山东省菏泽市定陶区山大附中实验学校 2022-2023学年高二下学期6月月考-数学（PDF版含答案）

2022-2023 学年度高二第三次段考试卷
数学试题
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第 I卷（选择题）
一、单选题
1．关于线性回归的描述，下列命题错误的是（ ）
A．回归直线一定经过样本点的中心
B．残差平方和越小，拟合效果越好
C．决定系数 2越接近 1，拟合效果越好
D．残差平方和越小，决定系数 2越小
2．对于样本相关系数，下列说法错误的是（ ）
A．样本相关系数可以用来判断成对样本数据相关的正负性
B．样本相关系数可以是正的，也可以是负的
C．样本相关系数 ∈ 1,1
D．样本相关系数越大，成对样本数据的线性相关程度也越强
3．甲、乙、丙三个口袋内分别装有 2个红球，3个白球，3个黑球，从口
袋中取出 2个不同颜色的小球，取法种数为（ ）
A．8 B．18 C．21 D．28
4 4, 1．已知两个随机变量 ， ，其中 ， , 2 （ > 0），若
4
= ，且 < 1 = 0.4，则 > 3 =（ ）
A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1
试卷第 1页，共 8页
5．某校为落实“双减”政策，在课后服务时间开展了丰富多彩的体育兴趣
小组活动.现有 ， ， ， 四名同学拟参加足球、篮球、排球、羽毛球、
乒乓球等五项活动，由于受个人精力和时间限制，每个人只能等可能的参
加其中一项，则恰有两人参加同一项活动的概率为（ ）
A 96 B 72 C 48． ． ． D 24．
125 125 125 125
6．若随机变量 服从两点分布，其中 = 0 = 1， , 分别为随
3
机变量 的均值与方差，则下列结论不正确的是（ ）
A． = 1 = B． 3 + 2 = 4
C． 3 + 2 = 2 D． = 4
9
7．将诗集《诗经》《唐诗三百首》，戏剧《牡丹亭》，四大名著《红楼梦》
《西游记》《三国演义》《水浒传》7本书放在一排，下面结论成立的是（ ）
A．戏剧放在中间的不同放法有 7!种 B．诗集相邻的不同放法有 6!种
C．四大名著互不相邻的不同放法有 4! × 3!种
D．四大名著不放在两端的不同放法有 6 × 4!种
8 2 2021 = + + 1 + + 1 2 + + + 1 2021．已知 0 1 2 2021 ，
则 0 + 1 + 2 + + 2021 =（ ）
A．24042 B．1 C．22021 D．0
二、多选题
9．设离散型随机变量 的分布列为：
0 1 2 3 4
试卷第 2页，共 8页
0.4 0.1 0.2 0.2
若离散型随机变量 满足： = 2 + 1，则下列结论正确的有（ ）
A． = 2 B． = 4 C． = 1.8 D． = 3.6
10 1

