频率越来越接近于0.5，故A不正确；
对于B，事件发生的概率是一个常数，与试验次数无关，所以不管试验多少次，出现正面的概率始终为0.5，故B正确；
对于C，经验概率是指特定的事件发生的次数占总体试验样本的比率，随着试验次数增大，出现正面的经验概率约为0.5，故C不正确；对于D，显然不正确.故选：B
5．（多选）（2022秋·湖北·高二校联考阶段练习）小明将一枚质地均匀的正方体骰子连续抛掷了次，每次朝上的点数都是，则下列说法正确的是（ ）
A．朝上的点数是的概率和频率均为
B．若抛掷次，则朝上的点数是的频率约为
C．抛掷第次，朝上的点数一定不是
D．抛掷次，朝上的点数为的次数大约为次
【答案】BD
【详解】对选项A，抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，朝上的点数是的概率为，故A错误；
对选项B，因为频率随着实验的次数的不同而不同，随着试验次数的增大，
频率逐渐趋向于概率的值，而抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，朝上的点数是的概率为，
故B正确；
对选项C，抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，朝上的点数是的概率为，
所以抛掷第次，朝上点数可能是，也可能不是，故C错误；
对选项D，抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，朝上的点数是的概率为，
抛掷次，频率接近，频数大约为次，故D正确.故选：BD
高频考点2 . 用随机事件的频率估计概率
【方法点拨】大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数的增大，频率偏离概概率的幅度会缩小，即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率.我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率估计概率.
1．（2022·海南·嘉积中学高三阶段练习）某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果，经随机模拟产生如下10组随机数：
812，832，569，683，271，989，730，537，925，907
由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
【答案】A
【详解】解：由题意，10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，表示“3例心脏手术全部成功”的有： 569, 989，故2个，故估计“3例心脏手术全部成功”的概率为.故选：A.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知小张每次射击命中十环的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计小张三次射击恰有两次命中十环的概率，先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定2，4，6，8表示命中十环，0，1，3，5，7，9表示未命中十环，再以每三个随机数为一组，代表三次射击的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：据此估计，小张三次射击恰有两次命中十环的概率约为__________.
【答案】0.3
【详解】由题意，随机数组421，292，274，632，478，663共6个，表示恰有两次命中十环，
所以概率为．故答案为：0.3．
3．（2022秋·湖北十堰·高二校考阶段练习）已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生到之间取整数值的随机数，指定、、、表示命中，、、、、9、0表示不命中，再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下组随机数：
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________.
【答案】##
【详解】组随机数中表示三次投篮恰好有两次命中的是、、、、，
其频率为，以此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为.故答案为：
4．（2023·高一课时练习）某个地区从某年起几年内的新生婴儿数及其中男婴数如下表：
（1）填写表中的男婴出生频率；（保留两位有效数字）
时间范围 1年内 2年内 3年内 4年内
新生婴儿数 5544 9013 13520 17191
男婴数 2716 4899 6812 8590
男婴出生频率 ____ ____ ____ ____
（2）这一地区男婴出生的概率约是______.
【答案】 0.49 0.54 0.50 0.50 0.50
【详解】（1）根据得：
1年内男婴出生频率为；2年内男婴出生频率为；
3年内男婴出生频率为；4年内男婴出生频率为；
（2）根据频率估计概率，频率的稳定值为，所以，这一地区男婴出生的概率约是.
故答案为：；；；；.
5．（2023·全国·高三专题练习）某汽车品牌为了了解客户对于其旗下的五种型号汽车的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如下表：
汽车型号 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ
回访客户/人 250 100 200 700 350
满意率 0.5 0.3 0.6 0.3 0.2
其中，满意率是指某种型号汽车的回访客户中，满意人数与总人数的比值．
(1)从Ⅲ型号汽车的回访客户中随机选取1人，求这个客户不满意的概率；
(2)从所有客户中随机选取1个人，估计这个客户满意的概率．
【答案】(1)(2)
（1）由表中数据知，Ⅲ型号汽车的回访客户的满意率为0.6，则从Ⅲ型号汽车的回访客户中随机选取1人，这个客户不满意的概率为．
（2）由题意知，回访客户的总人数是，
回访客户中满意的客户人数是，
所以回访客户中客户的满意率为，
所以从所有客户中随机选取1个人，估计这个客户满意的概率约为．
高频考点3 . 游戏公平性
【方法点拨】游戏的公平性：在各类游戏中，如果每个游戏参与者获胜的概率相等，那么游戏是公平的.例如，在体育比赛中，裁判员用抽签器决定两个运动员谁先发球，两个运动员获得发球权的概率均为0.5，所以这个规则是公平的.
1．（2023·全国·高一课时练习）甲、乙两人做游戏，下列游戏中不公平的是（ ）
A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜
B．同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜
C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜
D．甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜
【答案】B
【详解】解：A项，P（点数为奇数）＝P（点数为偶数）＝；
B项，P（点数之和大于7）＝，P（点数之和小于等于7）＝；
C项，P（牌色为红）＝P（牌色为黑）＝；
D项，P（同奇或同偶）＝P（奇偶不同）＝．故选：B.
2．（2022秋·浙江宁波·高二统考期末）在下列三个问题中：
① 甲乙二人玩胜负游戏：每人一次抛掷两枚质地均匀的硬币，如果规定：同时出现正面或反面算甲胜，一个正面 一个反面算乙胜，那么这个游戏是公平的；
② 掷一枚骰子，估计事件“出现三点”的概率，当抛掷次数很大时，此事件发生的频率接近其概率；
③ 如果气象预报1日—30日的下雨概率是，那么1日—30日中就有6天是下雨的；
其中，正确的是___________.（用序号表示）
【答案】①②
【详解】① 中：甲乙二人玩胜负游戏：每人一次抛掷两枚质地均匀的硬币，
可得4种可能的结果：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）
则“同时出现正面或反面”的概率为，“一个正面 一个反面”的概率为
即甲乙二人获胜的概率均为，那么这个游戏是公平的.判断正确；
② 中：“掷一枚骰子出现三点”是一个随机事件，当抛掷次数很大时，此事件发生的频率会稳定于其概率值，故此事件发生的频率接近其概率.判断正确；
③ 中：气象预报1日—30日的下雨概率是，那么1日—30日每天下雨的概率均是，每天都有可能下雨也可能不下雨，故1日—30日中出现下雨的天数是随机的，可能是0天，也可能是1天、2天、3天……，不一定是6天. 判断错误.故答案为：① ②
3．（2022秋·陕西西安·高二陕西师大附中校考阶段练习）（1）小明和小刚正在做掷骰子游戏，两人各掷一枚骰子.当两枚骰子点数之和为奇数时，小刚得1分，否则小明得1分.这个游戏公平吗？
（2）盒子里装有3个红球，1个白球，从中任取3个球，求“3个球中既有红球又有白球”的概率.
【答案】（1）公平；（2）
【详解】（1）用列表的方法得：
一共36种情况，和为奇数的共18种，则小刚得一分的概率为，小明得一分的概率为，两者概率相同，所以公平；
（2）用画树状图的方法得：
一共24种情况，又有红又有白为一白二红共有18种，则概率为.
4．（2022·全国·高二课时练习）一个游戏包含两个随机事件A和B，规定事件A发生则甲获胜，事件B发生则乙获胜.判断游戏是否公平的标准是事件A和B发生的概率是否相等.
