2022-2023学年人教版数学九年级下册27.2相似三角形（课时5）同步练习（含解析）

《27.2　相似三角形》同步练习
（课时5 利用两角判定三角形相似及两直角三角形相似的判定）
一、基础巩固
知识点1 两角分别相等的两个三角形相似
1. [2021河北唐山期中]如图,图1,2中各有两个三角形,其边长和角的度数如图上标注,则对图1,2中的两个三角形,下列说法正确的是 (　　)
A.都相似 B.都不相似
C.只有图1相似 D.只有图2相似
2. [2022河北邢台十九中月考]如图,在△ABC中,P为边AB上一点,下列条件不能判定△ACP∽△ABC的是(　　)
A.∠ACP=∠B B.∠APC=∠ACB
C.= D.=
3.[2022河北保定期末]李老师在编写下面这个题目的答案时,不小心打乱了解答过程的顺序,你能帮他调整过来吗 证明步骤正确的顺序是 (　　)
已知:如图,在△ABC中,点D,E,F分别在边AB,AC,BC上,且DE∥BC,DF∥AC.求证:△ADE∽△DBF.
证明:
①∵DF∥AC,
②∵DE∥BC,
③∴∠A=∠BDF.
④∴∠ADE=∠B.
⑤∴△ADE∽△DBF.
A.③②④①⑤ B.②④①③⑤
C.③①④②⑤ D.②③④①⑤
4. [2021安徽合肥包河区期中]如图,AE交BC于点D,∠C=∠E,AD∶DE=3∶5,AE=8,
BD=4,则DC的长是　　　　.
5. [2021浙江杭州拱墅区二模]如图,在△ABC中,D,E分别是边AC,BC的中点,F是BC的延长线上一点,∠F=∠B.
(1)若AB=10,求FD的长;
(2)若AC=BC,求证:△CDE∽△DFE.
知识点2 两直角三角形相似的判定
6. [2021湖南常德期末]如图,BD是Rt△ABC斜边AC上的高,DE⊥AB于点E,则图中与△ABC相似的三角形有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7. [2020山东济南期中]如图,在Rt△ABC和Rt△ACD中,∠ACB=∠ADC=90°,AC=,
AD=2,则当AB的长为　　　　时,Rt△ABC与Rt△ACD相似.
8. 如图,正方形ABCD的边长为4,M,N分别是边BC,CD上的两个动点,当点M在BC上运动时,始终保持AM和MN垂直.
(1)求证:Rt△ABM∽Rt△MCN.
(2)当点M运动到什么位置时,Rt△ABM∽Rt△AMN 请说明理由.
二、能力提升
1. [2021河北秦皇岛月考]如图,在△ABC中,∠B=70°,AB=4,BC=8,将△ABC沿图中的虚线DE剪开,剪下的三角形与原三角形不相似的是
2. [2021河北保定期末]如图,已知D是△ABC的边BC上一点,∠BAD=∠C,∠ABC的平分线交边AC于点E,交AD于点F,下列结论中错误的是 (　　)
A.△BDF∽△BEC B.△BFA∽△BEC
C.△BAC∽△BDA　　　 D.△BDF∽△BAE
3. [2021安徽合肥五十中月考]如图1,若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PBA=∠PCB,则点P为△ABC的布洛卡点.问题:如图2,已知在等腰直角三角形DEF中,∠EDF=90°,若点Q为△DEF的布洛卡点,DQ=1,则EQ+FQ=(　　)
A.5 B.4 C.3+ D.2+
4. [2021湖南张家界期末]如图,在矩形ABCD中,AB=10,AD=4,P是边AB上一点,若△APD与△BPC相似,则满足条件的点P有　　　　个.
5. [2021浙江湖州南浔区期末]如图,点A,B,C,D为☉O上的四个点,AC平分∠BAD交BD于点E,CE=4,CD=6,则AE的长是　　　　.
6. 已知,如图,在菱形ABCD中,点E,F分别在边AB,AD上,BE=FD,CE的延长线交DA的延长线于点G,CF的延长线交BA的延长线于点H.
(1)求证: △BEC∽△BCH.
(2)如果BE2=AB·AE,求证:AG=DF.
7. [2021河北沧州期中]如图,正方形ABCD的边长为4,E是BC边的中点,点P在射线AD上,过点P作PF⊥AE于点F.
(1)求证:△PFA∽△ABE.
(2)当点P在射线AD上运动时,设PA=x,是否存在实数x,使以P,F,E为顶点的三角形与△ABE相似 若存在,请求出x的值;若不存在,说明理由.
参考答案
一、基础巩固
1.A　【解析】　在题图1中,∠C=180°-75°-35°=70°,∴∠A=∠D,∠C=∠E,∴△ABC∽△DFE.在题图2中,∵==,∠AOC=∠BOD,∴△AOC∽△DOB,故题图1,2中的两个三角形都相似.
2.D　【解析】　A项,∵∠ACP=∠B,∠A=∠A,∴△ACP∽△ABC,故A不符合题意;B项,
∵∠APC=∠ACB,∠A=∠A,∴△ACP∽△ABC,故B不符合题意;C项,∵=,∠A=∠A,
∴△ACP∽△ABC,故C不符合题意;D项,由=无法判定△ACP∽△ABC.
