2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）期末复习试题（选择性必修第二册第五章+选择性必修第三册）（含答案）

2022-2023学年高二第二学期期末复习
数学试题 （新人教A版选择性必修第二、三册）
范围：第二册第五章《一元函数的导数及其应用》、
第三册第六章《计数原理》、第七章《随机变量及其分布》、第八章《成对数据的统计分析》
一、单项选择题（每小题5分，共40分）
1、下列函数的求导正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2、为庆祝中国共青团成立100周年，某校计划举行庆祝活动，共有4个节目，要求A节目不排在第一个，则节目安排的方法数为（ ）
A. 9 B. 18 C. 24 D. 27
3、对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4、中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱，假设空间站要安排甲，乙，丙，丁4名航天员开展实验，其中天和核心舱安排2人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人，则甲乙两人安排在同一个舱内的概率为（ ）
A. B. C. D.
5、已知随机事件A，B的概率分别为，且，则下列说法中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6、下列说法正确的是（ ）
A. 若随机变量的概率分布列为，则
B. 若随机变量~， ，则
C. 若随机变量~，则
D. 在含有4件次品的10件产品中，任取件，表示取到的次品数，则
7、有甲、乙、丙三个工厂生产同一型号的产品，甲厂生产的次品率为，乙厂生产的次品率为，丙厂生产的次品率为，生产出来的产品混放在一起．已知甲、乙、丙三个工厂生产的产品数分别占总数的、、，任取一件产品，则取得产品为次品的概率是（ ）
A. B. C. D.
8、设函数，若方程有3个不同的实根，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（每小题5分，共20分，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）
9、已知由样本数据组成的一个样本，得到回归直线方程为，且，去除两个歧义点和后，得到新的回归直线的斜率为3．则下列说法正确的是（ ）
A. 相关变量x，y具有正相关关系
B. 去除两个歧义点后的回归直线方程为
C. 去除两个歧义点后，样本（4，8.9）的残差为
D. 去除两个歧义点后，随x值增加相关变量y值增加速度变小
10、为响应政府部门疫情防控号召，某红十字会安排甲、乙、丙、丁四名志愿者奔赴A，，C三地参加防控工作，则下列说法正确的是（ ）
A. 不同的安排方法共有64种
B. 若恰有一地无人去，则不同的安排方法共有42种
C. 若甲必须去A地，且每地均有人去，则不同的安排方法共有12种
D. 若甲 乙两人都不能去A地，且每地均有人去，则不同的安排方法共有14种
11、已知定义在R上的函数的导函数为，且，，则下列结论正确的有（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若是增函数，则是减函数
D. 若是减函数，则是增函数
12、已知的展开式中的所有项的二项式系数之和为64，记展开式中的第项的系
数为，二项式系数为，，则下列结论正确的是（ ）
A. 数列是等比数列
B. 数列所有项之和为729
C. 数列是等差数列
D. 数列的最大项为20
二、填空题（每小题5分，共20分）
13、已知函数在x＝1处取得极值，则a＝_________．
14、根据市气象灾害风险提示，5月12日～14日某市进入持续性暴雨模式，城乡积涝和质灾害风险极高，全市范围内降雨天气易涝点新增至36处.已知有包括甲乙在内的5个排水施工队前往3个指定易涝路口强排水（且每个易涝路口至少安排一个排水施工队），其中甲、乙施工队不在同个易涝路口，则不同的安排方法有
15、的展开式中的系数为
16、随着社会的发展与进步，人们更加愿意奉献自己的力量，积极参与各项志愿活动．某地单位甲有10名志愿者（其中8名男志愿者，2名女志愿者），单位乙有15名志愿者（其中9名男志愿者，6名女志愿者）．若从单位甲任选2名志愿者参加某项活动，则恰是一男一女志愿者的概率为____________；若从两单位任选一个单位，然后从中随机选1名志愿者参加某项活动，则该志愿者为男志愿者的概率为____________（以上两空用数字作答）．
三 解答题（共6小题，共计70分）
17．（10分）已知函数.
