必修1 第一章 集合与函数概念 1.3 函数的基本性质同步训练A卷（含详细解析）
一．选择题（共10小题）
1．已知函数y=x2﹣2x+8，那么（ ）
A． 当x∈（1，+∞）时，函数单调递增
B．当x∈（1，+∞）时，函数单调递减
C． 当x∈（﹣∞，﹣1）时，函数单调递增
D． 当x∈（﹣∞，3）时，函数单调递减
2．若函数f（x）=在（0，+∞）上为增函数，则a的取值范围是（ ）
A． （﹣∞，0） B．（0，+∞） C． R D．[﹣1，1]
3．函数f（x）=x2﹣3x+1在闭区间[﹣3，0]上的最大值、最小值分别是（ ）
A． 1， B．1， C．19，1 D．19，
21教育网
4．设f（x）、g（x）都是单调函数，有如下四个命题中，正确的命题是（ ）
①若f（x）单调递增，g（x）单调递增，则f（x）﹣g（x）单调递增；
②若f（x）单调递增，g（x）单调递减，则f（x）﹣g（x）单调递增；
③若f（x）单调递减，g（x）单调递增，则f（x）﹣g（x）单调递减；
④若f（x）单调递减，g（x）单调递减，则f（x）﹣g（x）单调递减．??
A． ①③? B．①④? C．②③? D．②④
5．下列函数中，既不是奇函数又不是偶函数，且在（﹣∞，0）上是增函数的是（ ）
A． f（x）=5x+2 B．f（x）= C．f（x）= D．f（x）=x2
6．函数f（x）是实数集R上的奇函数，若f（2）=2，则f（﹣2）=（ ）
A． 2 B．﹣2 C． 0 D．2或﹣2
7．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+2x，则f（﹣1）=（ ）
A． 1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
8．函数f（x）在区间（﹣2，3）上是增函数，则y=f（x+4）的递增区间是（ ）
A． （2，7） B．（﹣2，3） C．（﹣6，﹣1） D．（0，5）
9．已知函数f（x）=4x2﹣mx+5在区间[﹣2，+∞）上是增函数，则f（1）的范围是（ ）
A．f（1）≥25 B． f（1）=25 C．f（1）≤25 D． f（1）＞25
10．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=f（x）+1．则f（1）=（ ）
A． 0 B． 1 C． D．
二．填空题（共6小题）
11．已知函数f（x）=x2+3x﹣2，则函数f（x）的单调递减区间为 _________ ．
12．若函数f（x）=（m﹣1）x2+mx+3 （x∈R）是偶函数，则f（x）的单调减区间是 _________ ．2·1·c·n·j·y
13．已知函数f（x）=ax3+bx+2013，若f（2014）=4025，则f（﹣2014）的值为 _________ ．【来源：21·世纪·教育·网】
14．函数y=f（x）为偶函数，则函数y=f（x+1）的一条对称轴是 _________ ．
15．设函数y=f（x）满足：①y=f（x+1）是偶函数；②在[1，+∞）上为增函数，则f（﹣1）与f（2）的大小关系是 _________ ．www-2-1-cnjy-com
16．设f（x）是定义在R上的奇函数，且y=f（x）的图象关于直线对称，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）= _________ ．2-1-c-n-j-y
三．解答题（共5小题）
17．已知．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断并用定义证明函数f（x）的单调性．
18．已知函数，
（1） 证明f（x）在[1，+∞）上是增函数；
（2） 求f（x）在[1，4]上的最大值及最小值．
19．函数是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，且．
（1）求实数a，b，并确定函数f（x）的解析式；
（2）用定义证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数．
20．已知函数f（x）=mx2+nx+3m+n是偶函数，且其定义域为[m﹣1，2m]．
（1）求m，n的值；
（2）求函数f（x）在其定义域上的最大值．
21．已知函数y=f（x）在定义域[﹣1，1]上是奇函数，又是减函数．
（1）求证：对任意x1、x2∈[﹣1，1]，有[f（x1）+f（x2）]?（x1+x2）≤0；
（2）若f（2﹣a）＞0，求实数a的取值范围．
参考答案及解析
一．选择题（共10小题）
1．已知函数y=x2﹣2x+8，那么（ ）
2．若函数f（x）=在（0，+∞）上为增函数，则a的取值范围是（ ）
A． （﹣∞，0） B．（0，+∞） C． R D．[﹣1，1]
答案：A
解：函数f（x）=是一个反比例函数，
∵其在（0，+∞）上为增函数，
∴a＜0
故参数a的取值范围是（﹣∞，0）
故应选A．
3．函数f（x）=x2﹣3x+1在闭区间[﹣3，0]上的最大值、最小值分别是（ ）
A． 1， B．1， C．19，1 D．19，
答案：C
解：f（x）=x2﹣3x+1= ，由二次函数的性质可知，
函数f（x）=x2﹣3x+1[﹣3，﹣1]上是减函数，
所以，fmax(x)=f（﹣3）=19，fmin(x)=f（0）=1，
故最大值、最小值分别为19，1；
故选C．
4．设f（x）、g（x）都是单调函数，有如下四个命题中，正确的命题是（ ）
①若f（x）单调递增，g（x）单调递增，则f（x）﹣g（x）单调递增；
②若f（x）单调递增，g（x）单调递减，则f（x）﹣g（x）单调递增；
③若f（x）单调递减，g（x）单调递增，则f（x）﹣g（x）单调递减；
④若f（x）单调递减，g（x）单调递减，则f（x）﹣g（x）单调递减．??
