中小学教育资源及组卷应用平台
2023年中考数学模拟押题最后一卷 广东卷
注意：
1．试卷的选择题和非选择题都在答题卷上作答，不能作答在试卷上．
2．要作图或画表，要先铅笔进行画线、绘画，再用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑．
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. （ ）
A. B. C. D. 2
2. 下列计算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列绿色能源图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列各多项式中，能用平方差公式分解因式的是( )
A B. C. D.
5. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断
6. 下列函数中，的值随值的增大而增大的函数是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边的中点，若DE＝2，则BC的长度是（ ）
A. 6 B. 5
C. 4 D. 3
8. 如图，在岛周围20海里水域有暗礁，一艘轮船由西向东航行到处时，发现岛在北偏东64°方向且与轮船相距52海里．若该轮船不改变航向，为航行安全，需要计算到的距离．下列算法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
9. 已知一个三角形的三边长分别为2，3，4，与其相似的另一个三角形的周长为36，则它的最长边的长为（ ）
A. 8 B. 12 C. 16 D. 20
10. 如图，在⊙O中，弦，圆心O到AB的距离，则⊙O的半径长为（ ）
A. 2 B. 2 C. D.
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）
11. 计算：___________．
12. 2022年冬季奥运会将在北京市张家口举行，下表记录了四名短道速滑选手几次选拔赛成绩的平均数x和方差：
小明 小红 小芳 小米
平均数x（单位：秒） 53 48 52 49
方差（单位：秒） 5.5 4 125 17.5
根据表中数据，这四名选手中成绩最好且发挥最稳定的运动员是______．
13. 扇形半径为2，圆心角为，则扇形面积为______（结果保留）．
14. 点 P（a，a－3）在第四象限，则a的取值范围是_____．
15. 如图，是函数图象上的一点，过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，则四边形的面积是______．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
16. 先化简，再求值：，其中．
17. 某中学为了了解学生在家主动锻炼身体的情况，随机抽查了部分学生，对他们每天的运动时间进行调查，并将调查统计的结果分为四类：每天运动时间分钟的学生记为A类，30分钟分钟记为B类，40分钟分钟记为C类，分钟记为D类．将收集的数据绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）扇形统计图中D类所对应的扇形圆心角大小为______；
（2）学校举办短跑比赛，九年级1班有小红，小明和小芳三人报名参加，但是年级只从报名的3人中随机选两位学生参加比赛，已知小红和小明每天运动时间属于C类，小芳每天运动时间属于B类．请用树状图或列表的方法求出随机选到每天运动时间都大于40分钟的两位选手的概率．
18. 已知:如图,△ABC和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,D为AB边上的一点.
求证:△ACE≌△BCD.
四、解答题（二）（本大题3小题，每题8分，共24分）
19. 2022年10月16日，习总书记在第二十次全国代表大会上的报告中提出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车的进价是每辆B型汽车的进价的1.5倍，若用3000万元购进A型汽车的数量比2400万元购进B型汽车的数量少20辆．
（1）A型和B型汽车的进价分别为每辆多少万元？
（2）该公司决定用不多于3600万元购进A型和B型汽车共150辆，最多可以购买多少辆A型汽车？
20. 如图，矩形中，，．将沿所在直线翻折，点落在点处，与边交于点，过点作交于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）求线段的长．
21. 如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为，阻力臂长为．设动力为，动力臂长为．（杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂，图中撬棍本身所受的重力略去不计）
（1）求关于的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；
（2）当动力臂长为时，撬动石头至少需要多大的力？
五、解答题（三）（本大题3小题，共33分）
22. 如图，在中，，平分交于点，为上一点，经过点，的分别交，于点，，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）连接，求证：．
23. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1．
（1）当m＝2时，求抛物线的顶点坐标；
（2）①求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；