（1）求函数的极值；
（2）求函数在区间上的值域.
18、（12分）为惠普市民，鼓励市民消费，进一步优化消费供给，加快打造区域消费中心城市，某市开展“2022欢乐购”系列消费券发放活动，第一期活动在4月30日启动，持续至6月2日，全市市民可通过银联云闪付APP或“X市商务”公众号“促消费”菜单进入“2022欢乐购”活动主题界面领取消费券。从平台发布统计数据中随机选出200人，经统计这200人中通过“X市商务”公众号“促消费”菜单成功领取“欢乐购”消费券的有160人．将这160人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示：
（1）求a的值并估计这160人的平均年龄（每组数据以区间中点值作为代表）；
（2）把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，选出的200人中通过“银联闪付APP”成功领取“欢乐购”消费券的中老年人有26人，完成下列列联表并根据小概率值的独立性检验判断通过银联闪付APP或通过“X市商务”公众号“促消费”菜单领取“欢乐购”消费券与年龄有关？
通过银联闪付APP成功领券 通过“X市商务”公众号“促消费”菜单成功领券 合计
青少年
中老年
合计
附：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
19．（12分）甲、乙两名同学在对具有相关关系的两个变量进行回归分析时，得到如下数据.
4 6 8 10 12
4 12 24 50 72
甲发现表中散点集中在曲线附近（其中，是参数，且）.他先设，将表中数据进行转换，得到新的成对数据，再用一元线性回归模型拟合；乙根据数据得到线性回归方程为.
（1）列出新的数据表，并求；
（2）在统计学中，我们通常计算不同回归模型的残差平方和（残差平方和用表示）来判断拟合效果，越小，拟合效果越好.乙同学计算出其模型的残差平方和为143.6，请你计算甲同学模型的残差平方和，并比较拟合效果.
（参考公式：，.）
20、（12分）北京时间2022年12月04日20时09分，神舟十四号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十四号载人飞行任务取得圆满成功，全体中华儿女深感无比荣光.半年“出差”，神舟十四号航天员顺利完成全部既定任务，创造了实施径向交会对接、实施快速返回流程、利用空间站机械臂操作大型在轨飞行器进行转位试验等多项“首次”.为了回顾“感觉良好”三人组太空“出差亮点”，进一步宣传航空科普知识，某校组织了航空知识竞赛活动.活动规定初赛需要从8道备选题中随机抽取4道题目进行作答.假设在8道备选题中，小明正确完成每道题的概率都是且每道题正确完成与否互不影响，小宇能正确完成其中6道题且另外2道题不能完成.
（1）求小明至少正确完成其中3道题的概率；
（2）设随机变量表示小宇正确完成题目的个数，求的分布列及数学期望；
（3）现规定至少完成其中3道题才能进入决赛，请你根据所学概率知识，判断小明和小宇两人中选择谁去参加市级比赛（活动规则不变）会更好，并说明理由.
21、（12分）某市2022年初新建一家生产消毒液的工厂，质检部门现从这家工厂中随机抽取了100瓶消毒液进行检测，得到该厂所生产的消毒液的质量指标值的频率分布直方图如图所示（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表，视频率为概率）．设该厂生产的消毒液的质量指标值Z近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，并已求得．该厂决定将消毒液分为A、B、C级三个等级，其中质量指标值Z不高于14.55的为C级，高于62.35的为A级，其余为B级，请利用该正态分布模型解决下列问题：
（1）该厂近期生产了10万瓶消毒液，试估计其中B级消毒液的总瓶数；
（2）已知每瓶消毒液的等级与售价X（单位：元/瓶）的关系如下表所示：
等级 A B C
售价X 30 25 10
假定该厂一年消毒液的生产量为1000万瓶，且消毒液全都能销售出去．若每瓶消毒液的成本为20元，工厂的总投资为2千万元（含引进生产线、兴建厂房等一切费用在内），问：该厂能否在一年之内收回投资？试说明理由．
附：若，则，
，．
22、（12分）设函数.
