课件45张PPT。第 三 章 函数的应用3.1 函数与方程
3.1.1 方程的根与函数的零点自主学习 新知突破[问题1] 填表：[提示] (－1,0)，(3,0) (1,0) 无交点
[问题2] 方程的根与对应函数的图象与x轴的交点有什么关系？
[提示] 方程的根等于对应函数的图象与x轴的交点的横坐标．1．理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系．(易混点)
2．会求函数的零点．(重点)
3．掌握函数零点的存在性定理并会判断函数零点的个数．(难点)1．零点的定义
对于函数y＝f(x)，把_____________________，叫做函数y＝f(x)的零点．函数的零点f(x)＝0的实数x2．方程的根与函数的零点的关系函数零点概念的理解
(1)函数y＝f(x)有零点，则零点一定在其定义域内．
(2)若c是函数y＝f(x)的零点，则有f(c)＝0.
(3)函数的零点不是点，是y＝f(x)与x轴交点的横坐标，即零点是个实数．函数零点的存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是____________的一条曲线，并且有__________________，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得__________，这个c也就是方程f(x)＝0的根．函数零点的判定连续不断f(a)·f(b)<0f(c)＝0零点存在性定理的适用条件
(1)判断零点是否存在是在闭区间[a，b]上进行的；
(2)函数y＝f(x)在[a，b]上的图象应是连续无间断的一条曲线；
(3)f(a)·f(b)<0是关键条件，即两端点的函数值必须异号；(4)由于函数f(x)在两端点的函数值f(a)，f(b)异号，则函数y＝f(x)的图象至少穿过x轴一次，即方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个根c.2．方程0.9x－x＝0的实数解的个数是( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析： 设f(x)＝0.9x－x，则f(x)为减函数，值域为R，故f(x)有1个零点，∴方程0.9x－x＝0有一个实数解．
答案： B4．当a取何值时，方程ax2－2x＋1＝0的一个根在(0,1)上，另一个根在(1,2)上．合作探究 课堂互动求函数的零点[思路探究]
1．函数的零点的本质是什么？
2．函数的零点与方程的根有何对应关系？ 函数零点的求法
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根；
(2)几何法：对于不能用求根公式的方程f(x)＝0，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．判断函数零点的所在区间[思路探究]
1．函数零点存在性定理的两个必备条件是什么？常采用怎样的策略来解决函数零点所在区间问题？
2．函数在区间(a，b)上存在唯一零点应具备什么条件？ 判断函数零点所在区间的三个步骤
(1)代：将区间端点代入函数求出函数的值．
(2)判：把所得函数值相乘，并进行符号判断．
(3)结：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点． 求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．判断函数零点的个数[思路探究]
能否直接求出函数零点的个数？若不能，可以考虑利用什么来判断零点的个数？ 确定函数零点个数的方法
(1)分解因式法：可转化为一元n次方程根的个数问题，一般采用分解因式法来解决．
(2)判别式法：可转化为一元二次方程根的个数问题，通常用判别式法来判断根的个数．
(3)图象法：指数函数和对数函数零点个数问题一般用图象法来解决．
(4)单调性法：常规方法不易判断时，可利用函数的单调性来判断函数零点的个数．3．函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4◎若函数f(x)＝x2－2ax＋2在区间[0,4]上至少有一个零点，求实数a的取值范围．高效测评 知能提升谢谢观看！第三章 3.1.1
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．函数y＝－x的零点是( )
A．2 B．－2
C．2，－2 D．(2，－2)
解析： 令－x＝0，得＝0，得x＝±2.
故函数y＝－x的零点是±2.
答案： C
2．函数f(x)＝ln x－(x2－4x＋4)的零点个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析： 函数f(x)＝ln x－(x2－4x＋4)的零点个数等价于g(x)＝x2－4x＋4与φ(x)＝ln x的交点个数．作出两个函数的图象，利用数形结合思想求解．
g(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2，在同一平面直角坐标系内画出函数φ(x)＝ln x与g(x)＝(x－2)2的图象(如图)．由图可得两个函数的图象有2个交点．
答案： C
3．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值表：
x
1
2
3
4
5
6
7
f(x)
123.5
21.5
－7.82
11.57
－53.7
－126.7
－129.6
那么函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
解析： 由表可知f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，
f(4)·f(5)<0.
∴f(x)在[1,6]上至少有3个零点．
故选B.
答案： B
4．已知x0是函数f(x)＝2x＋的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则( )
A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)<0，f(x2)>0
C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0
解析：在同一平面直角坐标系中画出函数y＝2x和函数y＝的图象，如图所示，由图可知函数y＝2x和函数y＝的图象只有一个交点，即函数f(x)＝2x＋只有一个零点x0，且x0>1.