故选C．
5．下列函数中，既不是奇函数又不是偶函数，且在（﹣∞，0）上是增函数的是（ ）
A． f（x）=5x+2 B．f（x）= C．f（x）= D．f（x）=x2
答案：A
解：A．f（x）=5x+2在定义域上单调递增，且为非奇非偶函数，满足条件．
B．f（x）=在（﹣∞，0）上无意义，不满足条件．
C．f（x）=在（﹣∞，0）上是减函数，不满足条件．
D．f（x）=x2是偶函数，不满足条件．
故选：A．
6．函数f（x）是实数集R上的奇函数，若f（2）=2，则f（﹣2）=（ ）
A． 2 B．﹣2 C． 0 D．2或﹣2
答案：B
解：∵函数f（x）是实数集R上的奇函数，
∴由奇函数的定义可得，f（﹣2）=﹣f（2）=﹣2，
故选B
7．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+2x，则f（﹣1）=（ ）
A． 1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
∵函数f（x）在区间〔﹣2，3〕上是增函数
∴y=f（x+4）增区间为（﹣2，3）向左平移4个单位，即增区间为（﹣6，﹣1）
故选C．
9．已知函数f（x）=4x2﹣mx+5在区间[﹣2，+∞）上是增函数，则f（1）的范围是（ ）
A．f（1）≥25 B． f（1）=25 C．f（1）≤25 D． f（1）＞25
答案：A
解：由y=f（x）的对称轴是x=，可知f（x）在[，+∞）上递增，
由题设只需≤﹣2?m≤﹣16，
∴f（1）=9﹣m≥25．
应选A．
10．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=f（x）+1．则f（1）=（ ）
A． 0 B． 1 C． D．
答案：D
解：由在R上的奇函数f（x），得到f（0）=0，再有f（x）满足f（x+2）=f（x）+1，得到：f（2）=f（0）+1=1，∴f（﹣2）=﹣f（2）=﹣1，∴f（﹣1+2）=f（﹣1）+1?f（1）=f（﹣1）+1，因为f（x）为奇函数，∴f（1）=f（﹣1）+1?f（1）=﹣f（1）+1?f（1）=．21世纪教育网版权所有
故选D．
二．填空题（共6小题）
11．已知函数f（x）=x2+3x﹣2，则函数f（x）的单调递减区间为 （﹣∞，﹣） ．
解：∵f（x）=x2+3x﹣2，∴f′（x）=2x+3，
令f′（x）=2x+3＜0可解得x＜﹣，
故函数f（x）的单调递减区间为：（﹣∞，﹣），
故答案为：（﹣∞，﹣）
12．若函数f（x）=（m﹣1）x2+mx+3 （x∈R）是偶函数，则f（x）的单调减区间是 [0，+∞） ．21cnjy.com
故答案为：[0，+∞）
13．已知函数f（x）=ax3+bx+2013，若f（2014）=4025，则f（﹣2014）的值为 1 ．21·cn·jy·com
解：∵f（x）=ax3+bx+2013，
∴f（x）﹣2013=ax3+bx，
设函数g（x）=ax3+bx，
∴g（﹣x）=﹣（ax3+bx）=﹣g（x），
∴g（x）为奇函数，
∴g（﹣2014）=﹣g（2014），
∵g（2014）=f（2014）﹣2013=4025﹣2013=2012，
∴g（﹣2014）=﹣g（2014）=f（﹣2014）﹣2013=﹣2012，
∴f（﹣2014）=2013﹣2012=1，
故答案为：1．
14．函数y=f（x）为偶函数，则函数y=f（x+1）的一条对称轴是 x=﹣1 ．
解：∵函数y=f（x）为偶函数
∴函数关于y轴即x=0对称
∵y=f（x）的图象向左平移一个单位可以得到函数y=f（x+1）的图象，
从而可得函数y=f（x+1）的图象关于x=﹣1对称
故答案为：x=﹣1．
15．设函数y=f（x）满足：①y=f（x+1）是偶函数；②在[1，+∞）上为增函数，则f（﹣1）与f（2）的大小关系是 f（﹣1）＞f（2） ．www.21-cn-jy.com
解：∵函数f（x）在（1，+∞）上为单调增函数
函数f（x+1）是偶函数，
