第一章 集 合
§1.1 集合与集合的表示方法
1.1.1 集合的概念
自主学习
学习目标
1．体验由实例分析探究集合中元素的特性的过程，了解集合的含义以及集合中元素的特性，培养自己的抽象、概括能力．
2．掌握“属于”关系的意义，知道常用数集及其记法，初步体会集合语言和符号语言表示数学内容的简洁性和准确性．
自学导引
1．元素与集合的概念
(1)集合：一般地，把一些能够________________对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的________构成的集合(或集)．通常用____________________表示．
(2)元素：构成集合的______________叫做这个集合的元素(或成员)，通常用________________表示．
2．集合中元素的特性：__________、__________.
3．元素与集合的关系
(1)如果a是集合A的元素，就说________________，记作________．
(2)如果a不是集合A的元素，就说__________________，记作________．
4．实数集、有理数集、整数集、非负整数集、 ( http: / / www.21cnjy.com )正整数集分别用字母______、________、________、________、________或________来表示．
5．集合的分类
集合
对点讲练
知识点一 集合的概念
例1 考查下列每组对象能否构成一个集合：
(1)著名的数学家；
(2)某校2010年在校的所有高个子同学；
(3)不超过20的非负数；
(4)方程x2－9＝0在实数范围内的解；
(5)直角坐标平面内第一象限的一些点；
(6)的近似值的全体．
规律方法 判断指定的对象能不能形成集合，关 ( http: / / www.21cnjy.com )键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．
变式迁移1 下列给出的对象中，能构成集合的是( )
A．高个子的人 B．很大的数
C．聪明的人 D．小于3的实数
知识点二 集合中元素的特性
例2 已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求a.
规律方法 对于解决集合中元 ( http: / / www.21cnjy.com )素含有参数的问题一定要全面思考，特别关注元素在集合中的互异性．分类讨论的思想是中学数学中的一种重要的数学思想，我们一定要在以后的学习中熟练掌握．
变式迁移2 已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，求实数m的值．
知识点三 元素与集合的关系
例3 若所有形如3a＋b(a∈Z，b∈Z)的数组成集合A，判断6－2是不是集合A中的元素．
规律方法 判断一个元素是不是某个集合的 ( http: / / www.21cnjy.com )元素，就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征．像此类题，主要看能否将所给对象的表达式转化为集合中元素所具有的形式．
变式迁移3 集合A是由形如m＋n(m∈Z，n∈Z)的数构成的，判断是不是集合A中的元素．
1．充分利用集合中元素的特性是解决集合问题的基础．
2．两集合中的元素相同则两集合就相同，与它们元素的排列顺序无关．
3．解集合问题特别是涉及求字母的值或范围，把所得结果代入原题检验是不可缺少的步骤．特别是互异性，最易被忽视，必须在学习中引起足够重视.
课时作业
一、选择题
1．下列几组对象可以构成集合的是( )
A．充分接近π的实数的全体
B．善良的人
C．某校高一所有聪明的同学
D．某单位所有身高在1.7 m以上的人
2．下列四个说法中正确的个数是( )
①集合N中最小数为1；
②若a∈N，则－a N；
③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为2；
④所有小的正数组成一个集合．
A．0 B．1 C．2 D．3
3．由a2,2－a,4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是( )
A．1 B．－2 C．6 D．2
4．已知集合S的三个元素a、b、c是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
5．已知x、y、z为非零实数，代数式＋＋＋的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是( )
A．0 M B．2∈M C．－4 M D．4∈M
二、填空题
6．用“∈”或“ ”填空
(1)－3______N； (2)3.14______Q； (3)______Z；
(4)－______R； (5)1______N*； (6)0________N.
7．集合A＝{1,2,3,5}，当 ( http: / / www.21cnjy.com )x∈A时，若x－1 A，x＋1 A，则称x为A的一个“孤立元素”，则A中孤立元素的个数为________．
8．由下列对象组成的集体属于集合的是________(填序号)．
①不超过π的正整数； ②高一数学课本中所有的难题；
③中国的大城市； ④平方后等于自身的数；
⑤某校高一(2)班中考试成绩在500分以上的学生．
三、解答题
9．已知集合M＝{－2,3x2＋3x－4，x2＋x－4}，若2∈M，求x.
10．设P、Q为两个非空实数集合， ( http: / / www.21cnjy.com )P中含有0,2,5三个元素，Q中含有1,2,6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，求P＋Q中元素的个数是多少？
【探究驿站】
11．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则∈A (a≠1)．
求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；
(2)集合A不可能是单元素集．
第一章 集 合
§1.1 集合与集合的表示方法
1．1.1 集合的概念
答案
自学导引
1．(1)确定的不同的 全体 英语大写字母
(2)每个对象 英语小写字母
2．确定性 互异性
3．(1)a属于集合A a∈A
(2)a不属于集合A a A
4．R Q Z N N* N＋
5． 有限集 无限集
对点讲练
例1 解 (1)“著名的数学家”无明确的标准 ( http: / / www.21cnjy.com )，对于某个人是否“著名”无法客观地判断，因此“著名的数学家”不能构成一个集合；类似地，(2)也不能构成集合；(3)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x>20或x<0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；类似地，(4)也能构成集合；(5)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(6)“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以(6)不能构成集合．
变式迁移1 D
例2 解 ∵－3∈A，
则－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，
∴a＝－1或a＝－.
则当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a＝－1应舍去．
当a＝－时，a－2＝－，2a2＋5a＝－3，
∴a＝－.
变式迁移2 解 ∵2∈A，
∴m＝2或m2－3m＋2＝2.
若m＝2，则m2－3m＋2＝0，
不符合集合中元素的互异性，舍去．
若m2－3m＋2＝2，求得m＝0或3.
m＝0不合题意，舍去．经验证m＝3符合题意，
∴m只能取3.
例3 解 因为在3a＋b(a∈Z，b∈Z)中，
令a＝2，b＝－2，即可得到6－2，
所以6－2是集合A中的元素．
变式迁移3 解 ∵＝2＋＝2＋×1，
而2,1∈Z，
∴2＋∈A，即∈A.
课时作业
1．D 2.A
3．C [验证，看每个选项是否符合元素的互异性．]
4．D [由元素的互异性知a，b，c均不相等．]
5．D [分类讨论：x、y、z中三个为正，两个为正，一个为正，全为负，此时代数式的值分别为4,0，0，－4，∴4∈M.]
6．(1) (2)∈ (3) (4)∈ (5)∈ (6)∈
7．1
解析 当x＝1时，x－1＝0 A，x＋1＝2∈A；
当x＝2时，x－1＝1∈A，x＋1＝3∈A；
当x＝3时，x－1＝2∈A，x＋1＝4 A；
当x＝5时，x－1＝4 A，x＋1＝6 A；
综上可知，A中只有一个孤立元素5.
8．①④⑤
9．解 若3x2＋3x－4＝2时，即x2＋x－2＝0，
则x＝－2或x＝1.
经检验，x＝－2，x＝1均不合题意．
若x2＋x－4＝2时，即x2＋x－6＝0，
则x＝－3或2.
经检验，x＝－3或x＝2均合题意．
∴x＝－3或x＝2.
10．解 当a＝0时，b依次取1,2,6，
得a＋b的值分别为1,2,6；
当a＝2时，b依次取1,2,6，
得a＋b的值分别为3,4,8；
当a＝5时，b依次取1,2,6，
得a＋b的值分别为6,7,11.
由集合元素的互异性知P＋Q中元素为1,2,3,4,6,7,8,11共8个．
11．证明 (1)若a∈A，则∈A.
又∵2∈A，∴＝－1∈A.
∵－1∈A，
∴＝∈A.
∵∈A，∴＝2∈A.
∴A中另外两个元素为－1，.
(2)若A为单元素集，则a＝，
即a2－a＋1＝0，方程无解．
∴a≠，
∴A不可能为单元素集．1.2.2 集合的运算(一)
自主学习
学习目标
1．理解并集、交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．
2．体验通过实例的分析和阅读来自学探究集合间的关系与运算的过程，培养学生的自学阅读能力和自主探究能力．
3．能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．
自学导引
1．一般地，对于两个给定的集合A，B，由__ ( http: / / www.21cnjy.com )______________的所有元素构成的集合，称为集合A与B的交集，记作________(读作“A交B”)，即A∩B＝________________.
2．一般地，对于两个给定的集合A，B ( http: / / www.21cnjy.com )，由两个集合的________________构成的集合，称为集合A与B的并集，记作__________(读作“A并B”)，即A∪B＝______________.
3．A∩A＝________，A∪A＝__________，A∩ ＝__________，A∪ ＝________.
4．若A B，则A∩B＝________，A∪B＝________.
5．A∩B________A，A∩B________B，A________A∪B，A∩B________A∪B.
