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2023年中考数学模拟押题最后一卷 安徽卷1
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分，在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 相反数为5的数是（ ）
A. 5 B. C. ±5 D.
2. 截至2022年10月，我国基本医疗保险参保人数已超过13.6亿人，其中数据13.6亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 下面计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 如图所示的石板凳，它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，在同一条道路上，甲车从地到地，乙车从地到地，甲车和乙车同时匀速出发，甲车先到达目的地，图中的折线段表示甲、乙两车之间的距离（单位：km）与行驶时间（单位：h）的函数关系图象，下列说法错误的是（ ）．
A. 甲、乙两车相遇时间为 B. 甲车速度为
C. 乙车速度为 D. 甲车比乙车早
6. 如图，平行四边形对角线与相交于点，，垂足为，，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
7. 若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（ ）
A. B. C. D. 或
8. 在一个桌子上放着若干张背面向上的扑克牌，这些扑克牌背面图案相同，正面为3张方块、2张红桃和张梅花．若从这些打乱的扑克牌中任意摸出1张扑克牌，这张扑克牌是梅花的概率为，则的值为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
9. 如图，点、为反比例函数图象上的点，过点、分别作轴，轴，垂足分别为、，连接、、，线段交于点，点恰好为的中点，当的面积为6时，k的值为（ ）
A. B. 8 C. D.
10. 如图，在边长为3的正方形中，点E在边上，且．是以E为直角顶点的等腰直角三角形，分别交于点M，N，过点F作的垂线交的延长线于点G．连接，则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
11. 不等式解集为________．
12. 分解因式：______________．
13. 如图，⊙O是△ABC外接圆，∠A=30°，BC=4，则⊙O的直径为___．
14. 如图，点O是正方形的中心，．中，，过点D．分别交于点G、M，连接．若， ，则的长______．
三、解答题（本大题共9小题，共90.0分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 计算：．
16. 如图，三个顶点坐标分别为．
（1）请画出向下平移个单位长度后得到的；
（2）请画出关于轴对称的．
17 先化简，再求值：，其中．
18. 清朝数学家梅文鼎的著作《方程论》中有这样一道题：山田三亩，场地六亩共折实田四亩七分；又山田五亩，场地三亩，共折实田五亩五分，问每亩山田折实田多少，每亩场地折实田多少？
译文为：假如有山田3亩，场地6亩，其产粮相当于实田4.7亩；有山田5亩，场地3亩，其产粮相当于实田5.5亩，问每亩山田和每亩场地产粮各相当于实田多少亩？请用方程组的知识解答．
19. 消防车是灭火救灾的主要装备，如图是一辆登高云梯消防车的实物图，图是其工作示意图当云梯升起时，与底盘的夹角为，液压杆与底盘的夹角为已知液压杆，当，时，求的长结果精确到参考数据：，，，，，
20. 幸福成都，美在文明！为助力成都争全国文明典范城市，某校采用四种宣传形式：A．宣传单宣传，B．电子屏宣传，C．黑板报宣传，D．志愿者宣传．每名学生从中选择一种最喜欢的宣传形式，学校就最喜欢的宣传形式对学生进行了抽样调查，并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．
请结合图中所给信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有______人，请补全条形统计图；
（2）扇形统计图中，“D．志愿者宣传”对应的扇形圆心角度数为______；
（3）本次调查中，在最喜欢“志愿者宣传”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学表现优秀，若从这四位同学中随机选出两名同学参加学校的志愿者活动，请用列表或画树状图的方法，求选出两人恰好是甲和乙的概率
21. 如图，是的直径，是弦，是的中点，与交于点，是延长线上的一点，且．
（1）求证：为的切线；
（2）连接，取的中点，连接．若，，求的长．
22. 如图，抛物线交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图①，连接BC，点P在抛物线上，且∠BCO=∠PBA．求点P的坐标
（3）如图②，M是抛物线上一点，N为射线CB上的一点，且M、N两点均在第一象限内，B、N是位于直线AM同侧的不同两点，，点M到轴的距离为2L，△AMN的面积为5L，且∠ANB=∠MBN，请问MN的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
23. 如图，四边形是矩形，点A、C分别在x轴、y轴上，是绕点O顺时针旋转得到的，点D在x轴上，直线交y轴于点F，交于点H，点B的坐标为．
（1）求直线的表达式；
（2）求的面积；
（3）点M在x轴上，平面内处否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形 若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
2023年安徽省阜阳市十校联盟中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分，在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 相反数为5的数是（ ）
