课件56张PPT。知能整合提升1．集合中元素特征的认识
确定性、互异性、无序性是集合中元素的三个特征．
(1)确定性是指一个对象a和一个集合A，a∈A和a?A必居其一．它是确定一组对象能否构成集合的依据．
(2)互异性是指同一个集合中的元素是互不相同的．相同的对象归入同一集合时只能算作集合的一个元素．在解答含有参数的集合问题时，互异性是一个不可或缺的检验工具．
(3)无序性是指任意改变集合中元素的排列次序，它们仍然表示同一个集合．2．解读集合表示的三种方法
集合常用的表示方法有三种，即列举法、描述法和图示法，其中图示法包括Venn图法和数轴法两种．
(1)列举法是把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法．
使用列举法要注意：元素间用分隔号“，”且元素不能重复．(2)描述法是用集合所含元素的共同特征表示集合的方法．
使用描述法要注意：写清楚该集合中元素的代号(字母或用字母表示的元素符号)，准确说明该集合中元素的特征．
(3)Venn图法是指对给定的集合用封闭曲线的内部(常见的有圆和矩形)表示的方法．
Venn图表示集合时，要清楚集合中的元素是什么．
(4)数轴通常用来表示不等式的解集．使用时要注意空心点与实心点的区别．4．集合之间的关系与运算的注意点
(1)正确判断元素与集合、集合与集合之间的关系．
元素与集合之间的关系是属于与不属于的关系，集合与集合之间的关系是包含、真包含、相等的关系，要按照定义仔细区别．
(2)灵活运用集合与集合之间关系与运算的判断方法．
可将集合中的元素一一列举，直接观察得到；也可以根据定义判断；还可以借助数轴(集合中元素以不等式形式描述时)或Venn图判断．7．分段函数的深入理解
(1)分段函数是一个函数，而它的解析式表现为多个，依据定义域来分段．分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
(2)分段函数的图象由几个不同部分组成，画分段函数的图象要将各段图象画在同一坐标系中，并注意各图象端点的虚实．
(3)求函数值要“对号入座”，即先确定自变量所在定义域，再按对应解析式求值；求函数值对应的x值，要将函数值代入各解析式一一确定．8．细解函数的单调性与奇偶性
单调性与奇偶性是函数的两个珠联璧合的重要性质．它们之间的关系非常密切，相辅相成，但两者之间既有联系又有区别．
(1)单调性与奇偶性的区别
①函数的单调性是对定义域内的某个区间而言的，函数在某个区间上单调，并不能说明函数在其整个定义域上也单调；函数的奇偶性是对整个定义域而言的，是函数的整体性质．②函数的单调性反映了图象的增减变化；函数的奇偶性反映了图象的对称性：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．
③函数的单调性是在一定区间上讨论的，而对函数的奇偶性而言，其定义域可能是区间，也可能是离散的点．
(2)单调性与奇偶性的联系
奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上的单调性相同，偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上的单调性相反．(3)单调性与奇偶性应用的注意点
①若一个函数在两个不同的区间上具有相同的单调性，则区间之间应用“和”连接，而不能用“∪”．
②函数奇偶性的判断中应先求定义域，若定义域关于原点对称，再依据定义判断奇偶性．
③对于奇函数，若它在x＝0处有意义，则它的图象必过原点，即f(0)＝0.热点考点例析【点拨】 常用的集合表示方法有列举法、描述法和图示法，有限集常用列举法表示，而无限集常用描述法．描述法表示集合时，集合中元素的意义取决于它的“代表”元素，如：
A＝{y|y＝2x＋3}中的元素为函数y＝2x＋3的函数值，A为值域；
B＝{x|y＝2x＋3}中的元素为函数y＝2x＋3的自变量的取值，B为定义域；
C＝{(x，y)|y＝2x＋3}中的元素为方程y＝2x＋3的解，也可以看作函数y＝2x＋3图象上的点，C是解集或点集．集合表示方法及集合中元素的特性 已知集合M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，N＝{y|y＝x＋1，x∈R}，则M∩N等于( )
A．(0,1)，(1,2) B．{(0,1)，(1,2)}
C．{y|y＝1或y＝2} D．{y|y≥1}
[思维点击] 解答本题首先要分清集合中的代表元素，然后求出其取值范围，再求交集．解析： (1)集合A中的元素为数，即表示二次函数y＝x2自变量的取值集合；集合B中的元素为点，即表示抛物线y＝x2上的点的集合．这两个集合不可能有相同的元素，故A∩B＝?.