对点讲练
知识点一 求两个集合的交集与并集
例1 求下列两个集合的并集和交集．
(1)A＝{1,2,3,4,5}，B＝{－1,0,1,2,3}；
(2)A＝{x|x<－2}，B＝{x|x>－5}．
规律方法 求两个集合的交集、并集依据它们的定义，借用Venn图或结合数轴分析两个集合的元素的分布情况，有利于准确写出交集、并集．
变式迁移1 (1)若集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|－2
A．{x|x>－2} B．{x|x>－1}
C．{x|－2(2)若将(1)中A改为A＝{x|x>a}，求A∪B，A∩B.
知识点二 已知集合的交集、并集求参数
例2 已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}．
(1)若A∩B＝ ，求a的取值范围；
(2)若A∪B＝R，求a的取值范围．
规律方法 出现交集为空集 ( http: / / www.21cnjy.com )的情形，应首先考虑集合中有没有空集，即分类讨论．其次，与不等式有关的集合的交、并运算中，数轴分析法直观清晰，应重点考虑．
变式迁移2 已知集合A＝{x|2(1)若A∩B＝ ，试求a的取值范围；
(2)若A∩B＝{x|3知识点三 交集、并集性质的运用
例3 已知集合A＝{x|1规律方法 明确A∩B＝B ( http: / / www.21cnjy.com )和A∪B＝B的含义，根据问题的需要，将A∩B＝B和A∪B＝B转化为等价的关系式B A和A B是解决本题的关键．另外在B A时易忽视B＝ 时的情况．
变式迁移3 设集合A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0，a∈R}，若A∩B＝B，求a的值．
1．A∪B的定义中“或”的意义与通常所说的“非此即彼”有原则的区别，它们是“相容”的．求A∪B时，相同的元素在集合中只出现一次．
2．A∩B＝A A B，A∪B＝B A B，这两个性质非常重要．另外，在解决有条件A B的集合问题时，不要忽视A＝ 的情况.
课时作业
一、选择题
1．设集合A＝{x|－5≤x<1}，B＝{x|x≤2}，则A∩B等于( )
A．{x|－5≤x<1} B．{x|－5≤x≤2}
C．{x|x<1} D．{x|x≤2}
2．下列四个推理：①a∈(A∪B) ( http: / / www.21cnjy.com )a∈A；②a∈(A∩B) a∈(A∪B)；③A B A∪B＝B；④A∪B＝A A∩B＝B.其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3．设A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x<0或x≥2}，则A∪B等于( )
A．{x|x<0或x≥1} B．{x|x<0或x≥3}
C．{x|x<0或x≥2} D．{x|2≤x≤3}
4．已知A＝{x|x≤－1或x≥3}，B＝{x|aA．3≤a<4 B．－1C．a≤－1 D．a<－1
5．满足条件M∪{1}＝{1,2,3}的集合M的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
6．已知A＝{(x，y)|x＋y＝3}，B＝{(x，y)|x－y＝1}，则A∩B＝________.
7．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x≤a}，若A∩B≠ ，则实数a的取值范围为________．
8．已知集合A＝{x|x<1或x>5}，B＝{x|a≤x≤b}，且A∪B＝R，A∩B＝{x|5三、解答题
9．已知集合A＝{1,3,5}，B＝{1,2，x2－1}，若A∪B＝{1,2,3,5}，求x及A∩B.
10．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－4x＋a＝0}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
【探究驿站】
11．求满足P∪Q＝{1,2}的集合P，Q共有多少组？
1．2.2 集合的运算(一) 答案
自学导引
1．属于A又属于B A∩B {x|x∈A，且x∈B}
2．所有元素 A∪B {x|x∈A，或x∈B}．
3．A A A
4．A B
5．
对点讲练
例1 解 (1)如图所示，A∪B＝{－1,0,1,2,3,4,5}，
A∩B＝{1,2,3}．
(2)结合数轴(如图所示)得：
A∪B＝R，A∩B＝{x|－5变式迁移1 (1)A [画出数轴，故A∪B＝{x|x>－2}．]
(2)解 如图所示，
当a<－2时，A∪B＝A，A∩B＝{x|－2当－2≤a<2时，A∪B＝{x|x>－2}，
A∩B＝{x|a当a≥2时，A∪B＝{x|－2a}，A∩B＝ .
例2 解 (1)由A∩B＝ ，
①若A＝ ，有2a>a＋3，∴a>3.
②若A≠ ，如图：
∴，解得－≤a≤2.
综上所述，a的取值范围是
{a|－≤a≤2或a>3}．
(2)由A∪B＝R，如图所示，
∴，解得a∈ .
变式迁移2 解 (1)如图，有两类情况，一类是B≠ a>0.
此时，又分两种情况：①B在A的左边，如图B所示；
②B在A的右边，如图B′所示．
B或B′位置均使A∩B＝ 成立，
即3a≤2或a≥4，解得0另一类是B＝ ，即a≤0时，显然A∩B＝ 成立．
综上所述，a的取值范围是{a|a≤，或a≥4}．
(2)因为A＝{x|2A∩B＝{x|3如图所示：
集合B若要符合题意，显然有a＝3，此时B＝{x|3例3 解 ∵A∪B＝B，∴A B.
B＝{x|－1①当a＝0时，A＝ ，满足A B.
②当a>0时，A＝.
∵A B，∴∴a≥2.
③当a<0时，A＝.
∵A B，∴∴a≤－2.
综合①②③知，a的取值范围是
{a|a≤－2或a＝0或a≥2}．
变式迁移3 解 ∵A∩B＝B，∴B A.
∵A＝{－2}≠ ，∴B＝ 或B≠ .
当B＝ 时，
方程ax＋1＝0无解，此时a＝0.
当B≠ 时，此时a≠0，则B＝{－}，
∴－∈A，即有－＝－2，得a＝.
综上，得a＝0或a＝.
课时作业
1．A
2．C [②③④正确．]
3．A [结合数轴知A∪B＝{x|x<0或x≥1}．]
4．C [结合数轴知答案C正确．]
5．B [由已知得M＝{2,3}或{1,2,3}，共2个．]
6．{(2,1)}
7．a≥－1
解析 由A∩B≠ ，借助于数轴知a≥－1.
8．－4
解析 如图所示，
可知a＝1，b＝6,2a－b＝－4.
9．解 ∵B (A∪B)，∴x2－1∈A∪B.
∴x2－1＝3或x2－1＝5.解得x＝±2或x＝±.
若x2－1＝3，则A∩B＝{1,3}．
若x2－1＝5，则A∩B＝{1,5}．
10．解 A＝{1,2}，∵A∪B＝A，
∴B A，集合B有两种情况，B＝ 或B≠ .
①B＝ 时，方程x2－4x＋a＝0无实数根，
∴Δ＝16－4a<0，∴a>4.
②B≠ 时，当Δ＝0时，
a＝4，B＝{2} A满足条件；
当Δ>0时，若1,2是方程x2－4x＋a＝0的根，
由根与系数的关系知矛盾，无解，∴a＝4.
综上，a的取值范围是a≥4.
11．解 可采用列举法：
当P＝ 时，Q＝{1,2}；
当P＝{1}时，Q＝{2}，{1,2}；
当P＝{2}时，Q＝{1}，{1,2}；
当P＝{1,2}时，Q＝ ，{1}，{2}，{1,2}，
∴一共有9组．1.2.2 集合的运算(二)
自主学习
学习目标
1．理解在给定集合中一个集合的补集的含义，会求给定子集的补集．
2．能运用Venn图及补集知识解决有关问题．
自学导引
1．一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为________，通常记作________．
2．如果给定集合A是全集U的一个子集，由全 ( http: / / www.21cnjy.com )集U中不属于集合A的所有元素组成的集合叫做________________，记作________，即 UA＝________________.
3．补集与全集的性质
(1) UU＝______________； (2) U ＝______________； (3) U( UA)＝________；
(4)A∪ UA＝____________； (5)A∩ UA＝____________.
4．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5}，B＝{1,3,5,7}，则A∩ UB＝________，
UA∩ UB＝________.
对点讲练
知识点一 补集定义的应用
例1 已知全集U，集合A＝{1,3,5,7,9}， UA＝{2,4,6,8}， UB＝{1,4,6,8,9}，求集合B.
规律方法 根据补集定义，借助Venn图，可直 ( http: / / www.21cnjy.com )观地求出全集，此类问题，当集合中元素个数较少时，可借助Venn图；当集合中元素无限时，可借助数轴，利用数轴分析法求解．
变式迁移1 设U＝R，A＝{x|a≤x≤b}， UA＝{x|x>4或x<3}，求a，b的值．
知识点二 交、并、补的综合运算
例2 已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2规律方法 求解用不等式表示的数集间的集合运算时，一般要借助于数轴，此法的特点是简单直观，同时要注意各个端点的画法及取到与否．
变式迁移2 已知全集U＝{x| ( http: / / www.21cnjy.com )－5≤x≤3}，A＝{x|－5≤x<－1}，B＝{x|－1≤x<1}．求 UA， UB， UA∩ UB， UA∪ UB， U(A∩B)， U(A∪B)，并指出其中相等的集合．
知识点三 利用集合间的关系求参数
例3 (1)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{x|x2－5x＋q＝0，x∈U}，求 UA；
(2)设U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{b,2}， UA＝{5}，求实数a和b的值．
规律方法 符号 UA存在的前提是A U，这也 ( http: / / www.21cnjy.com )是解有关补集问题的一个隐含条件，充分利用题目中的隐含条件也是我们解题的一个突破口，若x∈U，则x∈A和x∈ UA二者必居其一，不仅如此，结合Venn图及全集与补集的概念，不难得到如下性质：A∪ UA＝U，A∩ UA＝ ， U( UA)＝A.