A. 5 B. C. ±5 D.
2. 截至2022年10月，我国基本医疗保险参保人数已超过13.6亿人，其中数据13.6亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 下面计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 如图所示的石板凳，它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，在同一条道路上，甲车从地到地，乙车从地到地，甲车和乙车同时匀速出发，甲车先到达目的地，图中的折线段表示甲、乙两车之间的距离（单位：km）与行驶时间（单位：h）的函数关系图象，下列说法错误的是（ ）．
A. 甲、乙两车相遇时间为 B. 甲车速度为
C. 乙车速度为 D. 甲车比乙车早
6. 如图，平行四边形对角线与相交于点，，垂足为，，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
7. 若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（ ）
A. B. C. D. 或
8. 在一个桌子上放着若干张背面向上的扑克牌，这些扑克牌背面图案相同，正面为3张方块、2张红桃和张梅花．若从这些打乱的扑克牌中任意摸出1张扑克牌，这张扑克牌是梅花的概率为，则的值为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
9. 如图，点、为反比例函数图象上的点，过点、分别作轴，轴，垂足分别为、，连接、、，线段交于点，点恰好为的中点，当的面积为6时，k的值为（ ）
A. B. 8 C. D.
10. 如图，在边长为3的正方形中，点E在边上，且．是以E为直角顶点的等腰直角三角形，分别交于点M，N，过点F作的垂线交的延长线于点G．连接，则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
11. 不等式解集为________．
12. 分解因式：______________．
13. 如图，⊙O是△ABC外接圆，∠A=30°，BC=4，则⊙O的直径为___．
14. 如图，点O是正方形的中心，．中，，过点D．分别交于点G、M，连接．若， ，则的长______．
三、解答题（本大题共9小题，共90.0分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 计算：．
16. 如图，三个顶点坐标分别为．
（1）请画出向下平移个单位长度后得到的；
（2）请画出关于轴对称的．
17 先化简，再求值：，其中．
18. 清朝数学家梅文鼎的著作《方程论》中有这样一道题：山田三亩，场地六亩共折实田四亩七分；又山田五亩，场地三亩，共折实田五亩五分，问每亩山田折实田多少，每亩场地折实田多少？
译文为：假如有山田3亩，场地6亩，其产粮相当于实田4.7亩；有山田5亩，场地3亩，其产粮相当于实田5.5亩，问每亩山田和每亩场地产粮各相当于实田多少亩？请用方程组的知识解答．
19. 消防车是灭火救灾的主要装备，如图是一辆登高云梯消防车的实物图，图是其工作示意图当云梯升起时，与底盘的夹角为，液压杆与底盘的夹角为已知液压杆，当，时，求的长结果精确到参考数据：，，，，，
20. 幸福成都，美在文明！为助力成都争全国文明典范城市，某校采用四种宣传形式：A．宣传单宣传，B．电子屏宣传，C．黑板报宣传，D．志愿者宣传．每名学生从中选择一种最喜欢的宣传形式，学校就最喜欢的宣传形式对学生进行了抽样调查，并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．
请结合图中所给信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有______人，请补全条形统计图；
（2）扇形统计图中，“D．志愿者宣传”对应的扇形圆心角度数为______；
（3）本次调查中，在最喜欢“志愿者宣传”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学表现优秀，若从这四位同学中随机选出两名同学参加学校的志愿者活动，请用列表或画树状图的方法，求选出两人恰好是甲和乙的概率
21. 如图，是的直径，是弦，是的中点，与交于点，是延长线上的一点，且．
（1）求证：为的切线；
（2）连接，取的中点，连接．若，，求的长．
22. 如图，抛物线交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图①，连接BC，点P在抛物线上，且∠BCO=∠PBA．求点P的坐标
（3）如图②，M是抛物线上一点，N为射线CB上的一点，且M、N两点均在第一象限内，B、N是位于直线AM同侧的不同两点，，点M到轴的距离为2L，△AMN的面积为5L，且∠ANB=∠MBN，请问MN的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
23. 如图，四边形是矩形，点A、C分别在x轴、y轴上，是绕点O顺时针旋转得到的，点D在x轴上，直线交y轴于点F，交于点H，点B的坐标为．
