2.4 函数与方程
【入门向导】 详释二分法
关于这个问题的回答，我们不妨先来看一段CCTV2幸运52的一个片段：
主持人李咏(以下简称李)说道“猜一猜这件商品的价格”．
甲：2 000！ 李：高了！ 甲：1 000！ 李：低了！
甲：1 700！ 李：高了！ 甲：1 400！ 李：低了！
甲：1 500！ 李：低了！ 甲：1 550！ 李：低了！
甲：1 580！ 李：高了！ 甲：1 570！ 李：低了！
甲：1 578！ 李：低了！ 甲：1 579!
李：这件商品归你了．下一件…
有一位老师和他的三位学生做了如下问答：
老师：如果让你来猜这件商品的价格，你如何猜？
钱立恒：先初步估算一个价格，如果高了再每隔十元降低报价．
方仕俊：这样太慢了，先初步估算一个价 ( http: / / www.21cnjy.com )格，如果高了每隔100元降低报价．如果低了，每隔50元上涨；如果再高了，每隔20元降低报价；如果低了，每隔10元上升报价…
侯素敏：先初步估算一个价格， ( http: / / www.21cnjy.com )如果高了，再报一个价格；如果低了，就报两个价格和的一半；如果高了，再把报的低价与一半价相加再求其半，报出价格；如果低了，就把刚刚报出的价格与前面的价格结合起来取其和的半价…
侯素敏的回答是一个比较准确的结果，所采用的方法就是二分法的思维方式——区间逼近法．
函数零点求解三法
我们知道，如果函数y＝f(x)在x＝a处的函数值等于零，即f(a)＝0，则称a为函数的零点．本文现介绍函数零点求解三法．
一、代数法
例1 求函数f(x)＝x2＋2x－3的零点．
解 令x2＋2x－3＝0，Δ＝22－4×(－3)＝16>0，
方程有两个不相等实数根．
方法一 因式分解法或试根法
x2＋2x－3＝(x＋3)(x－1)或由f(x)＝x2＋2x－3，
试一试f(1)＝12＋2×1－3＝0，
f(－3)＝(－3)2＋2×(－3)－3＝0.
所以f(x)的零点为x1＝1，x2＝－3.
方法二 配方法
x2＋2x－3＝(x＋1)2－4＝0，
所以x＋1＝±2.所以零点x1＝1，x2＝－3.
方法三 公式法
x1,2＝＝.
所以零点x1＝1，x2＝－3.
点评 本题用了由求函数f(x)的零点转化为求方程f(x)＝0的实数根的办法．运用因式分解法或试根法、配方法、公式法，以上统称为代数法．
二、图象法
求函数y＝g(x)－h(x)的零点，实际上是求曲线y＝g(x)与y＝h(x)的交点的横坐标，即求方程g(x)－h(x)＝0的实数解．
三、用二分法求函数近似零点
例2 用二分法求函数f(x)＝x3－3的一个正零点(精确到0.01)．
解 由于f(1)＝－2<0，f(2)＝5>0，
因此区间[1,2]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，如下表：
端点(中点)坐标 计算中点函数值 取值区间
f(1)＝－2<0f(2)＝5>0 [1,2]
x1＝＝1.5 f(x1)＝0.375>0 [1,1.5]
x2＝＝1.25 f(x2)＝－1.047<0 [1.25,1.5]
x3＝＝1.375 f(x3)＝－0.400<0 [1.375,1.5]
x4＝＝1.437 5 f(x4)＝－0.029 5<0 [1.437 5，1.5]
x5＝＝1.468 75 f(x5)＝0.168 4>0 [1.437 5，1.468 75]
x6＝＝1.453 125 f(x6)>0 [1.437 5，1.453 125]
x7＝1.445 312 5 f(x7)>0 [1.437 5，1.445 312 5]
因为1.445 312 5－1.437 5＝0.007 812 5<0.01，
所以x8＝≈1.44为函数的一个近似解．
点评 首先确定正零点所在的大致区间，区间长度尽量小，否则会增加运算次数和运算量，应注意运算的准确性，也应注意对精确度的要求．
二分法在经济和科学技术中的应用
应用问题1：市场的供需平衡问题．
详释：市场经济价格自行调整，若供过于求，价格会跌落，若供不应求，价格会上涨，找一个价格平衡点，应怎样找？不妨试着求一下．
例3 某农贸市场出售西红柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而需求量相应减少，具体调查结果如下表：
表1 市场供给表
单价(元/kg) 2 2.4 2.8 3.2 3.6 4
供给量(1 000 kg) 50 60 70 75 80 90
表2 市场需求表
单价(元/kg) 4 3.4 2.9 2.6 2.3 2
需求量(1 000 kg) 50 60 65 70 75 80
根据以上提供的信息，市场供需平衡点(即供给量和需求量相等时的单价)应在区间( )
A．(2.3,2.4)内 B．(2.4,2.6)内
C．(2.6,2.8)内 D．(2.8,2.9)内
解析 由图表分析比较知，市场供需平衡点应在中 ( http: / / www.21cnjy.com )间某个值，又供给量与需求量均为70×1 000 kg时，供给单价和需求单价相差最小为0.2，其他的均大于0.2，所以价格在(2.6,2.8)时最有可能达到供需平衡．
答案 C
点评 充分阅读题目，理解题意，把两表中的信息与题目要求结合起来，可找到答案．
二分法在日常生活中的应用
应用问题2：运用二分法查线路故障．
详释：在日常生活中，经常遇到电线或电话线、网线等出现故障．我们不妨用二分法排查一下．
例4 在一个风雨交加的夜晚，从某水库闸房到 ( http: / / www.21cnjy.com )防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10 km长的线路，每隔50 m有一根电线杆，维修工人需爬上电线杆测试，你能帮他找到一个简便易行的方法吗？
解
如图所示，他首先从中点C查．用随 ( http: / / www.21cnjy.com )身带的话机向两端测试时，发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D，这次发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD中点E来查．
每查一次，可以把待查的线路 ( http: / / www.21cnjy.com )长度缩减一半，算一算，要把故障可能发生的范围缩小到50～100 m左右，即一两根电线杆附近，这样只需查7次就可以了．
点评 有步骤地缩小解所在的区间，是二分法的重要数学思想，本题的实际问题也体现着这种思想．
函数的零点错例剖析
一、忽略了概念
例5 设函数y＝f(x)在区间(a，b ( http: / / www.21cnjy.com ))上连续，且f(a)·f(b)>0，则有结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)上不存在零点．判断该命题是否正确．
错解 正确．
剖析 对区间(a，b)上的连续函数y＝f(x)，若f(a)·f(b)<0，则必存在零点；反之，则不然．
正解 无法判断是否存在零点及零点个数问题 ( http: / / www.21cnjy.com )．如函数f(x)＝x2，f(－1)＝f(1)＝1>0，而在区间(－1,1)上显然存在零点．故该命题不正确．
点评 (1)函数y＝f(x) ( http: / / www.21cnjy.com )的图象在区间(a，b)上连续且有f(a)·f(b)<0，所得在(a，b)上存在的零点叫做变号零点；有时曲线经过零点时不变号，称这样的零点为不变号零点；(2)零点定理仅能判断当函数y＝f(x)在区间(a，b)上是连续曲线，并且f(a)·f(b)<0时，在(a，b)上至少存在一个零点，而无法确定零点个数．
二、忽略了分类讨论
例6 若函数y＝ax2－2x＋1只有一个零点，求实数a的取值范围．
错解 由题意可得，
实数a所满足的条件为Δ＝4－4a＝0，∴a＝1.
剖析 没有对系数a进行分类讨论，单从表象而误认为已知函数为二次函数．
正解 (1)当a＝0时，y＝－2x＋1，有唯一零点；
(2)当a≠0时，由题意可得Δ＝4－4a＝0，解得a＝1.
综上，实数a的取值范围为a＝0或a＝1.
点评 对最高项字母系数分类讨论是重要且常见的题型，是分类讨论思想的主要体现之一．
三、忽略了区间端点值
例7 已知f(x)＝3mx－4，若在[－2,0]上存在x0，使f(x0)＝0，求实数m的取值范围．
错解 因为在[－2,0]上存在x0，使f(x0)＝0，
则f(－2)·f(0)<0，所以(－6m－4)·(－4)<0，
解得m<－.
故实数m的取值范围为(－∞，－)．
剖析 本题的x0在[－2,0]上可取到端点，
即f(－2)·f(0)≤0.
正解 由f(－2)·f(0)≤0，解得m≤－.
故实数m的取值范围为(－∞，－]．
点评 区间值要全部考虑到，做到不重不漏．
四、图象应用
例8 已知函数y＝x(x－1)(x＋1)的图象如图所示，今考虑f(x)＝x(x－1)(x＋1)＋0.01，则方程f(x)＝0( )
A．有三个实根
B．当x<－1时恰有一实根
C．当－1
D．当0E．当x>1时恰有一实根
错解 将已知函数图象向上平移
0．01个单位(如图所示)，即得f(x)＝x(x－1)(x＋1)＋0.01的图象．故选B项．
剖析 肉眼观察无法替代严密的计算与推理，容易“走眼”．
正解 ∵f(－2)<0，f(－1)>0，
∴f(－2)·f(－1)<0，∴B项正确．
又f(0)>0，∴C项错误．
而f(0.5)<0，f(1)>0，
∴f(x)＝0在区间(0,1)上有两个实根，则D项错误，E项也错，并且由此可知A项正确．故选A、B两项．
点评 应用数形结合思想处理方程问题，直观易懂 ( http: / / www.21cnjy.com )，注意图象要力求精确；解答多项选择题，需逐项验证才可选出答案，解单选题时所用的排除法已无法奏效.
函数与方程，唇齿相依
函数的思想，是用运动和变化的观点 ( http: / / www.21cnjy.com )、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系式或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．
方程的思想，就是分析数学问题中变量间 ( http: / / www.21cnjy.com )的等量关系，从而建立方程或方程组或构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．
方程思想与函数思想密切相 ( http: / / www.21cnjy.com )关，对于函数y＝f(x)(如果y＝ax2＋bx＋c可以写成f(x)＝ax2＋bx＋c，即y＝f(x)的形式)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看作二元方程y－f(x)＝0，函数与方程这种相互转化的关系很重要，我们应牢牢掌握．下面我们就具体看一下函数与方程的应用举例．
一、判断方程解的存在性
例1 已知函数f(x)＝3x3－2x2＋1，判断方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有没有实数解？
分析 可通过研究函数f(x)在[－1,0]上函数的变化情况判断函数是否有零点，从而判定方程是否有解．
解 因为f(－1)＝3×(－1)3－2(－1)2＋1＝－4<0，
f(0)＝3×03－2×02＋1＝1>0，所以f(－1)·f(0)<0.
又因为函数f(x)＝3x3－2x2＋1的图象是连续的曲线，
所以f(x)在[－1,0]内有零点，即方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有实数解．
点评 要判断f(x)＝0是 ( http: / / www.21cnjy.com )否存在实根，即判断对应的连续函数y＝f(x)的图象是否与x轴有交点．因此，只要找到图象上的两点，满足一点在x轴上方，另一点在x轴下方即可．
二、确定方程根的个数
例2 若f(x)＝ax3＋ax＋ ( http: / / www.21cnjy.com )2(a≠0)在[－6,6]上满足f(－6)>1，f(6)<1，则方程f(x)＝1在[－6,6]内的解的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
分析 利用等价转化将方程根的问题化为函数的零点问题，再结合函数零点的性质进行判断．
解析 设g(x)＝f(x)－1，则由f(－6)>1，f(6)<1
得[f(－6)－1][f(6)－1]<0，
即g(－6)g(6)<0.
因此g(x)＝f(x)－1在(－6,6)有一个零点．
由于g(x)＝ax3＋ax＋1(a≠0)，
易知当a>0时g(x)单调递增；
当a<0时，g(x)单调递减，
即函数g(x)为单调函数，故g(x)仅有一个零点．
因此方程f(x)＝1仅有一个根．故选A.
答案 A
点评 在区间[a，b]上单调且图象连续的函数y＝f(x)，若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)的图象在(a，b)内有惟一的零点．
三、求参数的取值范围
例3 已知一次函数y＝2mx＋4，若在[－2,0]上存在x0使f(x0)＝0，则实数m的取值范围是________．
分析 将方程解的问题，转化为一次函数在区间上有零点的问题，最后通过不等式求得m的范围．
解析 因为一次函数f(x)在[－2,0]上存在x0使f(x0)＝0，
即函数f(x)在[－2,0]内有一个零点，
所以f(－2)f(0)≤0.
即(－4m＋4)(0＋4)≤0，解得m≥1.
答案 m≥1
点评 本题对方程实根的研究转化为对一次函 ( http: / / www.21cnjy.com )数f(x)在[－2,0]上有一个零点的研究，最后建立关于m的不等式求出m的取值范围．整个解题过程充满了对函数、方程、不等式的研究和转化，充分体现了函数与方程的相互作用．
巧用零点与方程根的关系求系数范围
例4 已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则( )
A．b∈(－∞，0) B．b∈(0,1)
C．b∈(1,2) D．b∈(2，＋∞)
分析 本题主要考查函数的零点及待定系数法，解答时从图中获取正确信息是解答的关键．
解析 方法一 从图中可以得f(0)＝0，
∴d＝0，由图可知f(x)有三个零点，故可设函数的解析式是f(x)＝ax(x－1)(x－2)＝ax3－3ax2＋2ax.
当x>2时，f(x)>0，因此a>0，
∵b＝－3a，∴b<0.
方法二 由f(0)＝0，得d＝0，
又∵f(1)＝0，
∴a＋b＋c＝0 ①
又∵f(－1)<0，即－a＋b－c<0 ②
①＋②得2b<0，∴b<0.
答案 A
例5 已知关于x的方程2kx2－2x－3k－2＝0的两实根一个小于1，另一个大于1，求实数k的取值范围．
分析 若直接利用求根公式解题，则要解复 ( http: / / www.21cnjy.com )杂的无理不等式组．如果从函数观点出发，令f(x)＝2kx2－2x－3k－2，则由根的分布，函数f(x)的图象只能如图所示．
对应的条件是或解出即可．
解 令f(x)＝2kx2－2x－3k－2，为使方程f(x)＝0的两实根一个小于1，另一个大于1，只需
或即
或
解得k>0或k<－4.
故k的取值范围是k>0或k<－4.
点评 本题是一个利用函数图象解方程根的分布问题的典例．一般的，关于根的分布问题，可引入函数，由函数图象的特征联想解决，使问题得到巧妙解决．
二分法思想的应用
“逐步逼近”是重要的数学思想 ( http: / / www.21cnjy.com )，同学们现在学习的求方程近似解的“二分法”就充分运用了这一思想．“考察极端”、“化整为零”、“无限分割”等都是这一数学思想的具体体现．作为研究和解决问题的思想方法，“逐步逼近”渗透在中学数学的许多内容中，比如初中学习的圆面积公式，就是由正多边形“逐步逼近”圆推导的；又如两个集合相等，就是由集合间的子集关系“逼近”的(即A B且B A A＝B)；再如，由“有理数逼近无理数”使我们认识了实数指数幂等，在以后的学习中，我们还会看到这一思想的运用(如球的表面积和体积公式的推导)．下面通过“两边夹法则”的应用来体会和领悟“逐步逼近”思想的奥妙．
两边夹法则：如果实数a，b满足a≥b，且b≥a，则a＝b.
例6 已知a，b，c是实数，函数 ( http: / / www.21cnjy.com )f(x)＝ax2＋bx＋c，g(x)＝ax＋b.当a>0，－1≤x≤1时，|f(x)|≤1且g(x)的最大值为2，求f(x)．
解 ∵a>0，∴g(x)＝ax＋b在[－1,1]上是增函数．
又g(x)在[－1,1]上的最大值为2，
∴g(1)＝2，即a＋b＝2. ①
于是f(1)－f(0)＝2.
由题设有－1≤f(0)＝f(1)－2≤1－2＝－1，
∴f(0)＝－1，从而c＝－1.
又由题设知f(x)≥－1＝f(0)，
∴二次函数f(x)的对称轴为x＝0，
于是－＝0，得b＝0，将其代入①，得a＝2.
∴f(x)＝2x2－1.
山重水复疑无路，柳暗花明又一村
探索解题方法
对一个数学问题的分析与求解是有过程的，谁都 ( http: / / www.21cnjy.com )无法保证“一顺百顺”，特别是面对一些综合题更是如此．分析时“条条是道”，求解时却“处处碰壁”这些都是正常的．当我们的思维受挫时，该怎样处置倒是十分关键的．本文告诉你：注意分析细节，就会柳暗花明的，请看：
题目：已知二次函数f(x)＝ax ( http: / / www.21cnjy.com )2＋bx＋c(a≠0)，x1分析一：数形结合，从图象分析 ( http: / / www.21cnjy.com )入手，分别作出两函数y1＝ax2＋bx＋c与y2＝[f(x1)＋f(x2)]的图象，直观上可以看出两函数有两个不同的交点．
方法一 由于f(x)＝ax2＋bx＋c是二次函数，不妨设a>0，则函数y1＝ax2＋bx＋c的图象开口向上．
而y2＝[f(x1)＋f(x2 ( http: / / www.21cnjy.com ))]的图象呢？是一条平行于x轴的直线．此直线与二次函数图象有两个不同的交点吗？由于f(x1)与f(x2)不是具体数值，无法肯定啊！思维受挫！
分析细节：f(x1)与f(x2)是函数 ( http: / / www.21cnjy.com )f(x)＝ax2＋bx＋c分别在x1，x2处的函数值，这两个值与最小值有什么关系，由于f(x1)≠f(x2)，说明[f(x1)＋f(x2)]一定比最小值大；若y2的值就是最小值，此时，直线与抛物线相切于顶点，而[f(x1)＋f(x2)]大于最小值，则y2＝[f(x1)＋f(x2)]与二次函数图象一定有两个不同的交点．
又因为min{f(x1)，f(x2)}≤[f(x1)＋f(x2)]≤max{f(x1)，f(x2)}，故必有一根属于(x1，x2)．
分析二：通过方程的系数进行分析，计算方程f(x)＝[f(x1)＋f(x2)]的“b2－4ac”，然后，再结合函数零点的存在定理．
方法二 由f(x)＝[f(x1)＋f(x2)]，得
2ax2＋2bx＋2c－f(x1)－f(x2)＝0.
那么Δ＝(2b)2－4×(2a)·[2c－f(x1)－f(x2)]
＝4[b2－4ac＋2af(x1)＋2af(x2)]．
此式大于零吗？不能判断它是否大于零，又如何产生根的范围呢？思维又受挫！
分析细节 在上式中存在f(x1)与f(x2)，可否将其替换呢？于是
Δ＝4[b2－4ac＋2a(ax＋bx1＋c)＋2a(ax＋bx2＋c)]
＝2(4a2x＋4abx1＋b2)＋2(4a2x＋4abx2＋b2)
＝2(2ax1＋b)2＋2(2ax2＋b)2≥0.
又x10，因此方程有两个不等的实根．
又设g(x)＝f(x)－[f(x1)＋f(x2)]，
则g(x1)g(x2)＝{f(x1)－[f(x1)＋f(x2)]}·{f(x2)－[f(x1)＋f(x2)]}＝－[f(x1)－f(x2)]2<0.