∴f（﹣x+1）=f（x+1）
即函数f（x）的图象关于x=1对称
∴f （﹣1）=f（ 3），
根据函数f（x）在（1，+∞）上为单调增函数
∴f（2）＜f（ 3），即f（﹣1）＞f（2）
故答案为：f（﹣1）＞f（2）．
16．设f（x）是定义在R上的奇函数，且y=f（x）的图象关于直线对称，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）= 0 ．21·世纪*教育网
解：f（x）是定义在R上的奇函数，且y=f（x）的图象关于直线对称，
∴f（﹣x）=﹣f（x），，
∴f（﹣x）=f（1+x）=﹣f（x）f（2+x）=﹣f（1+x）=f（x），
∴f（0）=f（1）=f（3）=f（5）=0，f（0）=f（2）=f（4）=0，
所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=0
故答案为：0
三．解答题（共5小题）
17．已知．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断并用定义证明函数f（x）的单调性．
解：（1）要使函数有意义，则，即≥0，
解得0＜x≤1，则所求的定义域为（0，1]．
（2）f（x）在（0，1）内单调递减，证明如下：
设0＜x1＜x2≤1
则．
即f（x2）＜f（x1），∴函数f（x）在（0，1]上单调递减．
18．已知函数，
（1） 证明f（x）在[1，+∞）上是增函数；
（2） 求f（x）在[1，4]上的最大值及最小值．
（1）证明：在[1，+∞）上任取x1，x2，且x1＜x2
=
∵x1＜x2∴x1﹣x2＜0
∵x1∈[1，+∞），x2∈[1，+∞）∴x1x2﹣1＞0
∴f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）
故f（x）在[1，+∞）上是增函数
（2）解：由（I）知：
f（x）在[1，4]上是增函数
∴当x=1时，有最小值2；
当x=4时，有最大值
19．函数是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，且．
（1）求实数a，b，并确定函数f（x）的解析式；
（2）用定义证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数．
解：（1）若函数是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，
则f（﹣x）==﹣f（x）=﹣
解得b=0
又∵．
∴=
解得a=1
故
（2）任取区间（﹣1，1）上两个任意的实数m，n，且m＜n
则f（m）﹣f（n）==
∵m2+1＞0，n2+1＞0，m﹣n＜0，1﹣mn＞0
∴f（m）﹣f（n）＜0
即f（m）＜f（n）
∴f（x）在（﹣1，1）上是增函数
20．已知函数f（x）=mx2+nx+3m+n是偶函数，且其定义域为[m﹣1，2m]．
（1）求m，n的值；
（2）求函数f（x）在其定义域上的最大值．
解：（1）∵函数f（x）=mx2+nx+3m+n是偶函数，
∴函数的定义值关于原点对称，
又∵函数f（x）的定义域为[m﹣1，2m]．
∴m﹣1+2m=0，解得m=
又由f（﹣x）=mx2﹣nx+3m+n=f（x）=mx2+nx+3m+n
可得n=0
（2）由（1）得函数的解析式为：f（x）=x2+1，定义域为[﹣，]．
其图象是开口方向朝上，且以Y轴为对称轴的抛物线
当x=±时，f（x）取最大值
21．已知函数y=f（x）在定义域[﹣1，1]上是奇函数，又是减函数．
（1）求证：对任意x1、x2∈[﹣1，1]，有[f（x1）+f（x2）]?（x1+x2）≤0；
（2）若f（2﹣a）＞0，求实数a的取值范围．
（1）证明：∵x2∈[﹣1，1]，∴﹣x2∈[﹣1，1]，
设x1≤﹣x2，则∵函数y=f（x）是减函数，
∴f（x1）≥f（﹣x2），
∵函数y=f（x）是奇函数，
∴f（x1）≥﹣f（x2），