（1）求直线的表达式；
（2）求的面积；
（3）点M在x轴上，平面内处否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形 若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
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2023年中考数学模拟押题最后一卷 安徽卷1
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分，在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 相反数为5的数是（ ）
A. 5 B. C. ±5 D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据相反数的定义和求法，判断出相反数是5的数是多少即可．
【详解】解：相反数为－5．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了相反数定义和应用，负数的相反数是正数，0的相反数是本身．
2. 截至2022年10月，我国基本医疗保险参保人数已超过13.6亿人，其中数据13.6亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据科学记数法的表示形式进行解答即可．
【详解】13.6亿，
故选：B．
【点睛】本题考查了科学记数法，即把绝对值大于1的数表示成的形式，正确确定的值是解题的关键．
3. 下面计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据合并同类项的法则，完全平方公式，同底数幂乘法的运算法则以及幂的乘方与积的乘方的运算法则分析判断即可．
【详解】解：A、，故A计算错误，不符合题意；
B、，故B计算错误，不符合题意；
C、，故C计算错误，不符合题意；
D、，故D计算正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了合并同类项的法则，完全平方公式，同底数幂乘法的运算法则以及幂的乘方与积的乘方的运算法则，熟记相关的运算法则是解题的关键．
4. 如图所示的石板凳，它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意根据三视图相关概念可知俯视图是从物体的上面看得到的平面图形，从而得出选项．
【详解】解：俯视图是从物体的上面看得到的平面图形，该几何体从上面看得到一个矩形，中间有2个虚线的圆．
故选D．
【点睛】本题考查三视图，熟练掌握俯视图是从物体的上面看得到的平面图形是解题关键，注意实际存在又没有被其他棱所挡，在所在方向看不到的棱应用虚线表示．
5. 如图，在同一条道路上，甲车从地到地，乙车从地到地，甲车和乙车同时匀速出发，甲车先到达目的地，图中的折线段表示甲、乙两车之间的距离（单位：km）与行驶时间（单位：h）的函数关系图象，下列说法错误的是（ ）．
A. 甲、乙两车相遇时间为 B. 甲车速度为
C. 乙车速度为 D. 甲车比乙车早
【答案】D
【解析】
【分析】根据图像的信息进行解答即可．
【详解】解：A.出发1小时后，两车相距为零，即两车相遇，故不符合题意；
B.甲车速度为，故不符合题意；
C.乙车速度为，故不符合题意；
D.甲车比乙车早，故符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查行程问题的数量关系：速度路程时间的运用，解答的关键是正确理解函数图像的数据的意义．
6. 如图，平行四边形的对角线与相交于点，，垂足为，，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先由勾股定理的逆定理可判定△BAO是直角三角形，再根据勾股定理即可求得BC的长，最后根据三角形的面积公式即可求出．
【详解】解：∵AC=2，，四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=AC=1，，
∵，
∴AB2+AO2=BO2，
∴∠BAC=90°，
在Rt△BAC中，，
，
，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理和平行四边形的性质，能得出△BAC是直角三角形是解此题的关键．
7. 若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】利用一元二次方程根的定义，确定出的值即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为，
∴且，
解得：．
故选：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式为为常数且，理解一元二次方程的定义是解题的关键．
8. 在一个桌子上放着若干张背面向上的扑克牌，这些扑克牌背面图案相同，正面为3张方块、2张红桃和张梅花．若从这些打乱的扑克牌中任意摸出1张扑克牌，这张扑克牌是梅花的概率为，则的值为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】由这张扑克牌是梅花的概率为得到，计算即可得到的值．