（1）判断的单调性；
（2）若方程有两个相异实根，，求实数的取值范围，并证明：.
补充练习：
某市统计了该市近五年的环保投资额（万元）得下表：
年份 2017 20l8 20l9 2020 2021
年份代号 1 2 3 4 5
年环保投资额（万元） 12 20 35 48 55
以为解释变量，为响应变量，若用作为经验回归方程，则决定系数，若用作为经验回归方程，则决定系数.
（1）判断与哪一个更适合作为年环保投资额关于年份代号的经验回归方程，并说明理由；
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，求出关于年份代号的经验回归方程.
参考公式：对于一组数据，，…，，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
参考数据：，，.
参考答案
1、D 2、B 3、A 4、A 5、C 6、B 7、D 8、A
9、ABC 10、BCD 11、BD 12、BD
13、2 14、114 15、270
16、
17、解：（1）因为，
所以，
令得，
当或时，，
当时，，
所以当时，取得极大值，
当时，取得极小值.
（2）由（1）知：当时，取得极小值，
又，
所以函数在区间上的值域是.
18、解：（1）依题意，，解得，平均年龄为：
.
（2）假设通过银联闪付APP或通过“X市商务”公众号“促消费”菜单领取“欢乐购”消费券与年龄无关.
通过银联闪付APP成功领券 通过“X市商务”公众号“促消费”菜单成功领券 合计
青少年 14 96 110
中老年 26 64 90
合计 40 160 200
根据定义，，由表格可读出，有小概率值的独立性检验判断通过银联闪付APP或通过“X市商务”公众号“促消费”菜单领取“欢乐购”消费券与年龄有关.
19、解：（1）新数据对如下表：
4 6 8 10 12
1 2 3 5 6
因此，
则，
，所以.
（2）由（1）得：，当时，，
当时，，当时，，
当时，，当时，，
对应值表为：
4 12 24 50 72
3.2 12.6 27.2 47 72
因此，显然，
所以模型拟合效果好．
20、解：（1）记“小明至少正确完成其中3道题”为事件A，
则.
（2）的可能取值为2，3，4.
，
，
，
的分布列为：
2 3 4
数学期望
（3）由（1）知，小明进入决赛的概率为；
记“小宇至少正确完成其中3道题”为事件B，则；
因为，故小宇进决赛的可能性更大，所以应选择小宇去参加比赛.
21、解：（1）根据频率分布直方图的性质，可得甲厂所生产的消毒液的质量指标值的平均数为：
，
由题意，甲厂生产的消毒液的质量指标值Z近似地服从正态分布，
所以
，
又由，
所以可估计甲厂所生产的这10万瓶消毒液中，B级消毒液有84000瓶．
（2）设每瓶消毒液的利润为Y元，则Y的可能取值为10，5，，
可得
，
，
所以，
故Y的分布列为：
Y 10 5
P 0.00135 0.8400 0.15865
所以每瓶消毒液的平均利润为：
（元），
故生产一年消毒液所获利润为（千万元），
而2.6270（千万元）（千万元），所以该厂能在一年之内收回投资．
22、（1）解：，令有，故在上单调递增；
令有，故在上单调递减
（2）证明：由得，
令，则，
设，则，因为，所以恒成立，
函数在单调递减，而，故在上，，
单调递增，在上，，单调递减，
所以.且当趋近于0与正无穷大时，趋近于负无穷，
故方程恰有两个相异的实根只需：，
所以实数的取值范围是；
下证：，不妨设，则，，
所以，因为，
所以
，
令，则，
所以在上单调递增，所以当时，，
即，所以，所以.
补充练习答案
解：（1）由，可知的拟合效果更好，所以更适合作为年环保投资额关于年份代号的经验回归方程. . . . . . . . . . . 4分
（2）由表格数据，得，. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5分
，
，，……6分
由公式，得，. . . . . . . . . . . . . . . . . 9分
，. . . . . . . . . . . . . . . . . 11分
所以关于的经验回归方程为. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12分