说明g(x1)与g(x2)异号，即
[f(x1)＋f(x2)]∈[f(x1)，f(x2)]．
故方程必有一根属于(x1，x2)．
通过本例，我们可以看出：当思维受挫时，仔细去分析细节，通过细节使问题获解是重要的思维策略，有必要真正掌握.
高考中的函数与方程
函数与方程是高中数学的重要内容 ( http: / / www.21cnjy.com )，尤其是二次函数与二次方程，它们有着密切的关系，函数可以看作方程，某些方程也可以看作是函数关系．在解决有关问题时，函数、方程常相互转化．本文精选历年高考试题为例加以说明．
1．(上海高考)对于函数f(x ( http: / / www.21cnjy.com ))，若存在x0∈R，使f(x0)＝x0成立，则称x0为f(x)的不动点．已知函数f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1 (a≠0)．
(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的不动点；
(2)若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围．
分析 抓住函数f(x)的不动点概念列出方程，即可解决问题(1)；利用方程恒有一个实数解的条件可解决问题(2)．
解 (1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－x－3.
由题意知x＝x2－x－3，得x1＝－1，x2＝3.
故当a＝1，b＝－2时，
f(x)的两个不动点为－1和3.
(2)∵f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1 (a≠0)恒有两相异不动点，
∴x＝ax2＋(b＋1)x＋b－1，
即ax2＋bx＋b－1＝0恒有两个相异的实数根，
∴Δ＝b2－4ab＋4a>0 (b∈R)恒成立．
于是Δ＝(4a)2－16a<0，解得0故当b∈R，f(x)恒有两个相异的不动点时，
a的取值范围为0点评 本题中的新情境——不动点，它的实质就是方程f(x)＝x的根．
2．(聊城模拟)若关于x的方程x2－3x＋a＝0两根中有一根在(0,1)之间，求实数a的取值范围．
分析 本问题可转化为函数y＝x2－3x＋a有 ( http: / / www.21cnjy.com )两个零点，其中有一个在(0,1)内．那么，我们就可以借助函数的图象，利用函数在(m，n)内有零点的条件f(m)·f(n)<0，求a的取值范围．
解 根据题意，函数y＝x2－3x＋a有两个零点，其中有一个在(0,1)内，作函数y＝x2－3x＋a的大致图象，如图所示，
则可得
解得0故a的取值范围是(0,2)．
点评 利用二次方程的根的分布求参数取值范围常利用数形结合思想确定条件．需从三个方面考虑：
①判别式；②对称轴直线x＝－与区间端点的关系；
③区间端点函数值的正负．
3．(浙江高考)若f(x)和g(x)都是定义在实数集R上的函数，且方程x－f[g(x)]＝0有实数解，则g[f(x)]不可能是( )
A．x2＋x－ B．x2＋x＋
C．x2－ D．x2＋
分析 由于本题未知函数f(x)、g(x)的类型，试图用待定系数法去解决比较困难．故可采用较灵活的方法——逐一验证法．
解析 若g[f(x)]＝x2＋x－，不妨设f(x)＝x2＋x－，g(x)＝x，由方程x－f[g(x)]＝0即得x2－＝0，显然，x2－＝0有解．故函数g[f(x)]有可能为x2＋x－.
若g[f(x)]＝x2＋ ( http: / / www.21cnjy.com )x＋，不妨设f(x)＝x2＋x＋，g(x)＝x，由方程x－f[g(x)]＝0，即得x2＋＝0.显然，x2＋＝0无解．故函数g[f(x)]不可能为x2＋x＋.
对于C、D两答案，同理可得可能为g[f(x)]．
答案 B
点评 本例求解过程是先将函数分拆成两个具体的函数，再转化为具体的方程，然后，通过研究方程的根的存在性转化为判断函数的可能性．
4．设函数y＝f(x)的定义域为实数集R ( http: / / www.21cnjy.com )，如果存在实数x0，使得x0＝f(x0)，那么x0为函数y＝f(x)的不动点，下列图象表示有且只有两个不动点的函数图象是( )
分析 函数的零点即为函数值为0 ( http: / / www.21cnjy.com )时对应方程的解．因此求函数的零点常常等价于求函数图象交点的横坐标来解决．所以解决此类问题时首先要善于将问题转化到熟悉的情景中去．
解析 使x0＝f(x0)的解即为y＝f(x)的图象和y＝x的交点的个数问题．观察图象易得结论．
答案 B
5．关于x的方程(x2－1)2－|x2－1|＋k＝0，给出下列四个论断：
①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；
②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；
③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；
④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根
其中正确的个数是( )
A．0 B．4 C．2 D．3
分析 本题的命制立足函数与方程之 ( http: / / www.21cnjy.com )间的内在联系，同时考察分类讨论和数形结合思想，要求同学们具有较强的分析问题和解决问题的能力．解题的突破口是从条件中等式的形式入手采用换元法将方程化为熟悉的一元二次方程，从而结合相应函数的图象进行处理．
解析 据题意可令x2－1＝t(t≥－1)，
则方程化为|t|2－|t|＋k＝0，
即k＝|t|－|t|2.
作出y1＝|t|－|t|2的图象如右图，平移y2＝k这一直线，结合函数的图象可知：
①当0②当k＝时，t有2个值，相应的x有4个值．
③当k＝0时，t有3个值，相应的x有5个值．
④当k<0时，t有1个值，相应的x有2个值．
答案 B
6．对于函数y＝f(x)(x∈D)其中D为函数的定义域，若同时满足下列2个条件：
①y＝f(x)在定义域内是单调函数；
②存在区间[a，b] D，使f(x)在[a，b]上的值域是[a，b]，那么把y＝f(x)(x∈D)称为闭函数．
(1)求闭函数y＝－x3符合条件②的区间[a，b]；
(2)判断函数f(x)＝－x＋，x∈(0，＋∞)是否为闭函数，说明理由．
分析 首先以定义形式给出 ( http: / / www.21cnjy.com )函数的一项性质，然后围绕此性质进行命题，其实质是对函数单调性的应用考察，其次是函数与方程的转化，数形结合解决有关二次函数根的问题．
解 (1)因为y＝－x3是R上的单调递减函数，
所以有且a即a＝－b30.
又－a3＝b9＝b，故b＝1，a＝－1.所以该区间为[－1,1]．
(2)由函数单调性的定义知，该函数在x∈(0，＋∞)为单调减函数，若为闭函数，则存在x∈[a，b]，值域为[a，b]．
于是
即
所以ab＝4，得－a＋＝，
所以a2＝－4与任意实数的平方是非负数相矛盾，
所以不存在满足性质②的区间，故该函数不是闭函数．§2.3 函数的应用(I)
【入门向导】
学以致用．数学来源于生活，又应用于生活 ( http: / / www.21cnjy.com )．运用数学知识解决实际问题的过程就是“数学建模”过程．通过观察分析做一些必要的简化假设，用数学语言表述出实际问题的数学模型(各种数学公式、方程式、定理、理论体系等，都是一些具体的数学模型)，这种解决问题的方法称之为数学建模方法．建构数学模型方法的步骤大致上为实际问题→分析抽象→建立模型→数学问题→数学解→实际解→检验．举个简单的例子，二次函数就是一个数学模型，很多数学问题甚至实际问题都可以转化为二次函数来解决．
一次函数与二次函数模型的应用
1．一次函数模型
即一次函数模型y＝kx＋b(k ( http: / / www.21cnjy.com )≠0)．现实生活中例如：匀速直线运动中路程和时间的关系，弹簧秤的工作原理是弹簧的拉力与伸长长度满足一次函数关系．
2．二次函数模型
形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数模型是二次函数模型．
3．解函数应用题的基本步骤
第一步，阅读理解，审清题意．
读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，在此基础上，分析出已知是什么，求什么，从中提炼出相应数学问题．
第二步，引入数学符号，建立数学模型．
一般地设自变量为x，函数为y ( http: / / www.21cnjy.com )，必要时引入其他相关辅助变量，并且x，y和辅助变量表示各相关量，然后根据已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其它相关知识建立函数关系式，在此基础上将实际问题转化为一个函数问题，使实际问题数学化，即所谓数学模型．
第三步，利用数学方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答，求得结果．
第四步，再将所得结论转译成具体问题的答案．
一、一次函数的模型
例1 某工厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某 ( http: / / www.21cnjy.com )种机器12台和6台，现销售给A地10台，B地8台．已知从甲地调运1台至A地、B地的运费分别为400元和800元，从乙地调运1台至A地、B地的运费分别为300元和500元．
(1)若总运费不超过9 000元，问共有几种调运方案？
(2)求出总运费最低的调运方案及最低的运费．
解 画一个草图，如图所示，设从甲地运x台 ( http: / / www.21cnjy.com )到A地，那么甲地的另12－x台运往B地．由于A地购10台，因此，尚需从乙地运去10－x台，乙地的另6－(10－x)台运往B地．设总运费为y，
则y＝400x＋800(12－x)＋300(10－x)＋500[6－(10－x)]
＝－200x＋10 600.
(1)由y≤9 000，即－200x＋10 600≤9 000，得x≥8.
由于甲地有12台，A地需要10台，因此有三种调运方案，即从甲地运8台、9台或10台到A地．
(2)由于y＝－200x＋10 600为减函数，又8≤x≤10，因此，当x＝10时，运费最低，最低运费为8 600元．
二、二次函数的模型
例2 心理学家发现，学生对概念 ( http: / / www.21cnjy.com )的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分)之间满足函数关系式y＝－0.1x2＋2.6x＋43(0≤x≤30)，y值越大，表示接受能力越强．
(1)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？
(2)第10分钟时，学生的接受能力是多少？
(3)第几分钟时，学生的接受能力最强？
分析 已知函数为二次函数，本题处理的实质是二次函数的最值问题．
对于函数y＝－0.1x2＋2.6x＋43， ( http: / / www.21cnjy.com )你能确定出在[0,30]上的单调性吗？这些单调区间有什么实际意义呢？能否求出该函数在[0,30]内的最大值呢？这反映到实际中有什么实际意义呢？其中二次函数的单调性和最值是解决本题的主线．
→
→
解 (1)y＝－0.1x2＋2.6x＋43
＝－0.1(x－13)2＋59.9.
所以，当0≤x≤13时，学生的接受能力逐步增强；
当13≤x≤30时，学生的接受能力逐步下降．
(2)当x＝10时，y＝－0.1×(10－13)2＋59.9＝59.
即第10分钟时，学生的接受能力为59.
(3)当x＝13时，y取最大值．
所以，在第13分钟时，学生的接受能力最强．
剖析函数建模中的常见错误
函数应用问题，就是利用函数 ( http: / / www.21cnjy.com )思想解决生产生活实践中的实际问题．此类题考查了同学们多方面的数学能力，要求较高，有一定的难度，出错较多，下面结合实例帮助同学们走出误区．
例3 20个劳力种50亩地，这些地可种蔬菜、棉花和水稻，如果种这些作物每亩所需劳力和预计的产值如下表：
作物 每亩需劳力 每亩预计产值
蔬菜 0.6万元
棉花 0.5万元
水稻 0.3万元
问怎样安排，才能使每亩地都种上作物，所有劳力都有工作，而且作物预计产值最高？(1亩≈667 m2)
错解 设种植蔬菜x亩，棉花y亩，水稻z亩，
则总产值W＝0.6x＋0.5y＋0.3z.
∴10 W＝6x＋5y＋3z. ①
∵解得
代入①得10 W＝330－3x，即W＝(330－3x)． ②
∵0≤x≤50，∴由②知，当x＝0时，W最大，
此时y＝90，z＝－40，没有实际意义，∴此题无解．
剖析 本题疏忽对函数W＝f(x)的定义域的探讨，蔬菜的种植面积既受种植总面积的制约，又受棉花和水稻种植面积的影响，由知20≤x≤30.
这是解应用问题时比较容易犯的错误．
正解 设种植蔬菜x亩，棉花y亩，水稻z亩，
则总产值W＝0.6x＋0.5y＋0.3z.
∴10 W＝6x＋5y＋3z. ①
∵解得
代入①得10 W＝330－3x，即W＝(330－3x)． ②
∵且0≤x≤50，∴20≤x≤30.
∴由②知，当x＝20时，W最大，
∴y＝30，z＝0，即蔬菜种20亩，棉花种30亩，水稻种0亩时，作物预计产值最高．
数学思想方法的应用
1．函数思想
例1 建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，求水池的最低总造价为多少元？
分析 此类型问题，一般是先根据题意 ( http: / / www.21cnjy.com )得出函数关系式，然后用定义法判断出函数y＝x＋(p>0)在(0，]上为单调减函数，在[，＋∞)上为单调增函数，再结合实际问题中自变量的取值范围求得相应的函数最值．
解 设水池的造价为y元，长方形底的一边长为x m，
由于底面积为4 m2，所以另一边长为 m．那么
y＝120×4＋2×80×＝480＋320
令g(x)＝x＋，下面判断函数g(x)在(0，＋∞)上的单调性．
任取00，
Δy＝g(x2)－g(x1)＝(x2＋)－(x1＋)
＝(x2－x1)＋＝(x2－x1)(1－)
＝Δx·.
∵0又∵Δx>0，x1x2>0，∴Δy<0，故g(x)在(0,2]上为减函数．
同理，可得g(x)在[2，＋∞)上为增函数．
由以上讨论，知g(x)在x＝2时有最小值g(2)＝2＋＝4.
∴y＝480＋320(x＋)有最小值480＋320×4＝1 760.
规律技巧总结 应用函数y＝x＋(p>0)的单调性求函数最值时，必须对函数的单调性作出判断或证明．
2．数形结合思想
例2 电信局为配合客户不同需要 ( http: / / www.21cnjy.com )，设有A、B两种优惠方案，这两种方案应付电话费y(元)与通话时间x(分钟)之间的关系如图所示(实线部分)．试问：若通话时间为2小时，按方案A、B各付话费多少元？(注：图中MN∥CD)．
解 由题图知M(60,98)，N(500,230)，C(500,168)，
MN∥CD.
设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系式分别为fA(x)、fB(x)，
则fA(x)＝
fB(x)＝
通话两个小时后这两种方案的话费分别为116元、168元．
1．(北京高考改编)
如图所示，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0))＝______.
解析 由A(0,4)，B(2,0)可得线段AB所在直线的方程为f(x)＝－2x＋4 (0≤x≤2)．
同理BC所在直线的方程为f(x)＝x－2 (2所以f(x)＝所以f(0)＝4，f(4)＝2.
答案 2
2．(本溪模拟)某蔬菜基地种植西红 ( http: / / www.21cnjy.com )柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图(1)的一条折线表示，西红柿的种植成本与上市时间的关系用图(2)的抛物线表示．
(1)写出图(1)表示的市场售价与时间的函数关系式P＝f(t)；写出图(2)表示的种植成本与时间的函数关系式Q＝g(t)；
(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？
(注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg；时间单位：天)
分析 本题由函数图象给出基本条件，解题时要抓住图象的特征，抓住关键点的坐标，确定函数关系式解题．
解 (1)市场售价与时间的函数关系为
f(t)＝
种植成本与时间的函数关系为
g(t)＝(t－150)2＋100 (0≤t≤300)．
(2)设t时刻纯收益为h(t)，则由题意得
h(t)＝f(t)－g(t)
＝
当0≤t≤200时，配方整理得
h(t)＝－(t－50)2＋100，
所以，当t＝50时，h(t)取得区间[0,200]上的最大值100；
当200h(t)＝－(t－350)2＋100，
∴t＝300时，h(t)的最大值为87.5.
综上可知：h(t)的最大值为100，此时t＝50，即从2月1日开始的第50天时，上市西红柿收益最大．2.1.4 函数的奇偶性(一)
自主学习
学习目标
1．掌握函数的奇偶性的定义和判断方法．
2．理解奇函数和偶函数的图象的特点．
自学导引
1．阅读课本内容填写下表：
奇函数f(x) 偶函数g(x)
定义域的特点 关于________对称 关于________对称
图象特点 关于________成中心对称图形 关于________成轴对称图形
解析式的特点
2.(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝________.
(2)有没有既是奇函数又是偶函数的函数？举例说明．
对点讲练
知识点一 函数奇偶性的判断
例1 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x3＋x5； (2)f(x)＝；
(3)f(x)＝＋； (4)f(x)＝.
规律方法 (1)用定义判定函数奇偶性的一般步骤为：
①先求定义域，考查定义域是否关于原点对称；
②有时需在定义域内对函数解析式进行变形 ( http: / / www.21cnjy.com )、化简，再找f(－x)与f(x)的关系；判断函数奇偶性可用的变形形式：若f(－x)＋f(x)＝0，则f(x)为奇函数；若f(－x)－f(x)＝0，则f(x)为偶函数．
(2)奇(偶)函数的性质
①f(x)为奇函数，定义域为D，若0∈D，则必有f(0)＝0；
②在同一个关于原点对称的定义域上，
奇函数＋奇函数＝奇函数；偶函数＋偶函数＝偶函数；
奇函数×奇函数＝偶函数；偶函数×偶函数＝偶函数．
变式迁移1 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝－|x|； (2)f(x)＝|x＋1|－|x－1|； (3)f(x)＝＋.
知识点二 分段函数奇偶性的证明
例2 已知函数f(x)＝，判断f(x)的奇偶性．
规律方法 (1)对于分段函数奇偶性的判 ( http: / / www.21cnjy.com )断，须特别注意x与－x所满足的对应关系，如x>0时，f(x)满足f(x)＝－x2＋2x－3，－x<0满足的不再是f(x)＝－x2＋2x－3，而是f(x)＝x2＋2x＋3；
(2)要对定义域内的自变量都要考 ( http: / / www.21cnjy.com )察，如本例分为两种情况，如果本例只有(1)就说f(－x)＝－f(x)，从而判断它是奇函数是错误的、不完整的．
(3)分段函数的奇偶性判断有时也可通过函数图象的对称性加以判断．
变式迁移2 判断函数f(x)＝的奇偶性．
知识点三 抽象函数奇偶性的判断
例3 已知函数f(x)，x∈R，若对任意实数a，b都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)．求证：f(x)为奇函数．
规律方法 抽象函数奇偶性的 ( http: / / www.21cnjy.com )判定是根据定义，即寻求f(x)与f(－x)的关系，需根据这样的目标，认真分析函数所满足的条件式的结构特征，灵活赋值．
变式迁移3 函数f(x)，x∈R， ( http: / / www.21cnjy.com )且f(x)不恒为0.若对于任意实数x1，x2，都有f(x1＋x2)＋f(x1－x2)＝2f(x1)·f(x2)．求证：f(x)为偶函数．
1．在奇函数与偶函数的定义域 ( http: / / www.21cnjy.com )中，都要求x∈D，－x∈D，这就是说，一个函数不论是奇函数还是偶函数，它的定义域都一定关于坐标原点对称．如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，那么这个函数就失去了是奇函数或是偶函数的条件．
2．解题中可以灵活运用f(x)±f(－x)＝0对奇偶性作出判断．
3．奇函数f(x)若在x＝0处有意义，则必有f(0)＝0.
课时作业
一、选择题
1．已知函数f(x)＝ (x≠0)，则这个函数( )
A．是奇函数
B．既是奇函数又是偶函数
C．是偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
2．奇函数y＝f(x) (x∈R)的图象必过点( )
A．(a，f(－a)) B．(－a，f(a))
C．(－a，－f(a)) D.
