洛阳市2022-2023学年高二下学期6月质量检测
数学试卷(理)
本试卷共4页，共150分。考试时间120分钟。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
2.考试结束，将答题卡交回。
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
若 则
A.2 B.1 C. D.-1
2. 已知随机变量X ~N(3,),若P=0.3,则P=
A.0.2 B.0.4 C.0 .6 D.0.7
3. 已知两条直线,,若,则=
A.-1或0或3 B.-1或3 C.0或3 D.-1或0
4. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯 ”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为：
A.3 B.4 C.5 D.6
5. 已知随机变量X的分布列为：
X 1 2 3 4
P 0.1 0.2 0.3 0.4
则D(2X+7)=
A.1 B.3 C.4 D.9
6. 已知直线与抛物线交于A，B两点，若D为线段AB的中点，O为坐标原点，则直线OD的斜率为
A. B. C. D.
7. 曲线在点M(π，0)处的切线方程是
A. x + πy -π =0 B. x - πy -π =0
C.πx +y -π =0 D.πx -y-π =0
8. 某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.5；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.9.请问王同学第2天去A餐厅用餐的概率是
A.0.8 B.0 .7 C.0 .6 D.0.45
9. 已知点P为直线上的一点，M，N分别为圆与圆上的点,则|PM|+|PN|的最小值为
A.5 B.3 C.2 D.1
10. 平面内有两组平行线，一组有6条，另一组有8条，这两组平行线相交，由这些平行线可以构成平行四边形的个数为
A.14 B.48 C.91 D.420
11. 如图,F ,F 分别是双曲线 的左、右焦点,,点P在双曲线的右支上,F P的延长线与y轴交于点A，△APF 的内切圆在边PF 上的切点为Q,若 则此双曲线的渐近线方程为
12. 已知是定义在R上的函数的导函数，对于任意的实数，都有 当时,0.
若 则实数的取值范围是
A.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 将5名学生分配到4个社区参加志愿服务，每个社区至少1名学生，则不同的分配方法有 种(用数字作答).
14. 投掷一枚骰子，当出现5点或6点时，就说这次试验成功，记在30次试验中成功的次数为X,则E(X)= .
15. 已知数列{}的首项且满足若则n的最大值为 .
16. 在正方体ABCD -A B C D 中,点P满足 其中λ∈[0,1], μ∈[0,1],现有如下四个命题:
①存在λ,μ,使得B P∥平面A DC ;
②当λ=μ=1时,D P⊥平面A DC ;
③当λ=μ时,C P与平面A B C D 所成角的最小值为;
④若点P到直线BB 与到直线AD的距离相等，则点P 的轨迹是线段.
其中所有真命题的序号是 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文学说明、证明过程或演算步骤。
17. (10分)
在的展开式中，第2项、第3项、第4项的二项式系数成等差数列.
(1)求n的值;
(2)求展开式中含的项
18. (12分)
已知数列{}是等比数列，其前n项和为，且
(1)求数列{}的通项公式;
(2)若对任意的, 是和的等差中项,求数列前2n项和.
19. (12分)
如图,在四棱锥P -ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AD ∥BC,AP =AB =AD =1,且直线PB与CD所成角的大小为
(1)求BC的长;
(2)求二面角D -PB -C的余弦值.
20.(12分)
已知圆,点P是圆S上的动点，T是抛物线y =8x的焦点为PT的中点,过Q作QG⊥PT交PS于G,设点G的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)过S(-2，0)的直线l交曲线C于点M，N，若在曲线C上存在点A，使得四边形OMAN为平行四边形(O为坐标原点)，求直线l的方程.
21. (12分)
第40届中国洛阳牡丹文化节以“花开洛阳、青春登场”为主题，紧扣“颠覆性创意、沉浸式体验、年轻化消费、移动端传播”，组织开展众多文旅项目，取得了喜人的成绩，使洛阳成为最热门的全国“网红打卡城市”之一.其中“穿汉服免费游园”项目火爆“出圈”，倍受广大游客喜爱，带火了以“梦里隋唐尽在洛邑”为主的汉服体验活动.为了解汉服体验店广告支出和销售额之间的关系，在洛阳洛邑古城附近抽取7家汉服体验店，得到了广告支出与销售额数据如下：
体验店 A B C D E F G
广告支出／万元 3 4 6 8 11 15 16
销售额／万元 6 10 15 17 23 38 45
对进入G体验店的400名游客进行统计得知，其中女性游客有280人，女性游客中体验汉服的有180人，男性游客中没有体验汉服的有80人.