变式迁移3 已知U＝R，A ( http: / / www.21cnjy.com )＝{x|x2＋px＋12＝0}，B＝{x|x2－5x＋q＝0}，若 UA∩B＝{2}， UB∩A＝{4}，求A∪B.
1．补集与全集是两个密不可分的概念，同一个集合在不同的全集中补集是不同的，不同的集合在同一个全集中的补集也不同．另外全集是一个相对概念．
2．符号 UA存在的前提是A U，这也是解有关补集问题的一个隐含条件，充分利用题目中的隐含条件也是我们解题的一个突破口．
3．补集的几个性质： UU＝ ， U ＝U， U( UA)＝A.
课时作业
一、选择题
1．已知集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，则A∩ NB等于( )
A．{1,5,7} B．{3,5,7} C．{1,3,9} D．{1,2,3}
2．已知U为全集，集合M、N是U的子集，若M∩N＝N，则( )
A．( UM) ( UN) B．M ( UN)
C．( UM) ( UN) D．M ( UN)
3．已知U＝{x|－1≤x ( http: / / www.21cnjy.com )≤3}，A＝{x|－1A． UA＝B B． UB＝C C． UA C D．A C
4．图中阴影部分可用集合M、P表示为( )
A．(M∩P)∪(M∪P) B．( UM∩P)∪(M∩ UP)
C．M∩ U(M∩P) D．P∪ U(M∩P)
5．已知集合A＝{x|xA．a≤2 B．a<1 C．a≥2 D．a>2
二、填空题
6．若A＝{x∈Z|07．若全集I＝{(x，y)|x，y∈R}，集合M＝，N＝{(x，y)|y≠x＋1}，则 IM∩ IN＝________.
8．设全集U＝{x||x|<4且x∈Z}，S＝{－2,1,3}，若 UP S，则这样的集合P共有________个．
三、解答题
9．已知全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|4x＋p<0}，且B UA，求实数p的取值范围．
10．已知全集U＝R，集合A＝{x|x<1，或x>2}，集合B＝{x|x<－3，或x≥1}，求 RA， RB，A∩B，A∪B.
【探究驿站】
11．(1)若实数集R为全集，集合P ( http: / / www.21cnjy.com )＝{x|f(x)＝0}，Q＝{x|g(x)＝0}，H＝{x|h(x)＝0}，则方程＝0的解集是( )
A．P∩Q∩( RH) B．P∩Q
C．P∩Q∩H D．P∩Q∪H
(2)50名学生中，会讲英语的有36人，会讲日语的有20人，既不会讲英语也不会讲日语的有8人，则既会讲英语又会讲日语的人数为( )
A．20 B．14 C．12 D．10
1．2.2 集合的运算(二) 答案
自学导引
1．全集 U
2．A在U中的补集 UA {x|x∈U，且x A}
3．(1) (2)U (3)A (4)U (5)
4．{2,4} {6}
对点讲练
例1 解
如图所示，借助Venn图，得U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，
∵ UB＝{1,4,6,8,9}，
∴B＝{2,3,5,7}．
变式迁移1 解 ∵A＝{x|a≤x≤b}，
∴ UA＝{x|x>b或x又 UA＝{x|x>4或x<3}，
∴a＝3，b＝4.
例2 解 把全集U和集合A，B在数轴上表示如下 ：
由图可知 UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，
A∩B＝{x|－2 U(A∩B)＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，
UA∩B＝{x|－3变式迁移2 解 UA＝{x|－1≤x≤3}，
UB＝{x|－5≤x<－1或1≤x≤3}，
UA∩ UB＝{x|1≤x≤3}，
UA∪ UB＝{x|－5≤x≤3}，
U(A∩B)＝{x|－5≤x≤3}，
U(A∪B)＝{x|1≤x≤3}，
相等的集合： UA∩ UB＝ U(A∪B)，
UA∪ UB＝ U(A∩B)．
例3 解 (1)设x1、x2为方程x2－5x＋q＝0的两根，
则x1＋x2＝5，∴x1≠x2(否则x1＝x2＝ U，
这与A U矛盾)．
而由A U知x1、x2∈U，又1＋4＝2＋3＝5，∴q＝4或q＝6.
∴ UA＝{2,3,5}或 UA＝{1,4,5}．
(2)
由题意，利用Venn图，
可得方程组
将②式变形为a2＋2a－8＝0，
解得a＝－4或a＝2.
∴或为所求．
变式迁移3 解 ∵ UA∩B＝{2}，∴2∈B且2 A.
∴A∩ UB＝{4}，∴4∈A且4 B.
分别代入得，
∴p＝－7，q＝6，∴A＝{3,4}，B＝{2,3}，
∴A∪B＝{2,3,4}．
课时作业
1．A [∵A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，
∴ NB＝{1,2,4,5,7,8，…}．∴A∩ NB＝{1,5,7}．]
2．C [利用维恩图，如图所示：
可知( UM) ( UN)．]
3．A [B＝{－1,3}， UA＝{－1,3}．]
4．B
5．C
[∵B＝{x|1∴ RB＝{x|x≥2或x≤1}．
如图，若要A∪ RB＝R，必有a≥2.]
6．{2,5,6,7,8,9} {1,2,4,8,9}
解析 ∵A＝{1,2,3，…，9}，B＝{1,3,4}，C＝{3,5,6,7}，
∴ AB＝{2,5,6,7,8,9}， AC＝{1,2,4,8,9}．
7．{(2,3)}
解析 集合M，N都是点集，集合M中的关系 ( http: / / www.21cnjy.com )式可变为y＝x＋1(x≠2)，它的几何意义是直线y＝x＋1上去掉点(2,3)后所有点的集合；集合N表示直线y＝x＋1外所有点的集合．可知 IM＝{(x，y)|y≠x＋1}∪{(2,3)}，表示直线y＝x＋1外所有点及直线上点(2,3)的集合； IN＝{(x，y)|y＝x＋1}，表示直线y＝x＋1上所有点的集合．从而可得( IM)∩( IN)只有一个元素(2,3)．
8．8
解析 ∵集合P与 UP个数相同，
又 UP S，
而S的子集个数为8，∴ UP个数也为8，
∴P的个数也为8.
9．解 UA＝{x|x<－1或x>2}，B＝.
∵B UA，∴－≤－1
∴p≥4，即p的取值范围是{p|p≥4}．
10．解 借助于数轴，如图可知
RA＝{x|1≤x≤2}； RB＝{x|－3≤x<1}；
A∩B＝{x|x<－3，或x>2}；A∪B＝R.
11．(1)A (2)B [(1)由f2(x)＋g2(x)＝0知，f(x)＝0与g(x)＝0同时成立，且h(x)≠0.
(2)
如图所示，至少会讲英语、日语中一种语言的学生有50－8＝42(人)，不妨设A＝{会讲英语的学生}，B＝{会讲日语的学生}，
则有card(A)＝36，card(B)＝20，
card(A∪B)＝42，
故既会讲英语又会讲日语的学生人数为
card(A∩B)＝36＋20－42＝14.]第一章 章末检测
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．设集合U＝{1,2,3,4,5}，M＝{1,2,3}，N＝{2,5}，则M∩ UN等于( )
A．{2} B．{2,3}
C．{3} D．{1,3}
2．下列集合不同于其他三个集合的是( )
A．{x|x＝1} B．{y|(y－1)2＝0}
C．{x＝1} D．{1}
3．对于(1)3 {x|x≤}；(2)∈Q；(3)0∈N；(4)0∈ .其中正确的有( )
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
4．已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}．若B A，则实数m等于( )
A．±1 B．－1 C．1 D．0
5．下列表示同一个集合的是( )
A．M＝{(1,2)}，N＝{(2,1)}
B．M＝{1,2}，N＝{2,1}
C．M＝{y|y＝x－1，x∈R}，N＝{y|y＝x－1，x∈N}
D．M＝，N＝{(x，y)|y－1＝x－2}
6．已知集合P＝{x|x＝n，n∈Z}，Q＝，S＝，则下列关系正确的是( )
A．S∪Q＝P B．Q P
C．P∩S＝Q D．P?Q
7．设A＝{x|1A．{a|a≥2} B．{a|a≤1}
C．{a|a≥1} D．{a|a≤2}
8．设集合A＝{a，b}，集合B＝{a＋1,5}，若A∩B＝{2}，则A∪B等于( )
A．{1,2} B．{1,5}
C．{2,5} D．{1,2,5}
9．集合A＝{1,2,3,4}，B?A，且1∈(A∩B)，4D∈/(A∩B)，则满足上述条件的集合B的个数是( )
A．1 B．2 C．4 D．8
10．满足“a∈A且8－a∈A”，a∈N的有且只有2个元素的集合A的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
11．设P、Q是非空集合 ( http: / / www.21cnjy.com )，定义PD○×Q＝{x|x∈(P∪Q)且x (P∩Q)}，现有集合M＝{x|0≤x≤4}，N＝{x|x>1}，则MD○×N等于( )
A．{x|0≤x≤1或x>4}
B．{x|0≤x≤1或x≥4}
C．{x|1≤x≤4}
D．{x|0≤x≤4}
12．设数集M＝，N＝，且M、N都是集合 ( http: / / www.21cnjy.com ){x|0≤x≤1}的子集，如果b－a叫做集合{x|a≤x≤b}的长度，那么，集合M∩N的“长度”的最小值是( )
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．满足{a，b}∪B＝{a，b，c}的集合B的个数是________．
14．用列举法表示集合：
M＝＝______________________.
