课件52张PPT。2.3 幂函数自主学习 新知突破[问题1] 如果圣诞节卡片每张1元，那么买x张卡片需y元，则x与y的关系是什么？
[提示] y＝x.
[问题2] 如果正方形的边长为x，面积为y，则x与y的关系是什么？
[提示] y＝x2.[问题3] 如果正方形边长为x，体积为y，则x与y的关系是什么？
[提示] y＝x3.
[问题4] 如果正方形的面积为x，边长为y，则x与y的关系是什么？一般地，函数____________叫做幂函数，其中x是自变量，_____是常数．幂函数的概念y＝xαα幂函数与指数函数的区别幂函数的图象与性质{x|x≥0} {x|x≠0} {y|y≥0} {y|y≥0} {y|y≠0} 偶函数 奇函数 奇函数 (－∞，0) (0，＋∞) (0，＋∞) (0,0)，(1,1) (1,1) 幂函数的图象和性质1．下列结论正确的是( )
A．幂函数图象一定过原点
B．当α<0时，幂函数y＝xα是减函数
C．当α>1时，幂函数y＝xα是增函数
D．函数y＝x2既是二次函数，也是幂函数解析： 函数y＝x－1的图象不过原点，故A不正确；y＝x－1在(－∞，0)及(0，＋∞)上是减函数，故B不正确；函数y＝x2在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数，故C不正确．
答案： D合作探究 课堂互动幂函数的概念[思路探究]
1．判断一个函数是不是幂函数的依据是什么？
2．根据幂函数定义可知，题2中的字母应满足哪些条件？ [边听边记] (1)②⑦为指数函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数，故选B.
(2)∵y＝(m2－m－1)xm2－2m－3为幂函数，
∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.
当m＝2时，m2－2m－3＝－3，则y＝x－3，且有x≠0；
当m＝－1时，m2－2m－3＝0，则y＝x0，且有x≠0.
故所求幂函数的解析式为y＝x－3，{x|x≠0}或y＝x0，{x|x≠0}．
答案： (1)B 1.幂函数的判断方法
(1)幂函数同指数函数、对数函数一样，是一种“形式定义”的函数，也就是说必须完全具备形如y＝xα(α∈R)的函数才是幂函数．
(2)如果函数解析式以根式的形式给出，则要注意把根式化为分数指数幂的形式进行化简整理，再对照幂函数的定义进行判断．2．求幂函数解析式的依据及常用方法
(1)依据．
若一个函数为幂函数，则该函数应具备幂函数解析式所具备的特征，这是解决与幂函数有关问题的隐含条件．
(2)常用方法．
设幂函数解析式为f(x)＝xα，根据条件求出α.幂函数的图象[思路探究]
幂函数y＝xα的图象在第一象限有哪些不同类型？各有什么基本特征?幂函数的性质
比较两个幂的大小的关键是搞清底数与指数是否相同，若底数相同，利用指数函数的性质比较大小；若指数相同，利用幂函数的性质比较大小；若底数、指数均不同，考虑用中间值法．与幂函数有关的综合性问题[思路点拨] (1)解决与幂函数有关的综合性问题时，一定要考虑幂函数的定义．对于幂函数y＝xα，由于α值不同，所以其单调性和奇偶性不同．
(2)常见的求解幂函数的解析式的思路是利用幂函数的性质和已知条件得到幂指数满足的条件，从而求得解析式．与幂函数有关的综合性问题一般为利用单调性、奇偶性以及图象求解函数值域、不等式的解集等．高效测评 知能提升谢谢观看！第二章 2.3
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．下列结论中，正确的是( )
A．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1)
B．幂函数的图象可以出现在第四象限
C．当幂指数α取1,3，时，幂函数y＝xα是增函数
D．当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数
解析： 当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不通过原点，故选项A不正确；
因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα(α∈R)，y>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故选项B不正确；
当α＝－1时，y＝x－1在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但在它的定义域上不是减函数，故选项D不正确．
答案： C
2．下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是( )
A．y＝x B．y＝x4
C．y＝x－2 D．y＝x
解析： 函数y＝x定义域为(0，＋∞)，既不是奇函数也不是偶函数，故A不正确；
函数y＝x4是过点(0,0)，(1,1)的偶函数，
故B正确；
函数y＝x－2不过点(0,0)，故C不正确；
函数y＝x是奇函数，故D不正确．
答案： B
3．设a＝，b＝，c＝，则( )
A．a
C．b解析： 由y＝x是[0，＋∞)上的增函数，
∴<，
由y＝x是R上的减函数，
∴<.∴b答案： D
4．已知函数y＝xa，y＝xb，y＝xc的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为( )
A．cB．aC．bD．c解析： 由幂函数的图象特征知，c<0，a>0，b>0.
由幂函数的性质知，当x>1时，幂指数大的幂函数的函数值就大，则a>b.
综上所述，可知c答案： A
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知幂函数f(x)＝xm2－1(m∈Z)的图象与x轴，y轴都无交点，且关于原点对称，则函数f(x)的解析式是________．
解析： ∵函数的图象与x轴，y轴都无交点，
∴m2－1<0，解得－1∵图象关于原点对称，且m∈Z，
∴m＝0，∴f(x)＝x－1.
答案： f(x)＝x－1
6．已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如下表：
x
1
f(x)
1
则不等式f(|x|)≤2的解集是________．
解析： 由表中数据知＝α，∴α＝，∴f(x)＝x，
∴|x|≤2，即|x|≤4，故－4≤x≤4.
答案： {x|－4≤x≤4}
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．已知幂函数f(x)＝x－m2＋2m＋3(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数．求函数f(x)的解析式．
解析： ∵f(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数，∴－m2＋2m＋3>0，即m2－2m－3<0，－18．已知幂函数f(x)＝xa的图象经过点A.
(1)求实数a的值；
(2)用定义证明f(x)在区间(0，＋∞)内的单调性．
解析： (1)∵f(x)＝xa的图象经过点A，
∴a＝，
即2－a＝2，∴a＝－.
(2)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1则f(x2)－f(x1)＝x2－－x1－
＝－＝
＝.
∵x2>x1>0，∴x1－x2<0，
且·(＋)>0，
于是f(x2)－f(x1)<0，
即f(x2)(10分)已知幂函数f(x)＝ (m∈N*)．
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2)若函数还经过(2，)，试确定m的值，并求满足f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．
解析： (1)∵m∈N*，
∴m2＋m＝m×(m＋1)为偶数．
令m2＋m＝2k，k∈N*，则f(x)＝x＝，
∴定义域为[0，＋∞)，在[0，＋∞)上f(x)为增函数．
(2)∵＝，∴m2＋m＝2，
解得m＝1或m＝－2(舍去)，
∴f(x)＝x，令2－a>a－1≥0，可得1≤a<.