②若点（m﹣1，y1），（m，y2），（m+3，y3）都在抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1上，则y1，y2，y3的大小关系为 ；
（3）直线y＝x+b与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，过点B作垂直于y轴的直线l与抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1有两个交点，在抛物线对称轴左侧的点记为P，当△OAP为钝角三角形时，求m的取值范围．
24. 如图，在矩形中，点为边的中点，点为上的一个动点，连接并延长，交的延长线于点，以为底边在下方作等腰，且．
（1）如图①，若点恰好落在上，连接，．求证：；
（2）如图②，点H落在矩形内，连接，若，，求四边形面积的最大值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
2023年中考数学模拟押题最后一卷 广东卷
注意：
1．试卷的选择题和非选择题都在答题卷上作答，不能作答在试卷上．
2．要作图或画表，要先铅笔进行画线、绘画，再用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑．
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. （ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据算术平方根的定义可求．
【详解】解：-2，
故选A．
【点睛】本题考查了算术平方根的定义，要注意正确区分平方根与算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义．
2. 下列计算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由“减去一个数等于加上这个数的相反数”，将减法化为加法，再由加法法则进行计算即可．
【详解】A、，故此项错误；
B、，故此项错误；
C、，故此项错误；
D、，故此项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数加减运算，掌握加减运算法则是解题的关键．
3. 下列绿色能源图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了中心对称图形以及轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
4. 下列各多项式中，能用平方差公式分解因式的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平方差公式：两个数平方的差，等于这两个数的和与差的平方解答．
【详解】A、，能用平方差公式分解因式；
B、，不能用平方差公式分解因式；
C、，不能用平方差公式分解因式；
D、，不能用平方差公式分解因式；
故选：A．
【点睛】此题考查平方差公式：，掌握公式中多项式的特点是解题的关键．
5. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断
【答案】A
【解析】
【分析】由一元二次方程根的判别式：时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程有无的实数根；据此对方程进行判断即可．
【详解】解：由题意得
，，，
，
原方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点睛】本题考查了利用一元二次方程根的判别式确定方程根的个数问题，掌握根的判别式的意义是解题的关键．
6. 下列函数中，的值随值的增大而增大的函数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一次函数、二次函数和反比例函数的性质分别进行判断即可．
【详解】解：A、是反比例函数，，在每个象限内，y随x的增大而增大，所以A选项不合题意；
B、是二次函数，开口向下，对称轴为轴，当时，y随x的增大而增大，所以B选项不合题意；
C、是一次函数，，y随x的增大而增大，所以C选项符合题意；
D、是一次函数，，y随x的增大而减小，所以D选项不合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，二次函数的性质，一次函数的性质，熟练掌握反比例函数与一次函数的性质、二次函数的性质是解题的关键．
7. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边的中点，若DE＝2，则BC的长度是（ ）
A. 6 B. 5
C. 4 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用三角形中位线定理得出答案．
【详解】∵在△ABC中，D，E分别是AB，AC边的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵DE＝2，
∴BC的长度是：4．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了三角形的中位线，正确把握三角形中位线定理是解题关键．
8. 如图，在岛周围20海里水域有暗礁，一艘轮船由西向东航行到处时，发现岛在北偏东64°的方向且与轮船相距52海里．若该轮船不改变航向，为航行安全，需要计算到的距离．下列算法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出∠CAO的度数，再通过解直角三角形求解．
【详解】解：由题意可得∠CAO=64°，
∴cos∠CAO=，
即cos64°=，
∴AC=52cos64°．
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形，解题关键是熟练掌握解直角三角形的方法．