∴f（x1）+f（x2）≥0，
∵x1+x2≤0，
∴[f（x1）+f（x2）]?（x1+x2）≤0；
（2）解：由题意f（0）=0，则
∵f（2﹣a）＞0，
∴﹣1≤2﹣a＜0，
∴2＜a≤3．
必修1 第一章 集合与函数概念 1.3 函数的基本性质同步训练B卷（含详细解析）
一．选择题（共10小题）
1．函数f（x）=|x|和g（x）=x（2﹣x）的递增区间依次是（ ）
A． （﹣∞，0]，（﹣∞，1] B．（﹣∞，0]，[1，+∞）
C． [0，+∞），（﹣∞，1] D． [0，+∞），[1，+∞）
2．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是（ ）
A．y=x3 B． y=|x|+1 C． y=﹣x2+1 D． y=2﹣|x|
3．已知f（x）为R上的减函数，则满足的实数x的取值范围是（ ）
A． （﹣∞，1） B．（1，+∞）
C． （﹣∞，0）∪（0，1） D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）
4．函数y=的值域是（ ）
A． （0，1） B．（0，1] C．（﹣∞，1] D． [0，1]
5．已知x≥3，则y=x﹣的最小值为（ ）
A． 2 B． C．2 D．3
6．设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=（ ）
A． ﹣ B． ﹣ C． D．
7．已知函数y=f（x）满足：①y=f（x+1）是偶函数；②在[1，+∞）上为增函数．若x1＜0，x2＞0，且x1+x2＜﹣2，则f（﹣x1）与f（﹣x2）的大小关系是（ ）
A． f（﹣x1）＞f（﹣x2） B．f（﹣x1）＜f（﹣x2）
C． f（﹣x1）=f（﹣x2） D．f（﹣x1）与f（﹣x2）的大小关系不能确定
8．已知函数f（x）=3ax2+bx﹣5a+b是偶函数，且其定义域为[6a﹣1，a]，则a+b=（ ）21cnjy.com
A． B．﹣1 C．1 D．7
9．已知f（x）是偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，如果f（ax+1）≤f（x﹣2）在上恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． [﹣2，1] B．[﹣5，0] C．[﹣5，1] D．[﹣2，0]
10．定义符号函数sgnx=，设f（x）=?f1（x）+?f2（x），x∈[0，1]，若f1（x）=，f2（x）=2（1﹣x），则f（x）的最大值等于（ ）21·cn·jy·com
A． 2 B．1 C． D．
二．填空题（共6小题）
11．已知函数f（x）是偶函数，且f（x）在[0，+∞]是增函数，如果不等式f（a）≤f（1）恒成立，则实数a取值范围是 _________ ．2·1·c·n·j·y
12．已知定义域为R的函数f（x）在（﹣5，+∞）上为减函数，且函数y=f（x﹣5）为偶函数，设a=f（﹣6），b=f（﹣3），则a，b的大小关系为 _________ ．
13．已知奇函数f（x）的图象关于直线x=﹣2对称，当x∈[0，2]时，f（x）=2x，则f（﹣9）= ________ ．2-1-c-n-j-y
14．设函数f（x）的图象关于原点对称，且存在反函数f﹣1（x）．若已知f（4）=2，则f﹣1（﹣2）=_________ ．【来源：21cnj*y.co*m】
15．定义在R上的函数y=f（x）满足：f（﹣x）=﹣f（x），f（1+x）=f（1﹣x），当x∈[﹣1，1]时，f（x）=x3，则f（2007）的值是 _________ ．
16．函数的图象关于点 _________ 对称．
三．解答题（共5小题）
17．求函数f（x）=﹣++的最大值．
18．定义min{a，b}=，求函数f（x）=min{|x﹣2|+|2x+1|，﹣x2+3x+3}的最大值．21世纪教育网版权所有