因为x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，所以由函数图象可知，f(x1)<0，f(x2)>0.
答案： B
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知三个函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log2x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系为________．
解析： 由于f(－1)＝－1＝－<0，f(0)＝1>0，
故f(x)＝2x＋x的零点a∈(－1,0)．
∵g(2)＝0，故g(x)的零点b＝2；h＝－1＋＝－<0，h(1)＝1>0，
故h(x)的零点c∈，因此a
答案： a6．若函数f(x)＝2ax2－x－1在(0,1)上恰有一个零点，则a的取值范围是________．
解析： ∵f(x)＝0在(0,1)上恰有一个解，有下面两种情况：
①f(0)·f(1)<0或②且其解在(0,1)上，
由①得(－1)(2a－2)<0，∴a>1，
由②得1＋8a＝0，即a＝－，
∴方程－x2－x－1＝0，
∴x2＋4x＋4＝0，
即x＝－2?(0,1)应舍去，综上得a>1.
答案： a>1
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．已知函数f(x)＝2x－x2，问方程f(x)＝0在区间[－1,0]内是否有解，为什么？
解析： 因为f(－1)＝2－1－(－1)2＝－<0，f(0)＝20－02＝1>0，
而函数f(x)＝2x－x2的图象是连续曲线，所以f(x)在区间[－1，0]内有零点，即方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有解．
8．设x0是方程ln x＋x＝4的根，且x0∈(k，k＋1)，求正整数k.
解析： 设f(x)＝ln x＋x－4，则x0是其零点，f(1)＝ln 1＋1－4<0，f(2)＝ln 2＋2－4ln e－1＝0，f(2)·f(3)<0，故x0∈(2,3)，∴k＝2.
(10分)已知二次函数f(x)＝x2－2ax＋4，求在下列条件下，实数a的取值范围．
(1)零点均大于1；
(2)一个零点大于1，一个零点小于1；
(3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内．
解析： (1)因为方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得解得2≤a<.
(2)因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得f(1)＝5－2a<0，解得a>.
(3)因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得解得课件40张PPT。3.1.2 用二分法求方程的近似解自主学习 新知突破在一档娱乐节目中，主持人让选手在规定时间内猜某物品的价格，若猜中了，就把物品奖给选手．某次竞猜的物品为价格在500元～1 000元之间的一款手机，选手开始报价：
选手：750.
主持人：低了．
选手：800.
主持人：高了．
选手：760.
主持人：高了．选手：755.
主持人：高了．
选手：753.
主持人：高了．
选手：752.
主持人：祝贺你，答对了．
[问题] 物价竞猜体现了什么数学知识？
[提示] 二分法求近似值．1．会用二分法求方程的近似解．(重点)
2．明确精确度ε与近似值的区别．(易混点)
3．会判断函数零点所在的区间．(难点)1．二分法
对于在区间[a，b]上___________且____________的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间__________，使区间的两个端点逐步逼近_______，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．用二分法求方程的近似解连续不断f(a)·f(b)<0一分为二零点2．给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：
第一步：确定闭区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε.
第二步：求区间(a，b)的中点c.
第三步：计算f(c)．
(1)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；
(2)若f(a)·f(c)<0，
则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；(3)若f(c)·f(b)<0，
则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．
第四步：判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)，否则重复第二步至第四步．对二分法定义的理解
(1)二分法的基本思想：逼近思想；
(2)用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．解析： f(1.562 5)＝0.003>0，f(1.556 2)＝－0.029<0，方程3x－x－4＝0的一个近似解在(1.556 2,1.562 5)上，且满足精确度0.01，所以所求近似解可取为1.562 5.
答案： 1.562 54．求方程x2＝2x＋1的一个近似解(精确度0.1)．
解析： 设f(x)＝x2－2x－1，
∵f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0，
∴在区间(2,3)内，方程x2－2x－1＝0有一解，记为x0.
取2与3的平均数2.5，
∵f(2.5)＝0.25>0，∴2再取2与2.5的平均数2.25，
∵f(2.25)＝－0.437 5<0，∴2.25f(2.375)<0，f(2.5)>0?x0∈(2.375,2.5)；
f(2.375)<0，f(2.437 5)>0?x0∈(2,375,2.437 5)．
∵|2.375－2.437 5|＝0.062 5<0.1，
∴方程x2＝2x＋1的一个精确度为0.1的近似解可取为2.437 5.合作探究 课堂互动 下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( )二分法的概念[思路探究]
1．二分法的实质是什么？
2．函数具有零点与该函数的图象有何关系？解析： 利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号．在B中，不满足f(a)·f(b)<0，不能用二分法求零点，由于A、C、D中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．
答案： B 二分法的适用条件
判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．1．(1)下面关于二分法的叙述，正确的是( )
A．用二分法可求所有函数零点的近似值
B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位
C．二分法无规律可循
D．只有在求函数零点时才用二分法解析： (1)只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右函数值异号，才可以用二分法求函数的零点的近似值，故A错；二分法有规律可循，可以通过计算机来进行，故C错；求方程的近似解也可以用二分法，故D错．
(2)由图可知，图象与x轴有四个公共点，三个穿过x轴，共有4个零点，其中有3个变号零点，故选D.