15．已知集合{2x，x＋y}＝{7,4}，则整数x＝____________，y＝________.
16．有15人进家电超市，其中有9人买了电视，有7人买了电脑，两种都买了的有3人，则这两种都没买的有________人．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0，a∈R}．
(1)若A是空集，求a的取值范围；
(2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来．
18．(12分)已知集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3，2a－1，a2＋1}，若A∩B＝{－3}，求a的值．
19．(12分)若A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，B A，求实数m的取值范围．
20．(12分)已知全集U＝R，集合A＝{x|x<0或x>2}，B＝{x|－1a}．
求：(1)A∩B，A∪B；
(2)B∩C.
21．(12分)设非空数集A满足①A {1,2,3,4,5}；②若a∈A，则(6－a)∈A.符合上述条件的A的个数是多少？列举出来．
22．(12分)设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}，若A∩B＝B，求实数a所有可能的值组成的集合．
第一章 章末检测 答案
1．D [ UN＝{1,3,4}，M∩ UN＝{1,2,3}∩{1,3,4}＝{1,3}．]
2．C [A、B、D都表示元素是1的集合，C表示元素为“x＝1”的集合．]
3．C [(1)(3)正确．]
4．C [∵B A，∴m2＝2m－1，m＝1.]
5．B [集合中元素是无序的，所以选B.]
6．D [由x＝，令n＝3k＋1,3k＋2，可知P?Q.]
7．A [如图所示，
∴a≥2.]
8．D [本题考查集合交、并集的运算及其性质，由A∩B＝{2}可知2∈B,2∈A，
∴a＋1＝2，a＝1，b＝2，A＝{1,2}，从而A∪B＝{1,2,5}．]
9．C [由1∈(A∩B)，且4 (A∩B)知1∈B，
但4 B，又B?A，
∴集合B中至少含有一个元素1，
至多含有3个元素1,2,3，
故集合B可以为{1}，{1,2}，{1,3}，{1,2,3}．]
10．D [由题意可知满足题设条件的集合A有{0,8}，{1,7}，{2,6}，{3,5}，共4个．]
11．A
12．C [如图所示，集合M的长度为，集合N的长度为，由于M、N是集合{x|0≤x≤1}的子集，故当且仅当M∪N＝{x|0≤x≤1}时，M∩N的长度最小，故最小值为＋－1＝.]
13．4
解析 B＝{c}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}．
14．{－11，－6，－3，－2,0,1,4,9}
解析 由∈Z，且m∈Z，知m＋1是10的约数，故|m＋1|＝1,2,5,10，从而m的值为－11，－6，－3，－2,0,1,4,9.
15．2 5
解析 由集合相等的定义知，
或，解得或，
又x，y是整数，所以x＝2，y＝5.
16．2
解析 结合Venn图可知
两种都没买的有2人．
17．解 集合A是方程ax2－3x＋2＝0在实数范围内的解集．
(1)A是空集，即方程ax2－3x＋2＝0无解，
得Δ＝(－3)2－8a<0，∴a>.
(2)当a＝0时，方程只有一解，为x＝；
当a≠0且Δ＝0，即a＝时，方程有两个相等的实数根，A中只有一元素为x＝，
∴当a＝0或a＝时，
A中只有一个元素，分别是或.
18．解 由A∩B＝{－3}，得－3∈B，
∴a－3＝－3或2a－1＝－3，即a＝0或a＝－1，
当a＝0时，A＝{0,1，－3}，B＝{－3，－1,1}，
此时A∩B＝{1，－3}与题意不符合，舍去．
∴a＝－1.
19．解 ∵B A，当B＝ 时，得2m－1>m＋1，m>2，
当B≠ 时，得解得－1≤m≤2.
综上所述，m的取值范围为m≥－1.
20．解 结合数轴：
(1)A∩B＝{x|－1A∪B＝R.
(2)C＝
当≥3，即a≥8时，B∩C＝ ，
当－1≤<3，即－4≤a<8时，
B∩C＝.
当<－1，即a<－4时，
B∩C＝{x|－1综上，a≥8时，B∩C＝ ；
－4≤a<8时，B∩C＝；
a<－4时，B∩C＝{x|－121．解 当a＝1时，6－a＝5；
当a＝5时，6－a＝1；
当a＝3时，6－a＝3；当a＝2时，6－a＝4；
当a＝4时，6－a＝2，
∴集合A可以为{3}，{1,5}，{2,4}，{1,3,5}，{2,3,4}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}共7个．
22．解 因为A∩B＝B，A＝{1,2}，B {1,2}，
所以B＝ 或B＝{1}或B＝{2}或B＝{1,2}．
若B＝ ，则方程x2－ax＋a－1＝0无解，
而Δ＝a2－4(a－1)＝(a－2)2≥0.
所以B＝ 不成立；
若B＝{1}，则方程x2－ax＋a－1＝0有两个等根为1.
由
得a＝2；
若B＝{2}，则方程有两个等根为2.
由
得方程组无解．
所以B＝{2}不成立；
若B＝{1,2}，则方程的两根为1和2，
由得a＝3.
综上所述，a所有可能的值组成的集合为{2,3}．第一章 集 合
【入门向导】 渔民与数学家的故事
一位渔民非常喜欢数学，但他怎么也 ( http: / / www.21cnjy.com )想不明白集合的意义，于是，他请教数学家：“尊敬的先生，请您告诉我，集合是什么？”集合是不定义的概念，数学家很难回答那位渔民，有一天，他来到渔民的船上，看到渔民撒下鱼网，轻轻一拉，许多鱼虾在网中跳动．数学家非常激动，高兴地告诉渔民：“这就是集合！”这一网鱼虾可以构成一个集合，网中的这些鱼也可以构成一个集合，这些虾也可以构成一个集合，那将形成鱼虾集合、鱼集合与虾集合，这三个集合之间又有怎样的关系呢？同学们，你能告诉渔民吗？
解读集合的有关概念
一、注意集合的概念与“全体”的区别
集合的概念是现代数学中不 ( http: / / www.21cnjy.com )定义的原始概念．集合的概念虽然也含有“全体”的意思，但是与通常所理解的全体是有区别的，集合中的元素必须是确定的，必须能判断任何一个对象是不是它的元素，而全体则不一定能成为一个集合．例如，“我校高一学生中高个子同学的全体”就不能构成集合，而“我校高一学生中所有身高高于170厘米的同学的全体”则能构成集合．
二、加强对集合元素的三大特性的理解
1．确定性：对于一个集合中每一个元素都是 ( http: / / www.21cnjy.com )可以客观的用一个标准明确地来判断该元素是或不是集合中的元素．如上述“高个子同学”并没有明确的标准来判断身高为多高是“高个子”，即集合中的元素是不确定的．
2．互异性：所谓互异是指集合中的元素必须是互不相同的，不会有完全相同的元素．在解题中尤其要注意对结果进行检验，不能忽视．
例1 已知x2∈{1,0，x}，求实数x的值．
解 若x2＝0，则x＝0，此时集合为{1,0,0}，不符合集合中元素的互异性，舍去．
若x2＝1，则x＝±1.
当x＝1时，集合为{1,0,1}，舍去；
当x＝－1时，集合为{1,0，－1}，符合．
若x2＝x，则x＝0或x＝1，不符合互异性，都舍去．
综上可知：x＝－1.
3．无序性：集合是一个整体，集合 ( http: / / www.21cnjy.com )中的元素排列是没有顺序限制的，所以同学们应知道集合{a，b，c}，{b，a，c}，{c，b，a}都是同一集合．
为帮助同学们记忆，特总结口诀如下：
集合平常很常用，数学概念各不同；
理解集合并不难，三个要素是关键；
元素确定与互异，还有无序要牢记．
三、注重对空集概念的理解
一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作 .空集是特殊的集合，不含有任何元素，规定它是有限集．
注意 ①空集和集合{0}是不同的， 是不含任何元素的集合，而{0}表示只含有一个元素“0”的集合．
② 和{ }也是不一样的， 是不含任何元素的集合，{ }表示只含有一个字母“ ”的集合，也可以看作由 作为元素构成的集合．
四、正确理解集合与集合的关系
集合与集合之间是包含关系，它反映出了“一个整体”相对于另“一个整体”之间的关系．包含关系有三种：子集、真子集和相等．
1．“集合A是集合B的子集”，意 ( http: / / www.21cnjy.com )思是集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，但不能把“集合A是集合B的子集”理解为集合A是由集合B中部分元素组成的集合，因为空集和集合B都是集合B的子集．
2．“集合A是集合B的真子集”有两层含义，一是集合A是集合B的子集，二是集合A与集合B不相等，即集合B中至少有一个元素不属于集合A.
