平面的基本性质
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文档简介
平面的基本性质
教学目标：（1）初步理解平面的概念；
（2）了解平面的基本性质（公理1~3）；
（3）能正确使用集合符号表示有关点、线、面的位置关系；
（4）能应用平面的基本性质解决一些简单的问题。
教学重点：平面的基本性质。
教学难点：平面的无限延展性；正确使用图形语言、符号语言表示平面的基本性质。
教学过程：
一、问题情境
1．情境1：平静的水面、广阔的平原、平坦的足球场地、平滑的桌面、黑板的表面等。
情境2：棱柱的表面、圆柱和圆台的底面。
2．问题1：这些事物给我们一种怎样的形象？
二、学生活动
观察上述事物，结合棱柱、圆柱等几何体和已知的点、直线的概念，归纳、抽象出平面的基本特征：平坦的，没有厚薄，是无限延展的。
三、建构数学
1．平面概念
问题2：可以用怎样的数学语言描述上述事物？
（1）平面的概念：我们将上述事物用平面表示，和点、直线一样，平面也是从现实世界中抽象出来的几何概念，它没有厚薄，是无限延展的。
情境3：电脑演示课件(如图2)。
问题3：我们可以通过怎样的方式形成平面？
通过观察，发现：平面可以看成是一条直线沿着某一方向平移得到的。
问题4：直线可以看成是以点作为元素的集合，平面是否可视为点构成的集合？可以用怎样的数学符号表示点、直线与平面之间的关系？
为此，我们先确定平面的表示方法：
2．平面的表示
（1）图形语言
通常用平行四边形来表示平面。有时也可用三角形等其它图形表示平面。（注意从不同的角度画出平面）
（2）符号语言
平面通常用希腊字母α、β、γ…来表示，也可以用表示平行四边形的对角顶点的字母来表示，如图3，平面α、平面AC等.
至此，我们就可以解决问题4了：怎样用符号语言分别表示：点A在平面α内、点A不在平面α内、直线l在平面α内、直线l不在平面α内？
3．平面的基本性质
情境4：木工为了检查桌面是否“平”，常将一把直尺靠放在桌面上，看直尺与桌面之间是否有空隙。
问题5：如果直线上有两个点在一个平面内，这条直线与这个平面有怎样的位置关系？
通过观察、分析，可以发现：
公理1 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。
可见，所谓平面的“平”，可以认为：如果一条直线在平面内，那么这条直线上不会有跳出平面的点。
公理1可用符号表示为：
直线AB.
情境5：
（1）把一本书的一角放在桌面上，观察这本书所在的平面与桌面所在平面有几个公共点。
（2）把教室门及其所在的墙面看成两个平面，当门不关闭时，它们的公共点分布情况如何？
问题6：两个平面可能只有一个公共点吗？两个平面如果有公共点，有多少个公共点？这些公共点有怎样的关系？
学生归纳，得出平面的基本性质2：
公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线。
可见，之所以说平面是“无限延展的”，是因为两个平面只要有公共点，它们就是相交的位置关系，公共部分就是一条直线。
公理2用符号表示为
且
情境6：
（1）两个合页与一把锁就可以把门固定。
（2）照相机的支架只需三条腿。
问题7：如何用数学语言描述上述事实？
学生归纳，得出平面的基本性质3。
公理3：过不在一直线上的三点有且只有一个平面。
公理3说明：三个不共线的点可以把一个平面确定下来。强调“不在同一直线上”与“三点”的作用.
四、数学运用
1、例题
例1．如图，在长方体中，下列命题是否正确，并说明理由。
（1）在平面内；
（2）若分别为面、
的中心，则平面与平
面的交线为；
（3）由点可以确定一个平面；
（4）设直线平面，直线平面，若与相交，则交点一定在直线上；
（5）由确定的平面与由确定的平面是同一个平面。
解：（1）错误；(2)正确； (3) 错误；(4) 正确；（5）正确.
2、练习
练习（P23）1、2、3、4、5
五、回顾小结
本节课学面的画法及其表示；平面的基本性质（三个公理）及其简单应用.
六、课外作业
习题3.2 第3、4、11题.