19．设函数f（x）=x2﹣2a|x|（a＞0）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并写出x＞0时f（x）的单调增区间；
（2）若方程f（x）=﹣1有解，求实数a的取值范围．
20．已知函数f（x）=2x+a?2﹣x（a∈R）．
（1）讨论函数f（x）的奇偶性；
（2）若函数f（x）在（﹣∞，2]上为减函数，求a的取值范围．
21．已知函数f （x）=
（1）判断f （x）在区间（0，+∞）上的单调性，并证明；
（2）若关于x的方程f （x）=k有根在[2，3]内，求实数k的取值范围；
（3）若关于x的方程f （x）=k x2有四个不同的实数根，求实数k的取值范围．
参考答案及解析
一．选择题（共10小题）
1．函数f（x）=|x|和g（x）=x（2﹣x）的递增区间依次是（ ）
2．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是（ ）
A．y=x3 B． y=|x|+1 C． y=﹣x2+1 D． y=2﹣|x|
解：因为y=x3是奇函数，y=|x|+1、y=﹣x2+1、y=2﹣|x|均为偶函数，
所以选项A错误；
又因为y=﹣x2+1、y=2﹣|x|=在（0，+∞）上均为减函数，只有y=|x|+1在（0，+∞）上为增函数，www.21-cn-jy.com
所以选项C、D错误，只有选项B正确．
故选B．
3．已知f（x）为R上的减函数，则满足的实数x的取值范围是（ ）
A． （﹣∞，1） B．（1，+∞）
C． （﹣∞，0）∪（0，1） D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）
解：由已知得解得x＜0或x＞1，
故选D．
4．函数y=的值域是（ ）
A． （0，1） B．（0，1] C．（﹣∞，1] D． [0，1]
解：∵2x＞0，
∴2x+1＞1，
∴0＜＜1，即0＜y＜1．
∴函数y=的值域是（0，1）．
故选A．
5．已知x≥3，则y=x﹣的最小值为（ ）
A． 2 B． C．2 D．3
6．设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=（ ）
A． ﹣ B． ﹣ C． D．
解：∵f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），
∴=f（﹣ ）=﹣f（）=﹣2× （1﹣ ）=﹣，
故选 A．
7．已知函数y=f（x）满足：①y=f（x+1）是偶函数；②在[1，+∞）上为增函数．若x1＜0，x2＞0，且x1+x2＜﹣2，则f（﹣x1）与f（﹣x2）的大小关系是（ ）
A． f（﹣x1）＞f（﹣x2） B．f（﹣x1）＜f（﹣x2）
C． f（﹣x1）=f（﹣x2） D．f（﹣x1）与f（﹣x2）的大小关系不能确定
解：由y=f（x+1）是偶函数且把y=f（x+1）的图象向右平移1个单位可得函数y=f（x）得图象21·世纪*教育网
所以函数y=f（x）得图象关于x=1对称，即f（2+x）=f（﹣x）
因为x1＜0，x2＞0，且x1+x2＜﹣2
所以2＜2+x2＜﹣x1
因为函数在[1，+∞）上为增函数
所以f（2+x2）＜f（﹣x1）
即f（﹣x2）＜f（﹣x1）
故选A．
8．已知函数f（x）=3ax2+bx﹣5a+b是偶函数，且其定义域为[6a﹣1，a]，则a+b=（ ）【版权所有：21教育】
A． B．﹣1 C．1 D．7
9．已知f（x）是偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，如果f（ax+1）≤f（x﹣2）在上恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． [﹣2，1] B．[﹣5，0] C．[﹣5，1] D．[﹣2，0]
解：由题意可得|ax+1|≤|x﹣2|对恒成立，得x﹣2≤ax+1≤2﹣x
对恒成立，
从而且对恒成立，
∴a≥﹣2且a≤0，