(1)请将下列2×2列联表补充完整，依据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为体验汉服与性别有关联；
性别 是否体验汉服 合计
体验汉服 没有体验汉服
女 180 280
男 80
合计 400
(2)设广告支出为变量x(万元)，销售额为变量y(万元)，根据统计数据计算相关系
数r，并据此说明可用线性回归模型拟合y与x的关系(若|r|>0.75，则线性相关程度很
强，可用线性回归模型拟合)；
(3)建立y关于x的经验回归方程，并预测广告支出为18万元时的销售额(精确到0.1).
附：参考数据及公式：
相关系数
在线性回归方程中 中
α 0.05 0.01 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
22. (12分)
已知函数(a为常数).
(1)若函数f(x)是增函数，求a的取值范围；
(2)设函数f(x)的两个极值点分别为的范围.洛阳市2022—2023学年高二质量检测
数学试卷（理）参考答案
一、选择题
CBDAC
CABBD
AB
二、填空题
13.240
14.10
15.1516.①②③
三、解答题
17.(1)展开式中第2项、第3项、第4项的二项式系数分别为C。,C,C,
依题意得2C2=C。+C,
…2分
即2.nn,1山=n+nm-)m-2,解得n=7(n=2舍去).
2
3·2
所以n=7.
…5分
(2)因为(2x+)展开式的通项为T=C(2x)()=2*Cx学，k=0,1,2,7,
√x
…7分
所以当4,3张=-2时，k=6,
…9分
2
所以合布醇的项为兰
…10分
18.(1)设a,的公比为4，则上-1=2，即1-1=
2
a1a19a19
解得g=2或g=-1.
…2分
若g=-1,则S6=0,与S6=63矛盾，不符合题意，∴q=2
3分
a(1-2
1-2
2二63，
.a1=1..an=2"-
…5分
(2):bn是log2a。和log2an+1的等差中项，
6.=2（ga.+lg:0）=2(log:2+o,2r）=n-号
…7分
.61-6,=1即6，是以)为首项，以1为公差的等差数列.
…8分
设{(-1)"b,2}的前2n项和为Tn,
则Tn=(-b2+b22)+(-b;2+b2)+…+(-b-2+bn2)
=b1+b2+b3+b4+…+b2m-1+b2m
…10分
b,+b2.2n=
n克n20
…12分
2
2
高二数学（理）答案第1页（共4页）(2023.6)
19.(1)以AB,AD,AP为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,因
为AP=AB=AD=1,
所以A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),…1分
设C(1,y,0),则PB=(1,0,-1),CD=(-1,1-y,0).
…2分
因为直线PB与CD所成角的大小为牙，
所以1cos
1=1P雪.Cd1
1Pi11cD=2,
3分
2×-示=号解得y=2,-0会.
即
所以C(1,2,0),.BC的长为2.
…5分
(2)设平面PBD的法向量为n1=(x,y,z).
因为PB=(1,0,-1),PD=(0,1,-1),
则P5·=0,即x- =0,
lPi.m,=0.y-z=0.
令x=1,则y=1,z=1,所以1=(1,1,1)，
…7分
同理求得平面PBC的一个法向量为2=(1,0,1)
9分
n1·n2
所以cos3’
…11分
三面角D-PB-C的余弦值为5
……12分
20.(1)由题意得T(2,0),且GQ是PT的中垂线，所以IPGI=IGTI,
又IGSI+1GTI=1GS1+1GPI=IPSI=2√6>4=ISTI,
…2分
所以点G的轨迹是以S,T为焦点的椭圆，
…3分
设桶圆方程为后+若=1(a>6>0),
因此a=6,c=2,所以b=√a2-c=2,
…4分
因此周线C的方程为后+号=1
…5分
②)易知直线1与坐标轴不垂直，设14x=行-2，代人后+兮=1
整理得(2+3)y2-4y-2=0,
…6分
设OA与MN交于点B,则B是OA,MW的中点，设M(x1,y),N(x2,y2),B(xo,ya),
则=力十业
2t
2
t2+3'
从而0=。-2=子+3
-6
…8分
所以点4的坐标为片
…9分
高二数学（理）答案第2页（共4页）(2023.6)