【详解】解：根据题意得：
，
解得：，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了简单概率计算中的已知概率求数量，根据题意得出是解题的关键．
9. 如图，点、为反比例函数图象上的点，过点、分别作轴，轴，垂足分别为、，连接、、，线段交于点，点恰好为的中点，当的面积为6时，k的值为（ ）
A. B. 8 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设点的坐标为，则点，，，，根据三角形的面积公式可得出，由此即可求出值．
【详解】解：设点的坐标为，则点，，，，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是设出点的坐标，利用点的横坐标表示出、点的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，利用反比例函数图象上点的坐标特征表示出点的坐标是关键．
10. 如图，在边长为3的正方形中，点E在边上，且．是以E为直角顶点的等腰直角三角形，分别交于点M，N，过点F作的垂线交的延长线于点G．连接，则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据，由勾股定理得；证明得到于是，根据勾股定理；过点F作于点H，证明四边形是正方形，得到，证明，，计算，计算求解即可．
【详解】A、∵边长为3的正方形，
∴，
∴；
∵是以E为直角顶点的等腰直角三角形，
∴，
故该项正确，不符合题意；
B、∵边长为3的正方形， ，
∴，
∵是以E为直角顶点的等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故该项正确，不符合题意；
C、过点F作于点H，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故该项正确，不符合题意；
D、∵，
∴，
∴，
故该项错误，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握正方形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
11. 不等式的解集为________．
【答案】
【解析】
【分析】移项合并、化系数为1即可求出不等式的解集．
【详解】解：，
移项合并得：，
化系数为1得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键．
12. 分解因式：______________．
【答案】
【解析】
【分析】直接用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：，
故答案：．
【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握利用平方差公式分解因式是解题关键．
13. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=30°，BC=4，则⊙O的直径为___．
【答案】8
【解析】
【分析】连接OB，OC，依据△BOC是等边三角形，即可得到BO=CO=BC=BC=4，进而得出⊙O的直径为8．
【详解】解：如图，连接OB，OC，
∵∠A=30°，
∴∠BOC=60°，
∴△BOC是等边三角形，
又∵BC=4，
∴BO=CO=BC=BC=4，
∴⊙O的直径为8，
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆以及圆周角定理的运用，三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
14. 如图，点O是正方形的中心，．中，，过点D．分别交于点G、M，连接．若， ，则的长______．
【答案】
【解析】
【分析】过点F做于点H，根据求出的长度，再证明，求出的长度，证得，得出的结论，进而求得的长度．
【详解】解：如图，过点F做于点H，
正方形，
，，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了正方形的性质，解直角三角形，相似三角形和全等三角形的判定，解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形．
三、解答题（本大题共9小题，共90.0分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【详解】
．
【点睛】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
16. 如图，三个顶点的坐标分别为．
（1）请画出向下平移个单位长度后得到的；
（2）请画出关于轴对称的．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出的对应点，，即可；
（2）利用轴对称的性质分别作出的对应点，，即可；