即a∈[﹣2，0]，
故选D．
10．定义符号函数sgnx=，设f（x）=?f1（x）+?f2（x），x∈[0，1]，若f1（x）=，f2（x）=2（1﹣x），则f（x）的最大值等于（ ）21教育名师原创作品
A． 2 B．1 C． D．
解：①当x=时，==0，
因此f（x）=?f1（x）+?f2（x）=f1（x）+f2（x），
∵f1（x）=，f2（x）=2（1﹣x），
∴f（x）=x++（1﹣x）=
代入x=，得f（）=1；
②当x时，=1，=﹣1，
因此f（x）=?f1（x）+?f2（x）=f2（x）
∴f（x）=2（1﹣x），在区间（，+∞）内是减函数，所以f（x）＜2（1﹣）=1恒成立；
③当时，=﹣1，=1，
因此f（x）=?f1（x）+?f2（x）=f1（x），
∴f（x）=，在区间（﹣∞，）内是增函数，所以f（x）＜+=1恒成立．
综上所述，则f（x）的最大值等于1．
故选B
二．填空题（共6小题）
11．已知函数f（x）是偶函数，且f（x）在[0，+∞]是增函数，如果不等式f（a）≤f（1）恒成立，则实数a取值范围是 ﹣1≤a≤1 ．21教育网
12．已知定义域为R的函数f（x）在（﹣5，+∞）上为减函数，且函数y=f（x﹣5）为偶函数，设a=f（﹣6），b=f（﹣3），则a，b的大小关系为 a＞b ．
解：∵函数y=f（x﹣5）为偶函数，图象关于x=0对称
又∵由y=f（x﹣5）向左平移5个单位可得函数y=f（x）的图象
∴y=f（x）的图象关于x=﹣5对称
∵函数f（x）在（﹣5，+∞）上为减函数
∴a=f（﹣6）=f（﹣4）＞b=f（﹣3）
∴a＞b
故答案为：a＞b
13．已知奇函数f（x）的图象关于直线x=﹣2对称，当x∈[0，2]时，f（x）=2x，则f（﹣9）= ﹣2 ．
解；∵图象关于直线x=﹣2对称
∴f（﹣4﹣x）=f（x）
∵f（x）是奇函数
∴f（﹣x）=﹣f（x）
f（4+x）=﹣f（x+4）=f（x）
∴f（x+8）=f（x）
∴f（x）是以8为周期的周期函数．
f（﹣9）=﹣f（1）=﹣2
故答案为：﹣2
14．设函数f（x）的图象关于原点对称，且存在反函数f﹣1（x）．若已知f（4）=2，则f﹣1（﹣2）= ﹣4 ．21*cnjy*com
解：∵函数f（x）的图象关于原点对称，∴此此函数在定义域上是奇函数，
∵f（4）=2，∴f（﹣4）=﹣2，
由于存在反函数f﹣1（x），则f﹣1（﹣2）=﹣4．
故答案为：﹣4．
15．定义在R上的函数y=f（x）满足：f（﹣x）=﹣f（x），f（1+x）=f（1﹣x），当x∈[﹣1，1]时，f（x）=x3，则f（2007）的值是
﹣1 ．
解：∵f（﹣x）=﹣f（x），f（1+x）=f（1﹣x），
∴f（1+x）=﹣f（x﹣1）
∴f（x+3）=﹣f（x+1）
∴f（x+3）=f（x﹣1）
∴f（x）以4为周期
∴f（2007）=f（502×4﹣1）=f（﹣1）
∵当x∈[﹣1，1]时，f（x）=x3，
∴f（﹣1）=﹣1
所以f（2007）的值是﹣1
故答案为：﹣1
16．函数的图象关于点 （1，﹣1） 对称．
解：因为，
即函数的图象是由的图象先右移1个单位，再下移1个单位而得到，
而函数的图象的对称中心为（0，0）；
故所求对称点为（1，﹣1）．
故答案为：（1，﹣1）．
三．解答题（共5小题）
17．函数f（x）=﹣++的最大值为 ．
解：设 ，那么，
，
当且仅当t=2即x=1时等号成立，
故答案为．
18．定义min{a，b}=，求函数f（x）=min{|x﹣2|+|2x+1|，﹣x2+3x+3}的最大值．【来源：21·世纪·教育·网】
解：根据绝对值的意义，可得|x﹣2|+|2x+1|=…
①当x≥2时﹣x2+3x+3﹣（3x﹣1）=﹣x2+4≤0成立，此时|x﹣2|+|2x+1|＞﹣x2+3x+3，∴f（x）=﹣x2+3x+3； 21*cnjy*com
②当﹣＜x＜2时，﹣x2+3x+3﹣（x+3）=﹣x2+2x≤0在（﹣，0）成立，此时f（x）=﹣x2+3x+3．