答案： (1)B (2)D 用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零点．(精确度0.01)用二分法求函数零点的近似值[思路探究]
1．在用二分法求函数的零点时，将选取的初始区间等分的次数由哪个因素决定？
2．给定精确度ε，用二分法求函数f(x)的零点的初始区间是唯一的吗？ 解析： 经计算f(1)<0，f(1.5)>0，所以函数在[1,1.5]内存在零点x0.
取(1,1.5)的中点x1＝1.25，经计算f(1.25)<0，
因为f(1.5)·f(1.25)<0，所以x0∈(1.25,1.5)，如此继续下去，如下表：
因为|1.328 125－1.320 312 5|＝0.007 812 5<0.01，
所以函数f(x)＝x3－x－1精确度为0.01的一个近似零点可取为1.328 125. 1.用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则
(1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成)．
(2)取区间端点的平均数c，计算f(c)，确定有解区间是[m，c]还是[c，n]，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．
2．二分法求函数零点步骤的记忆口诀
定区间，找中点；中值计算两边看．
同号丢，异号算，零点落在异号间．
重复做，何时止，精确度来把关口．2．证明函数f(x)＝2x＋3x－6在区间[1,2]内有唯一零点，并求出这个零点(精确度0.1)． 用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解．(精确度0.1)用二分法求方程的近似解[思路探究]
1．方程f(x)＝0在区间[a，b]内有解应具备什么条件？
2．是否可按照用二分法求函数零点近似值的步骤来求方程f(x)＝0的近似解？[边听边记] 令f(x)＝2x3＋3x－3，
经计算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0，
所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，
即方程2x3＋3x＝3在(0,1)内有解．
取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，又f(1)>0，
所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解． 二分法的记忆口诀
函数连续值两端，相乘为负有零点，区间之内有一数，方程成立很显然．要求方程近似解，先看零点的区间，每次区间分为二，分后两端近零点．3．利用计算器，求方程lg x＝2－x的近似解(精确度0.1)．
解析： 作出y＝lg x，y＝2－x的图象可以发现，方程lg x＝2－x有唯一解，设为x0，并且在区间(1,2)内，
设f(x)＝lg x＋x－2，用计算器计算得f(1)<0，f(2)>0?x0∈(1,2)；f(1.5)<0，f(2)>0?x0∈(1.5,2)；
f(1.75)<0，f(2)>0?x0∈(1.75,2)；
f(1.75)<0，f(1.875)>0?x0∈(1.75,1.875)；
f(1.75)<0，f(1.812 5)>0?x0∈(1.75,1.812 5)．
因为|1.812 5－1.75|＝0.062 5<0.1，
所以方程的近似解可取为1.812 5.◎用二分法求方程x2－5＝0的一个非负近似解．(精确度为0.1)
【错解】 令f(x)＝x2－5，
因为f(2.2)＝2.22－5＝－0.16<0，
f(2.4)＝2.42－5＝0.76>0，
所以f(2.2)·f(2.4)<0，
说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0，取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，f(2.3)＝2.32－5＝0.29，
因为f(2.2)·f(2.3)<0，所以x0∈(2.2,2.3)．
再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25，f(2.25)＝0.062 5，
因为f(2.2)·f(2.25)<0，所以x0∈(2.2,2.25)，
同理可得x0∈(2.225,2.25)，(2.225,2.237 5)．
又f(2.225)≈－0.049 4，f(2.237 5)≈0.006 4，
且|0.006 4－(－0.049 4)|＝0.055 8<0.1，
所以原方程的近似正解可取为2.225.【错因】 本题错解的原因是对精确度的理解不正确，精确度ε满足的关系式为|a－b|<ε，而本题错解中误认为是|f(a)－f(b)|<ε.