【小问1详解】
解：如图，即为所求．
【小问2详解】
解：如图，即为所求．
【点睛】本题考查作图-旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质．
17. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，9
【解析】
【分析】先根据单项式乘以多项式法则，完全平方公式，平方差公式，合并同类项法则进行化简，然后把a，b的值代入计算即可．
【详解】解：原式=
=
=，
当，时，
原式=．
【点睛】本题考查了单项式乘以多项式法则，完全平方公式，平方差公式，合并同类项法则等知识，能灵活运用相关知识进行正确的化简是解题的关键．
18. 清朝数学家梅文鼎的著作《方程论》中有这样一道题：山田三亩，场地六亩共折实田四亩七分；又山田五亩，场地三亩，共折实田五亩五分，问每亩山田折实田多少，每亩场地折实田多少？
译文为：假如有山田3亩，场地6亩，其产粮相当于实田4.7亩；有山田5亩，场地3亩，其产粮相当于实田5.5亩，问每亩山田和每亩场地产粮各相当于实田多少亩？请用方程组的知识解答．
【答案】每亩山田产粮相当于实田0.9亩，每亩场地产粮相当于实田亩
【解析】
【分析】设每亩山田产粮相当于实田亩，每亩场地产粮相当于实田亩，根据题意列出二元一次方程组并求解即可．
【详解】解：设每亩山田产粮相当于实田亩，每亩场地产粮相当于实田亩，
根据题意，得 ，
解得 ．
答：每亩山田产粮相当于实田0.9亩，每亩场地产粮相当于实田亩．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组应用，理解题意，找准数量关系是解题关键．
19. 消防车是灭火救灾的主要装备，如图是一辆登高云梯消防车的实物图，图是其工作示意图当云梯升起时，与底盘的夹角为，液压杆与底盘的夹角为已知液压杆，当，时，求的长结果精确到参考数据：，，，，，
【答案】
【解析】
【分析】利用锐角三角函数可求，的长，即可求解，结合图形求得的长度．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
答：的长约为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练运用锐角三角函数求线段的长是解题的关键．
20. 幸福成都，美在文明！为助力成都争全国文明典范城市，某校采用四种宣传形式：A．宣传单宣传，B．电子屏宣传，C．黑板报宣传，D．志愿者宣传．每名学生从中选择一种最喜欢的宣传形式，学校就最喜欢的宣传形式对学生进行了抽样调查，并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．
请结合图中所给信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有______人，请补全条形统计图；
（2）扇形统计图中，“D．志愿者宣传”对应的扇形圆心角度数为______；
（3）本次调查中，在最喜欢“志愿者宣传”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学表现优秀，若从这四位同学中随机选出两名同学参加学校的志愿者活动，请用列表或画树状图的方法，求选出两人恰好是甲和乙的概率
【答案】（1）50，图见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据C项目的人数和所占的百分比求出总人数，再用总人数A、C、D项目的人数即可解决问题；
（2）用乘以 “D.志愿者宣传”的学生所占的比例即可；
（3）列出表格，共有12种等可能的情况，其中被选取的两人恰好是甲和乙的有2种情况，再由概率公式求解即可．
【小问1详解】
本次调查的学生共有：（人），
喜欢B．电子屏宣传的人数有：（人），
补全条形统计图如图所示：
故答案为：50
【小问2详解】
“D．志愿者宣传”对应的扇形圆心角度数为；
故答案为：；
【小问3详解】
列表得：
甲 乙 丙 丁
甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁）
乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁）
丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁）
丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙）
共有12种等可能的结果，其中恰好是甲和乙的有2种，
∴被选取的两人恰好是甲和乙的概率是．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
21. 如图，是的直径，是弦，是的中点，与交于点，是延长线上的一点，且．
（1）求证：为的切线；
（2）连接，取的中点，连接．若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）连接，．由，，可得，由是的直径，是的中点，，进而可得，即可证明为的切线；
（2）连接，过作，垂足为．利用相似三角形的性质求出，设的半径为，则．在中，勾股定理求得，证明，得出，根据，求得，进而求得，根据勾股定理即可求得．
