南阳市卧龙区博雅学校高一年级月考 C. T f Tg ，M f M g D. T f Tg ，M f M g
a
数 学 试 题 8．在锐．角． ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若 B 2A，则 的取值范围为（ ）b
一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一 3 2 1 2 1 3 1
A． , B． , C． , D． ,
项是符合题目要求的） 3 2 2 2
2 3
2
1．已知角 2022 ，则角 的终边落在（ ） 二、多选题（本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 要求. 全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分）
2．已知向量 a ( 1,2),b (x,1) 9．下列等式成立的有（ ）
，若 a 2b，则实数 x （ ）
A sin2 75 3 1 3 2． cos2 75 B． sin15 cos15
A．1 B．2 C．3 D．4 2 2 2 2
z 2 i3 i tan
5π
．已知复数 ，其中 为虚数单位，则复数 的虚部为（ ）
1 i z C sin15 cos15 3． D． 24 2 3
sin15 cos15 3
3 3 3 3 1 tan
2 5π
A． i B． i C． D． 24
2 2 2 2
10．已知空间中三条不同的直线 a，b，c，三个不同的平面α，β，γ，则下列说法不正确的是（ ）
sin π 5
2π
4．已知 ，则 cos 2
（ ）
3 5 3 A．若 a∥b， a ，b ，则 b α
4 4 3 3
A B C D B．若 ． ． ． ．- ， ，则 ∥
5 5 5 5
C．若 ，a ， a ，则 a / /
5．化简 2 2sin 20 1 cos 20 的结果是（ ）
D． a， b， c，则 a∥b∥c
A． 2 cos10 B． 2 cos10 C． 2 sin10 D． 2 sin10 π
11．把函数 f x 3sin x cos x 0 π 的图象向左平移 个单位长度，得到的函数图象恰好
6．在△ 中，点 D在边 AB上，BD 2DA．记 = ， = ，则CB （ ） 6
A 3m 2n
关于 y轴对称，则下列说法正确的是（ ）
． B． 2m 3n C 3m ． 2n D． 2m 3n
x x A． f x 的最小正周期为 π2 tan 1 tan2
7．已知函数 f x 2x 的最小正周期为T f ，值域为M f ，函数 g x
2 的最小 f x 5π ,0
1 tan 2 1 tan2 x B． 关于点 对称 12
2 2
f x π , π T M C． 在
12 4
上单调递增
正周期为 g ，值域为 g ，则（ ）
f x π ,a a π ,
A. T f Tg ，M M
D．若 在区间 上存在最大值，则实数 的取值范围为 f g B. T f Tg ，M f M g 12 6
高一年级数学试卷共 2页第 1页
12．在△ 中，角 A、B、C所对应的边分别为 a、b、c， 2 = 2 + ，则（ ） 20．（12分）已知四棱锥P ABCD的底面是边长为 2的菱形， PD 底面 ABCD．
A． sin2 A sin2 B sin BsinC B．b c(1 2cos A) (1)求证： AC 平面 PBD；
C． A 2B D．△ 不可能为锐角三角形 (2)已知 PD 1，当 BD 2 时，求直线 PB与 AD所成角的余弦值.
三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．已知向量 a 1, 1 ，b t,2 ，若 a b // a b ，则实数 t =________．
14．如图所示，正方形O A B C 的边长为 2cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形
的周长是________ cm．
sin cos 21．（12分）如图所示，在△ ABC中，M 是 AC的中点， 3 = ， AC 4．
15．若 3， tan 2，则 tan 2 ________.
sin cos
(1)若 = 4，求 AB；
16．已知△ 的内角A， B，C的对边分别为 a，b，c，且
a2 b2 c2 1
(2)若△ ABC面积为 ，求 BM．
ab 3 3，若 A C， BA BC 14，则b的值是______．2
四、解答题（本大题共 6 题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
2 2i
17．（10分）已知：复数 z 1 i ，其中 i为虚数单位．
1 i
(1)求 z及 z ；(2)若 z2 az b 2 3i，求实数 a,b的值． 22．（12分）如图所示，已知 ⊥平面 ACD， ⊥平面 ACD，△ 为等边三角形，AD DE 2AB，
F为 CD的中点.求证：
(1) AF∥平面 BCE；
18．（12分）已知函数 = 2 2 ． (2)平面BCE 平面 CDE.
（1）若 1 = 5，求 2 的值；
（2）求 2 + 2 2 的最大值．
1
19．（12分）已知函数 = 3 + 2 ，其中0 6，且 f ．
12 2
(1)求函数 f x 的单调递增区间；
5
(2) 若 12 , 6 ，且 f ，求 sin 2 的值．6
高一年级数学试卷共 2页第 2页南阳市卧龙区博雅学校高一年级月考数学试题
其中 为锐角，且 cos 5 ， sin 2 5 ，
5 5
参考答案
所以， 2k k Z ，则 2k k Z ， …………3分
一、本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。 2 2
1—4 CBDC 5—8 DBAC 所以， cos cos 2k sin
2 5
，
2 5
二、本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的给 5 分，部分选对的给 2 分，有选错的给 0 分。 5 sin 2 2sin cos 4sin sin 2k cos ，因此，
2 5 5 .