﹣x2+3x+3﹣（x+3）=﹣x2+2x≥0在[0，2）成立，此时f（x）=x+3；
③当x时，﹣x2+3x+3﹣（﹣3x+1）=﹣x2+6x+2≤0在（﹣∞，﹣]成立，此时f（x）=﹣x2+3x+3；
所以f（x）=，…
可得函数在（﹣∞，0），（0，2）上是增函数，在（2，+∞）上是减函数
因此，当x≤0时，f（x）≤f（0）=3；当0＜x＜2时，f（x）＜f（2）=5；当x≥2时，f（x）≤f（2）=5．
综上所述，可得f（x）最大值为5． …
19．设函数f（x）=x2﹣2a|x|（a＞0）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并写出x＞0时f（x）的单调增区间；
（2）若方程f（x）=﹣1有解，求实数a的取值范围．
解：（1）由题意，函数f（x）=x2﹣2a|x|（a＞0）的定义域D=R，对于任意的x∈D，恒有f（﹣x）=x2﹣2ax=f（x），
所以函数f（x）是偶函数．
当x＞0时，函数f（x）=x2﹣2ax（a＞0）
且[a，+∞）?（0，+∞），所以此时函数f（x）的单调递增区间是[a，+∞）
（2）由（1）得函数f（x）是偶函数，所以我们只要求出x＞0时f（x）的最小值即可，当x＞0时，f（x）=（x﹣a）2﹣a2 所以f（x）min=﹣a2
只须﹣a2≤﹣1，即a≥1或a≤﹣
由于a＞0，所以a≥1时，方程f（x）=﹣1有解．
20．已知函数f（x）=2x+a?2﹣x（a∈R）．
（1）讨论函数f（x）的奇偶性；
（2）若函数f（x）在（﹣∞，2]上为减函数，求a的取值范围．
解：（1）∵f（x）=2x+a?2﹣x，
∴f（﹣x）=2﹣x+a?2x，
若f（x）为偶函数，则对任意的x∈R，都有f（x）=f（﹣x），
即2x+a?2﹣x=2﹣x+a?2x对任意的x∈R都成立．
化简可得（2x﹣2﹣x）（1﹣a）=0对任意的x∈R都成立．
由于2x﹣2﹣x不恒等于0，故有1﹣a=0，即a=1
∴当a=1时，f（x）是偶函数；
若f（x）为奇函数，则对任意的x∈R，都有f（x）=﹣f（﹣x），
即2x+a?2﹣x+2﹣x+a?2x=0，（2x+2﹣x）（1+a）=0对任意的x∈R都成立．
由于2x+2﹣x不恒等于0，故有1+a=0，即a=﹣1
∴当a=﹣1时，f（x）是奇函数，
综上可得当a=1时，f（x）是偶函数；
当a=﹣1时，f（x）是奇函数；
当a≠±1时，f（x）是非奇非偶函数．
（2）∵函数f（x）在（﹣∞，2]上为减函数，
∴对任意的x1＜x2≤2，都有f（x1）﹣f（x2）＞0，
即f（x1）﹣f（x2）=恒成立．
由，知恒成立，即恒成立．
由于当x1＜x2≤2时，
∴a≥4
21．已知函数f （x）=
（1）判断f （x）在区间（0，+∞）上的单调性，并证明；
（2）若关于x的方程f （x）=k有根在[2，3]内，求实数k的取值范围；
（3）若关于x的方程f （x）=k x2有四个不同的实数根，求实数k的取值范围．
（1）当x＞0时，f （x）= = ，利用单调性的定义设0＜x1＜x2，判定f（x1）与f（x2）的大小即可www-2-1-cnjy-com
（2）当x∈[2，3]时，f（x）= = 结合x∈[2，3]可求f（x）的范围，若f（x）=k在[2，3]上有解，则f（x）的范围即是k的范围【出处：21教育名师】
（3）f（x）=kx2有四个根，即 （*）有四个根，当x=0时，是方程（*）的1个根，则只要有3个不为0的根，而结合函数g（x）= 的图象可求
解：（1）当x＞0时，f （x）==
设0＜x1＜x2
∴
==
∵0＜x1＜x2
∴2（x1﹣x2）＜0，（2+x1）（2+x2）＞0
∴
∴f（x1）＜f（x2）
∴函数f（x）在（0，+∞）单调递增
（2）当x∈[2，3]时，f（x）==
∴4≤2+x≤5，
∴
∵f（x）=k在[2，3]上有解，则
（3）f（x）=kx2有四个根，即（*）有四个根
当x=0时，是方程（*）的1个根
则有3个不为0的根
而结合函数g（x）=的图象可知满足条件时有
∴k＞1
