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2023年中考数学模拟押题最后一卷 广州卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1. 的倒数是（ ）
A. B. 3 C. D.
2. 如图是由6个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是
A. 主视图 B. 左视图 C. 俯视图 D. 主视图和左视图
3. 如图，直线a∥b，以直线a上的点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线a、b于点B、C，连接AC、BC．若∠ABC＝65°，则∠1＝（ ）
A. 115° B. 80° C. 65° D. 50°
4. 下列运算正确的是（ ）
A B.
C. D.
5. 某中学在备考2023中考体育的过程中抽取该校九年级20名男生进行立定跳远测试，成绩如下所示，则下列叙述正确的是（ ）
成绩（单位：米） 2.10 2.20 225 2.30 2.35 2.40 2.45 2.50
人数 2 3 2 4 5 2 1 1
A. 这些男生成绩的众数是5 B. 这些男生成绩的中位数是2.30
C. 这些男生的平均成绩是2.25 D. 这些男生成绩的极差是0.35
6. 如图，、是的两条切线，、是切点，，阴影部分的面积为，则的半径长为( )
A. B. 3 C. 1 D.
7. 若二次函数y＝x2﹣2x﹣m与x轴无交点，则一次函数y＝（m+1）x+m﹣1图象不经过（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
8. 在中，，，，则等于（ ）
A. 25 B. 12 C. 9 D. 16
9. 在同一直角坐标系中，二次函数与反比例函数的图象上有三个不同的点，，，其中m为常数，令，则的值为（ ）
A. B. m C. D.
10. 如图，在等边三角形ABC中，点P，Q分别是AC，BC边上的动点（都不与线段端点重合），且AP=CQ，AQ、BP相交于点O．下列四个结论：①若PC=2AP，则BO=6OP；②若BC=8，BP=7，则PC=5；③AP2=OP AQ；④若AB=3，则OC的最小值为，其中正确的是（ ）
A. ①③④ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 方程 的解为____．
12. 因式分解：8a3﹣2ab2=_____．
13. 如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的的圆心O在格点上，则___________．
14. 如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a_____．
15. 如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3，点F是边BC上不与点B、C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处，若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为_____________．
16. 如图，在中，斜边，，点P为边上一动点（不与A，B重合），平分交边于点Q，于M，于N．
（1）当时，线段的长是___________．
（2）当时，线段的长是___________．
三、解答题（本大题共9个小题，共72分）
17. 解方程．
18. 如图，已知□，点分别是边上的点，且分别过点作，垂足为点，求证：．
19. 先化简，再求值：已知，求的值．
20. 本月初我市市区某校九年级学生进行一次体育模拟测试，将目标效果测试中第二类选考项目（足球运球、篮球运球、排球垫球任选一项）的情况进行统计，并将统计结果绘制成统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：
（1）参加“排球垫球”测试的人数有___________人，“篮球运球”的中位数落在___________等级：
（2）学校准备从“排球垫球”和“篮球运球”较好的两男两女四名学生中，随机抽取两名学生为全校学生演示动作，请用列表法或画树状图法求恰好抽取到一名男生和一名女生的概率．
21. 如图是一座人行天桥的示意图，已知天桥的高度米，坡面的倾斜角，距B点8米处有一建筑物，为了方便行人推自行车过天桥，市政府决定降低坡面的坡度，把倾斜角由减至，即使得新坡面的倾斜角为．若新坡面底端A处与建筑物之间需要留下至少3米宽的人行道，那么该建筑物是否需要拆除？请说明理由．（结果精确到0．1米；参考数据：，）
22. 如图，在矩形中，，，反比例函数的图象与矩形两边、分别交于点、点，且．
（1）反比例函数的解析式；
（2）若点是线段上的一个动点，是否存在点，使？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
23. 如图，为的直径，、为圆上两点，．
（1）尺规作图：作于（保留作图痕迹，不用写作图步骤）；
