菱形的性质[下学期]
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文档简介
一、教学目标：
（1）了解菱形的定义，并理解菱形和平行四边形、矩形的区别和联系；
（2）经历探索、猜想、证明的过程，理解菱形的性质定理及其证明，会计算菱形的面积；
（3）通过对菱形性质的探索的反思，获得解决问题的经验，积累解决问题的方法，养成科学严谨的思维习惯；
（4）通过对菱形性质的探索，强化转化思想，发展学生的数学应用意识和逻辑推理能力，促进其掌握说理的基本方法，培养学生合作交流、独立思考以及主动探究的习惯；
二、教学重点：菱形的概念及其性质；
三、教学难点：菱形性质的抽象、概括及其证明；
四、教学方法: 观察分析讨论相结合的方法
五、教学过程：
（一）、运用类比联想、运动的思维方式来探索菱形的概念和性质
1、复习平行四边形与矩形的关系及矩形的概念和性质
2、类比联想、运动生成菱形
平行四边形的一个内角变成直角时得到矩形；类似地，平行四边形的一条边按一定方向平移到特殊位置，使一组邻边相等时，则得到菱形。用教具演示这个过程，并引导学生准确叙述菱形的概念，强调平行四边形增加一个特定条件“一组邻边相等”就能得到菱形。突出①菱形是平行四边形；②一组邻边相等；
教具展示平行四边形、矩形、菱形各集合之间的关系
3、操作、观察、猜想、菱形的性质
（1）菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质．
对边平行且相等．
对角相等．
对角线互相平分．
（2）菱形又是特殊的平行四边形，因此，它又具有特殊的性质
将一个矩形的纸对折两次，剪开，再打开，就得到一个菱形。
观察得到的菱形，它是轴对称图形吗？有几条对称轴？对称轴之间有什么关系？你能出图中哪些线段或角相等？
学生通过动手操作（折纸、剪纸）观察、联想、比较，得出菱形是轴对称图形，它的对角线所在直线就是它的对称轴。它们互相垂直。
分析：相等的线段：AB=CD=AD=BC， OA=OC， OB=OD；
相等的角：∠DAB=∠BCD ， ∠ABC =∠CDA ，
∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90°，
∠1=∠2=∠3=∠4 ， ∠5=∠6=∠7=∠8；
引导学生观察菱形在边、角、对角线方面的特殊性质
①
②角：对角相等，邻角相等（与平行四边形相同）
③对角线：互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角（性质2）
说明：对于性质定理2，先让学生画出图中平行四边形和菱形的对角线。对比它们长度关系的区别，并用量角器每一条对角线所分的一对角来验证猜想。
4、根据概念证明性质
⑴性质1不需证明，主要证明性质2。引导学生画图，给出两个性质2的已知、求证，并进行严格证明。
已知：菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O
求证：AC⊥BD；AC平分∠BAD和∠BCD；BD平分∠ABC和∠ADC
分析：利用平行四边形对角线互相平分及等腰三角形三线合一的性质来简化证明过程，尽量避免证明三角形全等。
证明：∵四边形ABCD是菱形
∴AB=AD
在等腰△ABD中 ∵BO=OD
∴AC⊥BD，AC平分∠BAD。
同理 AC平分∠BCD；BD平分∠ABC和∠ADC。
引申：议一议
如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，
图有哪些特殊的三角形？
分析：等腰三角形有：△ABC ， △ DBC ， △ACD， △ABD；
直角三角形有：Rt△AOB， Rt△BOC，Rt△COD ， Rt△DOA；
全等三角形有：Rt△AOB ≌ Rt△BOC≌ Rt△COD ≌ Rt△DOA
△ABD≌△BCD ， △ABC≌△ACD
归纳：菱形的一条对角线把菱形分成四个全等的等腰三角形，两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形。
5、推导菱形的面积公式
由于菱形是特殊的平行四边形，一方面，它可以用一边乘以这边上的高来计算面积，另一方面，由于它的对角线互垂直平分，也可以有特殊的面积公式。
已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC=a，BD=b，求菱形的面积。
分析：将菱形分割成两个全等的等腰△ADC，△ABC，或分割成四个全等的直角△ADO，△ABO，△BCO，△DCO来计算面积，而全等图形的面积相等。
解：
得菱形的面积公式：,其中a,b是两条对角线的长
（二）、小结
1、菱形与平行四边形、矩形的关系：
2、菱形的定义、性质、面积公式。
四条边都相等
1 边:
对边平行
对角相等
②角:
邻角互补
菱形ABCD 互相垂直平分
③对角线:
平分内对角
④中心对称、轴对称
（学情分析）
通过对平行四边形及矩形的学习，学生已经掌握一些特殊四边形的特征和识别，但是学生的抽象思维、推理和综合分析能力还较差，本节主要通过学生的动手操作，多媒体辅助教学，小组讨论等培养学生的观察、猜想以及归纳知识能力，数学应用意识和团结合作精神。