在游戏过程中甲发现：玩了10次时，双方各胜5次；但玩到1000次时，自己才胜300次，而乙却胜了700次.据此，甲认为游戏不公平，但乙认为游戏是公平的.你更支持谁的结论？为什么？
【答案】支持甲对游戏公平性的判断，理由见解析
【详解】解：当游戏玩了10次时，甲、乙获胜的频率都为0.5；
当游戏玩了1000次时，甲获胜的频率为0.3，乙获胜的频率为0.7，
根据频率的稳定性，随着试验次数的增加，频率偏离概率很大的可能性会越来越小.相对10次游戏，1000次游戏时的频率接近概率的可能性更大，因此我们更愿意相信1000次时的频率离概率更近.而游戏玩到1000次时，甲、乙获胜的频率分别是0.3和0.7，存在很大差距，所以有理由认为游戏是不公平的.因此，应该支持甲对游戏公平性的判断.
5．（2022·全国·高一专题练习）已知n是一个三位正整数，若n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如135，256，345等）
现要从甲乙两名同学中，选出一个参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5，6组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，且只抽取1次，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛.
（1）由1，2，3，4，5，6可组成多少“三位递增数”？并一一列举出来.
（2）这种选取规则对甲乙两名学生公平吗？并说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）不公平，理由见解析.
【详解】解：（1）由题意知，所有由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数共有20个.
分别是123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456.
（2）不公平由（1）知，所有由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数”有20个，记“甲参加数学竞赛”为事件A，记“乙参加数学竞赛”为事件B.则事件A含有基本事件有：124，134，234，126，136，146，156，236，246，256，346，356，456共13个.
由古典概型计算公式，得，
又A与B对立，所以，
所以.故选取规则对甲、乙两名学生不公平.
高频考点4. 概率思想在决策中的应用
1．（2022·全国·高二课时练习）某市交警部门在调查一起车祸过程中,所有的目击证人都指证肇事车是一辆普通桑塔纳出租车,但由于天黑,均未看清该车的车牌号码及颜色.该市有两家出租车公司,其中甲公司有100辆桑塔纳出租车,3 000辆帕萨特出租车,乙公司有3 000辆桑塔纳出租车,100辆帕萨特出租车,交警部门应认定肇事车为哪个公司的车辆较合理( )
A．甲公司 B．乙公司 C．甲与乙公司 D．以上都对
【答案】B
【详解】该市两家出租车公司共有桑塔纳出租车3100辆，
则甲公司出租车肇事的概率为P ，乙公司出租车肇事的概率为P ，显然乙公司肇事的概率远大于甲公司肇事的概率．故认定乙公司肇事较合理．故选B
2．（2022·山东·高二月考）甲乙两名选手在“10米气步枪”训练赛上的成绩（环数）如茎叶图所示．
(1)成绩不低于590环即可通过预选赛进入初赛，估计甲乙两位选手在“10米气步枪”比赛中成绩不低于590环的可能性，据此估计哪位选手更有可能通过预选赛；
(2)按往年记录，成绩不低于594环即有大概率进入决赛，估计甲乙两位选手在“10米气步枪”比赛中成绩不低于594环的可能性，据此估计哪位选手更有可能进入决赛．
【答案】(1)乙选手(2)甲选手
(1)甲选手在“10米气步枪”比赛中成绩不低于590环的可能性为，
乙选手在“10米气步枪”比赛中成绩不低于590环的可能性为，
，所以，乙选手更有可能通过预选赛．
(2)甲选手在“10米气步枪”比赛中成绩不低于594环的可能性为，
乙选手在“10米气步枪”比赛中成绩不低于594环的可能性为，
，所以，甲选手更有可能进入决赛．
3．（2022·高一课前预习）有一个转盘游戏,转盘被平均分成10等份(如图所示),转动转盘,当转盘停止后,指针指向的数字即为转出的数字.游戏规则如下:两个人参加,先确定猜数方案,甲转动转盘,乙猜,若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符,则乙获胜,否则甲获胜.猜数方案从以下三种方案中选一种:
A．猜“是奇数”或“是偶数”
B．猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”
C．猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”
请回答下列问题:(1)如果你是乙,为了尽可能获胜,你将选择哪种猜数方案,并且怎样猜 为什么
(2)为了保证游戏的公平性,你认为应制定哪种猜数方案 为什么
(3)请你设计一种其他的猜数方案,并保证游戏的公平性.
【答案】(1) 应选方案B ,猜“不是4的整数倍数”;(2) 应当选择方案A;
(3) 可以设计为:猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”
【详解】试题分析：(1) 方案A中“是奇数”或“是偶数”的概率均为，案B中“不是4的整数倍数”的概率为，“是4的整数倍数”的概率为，方案C中“是大于4的数”的概率为，“不是大于4的数”的概率为，乙为了尽可能获胜,应选方案B,猜“不是4的整数倍数”. (2) 为了保证游戏的公平性,应当选择方案A. “是奇数”或“是偶数”的概率均为(3) “是大于5的数”或“不是大于5的数”发生的概率是一样的，也可以保证游戏的公平性
试题解析： (1)如题图,方案A中“是奇数”或“是偶数”的概率均为=0.5;方案B中“不是4的整数倍数”的概率为=0.8,“是4的整数倍数”的概率为=0.2;方案C中“是大于4的数”的概率为=0.6,“不是大于4的数”的概率为=0.4.乙为了尽可能获胜,应选方案B,猜“不是4的整数倍数”.
(2)为了保证游戏的公平性,应当选择方案A.因为方案A猜“是奇数”或“是偶数”的概率均为0.5,从而保证了该游戏是公平的.
(3)可以设计为:猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”,此方案也可以保证游戏的公平性.
4．（2023·高一单元测试）对一批西装进行了多次检查，并记录结果如下表：
抽取件数 50 100 150 200 300 400
检出次品件数 5 7 9 15 21 30
检出次品频率
(1)根据表中数据，计算并填写每次检出次品的频率；
(2)从这批西装中任意抽取一件，抽到次品的经验概率是多少？
(3)如果要销售1000件西装，至少要额外准备多少件正品西装以供买到次品的顾客调换？
【答案】(1)0.1，0.07，0.06，0.075，0.07，0.075；(2)0.075；(3)75件.
【详解】（1）利用频率的计算公式可得，
每次次检出次品的频率即为当次检出次品件数除以本次抽取件数，
所以从左到右的6次检测对应的频率分别为：
，，，
，，
所以，对应的频率表格如下：
抽取件数 50 100 150 200 300 400
检出次品件数 5 7 9 15 21 30
检出次品频率 0.1 0.07 0.06 0.075 0.07 0.075
（2）从这批西装中任意抽取一件，抽到次品的经验概率约为6次检出次品频率的稳定值，
即，
所以抽到次品的经验概率约为；
（3）由（2）可知，销售1000件西装大约有件次品，
所以，应当准备75件正品西装以供买到次品的顾客调换.
高频考点5 . 利用概率知识解决实际生活中的问题
【方法点拨】
1．（2022·全国·高二课时练习）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在15%和45%，则布袋中白色球的个数可能是（ ）个．
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】B
【详解】由题意，摸到红色球、黑色球的概率分别为15%和45%，
即可摸到白色球的概率为，所以可得白色球的个数为.故选：B
2．（2022·全国·高二课时练习）鱼池中共有N条鱼，从中捕出n条并标上记号后放回池中，经过一段时间后，再从池中捕出M条，其中有记号的有m条，则估计______．
【答案】
【详解】解：依题意可得，所以；故答案为：
3．（2022·全国·高一专题练习）气象台预测“本市明天降雨的概率是90%”，对预测的正确理解是（ ）
A．本市明天将有的地区降雨 B．本市明天将有的时间降雨
C．明天出行不带雨具肯定会淋雨 D．明天出行不带雨具可能会淋雨
【答案】D
【详解】本市降雨的概率是，是说明天下雨发生的可能性很大，
但不一定就一定会发生．所以只有合题意．故选：D．
4．（2022·全国·高一专题练习）在一个大转盘上，盘面被均匀地分成12份，分别写有1~12这12个数字，其中2，4，6，8，10，12这6个区域对应的奖品是文具盒，而1，3，5，7，9，11这6个区域对应的奖品是随身听.游戏规则是转盘转动后指针停在哪一格，则继续向前前进相应的格数.例如：你转动转盘停止后，指针落在4所在区域，则还要往前前进4格，到标有8的区域，此时8区域对应的奖品就是你的，依此类推.请问：小明在玩这个游戏时，得到的奖品是随身听的概率是_________.
