课件52张PPT。知能整合提升1．函数与方程思想
函数与方程思想是密切相关的：函数f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，亦即函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，也可以说是函数f(x)的函数值等于0时自变量x的值．
因此，解题中可以应用函数与方程思想，将函数问题转化为方程(或方程组)问题，通过解方程(或方程组)或者运用方程的性质来分析、转化问题，使问题得以解决；也可以通过构造函数将方程问题转化为函数问题，从而把给定问题转化为研究辅助函数的性质(单调性、奇偶性、图象的交点个数、最值等)问题，研究后得出所需要的结论．2．函数零点的存在性定理的应用和使用条件
函数零点的存在性定理是本章的重点，其应用十分广泛．例如：判断函数零点所在的大致区间，二分法求方程的近似解等．
(1)该定理的条件是：①函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的；②f(a)·f(b)<0，即f(a)和f(b)的符号相反．这两个条件缺一不可．
(2)该定理的结论是“至少存在一个零点”，仅仅能确定函数零点是存在的，但是不能确定函数零点的个数．3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点情况
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点个数取决于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式Δ的符号，具体情况如下：
(1)当Δ＝b2－4ac>0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，这时二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个零点；
(2)当Δ＝b2－4ac＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根，这时二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有一个零点；
(3)当Δ＝b2－4ac<0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，这时二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)没有零点．4．不同函数增长模型的对比
“直线上升”“指数爆炸”“对数增长”分别反映了一次函数、指数函数、对数函数的增长趋势，幂函数的增长介于指数函数与对数函数之间．即总会存在一个x0，使得当x>x0时，有logax
1，n>0)．5．函数的应用举例要点分析
(1)要解决函数应用问题，首先要增强应用函数的意识．一般来说，解决函数应用问题可分三步：第一步，理解题意，弄清关系；第二步，抓住关键，建立模型；第三步，数学解决，检验模型．其中第二步尤为关键．
(2)在解题中要充分运用数形结合、转化与化归、函数与方程等数学思想及策略，寻求解题途径．(3)根据已知条件建立函数解析式是函数应用的一个重要方面．一般分为两类：一类是借助于生活经验、函数知识等建立函数模型，以二次函数模型为主，一般是求二次函数的最值；另一类是根据几何、物理概念建立函数模型．热点考点例析【点拨】 函数的零点及判断个数的方法：
(1)函数的零点与方程的根之间存在着紧密的关系：方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
(2)确定函数零点的个数有两个基本方法：一是利用图象研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数定性判断，二是判断区间(a，b)上是否有零点，可应用f(a)·f(b)与0的关系判断．函数的零点与方程的根的关系及应用特别提醒： 函数的零点是一个实数而非一个点，函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象交点的横坐标．[思维点击] (1)把求函数图象的交点问题转化为求函数的零点，利用二分法判断函数零点所在区间的方法求解．
(2)把求方程的解的个数转化为求两个函数交点个数，利用函数图象求解．【点拨】 用二分法求方程近似解注意的问题：
(1)看清题目的精确度，它决定着二分法的结束．
(2)根据f(a0)·f(b0)<0确定初始区间，高次方程要先确定有几个解再确定初始区间．
(3)初始区间的选定一般在两个整数间，不同初始区间结果是相同的，但二分的次数相差较大．
(4)取区间中点c计算中点函数值f(c)，确定新的零点区间，直到所取区间(an，bn)中，an与bn按精确度要求取值相等，这个相等的近似值即为所求近似解．用二分法求函数的零点或方程的近似解特别提醒： (1)精确度为ε，即近似值x0与真值a的误差不超过ε.
(2)零点所在区间的选取要尽可能小． 借助计算器，用二分法求出ln(2x＋6)＋2＝3x在区间(1,2)内的近似解(精确度0.2)．
[思维点击] 1.方程f(x)＝0在区间[a，b]内有解应具备什么条件？
2．是否可按照用二分法求函数零点近似值的步骤来求方程f(x)＝0的近似解？2．求函数f(x)＝x3＋2x2－3x－6的一个正数零点．(精确度为0.1)
解析： 由于f(1)＝－6<0，f(2)＝4>0，可取区间(1,2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：
由于|1.75－1.687 5|＝0.062 5<0.1，
所以可将1.75作为函数零点的近似值．【点拨】 1.函数模型的应用实例主要包含三个方面：
(1)利用给定的函数模型解决实际问题；
(2)建立确定性函数模型解决实际问题；
(3)建立拟合函数模型解决实际问题．函数模型及应用2．解决函数应用问题常见的错误以及克服的关键：
(1)不会将实际问题抽象转化为函数模型或转化不全面；
(2)在求解过程中忽略实际问题对变量参数的限制条件．
克服的关键在于深入理解题意，用变化的观点分析和探求具体问题中的数量关系，寻求已知量与未知量之间的内在联系，然后将这些内在联系与数学知识结合起来，建立函数关系式或列出方程，利用函数性质或方程观点来求解． 某种商品在30天内每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函数关系如图(1)所示，该商品在30天内日销售量Q(件)与时间t(天)之间的关系如下：(1)(1)根据提供的图象，写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系式；
(2)在所给的平面直角坐标系中(如图(2)所示)，根据表中提供的数据描出实数对(t，Q)的对应点，并确定一个日销售量Q与时间t的函数关系式；(2)(3)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量)
[思维点击] 首先由图象求出销售价格P与时间t的函数关系式，其次求出日销售量Q与时间t的一个函数关系式，并在此基础上利用关系：日销售金额＝销售价格P×日销售量Q，求出日销售金额的函数式．1．若x0是方程ln x＋x＝4的解，则x0属于区间( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
解析： 构造函数f(x)＝ln x＋x－4，则函数f(x)的图象是连续不断的一条曲线，又f(2)＝ln 2＋2－4<0，f(3)＝ln 3＋3－4>0，所以f(2)·f(3)<0，故函数的零点所在区间为(2,3)，即方程ln x＋x＝4的解x0属于区间(2,3)，故选C.