3．要证明A＝B，只需要 ( http: / / www.21cnjy.com )证明A B且B A成立即可．即可设任意x0∈A，证明x0∈B从而得出A B.又设任意y0∈B，证明y0∈A从而得到B A，进而得到A＝B.
例2 已知集合A＝{x|x＝kπ＋，k∈Z}，B＝{x|x＝kπ＋，k∈Z}，判断集合A与集合B是否相等．可用列举法解之．
解 A＝{…，，，，，…}，
B＝{…，，，，π，，…}．
观察可知，A≠B.
4．若集合A中含有n个元素，则集合A有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．
集合易错点剖析
一、符号意义不清致错
例3 已知集合X＝{0,1}，Y＝{x|x X}，那么下列说法正确的是( )
A．X是Y的子集 B．X是Y的真子集
C．Y是X的真子集 D．X是Y的元素
错解 B
剖析 集合中符号意义必须清楚．
正解 因为Y＝{x|x X}＝{{ }，{0}，{1}，{0,1}}，所以X∈Y.故选D.
二、代表元素意义不清致错
例4 集合A＝{y|y＝x2，x∈R}，B＝{(x，y)|y＝x＋2，x∈R}，则A∩B＝( )
A．{(－1,1)，(2,4)} B．{(－1,1)}
C．{(2,4)} D．
错解 由得或故选A.
剖析 导致错误的原因是没有弄清 ( http: / / www.21cnjy.com )集合中元素的意义，A中的元素是实数y，而B中的元素是实数对(x，y)，也就是说，集合A为数集，集合B为点集，因此A、B两个集合中没有公共元素，从而这两个集合的交集为空集．
正解 D
三、忽视集合元素的互异性致错
例5 已知集合A＝{2,3，a2＋4a＋2}，B＝{0,7，a2＋4a－2,2－a}，且A∩B＝{3,7}，求集合B.
错解 由A∩B＝{3,7}得a2＋4a＋2＝7，
解得a＝1或a＝－5.
当a＝1时，集合B＝{0,7,3,1}；
当a＝－5时，集合B＝{0,7,3}．
综上知集合B＝{0,7,3,1}或B＝{0,7,3}．
剖析 由题设条件知集合B中有四个元素，当集合中出现了相同的元素，与集合中元素的互异性矛盾，导致错解．
正解 应将当a＝－5时的集合B＝{0,7,3}舍去，
故集合B＝{0,7,3,1}．
四、忽视空集致错
例6 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B A，求实数m的取值范围．
错解 由B A，得，
解得2≤m≤3.
剖析 上述解法是初学者解此类问题的典型错误解法．
原因是考虑不全面，由集合B的含义及B A，忽略了集合为 的可能而漏掉解．因此题目若出现包含关系时，应首先想到有没有出现 的可能．
正解 A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，
且B A.
①若B＝ ，则m＋1>2m－1，解得m<2，
此时有B A；
②若B≠ ，则m＋1≤2m－1，即m≥2，
由B A，得，
解得2≤m≤3.
由①②得m≤3.
∴实数m的取值范围是{m|m≤3}.
集合中的数学思想
一、分类讨论思想
分类讨论是高中学习中一种重要的 ( http: / / www.21cnjy.com )数学思想方法，也是一种基本的解题策略，是高考的重点与热点，也是高考的难点．“分类讨论”的数学思想的实质是把整体问题转化为局部问题进行解决，通俗地讲就是“化整为零，各个击破”的解题手段，或者说不同情况要采取不同的方法去对待，使问题变得条理清晰、层次分明、易于解决．
在集合这一部分中，常见的分类讨论题型有以下几种：
1．根据集合元素特性分类讨论
在分析集合所含元素的情况时，常常会根据集合中的元素特性分类讨论，在解题中尤其要注意对结果进行检验．
例1 设集合A＝{2，a2－a＋2,1－a}，若4∈A，求a的值．
解 由集合元素的确定性知
a2－a＋2＝4或1－a＝4.
(1)解a2－a＋2＝4得a＝－1或a＝2.
a＝－1时，A＝{2,4,2}不满足集合中元素的互异性，
故a＝－1舍去；
a＝2时，A＝{2,4，－1}满足集合中元素的互异性，
故a＝2满足要求．
(2)解1－a＝4得a＝－3，此时A＝{2,4,14}满足集合中元素的互异性，故a＝2或a＝－3即为所求．
2．根据空集的特性分类讨论
空集是集合中一类特殊的集合，应特别 ( http: / / www.21cnjy.com )注意空集是任何集合的子集，不可忽视空集的特殊情况．因此在处理集合问题时，对未知集合进行空集与非空集合的讨论是十分重要的．
例2 已知A＝{x|－3≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，问m为何实数时，A∩B＝ 成立．
分析 此题已知A∩B＝ ，需按B＝ 和B≠ 进行分类讨论，同时还要注意m＋1和2m－1的大小关系．
解 (1)当B＝ 时，A∩B＝ 成立，
此时m＋1>2m－1，即m<2.
(2)当B≠ 时，欲使A∩B＝ 成立，实数m应满足或
解得m>4.
故满足条件的m的取值范围是m<2或m>4.
3．根据子集的性质分类讨论
含参数的集合问题，这类问题是集合部分中最 ( http: / / www.21cnjy.com )常见的分类讨论题．解题时注意把集合的运算关系转译为包含关系，常需对已知集合的子集元素的个数进行分类讨论．
例3 已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}且A∪B＝A，求实数a的值．
分析 解此题可先由A∪B＝A，得出B A，然后对集合B中的元素个数进行分类讨论．
解 A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}
由A∪B＝A，得B A
(1)B＝ 时，Δ＝a2－4a＋4<0，∴这样的a不存在；
(2)B＝{1}时，∴a＝2；
(3)当B＝{2}时，
∴这样的a不存在；
(4)当B＝{1,2}时，∴a＝3.
∴由(1)(2)(3)(4)得：a＝2或a＝3.
分类讨论的数学思想是解集合题经常 ( http: / / www.21cnjy.com )会遇到的一种思想方法，分类要恰当、合理，做到“不重不漏”．解题时应特别注意对集合元素的特性的检验，特别注意空集是任何集合的子集，不可忽视空集的特殊情况．含参数的集合问题，注意把集合的运算关系转化为包含关系，克服分类讨论中的主观性和盲目性．
二、数形结合思想
数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言 ( http: / / www.21cnjy.com )与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过对图形的认识、数形结合的转化，可以培养思维的灵活性、形象性，使问题化难为易、化抽象为具体．通过“形”往往可以解决用“数”很难解决的问题．集合中常用的方法是数轴法和Venn图法．
1．运用数轴
例4 已知全集为R，集合M＝{x||x|<2，x∈R}，P＝{x|x≥a}，并且M? RP，求a的范围．
解 M＝{x||x|<2}＝{x|－2 RP＝{x|x∵M? RP，∴由数轴知a≥2.
说明 a>2显而易见，a能否等于2，单独 ( http: / / www.21cnjy.com )考察即可．当a＝2时， RP＝{x|x<2}，满足题意．故a≥2.另外要注意区分a能否等于2与x能否等于a，它们是两回事．
2．运用Venn图
例5 高一(2)班共有50名 ( http: / / www.21cnjy.com )同学，参加物理竞赛的同学有36名，参加数学竞赛的同学有39名，且已知有5名同学两科竞赛都没有参加，问只参加数学竞赛不参加物理竞赛的同学有多少名？
解 设参加物理竞赛的同学 ( http: / / www.21cnjy.com )组成集合A，参加数学竞赛的同学组成集合B，并设两科竞赛都参加的同学组成的集合A∩B中有x个元素，则各部分人数分布如图所示，
则(36－x)＋x＋(39－x)＋5＝50，
解得x＝30，所以39－x＝9，
即只参加数学竞赛不参加物理竞赛的同学有9名．
点评 应熟知集合A∩B、A∩ UB、 UA∩B、 UA∩ UB分别对应Venn图中的哪部分区域．
三、等价转化思想
在解决一些集合问题时，当一种集合的表达形 ( http: / / www.21cnjy.com )式不好入手时，常将其转化为另一种形式，使问题明朗化，如“A是B的子集”、“A∩B＝A”、“A∪B＝B”、“A B”等都是同一含义．另外，集合中数学语言的常见形式主要有三种，即文字语言、符号语言、图形语言，它们可以相互转化，通过合理的转化，往往能简捷迅速地得到解题思路．
例6 已知U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|x＋y＝1}，B＝{(x，y)，求 UB∩A.