【答案】0
【详解】 转盘停止后,指针所在区域再前进相应格数后所在位置均为标为偶数的区域,
又 得到随身听对应的区域均标为奇数, 得到的奖品为随身听的概率为.故答案为:.
5．（2022·浙江宁波·高二期末）在下列三个问题中：
① 甲乙二人玩胜负游戏：每人一次抛掷两枚质地均匀的硬币，如果规定：同时出现正面或反面算甲胜，一个正面 一个反面算乙胜，那么这个游戏是公平的；
② 掷一枚骰子，估计事件“出现三点”的概率，当抛掷次数很大时，此事件发生的频率接近其概率；
③ 如果气象预报1日—30日的下雨概率是，那么1日—30日中就有6天是下雨的；
其中，正确的是___________.（用序号表示）
【答案】①②
【详解】① 中：甲乙二人玩胜负游戏：每人一次抛掷两枚质地均匀的硬币，
可得4种可能的结果：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）
则“同时出现正面或反面”的概率为，“一个正面 一个反面”的概率为
即甲乙二人获胜的概率均为，那么这个游戏是公平的.判断正确；
② 中：“掷一枚骰子出现三点”是一个随机事件，当抛掷次数很大时，此事件发生的频率会稳定于其概率值，故此事件发生的频率接近其概率.判断正确；
③ 中：气象预报1日—30日的下雨概率是，那么1日—30日每天下雨的概率均是，每天都有可能下雨也可能不下雨，故1日—30日中出现下雨的天数是随机的，可能是0天，也可能是1天、2天、3天……，不一定是6天. 判断错误. 故答案为：① ②
高频考点6. 利用计算器或计算机模拟试验求概率
【方法点拨】用随机模拟法估计概率
①随机模拟法产生的必要性：用频率估计概率时，需做大量的重复试验，费时费力，并且有些试验具有破坏性，有些试验无法进行，因而随机模拟试验就成为一种重要的方法，它可在短时间内多次重复.
②随机模拟法估计概率的思想：随机模拟法是通过将一次试验所有可能发生的结果数字化，用计算机或计算器产生的随机数来替代每次试验的结果.其基本思想是，用产生整数值的随机数的频率估计事件发生的概率.③随机模拟法的优点：不需要对试验进行具体操作，是一种简单、实用的科研方法，可以广泛地应用到生产生活的各个领域中去.
④随机模拟法的步骤：建立概率模型；进行模拟试验(可用计算器或计算机进行)；统计试验结果.
1．（2022·全国·高一专题练习）某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果，经随机模拟产生如下10组随机数：
812，832，569，683，271，989，730，537，925，907
由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
【答案】A
【详解】解：由题意，10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，表示“3例心脏手术全部成功”的有： 569, 989，故2个，故估计“3例心脏手术全部成功”的概率为.故选：A.
2．（2022·全国·高三专题练习）池州九华山是著名的旅游胜地．天气预报8月1日后连续四天，每天下雨的概率为0.6，现用随机模拟的方法估计四天中恰有三天下雨的概率：在0~9十个整数值中，假定0，1，2，3，4，5表示当天下雨，6，7，8，9表示当天不下雨．在随机数表中从某位置按从左到右的顺序读取如下20组四位随机数：
9533 9522 0018 7472 0018 3879 5869 3281
7890 2692 8280 8425 3990 8460 7980 2436
5987 3882 0753 8935
据此估计四天中恰有三天下雨的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由表中数据可得四天中恰有三天下雨的有9533，9522，0018，0018，3281，8425，2436，0753，共8组，所以估计四天中恰有三天下雨的概率为.故选：B.
3．（2023·全国·高三专题练习）假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
93 28 12 45 85 69 68 34 31 25
73 93 02 75 56 48 87 30 11 35
据此估计，该运动员两次掷飞镖恰有一次正中靶心的概率为______．
【答案】
【详解】解：两次掷镖恰有一次正中靶心表示随机数中有且只有一个数为1，2，3，4中的之一.
它们分别是93，28，45，25，73，93，02，48，30，35共10个，
因此所求的概率为=0.5.故答案为：.
4．（2023秋·辽宁沈阳·高一沈阳铁路实验中学校考期末）袋子中有四个小球，分别写有“中 华 民 族”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“华”两个字都取到才停止.用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率，利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用代表“中 华 民 族”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为____________.
【答案】
【详解】由随机产生的随机数可知恰好抽取三次就停止的有，共4组随机数，
所以恰好抽取三次就停止的概率约为，故答案为：
【课后训练】
全卷共22题 满分：150分 时间：120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·浙江·高三专题练习）下列说法中正确的个数是（ ）
①任何事件的概率总是在之间； ②随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
③圆的面积与半径之间的关系是相关关系； ④一定范围内，学生的成绩与学习时间成正相关关系
⑤如果样本容量无限增大，分组的组距无限减小，那么频率分布折线图就会无限接近于总体密度曲线
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】①不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，随机事件的概率在之间，所以任何事件的概率总在之间，故①不正确；
②随着试验次数的增加，频率一般会越来越稳定在一个常数附近，即越来越接近概率，故②正确；
③圆的面积与半径之间的关系是函数关系，是确定的关系，不是相关关系，故③不正确；
④一定范围内，学生的学习时间越长，学习成绩越好，成正相关关系，故④正确；
⑤如果样本容量无限增大，分组的组距无限减小，那么频率分布折线图就会无限接近于一条光滑曲线，这条光滑曲线就是总体密度曲线，故⑤正确.故选：C
2．（2022·江西宜春·校联考模拟预测）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1423石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得268粒内夹谷32粒.则这批米内夹谷约为（ ）
A．157石 B．164石 C．170石 D．280石
【答案】C
【详解】样本中夹谷的比例为，
用样本估计总体，可得这批谷内夹谷约为（石）.故选：C.
3．（2022·湖北·恩施市校联考模拟预测）袋子中有四个小球，分别写有“文 明 中 国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“文 明 中 国”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为随机模拟产生了以下18组随机数：
，
其中恰好第三次就停止包含的基本事件有：023,123,132共3个，
所以由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为，故选：A
4．（2022·全国·高二课时练习）在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共40个，除颜色外其他完全相同．小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在15%左右，则口袋中红色球可能有（ ）．
A．4个 B．6个 C．34个 D．36个
【答案】B
【详解】根据概率是频率的稳定值的意义，红色球的个数为：个.故选：B.
5．（2022·湖北省武汉市高二期末）在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了48次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（ ）
A．0.48，0.48 B．0.5，0.5 C．0.48，0 .5 D．0.5，0.48
【答案】C
【详解】频率跟实验次数有关，出现正面朝上的频率为实验中出现正面朝上的次数除以总试验次数，故为.概率是抛硬币试验的固有属性，与实验次数无关，抛硬币正面朝上的概率.选：C.
6．（2023·全国·高一课时练习）下列命题正确的是
A．用事件发生的频率估计概率，重复试验次数越大，估计的就越精确.
B．若事件与事件相互独立，则事件与事件相互独立.