．在 3 的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为 128，

则（ ）
A．二项式系数和为 64 B．各项系数和为 64
C．常数项为 135 D．常数项为 135
11．设 ， 为随机事件，且 0 < < 1，下列命题中成立的是（ ）
A．若 = ，则 =
B．若 > ，则 >
C．若 ∪ > ∪ ，则 >
D．若 > ，则 >
12．关于函数 f (x) 2 ln xx ，下列判断正确的是( )
A. x 2是 f (x)的极大值点
B. 函数 y f (x) x有且只有 1个零点
C. 存在正实数 k ，使得 f (x) kx成立
D. 对任意两个正实数 x1， x2，且 x1 x2，若 f (x1) f (x2 )，则 x1 x2 4 .
第 II 卷（非选择题）
三、填空题
13．已知 1 +1 = 21，那么 =________；
14．费马大定理又称为“费马最后定理”，由 17世纪法国数学家皮埃
试卷第 3页，共 8页
尔·德·费马提出，他断言当 > 2时，关于 ， ， 的方程 + = 没
有正整数解．他提出后，历经多人猜想辩证，最终在 1994年被英国数学
家安德鲁·怀尔斯彻底证明．某同学对这个问题很感兴趣，决定从 1，2，3，
4，5，6这 6个自然数中随机选一个数字作为方程 + = 中的指数 ，
方程 + = 存在正整数解的概率为______．
15．在某“猜羊”游戏中，一只羊随机躲在两扇门后，选手选择其中一扇门
并打开，如果这只羊就在该门后，则为猜对；否则，为猜错.一位选手有 4
次“猜羊”机会，若至少猜对 2次才能获奖，则该选手获奖的概率为______.
16．已知偶函数 f (x)是在 R上连续的可导函数，当 x 0时， f (x) f (x) 0x ，
则函数 F (x) x2 f (x) 1的零点个数为__________.
四、解答题
17．为加强素质教育，提升学生综合素养，立德中学为高一年级提供了“书
法”和“剪纸”两门选修课.为了了解选择“书法”或“剪纸”是否与性别有关，
调查了高一年级 1500名学生的选择倾向，随机抽取了 100人，统计选择
两门课程人数如下表：
(1)补全 2 × 2列联表；
选书法 选剪纸 共计
男生 40 50
女生
共计 30
试卷第 4页，共 8页
(2)依据小概率值 = 0.05的独立性检验，能否认为选择“书法”或“剪纸”
与性别有关？ 参考附表：
0.100 0.050 0.025
0 2.706 3.841 5.024
2 =
2
参考公式： ，其中 = + + + .
+ + + +
18．甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各掷一次骰子，若两次点数和
为偶数算甲赢，否则算乙赢．
（1）若以 表示和为 6的事件，求 ；
（2）现连玩两次，若以 表示甲两次都赢的事件， 表示在甲赢的条件下，
乙赢的事件，求 和 ；
（3）现连玩三次，若以 表示甲至少赢一次的事件， 表示乙至少赢两次
的事件，试问 与 是否为互斥事件？为什么？
19．在某种产品的生产过程中，需对该产品的关键指标进行检测，为保障
产品质量，检验员在一天的生产中定期对生产线上的产品进行检测，每次
检测要从该产品的生产线上随机抽取 16件测量其关键指标数据.根据生产
经验，可以认为这条产品生产线正常状态下生产的产品的关键指标数据服
从正态分布 , 2 ，在检测中，如果有一次出现了关键指标数据在
3 , + 3 之外的产品，就认为这条生产线在这一天的生产过程出现了异
常情况，需对本次的生产过程进行检查.
(1)下面是检验员在一次抽取的 16件产品的关键指标数据：
试卷第 5页，共 8页
10.02 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 9.95 9.22 10.04 10.05 9.95
16
经计算得 = 1 16 =1 = 9.97 =
1
， 2 =
16 16 =1
1 16 2 16
2 ≈ 0.212，其中 为抽取的第 件产品的关键指标数16 =1
据， = 1,2, , 16.用样本平均数 作为 的估计值 ，用样本标准差 作为
的估计值 ，利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查？
(2)如果某一天内进行了四次检测，若出现两次以上（含两次）生产过程检
查，则需停止生产并对生产设备进行检修.试求该天需对生产设备进行检
修的概率（精确到 0.01）.
附：若随机变量 服从正态分布 , 2 ，则 3 < < + 3 =
0.9974，
0.997416 ≈ 0.9592，0.997415 ≈ 0.9617，0.95923 ≈ 0.8825，0.95924 ≈
0.8465
20．设某工厂有甲、乙、丙三个车间，它们生产同一种工件，每个车间的
产量占该厂总产量的百分比依次为 25%，35%，40%，它们的次品率依次
为 5%，4%，2%．现从这批工件中任取一件．
(1)求取到次品的概率；
(2)已知取到的是次品，求它是甲车间生产的概率．（精确到 0.01）
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21．2023年 6月 5日是世界环境日，噪声污染已经成为影响人们身体健
康和生活质量的严重问题，为了解声音强度 （单位：dB）与声音能量
（单位：W cm 2）之间的关系，将测量得到的声音强度 和声音能量
的数据作了初步处理，得到如图所示的散点图：
(1)根据散点图判断， = 1 + 1 与 = 2 + 2lg 哪一个适宜作为声音强
度 关于声音能量 的回归模型？（能给出判断即可，不必说明理由）
(2)求声音强度 关于声音能量 的非线性经验回归方程（请使用题后参考
数据作答）；
(3)假定当声音强度大于 45dB时，会产生噪声污染，城市中某点 处共受
1 9
到两个声源的影响，这两个声源的声音能量分别是 和 ，且 + = 1010 .
已知点 处的声音能量等于 与 之和，请根据（2）中的非线性经验回归
方程，判断点 处是否受到噪声污染，并说明理由.
1
参考数据： = 1.04 × 10 11， = 36.7，令 = lg
10
，有 = =1 ，10
= 11.4 10， 2 =1 ( ) = 1.38 × 10
21 10， =1 ( )
2 = 1.48，
10 =1 = 7.4，
10 11 =1 = 6.9 × 10 ，
= =1 ， = ，
2
=1
试卷第 7页，共 8页
lg2 ≈ 0.3.
22.一疫苗生产单位通过验血方法检验某种疫苗产生抗体情况，需要检验
血液是否有抗体．现有 n(n N *)份血液样本，每份样本取到的可能性均
等．有以下两种检验方式：(1)逐份检验，则需要检验 n次；(2)混合检验，
将其中 k(k N *且 k ≥ 2)份血液样本分别取样混合在一起检验．若检验结果
无抗体，则这 k份的血液全无抗体，因而这 k份血液样本只需检验一次就
够了，若检验结果有抗体，为了明确这 k份血液究竟哪几份有抗体，就要
对这 k份再逐份检验，此时这 k份血液的检验总次数为 k 1次．假设在接
受检验的血液样本中，每份样本的检验结果有无抗体都是相互独立的，且
每份样本有抗体的概率均为 p(0 p 1).
(1)假设有 5份血液样本，其中只有 2份血液样本有抗体，若采用逐份检验
方式，求恰好经过 3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率；
(2)现取其中 k(k N *且 k ≥ 2)份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需
要检验的总次数为 1，采用混合检验方式样本需要检验的总次数为 2.若
E( 1) E( 2 )，求 p关于 k的函数关系式 p f (k)，并证明
1