解 集合U＝{(x，y)|x∈R，y∈ ( http: / / www.21cnjy.com )R}是平面上所有点的集合；集合A是直线x＋y＝1上的点的集合；集合B是直线x＋y＝1上的点的集合，但要除去点(1,0)；而 UB表示点(1,0)以及平面上除了直线x＋y＝1上的所有点以外的点，所以 UB∩A对应的元素为(1,0)，即 UB∩A＝{(1,0)}．
点评 在相互转化的过程中要注意转化的等价性．
四、特殊化思想
特殊化思想是一种重要的数学思想，对于许多较抽象的集合
问题，灵活地取一些符合条件的特殊集合， ( http: / / www.21cnjy.com )往往能起到化繁为简、化难为易的功效．另外，特殊值法解选择题是特殊与一般思想在解题中的具体应用，相当于增加题设条件，可使问题简单化．
例7 设集合M＝{x|x＝＋，k∈Z}，N＝{x|x＝＋，k∈Z}，则( )
A．M＝N B．M是N的真子集
C．N是M的真子集 D．M∩N＝
解析 由∈N，而D∈/M，排除A，C；又∈N，且∈M，再排除D.故选B.
答案 B
点评 很多选择题都可以取特殊值来迅速求解．
五、补集思想
已知全集U，求子集A，若直接求A ( http: / / www.21cnjy.com )困难，可先求 UA，再由 U( UA)＝A求A.补集作为一种思想方法，给我们研究问题开辟了新思路，今后要有意识地去体会并运用．在顺向思维受阻时，改用逆向思维，可能会“柳暗花明”．我们平日说的“正难则反”这一策略就是对补集思想的应用，是指当某一问题从正面解决较困难时，可以从其反面入手解决，从这个意义上讲，补集思想具有转换研究对象的功能，是转化思想的又一体现．
例8 已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若A∩B≠ ，求实数m的取值范围．
分析 A∩B≠ 说明集合A ( http: / / www.21cnjy.com )是由方程x2－4mx＋2m＋6＝0①的实根组成的非空集合，并且方程①的根有可能有：(1)两负根；(2)一负根一零根；(3)一负根一正根．三种情况讨论很麻烦，这时我们从求解问题的反面考虑，采用补集思想，即先由Δ≥0，求出全集U，然后求出两根均为非负时m的范围，然后利用“补集”求解．
解 设全集U＝{m|Δ＝(－4m)2－4(2m＋6)≥0}＝，
若方程x2－4mx＋2m＋6＝0的两根x1，x2均为非负，则 m≥.
∵在全集U中补集为{m|m≤－1}．
∴实数m的取值范围为{m|m≤－1}．
点评 (1)解Δ≥0，即16m2－ ( http: / / www.21cnjy.com )8m－24≥0，也就是2m2－m－3≥0时，可以先画出二次函数f(m)＝2m2－m－3的图象，由图象易得m的取值范围．(2)本题运用了“补集思想”．对于一些比较复杂，比较抽象，条件和结论之间关系不明朗，难于从正面入手的数学问题，在解题时，调整思路，从问题的反面入手，探求已知和未知的关系，这时能化难为易，化隐为显，从而将问题解决，这就是补集思想的应用，也是处理问题的间接化原则的体现．
集合问题如何考？
集合是高考每年必考的知识点之 ( http: / / www.21cnjy.com )一．对它的考查主要集中于集合间的关系和运算、集合语言的理解与应用；同时由于集合的基础性和工具性作用，又常以集合为工具考查集合语言和集合思想的应用，命制一些新背景的问题．
1．(湖南高考)设全集U＝M∪N＝{1,2,3,4,5}，M∩ UN＝{2,4}，则N＝( )
A．{1,2,3} B．{1,3,5}
C．{1,4,5} D．{2,3,4}
解析 由M∩ UN＝{2,4}可得集合N中不含有元素2,4，集合M中含有元素2,4，故N＝{1,3,5}．
答案 B
2．(湖北高考)已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{2,4,5}，则 U(A∪B)＝( )
A．{6,8} B．{5,7}
C．{4,6,7} D．{1,3,5,6,8}
解析 ∵A∪B＝{1,2,3,4,5,7}，∴ U(A∪B)＝{6,8}．
答案 A
3．(广州模拟)设集合A＝{0,1}，B＝{y|x2＋y2＝1，x∈A}，则A与B的关系是( )
A．A＝B B．A?B
C．A?B D．A B
分析 由于集合B中的x是A中的元素，根据此条件求出集合B，再判断集合A、B的关系．
解析 由已知，A＝{0,1}，
B＝{y|x2＋y2＝1，x∈A}＝{－1,0,1}．
所以A?B.
答案 B
点评 解决本题，首先要读懂符号代表的含 ( http: / / www.21cnjy.com )义．由于集合B中的元素x属于集合A，故x可为0或1；再将x的值代入集合B，解得集合B；最后判断集合A、B的关系．
4．(日照调研)已知集合P＝{3,4,5} ( http: / / www.21cnjy.com )，集合Q＝{4,5,6,7}，定义P*Q＝{(a，b)|a∈P，b∈Q}，则P*Q中的元素的个数是____________．
分析 根据新定义将a、b依次代入，即可得到新集合P*Q，从而得解．
解析 新定义集合P*Q的 ( http: / / www.21cnjy.com )特征是平面上的点集，横坐标为集合P中的元素，而纵坐标为集合Q中的元素，故P*Q＝{(3,4)，(3,5)，(3,6)，(3,7)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(4,7)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(5,7)}，从而可知P*Q中元素的个数为12.
答案 12
点评 本题是一个运算创新型问题，解答此类问题 ( http: / / www.21cnjy.com )的关键是理解新运算，并找到新运算与已学运算的结合点，如本题定义的新运算的实质就是由两个实数集重新组合成一个点集．
5．若集合A1，A2满足A1∪ ( http: / / www.21cnjy.com )A2＝A，则称(A1，A2)为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1＝A2时，(A1，A2)与(A2，A1)为集合A的同一种分拆，则集合A＝{1,2,3}的不同分拆种数是( )
A．27 B．26 C．9 D．8
分析 所谓“分拆”不过是并集的另一种说法，关键是要分类准确．
解析 ①A1＝ 时，A2＝{1,2,3}，只有1种分拆；
②A1是单元素集时(有3种可能)，则A2 ( http: / / www.21cnjy.com )必须至少包含除该元素之外的两个元素，也可能包含3个元素，有两类情况(如A1＝{1}时，A2＝{2,3}或A2＝{1,2,3})，这样A1是单元素集时的分拆有6种；
③A1是两个元素的集合时(有3种 ( http: / / www.21cnjy.com )可能)，则A2必须至少包含除这两个元素之外的另一个元素，还可能包含A1中的1个或2个元素(如A1＝{1,2}时，A2＝{3}或A2＝{1,3}或
A2＝{2,3}或A2＝{1,2,3})，这样A1是两个元素的集合时的分拆有12种；
④A1是三个元素的集合时( ( http: / / www.21cnjy.com )只有1种)，则A2可能包含0,1,2或3个元素(即A1＝{1,2,3}时，A2可以是集合{1,2,3}的任意一个子集)，这样A1＝{1,2,3}时的分拆有23＝8种．
所以集合A＝{1,2,3}的不同分拆的种数是
1＋6＋12＋8＝27.
答案 A
6．定义集合运算：A⊙B＝{z|z＝ ( http: / / www.21cnjy.com )xy(x＋y)，x∈A，y∈B}．设集合A＝{0,1}，B＝{2,3}，则集合A⊙B的所有元素之和为________．
解析 (1)当x＝0时，无论y为何值，都有z＝0；
(2)当x＝1，y＝2时，由题意z＝6；
(3)当x＝1，y＝3时，由题意z＝12，
故集合A⊙B＝{0,6,12}，
元素之和为0＋6＋12＝18.
答案 18
点评 本题给出的新运算“⊙” ( http: / / www.21cnjy.com )，是同学们从未见过的集合运算，要求同学们能按其给出的新运算作答，考查同学们的观察能力及应用新信息分析问题、解决问题的能力．
7．定义集合A和B的运算A※B＝{x|x∈ ( http: / / www.21cnjy.com )A，且xD∈/B}．写出含有运算符号“※”，“∩”，“∪”，且对集合A，B都成立的一个等式：________.
解析 如下图，Venn图中阴影部分可表示为：
A※(A∩B)；
再结合新定义及并集概念，阴影部分也可表示为：
(A∪B)※B.
显然可填：A※(A∩B)＝(A∪B)※B.