(2)集合A中的元素是点集，
∵x∈N，y∈N，x＋y≤1，
∴满足条件的点为(0,0)，(0,1)，(1,0)共3个．即集合A中元素的个数为3.
答案： (1)? (2)C【点拨】 集合间的关系及运算是集合的核心，解决此类问题，应从元素入手，弄清元素与集合、集合与集合之间的关系，对于含有参数的问题经常进行等价转化，一般先化简集合，然后利用数形结合来解决．集合的关系及运算 已知集合A＝{x|x<－1或x≥1}，B＝{x|2a
[思维点击] 欲求参数a的取值范围，需建立关于a的不等式．由B?A可得端点之间的不等关系，进而求a的范围．【点拨】 研究函数性质往往从定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性入手，分析函数的图象及其变化趋势，从近几年高考形势来看，对函数性质的考查体现了“小” “巧”“活”的特征，解题时应注重上述性质间的融合．函数的性质及应用3．已知函数f(x)，x∈R对任意的实数a，b都有f(ab)＝f(a)＋f(b)，且当x>1时，f(x)>0，f(2)＝1.
(1)试判断函数f(x)的奇偶性；
(2)求证：函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数．【点拨】 函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图象能够掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性等．反之，掌握好函数的性质，有助于图象的正确画出．函数图象及应用 设函数f(x)＝x2－2|x|－1(－3≤x≤3)．
(1)证明：f(x)是偶函数；
(2)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数；
(3)求函数的值域．
[思维点击] 解答本题首先根据f(－x)与f(x)的关系判断奇偶性，然后讨论x的范围，写出相应解析式，画出函数图象，根据图象判断单调区间，求值域．解析： 令g(x)＝a，f(x)＝|x2＋2x－3|.如图所示，f(x)的图象是将y＝x2＋2x－3的图象在x轴及其上方的部分不变，x轴下方的部分以x轴为对称轴，对称地翻折到上方．
由图可知：当a<0时，原方程无实根；
当a＝0时，原方程有2个实根；
当0当a＝4时，原方程有3个实根；
当a>4时，原方程有2个实根．1．已知A＝{x|x＋1>0}，B＝{－2，－1,0,1}，则(?RA)∩B＝( )
A．{－2，－1} B．{－2}
C．{－1,0,1} D．{0,1}
解析： 解不等式求出集合A，进而得?RA，再由集合交集的定义求解．
因为集合A＝{x|x>－1}，所以?RA＝{x|x≤－1}，
则(?RA)∩B＝{x|x≤－1}∩{－2，－1,0,1}＝{－2，－1}．
答案： A章末质量评估谢谢观看！第一章 集合与函数概念
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知f(x)＝则f(f(2))＝( )
A．－7 B．2
C．－1 D．5
解析： f(2)＝－2×2＋3＝－1，
f(f(2))＝f(－1)＝(－1)2＋1＝2.
答案： B
2．已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( )
A．1 B．3
C．5 D．9
解析： 用列举法把集合B中的元素一一列举出来．
当x＝0，y＝0时，x－y＝0；当x＝0，y＝1时，x－y＝－1；
当x＝0，y＝2时，x－y＝－2；当x＝1，y＝0时，x－y＝1；
当x＝1，y＝1时，x－y＝0；当x＝1，y＝2时，x－y＝－1；
当x＝2，y＝0时，x－y＝2；当x＝2，y＝1时，x－y＝1；
当x＝2，y＝2时，x－y＝0.根据集合中元素的互异性知，B中元素有0，－1，－2,1,2，共5个．
答案： C
3．已知全集为R，集合A＝{x|y＝}，B＝{x|x2－6x＋8≤0}，则A∩?RB＝( )
A．{x|x≤0} B．{x|2≤x≤4}
C．{x|0≤x<2或x>4} D．{x|0解析： 先化简集合A，B，再借助数轴进行集合的交集运算．
A＝{x|y＝}＝{x|x≥0}，B＝{x|x2－6x＋8≤0}＝{x|2≤x≤4}，所以?RB＝{x|x<2或x>4}，于是A∩?RB＝{x|0≤x<2或x>4}．
答案： C
4．设集合A＝{－1,3,5}，若f：x→2x－1是集合A到集合B的映射，则集合B可以是( )
A．{0,2,3} B．{1,2,3}
C．{－3,5} D．{－3,5,9}
解析： 注意到题目中的对应法则，将A中的元素－1代入得－3，3代入得5,5代入得9，故选D.