3．函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a等于( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
4．如图是一个由集合A到集合B的映射，这个映射表示的是( )
A．奇函数而非偶函数
B．偶函数而非奇函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
5．若f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
二、填空题
6．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b为偶函数，其定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________.
7．下列四个结论：①偶函数的图象一定与 ( http: / / www.21cnjy.com )纵轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)＝0 (x∈R)；④偶函数的图象关于y轴对称，其中正确的命题有______个．
8．已知f(x)＝ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，则f(2)＝__________.
三、解答题
9．判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝＋； (2)f(x)＝x4＋x；
(3)f(x)＝； (4)f(x)＝.
10．已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上 ( http: / / www.21cnjy.com )的不恒为零的函数，且对定义域内的任意x，y，f(x)都满足f(x·y)＝y·f(x)＋x·f(y)．
(1)求f(1)，f(－1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由．
2．1.4 函数的奇偶性(一) 答案
自学导引
1．原点 原点 原点 y轴 f(－x)＝－f(x)
f(－x)＝f(x)
2．(1)0 (2)有，例如f(x)＝0，x∈[－1,1]．
对点讲练
例1 解 (1)函数定义域为R.
f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)．
∴f(x)是奇函数．
(2)函数的定义域为{x|x≠－1}．
不关于原点对称，
∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(3)由，得x＝±1，
此时f(x)＝0，x∈{－1,1}．
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
(4)∵
∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，
关于原点对称．
此时f(x)＝＝.
又f(－x)＝＝－＝－f(x)，
∴f(x)＝为奇函数．
变式迁移1 解 (1)既是奇函数，又是偶函数．
∵f(x)＝0，f(－x)＝0.
∴f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)．
(2)函数的定义域为R，
∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|
＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，
∴f(x)＝|x＋1|－|x－1|是奇函数．
(3)由知x＝1，
∴函数f(x)的定义域为{1}，不关于原点对称．
故f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
例2 解 ①当x<0时，－x>0.
f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)－3
＝－x2－2x－3＝－f(x)．
②当x>0时，－x<0，
f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3
＝x2－2x＋3＝－(－x2＋2x－3)＝－f(x)，
综上可知f(x)为奇函数．
变式迁移2 解 当x<0时，－x>0，
f(－x)＝－x－1＝－(x＋1)＝－f(x)，
当x>0时，－x<0，
f(－x)＝－x＋1＝－(x－1)＝－f(x)，
而f(0)＝0，∴f(x)是奇函数．
例3 证明 设a＝0，则f(b)＝f(0)＋f(b)，∴f(0)＝0.
又设a＝－x，b＝x，则f(0)＝f(－x)＋f(x)．
∴f(－x)＝－f(x)．
∴f(x)是奇函数．
变式迁移3 证明 令x1＝0，x2＝x，
则得f(x)＋f(－x)＝2f(0)f(x)①
又令x1＝x，x2＝0，得
f(x)＋f(x)＝2f(x)f(0)②
由①、②得f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
课时作业
1．C [∵x≠0，∴f(－x)＝＝＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．]
2．C [∵y＝f(x)是奇函数，过(－a，f(－a))点，
而f(－a)＝－f(a)
∴y＝f(x)过点(－a，－f(a))．]
3．C [结合选项，当a＝1时，y＝x2－1，
显然为偶函数．]
4．C [因为f(x)＝0，x∈{－2,2}，满足f(－x)＝±f(x)．
所以该映射表示的既是奇函数又是偶函数．]
5．A [∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
即ax2－bx＋c＝ax2＋bx＋c，∴b＝0，
此时g(x)＝ax3＋cx (a≠0)，
由于g(－x)＝a(－x)3＋c(－x)
＝－(ax3＋cx)＝－g(x)，∴g(x)是奇函数．]
6. 0
解析 ∵f(x)是定义域为[a－1,2a]的偶函数，
∴a－1＝－2a，∴a＝.
又f(－x)＝f(x)，
即x2－bx＋1＋b＝x2＋bx＋1＋b.∴b＝0.
7．1
解析 ①错误，如偶函数f(x)＝的图象与纵坐标轴不相交．
②错误，如奇函数f(x)＝不过原点．
③错误，如f(x)＝0，x∈[－1,1]，既是奇函数又是偶函数．
④正确．
8．－26
解析 ∵f(－x)＋f(x)＝－16，∴f(2)＋f(－2)＝－16，
∴f(2)＝－26.
9．解 (1)定义域为，不关于原点对称．
该函数既不是奇函数也不是偶函数．
(2)定义域为R，关于原点对称，f(1)＝2，f(－1)＝0，
∴f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)，
故其既不是奇函数也不是偶函数．
(3)定义域为R，关于原点对称．
当x>0时，－x<0，
f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)；
当x<0时，－x>0，
f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)；
当x＝0时，f(0)＝0.
故该函数为奇函数．
(4)函数的定义域为{x|x∈R且x≠1}，不关于原点对称．
所以函数f(x)＝既不是奇函数也不是偶函数．
10．解 (1)∵f(x)对任意x，y都有
f(x·y)＝y·f(x)＋x·f(y)，
令x＝y＝1时，有f(1·1)＝1·f(1)＋1·f(1)，
∴f(1)＝0.
令x＝y＝－1时，有f[(－1)·(－1)]
＝(－1)·f(－1)＋(－1)·f(－1)，∴f(－1)＝0.
(2)∵f(x)对任意x，y都有
f(x·y)＝y·f(x)＋x·f(y)，∴令x＝t，y＝－1，
有f(－t)＝－f(t)＋t·f(－1)．
将f(－1)＝0代入得f(－t)＝－f(t)，
∴函数f(x)在(－∞，＋∞)上为奇函数．第二章 函 数
§2.1 函数
(一)函数及其表示
【入门向导】 “f”的自述
我是“f”，同学们对我一定都很熟悉了，别看我只是一个普通的小写英文字母，在数学王国里我的作用可大了．
在数学王国里，我代表一种对应 ( http: / / www.21cnjy.com )关系，如果两个集合之间要形成一种特殊的对应——映射的话，他们就必须请我来帮忙，你瞧，“f：A→B”就是我帮忙搞定的集合A到集合B的映射．
我还是一个了不起的魔术师呢，我 ( http: / / www.21cnjy.com )拿一个篮子——( )往里装一个实数，就可以按我所代表的对应法则变出一个新的数来，如果我代表减2，就把实数x变成x－2，即f(x)＝x－2；如果我代表先加绝对值，再加2，最后再变为相反数，那么我会把－2变为f(－2)＝－(|－2|＋2)＝－4.
我出生于英国，来自于“functio ( http: / / www.21cnjy.com )n”，“function”的中文意思是“函数”，所以人们经常用我来表示函数，对我的理解可从以下几方面考虑：
(1)可以把我看成是一种“对应关系 ( http: / / www.21cnjy.com )”，也就是一种算法的体现，这里f(x)表示的意思是对“x”施行算法“f”之后的结果．f(x)＝－x＋1就表示对“x”施行变换或算法“f”，使x变成－x＋1.但要注意，“x”不只是单独的字母、数，还可以是代数式、函数等．
(2)y＝f(x)也可以看成是关于x，y的 ( http: / / www.21cnjy.com )一个方程，在这里“f”变成了一个关系的模式．如f(x)＝x2－2x＋3，则y＝f(x2)可表示为y＝x4－2x2＋3，也可表示为方程x4－2x2－y＋3＝0.
(3)通过我自身所表示的对应法则， ( http: / / www.21cnjy.com )把两个量或数联系起来，可以表示函数．y＝f(x)表示x的函数，x是自变量，y为函数，f表示从x到y的对应关系．
(4)函数符号“y＝f(x)”是“y是 ( http: / / www.21cnjy.com )x的函数”的数学表示，仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定是解析式．符号f(a)与f(x)既有区别又有联系，f(a)表示当自变量x＝a时函数f(x)的值，而f(x)是自变量x的函数．一般情况下，f(x)是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值．
同学们，我说了这么多，你是否对我又有了更深刻的了解呢？在数学王国里，我们会经常见面的，希望我们能成为好朋友．
帮你理解函数的概念
函数的定义：一般地，设A，B是非 ( http: / / www.21cnjy.com )空的数集，如果按某种确定的对应关系f，使得对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有惟一确定的元素y与之对应，这样的对应叫做从集合A到集合B的一个函数，记为y＝f(x)，x∈A.由所有的自变量x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域，由所有的函数值y组成的集合C称为函数的值域．
解析式y＝f(x)表示对于集合A中的 ( http: / / www.21cnjy.com )任意一个x，在对应关系f的作用下，可得到y，因此f是使“对应”得以实现的方式和途径，是联系x与y的纽带，从而是函数的核心，f可用一个或多个解析式来表示，也可以用数表或图象等其他方式表示．
“函数”概念是初中和高中阶 ( http: / / www.21cnjy.com )段的重点和难点，有不少的同学直到高三都不能深刻理解这一概念．原因在于这一概念的抽象性．如果把“函数”与我们实际生活结合起来，同学们学起来就会觉得既有意义又容易理解和运用．
(1)函数是个“信使”
“函”字本身就有“信件”之意，每封信都是由邮 ( http: / / www.21cnjy.com )递员按地址投到不同的地方，每封信上都写有确定的地址，不能含混不清．函数也是这样，每个自变量x都要按一定的对应关系与确定的y一一对应．自变量x就是“一封信”，它被对应法则这个“信使”送到确定的“收信人”——y手里．
(2)函数是个“产品加工厂”
工厂里把原料按规格加工成不同的产品．函 ( http: / / www.21cnjy.com )数就是把自变量x按“规格”——对应关系“加工”成不同产品——y.它也像“数字发生器”，把“原料”——自变量x投入到不同的“数字发生器”——对应关系中就会得到不同的“产物”——因变量y.
(3)函数是“封建社会的婚姻”
在封建社会，流传着“好女不嫁二夫”，但“一 ( http: / / www.21cnjy.com )夫可多妻”．同样函数中多个自变量x可对应一个函数y，即“一夫多妻”，但是一个“妇女”——自变量x不能找多个“婆家”——y值．
有了上面的解释，你对函数这个概念是否更加了解了呢？其实，只要我们对数学产生了兴趣，能经常和我们的生活联系在一起，就易学多了．
函数概念常见题型
函数概念主要围绕其三要素(定义域、值域、对应关系)进行考查，常见题型有以下几类：
一、判断一个x，y的关系式能否表示成y为x的函数
例1 下列各式是否表示y为x的函数？若是，写出函数的解析式．
(1)xy＝－3(x≠0)；
(2)x2＋y2＝1(x∈(－1,0])；
(3)x3＋y3＝1.
解 要能表示成y为x的函数，则必须对于定义域内任意一个x，均有惟一的y值与之对应．
(1)满足要求，可表示成y为x的函数
y＝－(x≠0)．
(2)不满足，因为对于(－1,0)内任一x值，均有两个y值与之对应，因此不能表示成y为x的函数．
(3)满足要求，可表示为y＝.
二、判断两函数是否表示同一函数
例2 判断下列各组函数是否表示同一函数，并说明理由．
(1)f(x)＝，g(x)＝x0；
(2)f(x)＝·，g(x)＝.
解 (1)中f(x)＝＝1(x≠0)，g(x)＝x0＝1(x≠0)，其定义域均为{x|x≠0}且对应关系也相同，故是同一函数．
(2)中f(x)的定义域为[1，＋∞)，而g(x)的定义域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)，其定义域不同，故不是同一函数．
三、根据条件求f(a)或f[g(x)]的表达式
例3 已知f(x)＝求f[f(－1)]及f(x2＋1)．
分析 已知函数为分段函数，要根据变量的取值，正确选择相应的解析式，所以在研究分段函数时，要特别注意定义域的制约作用．
解 f(－1)＝－(－1)＋1＝2，
则f[f(－1)]＝f(2)＝22＋1＝5.
因为x2＋1>0，则f(x2＋1)＝(x2＋1)2＋1＝x4＋2x2＋2.
四、求函数的定义域与值域
例4 求函数y＝的定义域．
分析 我们目前要考虑定义域主要考虑下列各种情形：
①偶次根式的被开方数为非负数；②分式的分母不能为零；③幂指数为零时，底数不能为零；④自变量本身的实际意义等．
解 根据题意得
解之得x≥－2且x≠3.
所以函数的定义域为{x|x≥－2且x≠3}．
例5 已知y＝f(x＋1)的定义域为[1,2]，求下列函数的定义域：(1)f(x)；(2)f(x－3)；(3)f(x2)．
分析 本题为根据题中的已知条件求函数的定义域，应根据自变量的特点求解．
解 (1)∵f(x＋1)的定义域为[1,2]，即1≤x≤2，
∴2≤x＋1≤3，即f(x)的定义域为[2,3]．
(2)∵f(x)的定义域为[2,3]，
∴2≤x－3≤3.∴5≤x≤6.
即f(x－3)的定义域为[5,6]．
(3)∵f(x)的定义域为[2,3]，
∴2≤x2≤3，∴≤x≤或－≤x≤－，
即f(x2)的定义域为[－，－]∪[，]．
点评 (1)若y＝f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域是a≤g(x)≤b的解集；
(2)已知f(g(x))的定义域为[a，b]，则当x∈[a，b]时g(x)的函数值的取值集合就是f(x)的定义域．
例6 下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( )
A．y＝ B．y＝2x＋1(x>0)
C．y＝x2＋x＋1 D．y＝
分析 求函数的值域方法很多，但目前我们只要会求一些简单函数的值域即可．
解析 A．由于x2－3x＋1＝(x－)2－≥－，
所以y＝的值域为[0，＋∞)；
B．y＝2x＋1函数值y随着x增大而增大，
所以y＝2x＋1(x>0)值域为(1，＋∞)；
C．y＝x2＋x＋1
＝(x＋)2＋≥，
则y＝x2＋x＋1的值域为[，＋∞)；
D．y＝，x≠0，x2>0，则y>0.
故只有选项D正确．
答案 D
学习“函数的表示方法”应注意的几个细节
函数有三种常用的表示法：列表法、图象法和解析法，三种表达形式在本质上都揭示了量与量之间的函数关系，我认为学好本节内容应从以下几个细节入手：
(1)要学会用不同的方式表示函数，并能将其相互转化，转化时应注意式子要恒等变形，否则定义域及值域都可能发生变化．
(2)已知函数类型，求函数解析式最常用方法是 ( http: / / www.21cnjy.com )待定系数法，解题关键在于简略地列出方程组求解系数，但在很多求解析式的问题中，不确定给出哪一种类型的函数，此时就要另寻捷径．
(3)换元法与整体替换法是求解一类函数解析式的通法，但要注意引入“元”的范围，即定义域问题．
(4)学习分段函数时，要注意分段函数是 ( http: / / www.21cnjy.com )一个函数而不是几个函数这一细节，分段函数具有很强的抽象性，在解决有关分段函数的有关问题时，不要被其表面形式所迷惑．
(5)解决抽象函数的有关 ( http: / / www.21cnjy.com )问题的基本方法是：给变量赋予特殊值，从而使问题具体化、简单化，减少变量个数，找到解题规律，达到求出函数解析式的目的．至于给变量赋予怎样的特殊值，则应根据题目的结构特征来确定．
(6)理解映射的定义，进一步理解函数的实质——两个非空数集间的一种映射．
认识我的“三古怪”——映射
我叫映射，是两个集合间元素与元素的对应 ( http: / / www.21cnjy.com )关系．我本身由三部分构成，即“原象的集合A”、“象的集合B”和“从集合A到集合B的对应关系f”．我的脾气有点古怪，下面介绍一下我自己．
例7 判断下列对应是否是集合A到集合B的映射．
(1)已知集合A＝{1,2,3,4}，且集合B＝{3,4,5,6,7,8,9}，对应关系为f：x→2x＋1；
(2)集合A＝Z，B＝N*，对应关系f：a→b＝(a＋1)2；
(3)已知集合A＝{0,1,2,4}，集合B＝{1,4,9,25}，f：a→b＝(a＋1)2.
分析 判断对应是否是集合A到集合B的映射，首先应看集合A的原象是否都在集合B内有且仅有唯一的象．
解 (1)A＝{1,2,3, ( http: / / www.21cnjy.com )4}的元素在对应关系f：x→2x＋1的作用下在B＝{3,4,5,6,7,8,9}中都能找到唯一的象，故此对应为映射．同理可知(3)也是映射．(2)中集合A＝Z的元素“－1”在集合B＝N*中找不到象，故不是映射．
点评 同学们在判断两个集 ( http: / / www.21cnjy.com )合间的对应关系是不是映射时，首先得看清原象集合中的元素，在对应关系f的作用下是否都有象，再看原象所对应的象是否唯一．
例8 判断下列对应是否是映射，有没有对应关系，并说明理由．
分析 这是一道图表信息题．要判断对应是不是映射，先要弄清图中传达的信息．
解 图(1)中元素b有两 ( http: / / www.21cnjy.com )个象，故不是映射；图(2)中元素d没有象，故不是映射；而图(3)中元素d是象，它可以没有原象，故是映射．图(3)给出的对应有对应关系，对应关系是用图形表示出来的．
点评 在判断图表信息给出的对应关系是否是映射 ( http: / / www.21cnjy.com )时，由于对应关系不明显，元素间的对应关系是通过图象反映出来的，做题前应先弄清哪一个是原象的集合，哪一个是象的集合，再进行合理判断．
例9 集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y<1}，下列选项中表示从M到N的函数的是( )
A．f：x→y＝x B．f：x→y＝2x
C．f：x→y＝x D．f：x→y＝x
分析 选项从表面上看好象都是初中所学的一次函数，但函数的前提是映射，所以应先判断它们是否是映射．
解析 A选项中集合M中的元素“2”在集合N中没有象，故A选项不是映射，就更谈不上是函数了；同理可得B项和D项也不是函数．故选C.
答案 C
点评 判断一个对应是不是函数时，同学们首先应判断对应是不是映射，因为要是函数先得是映射．
同学们现在看清了我这三个“古怪”的脾气了吗？以后做题时可要注意，免得我给你们添麻烦！
函数及其表示易错点剖析
一、函数定义域中的误区
例10 已知函数f(3x＋1)的定义域为[1,7]，求函数f(x)的定义域．
错解 欲求f(x)的定义域，就是求x的取值范围．
因为f(3x＋1)的定义域为[1,7]，
即1≤3x＋1≤7，解得0≤x≤2.
所以f(x)的定义域为[0,2]．
剖析 定义域是自变量的取值范围，而f(3x＋1)的自变量是x，即1≤x≤7.而求f(x)的定义域即是求f(x)中x的取值范围．
正解 令3x＋1＝t，则4≤t≤22.即f(t)中，t∈[4,22]．
故f(x)的定义域为[4,22]．
例11 求函数y＝x＋的值域．
错解 令＝t，则x＝t2＋1，
原函数表达式变为y＝t2＋t＋1.
因为t2＋t＋1＝(t＋)2＋≥，即y≥，
故所求函数y＝x＋的值域为[，＋∞)．
剖析 这是运用“换元法”解答这类问题的常见错误，错因在于忽视了换元后函数的定义域发生了变化．
正解 令＝t，则x＝t2＋1(t≥0)．
原函数表达式变为y＝t2＋t＋1(t≥0)．
因为t≥0，所以y≥1.