3.B
4.
5.【解析】　(1)∵D,E分别是边AC,BC的中点,
∴DE∥AB,DE=AB=5,∴∠DEC=∠B,
又∠F=∠B,∴∠DEC=∠F,∴FD=DE=5.
(2)∵AC=BC,∴∠A=∠B,
由(1)知DE∥AB,∴∠CDE=∠A,∴∠CDE=∠B,
又∠B=∠F,∴∠CDE=∠F,
又∠CED=∠DEF,∴△CDE∽△DFE.
6.D　【解析】　　由BD是Rt△ABC斜边AC上的高,DE⊥AB,可得∠ABC=90°,∠ADB=90°,
∠BDC=90°,∠BED=90°.
7.3或3　【解析】　∵∠ACB=∠ADC=90°,AC=,AD=2,∴CD=.当=时,Rt△ABC∽Rt△ACD,∴=,∴AB=3;当=时,Rt△ABC∽Rt△CAD,∴=,∴AB=3.故当AB=3或3时,Rt△ABC与Rt△ACD相似.
8.【解析】　(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=4,∠B=∠C=90°.
∵AM⊥MN,∴∠AMN=90°,∴∠CMN+∠AMB=90°.
在Rt△ABM中,∠MAB+∠AMB=90°,∴∠CMN=∠MAB.
∴Rt△ABM∽Rt△MCN.
(2)当点M运动到BC的中点时,Rt△ABM∽Rt△AMN.理由如下:
∵∠B=∠AMN=90°,
∴要使Rt△ABM∽Rt△AMN,必须有=,
由(1)知Rt△ABM∽Rt△MCN,
∴=,∴=,∴BM=MC,
∴当点M运动到BC的中点时,Rt△ABM∽Rt△AMN.
二、能力提升
1.C　【解析】　A项,∠B=∠EDC,∠C=∠C,∴△ABC∽△EDC;B项,∠B=∠DEC,∠C=∠C,
∴△ABC∽△DEC;C项,==,但∠A≠∠B,∴△ADE与△ABC不相似;D项,∵点A,C,E,
D在同一个圆上,∴∠A+∠DEC=180°,又∠DEB+∠DEC =180°,∴∠A=∠DEB ,又∠B=
∠B,∴△ABC∽△EBD.
2.A　【解析】　∵∠BAD=∠C,∠ABD=∠ABC,∴△BAC∽△BDA,故C正确;∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE,又∠BAD=∠C,∴△BFA∽△BEC,故B正确;由△BFA∽△BEC,得∠BFA=∠BEC,∴∠BFD=∠BEA,又∠ABE=∠DBF,∴△BDF∽△BAE,故D正确;由已知条件无法得出△BDF∽△BEC,故A错误.
3.D　【解析】　∵∠EDF=90°,DE=DF,∠1=∠2=∠3,∴∠1+∠QEF=∠3+∠DFQ=45°,
∴∠QEF=∠DFQ,又∠2=∠3,∴△DQF∽△FQE,∴===,∵DQ=1,∴FQ=,
∴EQ=2,∴EQ+FQ=2+.
4.3　【解析】　分两种情况:①当∠ADP=∠BPC时,△APD∽△BCP,∴=,设AP=x,则BP=10-x,∴=,∴x=2或8,即此时存在两个这样的点P;②当∠APD=∠BPC时,△APD∽△BPC,此时AP=BP=5,即此时存在一个这样的点P,故满足条件的点P有3个.
5.5　【解析】　∵AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠CAD,又∠BAC=∠BDC,∴∠CAD=∠BDC.
∵∠ECD=∠DCA,∴△DCA∽△ECD,∴=,∴=,∴CA=9,∴AE=AC-CE=9-4=5.
6.【解析】　(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴DC∥AB,CD=CB,∠D=∠B.
又BE=DF,∴△CDF≌△CBE,∴∠DCF=∠BCE.
∵DC∥AB,∴∠H=∠DCF=∠BCE.
又∠B=∠B,∴△BEC∽△BCH.
(2)∵BE2=AB·AE,∴=.
∵BC∥AD,∴△BEC∽△AEG,∴=,∴=.
∵AB=BC,∴BE=AG.
又BE=DF,∴AG=DF.
7.【解析】　(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴AD∥BC,∠ABC=90°,∴∠PAF=∠AEB.
∵PF⊥AE,∴∠PFA=∠ABE=90°,
∴△PFA∽△ABE.
(2)存在实数x,使以P,F,E为顶点的三角形与△ABE相似.理由如下:
如图1,当∠PEF=∠EAB时,△EFP∽△ABE,
此时PE∥AB,∴四边形ABEP为矩形,
∴PA=EB=2,即x=2.
如图2,当∠PEF=∠AEB时,△PFE∽△ABE,此时=.
∵∠PAF=∠AEB,∠PEF=∠AEB,
∴∠PEF=∠PAF,∴PE=PA.
∵PF⊥AE,∴F为AE的中点.
在Rt△ABE中,AE==2,
∴EF=AE=,∴=,
∴PE=5,即PA=x=5.
综上,满足条件的x的值为2或5.