C．事件与事件同时发生的概率一定比与中恰有一个发生的概率小.
D．抛掷一枚均匀的硬币，如前两次都是反面，那么第三次出现正面的可能性就比反面大.
【答案】B
【详解】
在相同的条件下做大量重复试验,一个事件A出现的次数和总的试验次数之比,称为事件在这次试验中出现的频率.当试验次数很大时,频率将稳定在一个常数附近. 越大,频率偏离这个常数较大的可能性越小.这个常数称为这个事件的概率，并不是说越大，估计的精度越精确，A错；
事件与事件相互独立，即是否发生与是否发生无关，∴事件是否发生与事件是否发生也无关，它们相互独立，B正确；抛一枚骰子，出现的点数不大于5记为事件，出现的点为不小于2记为事件，则事件与事件同时发生是指点数为2，3，4，5，概率为，而事件与中恰有一个发生是指点为1或6，概率为．C错；抛掷一枚均匀的硬币，如前两次都是反面，那么第三次出现正面的可能性与出现反面的可能性还是一样．D错．故选：B．
7．（2023·全国·高一课时练习）下列说法正确的有( )
①概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值；
②一次试验中不同的基本事件不可能同时发生；
③任意事件A发生的概率P(A)总满足0
④若事件A的概率趋近于0，即P(A)→0，则事件A是不可能事件.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【详解】频率是较少数据统计的结果，是一种具体的趋势和规律．在大量重复试验时，频率具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增加，这种摆动幅度越来越小，这个常数叫做这个事件的概率．∴随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值．∴①正确．
∵基本事件的特点是任意两个基本事件是互斥的，∴一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生．∴②正确．∵必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率大于0，小于1，∴任意事件A发生的概率P（A）满足0≤P（A）≤1，∴③错误．
若事件A的概率趋近于0，则事件A是小概率事件，∴④错误∴说法正确的有两个，故选C．
8．（2022·上海·高二阶段练习）独立地重复一个随机试验次，设随机事件发生的频率为，随机事件发生的概率为，有如下两个判断：①如果是单元素集，则；②集合不可能只含有两个元素，其中（ ）
A．①正确，②正确 B．①错误，②正确 C．①正确，②错误 D．①错误，②错误
【答案】B
【详解】
对于①，比如定义随机试验：从个红球中任意抽取个球，
定义随机事件三个球中有一个白球，则，且，①错；
对于②，频率会随着试验的变化而变化，是一个变化的值，但随着试验次数的增加，频率会接近于概率，因此，不可能只含有两个元素，②对.故选：B.
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.对下面的描述：①频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性的大小；②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率就是事件A发生的概率；③频率是不能脱离具体的n次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．其中正确的说法有（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】ACD
【解析】由频率和概率的意义知，频率是反映事件发生的频繁程度，
概率是反映事件发生的可能性的大小，故①正确；
由频率和概率的关系知，频率是概率的近似值，是通过大量试验得到的，
而概率是频率的稳定值，是确定的理论值，故②错误，③④正确.故选：ACD.
10．（2022·湖南·高一课时练习）甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的（ ）
A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜
B．同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜
C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜
D．甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜
【答案】ACD
【详解】解：对于选项A，甲胜和乙胜的概率都是，所以游戏是公平的；
对于选项B，点数之和大于7和点数之和小于7的概率相等，但点数等于7时乙胜，所以甲胜的概率小，所以游戏不公平；
对于选项C，甲胜和乙胜的概率都是，所以游戏是公平的；
对于选项D，甲胜的概率是，乙胜的概率是，所以游戏是公平的.故选：ACD
11．（2022春·新疆巴音郭楞·高一校考期末）下列说法错误的是（ ）
A．随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率
B．某种福利彩票的中奖概率为，买1000张这种彩票一定能中奖
C．连续100次掷一枚硬币，结果出现了49次反面，则掷一枚硬币出现反面的概率为
D．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为明天不会降水
【答案】BCD
【详解】由频率和概率的关系可知随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率，A正确，
某种福利彩票的中奖概率为，买1000张这种彩票不一定能中奖，B错误，
掷一枚硬币出现反面的概率为，C错误，
某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是明天有70%的可能会降水，D错误，
故选：BCD.
12.关于频率和概率，下列说法正确的是（ ）
A．某同学投篮3次，命中2次，则该同学每次投篮命中的概率为
B．费勒抛掷10000次硬币，得到硬币正面向上的频率为0.4979；皮尔逊抛掷24000次硬币，得到硬币正面向上的频率为0.5005．如果某同学抛掷36000次硬币那么得到硬币正面向上的频率可能大于0.5005
C．某类种子发芽的概率为0.903，若抽取2000粒种子试种，则一定会有1806粒种子发芽
D．将一颗质地均匀的骰子抛掷6000次，则掷出的点数大于2的次数大约为4000次
【答案】BD
【解析】A中，某同学投篮3次，命中2次，只能说明频率为，而不能说明概率为，故A选项错误；B中，当试验次数很多时，硬币正面向上的频率在0.5附近摆动，可能大于0.5，也可能小于0.5，故B选项正确；C中，只能说明大约有1806粒种子发芽，并不是定有1806粒种子发芽，故C错误；
D中，点数大于2的概率为，故抛掷6000次点数大于2的次数大约为4000次，故D选项正确．故选：BD．
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022·上海浦东新·上海市实验学校校考模拟预测）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为________石（精确到小数点后一位数字）
【答案】169.1
【详解】解：由题意可知样本中夹谷的含量为：＝，
所以总体中夹谷为：1534 169.1（石）. 故答案为：169.1
14．（2022·全国·高二）根据某省教育研究机构的统计资料，今在校中学生近视率约为37.4%．某眼镜商要到某一中学给学生配眼镜，若已知该校学生总数为600人，则该眼镜商应带眼镜不少于__副．
【答案】225
【详解】由已知得，该学校需要佩戴眼镜的人数大概为：（人），所以，该眼镜商应带眼镜不少于225副故答案为：225
15．（2022·全国·高一课时练习）对一批产品的长度（单位：mm）进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图.根据标准，产品长度在区间内的为一等品，在区间或内的为二等品，在区间或内的为三等品.用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则该件产品为二等品的概率为____________.
【答案】
【详解】设区间对应矩形的高度为，则由所有矩形面积之和为1，得，解得，所以该件产品为二等品的概率为.故答案为：
16．（2022·全国·高二课时练习）甲、乙两人做下列4个游戏：
①抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜．
②同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则甲胜，两枚都是正面向上则乙胜．
③从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜．
④甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜．
在上述4个游戏中，不公平的游戏是______．（填序号）
【答案】②
【详解】对于游戏①，P（点数为奇数）=P（点数为偶数）=；对于游戏②，P（恰有一枚正面向上）=，P（两枚都正面向上）=；
对于游戏③，P（牌色为红）=P（牌色为黑）=；对于游戏④，P（同奇或同偶）=P（奇偶不同）=．故不公平的游戏是②．故答案为：②.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．（2022·广东揭阳·高二期末）为弘扬中华优秀传统文化，鼓励全民阅读经典书籍，某市举行阅读月活动，现统计某街道约10000人在该活动月每人每日平均阅读时间（分钟）的频率分布直方图如图：
(1)求x的值；(2)从该街道任选1人，则估计这个人的每日平均阅读时间超过60分钟的概率.