p 1 e e .
试卷第 8页，共 8页
数学段考参考答案：
1．D 2．D 3．C 4．D 5．B 6．D 7．C 8．A
9 ．AC 10．ABD 11．ABD【详解】A选项：根据条件概率公式： = = ，

整理可得 = ,所以 ， 事件相互独立， ， 事件相互独立，
那么 =

, = = ，故 A正确；
B = 选项： > ，即 > ，所以 ， 不独立，



， 不独立，那么 > ， = > ，故 B正确；

C选项： ∪ > ∪ > > ，
∪ ∪
由于 > ，所以无法比较 与 的大小关系，故 C错；
D选项： > 事件 受事件 影响，不独立 >
所以 = > ，故 D正确.故选：ABD.

f (x) 2 1 x 2 2 2
12．BD 解：①函数的的定义域为 (0, )，函数的导数 x x x ，
令 f (x) 0，可得 x (0, 2)，函数在 (0,2)上单调递减，令 f (x) 0，可得 x (2, )，函数
在 (2, )上单调递增，所以 x 2是 f (x)的极小值点，故 A错误；
x22 x 2y f (x) x ln x x y
x x2
0
② ，则 ，所以函数 y f (x) x在 (0, )上单调递
减，且 f (1) 1 2 ln1 1 1 0， f (2) 2 1 ln 2 2 ln 2 1 0，
所以函数 y f (x) x有且只有 1个零点，故 B正确；
2 ln x 2 ln x
f (x) kx k g(x) 2 (x 0) g (x)
4 x x ln x

