第三章 3.2.1
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x>1)的函数关系是f1(x)＝x2，f2(x)＝2x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是( )
A．f1(x)＝x2 B．f2(x)＝2x
C．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2x
解析： 由增长速度可知，当自变量充分大时，指数函数的值最大，故选D.
答案： D
2．在某种金属材料的耐高温实验中，温度y(℃)随着时间t(min)变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示：
现给出下列说法：
①前5 min温度增加越来越快；
②前5 min温度增加越来越慢；
③5 min后温度保持匀速增加；
④5 min后温度保持不变．
其中说法正确的是( )
A．①④ B．②④
C．②③ D．①③
解析： 前5 min，温度y随x增加而增加，增长速度越来越慢；5 min后，温度y随x的变化曲线是直线，即温度匀速增加．故②③正确．故选C.
答案： C
3．若x∈(0,1)，则下列结论正确的是( )
A．2x>x>lg x B．2x>lg x>x
C．x>2x>lg x D．lg x>x>2x
解析： 结合y＝2x，y＝x及y＝lg x的图象易知，当x∈(0,1)时，2x>x>lg x.
答案： A
4．有一组实验数据如下表所示：
t
1
2
3
4
5
s
1.5
5.9
13.4
24.1
37
下列所给函数模型较适合的是( )
A．y＝logax(a>1) B．y＝ax＋b(a>1)
C．y＝ax2＋b(a>0) D．y＝logax＋b(a>1)
解析： 通过所给数据可知s随t增大，其增长速度越来越快，而A，D中的函数增长速度越来越慢，而B中的函数增长速度保持不变，故选C.
答案： C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．以下是三个变量y1，y2，y3随变量x变化的函数值表：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
…
y1
2
4
8
16
32
64
128
256
…
y2
1
4
9
16
25
36
49
64
…
y3
0
1
1.585
2
2.322
2.585
2.807
3
…
其中，关于x呈指数函数变化的函数是________．
解析： 从表格可以看出，三个变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y1的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y1呈指数函数变化，故填y1.
答案： y1
6．如图所示是一份统计图表，根据此图表得到的以下说法中，正确的是________．
①这几年人民生活水平逐年得到提高；
②人民生活费收入增长最快的一年是2010年；
③生活费价格指数上涨速度最快的一年是2011年；
④虽然2012年生活费收入增长是缓慢的，但由于生活费价格指数也略有降低，因而人民生活有较大的改善．
解析： 由题意，“生活费收入指数”减去“生活费价格指数”的差是逐年增大的，故①正确；“生活费收入指数”在2010～2011年最陡，故②正确；“生活费价格指数”在2011～2012年最平缓，故③不正确；由于“生活费价格指数”略呈下降，而“生活费收入指数”曲线呈上升趋势，故④正确，故选C.
答案： ①②④
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本为25元，因为在生产过程中，平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，所以工厂设计两个方案进行污水处理，并准备实施．
方案1：工厂污水先净化后再排出，每处理1立方米污水所耗原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30 000元；
方案2：工厂污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元排污费．
(1)若工厂每月生产3 000件产品，你作为厂长在不污染环境，又节约资金的前提下，应选择哪个处理污水的方案，请通过计算加以说明；
(2)若工厂每月生产6 000件时，你作为厂长又该如何决策呢？
解析： 设工厂生产x件产品时，依方案1的利润为y1，依方案2的利润为y2，则
y1＝(50－25)x－2×0.5x－30 000＝24x－30 000，
y2＝(50－25)x－14×0.5x＝18x.
(1)当x＝3 000时，y1＝42 000，y2＝54 000.
∵y1
(2)当x＝6 000时，y1＝114 000元，y2＝108 000元．
∵y1>y2，故应选择第1个方案处理污水．
8．函数f(x)＝1.1x，g(x)＝ln x＋1，h(x)＝x的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异(以1，a，b，c，d，e为分界点)．
解析： 由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)＝1.1x，曲线C2对应的函数是h(x)＝x，曲线C3对应的函数是g(x)＝ln x＋1.
由题图知，当x<1时，f(x)>h(x)>g(x)；
当1g(x)>h(x)；
当ef(x)>h(x)；
当ah(x)>f(x)；
当bg(x)>f(x)；
当cf(x)>g(x)；
当x>d时，f(x)>h(x)>g(x)．
?
(10分)某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，下面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润S(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和S与t之间的关系)．根据图象提供的信息解答下列问题：
(1)由已知图象上的三点坐标，求累积利润S(万元)与时间t(月)之间的函数关系式；
(2)求截止到第几月末公司累积利润可达到30万元；
(3)求第八个月公司所获利润是多少万元．
解析： (1)由二次函数图象可知，设S与t的函数关系式为
S＝at2＋bt＋c.