另外也可填：B※(A∩B)＝(A∪B)※A等．
答案 A※(A∩B)＝(A∪B)※B
B※(A∩B)＝(A∪B)※A
点评 这是一道开放题，并且定 ( http: / / www.21cnjy.com )义了新运算，对同学们来说有一定的难度，但是同学们只要认真审题，灵活运用题目所给的信息，选择恰当的方法，解答此题就显得轻而易举了．
学习建议 1 集合是学习高中数学的 ( http: / / www.21cnjy.com )开始，若想学好、应用好这部分知识，就要花大力气理解基本概念、基本性质，掌握基本表示方法. 2 学习时同学们要理解集合运算的定义，掌握集合运算的方法，还要善于借助图形工具解答问题. 3 学习时同学们要搞清两个集 ( http: / / www.21cnjy.com )合有几种关系，各种关系的定义要牢记.另外，还要明确集合的关系是通过元素来反映的，所以要养成从元素角度研究集合关系的好习惯. 4 数学中的创新题是数学试题中的一支奇葩，它们往往以同学们现有的知识为出发点，创新概念和运算，其特点是“新面目、老方法”，考查更接近知识本质.基于此，在学习时，对有关的概念一定要理解透彻，才能以不变应万变.1.1.2 集合的表示方法
自主学习
学习目标
1．掌握集合的表示方法，能在具体问题中选择适当的方法表示集合．
2．通过实例和阅读自学体会用列举法和描述法表示集合的方法和特点，培养自主探究意识和自学能力．
自学导引
1．列举法
把集合的元素________________出来，并用____________括起来表示集合的方法．
2．描述法
一般地，如果在集合I中，属于集合A的任意一 ( http: / / www.21cnjy.com )个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有性质p(x)，则性质p(x)叫做集合A的一个________________．于是，集合A可以用它的特征性质p(x)描述为____________，它表示集合A是由集合I中具有性质p(x)的所有元素构成的．
对点讲练
知识点一 用列举法表示集合
例1 用列举法表示下列集合：
(1)已知集合M＝，求M；
(2)方程组的解集；
(3)由＋(a，b∈R)所确定的实数集合．
规律方法 (1)列举法表示集 ( http: / / www.21cnjy.com )合，元素不重复、不计次序、不遗漏，且元素与元素之间用“，”隔开．(2)列举法适合表示有限集，当集合中元素的个数较少时，用列举法表示集合较为方便，而且一目了然．
变式迁移1 用列举法表示下列集合：
(1)A＝{x||x|≤2，x∈Z}；
(2)B＝{x|(x－1)2(x－2)＝0}；
(3)M＝{(x，y)|x＋y＝4，x∈N*，y∈N*}；
(4)已知集合C＝，求C.
知识点二 用描述法表示集合
例2 用描述法表示下列集合：
(1)所有正偶数组成的集合；
(2)方程x2＋2＝0的解的集合；
(3)不等式4x－6<5的解集；
(4)函数y＝2x＋3的图象上的点集．
规律方法 用描述法表示集合时，要注意代表元素是什么？同时要注意代表元素所具有的性质．
变式迁移2 用描述法表示下列集合：
(1)函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的图象上所有点的集合；
(2)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合；
(3)不等式x－3>2的解集．
知识点三 列举法和描述法的灵活运用
例3 用适当的方法表示下列集合：
(1)比5大3的数；
(2)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；
(3)二次函数y＝x2－10图象上的所有点组成的集合．
规律方法 用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满足的条件；三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合．
变式迁移3 用适当的方法表示下列集合：
(1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合；
(2)由所有周长等于10 cm的三角形组成的集合；
(3)从1,2,3这三个数字中抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数的集合；
(4)二元二次方程组的解集．
1．在用列举法表示集合时应注意以下四点：
(1)元素间用“，”分隔；(2)元素不重复；(3)不考虑元素顺序；
(4)对于含有较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号．
2．使用描述法时应注意以下四点：
(1)写清楚该集合中元素的代号(字母或 ( http: / / www.21cnjy.com )用字母表示的元素符号)；(2)说明该集合中元素的特征；(3)不能出现未被说明的字母；(4)用于描述的语句力求简明、确切.
课时作业
一、选择题
1．集合{1,3,5,7,9}用描述法表示应是( )
A．{x|x是不大于9的非负奇数}
B．{x|x≤9，x∈N}
C．{x|1≤x≤9，x∈N}
D．{x|0≤x≤9，x∈Z}
2．在直角坐标系内，坐标轴上的点的集合可表示为( )
A．{(x，y)|x＝0，y≠0} B．{(x，y)|x≠0，y＝0}
C．{(x，y)|xy＝0} D．{(x，y)|x＝0，y＝0}
3．下列语句：
①0与{0}表示同一个集合；②由1,2 ( http: / / www.21cnjy.com ),3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}；③方程(x－1)2(x－2)2＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；④集合{x|4正确的是( )
A．只有①和④ B．只有②和③
C．只有② D．以上语句都不对
4．已知集合A＝，则A为( )
A．{2,3} B．{1,2,3,4}
C．{1,2,3,6} D．{－1,2,3,4}
5．下列集合中表示同一集合的是( )
A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}
B．M＝{3,2}，N＝{2,3}
C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}
D．M＝{1,2}，N＝{(1,2)}
二、填空题
6．下列可以作为方程组的解集的是__________(填序号)．
①{x＝1，y＝2}； ②{1,2}；
③{(1,2)}； ④{(x，y)|x＝1或y＝2}；
⑤{(x，y)|x＝1且y＝2}； ⑥{(x，y)|(x－1)2＋(y－2)2＝0}．
7．已知a∈Z，A＝{(x，y)|ax－y≤3}且(2,1)∈A，(1，－4) A，则满足条件的a的值为________．
8．已知集合M＝{x∈N|8－x∈N}，则M中的元素最多有______个．
三、解答题
9．用另一种方法表示下列集合．
(1){绝对值不大于2的整数}；
(2){能被3整除，且小于10的正数}；
(3){x|x＝|x|，x<5且x∈Z}；
(4){(x，y)|x＋y＝6，x∈N*，y∈N*}；
(5){－3，－1,1,3,5}．
10. 用描述法表示图中阴影部分(含边界)的点的坐标的集合．
【探究驿站】
11．对于a，b∈N＋，现规定：
a*b＝.
集合M＝{(a，b)|a*b＝36，a，b∈N＋}
(1)用列举法表示a，b奇偶性不同时的集合M；
(2)当a与b的奇偶性相同时集合M中共有多少个元素？
1．1.2 集合的表示方法 答案
自学导引
1．一一列举 花括号“{ }”
2．特征性质 {x∈I|p(x)}
对点讲练
例1 解 (1)∵x∈N，且∈Z，
∴1＋x＝1,2,3,6，
∴x＝0,1,2,5，∴M＝{0,1,2,5}．
(2)由，得，
故方程组的解集为{(1,1)}．
(3)要分a>0且b>0，a>0且b<0，a<0且b>0，a<0且b<0四种情况考虑，故用列举法表示为{－2,0,2}．
变式迁移1 解 (1)∵|x|≤2，x∈Z，
∴－2≤x≤2，x∈Z，
∴x＝－2，－1,0,1,2.
∴A＝{－2，－1,0,1,2}．
(2)∵1和2是方程(x－1)2(x－2)＝0的根，
∴B＝{1,2}．
(3)∵x＋y＝4，x∈N*，y∈N*，
∴或或
∴M＝{(1,3)，(2,2)，(3,1)}．
(4)结合例1(1)知，＝6,3,2,1，
∴C＝{6,3,2,1}．
例2 解 (1)文字描述法：{x|x是正偶数}．
符号描述法：{x|x＝2n，n∈N*}．
(2){x|x2＋2＝0，x∈R}．
(3){x|4x－6<5，x∈R}．
(4){(x，y)|y＝2x＋3，x∈R，y∈R}．
变式迁移2 解 (1){(x，y)|y＝ax2＋bx＋c，x∈R，a≠0}．
(2)＝.
(3){x∈R|x－3>2}．
例3 解 (1)比5大3的数显然是8，
故可表示为{8}．
(2)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化为
(x－2)2＋(y＋3)2＝0，
∴，
∴方程的解集为{(2，－3)}．
(3)“二次函数y＝x2－10的图象上的点”用描述法表示为{(x，y)|y＝x2－10}．
变式迁移3 解 (1)列举法：{3,5,7}．
(2)描述法：{周长为10 cm的三角形}．
(3)列举法：{1,2,3,12,13,21,23,31,32,123,132,213,231,312,321}．
(4)列举法：{(0,0)，(1,1)}．
课时作业
1．A 2.C 3.C
4．D [由∈N*可知，5－a为6的正因数，所以5－a可以等于1,2,3,6，相应的a分别等于4,3,2，－1，
即A＝{－1,2,3,4}．]
5．B
6．③⑤⑥
7．0,1,2
解析 ∵(2,1)∈A且(1，－4) A，∴2a－1≤3且a＋4>3，
∴－18．9
9．解 (1){－2，－1,0,1,2}
(2){3,6,9}
(3)∵x＝|x|，∴x≥0，又∵x∈Z且x<5，
∴x＝0或1或2或3或4.