x2 x x x x3
(x 0)
③若 ，则 ，令 ，则 ，
令 h(x) 4 x x ln x，则 h (x) ln x，令 h (x) 0，可得 x 1，所以函数 h(x)在 (0,1)上单
答案第 1页，共 5页
调递增，在 (1, )上单调递减，所以 h(x) h(1) 0，所以
g(x) 2 ln xg (x) 0 2 ，所以 x x 在 (0, )上单调递减，函数无最
小值，所以不存在正实数 k，使得 f (x) kx恒成立，故 C不正确；
④根据 A选项的分析大致画出 f (x)的图象，如图所示，
x x x x f (x ) f (x )
对任意两个正实数 1， 2，且 1 2 ，若 1 2 ，
0 x 2 x
由图可知 2 1，令 g(t) f (4 t) f (t) ， t (0, 2)，
则 ，t (0, 2)，因为 g (t) 0，所以 g(t)在 (0,2)上单调递增，
所以 g(t) g(2) 0 f (4 t) f (t) x2 t f (4 x2) f (x2) f (x1) f (x )，所以 ，令 ，则 ，若 2 ，
f (4 x2) f (x1) x 4 x x x 4则 ，所以 1 2，即 1 2 ，故 D正确．
13 6 14 1
2
． ． 15 11． / 16.解：由题意知函数 F (x) x f (x) 1，因为F(0) 0
2 f (0) 1 1，
3 16
1
所以 x 0不是函数 F (x)的零点，所以方程 F (x) 0
xf (x)
等价于 x，设 g(x) xf (x)，
h(x) 1 g (x) f (x) xf (x) x[ f (x) f (x)] f (x) f (x) 0
x ，则 x ，当 x 0时， x ，所以当 x 0
时， g (x) 0，所以 g(x)在 (0, )上单调递增，因为 f (x)为偶函数，所以 f (x) f ( x)，所
以 g( x) xf ( x) xf (x) g(x)，所以 g(x)为奇函数，所以 g(x)在 R上单调递增，所以
函 g(x)与函数 h(x)的图像有两个交点，故函数 F (x)的零点个数为 2.
17．【详解】（1）根据题意补全 2 × 2列联表，如下：
选书法 选剪纸 共计
男生 40 10 50
答案第 2页，共 5页
（2）零假设为 0：选择“书法”或“剪纸”与性别无关. 女生 30 20 50
2 = 100× 40×20 10×30
2
根据列联表中数据，得 ≈
50×50×70×30 共计 70 30 100
4.762 > 3.841，
根据小概率 = 0.050的独立性检验，推断 0不成立，即有 95%的把握认为选“书法”
或“剪纸”与性别有关.
18．【详解】解：（1）甲、乙各掷一次骰子都有 6种可能，因此基本事件的总数为 6 × 6 =
36，事件 包括甲、乙掷骰子的情况有 1,5 ， 5,1 ， 2,4 ， 4,2 ， 3,3 共 5种情
5
况．∴ = ．
36
1
2 18 1 1（ ）由题意知玩一次甲赢的概率 = = ，则 = × 1 = 1， = 4 = 11 ．36 2 2 2 4 2
2
（3） 与 不是互斥事件，因为事件 与 可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次的事
件，即符合题意．
19．【详解】（1）解：由 = 9.97, = 0.212，得 的估计值为 = 9.97， 的估计值为 =
^ ^ ^ ^
0.212，则 + 3 = 9.97 + 3 × 0.212 = 10.606， 3 = 9.97 3 × 0.212 = 9.334，
又 9.22 < 9.324，即由样本数据可以看出有一件产品的关键指标数据为 9.22在
9.334,10.606 （即( 3 , + 3 )）之外，因此需对本次的生产过程进行检查．
（2）解：设“在一次检测中，发现需要对本次的生产过程进行检查”为事件 ，
则 = 1 = 0 16 = 1 0.9974 16 = 1 0.9592 = 0.0408，
依题意，需对生产设备进行检修的概率 = 1 1 4 C14 1
3
≈ 1 0.95924 4 × 0.0408 × 0.95923 ≈ 0.0095 ≈ 0.01，
故一天中需对生产设备进行检修的概率为 0.01．
20．(1)设事件 1， 2， 3分别表示取出的工件是甲、乙、丙车间生产的，A表示“取
到的是次品.
易知 1， 2， 3两两互斥，根据全概率公式，
答案第 3页，共 5页
可得 =3 =1 = 0.25 × 0.05 + 0.35 × 0.04 + 0.4 × 0.02 = 0.0345．
故取到次品的概率为 0.0345．
(2) = 1 = 1 1 = 0.25×0.051 ≈ 0.36． 0.0345
故已知取到的是次品，它是甲车间生产的概率为 0.36．
21．【详解】（1）解：散点图近似在一条曲线上，故 = 2 + 2lg 更适合．
10 ( ) ( )
（2）解：令 = lg ， = lg ，则 = 2 + 2 ， = =1
7.4
2 10 = = 5，
( )2 1.48
=1
2 = 2 = 36.7 5 × ( 11.4) = 93.7，即 关于 的回归方程是 = 93.7 + 5 ，
则 关于 的非线性经验回归方程是 = 93.7 + 5lg ．
（3 1 9）解：设点 处的声音能量为 1，则 1 = + ，因为 > 0， > 0， + = 1010，
= + = 10 10 1 + 9 + = 10 10 10 + + 9 所以 101 ≥ 10 10 +
2 9 = 16 × 10 10，