（2）求证：是的切线；
（3）若，，的值．
24. 二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点、
（1）求、的值；
（2）是二次函数图象在第一象限部分上一点，且，求点P的坐标．
（3）在（2）的条件下，有一条长度为的线段落在上（与重合，与重合），将线段沿轴正方向以每秒个单位向右平移，设移动时间为秒，当四边形周长最小时，求的值．
25. 如图1，点D是边长为4的等边三角形内部一点，满足，且，点为延长线与边的交点．
（1）求DE的长；
（2）若绕点C顺时针旋转至处，如图2，点B的对应点为点，点D对应点为点，连接并取的中点G，连接BG，．
①试探究BG与关系，并说明理由．
②若将绕点C顺时针旋转一周，求线段取值范围．
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2023年中考数学模拟押题最后一卷 广州卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1. 的倒数是（ ）
A. B. 3 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据倒数的定义求解即可．
【详解】解：由题意知，的倒数是，
故选：C．
【点睛】本题考查了倒数的定义．解题的关键在于熟练掌握：分子和分母相倒并且两个乘积是1的数互为倒数．
2. 如图是由6个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是
A. 主视图 B. 左视图 C. 俯视图 D. 主视图和左视图
【答案】C
【解析】
【详解】【分析】根据所得到主视图、俯视图、左视图结合中心对称图形的定义进行判断即可.
【详解】观察几何体，可得三视图如图所示：
可知俯视图是中心对称图形，
故选C.
【点睛】本题考查了三视图、中心对称图形，正确得到三视图是解决问题的关键.
3. 如图，直线a∥b，以直线a上的点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线a、b于点B、C，连接AC、BC．若∠ABC＝65°，则∠1＝（ ）
A. 115° B. 80° C. 65° D. 50°
【答案】D
【解析】
【分析】首先由题意可得：AB＝AC，根据等边对等角的性质，即可求得∠ACB的度数，又由直线l1∥l2，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠1的度数．
【详解】解：根据题意得：AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝65°，
∵直线l1∥l2，
∴∠1+∠ACB+∠ABC＝180°，
∴∠1＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣65°＝50°．
故选D．
【点睛】此题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质．解题的关键是注意掌握两直线平行，内错角相等与等边对等角定理的应用．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据合并同类项法则计算并判定A；根据二次根式加法法则判定B；二次根式性质化简并判定C；根据积的乘方与幂的乘方计算并判定D．
【详解】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查合并同类项，二次根式的加法运算，二次根式的性质，积的乘方与的幂的乘方，熟练掌握二次根式的性质与运算法则，积的乘方与合并同类项法则是解题的关键．
5. 某中学在备考2023中考体育的过程中抽取该校九年级20名男生进行立定跳远测试，成绩如下所示，则下列叙述正确的是（ ）
成绩（单位：米） 2.10 2.20 2.25 2.30 2.35 2.40 2.45 2.50
人数 2 3 2 4 5 2 1 1
A. 这些男生成绩的众数是5 B. 这些男生成绩的中位数是2.30
C. 这些男生的平均成绩是2.25 D. 这些男生成绩的极差是0.35
【答案】B
【解析】
【分析】根据极差、平均数、中位数和众数的计算公式和定义分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【详解】由表格中数据可得：
A、这些运动员成绩的众数是，故该选项不正确，不符合题意；
B、这些运动员成绩的中位数是，故该选项正确，符合题意；
C、这些运动员的平均成绩是 ，故该选项不正确，不符合题意；
D、这些运动员成绩的极差是，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】考查了极差、平均数、中位数和众数，熟练掌握定义和计算公式是本题的关键，平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；极差：一组数据中最大值与最小值的差叫做这组数据的极差．
6. 如图，、是的两条切线，、是切点，，阴影部分的面积为，则的半径长为( )