【答案】(1)(2)0.7
(1)由得．
(2)，
估计这个人的每日平均阅读时间超过60分钟的概率为
18．（2022·湖南·高一课时练习）某文具厂打算生产一种中学生使用的笔袋，但无法确定各种颜色的产量，于是该文具厂就笔袋的颜色随机调查了5000名中学生，并在调查到1000名，2000名，3000名，4000名，5000名时分别计算了各种颜色的频率，绘制的折线图如下：
(1)随着调查次数的增加，红色的频率如何变化？
(2)你能估计中学生选取红色的概率是多少吗？
(3)若你是该厂的负责人，你将如何安排生产各种颜色笔袋的产量？
【答案】(1)红色的频率越来越稳定在(2)(3)可安排生产蓝色、红色、绿色、紫色、及其它颜色的笔袋产量的比例大约为（合理即可）
【解析】(1)解：根据折线图可知随着调查次数的增加，红色的频率越来越稳定在；
(2)解：由图可知，红色的频率基本在附近浮动，所以中学生选取红色的概率是；
(3)解：由图可知，中学生选取蓝色、红色、绿色、紫色、及其它颜色的概率分别是、、、、，故可安排生产蓝色、红色、绿色、紫色、及其它颜色的笔袋产量的比例大约为（合理即可）；
19．（2022·宁夏·银川二中高一期末）近年来，国家大力推动职业教育发展，职业教育体系不断完善，人才培养专业结构更加符合市场需求.一批职业培训学校以市场为主导，积极参与职业教育的改革和创新.某职业培训学校共开设了六个专业，根据前若干年的统计数据，学校统计了各专业每年的就业率（直接就业的学生人数与招生人数的比值）和每年各专业的招生人数，具体统计数据如下表：
专 业 机电维修 车内美容 衣物翻新 美容美发 泛艺术类 电脑技术
招生人数
就 业 率
(1)从该校已毕业的学生中随机抽取人，求该生是“衣物翻新”专业且直接就业的概率；
(2)为适应市场对人才需求的变化，该校决定从明年起，将“电脑技术”专业的招生人数减少人，将“机电维修”专业的招生人数增加人，假设“电脑技术”专业的直接就业人数不变，“机电维修”专业的就业率不变，其他专业的招生人数和就业率都不变，要使招生人数调整后全校整体的就业率比往年提高个百分点，求的值．
【答案】(1)0.08(2)120
(1)由题意，该校往年每年的招生人数为，
“衣物翻新”专业直接就业的学生人数为，
所以所求的概率为．
(2)由表格中的数据，可得往年各专业直接就业的人数分别为，，，，，，往年全校整体的就业率为，
招生人数调整后全校整体的就业率为，解得
20．（2022·高一单元测试）甲乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）完游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张.
（1）设分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲乙二人抽到的牌的所有情况；
（2）若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少？ （3）甲乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜，你认为此游戏是否公平，说明你的理由.
【答案】（1）见解析；（2）；（3）不公平
【详解】（1）甲乙二人抽到的牌的所有情况（方片4用4’表示，红桃2，红桃3，红桃4分别用2，3，4表示）为：（2，3）、（2，4）、（2，4’）、（3，2）、（3，4）、（3，4’）、
（4，2）、（4，3）、（4，4’）、（4’，2）、（4’，3）、（4’，4）共12种不同情况
（2）甲抽到3，乙抽到的牌只能是2，4，4’
因此乙抽到的牌的数字大于3的概率为
（3）由甲抽到的牌比乙大的有（3，2）、（4，2）、（4，3）、（4’，2）、（4’，3）5种，
甲胜的概率，乙获胜的概率为，∵ ∴此游戏不公平．
21．（2023·全国·高三专题练习）某超市随机选取位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．
甲 乙 丙 丁
√ × √ √
× √ × √
√ √ √ ×
√ × √ ×
√ × × ×
× √ × ×
（Ⅰ）估计顾客同时购买乙和丙的概率；
（Ⅱ）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买种商品的概率；
（Ⅲ）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大？
【答案】（Ⅰ）0.2；（Ⅱ）0.3；（Ⅲ）同时购买丙的可能性最大.
【详解】（Ⅰ）从统计表可以看出，在这位顾客中，有位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为.
（Ⅱ）从统计表可以看出，在在这位顾客中，有位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了种商品.所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买种商品的概率可以估计为.
（Ⅲ）与（Ⅰ）同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为，
顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为，
顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为，
所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大.
22．（2023·广东·广州高二开学考试）某学校需要从甲、乙两名学生中选一人参加数学竞赛，抽取了近期两人5次数学考试的成绩，统计结果如下表：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
甲的成绩（分） 80 85 71 92 87
乙的成绩（分） 90 76 75 92 82
（Ⅰ）已知甲、乙两名学生这5次数学考试成绩的平均分都为83分，若从甲、乙两名学生中选一人参加数学竞赛，请从统计学的角度考虑，你认为选谁参加数学竞赛较合适？并说明理由；
（Ⅱ）若数学竞赛分初赛和复赛，在初赛中有两种答题方案：方案一：每人从5道备选题中任意抽出1道，若答对，则可参加复赛，否则被淘汰.方案二：每人从5道备选题中任意抽出3道，若至少答对其中2道，则可参加复赛，否则被淘汰.已知学生甲、乙都只会5道备选题中的3道，那么你推荐的选手选择哪种答题方案进入复赛的可能性更大？并说明理由.
【答案】（Ⅰ）乙参加，理由见解析；（Ⅱ）方案二，理由见解析.
【详解】（Ⅰ）选派乙参加数学竞赛较合适．
理由如下：由题知，
甲成绩的方差，乙成绩的方差，
由，，可知甲乙平均分相同，但乙的成绩比甲稳定，
故选派乙参加数学竞赛较合适．
（Ⅱ）5道备选题中学生会的3道分别记为，，，不会的2道分别记为，，
方案一：学生从5道备选题中任意抽出1道的结果有：，，，，，共5 种，
抽中会的备选题的结果有，，，共3种，此方案学生可参加复赛的概率．
方案二：学生从5道备选题中任意抽出3道的结果有：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共10种，
抽中至少2道会的备选题的结果有：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共7种，此方案学生可参加复赛的概率．
，推荐的选手选择方案二答题方案进入复赛的可能性更大．
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10.3 频率与概率
【学习要求】
1.通过具体实例的剖析，了解随机事件发生的不确定性与频率的稳定性。
2.了解概率的意义以及频率与概率的区别与联系。
3.能通过具体的案例用频率估计概率 ,会解决简单的实际题中的频率与概率问题。
4.了解随机模拟试验出现的意义与基本过程。
5.会用模拟的方法估计事件发生的概率，理解用模拟法估计概率的实际意义与实际属性。
【思维导图】
【知识梳理】
1、频率与概率
1.1随机事件的频率：在相同的条件下重复次试验，观察某一事件是否出现,称次试验中事件出现的次数为事件出现的频数，称事件出现的比例为事件出现的频率.
1.2频率的特点：随机事件在一次试验中是否发生具有不确定性，但是，在相同条件下的大量重复试验中，它发生的频率有以下特点：
①在某次随机试验中，事件发生的频率是一个变量，事先是无法确定的.但在大量重复试验后，它又具有稳定性，即频率在某个“常数”附近摆动，并且随着试验次数的增加，摆动的幅度具有越来越小的趋势；②有时候试验也可能出现频率偏离“常数”较大的情况，但是随着试验次数的增加，频率偏离“常数”的可能性会减小；③个别随机事件在一次试验中可能出现也可能不出现，但在大量试验中，它出现的次数与总试验次数之比常常是比较稳定的.这种现象称为频率的稳定性，是随机事件内在规律性的反映.
1.3频率的稳定性(用频率估计概率)
大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件发生的频率具有随机性.一
般地，随着试验次数的增大，频率偏离概概率的幅度会缩小，即事件发生的频率
会逐渐稳定于事件发生的概率.我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们
可以用频率估计概率.
