银滩高级中学2022-2023学年高二下学期6月月考
数学试题
一、单项选择题：
1. 若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，都是实数，那么“”是“”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 为研究变量，的相关关系，收集得到右面五个样本数据：若由最小二乘法求得关于的经验回归方程为，则据此计算残差为0的样本数据是（ ）
A. （23，2.4） B. （25，3）
C. （27，3） D. （30，4.6）
4. 国家三孩政策落地后，有一对夫妻生育了三个小孩，他们五人坐成一排，若爸妈坐两边，三个小孩坐在爸妈中间，则所有不同排法的种数为（ ）
A. B. C. D.
5. 设某工厂仓库中有10盒同样规格的零部件，已知其中有4 盒、3盒、3盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的．且甲、乙、丙三厂生产该种零部件的次品率依次为，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一个零部件，则取得的零部件是次品的概率为（ ）
A. 0.06 B. 0.07 C. 0.075 D. 0.08
6. 已知的展开式中常数项为20，则 （ ）
A. B. C. D.
7. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数为上的奇函数，为偶函数，则下列说法错误的是（ ）
A. 的图象关于直线对称 B.
C. 的最小正周期为4 D. 对任意的都有
多项选择题：
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若随机变量的概率分布列为，则
B. 若随机变量~， ，则
C. 若随机变量~，则
D. 在含有4件次品的10件产品中，任取件，表示取到的次品数，则．
10. 为响应政府部门疫情防控号召，某红十字会安排甲、乙、丙、丁四名志愿者
奔赴A，，C三地参加防控工作，则下列说法正确的是（ ）
A. 不同的安排方法共有64种
B. 若恰有一地无人去，则不同的安排方法共有42种
C. 若甲必须去A地，且每地均有人去，则不同的安排方法共有12种
D. 若甲 乙两人都不能去A地，且每地均有人去，则不同的安排方法共有14种
11. 若，，则（ ）
A. B.
C. D.
12. 已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，且对任意的，且，都有，则下列结论正确的是（ ）
A. 是奇函数 B.
C. 的图像关于对称 D.
三、填空题：
13. ，则的取值范围为__________．
14. 写出一个同时具有下列性质①②③的三次函数__________．
①为奇函数；②存在3个不同的零点；③在上单调递减．
15. 某科技公司生产一批同型号的光纤通信仪器，每台仪器的某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成．若元件1和元件2都正常工作，或元件3正常工作，则该部件正常工作．由大数据统计显示：三个电子元件的使用寿命（单位：时）均服从正态分布，且各个元件能否正常工作相互独立．现从这批仪器中随机抽取2000台检测该部件的工作情况（各部件能否正常工作相互独立），那么这2000台仪器中该部件的使用寿命超过10000小时的平均值为______台．
16. 设，是函数定义域的一个子集，若存在，使得在，上单调递增，在，上单调递减，则称为，上的单峰函数，为峰点．若为，上的单峰函数，则实数的取值范围为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程戓演算步骤．
17. 已知函数；
（1）若关于的不等式的解集为，求实数的值；
（2）存在，使得成立，求实数的取值范围．
18.某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产万件，需另投入流动成本万元，当年产量小于万件时，（万元）；当年产量不小于万件时，（万元）.已知每件产品售价为元，假若该同学生产的商品当年能全部售完.
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）
（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？（取）.
19. 某企业主管部门为了解企业某产品年营销费用x（单位：万元）对年销售量）（单位：万件）的影响，对该企业近5年的年营销费用和年销售量做了初步处理，得到的散点图及一些统计量的值如下：
150 525 1800 1200
根据散点图判断，发现年销售量y（万件）关于年营销费用x（万元）之间可以用进行回归分析．
（1）求y关于x的回归方程；
（2）从该产品的流水线上随机抽取100件产品，统计其质量指标值并绘制频率分布直方图：规定产品的质量指标值在的为劣质品，在的为优等品，在的为特优品，销售时劣质品每件亏损0.8元，优等品每件盈利4元，特优品每件盈利6元，以这100件产品的质量指标值位于各区间的频率代替产品的质量指标值位于该区间的概率．如果企业今年计划投入的营销费用为80万元，请你预报今年企业该产品的销售总量和年总收益．
附：①收益＝销售利润－营销费用；
②对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．
20. 为有效控制我国儿童和青少年近视发病率，提高儿童和青少年视力健康水平，教育部发文鼓励和倡导学生经常参加户外活动，积极参加体育锻炼乒乓球羽毛球等有益于眼肌锻炼的体育活动.某中学对学生参加羽毛球运动的情况进行调查，将每周参加羽毛球运动超过2小时的学生称为“羽毛球爱好者”，否则称为“非羽毛球爱好者”，从调查结果中随机抽取50份进行分析，得到数据如表所示：
（1）补全列联表，并判断是否有99%的把握认为是否为“羽毛球爱好者”与性别有关
（2）为了解学生的羽毛球运动水平，现从抽取的“羽毛球爱好者”学生中，按性别采用分层抽样的方法抽取三人，与体育老师进行羽毛球比赛.若男“羽毛球爱好者”获胜的概率为，女“羽毛球爱好者”获胜的概率为，三人比赛结果独立.记这三人获胜的人数为X，求X的分布列和数学期望.