A. B. 3 C. 1 D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接，根据切线的性质得到，根据已知条件得到，根据扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：连接，
∵、是的两条切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵阴影部分的面积为，
∴
∴
故选：B．
【点睛】本题考查了切线的性质，扇形的面积公式，三角函数的定义，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
7. 若二次函数y＝x2﹣2x﹣m与x轴无交点，则一次函数y＝（m+1）x+m﹣1的图象不经过（ ）
A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】先根据判别式的意义得到△＝（﹣2）2﹣4（﹣m）＜0，解得m＜﹣1，然后根据一次函数的性质进行判断．
【详解】∵二次函数y＝x2﹣2x﹣m与x轴无交点，
∴△＝（﹣2）2﹣4（﹣m）＜0，解得m＜﹣1，
∵m+1＜0，m﹣1＜0，
∴一次函数y＝（m+1）x+m﹣1的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限．
故选A．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了一次函数的性质．
8. 在中，，，，则等于（ ）
A. 25 B. 12 C. 9 D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】根据正弦定义求得，进而勾股定理即可求解．
【详解】解：∵在中，，，，
∴
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
9. 在同一直角坐标系中，二次函数与反比例函数的图象上有三个不同的点，，，其中m为常数，令，则的值为（ ）
A. B. m C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】三个点的纵坐标相同，由图象可知图象上点横坐标互为相反数，则，再由反比例函数性质可求．
【详解】解：设点A、B在二次函数的图象上，点C在反比例函数的图象上，
因为A、B两点纵坐标相同，则A、B关于y轴对称，则，
因为点在反比例函数图象上，则，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象的轴对称性，反比例函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数图象上点纵坐标相同时，对应点关于抛物线对称轴对称是解题的关键．
10. 如图，在等边三角形ABC中，点P，Q分别是AC，BC边上的动点（都不与线段端点重合），且AP=CQ，AQ、BP相交于点O．下列四个结论：①若PC=2AP，则BO=6OP；②若BC=8，BP=7，则PC=5；③AP2=OP AQ；④若AB=3，则OC的最小值为，其中正确的是（ ）
A. ①③④ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③
【答案】A
【解析】
【分析】根据等边三角形的性质得到AC=BC，根据线段的和差得到CP=BQ，过P作PD∥BC交AQ于D，根据相似三角形的性质得到①正确；过B作BE⊥AC于E，解直角三角形得到②错误；在根据全等三角形的性质得到∠ABP=∠CAQ，PB=AQ，根据相似三角形的性质得到③正确；以AB为边作等边三角形NAB，连接CN，证明点N，A，O，B四点共圆，且圆心即为等边三角形NAB的中心M，设CM于圆M交点O′，CO′即为CO的最小值，根据30度角的直角三角形即可求出结果．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，
∵AP=CQ，
∴CP=BQ，
∵PC=2AP，
∴BQ=2CQ，
如图，过P作PD∥BC交AQ于D，
∴△ADP∽△AQC，△POD∽△BOQ，
∴，，
∴CQ=3PD，
∴BQ=6PD，
∴BO=6OP；故①正确；
过B作BE⊥AC于E，
则CE=AC=4，
∵∠C=60°，
∴BE=4，
∴PE==1，
∴PC=4+1=5，或PC=4-1=3，故②错误；
在等边△ABC中，AB=AC，∠BAC=∠C=60°，
在△ABP与△CAQ中，
，
∴△ABP≌△ACQ（SAS），
∴∠ABP=∠CAQ，PB=AQ，
∵∠APO=∠BPA，
∴△APO∽△BPA，
∴，
∴AP2=OP PB，
∴AP2=OP AQ．故③正确；
以AB为边作等边三角形NAB，连接CN，
∴∠NAB=∠NBA=60°，NA=NB，
∵∠PBA=∠QAC，
∴∠NAO+∠NBO=∠NAB+∠BAQ+∠NBA+∠PBA
=60°+∠BAQ+60°+∠QAC
=120°+∠BAC
=180°，
∴点N，A，O，B四点共圆，且圆心即为等边三角形NAB的中心M，
设CM于圆M交点O′，CO′即为CO的最小值，