答案： D
5．下列四个函数中，在(－∞，0)上是增函数的为( )
A．f(x)＝x2＋4 B．f(x)＝3－
C．f(x)＝x2－5x－6 D．f(x)＝1－x
解析： A，C，D中函数在(－∞，0)上是减函数；B中函数f(x)＝3－在(－∞，0)上是增函数．故选B.
答案： B
6．(2014·杭州模拟)设函数f(x)＝若f(a)＋f(－1)＝2，则a＝( )
A．±1 B．±3
C．－1 D．－3
解析： ∵f(a)＋f(－1)＝2，且f(－1)＝＝1，
∴f(a)＝1，当a≥0时，f(a)＝＝1，∴a＝1；
当a<0时，f(a)＝＝1，∴a＝－1.
答案： A
7．已知函数f＝x2＋，则f(3)＝( )
A．8 B．9
C．11 D．10
解析： ∵f＝2＋2，
∴f(3)＝9＋2＝11.
答案： C
8．(2014·衡水高一检测)下列各组中的两个函数是同一函数的为( )
(1)y＝，y＝x－5.
(2)y＝，y＝.
(3)y＝x，y＝.(4)y＝x，y＝.
(5)y＝()2，y＝2x－5.
A．(1)，(2) B．(2)，(3)
C．(4) D．(3)，(5)
解析： (1)中的y＝与y＝x－5定义域不同．(2)中两个函数的定义域不同．(3)中第1个函数的定义域、值域都为R，而第2个函数的定义域是R，但值域是{y|y≥0}．(5)中两个函数的定义域不同，值域也不同．(4)中显然是同一函数．
答案： C
9．一辆中型客车的营运总利润y(单位：万元)与营运年数x(x∈N)的变化关系如下表所示，要使总利润达到最大值，则该客车的营运年数是( )
x(年)
4
6
8
…
y＝ax2＋bx＋c
7
11
7
…
A.9 B．6
C．15 D．10
解析： 表中给出了二次函数模型y＝ax2＋bx＋c.显然，二次函数的图象经过点(4,7)，(6,11)，(8,7)，则解得即y＝－x2＋12x－25，易知x＝6时，y取得最大值．
答案： B
10．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为( )
A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)
解析： 由f(x)为奇函数可知，＝<0.
而f(1)＝0，则f(－1)＝－f(1)＝0.
当x>0时，f(x)<0＝f(1)；
当x<0时，f(x)>0＝f(－1)．
又∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
∴奇函数f(x)在(－∞，0)上为增函数．
所以，0答案： D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
11．当A，B是非空集合，定义运算A－B＝{x|x∈A，且x?B}，若M＝{x|y＝}，N＝{y|y＝x2，－1≤x≤1}，则M－N＝________.
解析： 集合M：{x|x≤1}，
集合N：{y|0≤y≤1}，
∴M－N＝{x|x∈M且x?N}＝{x|x<0}．
答案： {x|x<0}
12．设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x＋b＋1(b为常数)，则f(－1)＝________.
解析： ∵f(x)为定义在R上的奇函数，
∴f(0)＝0，求得b＝－1，
∴f(－1)＝－f(1)＝－(1＋2－1＋1)＝－3.