2、生活中的概率
2.1游戏的公平性：在各类游戏中，如果每个游戏参与者获胜的概率相等，那么游戏是公平的.例如，在体育比赛中，裁判员用抽签器决定两个运动员谁先发球，两个运动员获得发球权的概率均为0.5，
所以这个规则是公平的.
2.2天气预报的概率解释：天气预报是气象专家依据气象观测资料和气象学理论以及专家们的实际经验，经过分析推断得到的.天气预报的概率属于主观概率，这是因为在现有的条件下，不能对“天气”做多次重复试验，进行规律的总结，因此，在天气预报中所提及的概率和我们前面通过频率稳定性来
定义的概率并不一样.另外，天气预报中降水概率的大小只能说明降水的可能性大小，概率值越大，表示降水的可能性越大.在一次试验中“降水”这个事件是否发生仍然是随机的.例如，天气预报说“明天降水的概率为90%”，尽管明天下雨的可能性很大，但由于“明天下雨”是随机事件，因此明天仍然有可能不下雨.
3、随机模拟
3.1 随机数的定义：随机数就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会相等.
3.2产生随机数的方法
①利用抽签法产生随机数：要产生（）之间的随机整数，把个大小、形状相同的小球分别标上1，2，3，，放入一个袋中，把它们充分搅拌，然后从中摸出一个球，这个球上的数就称为随机数.
②利用计算机或计算器产生伪随机数：计算机或计算器产生的随机数是依照确定算法产生的数，具有周期性(周期很长)，它们具有类似随机数的性质.因此，计算机或计算器产生的并不是真正的随机数，我们称它们为伪随机数.
3.3用随机模拟法估计概率
①随机模拟法产生的必要性：用频率估计概率时，需做大量的重复试验，费时费力，并且有些试验具有破坏性，有些试验无法进行，因而随机模拟试验就成为一种重要的方法，它可在短时间内多次重复.
②随机模拟法估计概率的思想：随机模拟法是通过将一次试验所有可能发生的结果数字化，用计算机或计算器产生的随机数来替代每次试验的结果.其基本思想是，用产生整数值的随机数的频率估计事件发生的概率.③随机模拟法的优点：不需要对试验进行具体操作，是一种简单、实用的科研方法，可以广泛地应用到生产生活的各个领域中去.④随机模拟法的步骤：建立概率模型；进行模拟试验(可用计算器或计算机进行)；统计试验结果.
【高频考点】
高频考点1. 频率与概率之间的联系与区别
【方法点拨】随机事件在一次试验中是否发生具有不确定性，但是，在相同条件下的大量重复试验中，它发生的频率有以下特点：①在某次随机试验中，事件发生的频率是一个变量，事先是无法确定的.但在大量重复试验后，它又具有稳定性，即频率在某个“常数”附近摆动，并且随着试验次数的增加，摆动的幅度具有越来越小的趋势；②有时候试验也可能出现频率偏离“常数”较大的情况，但是随着试验次数的增加，频率偏离“常数”的可能性会减小；③个别随机事件在一次试验中可能出现也可能不出现，但在大量试验中，它出现的次数与总试验次数之比常常是比较稳定的.这种现象称为频率的稳定性，是随机事件内在规律性的反映.
1．（2023·全国·高三专题练习）“不怕一万，就怕万一”这句民间谚语说明（ ）.
A．小概率事件虽很少发生，但也可能发生，需提防；
B．小概率事件很少发生，不用怕；
C．小概率事件就是不可能事件，不会发生；
D．大概率事件就是必然事件，一定发生．
2．（2023·全国·高三专题练习）在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了48次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（ ）
A．0.48，0.48 B．0.5，0.5 C．0.48，0 .5 D．0.5，0.48
3．（2022秋·陕西西安·高二校考阶段练习）下列四个命题中真命题的个数为（ ）个
①有一批产品的次品率为，则从中任意取出件产品中必有件是次品；
②抛次硬币，结果次出现正面，则出现正面的概率是；
③随机事件发生的概率就是这个随机事件发生的频率；
④掷骰子次，得点数为的结果有次，则出现点的频率为.
A． B． C． D．
4．（2023·高一课时练习）以下说法正确的是（ ）
A．概率与试验次数有关 B．在试验前无法确定概率
C．频率与试验次数无关 D．频率是在试验后得到的
5．（2023·全国·高三专题练习）掷一枚硬币的试验中，下列对“伯努利大数定律”的理解正确的是（ ）
A．大量的试验中，出现正面的频率为0.5 B．不管试验多少次，出现正面的概率始终为0.5
C．试验次数增大，出现正面的经验概率为0.5 D．以上说法均不正确
5．（多选）（2022秋·湖北·高二校联考阶段练习）小明将一枚质地均匀的正方体骰子连续抛掷了次，每次朝上的点数都是，则下列说法正确的是（ ）
A．朝上的点数是的概率和频率均为
B．若抛掷次，则朝上的点数是的频率约为
C．抛掷第次，朝上的点数一定不是
D．抛掷次，朝上的点数为的次数大约为次
高频考点2 . 用随机事件的频率估计概率
【方法点拨】大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数的增大，频率偏离概概率的幅度会缩小，即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率.我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率估计概率.
1．（2022·海南·嘉积中学高三阶段练习）某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果，经随机模拟产生如下10组随机数：
812，832，569，683，271，989，730，537，925，907
由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
2．（2023·全国·高三专题练习）已知小张每次射击命中十环的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计小张三次射击恰有两次命中十环的概率，先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定2，4，6，8表示命中十环，0，1，3，5，7，9表示未命中十环，再以每三个随机数为一组，代表三次射击的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：据此估计，小张三次射击恰有两次命中十环的概率约为__________.
3．（2022秋·湖北十堰·高二校考阶段练习）已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生到之间取整数值的随机数，指定、、、表示命中，、、、、9、0表示不命中，再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下组随机数：
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________.
4．（2023·高一课时练习）某个地区从某年起几年内的新生婴儿数及其中男婴数如下表：
（1）填写表中的男婴出生频率；（保留两位有效数字）
时间范围 1年内 2年内 3年内 4年内
新生婴儿数 5544 9013 13520 17191
男婴数 2716 4899 6812 8590
男婴出生频率 ____ ____ ____ ____
（2）这一地区男婴出生的概率约是______.
5．（2023·全国·高三专题练习）某汽车品牌为了了解客户对于其旗下的五种型号汽车的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如下表：
汽车型号 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ
回访客户/人 250 100 200 700 350
满意率 0.5 0.3 0.6 0.3 0.2
其中，满意率是指某种型号汽车的回访客户中，满意人数与总人数的比值．
(1)从Ⅲ型号汽车的回访客户中随机选取1人，求这个客户不满意的概率；
(2)从所有客户中随机选取1个人，估计这个客户满意的概率．
高频考点3 . 游戏公平性
【方法点拨】游戏的公平性：在各类游戏中，如果每个游戏参与者获胜的概率相等，那么游戏是公平的.例如，在体育比赛中，裁判员用抽签器决定两个运动员谁先发球，两个运动员获得发球权的概率均为0.5，所以这个规则是公平的.