∵NA=NB，CA=CB，
∴CN垂直平分AB，
∴∠MAD=∠ACM=30°，
∴∠MAC=∠MAD+∠BAC=90°，
在Rt△MAC中，AC=3，
∴MA=AC tan∠ACM=，CM=2AM=2，
∴MO′=MA=，
即CO的最小值为，故④正确．
综上：正确的有①③④．
故选：A．
【点睛】本题属于三角形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，四点共圆，锐角三角函数，最短路径问题，综合掌握以上知识并正确的作出辅助线是解题的关键．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 方程 的解为____．
【答案】
【解析】
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】，
去分母得：，
解得：，
经检验：是原方程的解．
故答案为：
【点睛】本题主要考查分式方程的解法，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
12. 因式分解：8a3﹣2ab2=_____．
【答案】2a（2a+b）（2a﹣b）．
【解析】
【分析】首先提取公因式2a，再利用平方差公式分解因式得出答案．
【详解】解：8a3-2ab2=2a（4a2-b2）
=2a（2a+b）（2a-b）．
故答案为：2a（2a+b）（2a-b）．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
13. 如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的的圆心O在格点上，则___________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出，再根据余弦的定义求解即可．
【详解】解：根据圆周角定理的推论，可得，
∵
∴
所以．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查圆周角定理的推论知识及锐角三角函数的概念，正确得出相等的角是解题关键．
14. 如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a_____．
【答案】2
【解析】
【分析】直接利用二次根式的性质以及结合数轴得出a的取值范围进而化简即可．
【详解】解：由数轴可得：0＜a＜2，
则a+
=a+
=a+（2﹣a）
=2．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是正确得出a的取值范围．
15. 如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3，点F是边BC上不与点B、C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处，若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为_____________．
【答案】16或4##或16
【解析】
【分析】根据翻折的性质，可得BE的长，根据勾股定理，可得CE的长，根据等腰三角形的判定，可得答案．
【详解】（1）当B′D=B′C时，过B′点作GH∥AD，则∠B′GE=90°，
当B′C=B′D时，AG=DH=DC=8，由AE=3，AB=16，得BE=13．
由翻折的性质，得B′E=BE=13，
∴EG=AG﹣AE=8﹣3=5，
∴B′G===12，
∴B′H=GH﹣B′G=16﹣12=4，
∴DB′===；
（2）当DB′=CD时，则DB′=16（易知点F在BC上且不与点C、B重合）；
（3）当CB′=CD时，
∵EB=EB′，CB=CB′，
∴点E、C在BB′的垂直平分线上，
∴EC垂直平分BB′，
由折叠可知点F与点C重合，不符合题意，舍去．
综上所述，DB′的长为16或．
故答案为：16或．
【点睛】本题考查了翻折变换、勾股定理、等腰三角形的判定，分类讨论是解题的关键．
16. 如图，在中，斜边，，点P为边上一动点（不与A，B重合），平分交边于点Q，于M，于N．
（1）当时，线段的长是___________．
（2）当时，线段的长是___________．
【答案】 ①. 4 ②. ##
【解析】
【分析】（1）根据，，可得，再根据平分，可得是的中点，而是的中点，即可得出；
（2）先根据面积法求得，再设，根据勾股定理可得方程，解得，求得，再根据，得出，即，进而得出，解得．
【详解】解：（1）在中，，，
，，
，
，
，
，，
，
，
又平分，
是的中点，
∴；
故答案为：4；
（2），，
，
，
设，则
中，，
中，，
，
解得，
，
又，，
∴，
，
，
，即，
解得；
故答案为：．
【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形以及勾股定理的综合应用，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．
三、解答题（本大题共9个小题，共72分）