4 12
当且仅当 = 3 ，即 = ， = 时等号成立，1010 1010
所以 = 93.7 + 5lg 1 ≥ 93.7 + 5lg 16 × 10 10 = 20lg2 + 43.7 ≈ 49.7 > 45，
所以点 处会受到噪声污染．
22.解：(1)设恰好 3次检验能把有抗体血液样本全部检验出来为事件 A，将 A事件分成两种类型，
前两次检验中，其中一次检验出抗体，第三次检验出抗体和前三次均无抗体，所以
1 1 3 3 2
P(A) C2C2A3 A3A 2 3 35 所以恰好3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率为 .A5 10 10
(2) 由 已 知 得 E( 1) k
k
， 2 的 所 有 可 能 取 值 为 1， k 1. 所 以 P( 2 1) (1 p) ，
P( 2 k 1) 1 (1 p)
k E( ) (1 p)k，所以 2 (k 1)[1 (1 p)
k ] k 1 k(1 p)k ，
k 1 1 1
若 E( 1) E( 2 )，则 k k 1 k (1 p) k ，所以 k(1 p)k 1， (1 p) ，所以1 p ( )k ，k k
答案第 4页，共 5页
1 1
即 p 1 1 ( ) k ，所以 p关于 k的函数关系式为 p f (k) 1 (1 )k (k N ,且k 2)，
k k
1 1 1 1 ln k ln x ln x 1
证明：令 t ( )k (k 2且k N )，所以 ln t ln ，令 g(x) (x 2)，g (x) ，
k k k k x x2
所以 g (x) 0得 x e，所以 x (2,e)， g (x) 0， g(x)单调递减， x (e, )， g (x) 0，
g(x)单调递增，所以 g(x) 1 ln x 1min g(e) ，所以 ，e x e
ln k 1 1 1 1 1 1 1
因为 k 2且 k N *，所以 ，即 ln ，所以 ln k e k k e ek k e e ，
1 1 1 1 1
即 ( )k e e 1，所以 p 1 ( )k 1 e e .
k k
答案第 5页，共 5页
数学段考参考答案：
1．D 2．D 3．C 4．D 5．B 6．D 7．C 8．A
9 ．AC 10．ABD 11．ABD【详解】A选项：根据条件概率公式： = = ，

整理可得 = ,所以 ， 事件相互独立， ， 事件相互独立，
那么 =

, = = ，故 A正确；
B = 选项： > ，即 > ，所以 ， 不独立，



， 不独立，那么 > ， = > ，故 B正确；

C选项： ∪ > ∪ > > ，
∪ ∪
由于 > ，所以无法比较 与 的大小关系，故 C错；
D选项： > 事件 受事件 影响，不独立 >
所以 = > ，故 D正确.故选：ABD.