答案： C解析： 在同一坐标系中，画出三个函数的图象，如下图所示．
当x＝2时，f(x)＝g(x)＝4，当x＝4时，f(x)＝g(x)＝16，
当x>4时，g(x)图象在最上方，h(x)图象在最下方，故g(x)>f(x)>h(x)．
答案： B4．为了改善某地的生态环境，政府决心绿化荒山，计划第一年先植树0.5万亩，以后每年比上年增加1万亩，结果第x年植树亩数y(万亩)是时间x(年)的一次函数，这个函数的图象是( )
解析： 函数解析式为y＝x＋0.5，故选A.
答案： A章末质量评估谢谢观看！第三章 函数的应用
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．函数y＝(x－1)(x2－2x－3)的零点为( )
A．1,2,3 B．1，－1,3
C．1，－1，－3 D．无零点
解析： 令y＝(x－1)(x2－2x－3)＝0，解得x＝1，－1,3，故选B.
答案： B
2．下列函数中没有零点的是( )
A．f(x)＝log2x－3 B．f(x)＝－4
C．f(x)＝ D．f(x)＝x2＋2x
解析： 由于函数f(x)＝中，对任意自变量x的值，均有≠0，故该函数不存在零点．
答案： C
3．如图所示的函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是( )
A．①③ B．②④
C．①② D．③④
解析： 对于①③在函数零点两侧函数值的符号相同，故不能用二分法求．
答案： A
4．已知函数f(x)＝ex－x2＋8x，则在下列区间中f(x)必有零点的是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
解析： f(－1)＝－9<0，f(0)＝e0＝1>0，f(x)是连续函数，故f(x)在(－1,0)上有一零点．
答案： B
5．若函数f(x)的图象是连续不断的，且f(0)>0，f(1)·f(2)·f(4)<0，则下列说法中正确的是( )
A．函数f(x)在区间(0,1)内有零点
B．函数f(x)在区间(1,2)内有零点
C．函数f(x)在区间(0,2)内有零点
D．函数f(x)在区间(0,4)内有零点
解析： 因为f(0)>0，f(1)·f(2)·f(4)<0，则f(1)，f(2)，f(4)恰有一负两正或三个都是负的，函数的图象与x轴相交有多种可能．例如，
所以函数f(x)必在区间(0,4)内有零点．
答案： D
6．2013年全球经济开始转暖，据统计某地区1月、2月、3月的用工人数分别为0.2万人，0.4万人和0.76万人，则该地区这三个月的用工人数y万人关于月数x的函数关系近似的是( )
A．y＝0.2x B．y＝(x2＋2x)
C．y＝ D．y＝0.2＋log16x
解析： 用排除法，当x＝1时，否定B；当x＝2时，否定D；当x＝3时，否定A，故选C.
答案： C
7．设方程|x2－3|＝a的解的个数为m，则m不可能等于( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析： 在同一坐标系中分别画出函数y1＝|x2－3|和y2＝a的图象，如图所示．
可知方程解的个数为0,2,3或4，不可能有1个解．
答案： A
8．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且一个零点是2，则使得f(x)<0的x的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－2,2)
解析： 因为函数f(x)是定义在R上的偶函数且一个零点是2，则还有一个零点为－2.又函数f(x)在(－∞，0]上是减函数，则f(x)<0的x的取值范围是(－2,2)．
答案： D
9．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝0.1x2－11x＋3 000，若每台产品的售价为25万元，则生产者的利润取最大值时，产量x等于( )
A．55台 B．120台
C．150台 D．180台
解析： 设产量为x台，利润为S万元，
则S＝25x－y
＝25x－(0.1x2－11x＋3 000)
＝－0.1x2＋36x－3 000
＝－0.1(x－180)2＋240，
则当x＝180时，生产者的利润取得最大值．
答案： D
10．设函数f(x)＝log4x－x，g(x)＝logx－x的零点分别为x1，x2，则( )
A.C．x1x2＝2 D．x1x2≥2
解析： f(1)＝log41－1＝－<0，
f(2)＝log42－2＝>0，
故f(x)在(1,2)内有一零点，即1g(1)＝log1－1＝－<0，
g＝log－
＝1－>0，
故g(x)在内有一零点，
即由①②可知答案： A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
11．用二分法求方程x3＋4＝6x2的一个近似解时，已经将一根锁定在区间(0,1)内，则下一步可断定该根所在的区间为________．
解析： 设f(x)＝x3－6x2＋4，
显然f(0)>0，f(1)<0，
又f＝3－6×2＋4>0，
∴下一步可断定方程的根所在的区间为.
