第二章 基本初等函数(Ⅰ)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合M是函数y＝lg(1－x)的定义域，集合N＝{y|y＝ex，x∈R}(e为自然对数的底数)，则M∩N＝( )
A．{x|x<1} B．{x|x>1}
C．{x|0
解析： 要使lg(1－x)有意义，则有1－x>0，即x<1，即M＝(－∞，1)，又由y＝ex的值域为(0，＋∞)可知N＝(0，＋∞)，因此M∩N＝(0,1)．
答案： C
2．函数y＝2－|x|的大致图象是( )
解析： y＝2－|x|＝
函数是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增．故选C.
答案： C
3．等于( )
A．2＋ B．2
C．2＋ D．1＋
解析：
答案： B
4．已知f(x3)＝lg x，则f(2)等于( )
A．lg 2 B．lg 8
C．lg D.lg 2
解析： 令x3＝2，则x＝，∴f(2)＝lg＝lg 2.
答案： D
5．若f(x)＝(2a－1)x是增函数，那么a的取值范围为( )
A．a>1 B．a≥1
C．a< D.解析： 若f(x)＝(2a－1)x是增函数，则2a－1>1，即a>1.
答案： A
6．已知函数f(x)＝若f(a)＝，则实数a＝( )
A．－1 B．－1或
C. D．1或－
解析： 由log2a＝得a＝>0，合适；
由2a＝得a＝log2＝－1<0，合适；
故a＝－1或.
答案： B
7．设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则( )
A．a>c>b B．b>c>a
C．c>b>a D．c>a>b
解析： 利用对数函数的性质求解．
a＝log32log22＝1，
由对数函数的性质可知log52答案： D
8．已知函数f(x)＝ln(－3x)＋1，则f(lg 2)＋f＝( )
A．2 B．0
C．1 D．－1
解析： 利用f(x)＋f(－x)的特殊性求解．
f(x)＋f(－x)＝ln(－3x)＋ln(＋3x)＋2＝ln(1＋9x2－9x2)＋2＝ln 1＋2＝2，由上式关系知f(lg 2)＋f＝f(lg 2)＋f(－lg 2)＝2.
答案： A
9．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f(log2a)＋f(a)≤2f(1)，则a的取值范围是( )
A．[1,2] B.
C. D．(0,2]
解析： 根据函数的单调性和奇偶性得出关于a的不等式求解．
∵f(a)＝f(－log2a)＝f(log2a)，∴原不等式可化为f(log2a)≤f(1)．又∵f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，
∴0≤log2a≤1，即1≤a≤2.∵f(x)是偶函数，∴f(log2a)≤f(－1)．又f(x)在区间(－∞，0]上单调递减，∴－1≤log2a≤0，∴≤a≤1.综上可知≤a≤2.
答案： C
10．如果一个点是一个指数函数与一个对数函数的图象的公共点，那么称这个点为“好点”．在下面的五个点M(1,1)，N(1，2)，P(2,1)，Q(2,2)，G中，可以是“好点”的个数为( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析： 设指数函数y＝ax，则可知N，Q，G可以满足指数函数的条件．
设对数函数y＝logax，则可知P，Q，G可以满足对数函数的条件，故“好点”为Q，G共2个．
答案： C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
11．函数y＝ln＋的定义域为________．
解析： 列出函数有意义的限制条件，解不等式组．
要使函数有意义，需即
即解得0答案： (0,1]
12．函数f(x)＝的值域为________．
解析： 利用指数函数、对数函数的性质求解．
当x≥1时，x≤1＝0，∴当x≥1时，f(x)≤0.当x<1时，0<2x<21，即0答案： (－∞，2)
13．函数f(x)＝ax－2＋1的图象一定过定点P，则P点的坐标是________．
解析： ∵y＝ax恒过定点(0,1)，
∴函数f(x)＝ax－2＋1恒过定点(2,2)．
答案： (2,2)
14．若lg(x－y)＋lg(x＋2y)＝lg 2＋lg x＋lg y，则＝_____________________________.
解析： lg(x－y)(x＋2y)＝lg 2xy?
∴
∴x＝2y，即＝2.
答案： 2
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)计算下列各式的值：
(1)(×)6＋()－(－2 008)0；
(2)lg 5lg 20＋(lg 2)2；
(3)(log32＋log92)·(log43＋log83)＋(log33)2＋ln －lg 1.
＝22×33＋21－1
＝4×27＋2－1
＝109.
(2)原式＝lg 5lg(5×4)＋(lg 2)2
＝lg 5(lg 5＋lg 4)＋(lg 2)2
＝(lg 5)2＋lg 5lg 4＋(lg 2)2
＝(lg 5)2＋2lg 5lg 2＋(lg 2)2
＝(lg 5＋lg 2)2＝1.
(3)原式＝·＋＋－0
＝·＋＝＋＝2.
16．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝4x－2·2x＋1－6，其中x∈[0,3]．
(1)求函数f(x)的最大值和最小值；
(2)若实数a满足：f(x)－a≥0恒成立，求a的取值范围．
解析： (1)f(x)＝(2x)2－4·2x－6(0≤x≤3)．
令t＝2x，∵0≤x≤3，∴1≤t≤8.
令h(t)＝t2－4t－6＝(t－2)2－10(1≤t≤8)．
当t∈[1,2]时，h(t)是减函数；当t∈(2,8]时，h(t)是增函数．
∴f(x)min＝h(2)＝－10，f(x)max＝h(8)＝26.
(2)∵f(x)－a≥0恒成立，即a≤f(x)恒成立，
∴a≤f(x)min恒成立．
由(1)知f(x)min＝－10，∴a≤－10.
故a的取值范围为(－∞，－10]．
17．(本小题满分12分)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且x≤0时，f(x)＝ (－x＋1)．
(1)求f(0)，f(1)；
(2)求函数f(x)的解析式；
(3)若f(a－1)<－1，求实数a的取值范围．
解析： (1)因为当x≤0时，f(x)＝ (－x＋1)，
所以f(0)＝0.
又函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(1)＝f(－1)＝ [－(－1)＋1]＝2＝－1，即f(1)＝－1.
(2)令x>0，则－x<0，
从而f(－x)＝ (x＋1)＝f(x)，
∴x>0时，f(x)＝ (x＋1)．
(3)设x1，x2是任意两个值，且x1则－x1>－x2≥0，
∴1－x1>1－x2>0.
∵f(x2)－f(x1)＝ (－x2＋1)－ (－x1＋1)＝>1＝0，
∴f(x2)>f(x1)，
∴f(x)＝ (－x＋1)在(－∞，0]上为增函数．
又f(x)是定义在R上的偶函数，
∴f(x)在(0，＋∞)上为减函数．
∵f(a－1)<－1＝f(1)，∴|a－1|>1，解得a>2或a<0.
故实数a的取值范围为(－∞，0)∪(2，＋∞)．
18．(本小题满分14分)设a>0，f(x)＝＋在R上满足f(x)＝f(－x)．
(1)求a的值；
(2)证明：f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
解析： (1)依题意，对一切x∈R，有f(x)＝f(－x)，
即＋＝＋aex，
所以＝0对一切x∈R成立，
由此可得a－＝0，即a2＝1.
又因为a>0，所以a＝1.
(2)证明：在(0，＋∞)上任取x1由x2>x1>0，得x1＋x2>0，ex2－ex1>0，
1－ex1＋x2<0.
所以f(x1)－f(x2)<0，
即f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