21. 已知函数的图像记为曲线．
（1）过点A(2，0)作曲线的切线，若这样的切线有三条，求的取值范围；
（2）若对恒成立，求的最大值．
已知函数．
(1)当时，求的最大值；
(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．高二6月月考 数学试题 参考答案
一、单项选择题：
1. B2. D3. B4. B.5. C6. B
7. D【详解】因为，，，所以，．
8. C【详解】由的对称中心为，对称轴为，
则也关于直线对称且，A、D正确，
由A分析知：，故，
所以，
所以的周期为4，则，B正确；
但不能说明最小正周期为4，C错误；
二、多项选择题：
9. BD【详解】
A选项，由分布列的性质可知，解得，A错误；
B选项，若随机变量且，
则，B对；
C选项，若随机变量，则，C错；
D选项，由超几何分布的概率公式可得，D对.
10. BCD【详解】四人到三地去，一人只能去一地，方法数为，A错；
若恰有一地无人去，则不同的安排方法数是，B正确；
若甲必须去A地，且每地均有人去，则不同的安排方法数为，C正确；
若甲 乙两人都不能去A地，且每地均有人去，则不同的安排方法数为，D正确．
11. AB【详解】对于A，由为增函数知，A正确；对于B，由在为增函数知，B正确；
对于C，取，则，则，C错误；
对于D，易得，则，则，D错误.
12. BCD【详解】，即，则关于对称，C正确；
，即，关于对称，
所以，即周期为4，
且，即为偶函数，A错误；
则，B正确；
又，且，都有，即在上递增，
综上，在上递增，则上递减，故，D正确.
故选：BCD
三、填空题：
13. 【详解】由题设，可得.
14. （答案不唯一）
【详解】对于三次函数，显然定义域为R，，则为奇函数，满足①；
令，则，解得或，有3个不同的零点，满足②；
，当时，，则在上单调递减，满足③；故.
15. 【详解】根据正态分布性质得，每个元件寿命超过小时的概率为，先求每个部件不能正常工作为，于是能正常工作的概率为，由于每个部件能否正常工作相互独立，于是这2000台仪器的部件可近似看作二项分布，根据二项分布的期望，使用寿命超过小时的有.
16. 【详解】由得：，
令， ，则
当时，当时， 故在 单调递减，在 单调递增.所以当时，取最小值，且最小值为 ， 最小值为0.
若 ,则 ，此时，在 单调递减，在 单调递增.不符合单峰函数的定义.
当，则 ，此时存在 ，使得 ，当时，， 则，此时 单调递增，当时，，则，此时 单调递减，故满足单峰函数的定义，其中 是单峰区间， 是峰点.
故答案为：
四、解答题：
17. 【小问1详解】由题意知：1和是的两根，
故，，即，.
【小问2详解】存在，使得成立，
即存，使得成立，
即存在，使得成立，
当时，，当且仅当时取等号，
故，可得．
即实数取值范围为.
18.【详解】（1）因为每件产品售价为元，则万件商品销售收入为万元，
由题意可得，当时，；
当时，；
所以；
（2）由（1）可得，当，，
当且仅当时，等号成立；
当时，，则，
所以，当时，，即函数单调递增；当时， ，即函数单调递减；
所以当时，取得最大值；
综上，当时，取得最大值万元；
即当年产量为时，该同学的这一产品所获年利润最大，最大年利润是万元.
19. 【小问1详解】根据题意得，，
，，
y关于x的回归方程为.
【小问2详解】由（1）可知：当时，，即营销费用为80万元，该产品的销售总量约为180万件，
由频率分布直方图知，产品的质量指标值在、、的频率分别为、、，
以频率为概率可以估计：销售的180万件产品中，劣质品约为180×0.25=45（万件），
优等品约为180×0.65＝117（万件），特优品约为180×0.1＝18（万件），
估计今年企业该产品的总收益为：（万元），
所以，今年企业该产品的销售总量估计为180万件，年总收益估计为460万元.
20. 【小问1详解】补全的联列表如下：
羽毛球爱好者 非羽毛球爱好者 总计
男 20 6 26
女 10 14 24
总计 30 20 50
所以没有99%把握认为是否为“羽毛球爱好者”与性别有关.
【小问2详解】
由（1）得抽取的3人中2人为男生，1人为女生，X的可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
所以.
21. 【小问1详解】
∵，，∴
设切点为，则，
所以切线方程为
将点代入得
可化为
设∵，
令即，解得或；
令即，解得；
所以函数在上单调递减，在和上单调递增
∴的极值点0和2，
∵过点作曲线的切线，若这样的切线有三条， 有三个不同的实数根，由三次函数的图像得
∴，∴；所以
【小问2详解】
由得对恒成立，
①若，在单调递减，而 单调递增，显然不成立.
②若，则，
③若，则，
设函数，
令，即，解得；令，即，解得；
所以函数在上单调递减，在上单调递增
∴
设，∵
令，即，解得；
令，即，解得；
∴函数 在上单调递增，在上单调递减．
∴，即的最大值为，此时，.综上，的最大值为
22.【详解】（1）当时，，则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减；
所以；
（2），则，
当时，，所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，此时函数无零点，不合题意；
当时，，在上，，单调递增；
在上，，单调递减；
又，
由（1）得，即，所以，
当时，，
则存在，使得，
所以仅在有唯一零点，符合题意；
当时，，所以单调递增，又，
所以有唯一零点，符合题意；
当时，，在上，，单调递增；
在上，，单调递减；此时，
由（1）得当时，，，所以，
此时
存在，使得，
所以在有一个零点，在无零点，
所以有唯一零点，符合题意；
综上，a的取值范围为.