∴集合可以表示为{0,1,2,3,4}．
(4){(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)}．
(5){x|x＝2k－1，－1≤k≤3，k∈Z}．
10．解 用描述法表示为(即用符号语言表示)：
.
11．解 (1)当a，b奇偶性不同时，a*b＝a×b＝36，
则满足条件的(a，b)有(1,36)，(3,12)，(4,9)，(9,4)，(12,3)，(36,1)，故集合M可表示为：
M＝{(1,36)，(3,12)，(4,9)，(9,4)，(12,3)，(36,1)}．
(2)当a与b的奇偶性相同时a*b＝a＋ ( http: / / www.21cnjy.com )b＝36，由于两奇数之和为偶数，两偶数之和仍为偶数，故36＝1＋35＝2＋34＝3＋33＝…＝17＋19＝18＋18＝19＋17＝…＝35＋1，
所以当a，b奇偶性相同时这样的元素共有35个．§1.2 集合之间的关系与运算
1.2.1 集合之间的关系
自主学习
学习目标
了解子集、真子集、空集的概念，掌握用Venn图表示集合的方法，通过子集理解两集合相等的意义．
自学导引
1．一般地，对于两个集合A ( http: / / www.21cnjy.com )、B，如果集合A中________________元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作________(或________)，读作“____________”(或“____________”)．
2．如果集合A是集合B的子集(A B)，且 ( http: / / www.21cnjy.com )________________________，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，记作________．
3．如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，我们称集合A是集合B的__________，记作________(或________)．
4．________是任何集合的子集，________是任何非空集合的真子集．
对点讲练
知识点一 写出给定集合的子集
例1 (1)写出集合{0,1,2}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集；
(2)填写下表，并回答问题．
原集合 子集 子集的个数
{a}
{a，b}
{a，b，c}
由此猜想：含n个元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的个数是多少？真子集的个数及非空真子集的个数呢？
规律方法 (1)分类讨论是写出所有子集的有效方法，一般按集合中元素个数的多少来划分，遵循由少到多的原则，做到不重不漏．
(2)集合A中有n个元素，则集合A有2n个子集，有(2n－1)个真子集，(2n－1)个非空子集，(2n－2)个非空真子集．
变式迁移1 已知集合M满足{1,2} M {1,2,3,4,5}，写出集合M.
知识点二 集合基本关系的应用
例2 (1)已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1(2)本题(1)中，若将“B A”改为“A B”，其他条件不变，求实数m的取值范围．
规律方法 (1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合．
(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法， ( http: / / www.21cnjy.com )将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．
(3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为非空集合而丢解，因此分类讨论思想是必须的．
变式迁移2 已知A＝{x|x2－5x＋6＝0}，B＝{x|mx＝1}，若B?A，求实数m所构成的集合M.
知识点三 集合相等关系的应用
例3 已知集合A＝{2，x，y}，B＝{2x,2，y2}且A＝B，求x，y的值．
规律方法 集合相等则元素相同，但要注意集合中元素的互异性，防止错解．
变式迁移3 含有三个实数的集合可表示为，也可表示为{a2，a＋b,0}，求a，b.
1．元素、集合间的关系用符号“∈”或“ ”表示，集合、集合间的关系用“ ”、“＝”或“?”等表示．
2．在特定的情况下集合也可以作为元素，如集合B＝{ ，{0}，{1}，{0,1}}，则此时{1}∈B，而不能是{1}?B.
3．解集合关系的问题时还需注意以下几个方面：
(1)当A B时，A＝B或A?B.
(2)判断两个集合间的关系：①先用列举法表示两个集合再判断；②分类讨论．
(3)解数集问题学会运用数轴表示集合．
(4)集合与集合间的关系可用Venn图直观表示.
课时作业
一、选择题
1．下列命题
①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若 ?A时，则A≠ ，
其中正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
2．已知集合A＝{x|a－1≤x≤a＋2}，B＝{x|3A．{a|3C．{a|33．设B＝{1,2}，A＝{x|x B}，则A与B的关系是( )
A．A B B．B A C．A∈B D．B∈A
4．若集合A＝{x|x＝n，n∈N}，集合B＝，则A与B的关系是( )
A．A?B B．A?B C．A＝B D．A∈B
5．在以下六个写法中：①{0}∈{0,1}； ( http: / / www.21cnjy.com )② ?{0}；③{0，－1,1} {－1,0,1}；④0∈ ；⑤Z＝{正整数}；⑥{(0,0)}＝{0}，其中错误写法的个数是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
6．满足{0,1,2}?A {0,1,2,3,4,5}的集合A的个数是________．
7．设M＝{x|x2－1＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若N M，则a的取值集合为________．
8．若{x|2x－a＝0，a∈N} {x|－1三、解答题
9．设集合A＝{1，a，b}，B＝{a，a2，ab}，且A＝B，求实数a、b的值．
10．已知集合A＝{x|－2k＋3【探究驿站】
11．已知集合M＝{x|x＝ ( http: / / www.21cnjy.com )m＋，m∈Z}，N＝{x|x＝－，n∈Z}，P＝{x|x＝＋，p∈Z}，请探求集合M、N、P之间的关系．
§1.2 集合之间的关系与运算
1．2.1 集合之间的关系
答案
自学导引
1．任意一个 A B B A A包含于B
B包含A
2．集合B是集合A的子集(B A) A＝B
3．真子集 A?B B?A
4．空集 空集
对点讲练
例1 解 (1)不含任何元素的集合： ；
含有一个元素的集合：{0}，{1}，{2}；
含有两个元素的集合：{0,1}，{0,2}，{1,2}；
含有三个元素的集合：{0,1,2}．
故集合{0,1,2}的所有子集为 ，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}．
其中除去集合{0,1,2}，剩下的都是{0,1,2}的真子集．
(2)
原集合 子集 子集的个数
1
{a} ，{a} 2
{a，b} ，{a}，{b}，{a，b} 4
{a，b，c} ，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c} 8
这样，含n个元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的个数是2n，真子集的个数是2n－1，非空真子集的个数是2n－2.
变式迁移1 解 由已知条件知所求 ( http: / / www.21cnjy.com )M为：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．
例2 解 (1)∵B A，
①当B＝ 时，m＋1≤2m－1，解得m≥2.
②当B≠ 时，有，
解得－1≤m<2，综上得m≥－1.
(2)显然A≠ ，又A B，∴B≠ ，
如图所示，
∴，解得m∈ .
变式迁移2 解 由x2－5x＋6＝0
得x＝2或x＝3.
∴A＝{2,3}
由B?A知B＝ 或B＝{2}或B＝{3}
若B＝ ，则m＝0；
若B＝{2}，则m＝；若B＝{3}，则m＝.
∴M＝.
例3 解 方法一 ∵A＝B
∴集合A与集合B中的元素相同
∴或，
解得x，y的值为或或
验证得，当x＝0，y＝0时，
A＝{2,0,0}这与集合元素的互异性相矛盾，舍去．
∴x，y的取值为或
方法二 ∵A＝B，
∴A、B中元素分别对应相同．
∴即
∵集合中元素互异，∴x、y不能同时为0.
∴y≠0.由②得x＝0或y＝.
当x＝0时，由①知y＝1或y＝0(舍去)；
当y＝时，由①得x＝.
∴或
变式迁移3 解 由集合相等得：
0∈，易知a≠0，
∴＝0，即b＝0，∴a2＝1且a2≠a，∴a＝－1.
综上所述：a＝－1，b＝0.
课时作业
1．B [仅④是正确的．]
2．B [∵A B，∴
∴3≤a≤4.]
3．D [∵B的子集为{1}，{2}，{1,2}， ，
∴A＝{x|x B}＝{{1}，{2}，{1,2}， }，∴B∈A.]
4．A 5.B
6．7
解析 本题即求集合{3,4,5}的非空子集个数，
共23－1＝7个．
7．{－1,1,0}
8．{0,1,2,3,4,5}
9．解 ∵A＝B且1∈A，∴1∈B.
若a＝1，则a2＝1，这与元素互异性矛盾，∴a≠1.
若a2＝1，则a＝－1或a＝1(舍)．
∴A＝{1，－1，b}，∴b＝ab＝－b，即b＝0.
若ab＝1，则a2＝b，得a3＝1，即a＝1(舍去)．
故a＝－1，b＝0即为所求．
10．解 ∵A?B，①若A＝ ，且B≠ ，
则k>0，且－2k＋3≥k－2 0②若A≠ ，且B≠ ，则
且－k＝－2k＋3与k＝k－2不同时成立，解得由①②可得实数k的取值范围为{k|011．解 M＝{x|x＝m＋，m∈Z}＝{x|x＝，m∈Z}．
N＝{x|x＝－，n∈Z}＝{x|x＝，n∈Z}．
P＝{x|x＝＋，p∈Z}＝{x|x＝，p∈Z}．
∵3n－2＝3(n－1)＋1，n∈Z，
∴3n－2,3p＋1都是3的整数倍加1，
从而N＝P.
而6m＋1＝3×2m＋1是3的偶数倍加1，
∴M?N＝P.