9. 已知一个三角形的三边长分别为2，3，4，与其相似的另一个三角形的周长为36，则它的最长边的长为（ ）
A. 8 B. 12 C. 16 D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】根据相似多边形的性质得最长边的长为三角形的周长×，依此列式计算即可求解．
【详解】解：∵一个三角形的三边长分别为2，3，4，与其相似的另一个三角形的周长为36，
∴它的最长边的长为36×=16．
故选：C．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质：对应角相等；对应边的比相等．
10. 如图，在⊙O中，弦，圆心O到AB的距离，则⊙O的半径长为（ ）
A. 2 B. 2 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据垂径定理求出弦长的一半，再利用勾股定理即可求解．
【详解】由题意知OC=1，且OC⊥AB，
∵AB=4，
∴AC=AB=2，
则，
故选：C．
【点睛】此题考查了垂径定理．此题比较简单，解题关键是利用垂径定理的知识构造直角三角形，然后利用勾股定理求解．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）
11. 计算：___________．
【答案】##
【解析】
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【详解】解：
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数运算，特殊角的三角函数值，准确熟练地化简各式是解题的关键．
12. 2022年冬季奥运会将在北京市张家口举行，下表记录了四名短道速滑选手几次选拔赛成绩的平均数x和方差：
小明 小红 小芳 小米
平均数x（单位：秒） 53 48 52 49
方差（单位：秒） 5.5 4 12.5 17.5
根据表中数据，这四名选手中成绩最好且发挥最稳定的运动员是______．
【答案】小红
【解析】
【分析】平均数最小的选手成绩最好，方差最小的选手成绩最稳定，由此可解．
【详解】解：由四名选手成绩的平均数可知，小红平均用时最短，成绩最好；
由四名选手成绩的方差可知，小红的方差最小，发挥最稳定；
因此这四名选手中成绩最好且发挥最稳定的运动员是小红，
故答案为：小红．
【点睛】本题考查利用平均数、方差做决策，解题的关键是掌握平均数和方差的意义．
13. 扇形半径为2，圆心角为，则扇形面积为______（结果保留）．
【答案】##
【解析】
【分析】根据扇形面积公式计算即可．
【详解】解：扇形半径为2，圆心角为，
则扇形面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查扇形面积的计算，解题的关键是掌握扇形面积公式：．
14. 点 P（a，a－3）在第四象限，则a的取值范围是_____．
【答案】0＜a＜3
【解析】
【分析】根据平面直角坐标系中各象限点的特征，判断其所在象限，四个象限的符号特征分别是：第一象限（＋，＋）；第二象限（－，＋）；第三象限（－，－）；第四象限（＋，－）.
【详解】∵点P（a，a－3）在第四象限，
∴，解得0＜a＜3.
15. 如图，是函数图象上的一点，过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，则四边形的面积是______．
【答案】
【解析】
【分析】直接根据反比例函数比例系数的几何意义求解．
【详解】解：∵是函数图象上的一点，
又，
∴四边形是矩形
∴矩形的面积．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
16. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，5．
【解析】
【分析】先根据整式的乘法、完全平方公式去括号，再计算整式的加减法，然后将x的值代入求值即可．
【详解】原式
将代入得：原式．
【点睛】本题考查了整式的乘法与加减法、完全平方公式、实数的混合运算，熟记各运算法则是解题关键．
17. 某中学为了了解学生在家主动锻炼身体的情况，随机抽查了部分学生，对他们每天的运动时间进行调查，并将调查统计的结果分为四类：每天运动时间分钟的学生记为A类，30分钟分钟记为B类，40分钟分钟记为C类，分钟记为D类．将收集的数据绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）扇形统计图中D类所对应的扇形圆心角大小为______；
（2）学校举办短跑比赛，九年级1班有小红，小明和小芳三人报名参加，但是年级只从报名的3人中随机选两位学生参加比赛，已知小红和小明每天运动时间属于C类，小芳每天运动时间属于B类．请用树状图或列表的方法求出随机选到每天运动时间都大于40分钟的两位选手的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由可求出总人数，可求出的人数，即可求解；
（2）画树状图法或列表法，根据题意利用概率计算公式，进行计算即可．
【小问1详解】
解：调查总人数：(人)，
(人)，
，
故答案：．
【小问2详解】
解：列表如下：
由表格得：共有种等可能结果，其中每天运动时间都大于40分钟、类，
小红和小明每天运动时间属于C类，
选小红和小明参加，
有种结果满足题意，
（都大于40分钟）．
故随机选到每天运动时间都大于40分钟的两位选手的概率是．
【点睛】本题考查了从条形统计及扇形统计图获取信息进行计算，用列表法或树状图等可能情形下的概率计算，理解两种统计图之间的数据关系，掌握用列表法或树状图求概率方法是解题的关键．
18. 已知:如图,△ABC和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,D为AB边上的一点.