即所求函数y＝x＋的值域为[1，＋∞)．
二、函数图象中的误区
例12 设集合M＝{x|0≤x≤2}，集合N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图象，其中能表示集合M到集合N的函数关系的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
错解 函数的对应关系可以一对一，也可以多对一，故(1)(2)(3)正确，选D.
剖析 不但要考虑几对几的问题，还要考虑定义域中的元素x在值域中是否有相应的y值与之对应．
正解 图(1)，定义域M中的(1,2] ( http: / / www.21cnjy.com )部分没有和它对应的数，不符合函数的定义；图(2)，定义域、值域及对应关系都是符合的；图(3)，y∈(2,3]部分不是集合N的子集，或者说没有对应的数；图(4)，在定义域的(0,2]上任给一个元素，值域的(0,2]上有两个元素和它对应，因此不惟一；故只有图(2)正确．
答案为B.
三、求值域时的误区
确定一个函数只需要两个要素：定义域和对应关系，在此前提下，函数值也随之确定．因此，在求函数的值域时，必须注意函数的定义域．
例13 求函数y＝x2－2x，x∈[－1,2]的值域．
错解 y＝x2－2x＝(x－1)2－1，因为(x－1)2≥0，
所以y＝(x－1)2－1≥－1.
从而知，函数y＝x2－2x的值域为[－1，＋∞)．
剖析 这里函数的定义域有限制，即－1≤x≤2，上述解法只对二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)在定义域为实数集时适用．
正解 y＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[－1,2]．由图象知，
当－1≤x<1时，y随x的增大而减小；
当1≤x≤2时，y随x的增大而增大．
并且当x＝－1时，y取最大值3；
当x＝1时，y取最小值－1.从而知－1≤y≤3，
即函数y＝x2－2x，x∈[－1,2]的值域是[－1,3].
函数解析式求解的常用方法
一、换元法
例1 已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)．
分析 采用整体思想，可把f(＋1)中的“＋1”看做一个整体，然后采用另一参数替代．
解 令t＝＋1，则x＝(t－1)2(t≥1)，
代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1.
∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
点评 将接受对象“＋1”换作另一个元素(字 ( http: / / www.21cnjy.com )母)“t”，然后从中解出x与t的关系，代入原式中便求出关于“t”的函数关系，此即为函数解析式，但在利用这种方法时应注意自变量取值范围的变化，否则就得不到正确的表达式．此法是求函数解析式时常用的方法．
二、待定系数法
例2 已知f(x)为二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，求f(x)的表达式．
解 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则
f(x＋1)＋f(x－1)
＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c
＝2ax2＋2bx＋2a＋2c
＝2x2－4x.
故有解得
所以f(x)＝x2－2x－1.
点评 若已知函数是某个基本函数，可设表达式的一般式，再利用已知条件求出系数．
三、方程消元法
例3 已知：2f(x)＋f()＝3x，x≠0，求f(x)．
解 2f(x)＋f()＝3x， ①
用去代换①式中的x得2f()＋f(x)＝. ②
由①×2－②得f(x)＝2x－，x≠0.
点评 方程消元法是指利用方程组通过消参、消元的途径达到求函数解析式的目的．
四、赋值法
例4 设f(x)是R上的函数，且满足f(0)＝1，并且对任意实数x，y，有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，求f(x)的表达式．
解 令x＝y得f(0)＝f(x)－x(2x－x＋1)＝1，
所以f(x)＝x2＋x＋1.
点评 有些函数的性质是用条件恒等式给出的，有时可以通过赋值法使问题得以解决．
分段函数题型归纳
有些函数在其定义域中，对于 ( http: / / www.21cnjy.com )自变量x的不同取值范围，对应关系不同，这样的函数通常称为分段函数．分段函数的表达式因其特点可以分成两个或两个以上的不同表达式，所以它的图象也由几部分构成，有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一些孤立的点或几条线段．而分段函数的值域也是各部分上的函数值的取值集合的并集，最好的求解办法是“图象法”．重要的是，分段函数虽由几部分构成，但它代表的是一个函数．
解决分段函数问题的基本思想 ( http: / / www.21cnjy.com )是“分段归类”，即自变量在哪一段就充分利用这一段的函数解析式来分析解决问题．既要紧扣“分段”特征，又要将各段有机联系使之整体化、系统化．
一、分段函数的求值
例5 已知函数f(x)＝则f{f[f(－2)]}＝________.
解析 ∵－2<－1，
∴f(－2)＝2×(－2)＋3＝－1.
又－1≤－1≤1，∴f[f(－2)]＝f(－1)＝(－1)2＝1.
又∵－1≤1≤1，∴f{f[f(－2)]}＝f(1)＝12＝1.
答案 1
点评 求分段函数的函数值时，一般先确定自变量的取值在定义域的哪个子区间，然后用与这个子区间相对应的关系式求函数值．
二、求分段函数的解析式
例6 已知函数f(x)＝求f(x＋1)．
解 当x＋1<0即x<－1时，
f(x＋1)＝；
当x＋1≥0即x≥－1时，f(x＋1)＝(x＋1)2.
所以f(x＋1)＝
三、分段函数的图象
例7 函数f(x)＝x＋的图象是( )
解析 因为f(x)＝x＋＝
故选C.
答案 C
点评 本例为已知函数的解析式，确定选择分段函数的图象问题．
四、分段函数的实际应用
例8 从甲同学家到乙同学家的中途有一个公园， ( http: / / www.21cnjy.com )甲、乙两家到该公园的距离都是2 km，甲10点钟出发前往乙家，如图所示表示甲从自家出发到乙家为止经过的路程y(km)与时间x(分钟)的关系．依图象回答下列问题：
(1)甲在公园休息了吗？若休息了，休息了多长时间？
(2)甲到达乙家是几点钟？
(3)写出函数y＝f(x)的解析式．
解 (1)由图所知，甲在公园休息了，
休息了10分钟．
(2)甲到达乙家是11点．
(3)函数y＝f(x)是分段函数
当0≤x≤30时，设y＝k1x，将(30,2)代入，
得k1＝.
当30当40将(60,4)，(40,2)代入，得k2＝，b＝－2.
所以f(x)＝
函数图象的三种变换
函数的图象变换是高考中的考查热点之一，常见变换有以下3种：
一、平移变换
例9 设f(x)＝x2，在同一坐标系中画出：
(1)y＝f(x)，y＝f(x＋1)和y＝f(x－1)的图象，并观察三个函数图象的关系；
(2)y＝f(x)，y＝f(x)＋1和y＝f(x)－1的图象，并观察三个函数图象的关系．
解 (1)如图
(2)如图
点评 观察图象得：y＝f(x＋1)的图象可由y＝f(x)的图象向左平移1个单位长度得到；
y＝f(x－1)的图象可由y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度得到；
y＝f(x)＋1的图象可由y＝f(x)的图象向上平移1个单位长度得到；
y＝f(x)－1的图象可由y＝f(x)的图象向下平移1个单位长度得到．
二、对称变换
例10 设f(x)＝x＋1，在同一坐标系中画出y＝f(x)和y＝f(－x)的图象，并观察两个函数图象的关系．
解 画出y＝f(x)＝x＋1与y＝f(－x)＝－x＋1的图象如图所示．
由图象可得函数y＝x＋1与y＝－x＋1的图象关于y轴对称．
点评 函数y＝f(x)的图象与y＝f(－x)的图象关于y轴对称；
函数y＝f(x)的图象与y＝－f(x)的图象关于x轴对称；
函数y＝f(x)的图象与y＝－f(－x)的图象关于原点对称．
三、翻折变换
例11 设f(x)＝x＋1，在不同的坐标系中画出y＝f(x)和y＝|f(x)|的图象，并观察两个函数图象的关系．
解 y＝f(x)的图象如图1所示，y＝|f(x)|的图象如图2所示．
点评 要得到y＝|f(x)|的图象，把y＝f(x)的图象中x轴下方图象翻折到x轴上方，其余部分不变．
例12 设f(x)＝x＋1，在不同的坐标系中画出y＝f(x)和y＝f(|x|)的图象，并观察两个函数图象的关系．
解 如下图所示．
点评 要得到y＝f(|x|)的图象，先把y＝f(x)图象在y轴左方的部分去掉，然后把y轴右边的对称图象补到左方即可．
与函数图象有关的问题
例13 如图所示的四个容器高度都相同，将水 ( http: / / www.21cnjy.com )从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析 对于一个选择题而言，求出每一幅图中水 ( http: / / www.21cnjy.com )面的高度h和时间t之间的函数关系式既无必要也不可能，因此可结合相应的两幅图作定性分析，即充分利用数形结合．
对于第一幅图，不难得知水面高度的增加应是均匀的，因此不正确；
对于第二幅图，随着时间的增加，越往上，增加同一个高度，需要的水越多，因此趋势愈加平缓，因此正确；
同理可分析第三幅图、第四幅图都是正确的．
故只有第一幅图不正确，因此选A.
答案 A
点评 本题考查函数的对应关系．由容器的形状 ( http: / / www.21cnjy.com )识别函数模型，是典型的数形结合问题，“只想不算”有利于克服死记硬背，更突出了思维能力的考查．近两年的高考越来越注重对理性思维能力的考查．
变式拓展1 向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是( )
解析 取水深h＝，此时注水量V′>，即水深至一半时，实际注水量大于水瓶总水量的一半．
A中V′<，C、D中V′＝，故排除A、C、D，选B.
答案 B
例14 设甲、乙两地的距离为a(a> ( http: / / www.21cnjy.com )0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为( )
解析 依据题意，小王两段路程的速度是 ( http: / / www.21cnjy.com )不一致的，前者速度要大些，且前者与后者的速度比为3∶2，因此前者图象倾斜程度要大些．此外，由于y表示的是路程，不是位移，因此选D.
答案 D
点评 近几年的高考试题和高 ( http: / / www.21cnjy.com )考模拟试题加大了对跨学科知识的考查，其中物理类题型最为多见．解决这类试题时，可结合物理中的相关知识来加以解答．如本题，由于往返所用时间是不一致的，因此速度也是不一致的，且前者与后者的速度比为3∶2，更为重要的是路程与位移的区别．
变式拓展2 某学生离家去学校，一开始跑 ( http: / / www.21cnjy.com )步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是( )
答案 D
解析 由速度快慢知图中直线的倾斜程度．
赋值法解抽象函数求值题
所谓抽象函数问题，往往指的是没有给出具体的 ( http: / / www.21cnjy.com )函数解析式，而是以方程形式出现的函数问题，由于函数解析式隐含在方程中，对于一些求值问题不像给出具体解析式的函数那样，直接将值代入函数解析式中求解，因而需另寻他法，其中赋值法能较好地处理这一类问题．
例15 已知函数对任意的实数a，b，都有f(ab)＝f(a)＋f(b)成立．
(1)求f(0)，f(1)的值；
(2)求证：f()＋f(x)＝0(x≠0)；
(3)若f(2)＝m，f(3)＝n(m，n均为常数)，求f(36)的值．
分析 通过函数解析式求f(0)，f(1)显 ( http: / / www.21cnjy.com )然是不现实的，因为题设给我们提供的只有一个函数方程f(ab)＝f(a)＋f(b)，因此需通过题设中一般性的结论去思考特殊的值0和1，然后通过解方程获解．
(1)解 不妨设a＝b＝0，
则应有f(0×0)＝f(0)＋f(0)，从而得f(0)＝0.设a＝b＝1，
则应有f(1×1)＝f(1)＋f(1)，∴f(1)＝0.
(2)证明 当x≠0时，注意到x·＝1，
于是f(1)＝f(x·)＝f(x)＋f()，而f(1)＝0，
所以f()＋f(x)＝0(x≠0)．
(3)解 题设中有f(2)＝m，f(3)＝n，因此需将36转化，注意到36＝22×32，因此
f(36)＝f(22×32)＝f(22)＋f(32)＝f(2×2)＋f(3×3)
＝f(2)＋f(2)＋f(3)＋f(3)＝2f(2)＋2f(3)＝2(m＋n)．
点评 对于抽象函数求值问题，可根据方程特点合理赋值，进而得到与之有关的方程，解这个方程便可得到相应的函数值．
例16 已知a，b∈N*，f(a＋b)＝f(a)f(b)，f(1)＝2，则＋＋＋…＋＝________.
解析 令a＝x，b＝1，
则由f(a＋b)＝f(a)f(b)，f(1)＝2，
可得f(x＋1)＝f(1)f(x)＝2f(x)，即＝2，
分别令x＝1,2,3，…，2 010，
则＋＋＋…＋
＝2＋2＋2＋…＋2＝2 010×2＝4 020.
答案 4 020
点评 要求和，显然不能一个个代进去，可考虑更一般的结论，注意到分子分母中自变量差为1，因此考虑f(x＋1)与f(x)之间的关系.
函数概念及表示如何考？
1．(全国Ⅰ高考)函数y＝＋的定义域为( )
A．{x|x≥0} B．{x|x≥1}
C．{x|x≥1}∪{0} D．{x|0≤x≤1}
解析 要使函数有意义，需
解得
∴函数的定义域为{x|x≥1}∪{0}．
答案 C
2．(江西高考)若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝的定义域是( )
A．[0,1] B．[0,1)
C．[0,1)∪(1,4] D．(0,1)
解析 ∵y＝f(x)的定义域是[0,2]，
∴要使g(x)＝有意义，
需 ∴0≤x<1.
答案 B
3．(全国Ⅰ高考)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是( )
解析 汽车加速行驶时，速度变化越来越快 ( http: / / www.21cnjy.com )，而汽车匀速行驶时，速度保持不变，体现在s与t的函数图象上是一条直线．减速行驶时，速度变化越来越慢，但路程仍是增加的，故选A.
答案 A
4．(湖北高考)已知函数f(x)＝ ( http: / / www.21cnjy.com )x2＋2x＋a，f(bx)＝9x2－6x＋2，其中x∈R，a，b为常数，则方程f(ax＋b)＝0的解集为________．
解析 ∵f(x)＝x2＋2x＋a，
∴f(bx)＝(bx)2＋2bx＋a＝b2x2＋2bx＋a＝9x2－6x＋2.
则有 即
∴f(2x－3)＝(2x－3)2＋2(2x－3)＋2＝4x2－8x＋5＝0.
∵Δ＝64－80<0，∴方程f(ax＋b)＝0无实根．
答案
5．定义函数f：A→B，其中A＝(－∞， ( http: / / www.21cnjy.com )0)∪(0，＋∞)，B＝{－1,1}，且对于(－∞，0)中的任意一个x都与集合B中的1对应，(0，＋∞)中的任意一个x都与集合B中的－1对应，则(a≠b)的值为( )
A．a B．b
C．a，b中较小的数 D．a，b中较大的数
解析 当a>b时，a－b>0，从而f(a－b)＝－1，
所以＝＝a；
当a所以＝＝b，
所以(a≠b)的值为a，b中较大的数．故选D.
答案 D
(二)函数的单调性与奇偶性
【入门向导】 数学与科技
根据人类消耗的能源结构比例图的图象，简要说明近150年来人类消耗的能源结构变化情况，并对未来100年能源结构的变化趋势作出预测．
由图象可以看出近150年来 ( http: / / www.21cnjy.com )人类消耗木材比例一直减少；消耗的煤炭比例先逐渐增多，到1940年左右达到最大值，以后又逐渐变少；从1880年左右开始消耗石油，到1990年左右所占比例达到最大值，以后又逐渐减少；天然气从1900年左右开始应用于能源，所占比例一直在逐渐增大，核能从1980年左右开始被应用，所占比例逐渐增大．太阳能呢？
从图象可以看出100年内，木材 ( http: / / www.21cnjy.com )一般不会再作为能源消耗，煤炭、石油所占比例在逐渐变小，天然气、核能所占比例在逐渐增大，新开发的能源，水化物和太阳能所占比例也逐渐增大．
解读函数的单调性
一、函数的单调性是函数在某个区间上的性质
1．这个区间可以是整个定 ( http: / / www.21cnjy.com )义域．如y＝x在整个定义域(－∞，＋∞)上是单调递增的，y＝－x在整个定义域(－∞，＋∞)上是单调递减的，此时单调性是函数的一个整体性质．
2．这个区间也可以是定义域的一部分，也就是定 ( http: / / www.21cnjy.com )义域的一个真子集，如y＝x2－2x＋1在整个定义域(－∞，＋∞)上不具有单调性，但是在(－∞，1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，这时增减性即单调性是函数的一个局部性质．
3．有的函数无单调性．如函数y＝ ( http: / / www.21cnjy.com )它的定义域是(－∞，＋∞)，但无单调性可言，又如y＝x2＋1，x∈{0,1,2}，它的定义域不是区间，也就不能说它在定义域上具有单调性．
二、单调性的证明与判断
函数单调性的证明与判断的主要方法是定义法．严格按照单调性定义进行证明．主要步骤有如下五步：
(1)取值：定义域中x1，x2的选取，选取x1，x2时必须注意如下三点：
①x1，x2取值的任意性，即“任意取x1，x2”中，“任意”二字不能省略或丢掉，更不可随意取两个特殊值替代x1，x2；
②x1与x2有大小，一般规定x1③x1与x2同属一个单调区间．
(2)作差：指求f(x2)－f(x1)．
(3)变形：这一步连同下一步“定号”是 ( http: / / www.21cnjy.com )单调性证明与判定的核心内容，即将②中的差式f(x2)－f(x1)进一步化简变形，变到利于判断f(x2)－f(x1)的正负为止．常用的变形技巧有：通分、因式分解、有理化、配方等．一般变形结果是将和差变形为积商，这样才便于定号．
(4)定号：根据变形结果，确定f(x2)－f(x1)的符号．
(5)判断：根据x1与x2的大小关系及f(x1)与f(x2)的大小关系，结合单调性定义得出结论．
例1 证明：函数y＝x3(x∈R)是增函数．
证明 设x1，x2是R上的任意两个实数，且x1f(x1)－f(x2)＝x－x＝(x1－x2)(x＋x1x2＋x)
＝(x1－x2)[(x1＋x2)2＋x]．
∵x1易得(x1＋x2)2＋x≥0.
∵上式等于零的条件是
即x1＝x2＝0，显然不成立，∴(x1＋x2)2＋x>0.