f (x) 2 1 x 2 2 2
12．BD 解：①函数的的定义域为 (0, )，函数的导数 x x x ，
令 f (x) 0，可得 x (0, 2)，函数在 (0,2)上单调递减，令 f (x) 0，可得 x (2, )，函数
在 (2, )上单调递增，所以 x 2是 f (x)的极小值点，故 A错误；
x22 x 2y f (x) x ln x x y
x x2
0
② ，则 ，所以函数 y f (x) x在 (0, )上单调递
减，且 f (1) 1 2 ln1 1 1 0， f (2) 2 1 ln 2 2 ln 2 1 0，
所以函数 y f (x) x有且只有 1个零点，故 B正确；
2 ln x 2 ln x
f (x) kx k g(x) 2 (x 0) g (x)
4 x x ln x

x2 x x x x3
(x 0)
③若 ，则 ，令 ，则 ，
令 h(x) 4 x x ln x，则 h (x) ln x，令 h (x) 0，可得 x 1，所以函数 h(x)在 (0,1)上单
答案第 1页，共 5页
调递增，在 (1, )上单调递减，所以 h(x) h(1) 0，所以
g(x) 2 ln xg (x) 0 2 ，所以 x x 在 (0, )上单调递减，函数无最
小值，所以不存在正实数 k，使得 f (x) kx恒成立，故 C不正确；
④根据 A选项的分析大致画出 f (x)的图象，如图所示，
x x x x f (x ) f (x )
对任意两个正实数 1， 2，且 1 2 ，若 1 2 ，
0 x 2 x
由图可知 2 1，令 g(t) f (4 t) f (t) ， t (0, 2)，
则 ，t (0, 2)，因为 g (t) 0，所以 g(t)在 (0,2)上单调递增，
所以 g(t) g(2) 0 f (4 t) f (t) x2 t f (4 x2) f (x2) f (x1) f (x )，所以 ，令 ，则 ，若 2 ，
f (4 x2) f (x1) x 4 x x x 4则 ，所以 1 2，即 1 2 ，故 D正确．
13 6 14 1
2
． ． 15 11． / 16.解：由题意知函数 F (x) x f (x) 1，因为F(0) 0
2 f (0) 1 1，
3 16
1
所以 x 0不是函数 F (x)的零点，所以方程 F (x) 0
xf (x)
等价于 x，设 g(x) xf (x)，
h(x) 1 g (x) f (x) xf (x) x[ f (x) f (x)] f (x) f (x) 0
x ，则 x ，当 x 0时， x ，所以当 x 0
时， g (x) 0，所以 g(x)在 (0, )上单调递增，因为 f (x)为偶函数，所以 f (x) f ( x)，所
以 g( x) xf ( x) xf (x) g(x)，所以 g(x)为奇函数，所以 g(x)在 R上单调递增，所以
函 g(x)与函数 h(x)的图像有两个交点，故函数 F (x)的零点个数为 2.
17．【详解】（1）根据题意补全 2 × 2列联表，如下：
选书法 选剪纸 共计
男生 40 10 50
答案第 2页，共 5页
（2）零假设为 0：选择“书法”或“剪纸”与性别无关. 女生 30 20 50
2 = 100× 40×20 10×30
2
根据列联表中数据，得 ≈
50×50×70×30 共计 70 30 100
4.762 > 3.841，
根据小概率 = 0.050的独立性检验，推断 0不成立，即有 95%的把握认为选“书法”
或“剪纸”与性别有关.
18．【详解】解：（1）甲、乙各掷一次骰子都有 6种可能，因此基本事件的总数为 6 × 6 =
36，事件 包括甲、乙掷骰子的情况有 1,5 ， 5,1 ， 2,4 ， 4,2 ， 3,3 共 5种情
5
况．∴ = ．
36
1
2 18 1 1（ ）由题意知玩一次甲赢的概率 = = ，则 = × 1 = 1， = 4 = 11 ．36 2 2 2 4 2
2
（3） 与 不是互斥事件，因为事件 与 可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次的事
件，即符合题意．
19．【详解】（1）解：由 = 9.97, = 0.212，得 的估计值为 = 9.97， 的估计值为 =
^ ^ ^ ^
0.212，则 + 3 = 9.97 + 3 × 0.212 = 10.606， 3 = 9.97 3 × 0.212 = 9.334，
又 9.22 < 9.324，即由样本数据可以看出有一件产品的关键指标数据为 9.22在
9.334,10.606 （即( 3 , + 3 )）之外，因此需对本次的生产过程进行检查．
（2）解：设“在一次检测中，发现需要对本次的生产过程进行检查”为事件 ，
则 = 1 = 0 16 = 1 0.9974 16 = 1 0.9592 = 0.0408，
依题意，需对生产设备进行检修的概率 = 1 1 4 C14 1
3
≈ 1 0.95924 4 × 0.0408 × 0.95923 ≈ 0.0095 ≈ 0.01，
故一天中需对生产设备进行检修的概率为 0.01．
20．(1)设事件 1， 2， 3分别表示取出的工件是甲、乙、丙车间生产的，A表示“取
到的是次品.
易知 1， 2， 3两两互斥，根据全概率公式，
答案第 3页，共 5页
可得 =3 =1 = 0.25 × 0.05 + 0.35 × 0.04 + 0.4 × 0.02 = 0.0345．
故取到次品的概率为 0.0345．
(2) = 1 = 1 1 = 0.25×0.051 ≈ 0.36． 0.0345
故已知取到的是次品，它是甲车间生产的概率为 0.36．
21．【详解】（1）解：散点图近似在一条曲线上，故 = 2 + 2lg 更适合．
10 ( ) ( )
（2）解：令 = lg ， = lg ，则 = 2 + 2 ， = =1
7.4
2 10 = = 5，
( )2 1.48
=1
2 = 2 = 36.7 5 × ( 11.4) = 93.7，即 关于 的回归方程是 = 93.7 + 5 ，
则 关于 的非线性经验回归方程是 = 93.7 + 5lg ．
（3 1 9）解：设点 处的声音能量为 1，则 1 = + ，因为 > 0， > 0， + = 1010，
= + = 10 10 1 + 9 + = 10 10 10 + + 9 所以 101 ≥ 10 10 +
2 9 = 16 × 10 10，