17. 解方程．
【答案】
【解析】
【分析】方程两边同时乘以化为整式方程，解方程并检验即可求解．
详解】解：方程两边同时乘以得，
，
解得：，
经检验是原方程的解．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
18. 如图，已知□，点分别是边上的点，且分别过点作，垂足为点，求证：．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】由平行四边形对边相等、对边平行的性质，解得，根据已知条件计算得，再由两直线平行，内错角相等解得，进而证明，最后根据全等三角形对应边相等的性质解题即可．
【详解】证明：四边形是平行四边形，
，即
,,
（AAS）
【点睛】本题考查平行四边形的性质、平行线定理、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
19. 先化简，再求值：已知，求的值．
【答案】8
【解析】
【分析】先利用完全平方公式与平方差公式以及单项式乘以多项式进行乘法运算，再合并同类项得到化简的结果，再由可得，整体代入求值即可．
【详解】解：
∵
∴
∴
【点睛】本题考查的是整式的乘法运算中的化简求值，熟练的利用乘法公式进行化简，再整体代入求值是解本题的关键．
20. 本月初我市市区某校九年级学生进行一次体育模拟测试，将目标效果测试中第二类选考项目（足球运球、篮球运球、排球垫球任选一项）的情况进行统计，并将统计结果绘制成统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：
（1）参加“排球垫球”测试的人数有___________人，“篮球运球”的中位数落在___________等级：
（2）学校准备从“排球垫球”和“篮球运球”较好的两男两女四名学生中，随机抽取两名学生为全校学生演示动作，请用列表法或画树状图法求恰好抽取到一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1）165；良好
（2）恰好抽取到一名男生和一名女生的概率为．
【解析】
【分析】（1）求出“篮球运球”的学生人数，用“篮球运球”的学生人数除以其所占的百分比可得参加本次测试的人数；根据扇形统计图求出“排球垫球”的百分比，再乘以参加本次测试的人数可得参加“排球垫球”测试的人数；根据中位数的定义可得答案．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好抽取到一名男生和一名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【小问1详解】
解：∵参加“篮球运球”测试的人数有（人），
∴学校参加本次测试的人数有（人）．
参加“排球垫球”测试的人数有（人）．
∵“篮球运球”的105个数据按从小到大排列后，第53个数据落在“良好”等级，
∴“篮球运球”的中位数落在良好等级．
故答案为：165；良好；
【小问2详解】
解：设两名男生和两名女生分别记为A，B，C，D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽取到一名男生和一名女生的结果有：，共8种，
∴恰好抽取到一名男生和一名女生的概率为．
【点睛】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、中位数、用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法、中位数的定义以及用样本估计总体是解答本题的关键．
21. 如图是一座人行天桥的示意图，已知天桥的高度米，坡面的倾斜角，距B点8米处有一建筑物，为了方便行人推自行车过天桥，市政府决定降低坡面的坡度，把倾斜角由减至，即使得新坡面的倾斜角为．若新坡面底端A处与建筑物之间需要留下至少3米宽的人行道，那么该建筑物是否需要拆除？请说明理由．（结果精确到0．1米；参考数据：，）
【答案】该建筑物不需要拆除，理由见解析
【解析】
【分析】先解求出，再解求出，进而求出米，再由米，求出米，在比较的长与3的大小即可得到答案．
【详解】解：该建筑物不需要拆除，理由如下：
在中，米，
∴米；
在中，米，
∴米；
∴米，
∵米，
∴米，
∵，
∴该建筑物不需要拆除．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，正确求出的长是解题的关键．
22. 如图，在矩形中，，，反比例函数的图象与矩形两边、分别交于点、点，且．
（1）反比例函数的解析式；
（2）若点是线段上的一个动点，是否存在点，使？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在要求的点，坐标为或
【解析】
【分析】(1)由矩形$OABC$中，，可得，即可求得$AD$的长，然后求得点的坐标，即可求得的值；
(2)首先假设存在要求的点坐标为，由，易证得，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的值，继而求得此时点的坐标．
【小问1详解】
，，
，
，
又，
，
点在双曲线上，