【小问1详解】
证明：如图1，连接，．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵是的直径，是的中点，
∴．
∴．
∴，即．
∴．
∴为的切线．
【小问2详解】
解：如图，连接，过作，垂足为．
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，解得，
设的半径为，则．
解之得．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵中点，
∴．
∴，．
∴．
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．
22. 如图，抛物线交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图①，连接BC，点P在抛物线上，且∠BCO=∠PBA．求点P的坐标
（3）如图②，M是抛物线上一点，N为射线CB上的一点，且M、N两点均在第一象限内，B、N是位于直线AM同侧的不同两点，，点M到轴的距离为2L，△AMN的面积为5L，且∠ANB=∠MBN，请问MN的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
【答案】（1）；（2）P 或；（3）MN的为定值，定值为5
【解析】
【分析】（1）由函数解析式可确定A(,0），B，再由；列出关于的方程即可求解；
（2）作线段BC的垂直平分线交轴于点D，此时DC=DB，构造∠ODB=2∠BCO=∠PBA，将∠BCO=∠PBA条件转化为，然后设P，根据列方程求解即可；
（3）由已知可求得，从而可得，进而可得点B、N到直线AM的距离相等，所以∥BN，再证明（ASA）即可得到MN=AB=5．
【详解】解：（1）把代入抛物线，得或，
∵点A在点B的左侧，
∴A(,0），B，
∵，
∴，
∴，
∴抛物线的函数表达式为：；
（2）如图③，作线段BC的垂直平分线交轴于点D，此时DC=DB，
∵DC=DB，
∴∠DCB=∠DBC，
∴∠ODB=∠DCB+∠DBC=2∠BCO，
∵∠BCO=∠PBA，
∴∠PBA=2∠BCO，
∴∠ODB=∠PBA，
∴，
设P，DC=DB=，
∵，，
∴,，
∴，
在中，解得，
∴．
∵，
∴，即，解得，
∴或，
∴点P的坐标为或；
（3）MN的为定值，定值为5；
∵，点M到轴的距离为2L，
∴，
∵，
∴，
∵和有同底AM，
∴点B、N到直线AM的距离相等，
∴∥BN，
∴∠MAN=∠ANB，∠AMB=∠MBN，∠ABC=∠MAB，
∵∠ANB=∠MBN，
∴∠MAN=∠AMB，
∵===2，，
∴，
∴，
在和中， ，
∴（ASA），
∴MN=AB=5，
∴MN的为定值，定值为5．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何综合，涉及了待定系数法求二次函数解析式，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角函数的应用．抓住转化思想，灵活变化求解的思路，第（2）题将半角关系转化为等角求角，第（3）题将等面积得出平行是解题的关键．求点坐标的问题一般是结合方程思想来解题，要认真理清线段之间的关系再进行计算．
23. 如图，四边形是矩形，点A、C分别在x轴、y轴上，是绕点O顺时针旋转得到的，点D在x轴上，直线交y轴于点F，交于点H，点B的坐标为．
（1）求直线表达式；
（2）求的面积；
（3）点M在x轴上，平面内处否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形 若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质得出D点的坐标，再用待定系数法求出直线的解析式即可；
（2）先求出，再求出直线的解析式为，联立，求出，即问题得解；
（3）根据直线的解析式求出F点的坐标，分，，三种情况分别讨论求出点N的坐标即可．
【小问1详解】
解：∵是绕点O顺时针旋转得到的，，
∴，，
∴，
设直线的解析式为，
把和的坐标代入可得：
，
解得
∴直线的解析式为；
【小问2详解】
∵，，
∴，
同（1）的方法，可求出直线的解析式为，
联立：，解得：，
∴，
∴；
【小问3详解】
存在， 理由如下，
由（1）知，直线的解析式为，
∴，
∵以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形，
∴是直角三角形，
①当时，则M只能在x轴上，连接交于点G，如下图，
设 而 ，，
∴ ， ， ，，
∵
∴
解得： 即
由平移的性质可得： 即
②当时，则M只能在y轴上，不符合题意舍去；
③当时，则可知M点为O点，如下图，
∵四边形为矩形，
∴，，
∴此时；
综上可知，存在满足条件的N点，其坐标为或．
【点睛】本题为一次函数的综合题型，主要考查待定系数法，旋转的性质，矩形的性质，勾股定理的应用等，注意分类讨论思想的应用是解题的关键．
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