由题意，得
或或
无论哪个均可解得a＝，b＝－2，c＝0，
∴所求函数关系式为S＝t2－2t.
(2)把S＝30代入，得30＝t2－2t，
解得t1＝10，t2＝－6(舍去)，
∴截止到第10个月末公司累积利润可达到30万元．
(3)把t＝7代入，得S＝×72－2×7＝＝10.5(万元)，
把t＝8代入，得
S＝×82－2×8＝16(万元)，
则第八个月获得的利润为
16－10.5＝5.5(万元)，
∴第八个月公司所获利润为5.5万元．
第三章 3.2.2
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．某天0时，小鹏同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午时他的体温基本正常(正常体温约为37 ℃)，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫了．下面能大致反映出小鹏这一天(0时至24时)体温变化情况的图象是( )
解析： 观察选项A中的图象，体温逐渐降低，不符合题意；选项B中的图象不能反映“下午他的体温又开始上升”这一过程；选项D中的图象不能体现“下午他的体温又开始上升”与“直到半夜才感觉身上不那么发烫了”这一过程．
答案： C
2．已知A，B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地，则汽车离开A地的距离x关于时间t(小时)的函数解析式是( )
A．x＝60t
B．x＝60t＋50t
C．x＝
D．x＝
解析： 显然出发、停留、返回三个过程中行车的速度是不同的，故应分三段表示函数，选D.
答案： D
3．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到( )
A．300只 B．400只
C．600只 D．700只
解析： 将x＝1，y＝100代入y＝alog2(x＋1)得，100＝alog2(1＋1)，解得a＝100，所以x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300.
答案： A
4．用长度为24 m的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( )
A．3 m B．4 m
C．5 m D．6 m
解析： 设隔墙的长为x m，矩形面积为S，则S＝x·＝x(12－2x)＝－2x2＋12x＝－2(x－3)2＋18，
所以当x＝3时，S有最大值为18.
答案： A
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·(0.5)x＋b，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此厂3月份该产品产量为________．
解析： 由?
?y＝－2·(0.5)x＋2，
所以3月份产量为y＝－2·(0.5)3＋2＝1.75万件．
答案： 1.75万件
6．某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为y＝xα(α为常数)，其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为________万元．
解析： 由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入y＝xα中，即3α＝27，解得α＝3，故函数关系式为y＝x3.所以当x＝5时，y＝125(万元)．
答案： 125
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：
R(x)＝
其中x是仪器的月产量．
(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)
解析： (1)设月产量为x台，则总成本为20 000＋100x，从而f(x)＝
(2)当0≤x≤400时，
f(x)＝－(x－300)2＋25 000.
∴当x＝300时，有最大值为25 000；
当x>400时，
f(x)＝60 000－100x是减函数，
f(x)<60 000－100×400＝20 000<25 000.
∴当x＝300时，f(x)的最大值为25 000，
即每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25 000元．
8．一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.
(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
解析： (1)设每年砍伐面积的百分比为x(0则a(1－x)10＝a，即(1－x)10＝，
解得x＝1－.
(2)设经过m年剩余面积为原来的，则a(1－x)m＝a，
即＝，＝，解得m＝5，
故到今年为止，该森林已砍伐了5年．
(10分)甲、乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规律(总产量)进行调查，提供了两个方面的信息，分别得到如下两图．
甲调查表明：每个甲鱼池平均出产量从第一年1万只甲鱼上升到第六年2万只；
乙调查表明：甲鱼池个数由第一年30个减到第六年10个．
请你根据提供的信息说明：
(1)第二年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数；
(2)到第六年，这个县的甲鱼养殖业的规模比第一年是扩大了还是缩小了？说明理由．
(3)到哪一年这个县的甲鱼养殖业的规模最大？其最大值是多少？
解析： (1)年份用x表示，第一年即x＝1，每个甲鱼池的平均产量用y1表示，
甲鱼池的个数用y2表示．
由图象可知，y1和y2关于年份x的函数图象都是直线，故设
y1＝k1x＋b1，y2＝k2x＋b2.
由题意知，直线y1＝k1x＋b1经过点(1,1)和(6,2)，
则得k1＝0.2，b1＝0.8.
故y1＝0.2(x＋4)．
同理可得y2＝4.
当x＝2时，y1＝1.2，y2＝26，故第二年甲鱼池的个数为26个，全县出产甲鱼的总数为1.2×26＝31.2(万只)．
(2)第一年出产甲鱼总数为
1×30＝30(万只)，
第六年出产甲鱼总数为
2×10＝20(万只)，故规模缩小了．
(3)设第x年规模最大，即求
y1·y2＝0.2(x＋4)×4＝－0.8x2＋3.6x＋27.2的最大值．
当x＝－＝≈2时，
上式取最大值为－0.8×4＋3.6×2＋27.2＝31.2.
∴第二年规模最大，为31.2万只．