，
；
【小问2详解】
假设存在要求的点坐标为，，．
，
，
又，
，
又，
∽，
，
，
解得：或，
存在要求的点，坐标为或．
【点睛】此题属于反比例函数综合题，考查了待定系数求反比例函数解析式、矩形的性质以及相似三角形的判定与性质．注意求得点D的坐标与证得是解此题的关键．
23. 如图，为的直径，、为圆上两点，．
（1）尺规作图：作于（保留作图痕迹，不用写作图步骤）；
（2）求证：是的切线；
（3）若，，的值．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意作作于；
（2）连接，已知条件得出，则，根据（1）可得，则，即可得证；
（3）连接，证明，得出，勾股定理可得，则，解方程求得，根据，求得，然后根据，根据余弦的定义即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，
【小问2详解】
证明：如图所示，连接，
∵，
∴
又∵
∴
∴，
又∵
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
【小问3详解】
解：如图所示，连接 ，
∵是的切线,
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
即，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：或，
∵
∴
∴
∵
∴
又是直径，
则，
∴．
【点睛】本题考查了作垂线，切线的判定，圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
24. 二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点、
（1）求、的值；
（2）是二次函数图象在第一象限部分上一点，且，求点P的坐标．
（3）在（2）的条件下，有一条长度为的线段落在上（与重合，与重合），将线段沿轴正方向以每秒个单位向右平移，设移动时间为秒，当四边形周长最小时，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）待定系数法解析即可求解；
（2）作关于轴对称点，连接，过点作，依题意，点即为所求，求得直线的解析式，进而求得的解析式，联立抛物线解析式即可求解；
（3），连接，将点沿轴的轴正方向移动1个单位得到点，则四边形是平行四边形，根据题意，的周长等于，当三点共线时，求得最小值，待定系数法求得直线的解析式，令求得点的坐标，进而即可求解．
【小问1详解】
∵，
令，解得：，
∴，
∵抛物线过点、，
设抛物线解析式为，
将点代入得，，
解得：，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：作关于轴的对称点，连接，过点作，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点即为所求，
∵，
∴，
设直线的解析式为，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：或，
∴；
【小问3详解】
如图所示，连接，将点沿轴的轴正方向移动1个单位得到点，则四边形是平行四边形，
根据题意，的周长等于，
当三点共线时，的周长取得最小值，
由（2）可得，,则，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式，
令，得，
∴的坐标为，
∵，将线段沿轴正方向以每秒个单位向右平移，设移动时间为秒，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查了二次函数综合应用，角度问题，轴对称的性质，熟练掌握二次函数的性质，轴对称的性质是解题的关键．
25. 如图1，点D是边长为4的等边三角形内部一点，满足，且，点为延长线与边的交点．
（1）求DE的长；
（2）若绕点C顺时针旋转至处，如图2，点B的对应点为点，点D对应点为点，连接并取的中点G，连接BG，．
①试探究BG与的关系，并说明理由．
②若将绕点C顺时针旋转一周，求线段的取值范围．
【答案】（1）；
（2）①，；②．
【解析】
【分析】（1）根据直角三角形30度角的性质证明即可．
（2）①结论，．延长到，使得，连接，，延长交于．利用全等三角形的性质证明△是顶角为的等腰三角形，即可解决问题．
②如图3中，连接．求出，，即可判断．
【小问1详解】
证明：如图1中，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，
，
．
∵，∴，
∴；
【小问2详解】
解：①如图2中，结论，．
理由：延长到，使得，连接，，延长交于．
，，，
∴，
，，
∴，
，
，，，
，，
，
，
，
，
∴，
，，
，
，
，，
，，
，
，；
②如图3中，连接．
由题意，，
，
，，
，
，
，
，
．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
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