求证:△ACE≌△BCD.
【答案】详见解析.
【解析】
【分析】首先根据△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，可知EC=DC，AC=CB，再根据同角的余角相等可证出∠1=∠2，再根据全等三角形的判定方法SAS即可证出△ACE≌△BCD．
【详解】解：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∴EC=DC，AC=CB．
∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACB﹣∠3=∠ECD﹣∠3，即：∠1=∠2．
在△ACE和△BCD中，∵，∴△ACE≌△BCD（SAS）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，关键是熟练掌握全等三角形的5种判定方法：SSS、SAS、AAS、ASA、HL，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
四、解答题（二）（本大题3小题，每题8分，共24分）
19. 2022年10月16日，习总书记在第二十次全国代表大会上的报告中提出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车的进价是每辆B型汽车的进价的1.5倍，若用3000万元购进A型汽车的数量比2400万元购进B型汽车的数量少20辆．
（1）A型和B型汽车的进价分别为每辆多少万元？
（2）该公司决定用不多于3600万元购进A型和B型汽车共150辆，最多可以购买多少辆A型汽车？
【答案】（1）A型汽车的进价为每辆30万元，B型汽车的进价为每辆20万元
（2）60辆
【解析】
【分析】（1）设B型汽车的进价为每辆万元，则A型汽车的进价为每辆万元，根据“用3000万元购进A型汽车的数量比2400万元购进B型汽车的数量少20辆”列出方程，即可求解；
（2）设购买辆A型汽车，则购买辆B型汽车，根据“用不多于3600万元购进A型和B型汽车共150辆”列出不等式，即可求解．
【小问1详解】
解：设B型汽车的进价为每辆万元，则A型汽车的进价为每辆万元，
依题意得：
解得：
经检验，是方程的解
答：A型汽车的进价为每辆30万元，B型汽车的进价为每辆20万元
【小问2详解】
解：设购买辆A型汽车，则购买辆B型汽车，
依题意得：
解得：
答：最多可以购买60辆A型汽车．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，明确题意，准确列出方程和不等式是解题的关键．
20. 如图，在矩形中，，．将沿所在直线翻折，点落在点处，与边交于点，过点作交于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）求线段的长．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】（1）易证：四边形是平行四边形，再证，即可求证；
（2）设，可求，，由即可求解．
【小问1详解】
证明：四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
由翻折得：，
，
，
四边形是菱形．
【小问2详解】
解：四边形是平行四边形，
，，，
设，
，
，
，
在中
，
，
解得：，
．
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，菱形的判定，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键．
21. 如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为，阻力臂长为．设动力为，动力臂长为．（杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂，图中撬棍本身所受的重力略去不计）
（1）求关于函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；
（2）当动力臂长为时，撬动石头至少需要多大的力？
【答案】（1）关于的函数关系式为
（2）当动力臂长为时，撬动石头至少需要的力
【解析】
【分析】（1）根据题意，杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂，代值求解即可得到关于的函数关系式；
（2）由（1）中得到的函数表达式，当动力臂长为时，即时求函数值即可得到答案．
【小问1详解】
解：由题意得，
，
即关于的函数关系式为；
【小问2详解】
解：∵，
∴当时，，
即当动力臂长为时，撬动石头至少需要的力．
【点睛】本题考查反比例函数解实际应用题，读懂题意，得到反比例函数表达式是解决问题的关键．
五、解答题（三）（本大题3小题，共33分）
22. 如图，在中，，平分交于点，为上一点，经过点，分别交，于点，，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）连接，求证：．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
【解析】
【分析】（1）连接，可证，再证，从而得证；