4 12
当且仅当 = 3 ，即 = ， = 时等号成立，1010 1010
所以 = 93.7 + 5lg 1 ≥ 93.7 + 5lg 16 × 10 10 = 20lg2 + 43.7 ≈ 49.7 > 45，
所以点 处会受到噪声污染．
22.解：(1)设恰好 3次检验能把有抗体血液样本全部检验出来为事件 A，将 A事件分成两种类型，
前两次检验中，其中一次检验出抗体，第三次检验出抗体和前三次均无抗体，所以
1 1 3 3 2
P(A) C2C2A3 A3A 2 3 35 所以恰好3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率为 .A5 10 10
(2) 由 已 知 得 E( 1) k
k
， 2 的 所 有 可 能 取 值 为 1， k 1. 所 以 P( 2 1) (1 p) ，
P( 2 k 1) 1 (1 p)
k E( ) (1 p)k，所以 2 (k 1)[1 (1 p)
k ] k 1 k(1 p)k ，
k 1 1 1
若 E( 1) E( 2 )，则 k k 1 k (1 p) k ，所以 k(1 p)k 1， (1 p) ，所以1 p ( )k ，k k
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1 1
即 p 1 1 ( ) k ，所以 p关于 k的函数关系式为 p f (k) 1 (1 )k (k N ,且k 2)，
k k
1 1 1 1 ln k ln x ln x 1
证明：令 t ( )k (k 2且k N )，所以 ln t ln ，令 g(x) (x 2)，g (x) ，
k k k k x x2
所以 g (x) 0得 x e，所以 x (2,e)， g (x) 0， g(x)单调递减， x (e, )， g (x) 0，
g(x)单调递增，所以 g(x) 1 ln x 1min g(e) ，所以 ，e x e
ln k 1 1 1 1 1 1 1
因为 k 2且 k N *，所以 ，即 ln ，所以 ln k e k k e ek k e e ，
1 1 1 1 1
即 ( )k e e 1，所以 p 1 ( )k 1 e e .
k k
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