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴函数y＝x3(x∈R)是增函数．
三、单调区间的求解
1．本节单调区间的求解主要是观察 ( http: / / www.21cnjy.com )法得单调区间再进行证明，或者是图象法求出单调区间，对于利用定义探索函数单调区间问题，由于难度大，要求不可过高，适当了解即可．(单调区间的求解问题随着进一步学习，我们会找到更简单快捷的方法——导数法)
2．书写单调区间时，注意区间端点的写法．
对于某一个点而言，由于它的函数值是 ( http: / / www.21cnjy.com )一个确定的常数，无单调性可言，因此在写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点，但对于某些不在定义域内的区间端点，书写时就必须去掉端点，因此，书写单调区间时，不妨约定“能闭则闭，须开则开”．
函数奇偶性学法指导
一、学习要点
1．要注意准确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：
(1)定义域在数轴上关于原点对称，方可讨论函数f(x)的奇偶性．
(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．
2．奇、偶函数的定义是判断奇偶性的主要 ( http: / / www.21cnjy.com )依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简或应用定义的等价形式，即：f(－x)＝±f(x) f(－x)±f(x)＝0 ＝±1(f(x)≠0)．
3．奇函数的图象关于原点成中心对称图 ( http: / / www.21cnjy.com )形，偶函数的图象关于y轴成轴对称图形，反之亦成立．因此也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性和简化一些函数图象的画法．
4．按奇偶性分类，函数可分为四类：奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数．
5．在公共定义域内：
(1)奇函数与奇函数的和(差)仍是奇函数；偶函数与偶函数的和(差)仍是偶函数；非零的奇函数与偶函数的和(差)是非奇非偶函数．
(2)奇函数与奇函数的积(商)是偶函数；偶函数与偶函数的积(商)是偶函数；奇函数与偶函数的积(商)是奇函数．
以上两条同学们可以自行验证．
6．设f(x)是定义域关于原点对称的一个函数，则F1(x)＝f(x)＋f(－x)为偶函数，F2(x)＝f(x)－f(－x)为奇函数．
7．奇函数在其定义域内关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其定义域内关于原点对称的区间上单调性相反．
二、典型例题选析
例2 当a，b，c满足什么条件时，函数f(x)＝ax2＋bx＋c是：(1)奇函数；(2)偶函数；(3)既奇又偶函数；(4)非奇非偶函数．
解 (1)若是奇函数，应有f(－x)＝－f(x)，
于是有ax2－bx＋c＝－ax2－bx－c，
即ax2＋c＝0对定义域内所有实数都成立，
所以只有a＝c＝0.
(2)若是偶函数，则有f(－x)＝f(x)，于是有
ax2－bx＋c＝ax2＋bx＋c，
即2bx＝0对定义域内所有实数都成立，
所以只有b＝0.
(3)若既是奇函数又是偶函数，
则由(1)和(2)知a＝b＝c＝0.
(4)若是非奇非偶函数，则f(－x)≠－f(x)，f(－x)≠f(x)，
即
所以a≠0且b≠0或c≠0且b≠0时，
f(x)为非奇非偶函数．
例3 已知f(x)＝ax5＋bx3＋cx－8，且f(－2)＝10，求f(2)的值．
解 令g(x)＝f(x)＋8＝ax5＋bx3＋cx，
显然g(x)是奇函数，即g(－2)＝－g(2)．
又g(－2)＝f(－2)＋8＝18，
所以f(2)＝g(2)－8＝－26.
判断函数奇偶性的常见错误
一、忽略定义域出错
例4 判断f(x)＝的奇偶性．
错解 因为f(x)＝＝＝x3，
显然f(－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．
剖析 判断函数奇偶性，首先要看 ( http: / / www.21cnjy.com )函数的定义域，若定义域是关于原点的对称区间，则函数可能具有奇偶性；否则，函数一定不具有奇偶性．其次，要看f(x)与f(－x)之间的关系．
正解 函数的定义域为{x|x≠1}．显然，它的定义域不关于原点对称，于是该函数为非奇非偶函数．
二、忽视对参数的讨论
例5 判断函数f(x)＝x2＋|x－a|＋1(a∈R)的奇偶性．
错解 显然函数定义域为R.
因为f(a)＝a2＋1，f(－a)＝a2＋2|a|＋1，
所以f(－a)≠f(a)，且f(－a)≠－f(a)，
所以f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
剖析 此解法错在没有对参数进行讨论，未考虑到a＝0这种特殊情形，以致解题出错．
正解 当a＝0时，
函数f(－x)＝(－x)2＋|－x|＋1＝x2＋|x|＋1＝f(x)，
此时f(x)为偶函数；当a≠0时，
f(a)＝a2＋1，f(－a)＝a2＋2|a|＋1，
f(－a)≠f(a)，f(－a)≠－f(a)，
此时f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
三、忽视特殊函数f(x)＝0的存在
例6 判断函数f(x)＝＋的奇偶性．
错解 定义域为{－1,1}，关于原点对称．
又f(－x)＝＋
＝＋＝f(x)，
所以函数f(x)是偶函数．
剖析 上述解法忽视了定义域关于原点对称的函数f(x)＝0，既是奇函数又是偶函数．
正解 函数定义域为{－1,1}，此时f(x)＝0，
因而f(x)既是奇函数又是偶函数．
四、不明分段函数奇偶性概念致错
例7 判断f(x)＝的奇偶性．
错解 当x>0时，－x<0，
f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3
＝－(－x2＋2x－3)＝－f(x)．
当x<0时，－x>0，
f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)－3
＝－(x2＋2x＋3)＝－f(x)．
所以f(x)是奇函数．
剖析 尽管对于定义域内的每一 ( http: / / www.21cnjy.com )个不为零的x，都有f(－x)＝－f(x)成立，但当x＝0时，f(0)＝3≠－f(0)，所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
函数单调性的应用
一、比较大小
例1 若函数f(x)＝x2＋mx＋n，对任意实数x都有f(2－x)＝f(2＋x)成立，试比较f(－1)，f(2)，f(4)的大小．
解 依题意可知f(x)的对称轴为x＝2，
∴f(－1)＝f(5)．
∵f(x)在[2，＋∞)上是增函数，
∴f(2)点评 (1)利用单调性可以比较函数值的大小，即增函数中自变量大函数值也大，减函数中自变量小函数值反而变大；
(2)利用函数单调性比较大小应注意将自变量放在同一单调区间．
二、解不等式
例2 已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是增函数，且f(t－1)解 依题意可得解得0点评 (1)利用单调性解不等式就是利用函数在某个区间内的单调性，推出两个变量的大小，然后去解不等式；
(2)利用单调性解不等式时应注意函数的定义域，即首先考虑使给出解析式有意义的未知数的取值范围；
(3)利用单调性解不等式时，一定要注意变量的限制条件，以防出错．
三、求参数的值或取值范围
例3 已知a>0，函数f(x)＝x3－ax是区间[1，＋∞)上的单调函数，求实数a的取值范围．
解 任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1则Δx＝x2－x1>0.
Δy＝f(x2)－f(x1)＝(x－ax2)－(x－ax1)
＝(x2－x1)(x＋x1x2＋x－a)．
∵1≤x13.
显然不存在常数a，使x＋x1x2＋x－a恒为负值．
又f(x)在[1，＋∞)上是单调函数，
∴必有一个常数a，使x＋x1x2＋x－a恒为正数，
即x＋x1x2＋x>a.
当x1，x2∈[1，＋∞)时，x＋x1x2＋x>3，
∴a≤3.此时，
∵Δx＝x2－x1>0，∴Δy>0，
即函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数，
∴a的取值范围是(0,3]．
四、利用函数单调性求函数的最值
例4 已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)．
(1)当a＝4时，求f(x)的最小值；
(2)当a＝时，求f(x)的最小值；
(3)若a为正常数，求f(x)的最小值．
解 (1)当a＝4时，f(x)＝x＋＋2，易知，f(x)在[1,2]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，
∴f(x)min＝f(2)＝6.
(2)当a＝时，f(x)＝x＋＋2.
易知，f(x)在[1，＋∞)上为增函数．
∴f(x)min＝f(1)＝.
(3)函数f(x)＝x＋＋2在(0，]上是减函数，
在[，＋∞)上是增函数．
若>1，即a>1时，f(x)在区间[1，＋∞)上先减后增，
∴f(x)min＝f()＝2＋2.
若≤1，即0∴f(x)min＝f(1)＝a＋3.
五、利用函数单调性证明不等式
例5 已知a，b，c均为正数，且a＋b>c.
求证：＋>.
证明 设f(x)＝(x>0)，
设0＝<0.
∴f(x1)∵a＋b>c，∴f(a＋b)>f(c)，
即>.
又f(a)＋f(b)＝＋>＋
＝
∴＋>.
点评 本题通过构造函数，利用函数单调性证明不等式．
三种数学思想在函数奇偶性中的应用
一、数形结合思想
例6 设奇函数f(x)的定义域为[－10, ( http: / / www.21cnjy.com )10]．若当x∈[0,10]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集为______________．
解析 注意到奇函数的图象关于原点成中心对称 ( http: / / www.21cnjy.com )，用对称的思想方法画全函数f(x)在[－10,10]上的图象(如图所示)，数形结合，得f(x)<0的解集为{x|－5答案 (－5,0)∪(5,10]
二、分类讨论思想
例7 已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，a∈R)，试判断f(x)的奇偶性．
解 当a＝0时，f(x)＝x2，对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，
f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
当a≠0时，f(x)＝x2＋(a≠0，x≠0)，
取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0，
f(－1)－f(1)＝－2a≠0，
∴f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)，
∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
三、方程思想
例8 已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝，试求f(x)．
分析 利用奇函数的性质、定义求出参数m、n的值是关键．
解 由f(0)＝0知m＝0.
由f(x)是奇函数知f(－x)＝－f(x)，
即＝－，
∴x2－nx＋1＝x2＋nx＋1，∴n＝0.∴f(x)＝.
形如“y＝x＋(a>0)”的函数图象的探究
例9 试探究函数f(x)＝x＋(a>0)，x∈(0，＋∞)的单调区间．
解 任取0则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝.
由于x1－x2及x1x2的符号已定，
从而f(x1)－f(x2)的符号取决于x1x2－a的符号．
由于x1，x2只能取f(x)的某个单调区间上的值，因此考虑x1＝x2这一极端情形，
则x1x2－a＝x－a，若为零，得x1＝x2＝，
从而将定义域(0，＋∞)分为两个区间(0，)及[，＋∞)，
由此讨论它的单调性即可．
任取00于是f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
所以函数f(x)在(0，)上单调递减．
同理可知，函数f(x)在[，＋∞)上单调递增．
由f(x)是奇函数，知f(x)在(－∞，－)上单调递增，在(－，0)上单调递减．
由函数的单调性及奇偶性，可作出如下图象：
知识延伸 (1)函数y＝x＋(a>0)是一个常用且重要的函数，其图象如图所示，记住这个图象和性质会给解题带来方便．
(2)对形如f(x)＝这种“分式型”的函数，求它在区间[a，b]上的最值，常用“分离变量”法转化为y＝x＋(a>0)模型求解．
谈复合函数的单调性
设y＝f(t)是t的函数，t＝g(x)是 ( http: / / www.21cnjy.com )x的函数，若t＝g(x)的值域是y＝f(t)定义域的子集，则y通过中间变量t构成x的函数，称为x的复合函数，记作y＝f(t)＝f[g(x)]．
如函数y＝，若设t＝1－x，则y＝.这里t是x的函数，y是t的函数，所以y＝是x的复合函数，把t称为中间变量．
问题1 已知函数y＝f(t) ( http: / / www.21cnjy.com )的定义域为区间[m，n]，函数t＝g(x)的定义域为区间[a，b]，值域D [m，n]．若y＝f(t)在定义域内单调递增，t＝g(x)在定义域内单调递增，那么y＝f[g(x)]是否为[a，b]上的增函数？为什么？
探究 y＝f[g(x)]是区间[a，b]上的增函数．证明如下：
任取x1，x2∈[a，b]，且x1因为t＝g(x)在[a， ( http: / / www.21cnjy.com )b]上递增，所以g(x1)问题2 若将g(x)在区 ( http: / / www.21cnjy.com )间[a，b]上“递增”改为“递减”或将f(x)在区间[m，n]上“递增”改为“递减”等，这时复合函数y＝f[g(x)]在区间[a，b]上的单调性又如何呢？
探究 利用解决问题1的方法就可以得出相应的结论(你不妨一试)．由此可得到如下复合函数单调性的结论：
y＝f(t) 递增 递减
t＝g(x) 递增 递减 递增 递减
y＝f[g(x)] 递增 递减 递减 递增
以上规律可总结为：“同向得增，异向得减”或 ( http: / / www.21cnjy.com )“同增异减”．不过要注意：单调区间必须注意定义域；要确定t＝g(x)(常称内层函数)的值域，否则无法确定f(t)(常称外层函数)的单调性．
例 求函数y＝的单调区间．
解 函数y＝的定义域为
(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，
设t＝(x＋1)2，则y＝(t>0)．
当x∈(－∞，－1)时，t是x的减函数，y是t的减函数，
所以(－∞，－1)是y＝的递增区间；
当x∈(－1，＋∞)时，t是x的增函数，y是t的减函数，
所以(－1，＋∞)是y＝的递减区间．
综上知，函数y＝的递增区间为(－∞，－1)，递减区间为(－1，＋∞)．
试一试 求y＝的单调区间．
解 由x2－2x－3≠0，得x≠－1或x≠3，
令t＝x2－2x－3(t≠0)，则y＝，
因为y＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上为减函数，
而t＝x2－2x－3在(－∞，－1)，(－1,1)上为减函数，
在(1,3)，(3，＋∞)上是增函数，所以函数y＝的递增区间为(－∞，－1)，(－1,1)，
递减区间为(1,3)，(3，＋∞).
函数基本性质如何考？
1．(全国Ⅱ高考)函数f(x)＝－x的图象关于( )
A．y轴对称 B．直线y＝－x对称
C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称
解析 f(x)＝－x的定义域为{x|x≠0}，
∵f(－x)＝－＋x＝－＝－f(x)．
∴f(x)是一个奇函数．
∴f(x)的图象关于原点对称．
答案 C
2．(重庆高考)若定义在R上的函数f(x) ( http: / / www.21cnjy.com )满足：对任意x1，x2∈R有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1，则下列说法一定正确的是( )
A．f(x)为奇函数 B．f(x)为偶函数
C．f(x)＋1为奇函数 D．f(x)＋1为偶函数
解析 令x1＝x2＝0，得f(0)＝2f(0)＋1，
所以f(0)＝－1.
令x2＝－x1，得f(0)＝f(x1)＋f(－x1)＋1，
即f(－x1)＋1＝－f(x1)－1.
所以f(x)＋1为奇函数．
答案 C
3．(湖南高考)若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是( )
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,0)∪(0,1]
C．(0,1) D．(0,1]
解析 结合图象，由f(x)在[1,2]上为减函数知a≤1，
由g(x)在[1,2]上是减函数知a>0.
∴0答案 D
4．(上海高考)若函数f(x)＝ ( http: / / www.21cnjy.com )(x＋a)(bx＋2a)(常数a、b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝____________.
解析 ∵f(－x)＝f(x)且f(x)＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2，
∴b(－x)2＋(2a＋ab)(－x)＋2a2
＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2，
∴－(2a＋ab)＝2a＋ab，即2a＋ab＝0，
∴a＝0或b＝－2.
当a＝0时，f(x)＝bx2，
∵f(x)值域为(－∞，4]，
而y＝bx2值域不可能为(－∞，4]，∴a≠0.
当b＝－2时，f(x)＝－2x2＋2a2，
值域为(－∞，2a2]．
∴2a2＝4，∴a2＝2.
∴f(x)＝－2x2＋4.
答案 －2x2＋4
5．(上海高考)若函数f(x)＝a|x－b|＋2在[0，＋∞)上为增函数，则实数a、b的取值范围是________．
解析 f(x)＝
∵函数f(x)在[0，＋∞)上为增函数，
∴必有a>0，且[0，＋∞)是[b，＋∞)的子集，
即a>0，且b≤0.
答案 a>0且b≤0第二章 函 数
§2.1 函 数
2.1.1 函数(一)
自主学习
学习目标
1．理解函数的概念，能用集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用．
2．通过实例领悟构成函数的三要素；会求一些简单函数的定义域．
3．了解区间的概念，体会用区间表示数集的意义和作用．
自学导引
1．函数的有关概念
设集合A是一个____________，对A中的____________，按照确定的法则f，都有________________的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个________．记作____________．
其中x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的____________．
如果自变量取值a，则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值，记作________________．
所有函数值构成的集合________________叫做这个函数的值域．
函数y＝f(x)也经常写作________或____________．
因为函数的值域被函数的定义域和对应法则完全确定，所以确定一个函数就只需两个要素：__________________.
2．区间的概念
设a，b∈R，且a(1)满足a≤x≤b的全体实数x的集合叫做__________，表示为________．
(2)满足a(3)满足a≤x(4)实数集R用区间表示为____________．
(5)把满足x≥a，x>a，x≤a，x对点讲练
知识点一 已知解析式求函数的定义域
例1 求下列函数的定义域：
(1)y＝3－x； (2)y＝；
(3)y＝； (4)y＝－＋.
规律方法 求函数定义域的原则：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次根式的被开方数(式)为非负数；(3)零指数幂的底数不等于零等．
变式迁移1 求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝； (2)f(x)＝＋＋4；
(3)f(x)＝.
知识点二 两函数相同的判定
例2 下列各题中两个函数是否表示同一函数：
(1)f(x)＝x，g(x)＝()2； (2)f(t)＝t，g(x)＝；
(3)f(x)＝，g(x)＝x＋2.
规律方法 只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数，这就是说：
(1)定义域不同，两个函数也就不同；
(2)对应法则不同，两个函数也是不同的；
(3)即使是定义域和值域分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则；
(4)两个函数是否相同，与自变量是什么字母无关．
变式迁移2 试判断下列函数是否为同一函数：
(1)f(x)＝·与g(x)＝；
(2)f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t；
(3)f(x)＝1与g(x)＝x0(x≠0)．
知识点三 求函数解析式
例3 已知f(x－1)＝x2－2x＋7.
(1)求f(2)和f(a)的值； (2)求f(x)和f(x＋1)的解析式．
规律方法 已知类型为f(g(x))＝h(x ( http: / / www.21cnjy.com ))的函数，求f(x)的解析式时，常常使用配凑法和换元法．(在解答过程中，一定要把法则读懂，分清法则f到底作用的变量是谁，然后利用化归的思想，把待求问题转向已知问题，从而问题得以解决)．
变式迁移3 已知f(x＋1)＝x2－3x＋2.
(1)求f(2)和f(a)的值； (2)求f(x)和f(x－1)的解析式．
1．函数符号y＝f(x)是难以理解的抽象符 ( http: / / www.21cnjy.com )号，它的内涵是“对于定义域中的任意x，在对应法则f的作用下即可得到y”．在学习过程中，不容易认识到函数概念的整体性，而将函数单一地理解成函数中的对应关系，甚至认为函数就是函数值．
2．正确理解函数的二要素， ( http: / / www.21cnjy.com )其中对应法则是函数的核心，而函数的定义域就是指能使这个解析式有意义的所有实数的集合，在实际问题中，还必须考虑自变量的取值应符合实际意义．
3．区间是某些数集的一种重要表示形式，具有简单直观的优点，因此是表示函数的定义域、值域及不等式解集的重要工具.
课时作业
一、选择题
1．下列各组函数表示同一函数的是( )
A．y＝与y＝x＋3
B．y＝－1与y＝x－1
C．y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0)
D．y＝2x＋1，x∈Z与y＝2x－1，x∈Z
2．设f(x)＝|x－1|－|x|，则f等于( )
A．－ B．0 C. D．1
3．设f(x)＝，则等于( )
A．1 B．－1 C. D．－
4．函数y＝的定义域是( )
A．(0，＋∞)
B．(－∞，0)
C．(0,1)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(0，＋∞)
5．给出四个命题：
①函数就是定义域到值域的对应关系；②若 ( http: / / www.21cnjy.com )函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素；③因为f(x)＝5(x∈R)，这个函数值不随x的变化而变化，所以f(0)＝5也成立；④定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定了．
以上命题正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
6．将集合{x|x＝1或2≤x≤8}表示成区间为____________．
7．若f(2x)＝x3，则f(1)＝________.
8．函数y＝x2－2的定义域为{－1,0,1,2}，则其值域为________．
三、解答题
9．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝； (2)y＝.
10．已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)与f，f(3)与f；
(2)由(1)中求得结果，你能发现f(x)与f有什么关系？并证明你的发现；
(3)f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 010)＋f＋f＋…＋f.
【探究驿站】
11．已知f(x)的定义域为(0,1]，求g(x)＝f(x＋a)·f(x－a) (a≤0)的定义域．
第二章 函 数
§2.1 函 数
2．1.1函数(一)
答案
自学导引
1．非空的数集 任意数x 唯一确定 函数
y＝f(x)，x∈A 定义域 y＝f(a)或y|x＝a
{y|y＝f(x)，x∈A} 函数f 函数f(x)
定义域和对应法则
2．(1)闭区间 [a，b] (2)开区间 (a，b)
(3)半开半闭区间 [a，b)或(a，b]
(4)(－∞，＋∞)
(5)[a，＋∞)，(a，＋∞)，(－∞，a]，(－∞，a)
对点讲练
例1 解 (1)函数y＝3－x的定义域为R；
(2)要使函数有意义，需 x≤1且x≠0，所以函数y＝的定义域为{x|x≤1且x≠0}＝(－∞，0)∪(0,1]；
(3)要使函数有意义，需
x≤0且x≠－.
故函数y＝的定义域为
＝∪；
(4)要使函数有意义，需
解得－≤x<2且x≠0，
所以函数y＝－＋的定义域为
＝∪(0,2)．
变式迁移1 解 (1)由x2－3x＋2≠0，
得：x≠1，x≠2
∴f(x)＝的定义域是{x∈R|x≠1且x≠2}．
(2)由，得≤x≤.
∴f(x)＝＋＋4的定义域是.
(3)由，得∴x<0且x≠－1，
∴原函数的定义域为{x|x<0且x≠－1}．
例2 解 (1)f(x)的定义域为R，
g(x)的定义域为{x|x≥0}，
两个函数的定义域不同，故不是同一函数．
(2)g(x)＝x，两者的定义域和对应法则相同，故是同一函数．
(3)f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，
g(x)的定义域为R，故不是同一函数．
变式迁移2 解 (2)是，(1)、(3)不是．
对于(1)，f(x)的定义域为[0，＋∞)，
而g(x)定义域为(－∞，－1]∪[0，＋∞)．
(3)也是定义域不同．
例3 解 (1)f(2)＝f(3－1)＝9－2×3＋7＝10；
f(a)＝f((a＋1)－1)＝(a＋1)2－2(a＋1)＋7＝a2＋6.
(2)方法一 (配凑法)
f(x)＝f((x＋1)－1)＝(x＋1)2－2(x＋1)＋7＝x2＋6，
(或f(x－1)＝(x－1)2＋6)，∴f(x)＝x2＋6.
∴f(x＋1)＝(x＋1)2＋6＝x2＋2x＋7.
方法二 (换元法)设t＝x－1，即x＝t＋1，
∴f(t)＝(t＋1)2－2(t＋1)＋7＝t2＋6，故f(x)＝x2＋6.
f(x＋1)＝(x＋1)2＋6＝x2＋2x＋7.
变式迁移3 解 (1)∵f(x＋1)＝x2－3x＋2，
∴f(2)＝f(1＋1)＝12－3×1＋2＝0，
f(a)＝f((a－1)＋1)＝(a－1)2－3(a－1)＋2
＝a2－5a＋6.
(2)f(x)＝f((x－1)＋1)
＝(x－1)2－3(x－1)＋2＝x2－5x＋6，
即f(x)＝x2－5x＋6，
f(x－1)＝f((x－2)＋1)＝(x－2)2－3(x－2)＋2
＝x2－7x＋12，
即f(x－1)＝x2－7x＋12.
课时作业
1．C [A中的两函数定义域不同，B中的两函数值域不同，D中的两函数对应法则不同．C正确．]
2．D [由f＝－＝0，
可知f＝f(0)＝|0－1|－|0|＝1.]
3．B [∵f(2)＝＝，f＝＝－
∴＝－1]
4．C [由，得x>0且x≠1.]
5．D
6．{1}∪[2,8]
7.
解析 由2x＝1可知x＝，所以f(1)＝3＝.
8．{－1，－2,2}
9．解 (1)要使函数有意义，需满足
，即，在数轴上标出，如图，
即x<－3或－3故函数f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(－3,3)∪(3,5]．
当然也可以表示为{x|x<－3或－3(2)要使函数有意义，需满足解得x＝－1
∴函数的定义域为{－1}．
10．解 (1)∵f(x)＝，∴f(2)＝＝，
f＝＝，f(3)＝＝，
f＝＝.
(2)由(1)可发现f(x)＋f＝1，
证明如下：
f(x)＋f＝＋＝＋＝1.
(3)由(2)知：f(2)＋f＝1，
f(3)＋f＝1，…，f(2 010)＋f＝1，
∴原式＝＋1＋1＋1＋…＋＝2 009＋＝.
11．解 由已知得
即(a≤0)
用数轴法，讨论(1)当a＝0时，x∈(0,1]；
(2)当a≤－时，x∈ ，即函数不存在；
(3)当－自主学习
学习目标
1．理解单调性的定义．
2．运用单调性的定义判断函数的单调性．
自学导引
1．增函数与减函数
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为 ( http: / / www.21cnjy.com )A，区间M A.如果取区间M中的________________，改变量Δx＝x2－x1>0，则当____________________时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数(如图甲)，当____________________时，那么就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数(如图乙)．
2．单调性与单调区间
如果一个函数在某个区间M上是___ ( http: / / www.21cnjy.com )_____或是________，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为________________．
3．a>0时，二次函数y＝ax2＋bx＋c的单调递增区间为__________．
4．k>0时，y＝kx＋b在R上是________函数．
5．函数y＝ (k>0)的单调递减区间为________________．
对点讲练
知识点一 利用图象求单调区间
例1 求下列函数的单调区间．
(1)f(x)＝3|x|； (2)f(x)＝|x2＋2x－3|.
规律方法 函数的单调区间 ( http: / / www.21cnjy.com )可以是开的，也可以是闭的，也可以是半开半闭的，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也单调．因此，只要单调区间端点使f(x)有意义，都可以使单调区间包括端点．但要注意，不连续的单调区间必须分开写，不能用“∪”符号连接它们．
变式迁移1 写出函数f(x)＝＋1(a≠0)的单调区间．
知识点二 利用定义证明函数的单调性
例2 证明：函数f(x)＝x＋在(0,1)上是减函数．
规律方法 证明函数的单调性 ( http: / / www.21cnjy.com )的常用方法是利用函数单调性的定义．其步骤为(1)取值(注意x1、x2的任意性)；(2)作差变形(目的是便于判断符号)；(3)判断差的符号；(4)写出结论．
变式迁移2 利用单调性的定义证明函数y＝x－在(0，＋∞)上是增函数．
知识点三 函数单调性的应用
例3 已知函数f(x)＝ (x∈[2，＋∞))，
(1)求f(x)的最小值；
(2)若f(x)>a恒成立，求a的取值范围．
规律方法 运用函数单调性求最值是 ( http: / / www.21cnjy.com )求函数最值的重要方法，特别是当函数图象不好作或作不出来时，单调性几乎成为首选方法．另外f(x)>a恒成立，等价于f(x)min>a，f(x)变式迁移3 求函数f(x)＝在区间[2,5]上的最大值与最小值；若f(x)1．函数的单调区间必须是定义域的子集．因此讨论函数的单调性时，必须先确定函数的定义域．
2．研究函数的单调性，必须注意无意 ( http: / / www.21cnjy.com )义的特殊点，如函数f(x)＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，但不能说函数f(x)＝在定义域上是减函数．
3．求单调区间的方法：(1)图象法；(2)定义法；(3)利用已知函数的单调性．
4．用单调性的定义证明函数的单调性分四个主要步骤：取值——作差变形——定号——判断．
若f(x)>0，则判断f(x)的单调性可以通过作比的方法去解决，即“取值——作比变形——与1比较——判断”.
课时作业
一、选择题
1．下列说法中正确的有( )
①若x1，x2∈I，当x1②函数y＝x2在R上是增函数；
③函数y＝－在定义域上是增函数；
④y＝的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．设(a，b)，(c，d)都是函数 ( http: / / www.21cnjy.com )f(x)的单调增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1A．f(x1)f(x2)
C．f(x1)＝f(x2) D．不能确定
3．下列函数在区间(2，＋∞)上为减函数的为( )
A．y＝2x－7 B．y＝－
C．y＝－x2＋4x＋1 D．y＝x2－4x－3
4．若函数f(x)＝x2＋2(a－2)x＋2在区间[4，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是( )
A．a≤－2 B．a≥－2 C．a≥－6 D．a≤－6
5．设函数f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，则( )
A．f(a)>f(2a) B．f(a2)C．f(a2＋a)二、填空题
6．已知函数f(x)为区间[－1,1]上的增函数，则满足f(x)7．函数f(x)＝2x2－3|x|的单调递减区间是____________________________________．
8．若函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则函数y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是单调______函数．
三、解答题
9．证明：函数y＝在[2,4]上是减函数，并求f(x)在[2,4]上的最值．
10．设函数f(x)＝(a>b>0)，求f(x)的单调区间，并证明f(x)在其单调区间上的单调性．
【探究驿站】
11．已知函数f(x)，当x，y∈ ( http: / / www.21cnjy.com )R时，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x>0时，f(x)>0，试判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性．
2．1.3 函数的单调性 答案
自学导引
1．任意两个值x1，x2 Δy＝f(x2)－f(x1)>0 Δy＝f(x2)－f(x1)<0 ①f(x1)②增函数 ③f(x1)>f(x2) ④减函数
2．增函数 减函数 单调区间
3.
4．增 5.(－∞，0)和(0，＋∞)
对点讲练
例1 解
(1)f(x)＝3|x|
＝
图象如图所示．
f(x)在(－∞，0]上是减函数，
在[0，＋∞)上是增函数．
(2)令g(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4.
先作出g(x)的图象，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图象翻到x轴上方就得到f(x)＝|x2＋2x－3|的图象，如图所示．
由图象易得：函数的递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)；函数的递减区间是(－∞，－3]，[－1,1]．
变式迁移1 解 f(x)＝
当a>0时，如图①所示，
∴单调递增区间为(0，＋∞)，递减区间为(－∞，0)．
当a<0时，如图②所示，
∴单调递增区间为(－∞，0)，递减区间为(0，＋∞)．
① ②
例2 证明 设0则Δx＝x1－x2<0
Δy＝f(x1)－f(x2)＝－
＝(x1－x2)＋
＝(x1－x2)＋＝，
∵00.
∴Δy＝f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
∴f(x)＝x＋在(0,1)上是减函数．
变式迁移2 证明 任取x1，x2∈(0，＋∞)，设x1f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)－＋
＝(x1－x2)(1＋)
∵00，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
例3 解 (1)任取x1，x2∈[2，＋∞)，
且x1则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)
∵x1又∵x1≥2，x2>2，∴x1x2>4,1－>0
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)故f(x)在[2，＋∞)上是增函数．
∴当x＝2时，f(x)有最小值，即f(2)＝.
(2)∵f(x)最小值为f(2)＝，
∴f(x)>a恒成立，只须f(x)min>a，即a<.
变式迁移3 解 任取2≤x1则f(x1)＝，f(x2)＝，
f(x2)－f(x1)＝－
＝，
∵2≤x10，x1－1>0.
∴f(x2)－f(x1)<0.∴f(x2)∴f(x)＝在区间[2,5]上是减函数．
∴f(x)max＝f(2)＝＝2.f(x)min＝f(5)＝＝.
f(x)f(x)max，即a>2.
课时作业
1．A [函数的单调性的定义是指定义在 ( http: / / www.21cnjy.com )区间I上任意两个值x1，x2，强调的是任意，从而①不对；②y＝x2在x≥0时是增函数，x<0时是减函数，从而y＝x2在整个定义域上不具有单调性；③y＝－在整个定义域内不是单调递增函数，如－3<5而f(－3)>f(5)；④y＝的单调递减区间不是(－∞，0)∪(0，＋∞)，而是(－∞，0)和(0，＋∞)，注意写法．]
2．D [根据单调性定义，所取两个自变量是同一单调区间内的任意两个变量，才能由该区间上的函数单调性来比较出函数值的大小．]
3．C [由图象知C符合．]
4．B [对称轴x＝2－a≤4，得a≥－2.]
5．D [由a2＋1－a＝2＋，得a2＋1>a，
又∵f(x)是R上的减函数，∴f(a2＋1)6．－1≤x<
解析 由题设得，即－1≤x<.
7.和
8．递减
解析 由已知得a<0，b<0，
y＝ax2＋bx对称轴为x＝－<0，开口向下，
∴y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是单调递减函数．
9．证明 设x1>x2≥2，则Δx＝x1－x2>0
Δy＝y1－y2＝－＝，
∵x1>x2≥2，∴x2－x1<0，x1＋1>0，x2＋1>0，
∴<0.
即y1－y2<0，
∴y1∴y＝在[2,4]上是减函数，
∴f(x)max＝f(2)＝，f(x)min＝f(4)＝.
10．解 在定义域内任取x1，x2，且x1f(x2)－f(x1)＝－
＝
＝
∵a>b>0，∴b－a<0，且x2－x1>0.
只有当x1当x1f(x1)－f(x2)>0，则f(x1)>f(x2)．
∴y＝f(x)在(－∞，－b)上是单调减函数，在(－b，＋∞)上也是单调减函数．
函数的单调减区间是(－∞，－b)和(－b，＋∞)．
11．解 f(x)在(0，＋∞)上为增函数．
证明如下：
∵x，y∈R，∴不妨取y＝Δx，Δx>0，
∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
∴f(x＋Δx)＝f(x)＋f(Δx)，
∴f(x＋Δx)－f(x)＝f(Δx)．
∵Δx>0，∴f(Δx)>0，
∴f(x＋Δx)－f(x)>0，f(x＋Δx)>f(x)，
∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数．2.1.2 函数的表示方法(一)
自主学习
学习目标
1．掌握函数的三种表示方法：解析法、列表法、图象法，体会三种表示方法的特点．
2．掌握函数图象的画法及解析式的求法.
自学导引
表示函数的方法常用的有：
(1)解析法——用________表示两个变量之间的对应关系；
(2)图象法——用________表示两个变量之间的对应关系；
(3)列表法——列出________来表示两个变量之间的对应关系．
对点讲练
知识点一 认识函数的三种表示法
例1 已知完成某项任务的时间t与参 ( http: / / www.21cnjy.com )加完成此项任务的人数x之间适合关系式t＝ax＋，当x＝2时，t＝100；当x＝14时，t＝28，且参加此项任务的人数不能超过20人．
(1)写出函数t的解析式；
(2)用列表法表示此函数；
(3)画出函数t的图象；
(4)根据(2)(3)分析：随着工作人数的增加，工作效率的变化情况．
规律方法 在实际研究一个函数时， ( http: / / www.21cnjy.com )通常是将上述三种表示法结合起来使用，即解析式→列表→描点，画出图象，然后再总结出函数的性质．三种方法相互兼容和补充，各有优缺点，在实际操作中，仍以解析法为主．
变式迁移1 客车从甲地以60 km ( http: / / www.21cnjy.com )/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80 km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地．下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是( )
知识点二 函数解析式的求法
例2 求下列函数的解析式．
(1)已知f(＋4)＝x＋8，求f(x2)；
(2)已知一次函数f(x)满足f[f(x)]＝4x－1，求f(x)．
规律方法 对于已知f[g( ( http: / / www.21cnjy.com )x)]的表达式，求f(x)的表达式的问题，解决这类问题的一般方法是换元法，即设g(x)＝t，解出用t表示x的表达式，代入求得f(x)的表达式．在用换元法解这类题时，特别要注意正确确定中间变量t的取值范围．
题目中已知函数f(x)的函数类型，一般采用待定系数法，如第(2)小题，由于已知函数f(x)是一次函数，故可设f(x)＝ax＋b(a≠0)．
变式迁移2 (1)已知f(2x＋1)＝x2＋1，求f(x)的解析式．
(2)已知2f(x)＋f(－x)＝3x＋2，求f(x)的解析式．
1．函数的三种表示方法：解析法、列表法、图象法．
2．画函数图象的方法：(1)列表、描点、连线；(2)图象变换．
3．求函数解析式的方法有：换元法、配凑法、待定系数法等.
课时作业
一、选择题
1．下图中，可表示函数y＝f(x)的图象的只可能是( )
2．下列表格中的x与y能构成函数的是( )
A.
x 非负数 非正数
y 1 －1
B.
x 奇数 0 偶数
y 1 0 －1
C.
x 有理数 无理数
y 1 －1
D.
x 自然数 整数 有理数
y 1 0 －1
3．若f(1－2x)＝ (x≠0)，那么f等于( )
A．1 B．3 C．15 D．30
4．已知f(x)是一次函数，2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，则( )
A．f(x)＝3x＋2 B．f(x)＝3x－2
C．f(x)＝2x＋3 D．f(x)＝2x－3
5．为悼念四川汶川地震中遇难同 ( http: / / www.21cnjy.com )胞，在全国哀悼日第一天，某校升旗仪式中，先把国旗匀速升至旗杆顶部，停顿3秒钟后再把国旗匀速下落至旗杆中部．能正确反映这一过程中，国旗上升的高度h(米)与升旗时间t(秒)的函数关系的大致图象是(设国旗的起始位置为h＝0(米))( )
二、填空题
6．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)
给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水； ( http: / / www.21cnjy.com )②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则一定能确定正确论断的序号是________．
7．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．
x 1 2 3
f(x) 2 1 1
x 1 2 3
g(x) 3 2 1
则f[g(1)]的值为____________；当g[f(x)]＝2时，x＝__________.
三、解答题
8．(1)已知f(2x＋1)＝3x－2且f(a)＝4，求a的值．
(2)已知f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式．
2．1.2 函数的表示方法(一) 答案
自学导引
(1)数学表达式 (2)图象 (3)表格
对点讲练
例1 解 (1)由题设条件知：
当x＝2时，t＝100，
当x＝14时，t＝28得方程组
解此方程组得
所以t＝x＋，
又因为x≤20，x为正整数，
所以函数的定义域是{x|0(2)x＝1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20，共取20个值，列表如下：
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
t 197 100 68.3 53 44.2 38.7 35 32.5 30.8 29.6
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
28.8 28.3 28.1 28 28.1 28.25 28.5 28.9 29.3 29.8
注：表中的部分数据是近似值．
(3)函数t的图象是由20个点组成的一个点列．
如图所示．
(4)自变量x共取1～20之间的20 ( http: / / www.21cnjy.com )个正整数，从表中的函数值可以看出完成任务的时间与参加任务的人数之间的关系，一开始，完成任务的时间随着人数的增加而减少，而当人数增加到一定的数量，完成工作的时间减少得很慢，人数在达到7人以后，至14人之间，完成工作的时间基本上变化不大；再增加人数，完成工作的时间反而有所增加．
由函数的图象的变化也可以看出上面分析的结果．
可以再设想，假设工作的人 ( http: / / www.21cnjy.com )数没有限制，x再增大时，比如，x＝50,100,196,392等数值，则完成工作的时间t＝53.92,101.96,197,392.5，由此可见，工作效率随着人数的增加反而降低．
变式迁移1 B [由题意 ( http: / / www.21cnjy.com )知，在前1小时内客车以60 km/h的速度匀速行驶，则＝60，在1小时～1.5小时内客车未行驶，其路程仍为60 km，在1.5小时后到2.5小时，又以80 km/h的速度匀速行驶到达丙地，因此答案为B.]