答案：
12．函数f(x)＝x3－x2－x＋1在[0,2]上的零点有________个．
解析： x3－x2－x＋1＝(x－1)2(x＋1)，
由f(x)＝0得x＝1或x＝－1.
∴f(x)在[0,2]上有1个零点．
答案： 1
13．已知函数f(x)＝若函数y＝f(x)－k有两个零点，则实数k的取值范围是________．
解析： 画出分段函数f(x)的图象如图所示．
结合图象可以看出，函数y＝f(x)－k有两个零点，即y＝f(x)与y＝k有两个不同的交点，k的取值范围为(0,1)．
答案： (0,1)
14．已知y＝x(x－1)(x＋1)的图象如图所示．令f(x)＝x(x－1)(x＋1)＋0.01，则下列关于f(x)＝0的解叙述正确的是________．
①有三个实根；②x>1时恰有一实根；③当0解析： f(x)的图象是将函数y＝x(x－1)(x＋1)的图象向上平移0.01个单位得到的，故f(x)的图象与x轴有三个交点，它们分别在区间(－∞，－1)，和内，故只有①⑤正确．
答案： ①⑤
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)以下是用二分法求方程x3＋3x－5＝0的一个近似解(精确度0.1)的不完整的过程，请补充完整，并写出结论．
设函数f(x)＝x3＋3x－5，其图象在(－∞，＋∞)上是连续不断的一条曲线．
先求值：f(0)＝________，f(1)＝________，f(2)＝________，f(3)＝________.
所以f(x)在区间________内存在零点x0，填表：
区间
中点m
f(m)的符号
区间长度
解析： －5 －1 9 31 (1,2)
区间
中点m
f(m)的符号
区间长度
(1,2)
1.5
＋
1
(1,1.5)
1.25
＋
0.5
(1,1.25)
1.125
－
0.25
(1.125,1.25)
1.187 5
＋
0.125
(1.125,1.187 5)
0.062 5
∵|1.187 5－1.125|＝0.062 5<0.1，
∴原方程的近似解可取为1.187 5.
16．(本小题满分12分)截至2012年底，已知某市人口数为80万，若今后能将人口年平均增长率控制在1%，经过x年后，此市人口数为y(万)．
(1)求y与x的函数关系y＝f(x)；
(2)求函数y＝f(x)的定义域；
(3)判断函数f(x)是增函数还是减函数？
解析： (1)由题设条件知，经过x年后此市人口总数为80(1＋1%)x(万)，
∴y＝f(x)＝80(1＋1%)x.
(2)∵此问题以年作为单位时间，
∴此函数的定义域是N*.
(3)y＝f(x)＝80(1＋1%)x是指数型函数，
∵1＋1%>1，∴y＝80(1＋1%)x是增函数．
17．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x－1＋x2－2，试利用基本初等函数的图象，判断f(x)有几个零点，并利用零点存在性定理确定各零点所在的区间．(各区间长度不超过1)
解析： 由f(x)＝0，得x－1＝－x2＋2.
令y1＝x－1，y2＝－x2＋2，在同一直角坐标系中分别画出它们的图象(如图所示)，其中抛物线的顶点坐标为(0,2)，与x轴的交点分别为(－2,0)，(2,0)，y1与y2的图象有3个交点，由此可知函数f(x)有3个零点．
∵f(－3)＞0，f(－2)＜0，f(1)＜0，f(2)＞0，
∴f(x)的零点所在的区间为(－3,2)，(0,1)，(1,2)．
18．(本小题满分14分)某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t，P)，点(t，P)落在下图中的两条线段上；该股票在30天内的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表所示：
第t天
4
10
16
22
Q(万股)
36
30
24
18
(1)根据提供的图象，写出该种股票每股交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式；
(2)根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式；
(3)在(2)的结论下，用y表示该股票日交易额(万元)，写出y关于t的函数关系式，并求在这30天中第几天日交易额最大，最大值是多少？
解析： (1)P＝(t∈N*)
(2)设Q＝at＋b(a，b为常数)，把(4,36)，(10,30)代入，得∴a＝－1，b＝40.
所以日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式为Q＝－t＋40,0(3)由(1)(2)可得
y＝
即y＝(t∈N*)
当0此时t＝15；当20所以，在30天中的第15天，日交易额取得最大值125万元．