（1）了解菱形的定义，并理解菱形和平行四边形、矩形的区别和联系；
（2）经历探索、猜想、证明的过程，理解菱形的性质定理及其证明，会计算菱形的面积；
（3）通过对菱形性质的探索的反思，获得解决问题的经验，积累解决问题的方法，养成科学严谨的思维习惯；
（4）通过对菱形性质的探索，强化转化思想，发展学生的数学应用意识和逻辑推理能力，促进其掌握说理的基本方法，培养学生合作交流、独立思考以及主动探究的习惯；
二、教学重点：菱形的概念及其性质；
三、教学难点：菱形性质的抽象、概括及其证明；
四、教学方法: 观察分析讨论相结合的方法
五、教学过程：
（一）、运用类比联想、运动的思维方式来探索菱形的概念和性质
1、复习平行四边形与矩形的关系及矩形的概念和性质
2、类比联想、运动生成菱形
平行四边形的一个内角变成直角时得到矩形；类似地，平行四边形的一条边按一定方向平移到特殊位置，使一组邻边相等时，则得到菱形。用教具演示这个过程，并引导学生准确叙述菱形的概念，强调平行四边形增加一个特定条件“一组邻边相等”就能得到菱形。突出①菱形是平行四边形；②一组邻边相等；
教具展示平行四边形、矩形、菱形各集合之间的关系
3、操作、观察、猜想、菱形的性质
（1）菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质．
对边平行且相等．
对角相等．
对角线互相平分．
（2）菱形又是特殊的平行四边形，因此，它又具有特殊的性质
将一个矩形的纸对折两次，剪开，再打开，就得到一个菱形。
观察得到的菱形，它是轴对称图形吗？有几条对称轴？对称轴之间有什么关系？你能出图中哪些线段或角相等？
学生通过动手操作（折纸、剪纸）观察、联想、比较，得出菱形是轴对称图形，它的对角线所在直线就是它的对称轴。它们互相垂直。
分析：相等的线段：AB=CD=AD=BC， OA=OC， OB=OD；
相等的角：∠DAB=∠BCD ， ∠ABC =∠CDA ，
∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90°，
∠1=∠2=∠3=∠4 ， ∠5=∠6=∠7=∠8；
引导学生观察菱形在边、角、对角线方面的特殊性质
①
②角：对角相等，邻角相等（与平行四边形相同）
③对角线：互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角（性质2）
说明：对于性质定理2，先让学生画出图中平行四边形和菱形的对角线。对比它们长度关系的区别，并用量角器每一条对角线所分的一对角来验证猜想。
4、根据概念证明性质
⑴性质1不需证明，主要证明性质2。引导学生画图，给出两个性质2的已知、求证，并进行严格证明。
已知：菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O
求证：AC⊥BD；AC平分∠BAD和∠BCD；BD平分∠ABC和∠ADC
分析：利用平行四边形对角线互相平分及等腰三角形三线合一的性质来简化证明过程，尽量避免证明三角形全等。
证明：∵四边形ABCD是菱形
∴AB=AD
在等腰△ABD中 ∵BO=OD
∴AC⊥BD，AC平分∠BAD。
同理 AC平分∠BCD；BD平分∠ABC和∠ADC。
引申：议一议
如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，
图有哪些特殊的三角形？
分析：等腰三角形有：△ABC ， △ DBC ， △ACD， △ABD；
直角三角形有：Rt△AOB， Rt△BOC，Rt△COD ， Rt△DOA；
全等三角形有：Rt△AOB ≌ Rt△BOC≌ Rt△COD ≌ Rt△DOA
△ABD≌△BCD ， △ABC≌△ACD
归纳：菱形的一条对角线把菱形分成四个全等的等腰三角形，两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形。
5、推导菱形的面积公式
由于菱形是特殊的平行四边形，一方面，它可以用一边乘以这边上的高来计算面积，另一方面，由于它的对角线互垂直平分，也可以有特殊的面积公式。
已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC=a，BD=b，求菱形的面积。
分析：将菱形分割成两个全等的等腰△ADC，△ABC，或分割成四个全等的直角△ADO，△ABO，△BCO，△DCO来计算面积，而全等图形的面积相等。
解：
得菱形的面积公式：,其中a,b是两条对角线的长
（二）、小结
1、菱形与平行四边形、矩形的关系：
2、菱形的定义、性质、面积公式。
四条边都相等
1 边:
对边平行
对角相等
②角:
邻角互补
菱形ABCD 互相垂直平分
③对角线:
平分内对角
④中心对称、轴对称
（学情分析）
通过对平行四边形及矩形的学习，学生已经掌握一些特殊四边形的特征和识别，但是学生的抽象思维、推理和综合分析能力还较差，本节主要通过学生的动手操作，多媒体辅助教学，小组讨论等培养学生的观察、猜想以及归纳知识能力，数学应用意识和团结合作精神。