图1
图2
l
→平移
B
A
D
C
α
图3
B
C
D
A
A1
B1
C1
D1
O1
O
教学目标：（1）初步理解平面的概念；
（2）了解平面的基本性质（公理1~3）；
（3）能正确使用集合符号表示有关点、线、面的位置关系；
（4）能应用平面的基本性质解决一些简单的问题。
教学重点：平面的基本性质。
教学难点：平面的无限延展性；正确使用图形语言、符号语言表示平面的基本性质。
教学过程：
一、问题情境
1．情境1：平静的水面、广阔的平原、平坦的足球场地、平滑的桌面、黑板的表面等。
情境2：棱柱的表面、圆柱和圆台的底面。
2．问题1：这些事物给我们一种怎样的形象？
二、学生活动
观察上述事物，结合棱柱、圆柱等几何体和已知的点、直线的概念，归纳、抽象出平面的基本特征：平坦的，没有厚薄，是无限延展的。
三、建构数学
1．平面概念
问题2：可以用怎样的数学语言描述上述事物？
（1）平面的概念：我们将上述事物用平面表示，和点、直线一样，平面也是从现实世界中抽象出来的几何概念，它没有厚薄，是无限延展的。
情境3：电脑演示课件(如图2)。
问题3：我们可以通过怎样的方式形成平面？
通过观察，发现：平面可以看成是一条直线沿着某一方向平移得到的。
问题4：直线可以看成是以点作为元素的集合，平面是否可视为点构成的集合？可以用怎样的数学符号表示点、直线与平面之间的关系？
为此，我们先确定平面的表示方法：
2．平面的表示
（1）图形语言
通常用平行四边形来表示平面。有时也可用三角形等其它图形表示平面。（注意从不同的角度画出平面）
（2）符号语言
平面通常用希腊字母α、β、γ…来表示，也可以用表示平行四边形的对角顶点的字母来表示，如图3，平面α、平面AC等.
至此，我们就可以解决问题4了：怎样用符号语言分别表示：点A在平面α内、点A不在平面α内、直线l在平面α内、直线l不在平面α内？
3．平面的基本性质
情境4：木工为了检查桌面是否“平”，常将一把直尺靠放在桌面上，看直尺与桌面之间是否有空隙。
问题5：如果直线上有两个点在一个平面内，这条直线与这个平面有怎样的位置关系？
通过观察、分析，可以发现：
公理1 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。
可见，所谓平面的“平”，可以认为：如果一条直线在平面内，那么这条直线上不会有跳出平面的点。
公理1可用符号表示为：
直线AB.
情境5：
（1）把一本书的一角放在桌面上，观察这本书所在的平面与桌面所在平面有几个公共点。
（2）把教室门及其所在的墙面看成两个平面，当门不关闭时，它们的公共点分布情况如何？
问题6：两个平面可能只有一个公共点吗？两个平面如果有公共点，有多少个公共点？这些公共点有怎样的关系？
学生归纳，得出平面的基本性质2：
公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线。
可见，之所以说平面是“无限延展的”，是因为两个平面只要有公共点，它们就是相交的位置关系，公共部分就是一条直线。
公理2用符号表示为
且
情境6：
（1）两个合页与一把锁就可以把门固定。
（2）照相机的支架只需三条腿。
问题7：如何用数学语言描述上述事实？
学生归纳，得出平面的基本性质3。
公理3：过不在一直线上的三点有且只有一个平面。
公理3说明：三个不共线的点可以把一个平面确定下来。强调“不在同一直线上”与“三点”的作用.
四、数学运用
1、例题
例1．如图，在长方体中，下列命题是否正确，并说明理由。
（1）在平面内；
（2）若分别为面、
的中心，则平面与平
面的交线为；
（3）由点可以确定一个平面；
（4）设直线平面，直线平面，若与相交，则交点一定在直线上；
（5）由确定的平面与由确定的平面是同一个平面。
解：（1）错误；(2)正确； (3) 错误；(4) 正确；（5）正确.
2、练习
练习（P23）1、2、3、4、5
五、回顾小结
本节课学面的画法及其表示；平面的基本性质（三个公理）及其简单应用.
六、课外作业
习题3.2 第3、4、11题.
图1
图2
l
→平移
B
A
D
C
α
图3
B
C
D
A
A1
B1
C1
D1
O1
O