例2 解 (1)方法一 (配方法)
∵f(＋4)＝x＋8＝(＋4)2－16，
∴f(x)＝x2－16(x≥4)．
∴f(x2)＝x4－16(x≤－2，或x≥2)．
方法二 (换元法)
设＋4＝t≥4，则＝t－4，x＝(t－4)2，
∴f(t)＝(t－4)2＋8(t－4)＝t2－16.
∴f(x)＝x2－16(x≥4)．
∴f(x2)＝x4－16(x≤－2或x≥2)．
(2)(待定系数法)因为f(x)是一次函数，
设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f[f(x)]＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b
＝a2x＋ab＋b＝4x－1.
∴，∴或.
∴f(x)＝2x－，或f(x)＝－2x＋1.
变式迁移2 解 (1)设t＝2x＋1，则x＝，
∴f(t)＝2＋1.∴f(x)＝2＋1.
(2)将x换成－x，
则原式2f(x)＋f(－x)＝3x＋2变为：
2f(－x)＋f(x)＝－3x＋2
由两式解得f(x)＝3x＋.
课时作业
1．D [只有D符合函数定义，即在定义域内每一个x对应唯一的y值．]
2．C [A中，当x＝0时，y＝±1 ( http: / / www.21cnjy.com )；B中0是偶数，当x＝0时，y＝0或y＝－1；D中自然数、整数、有理数之间存在包含关系，如x＝1∈N(Z，Q)，故y的值不唯一，故A、B、D均不正确．]
3．C [方法一 令1－2x＝t，则x＝ (t≠1)，
∴f(t)＝－1，
∴f＝16－1＝15.
方法二 令1－2x＝，得x＝，
∴f＝16－1＝15.]
4．B [设f(x)＝kx＋b (k≠0)，
∵2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，
∴，∴，∴f(x)＝3x－2.]
5．B [国旗的运动规律是：匀速升至旗杆顶部——停顿3秒——国旗匀速下落至旗杆中部．对应的图象为B.]
6．①
解析 设进水量为y1，出水量为y2，时 ( http: / / www.21cnjy.com )间为t，由图象知y1＝t，y2＝2t.由图丙知，从0～3时蓄水量由0变为6，说明0～3时两个进水口均打开进水但不出水，故①正确；3～4时蓄水量随时间增加而减少且每小时减少一个单位，若3～4点不进水只出水，应每小时减少两个单位，故②不正确；4～6时为水平线说明水量不发生变化，应该是所有水口都打开，进出均衡，故③亦不正确．所以正确论断的序号只有①.
7．1 1
解析 f[g(1)]＝f(3)＝1；
g[f(x)]＝2，∴f(x)＝2，∴x＝1.
8．解 (1)∵f(2x＋1)＝3x－2＝(2x＋1)－
∴f(x)＝x－，∵f(a)＝4，∴a－＝4，∴a＝5.
(2)∵f(0)＝c＝0，
∴f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＝ax2＋(2a＋b)x＋a＋b，
f(x)＋x＋1＝ax2＋bx＋x＋1＝ax2＋(b＋1)x＋1.
∴，∴∴f(x)＝x2＋x.2.1.2 函数的表示方法(二)
自主学习
学习目标
了解分段函数的概念，会画分段函数的图象，并能解决相关问题．
自学导引
分段函数
(1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的______________的函数．
(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的________；各段函数的定义域的交集是空集．
(3)作分段函数图象时，应________________________．
对点讲练
知识点一 分段函数的求值问题
例1 已知函数f(x)＝
(1)求f[f()]的值；
(2)若f(a)＝3，求a的值．
规律方法 对于f(a)，究竟用分段函数中的哪一个对应关系，与a所在范围有关，因此要对a进行讨论．由此我们可以看到：
(1)分段函数的函数值要分段去求；
(2)分类讨论不是随意的，它是根据解题过程中的需要而产生的．
变式迁移1 设f(x)＝若f(a)>a，则实数a的取值范围是________．
知识点二 分段函数的图象及应用
例2 已知函数f(x)＝1＋(－2(1)用分段函数的形式表示该函数；
(2)画出该函数的图象；
(3)写出该函数的值域．
规律方法 对含有绝对值的函数，要作出其图象， ( http: / / www.21cnjy.com )首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样，因此画图时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分．
变式迁移2 已知函数f(x)＝，在平面直角坐标系中作出y＝f(x)的图象，并写出值域．
知识点三 分段函数的简单应用
例3 某市的空调公共汽车的票价制定的规则是：
(1)乘坐5 km以内，票价2元；
(2)5 km以上(含5 ( http: / / www.21cnjy.com )km)，每增加5 km，票价增加1元(不足5 km的按5 km计算)．已知两个相邻的公共汽车站之间相距约1 km，如果在某条路线上沿途(包括起点站和终点站)设21个汽车站，请根据题意写出这条路线的票价与里程之间的函数解析式，并作出函数的图象．
规律方法 该类问题属于函数 ( http: / / www.21cnjy.com )建模问题，解答此类问题的关键在于先将实际问题数学模型化，然后结合题设选择合适的函数类型去拟合，解答过程中要密切关注实际问题中的隐含条件，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，画图象时，注意每段定义域端点的虚实．
变式迁移3 电讯资费调整后，市话费标 ( http: / / www.21cnjy.com )准为：通话时间不超过3分钟收费0.2元．超过3分钟，以后每增加1分钟收费0.2元，不足1分钟以1分钟计费，求通话收费x元与通话时间t(分钟)的函数解析式，并画出t∈(0,7]的图象．
1．分段函数求值要先找准自变量所在的区间；分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集．
2．含有绝对值的函数解析式要化为分段函数处理．
3．画分段函数的图象要逐段画出，求分段函数的值要按各段的区间范围代入自变量求值.
课时作业
一、选择题
1．设函数f(x)＝则f[]的值为( )
A. B．－ C. D．18
2．已知f(x)＝(x∈N)，那么f(3)等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
3．已知f(x)＝，g(x)＝，则当x<0时，f[g(x)]为( )
A．－x B．－x2 C．x D．x2
4．函数f(x)＝的值域是( )
A．R B．(0，＋∞)
C．(0,2)∪(2，＋∞) D．[0,2]∪[3，＋∞)
二、填空题
5．已知f(x)＝，则f(f(f(－1)))的值是__________．
6．已知f(x)＝，则不等式xf(x)＋x≤2的解集是__________．
三、解答题
7．若[x]表示不超过x的最大整数，画出y＝[x] (－3≤x≤3)的图象．
8. 已知函数y＝f(x)的图象是由图中的两条射线和抛物线的一部分组成，求函数的解析式．
9．已知函数f(x)＝求使等式f[f(x)]＝1成立的实数x构成的集合．
2．1.2 函数的表示方法(二) 答案
自学导引
(1)对应法则 (2)并集 (3)分别作出每一段的图象
对点讲练
例1 解 (1)∵－1<<2，∴f()＝()2＝3.
而3≥2，∴f[f()]＝f(3)＝2×3＝6.
(2)当a≤－1时，f(a)＝a＋2，又f(a)＝3，
∴a＝1(舍去)；
当－1∴a＝±，其中负值舍去，∴a＝；
当a≥2时，f(a)＝2a，又f(a)＝3，
∴a＝(舍去)．综上所述，a＝.
变式迁移1 a<－1
解析 当a≥0时，f(a)＝a－1，解a－1>a，
得a<－2与a≥0矛盾，
当a<0时，f(a)＝，解>a，
得a<－1.∴a<－1.
例2 解 (1)
当0≤x≤2时，
f(x)＝1＋＝1，
当－2f(x)＝1＋＝1－x.
∴f(x)＝.
(2)函数f(x)的图象如图所示，
(3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．
变式迁移2 解 如
图所示，函数y＝f(x)的图象是由f1( ( http: / / www.21cnjy.com )x)＝－2(x－)2＋1，x∈[0，)的图象(抛物线的一段)及f2(x)＝－2x＋2，x∈[，1]的图象(一条线段)组成的，其值域为[0,1]．
例3 解 设票价为y元，里程为x km，
由题意可知0所以y关于x的函数为
y＝
其图象如图所示．
变式迁移3 解 由题意可知，变量t∈(0，＋∞)，故x与t的函数关系的表达式为
x＝，
其图象如图所示．
课时作业
1．A [f(2)＝22＋2－2＝4，＝，
f()＝1－()2＝.故选A.]
2．A [由题意知f(3)＝f(3＋2)
＝f(5)＝f(5＋2)＝f(7)＝7－5＝2.]
3．B [当x<0时，g(x)＝－x2<0，∴f[g(x)]＝－x2.]
4．D [画图象可得．]
5．π＋1
解析 f(－1)＝0，f(0)＝π，f(π)＝π＋1
∴f(f(f(－1)))＝f(f(0))＝f(π)＝π＋1.
6．{x|x≤1}
解析 当x≥0时，f(x)＝1，
代入xf(x)＋x≤2，解得x≤1，∴0≤x≤1；
当x<0时，f(x)＝0，代入xf(x)＋x≤2，解得x≤2，
∴x<0.综上可知x≤1.
7．解 作出y＝[x]的图象如下图所示．
8．解 根据图象，设左侧射线对应的函数解析式为y＝kx＋b (x<1)．
∵点(1,1)、(0,2)在射线上，
∴ 解得
∴左侧射线对应的函数解析式为
y＝－x＋2 (x<1)．
同理，x>3时，函数的解析式为y＝x－2 (x>3)．
又抛物线对应的二次函数的解析式为
y＝a(x－2)2＋2 (1≤x≤3，a<0)，
∵点(1,1)在抛物线上，∴a＋2＝1，a＝－1，
∴当1≤x≤3时，函数的解析式为
y＝－x2＋4x－2 (1≤x≤3)．
综上所述，函数的解析式为
y＝
9．解 当x∈[0,1]时，恒有f[f(x)]＝f(1)＝1
当x [0,1]时，f[f(x)]＝f(x－3)
若0≤x－3≤1，即3≤x≤4时，f(x－3)＝1
若x－3 [0,1]，f(x－3)＝(x－3)－3
令其值为1，即(x－3)－3＝1，∴x＝7.
综合知：x的值构成的集合为
{x|0≤x≤1或3≤x≤4或x＝7}．§2.2 一次函数和二次函数
【入门向导】
函数是中学数学中最重要的内容，它与中学数学各部分知识都有密切的联系．
在中学阶段，函数的学习大致可分为三个阶段．首 ( http: / / www.21cnjy.com )先在初中阶段学习了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等简单的函数，相关的概念也只是描述性的，并了解了它们的图象、性质等．本章学习的函数是第二阶段，通过用集合映射的理论对函数概念加以阐述，揭示基本初等函数及其性质规律，这是对函数概念的再认识阶段．后面我们还要在选修系列的导数及其应用部分继续研究学习，这是函数学习的进一步深化和提高．
函数不仅仅是数学研究的对象，同时也是数学中常 ( http: / / www.21cnjy.com )用的一种思想方法．函数的思想即运用函数的概念和性质去分析、转化和解决问题的思想，广泛地渗透到学习数学的整个过程和其他学科之中．
一次函数、二次函数知识解读
一次函数、二次函数是初中数学与高中数学的重要衔接点，在中学数学中占有举足轻重的地位．
一、一次函数
1．表达式：y＝kx＋b，其中k满足k≠0，b为在y轴上的截距．
2．单调性：当k>0时，在R上是增函数；当k<0时，在R上是减函数．
3．奇偶性：一次函数为奇函数的条件是b＝0；当b≠0时，为非奇非偶函数．
4．图象：过(0，b)点．
二、二次函数
1．二次函数的定义：函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫做二次函数．
2．二次函数的三种表示形式：
(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；
(3)两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
3．二次函数的图象和性质
(1)图象：二次函数y＝ax2＋bx＋c( ( http: / / www.21cnjy.com )a≠0)的图象是以直线x＝－为对称轴的抛物线，其开口方向由a的符号确定，顶点坐标为(－，)．
(2)性质：二次函数y＝ax2＋ ( http: / / www.21cnjy.com )bx＋c(a≠0)的单调性以顶点的横坐标x＝－为分界，当a>0时，若x∈(－∞，－]，f(x)单调递减，若x∈[－，＋∞)，f(x)单调递增；当a<0时，若x∈(－∞，－]，f(x)单调递增，若x∈[－，＋ ∞)，f(x)单调递减．
4．若二次函数y＝f(x)恒满足f(x＋m)＝f(－x＋n)，则其对称轴为x＝.
三、待定系数法
知识要点 要点必记
待定系数法 已知函数类型，设一般形式，解方程组，求一般形式
一次函数及正比例函数 设y＝kx＋b，需要两个已知条件
二次函数 三种形式(一般式、顶点式、两根式)，各需三个已知条件
四、典型题型
1．求函数解析式
例1 已知一次函数的图象经过(－4,15)、(6，－5)两点，求此一次函数的解析式．
分析 先设一次函数的解析式为y＝ ( http: / / www.21cnjy.com )kx＋b.因为它的图象经过(－4,15)、(6，－5)两点，所以适合y＝kx＋b，从而得到关于k、b的方程组，解方程组可求出待定系数k和b，再代回原设即可．
解 设此一次函数解析式为y＝kx＋b，①
将和代入①，得
解得
∴此一次函数的解析式为y＝－2x＋7.
规律技巧总结 ①图象上每一个点的横坐标与纵坐标都是这个函数中自变量与函数的一对对应值．
②正比例函数y＝kx中，只有一个待 ( http: / / www.21cnjy.com )定系数k，一般只需一个条件即可求出k的值；一次函数y＝kx＋b中有两个待定系数k，b，因而需要两个条件才能求出k和b的值．
③求函数解析式的最常用方法是待定系数法．
2．二次函数的图象及应用
例2 二次函数y＝x2＋bx＋c的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到函数y＝x2－2x＋1的图象，求b与c.
分析 应先求抛物线的顶点坐标，根据两条抛物线的平移情况可以确定其顶点坐标．
解 ∵函数y＝x2－2x＋1可变形为y＝(x－1)2，
∴抛物线y＝x2－2x＋1的顶点坐标为(1,0)．
根据题意把此抛物线反向平移，得到抛物线y ( http: / / www.21cnjy.com )＝x2＋bx＋c的图象，即把抛物线y＝x2－2x＋1向下平移3个单位，再向右平移2个单位，就可得到抛物线y＝x2＋bx＋c，此时顶点B(1,0)平移至A(3，－3)处．
∴抛物线y＝x2＋bx＋c的顶点坐标是(3，－3)，
即y＝(x－3)2－3＝x2－6x＋6.∴b＝－6，c＝6.
规律技巧总结 抛物线y＝a( ( http: / / www.21cnjy.com )x＋h)2＋k在平移时，a不变，只是h与k发生变化，故抛物线的平移问题关键在于准确求出顶点的坐标，掌握顶点位置的变化情况．
例3 y＝ax2＋bx与y＝ax＋b(a≠0)的图象只可能是( )
解析 抛物线与x轴的交点为(0,0)、( ( http: / / www.21cnjy.com )－，0)，从而排除A；又直线与x轴的交点为(－，0)，即两线过x轴上的同一点，故排除B、C.故选D.
答案 D
3．二次函数的值域与最值
例4 已知函数f(x)＝x2－2ax＋2a＋4的定义域为R，值域为[1，＋∞)，则a的值为________．
解析 f(x)＝(x－a)2＋2a＋4－a2，f(x)≥1，
故2a＋4－a2＝1.解得a＝－1或a＝3.
答案 －1或3
点评 注意本题中定义域为R，值域为[1，＋∞)，则知该二次函数的最小值为1，应将二次函数化为顶点式．
4．二次函数的单调性
例5 已知函数y＝ax和y＝－都是(0，＋∞)上的减函数，则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上的单调性为________．
分析 分别求出a与b的范围，才能说明y＝ax2＋bx在(0，＋ ∞)上的单调性．
解析 由y＝ax在(0，＋∞)上是减函数，则a<0，由y＝－在(0，＋∞)上是减函数，则由y＝－图象知－b>0，
∴b<0.y＝ax2＋bx的对称轴x＝－<0，且开口向下，
∴在[－，＋∞)上是减函数，
∴y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上的单调性为减函数．
答案 减函数
一次函数、二次函数易错点透析
一次函数和二次函数是最基本的初等函数，是 ( http: / / www.21cnjy.com )我们认识函数、研究函数的起点，也是探究其他函数问题的重要工具．因此，我们要熟练掌握，力避易混易错易忽略点．现将有关一次函数和二次函数的常见思维误区列举如下，以引起同学们的高度注意．
1．在一次函数y＝kx＋b的理解和应 ( http: / / www.21cnjy.com )用中，易忽略k≠0这一限制条件．应注意y＝kx＋b只有当k≠0时，才是一次函数．若k＝0，y＝b为常数函数．
2．一次函数的图象是一条直线，而图象是一条直线的函数却未必是一次函数．如y＝3的图象是一条平行于x轴的直线，而y＝3是常数函数．
3．在判断函数y＝kx＋b的单调性时，易忽视对k的分类讨论．
例6 已知关于x的一次函数y＝(p＋3)x＋(p2＋2p－3)的图象过原点，求p的值．
解 由一次函数的图象过原点，可得
解得p＝1.
误区警示 此题易错点是忽视一次函数的隐含条件p＋3≠0.而由p2＋2p－3＝0，求得
p＝－3或p＝1，产生增解．
4．对与二次函数有关的参数问题，不要忽略对参数的讨论．
5．求二次函数的值域或最值时不要忽视自变量的取值区间．
例7 已知函数f(x)＝x2＋2ax＋5，x∈[－1,1]，求函数的最小值．
解 f(x)＝x2＋2ax＋5＝(x＋a)2＋5－a2.
函数的对称轴为x＝－a.
当－a≤－1，即a≥1时，f(x)min＝f(－1)＝6－2a.
当－1<－a<1，即－1当－a≥1，即a≤－1时，f(x)min＝f(1)＝6＋2a.
综上所述，函数的最小值为
f(x)min＝
误区警示 对含参问题一定要根据参数的范围进行合理的分类讨论，要求“不重不漏”.
数形结合思想解题例析
数形结合是重要的数学思想方法之一，利用函数 ( http: / / www.21cnjy.com )图象解决有关问题正是这一思想的体现．本文例析数形结合思想在求解一次函数和二次函数问题中的出色表现．
一、解有关一次函数的问题
由于k，b决定了一次函数y＝kx＋b(k≠0)的性质，因此，涉及一次函数图象的问题可以从k，b入手．
例1 对任意实数x，设f(x)是y＝x＋2、y＝－2x＋4、y＝4x＋1三个函数中值最小的函数，那么f(x)的最大值是( )
A. B. C．3 D.
分析 本题若用常规思路则需写出分段函数f(x)的解析式，比较繁杂；若采用数形结合，则“豁然开朗”．
解析 如图所示，根据题意，f(x)对应函数图象为折线A－B－C－D，
故f(x)的最大值为C点纵坐标．
解得C(，)．
答案 D
点评 本题需深刻理解给定信息的概念，挖掘其本质，合理巧妙地进行数形转化．
二、解有关二次函数的问题
二次函数是高中数学中重要的基本初等函数之一，是高考的“常客”．在求解有关二次函数的问题时，图象发挥着重要的作用．
例2 当m为何值时，方程x2－4|x|＋5＝m有4个互不相等的实数根？
解 令f(x)＝x2－4|x|＋5，
则f(x)＝
那么原问题转化为探求m为何值时，函数f(x ( http: / / www.21cnjy.com ))的图象与直线y＝m有4个交点．作出f(x)的图象，如图所示．由图象可知，当1一次函数在某区间上的最值——思维规律解读
一、定函数在定区间上的最值
例3 求函数f(x)＝x2－2x＋2在区间[－1,4]上的最大值和最小值．
解 f(x)＝(x－1)2＋1，其对称轴为x＝1.