（2）连接，可证，可得，再证，
可得，从而可以得证．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
是的切线．
【小问2详解】
证明：如图，连接，
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了切线的判定、平行线分线段成比例、三角形相似的判定及性质、直径所对的圆周角是直角，掌握相关的判定方法及性质，会根据题意作出辅助线是解题的关键．
23. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1．
（1）当m＝2时，求抛物线的顶点坐标；
（2）①求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；
②若点（m﹣1，y1），（m，y2），（m+3，y3）都在抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1上，则y1，y2，y3的大小关系为 ；
（3）直线y＝x+b与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，过点B作垂直于y轴的直线l与抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1有两个交点，在抛物线对称轴左侧的点记为P，当△OAP为钝角三角形时，求m的取值范围．
【答案】（1）（2，﹣1）；（2）①x＝m；②y3＞y1＞y2；（3）m＞2或m＜﹣1
【解析】
【分析】（1）先将m＝2代入抛物线的解析式，并配方可得抛物线顶点的坐标；
（2）①根据函数对称轴为直线x＝﹣计算可得结论；
②函数开口向上，x＝m时函数取得最小值，根据离对称轴距离越远，函数值越大可比较
y1，y2，y3大小关系；
（3）当△OAP为钝角三角形时，则0＜m﹣2＜m或m﹣2＞﹣3，分别求解即可．
【详解】解：（1）当m＝2时，抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴顶点坐标为（2，﹣1）；
（2）①∵抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1，
∴函数对称轴为直线x＝﹣＝m；
②∵函数开口向上，x＝m时函数取得最小值，
∴离对称轴距离越远，函数值越大，
∵m﹣1＜m＜m+3，且点（m﹣1，y1），（m，y2），（m+3，y3）都在抛物线y＝x2﹣2mx+m2
﹣1上，
∴y3＞y1＞y2；
故答案为：y3＞y1＞y2；
（3）把点A（﹣3，0）代入y＝x+b的表达式并解得：b＝3，则B（0，3），直线AB的表达式为：y＝x+3，如图，
在直线y＝3上，当∠AOP＝90°时，点P与B重合，当y＝3时，y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝3，则x＝m±2，
∵点P在对称轴的左侧，
∴x＝m+2＞m不符合题意，舍去，点P（m﹣2，3），
当△OAP为钝角三角形时，则0＜m﹣2＜m或m﹣2＜﹣3，解得：m＞2或m＜﹣1，
∴m的取值范围是：m＞2或m＜﹣1．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数，解不等式，一元二次方程根的判别式，钝角三角形判断的方法等知识点，第三问有难度，确定∠AOP为直角时点P的位置最关键．
24. 如图，在矩形中，点为边的中点，点为上的一个动点，连接并延长，交的延长线于点，以为底边在下方作等腰，且．
（1）如图①，若点恰好落在上，连接，．求证：；
（2）如图②，点H落在矩形内，连接，若，，求四边形面积的最大值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）通过和等腰证明且，作作可知，四边形为矩形，再根据推出，从而证明四边形为正方形，最后利用是中点，即可求出答案．
（2）利用第一问的证明方法可证明四边形为正方形和四边形为矩形，利用已知条件从而可推出的长度，最后利用面积法列二次函数从而求出的最大面积，即可求出四边形面积的最大值．
【小问1详解】
证明：过点作于点，如图所示，
四边形为矩形，
．
为中点，
．
，，，
．
．
为等腰直角三角形，
，．
．
，四边形为矩形，
，
四边形为矩形．
，，
．
，，
．
．
四边形为矩形，
四边形为正方形．
，
，
．
【小问2详解】
解：过点作于点，过点作于点，过点作于点，连接和，如图所示，
按照（1）的方法可证明，
．
为等腰直角三角形，
，．
，四边形为矩形，
，
四边形为矩形．
，，
．
，，
．
，．
，，
．
四边形为矩形，
四边形为正方形．
．
，
．
，，，
四边形为矩形．
．
．
设，
，
．
，
时，的面积最大，且最大值为．
四边形的面积的最大值为：．
故答案为：．
【点睛】本题是四边想综合题，考查的有矩形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及二次函数的性质等知识，解题的关键在于寻找正确的三角形全等证明线段之间的数量关系以及学会利用参数构建二次函数解决最值问题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