1．（2023·全国·高一课时练习）甲、乙两人做游戏，下列游戏中不公平的是（ ）
A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜
B．同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜
C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜
D．甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜
2．（2022秋·浙江宁波·高二统考期末）在下列三个问题中：
① 甲乙二人玩胜负游戏：每人一次抛掷两枚质地均匀的硬币，如果规定：同时出现正面或反面算甲胜，一个正面 一个反面算乙胜，那么这个游戏是公平的；
② 掷一枚骰子，估计事件“出现三点”的概率，当抛掷次数很大时，此事件发生的频率接近其概率；
③ 如果气象预报1日—30日的下雨概率是，那么1日—30日中就有6天是下雨的；
其中，正确的是___________.（用序号表示）
3．（2022秋·陕西西安·高二陕西师大附中校考阶段练习）（1）小明和小刚正在做掷骰子游戏，两人各掷一枚骰子.当两枚骰子点数之和为奇数时，小刚得1分，否则小明得1分.这个游戏公平吗？
（2）盒子里装有3个红球，1个白球，从中任取3个球，求“3个球中既有红球又有白球”的概率.
4．（2022·全国·高二课时练习）一个游戏包含两个随机事件A和B，规定事件A发生则甲获胜，事件B发生则乙获胜.判断游戏是否公平的标准是事件A和B发生的概率是否相等.
在游戏过程中甲发现：玩了10次时，双方各胜5次；但玩到1000次时，自己才胜300次，而乙却胜了700次.据此，甲认为游戏不公平，但乙认为游戏是公平的.你更支持谁的结论？为什么？
5．（2022·全国·高一专题练习）已知n是一个三位正整数，若n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如135，256，345等）
现要从甲乙两名同学中，选出一个参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5，
6组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，且只抽取1次，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛.
（1）由1，2，3，4，5，6可组成多少“三位递增数”？并一一列举出来.
（2）这种选取规则对甲乙两名学生公平吗？并说明理由.
高频考点4. 概率思想在决策中的应用
1．（2022·全国·高二课时练习）某市交警部门在调查一起车祸过程中,所有的目击证人都指证肇事车是一辆普通桑塔纳出租车,但由于天黑,均未看清该车的车牌号码及颜色.该市有两家出租车公司,其中甲公司有100辆桑塔纳出租车,3 000辆帕萨特出租车,乙公司有3 000辆桑塔纳出租车,100辆帕萨特出租车,交警部门应认定肇事车为哪个公司的车辆较合理( )
A．甲公司 B．乙公司 C．甲与乙公司 D．以上都对
2．（2022·山东·高二月考）甲乙两名选手在“10米气步枪”训练赛上的成绩（环数）如茎叶图所示．
(1)成绩不低于590环即可通过预选赛进入初赛，估计甲乙两位选手在“10米气步枪”比赛中成绩不低于590环的可能性，据此估计哪位选手更有可能通过预选赛；
(2)按往年记录，成绩不低于594环即有大概率进入决赛，估计甲乙两位选手在“10米气步枪”比赛中成绩不低于594环的可能性，据此估计哪位选手更有可能进入决赛．
3．（2022·高一课前预习）有一个转盘游戏,转盘被平均分成10等份(如图所示),转动转盘,当转盘停止后,指针指向的数字即为转出的数字.游戏规则如下:两个人参加,先确定猜数方案,甲转动转盘,乙猜,若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符,则乙获胜,否则甲获胜.猜数方案从以下三种方案中选一种:
A．猜“是奇数”或“是偶数”
B．猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”
C．猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”
请回答下列问题:(1)如果你是乙,为了尽可能获胜,你将选择哪种猜数方案,并且怎样猜 为什么
(2)为了保证游戏的公平性,你认为应制定哪种猜数方案 为什么
(3)请你设计一种其他的猜数方案,并保证游戏的公平性.
4．（2023·高一单元测试）对一批西装进行了多次检查，并记录结果如下表：
抽取件数 50 100 150 200 300 400
检出次品件数 5 7 9 15 21 30
检出次品频率
(1)根据表中数据，计算并填写每次检出次品的频率；
(2)从这批西装中任意抽取一件，抽到次品的经验概率是多少？
(3)如果要销售1000件西装，至少要额外准备多少件正品西装以供买到次品的顾客调换？
高频考点5 . 利用概率知识解决实际生活中的问题
【方法点拨】
1．（2022·全国·高二课时练习）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在15%和45%，则布袋中白色球的个数可能是（ ）个．
A．15 B．16 C．17 D．18
2．（2022·全国·高二课时练习）鱼池中共有N条鱼，从中捕出n条并标上记号后放回池中，经过一段时间后，再从池中捕出M条，其中有记号的有m条，则估计______．
3．（2022·全国·高一专题练习）气象台预测“本市明天降雨的概率是90%”，对预测的正确理解是（ ）
A．本市明天将有的地区降雨 B．本市明天将有的时间降雨
C．明天出行不带雨具肯定会淋雨 D．明天出行不带雨具可能会淋雨
4．（2022·全国·高一专题练习）在一个大转盘上，盘面被均匀地分成12份，分别写有1~12这12个数字，其中2，4，6，8，10，12这6个区域对应的奖品是文具盒，而1，3，5，7，9，11这6个区域对应的奖品是随身听.游戏规则是转盘转动后指针停在哪一格，则继续向前前进相应的格数.例如：你转动转盘停止后，指针落在4所在区域，则还要往前前进4格，到标有8的区域，此时8区域对应的奖品就是你的，依此类推.请问：小明在玩这个游戏时，得到的奖品是随身听的概率是_________.
5．（2022·浙江宁波·高二期末）在下列三个问题中：
① 甲乙二人玩胜负游戏：每人一次抛掷两枚质地均匀的硬币，如果规定：同时出现正面或反面算甲胜，一个正面 一个反面算乙胜，那么这个游戏是公平的；
② 掷一枚骰子，估计事件“出现三点”的概率，当抛掷次数很大时，此事件发生的频率接近其概率；
③ 如果气象预报1日—30日的下雨概率是，那么1日—30日中就有6天是下雨的；
其中，正确的是___________.（用序号表示）
高频考点6. 利用计算器或计算机模拟试验求概率
【方法点拨】用随机模拟法估计概率
①随机模拟法产生的必要性：用频率估计概率时，需做大量的重复试验，费时费力，并且有些试验具有破坏性，有些试验无法进行，因而随机模拟试验就成为一种重要的方法，它可在短时间内多次重复.
②随机模拟法估计概率的思想：随机模拟法是通过将一次试验所有可能发生的结果数字化，用计算机或计算器产生的随机数来替代每次试验的结果.其基本思想是，用产生整数值的随机数的频率估计事件发生的概率.③随机模拟法的优点：不需要对试验进行具体操作，是一种简单、实用的科研方法，可以广泛地应用到生产生活的各个领域中去.
④随机模拟法的步骤：建立概率模型；进行模拟试验(可用计算器或计算机进行)；统计试验结果.
1．（2022·全国·高一专题练习）某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果，经随机模拟产生如下10组随机数：
812，832，569，683，271，989，730，537，925，907
由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
2．（2022·全国·高三专题练习）池州九华山是著名的旅游胜地．天气预报8月1日后连续四天，每天下雨的概率为0.6，现用随机模拟的方法估计四天中恰有三天下雨的概率：在0~9十个整数值中，假定0，1，2，3，4，5表示当天下雨，6，7，8，9表示当天不下雨．在随机数表中从某位置按从左到右的顺序读取如下20组四位随机数：
9533 9522 0018 7472 0018 3879 5869 3281
7890 2692 8280 8425 3990 8460 7980 2436
5987 3882 0753 8935
据此估计四天中恰有三天下雨的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
93 28 12 45 85 69 68 34 31 25
73 93 02 75 56 48 87 30 11 35
据此估计，该运动员两次掷飞镖恰有一次正中靶心的概率为______．
4．（2023秋·辽宁沈阳·高一沈阳铁路实验中学校考期末）袋子中有四个小球，分别写有“中 华 民 族”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“华”两个字都取到才停止.用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率，利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用代表“中 华 民 族”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为____________.