答案： －3
13．若函数f(x)＝kx2＋(k－1)x＋2是偶函数，则f(x)的递减区间是________．
解析： ∵f(x)是偶函数，
∴f(－x)＝kx2－(k－1)x＋2＝kx2＋(k－1)x＋2＝f(x)，
∴k＝1，∴f(x)＝x2＋2，其递减区间为(－∞，0]．
答案： (－∞，0]
14．(2014·哈师大附中上学期高一月考)下列命题中所有正确的序号是________．
①A＝B＝N，对应f：x→y＝(x＋1)2－1是映射；
②函数f(x)＝＋和y＝＋都是既奇又偶函数；
③已知对任意的非零实数x都有f(x)＋2f＝2x＋1，则f(2)＝－；
④函数f(x－1)的定义域是(1,3)，则函数f(x)的定义域为(0,2)；
⑤函数f(x)在(a，b]和(b，c)上都是增函数，则函数f(x)在(a，c)上一定是增函数．
解析： ①对任意一个x∈N，(x＋1)2－1∈N，所以此对应是映射；
②y＝＋的定义域是{1}，不关于原点对称，所以不具备奇偶性；
③令x＝2，得f(2)＋2f＝5，
令x＝，得f＋2f(2)＝2，
∴可得f(2)＝－；
④∵f(x－1)的定义域是(1,3)，∴0即f(x)的定义域是(0,2)；
⑤无法确定f(x)在(a，c)一定是增函数．
答案： ①③④
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)设集合A＝{x|0(1)A∩B＝?；
(2)A∪B＝B.
解析： 因为A＝{x|0所以A＝{x|m(1)当A∩B＝?时，有解得m＝0.
(2)A∪B＝B时，有A?B，所以m≥3或m＋3≤0，解得m≥3或m≤－3.
16．(本小题满分12分)已知奇函数f(x)＝
(1)求实数m的值；
(2)画出函数图象；
(3)若函数f(x)在区间[－1，|a|－2]上单调递增，试确定a的取值范围．
解析： (1)当x<0时，－x>0，
f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又∵f(x)为奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)＝－x2－2x，
所以f(x)＝x2＋2x，则m＝2.
(2)由(1)知f(x)＝
函数f(x)的图象如图所示．
(3)由图象可知f(x)在[－1,1]上单调递增，要使f(x)在[－1，|a|－2]上单调递增，只需－1<|a|－2≤1，
即1<|a|≤3，
解得－3≤a<－1或117．(本小题满分12分)已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)＝f(2)＝3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若f(x)在区间[2a，a＋1]上不单调，求实数a的取值范围；
(3)在区间[－1,1]上，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋2m＋1的图象上方，试确定实数m的取值范围．
解析： (1)由题意设f(x)＝a(x－1)2＋1，代入(2,3)得a＝2，
所以f(x)＝2(x－1)2＋1＝2x2－4x＋3.
(2)对称轴为x＝1，所以2a<1(3)f(x)－2x－2m－1＝2x2－6x－2m＋2，
由题意得2x2－6x－2m＋2>0对于任意x∈[－1,1]恒成立，
所以x2－3x＋1>m对于任意x∈[－1,1]恒成立，令g(x)＝x2－3x＋1，x∈[－1,1]，
则g(x)min＝－1，所以m<－1.
18．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f＝.
(1)确定函数f(x)的解析式；
(2)当x∈(－1,1)时判断函数f(x)的单调性，并证明；
(3)解不等式f(2x－1)＋f(x)<0.
解析： (1)由题意可知f(－x)＝－f(x)，
∴＝－，
∴b＝0，∴f(x)＝.
又∵f＝，∴a＝1，
∴f(x)＝.
(2)当x∈(－1,1)时，函数f(x)是单调递增的．
证明如下：设任意的－1则f(x1)－f(x2)＝－＝
＝.
∵－1∴x1－x2<0,1－x1x2>0.
又1＋x>0,1＋x>0，
∴<0，
即f(x1)－f(x2)<0，∴函数f(x)为增函数．
(3)∵f(2x－1)＋f(x)<0，
∴f(2x－1)<－f(x)．
又f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，
∴f(2x－1)∴∴0∴不等式f(2x－1)＋f(x)<0的解集为.