【正解】 令f(x)＝x2－5，
因为f(2.2)＝－0.16<0，f(2.4)＝0.76>0，
所以f(2.2)·f(2.4)<0，
说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0，
取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，
f(2.3)＝0.29，因为f(2.2)·f(2.3)<0，所以x0∈(2.2,2.3)，
再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25，
f(2.25)＝0.062 5，
因为f(2.2)·f(2.25)<0，所以x0∈(2.2,2.25)，
由于|2.25－2.2|＝0.05<0.1，
所以原方程的近似正解可取为2.25.高效测评 知能提升谢谢观看！第三章 3.1.2
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．若函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,16)，(0,8)，(0,4)，(0,2)内，那么下列说法中正确的是( )
A．函数f(x)在区间(0,1)内有零点
B．函数f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点
C．函数f(x)在区间(2,16)内无零点
D．函数f(x)在区间(1,16)内无零点
答案： C
2．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算得f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________，以上横线上应填的内容分别为( )
A．(0,0.5)，f(0.25) B．(0.1)，f(0.25)
C．(0.5,1)，f(0.25) D．(0,0.5)，f(0.125)
解析： ∵f(0)<0，f(0.5)>0，∴f(0)·f(0.5)<0，故f(x)的一个零点x0∈(0,0.5)，利用二分法，则第二次应计算f＝f(0.25)．
答案： A
3．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋2(aA．αC．a<α解析：若令g(x)＝(x－a)(x－b)，显然函数g(x)的两个零点是a，b，函数f(x)的两个零点是α，β，而函数f(x)的图象是由函数g(x)的图象向上平移两个单位长度得到的，结合图象可知a<α<β答案： B
4．函数f(x)＝2ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象的交点个数为( )
A．3 B．2
C．1 D．0
解析： 作出两函数图象，利用数形结合思想求解．
∵g(x)＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1，
又当x＝2时，f(x)＝2ln 2＝ln 4>1，
在同一直角坐标系内画出函数f(x)＝2ln x与g(x)＝x2－4x＋5的图象，如图所示，可知f(x)与g(x)有两个不同的交点．故选B.
答案： B
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]上的近似解，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有解区间为________．
解析： 记f(x)＝x3－2x－5，
∵f(2)＝－1<0，f(2.5)＝f＝－10>0，
∴下一个有解区间为(2,2.5)．
答案： (2,2.5)
6．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)≈－0.984
f(1.375)≈－0.260
f(1.437 5)≈0.162
f(1.406 25)≈－0.054
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确度0.04)为________．
解析： 由参考数据知，f(1.406 25)≈－0.054，f(1.437 5)≈0.162，即f(1.406 25)·f(1.437 5)<0，且1.437 5－1.406 25＝0.031 25<0.04，所以方程的一个近似解可取为1.437 5.
答案： 1.437 5
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．已知函数f(x)＝3x＋在(－1，＋∞)上为增函数，求方程f(x)＝0的正根(精确度为0.01)．
解析： 由于函数f(x)＝3x＋在(－1，＋∞)上为增函数，故在(0，＋∞)上也单调递增，因此f(x)＝0的正根最多有一个．
因为f(0)＝－1<0，f(1)＝>0，所以方程的正根在(0,1)内，取(0,1)为初始区间，用二分法逐步计算，列出下表：
区间
中点值
中点函数近似值
(0,1)
0.5
0.732
(0,0.5)
0.25
－0.084
(0.25,0.5)
0.375
0.328
(0.25,0.375)
0.312 5
0.124
(0.25,0.312 5)
0.281 25
0.021
(0.25,0.281 25)
0.265 625
－0.032
(0.265 625,0.281 25)
0.273 437 5
－0.005 43
(0.273 437 5,0.281 25)
因为|0.273 437 5－0.281 25|＝0.007 812 5<0.01，所以方程的根的近似值可取为0.273 437 5，即f(x)＝0的正根约为0.273 437 5.
8．利用计算器，求函数f(x)＝lg x＋x－3的零点．(精确度0.1)
解析： f(x)＝lg x＋x－3，在同一坐标系中，作出y＝lg x和y＝3－x的图象，如图所示，观察图象可以发现lg x＝3－x有唯一解x1，且x1∈(2,3)，f(2)<0，f(3)>0，利用二分法，可列下表：
区间
中点值
中点函数近似值
(2,3)
2.5
－0.102 059 991
(2.5,3)
2.75
0.189 332 694
(2.5,2.75)
2.625
0.044 129 308
(2.5,2.625)
2.562 5
－0.028 836 126
(2.562 5,2.625)
由于|2.625－2.562 5|＝0.062 5<0.1，
所以f(x)的零点可取2.562 5.
(10分)在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条长10 km的线路，电线杆的间距为100 m．如何迅速查出故障所在呢？
解析： 如图所示，首先从AB线路的中点C开始检查，当用随身带的话机向两端测试时，发现AC段正常，判定故障在BC；再到BC段中点D检查，这次发现BD段正常，可见故障出在CD段；再到CD段中点E来检查……每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半．要把故障可能发生的范围缩小到100 m左右，查7次就可以了．