【课后训练】
全卷共22题 满分：150分 时间：120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·浙江·高三专题练习）下列说法中正确的个数是（ ）
①任何事件的概率总是在之间； ②随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
③圆的面积与半径之间的关系是相关关系； ④一定范围内，学生的成绩与学习时间成正相关关系
⑤如果样本容量无限增大，分组的组距无限减小，那么频率分布折线图就会无限接近于总体密度曲线
A． B． C． D．
2．（2022·江西宜春·校联考模拟预测）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1423石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得268粒内夹谷32粒.则这批米内夹谷约为（ ）
A．157石 B．164石 C．170石 D．280石
3．（2022·湖北·恩施市校联考模拟预测）袋子中有四个小球，分别写有“文 明 中 国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“文 明 中 国”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高二课时练习）在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共40个，除颜色外其他完全相同．小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在15%左右，则口袋中红色球可能有（ ）．
A．4个 B．6个 C．34个 D．36个
5．（2022·湖北省武汉市高二期末）在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了48次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（ ）
A．0.48，0.48 B．0.5，0.5 C．0.48，0 .5 D．0.5，0.48
6．（2023·全国·高一课时练习）下列命题正确的是
A．用事件发生的频率估计概率，重复试验次数越大，估计的就越精确.
B．若事件与事件相互独立，则事件与事件相互独立.
C．事件与事件同时发生的概率一定比与中恰有一个发生的概率小.
D．抛掷一枚均匀的硬币，如前两次都是反面，那么第三次出现正面的可能性就比反面大.
7．（2023·全国·高一课时练习）下列说法正确的有( )
①概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值；
②一次试验中不同的基本事件不可能同时发生；
③任意事件A发生的概率P(A)总满足0④若事件A的概率趋近于0，即P(A)→0，则事件A是不可能事件.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．（2022·上海·高二阶段练习）独立地重复一个随机试验次，设随机事件发生的频率为，随机事件发生的概率为，有如下两个判断：①如果是单元素集，则；②集合不可能只含有两个元素，其中（ ）
A．①正确，②正确 B．①错误，②正确 C．①正确，②错误 D．①错误，②错误
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.对下面的描述：①频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性的大小；②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率就是事件A发生的概率；③频率是不能脱离具体的n次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．其中正确的说法有（ ）
A．① B．② C．③ D．④
10．（2022·湖南·高一课时练习）甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的（ ）
A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜
B．同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜
C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜
D．甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜
11．（2022春·新疆巴音郭楞·高一校考期末）下列说法错误的是（ ）
A．随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率
B．某种福利彩票的中奖概率为，买1000张这种彩票一定能中奖
C．连续100次掷一枚硬币，结果出现了49次反面，则掷一枚硬币出现反面的概率为
D．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为明天不会降水
12.关于频率和概率，下列说法正确的是（ ）
A．某同学投篮3次，命中2次，则该同学每次投篮命中的概率为
B．费勒抛掷10000次硬币，得到硬币正面向上的频率为0.4979；皮尔逊抛掷24000次硬币，得到硬币正面向上的频率为0.5005．如果某同学抛掷36000次硬币那么得到硬币正面向上的频率可能大于0.5005
C．某类种子发芽的概率为0.903，若抽取2000粒种子试种，则一定会有1806粒种子发芽
D．将一颗质地均匀的骰子抛掷6000次，则掷出的点数大于2的次数大约为4000次
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022·上海浦东新·上海市实验学校校考模拟预测）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为________石（精确到小数点后一位数字）
14．（2022·全国·高二）根据某省教育研究机构的统计资料，今在校中学生近视率约为37.4%．某眼镜商要到某一中学给学生配眼镜，若已知该校学生总数为600人，则该眼镜商应带眼镜不少于__副．
15．（2022·全国·高一课时练习）对一批产品的长度（单位：mm）进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图.根据标准，产品长度在区间内的为一等品，在区间或内的为二等品，在区间或内的为三等品.用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则该件产品为二等品的概率为____________.
16．（2022·全国·高二课时练习）甲、乙两人做下列4个游戏：
①抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜．
②同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则甲胜，两枚都是正面向上则乙胜．
③从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜．
④甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜．
在上述4个游戏中，不公平的游戏是______．（填序号）
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．（2022·广东揭阳·高二期末）为弘扬中华优秀传统文化，鼓励全民阅读经典书籍，某市举行阅读月活动，现统计某街道约10000人在该活动月每人每日平均阅读时间（分钟）的频率分布直方图如图：
(1)求x的值；(2)从该街道任选1人，则估计这个人的每日平均阅读时间超过60分钟的概率.
18．（2022·湖南·高一课时练习）某文具厂打算生产一种中学生使用的笔袋，但无法确定各种颜色的产量，于是该文具厂就笔袋的颜色随机调查了5000名中学生，并在调查到1000名，2000名，3000名，4000名，5000名时分别计算了各种颜色的频率，绘制的折线图如下：
(1)随着调查次数的增加，红色的频率如何变化？(2)你能估计中学生选取红色的概率是多少吗？
(3)若你是该厂的负责人，你将如何安排生产各种颜色笔袋的产量？
19．（2022·宁夏·银川二中高一期末）近年来，国家大力推动职业教育发展，职业教育体系不断完善，人才培养专业结构更加符合市场需求.一批职业培训学校以市场为主导，积极参与职业教育的改革和创新.某职业培训学校共开设了六个专业，根据前若干年的统计数据，学校统计了各专业每年的就业率（直接就业的学生人数与招生人数的比值）和每年各专业的招生人数，具体统计数据如下表：
专 业 机电维修 车内美容 衣物翻新 美容美发 泛艺术类 电脑技术
招生人数
就 业 率
(1)从该校已毕业的学生中随机抽取人，求该生是“衣物翻新”专业且直接就业的概率；
(2)为适应市场对人才需求的变化，该校决定从明年起，将“电脑技术”专业的招生人数减少人，将“机电维修”专业的招生人数增加人，假设“电脑技术”专业的直接就业人数不变，“机电维修”专业的就业率不变，其他专业的招生人数和就业率都不变，要使招生人数调整后全校整体的就业率比往年提高个百分点，求的值．
20．（2022·高一单元测试）甲乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）完游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张.
（1）设分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲乙二人抽到的牌的所有情况；
（2）若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少？ （3）甲乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜，你认为此游戏是否公平，说明你的理由.
21．（2023·全国·高三专题练习）某超市随机选取位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．
甲 乙 丙 丁
√ × √ √
× √ × √
√ √ √ ×
√ × √ ×
√ × × ×
× √ × ×
（Ⅰ）估计顾客同时购买乙和丙的概率；
（Ⅱ）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买种商品的概率；
（Ⅲ）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大？
22．（2023·广东·广州高二开学考试）某学校需要从甲、乙两名学生中选一人参加数学竞赛，抽取了近期两人5次数学考试的成绩，统计结果如下表：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
甲的成绩（分） 80 85 71 92 87
乙的成绩（分） 90 76 75 92 82
（Ⅰ）已知甲、乙两名学生这5次数学考试成绩的平均分都为83分，若从甲、乙两名学生中选一人参加数学竞赛，请从统计学的角度考虑，你认为选谁参加数学竞赛较合适？并说明理由；
（Ⅱ）若数学竞赛分初赛和复赛，在初赛中有两种答题方案：方案一：每人从5道备选题中任意抽出1道，若答对，则可参加复赛，否则被淘汰.方案二：每人从5道备选题中任意抽出3道，若至少答对其中2道，则可参加复赛，否则被淘汰.已知学生甲、乙都只会5道备选题中的3道，那么你推荐的选手选择哪种答题方案进入复赛的可能性更大？并说明理由.
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