…………6分
9．AC 10．ABD 11．ABD 12．AC
三、本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 （2）因为 sin cos 2 sin
2, 2 ， …………7分 44
13． 2 14．16 15． 16．2
3 sin cos 2 1 2sin cos 1 sin 2 ， …………8分
四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。）
17．（本小题满分 10分） 令 t sin cos 2, 2 ，则 sin 2 1 t
2
，
2 2i 2i 1 i f 2 2sin 2 4 sin cos 2sin 2 4t 2 1 t
2
z 1 i 2i 2i i i2 1 3i 则 2t
2 4t 2
（1） 1 i 1 i 1 i . …………3分
2 t 1 2 4 4，当且仅当 t 1时， f 2 2sin 2 取最大值 4 . …………12分
则 z 12 32 10 . …………5分
19．（本小题满分 12分）
（2）由（1）得： 1 3i 2 a 1 3i b 8 6i a 3ai b a b 8 6 3a i 2 3，i
（1）∵ = 3 2 + 1 2 = 2 + 1， …………2分
2 2 6 2
a b 8 2 1 1
， …………7分 f sin
，
k k Z ，
6 3a 3 12 6 6 2 2 6 6
解得： 1 6k k Z ，又0 6， 1， f x sin 2x
1
a ； …………4分 1 6 2
解得： . …………10分
b 9
令 2k 2x
2k k Z ，解得： k x k k Z ，
2 6 2 6 3
18．（本小题满分 12分）
∴ 的单调递增区间为 k ,
k k Z ； …………6分6 3
(1)因为 f 1 sin 2cos 5 sin 5 ，可得 sin 1 ， …………2 分
答案第 1页，共 2页
（2）由（1）知： f sin 2 1 5 1 ， sin
2 ； …………8分
6 2 6 6 3 所以 sin ABC sin(A C) sin AcosC sinC cos A
2 3 1 6 2
，…………4 分2 2 2 4
, 2 当 12 6 时， 0, 2 2 ， cos 2 6 6 ， …………10分 AC AB 6 3 在△ ABC中，由正弦定理得 ，sin ABC sin C
3
sin 2 sin 1 3 2 2 1 3 2 2 2 sin 2 cos cos 2 sin . AC sin C
4
6 6 6 6 6 6 3 2 3 2 6 所以 AB 2 6 2 2 6． …………6 分sin ABC 6 2
…………12分 4
1 π
20．（本小题满分 12分） （2）因为 S ABC AC BC sinC 3 3 ， AC 4，C ，所以 BC 3， …………8 分2 3
(1)证明：因为四边形 ABCD是菱形， AC BD，又 PD 平面 ABCD， AC 平面 ABCD， 在△ BCM中，由余弦定理得： BM 2 BC 2 CM 2 2BC CM cosC ，
PD AC，又 PD BD D， PD,BD 平面 PBD， AC 平面 PBD； …………4分 又因为M 为 AC中点，所以CM
1
AC 2，
2
(2)解：∵ ⊥平面 ABCD，DC,DB 平面 ABCD，所以 PD DC， PD DB，
BM 2 9 4 2 3 2 1所以 7，解得 BM 7． …………12 分
2
所以 PC PD2 DC2 5， PB PD2 BD2 3， …………6分
22．（本小题满分 12分）
因为 AD//BC，所以 PBC即为直线 PB与 AD所成角（或补角），
（1）取CE的中点G，连接 FG,BG，
又 BC 2，所以在 PBC中，由余弦定理得： PC 2 PB 2 BC 2 2PB PC cos PBC ，
因为 F为 CD的中点，所以 FG∥DE， FG
1
DE，
2
即5 3 4 2 3 2cos PBC，解得 cos 3 PBC ，所以 PBC为锐角， …………10 分
6 因为 AB 平面 ACD，DE 平面 ACD，所以 AB∥DE，所以 FG∥ AB，
即 PBC为直线 PB与 AD所成角， 1
因为 AB DE，所以 FG AB，所以四边形GFAB为平行四边形，所以 AF∥ BG，
PB AD 3
2
所以直线 与 所成角的余弦值 ； …………12 分
6 因为 AF 平面 BCE， BG 平面 BCE，所以 AF∥平面 BCE， …………6 分
21．（本小题满分 12分）
（2）因为△ 为等边三角形，F为 CD的中点，所以 AF CD，
（1）因为 3acosC csin A，所以由正弦定理得： 3 sin AcosC sinC sin A，
因为 ⊥平面 ACD， AF 平面 ACD，所以DE AF，
又因为 sin A 0，所以 3 cosC sinC，即 tanC 3，
因为CD DE D，所以 AF 平面CDE， …………8分
又因为C (0, π)，所以C
π
， …………2 分
3 因为 AF∥BG，所以 BG 平面CDE，
又因为 ABC π (A C )， 因为 BG 平面 BCE，所以平面 BCE 平面CDE …………12 分
答案第 2页，共 2页