因为函数对称轴x＝1在区间[－1,4]内，
又函数开口向上，所以当x＝1时，
f(x)取到最小值为1.
又f(－1)＝5，f(4)＝10，
所以在x＝4时，f(x)取到最大值为10.
二、定函数在动区间上的最值
例4 函数f(x)＝x2－2x＋2在区间[t，t＋1]上的最小值为g(t)，求g(t)的表达式．
解 f(x)＝(x－1)2＋1，其对称轴为x＝1.
当t＋1<1时，即t<0时，区间[t，t＋1]在对称轴的左侧，f(x)在此区间上是减函数．
所以此时g(t)＝f(t＋1)＝(t＋1)2－2(t＋1)＋2＝t2＋1.
当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，对称轴x＝1在此区间内，
又函数开口向上．
所以此时g(t)＝f(1)＝12－2＋2＝1.
当t>1时，区间[t，t＋1]在对称轴的右侧，f(x)在此区间上是增函数．
所以此时g(t)＝f(t)＝t2－2t＋2.
综上得g(t)＝
三、动函数在定区间上的最值
例5 函数f(x)＝x2＋ax＋3在区间[－2,2]上的最大值为g(a)，求g(a)的表达式．
解 f(x)＝(x＋)2＋3－，其对称轴为x＝－.
当对称轴x＝－在区间[－2,2]的右侧，
即－≥2，a≤－4时，f(x)在此区间上是减函数．
所以此时g(a)＝f(－2)＝7－2a.
当对称轴x＝－在区间[－2,2]内时，如果－2<－<0，
即0所以此时f(x)在x＝2时取到最大值，
为g(a)＝f(2)＝7＋2a；
如果0<－<2，即－4则x＝－2距离对称轴较远，此时f(x)在x＝－2时取到最大值，为g(a)＝f(－2)＝7－2a.
当对称轴x＝－在区间[－2,2]的左边，
即－≤－2，a≥4时，f(x)在此区间上是增函数．
所以此时g(a)＝f(2)＝7＋2a.
综上得：g(a)＝
四、动函数在动区间上的最值
例6 设a为实数，函数f(x)＝x2＋|x－a|＋1(x∈R)，求f(x)的最小值．
解 ①当x≤a时，
函数f(x)＝x2－x＋a＋1＝2＋a＋，
若a≤，则函数f(x)在(－∞，a]上单调递减，
从而f(x)在(－∞，a]上的最小值为f(a)＝a2＋1；
若a＞，则f(x)在(－∞，a]上的最小值为f＝＋a.
②当x≥a时，f(x)＝x2＋x－a＋1＝2－a＋，
若a≤－，则函数f(x)在[a，＋∞)上的最小值为
f＝－a；
若a＞－，则函数f(x)在[a，＋∞)上单调递增，从而函数f(x)在[a，＋∞)上的最小值为f(a)＝a2＋1.
综上，当a≤－时，函数f(x)的最小值为－a；
当－＜a≤时，函数f(x)的最小值为a2＋1；
当a＞时，
函数f(x)的最小值为a＋.
点评 当二次函数在某个区间上求最值时，其 ( http: / / www.21cnjy.com )关键在于明确函数的对称轴与自变量取值范围的相对位置关系，分对称轴在区间内、在区间左边、在区间右边三种情况讨论.
本小节知识是高中阶段所有数学知 ( http: / / www.21cnjy.com )识的一个重要内容，在高考中可单独考查，还常结合其他知识考查．对这部分知识的命题方向是：用数形结合处理一些常见的问题，考查二次函数图象、单调性、最值和值域等．
1．(丹东模拟)如果函数y＝|x2－1|的图象与y＝k的交点恰为3个，则k的值为( )
A．1 B. C．1或 D．0或1
解析 在同一坐标系中作出函数y＝|x2－1|与函数y＝k的图象，由图象可知，只有当
k＝1时，y＝1与y＝|x2－1|两函数图象才有3个交点．
答案 A
2．(湖南高考)设函数f(x)＝，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析 由f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，
解得b＝4，c＝2，∴f(x)＝
∴方程f(x)＝x 或
解得x＝2或x＝－1或x＝－2，均合题意．(另可依图象得正确结论)
答案 C第二章 章末检测
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，则给出的下列4个图形中，能表示以集合M为定义域，N为值域的函数关系是( )
2．已知函数y＝x2的值域是[1,4]，则其定义域不可能是( )
A．[1,2] B.
C．[－2，－1] D．[－2，－1]∪{1}
3．下列四组函数中，表示同一函数的是( )
A．f(x)＝－，g(x)＝－()2
B．f(x)＝·，g(x)＝
C．f(x)＝，g(x)＝x＋1
D．f(x)＝·，g(x)＝
4．当ab>0时，函数y＝ax2与y＝ax＋b的图象是( )
5．已知[1，＋∞)是函数y＝－x2＋4ax的单调递减区间，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6. 若函数f(x)＝是奇函数，当x>0时，其对应的图象如图，则f(x)为( )
A．－2x－3 B．－2x＋3
C．2x－3 D．2x＋3
7．设f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0)上为减函数，若x1<0，且x1＋x2>0，则( )
A．f(x1)>f(x2)
B．f(x1)＝f(x2)
C．f(x1)D．无法比较f(x1)与f(x2)的大小
8．函数f(x)＝，若f(x0)＝3，则x0的值是( )
A．1 B．± C.，1 D.
9．设集合A和B都是坐标平面 ( http: / / www.21cnjy.com )上的点集，{(x，y)|x∈R，y∈R}，映射f：A→B使集合A中的元素(x，y)映射成集合B中的元素(x＋y，x－y)，则在映射f下，象(2,1)的原象是( )
A．(3,1) B．(，)
C．(，－) D．(1,3)
10．已知g(x)＝1－2x，f[g(x)]＝(x≠0)，则f()等于( )
A．1 B．3 C．15 D．30
11．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事 ( http: / / www.21cnjy.com )：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点……用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则与故事情节相吻合的是( )
12．已知函数f(x)＝
若f(2－a)>f(a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B．(－1,2)
C．(－∞，1)
D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．函数y＝的定义域是__________．
14．若函数f(x)＝(m－1)x2＋mx＋3(x∈R)是偶函数，则f(x)的单调减区间是________．
15．已知二次函数y＝f(x)＝x2＋x＋a (a>0)，若f(m)<0，则在(m，m＋1)上函数零点的个数是________．
16．下列四个命题：
①若定义在R上的函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上也是增函数，则f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数；
②如果函数y＝f(x)是R上的减函数，则k>0(k是常数)时，kf(x)也是R上的减函数；
③函数y＝x2－2|x|－3的单调增区间只有[1，＋∞)；
④若定义在R上的函数f(x)对任意的实数a，b都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，则函数f(x)是奇函数．
其中正确命题的序号是________．(把所有正确命题的序号都填上)
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知a，b为常数，且a≠0，f(x)＝ax2＋bx，f(2)＝0，方程f(x)＝x有两个相等实根．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)当x∈[1,2]时，求f(x)的值域；
(3)若F(x)＝f(x)－f(－x)，试判断F(x)的奇偶性，并证明你的结论．
18．(12分)已知f(x)是定义在实数集R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－4x＋3.
(1)求f(f(－1))的值；
(2)求函数f(x)的解析式．
19．(12分)已知函数f(x)＝x2－ax＋，x∈[0,1]，求f(x)的最小值g(a)的表达式，并求出g(a)的最大值．
20．(12分)已知函数f(x)的定义域为(－2,2)，函数g(x)＝f(x－1)＋f(3－2x)．
(1)求函数g(x)的定义域；
(2)若f(x)是奇函数，且在定义域上单调递减，求不等式g(x)≤0的解集．
21．(12分)为减少空气污染，某 ( http: / / www.21cnjy.com )市鼓励居民用电(减少燃气或燃煤)．采用分段计费的方法计算电费．每月用电不超过100度时，按每度0.57元计算，每月用电量超过100度时，其中的100度仍按原标准收费，超过的部分每度按0.5元计算．
(1)设月用电x度时，应交电费y元．写出y关于x的函数关系式；
(2)小明家第一季度交纳电费情况如下：
月份 一月 二月 三月 合计
交费金额 76元 63元 45.6元 184.6元
问小明家第一季度共用电多少度？
22．(12分) 如图，在矩形ABCD中 ( http: / / www.21cnjy.com )，已知AB＝a，BC＝b(a>b)，在AB、AD、CB、CD上，分别截取AE＝AH＝CF＝CG＝x(x>0)，设四边形EFGH的面积为y.
(1)写出四边形EFGH的面积y与x之间的函数关系式；
(2)求当x为何值时y取得最大值，最大值是多少？
第二章 章末检测 答案
1．B [函数的定义域应为M＝[－2,2]，排除A；
函数值域应为N＝[0,2]，排除D；
函数的对应法则不允许一对多，排除C，
所以选B]．
2．B [将选项代入验证．]
3．D [只有D定义域、解析式相同．]
4．D [根据a、b同号知，抛物线 ( http: / / www.21cnjy.com )开口向上时，直线在y轴上截距为正，且一次函数y＝ax＋b递增，从而排除A、B，当抛物线开口向下时，一次函数单调递减且在y轴上截距为负，排除C.从而选D.]
5．A [对称轴x＝2a，当2a≤1，
即a≤时，函数单调递减．]
6．D [显然点(0，－3)和点(，0)在y轴右侧的函数图象上，所以点(0,3)和点(－，0)在y轴左侧的函数图象上，用特殊值法应选D.]
7．C [由x1＋x2>0，得x1>－x2，
又x1<0，∴f(x1)∴f(x1)8．D [当x≤－1时，x＋2＝3，得x＝1(舍去)；
当－1当x≥2时，2x＝3，x＝，(舍去)，选D.]
9．B [根据题意有
得故选B.]
10．C [令g(x)＝1－2x＝，得x＝，
则f()＝＝15.]
11．B [A表示同时到达；C表示没有追赶；D表示兔子先到终点．正确答案是B.]
12．C [由f(x)的图象可知，f(x)在R上为增函数，
由f(2－a)>f(a)得，2－a>a，解得a<1，故选C.]
13．[－1,1)∪(1，＋∞)
解析 由，得，
∴x≥－1且x≠1.
14．[0，＋∞)
解析 ∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
∴(m－1)x2－mx＋3＝(m－1)x2＋mx＋3，
∴m＝0.
这时f(x)＝－x2＋3，
∴单调减区间为[0，＋∞)．
15．1
解析
(数形结合)f(0)＝a>0，对称轴为x＝－，
图象如图所示．
由f(m)<0，
得－1∴m＋1>0，∴f(m＋1)>0，
∴(m，m＋1)上函数零点个数为1个．
16．②④
17．解 (1)已知f(x)＝ax2＋bx.
由f(2)＝0，得4a＋2b＝0，
即2a＋b＝0. ①
方程f(x)＝x，即ax2＋bx＝x，
即ax2＋(b－1)x＝0有两个相等实根，
且a≠0，∴b－1＝0，∴b＝1，
代入①得a＝－.
∴f(x)＝－x2＋x.
(2)由(1)知f(x)＝－(x－1)2＋.
显然函数f(x)在[1,2]上是减函数，
∴x＝1时，ymax＝，x＝2时，ymin＝0.
∴x∈[1,2]时，函数的值域是[0，]．
(3)∵F(x)＝f(x)－f(－x)
＝(－x2＋x)－
＝2x，
∴F(x)是奇函数．
证明如下：
∵F(－x)＝2(－x)＝－2x＝－F(x)，
∴F(x)＝2x是奇函数．
18．解 (1)因为f(－1)＝－f(1)＝0，
故f(f(－1))＝f(0)，
由奇函数的性质知f(0)＝0，
从而有f(f(－1))＝0.
(2)当x＝0时，由奇函数的性质知f(0)＝0；
当x<0时，－x>0，
故f(x)＝－f(－x)
＝－[(－x)2－4(－x)＋3]
＝－x2－4x－3.
综上所述，f(x)＝.
19．解 由f(x)＝x2－ax＋得
f(x)＝x2－ax＋
＝(x－)2＋－，
当0≤≤1即0≤a≤2时，
f(x)最小值为g(a)＝f()＝－；
当<0，即a<0时，f(x)在[0,1]上为增函数，所以最小值为g(a)＝f(0)＝；
当>1即a>2时，
f(x)在[0,1]上为减函数，所以最小值为
g(a)＝f(1)＝1－；
于是g(a)＝
由函数g(a)的图象可知，
g(a)在a＝1处取得最大值为g(1)＝.
20．解 (1)由题意可知
∴. 解得故函数g(x)的定义域为.
(2)由g(x)≤0，得f(x－1)＋f(3－2x)≤0，
∴f(x－1)≤－f(3－2x)．
∵f(x)为奇函数，∴f(x－1)≤f(2x－3)．
而f(x)在(－2,2)上单调递减，
∴ 解得∴g(x)≤0的解集为.
21．解 (1)当0≤x≤100时，y＝0.57x；
当x>100时，
y＝0.5×(x－100)＋0.57×100
＝0.5x－50＋57＝0.5x＋7.
∴所求函数式为
y＝
(2)据题意，
一月份：0.5x＋7＝76，∴x＝138(度)，
二月份：0.5x＋7＝63，∴x＝112(度)，
三月份：0.57x＝45.6，∴x＝80(度)．
所以第一季度共用电：138＋112＋80＝330(度)．
答 小明家第一季度共用电330度．
22．解 用割补法，将四边形EFGH的面积转化为特殊图形——矩形和直角三角形的面积问题．
(1)∵△AEH≌△CFG，△EBF≌GDH，
∴y＝S矩形ABCD－2S△AEH－2S△EFB
＝ab－2×x2－2×(a－x)(b－x)
＝－2x2＋(a＋b)x(0(2)y＝－2(x－)2＋(a＋b)2.
①如图1，当b≥，即a>b≥时，
当x＝时，ymax＝(a＋b)2；
图1 图2
②如图2，当0y在区间(0，b]上是增函数，
当x＝b时，ymax＝(a－b)b.2.1.1 函数(二)
自主学习
学习目标
1．了解映射的概念及含义，会判断给定的对应关系是否是映射．
2．知道函数与映射的关系．
自学导引
1．映射的概念
设A、B是两个非空集合，如果按照某种对 ( http: / / www.21cnjy.com )应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中________________________________元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的________________．这时，称y是x在映射f作用下的________，记作________，x称作y的________．
2．一一映射
如果映射f是集合A到集合B的映射，并且对于 ( http: / / www.21cnjy.com )集合B中的______________，在集合A中都________________，这时我们说这两个集合的元素之间存在______________，并把这个映射叫做从集合A到集合B的______________．
3．映射与函数
由映射的定义可以看出，映射是 ( http: / / www.21cnjy.com )________概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A，B必须是__________________．
对点讲练
知识点一 映射的概念
例1 在下列对应关系中，哪些对应法则是集合A到集合B的映射？哪些不是；若是映射，是否是一一映射？
(1)A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,3,4}，对应法则f：“加1”；
(2)A＝(0，＋∞)，B＝R，对应法则f：“求平方根”；
(3)A＝N，B＝N，对应法则f：“3倍”；
(4)A＝R，B＝R，对应法则f：“求绝对值”；
(5)A＝R，B＝R，对应法则f：“求倒数”．
规律方法 判断对应f：A→B是否是A到B的映射，须注意两点：
(1)明确集合A、B中的元素；
(2)判断A的每个元素是否在集合B中都 ( http: / / www.21cnjy.com )有唯一确定的元素与之对应，若进一步判断是否为一一映射，还需注意B中的每个元素在A中是否有原象，集合A中的不同元素对应的象是否相同．
变式迁移1 下列对应是否是从A到B的映射，能否构成函数？
(1)A＝R，B＝R，f：x→y＝；
(2)A＝{0,1,2,9}，B＝{0,1,4,9,64}，f：a→b＝(a－1)2；
(3)A＝[0，＋∞)，B＝R，f：x→y2＝x；
(4)A＝{x|x是平面M内的矩形}，B＝{x|x是平面M内的圆}，f：作矩形的外接圆．
知识点二 象与原象
例2 已知映射f：A→B中，A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(3x－2y＋1,4x＋3y－1)．
(1)求A中元素(1,2)的象；
(2)求B中元素(1,2)的原象．
规律方法 解答此类问题，关键是：
(1)分清原象和象；(2)搞清楚由原象到象的对应法则．
变式迁移2 已知集合A＝R，B＝{(x ( http: / / www.21cnjy.com )，y)|x，y∈R}，f：A→B是从A到B的映射，f：x→(x＋1，x2＋1)，求A中元素在B中的象和B中元素在A中的原象．
知识点三 映射的个数问题
例3 已知A＝{a，b，c}，B＝{－2,0,2}，映射f：A→B满足f(a)＋f(b)＝f(c)．求满足条件的映射的个数．
规律方法 求解含有附加条件的映射问题，必须按映射的定义处理，必要时进行分类讨论．
变式迁移3 若将本例中的条件改为“B＝{－1,0,1}，f(a)·f(b)＝f(c)”，这样的映射有几个？
本节学习的主要内容是映射的概念，重点是对映射的理解，难点是映射的判定，在学习中要注意下列三个方面的问题：
1．映射中的两个集合A和B可以是数集、点集或由图形组成的集合等，映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往是不一样的．
2．对应、映射、函数三个概念既有区别又有联系，在了解映射概念的基础上，深刻理解函数是一种特殊的映射，而映射又是一种特殊的对应．
3．判断一个对应是否是映射，主要看第一个 ( http: / / www.21cnjy.com )集合A中的每一个元素在对应法则下是否都有对应元素，若有，再看对应元素是否唯一，至于B中的每一个元素是否都有原象，则不作要求.
课时作业
一、选择题
1．设f：A→B是从集合A到集合B的映射，则下面说法正确的是( )
A．A中的每一个元素在B中必有象
B．B中每一个元素在A中必有原象
C．A中的一个元素在B中可以有多个象
D．A中不同元素的象必不同
2．设集合A＝{x|0≤x≤6}，B＝{y|0≤y≤2}，对于以下对应的关系中，不是A到B的映射的是( )
A．f：x→x B．f：x→x
C．f：x→x D．f：x→x
3．设集合A、B都是坐标平面上的点集{(x， ( http: / / www.21cnjy.com )y)|x∈R，y∈R}，映射f：A→B使集合A中的元素(x，y)映射成集合B中的元素(x＋y，x－y)，则在f下，象(2,1)的原象是( )
A．(3,1) B.
C. D．(1,3)
4．给出下列两个集合之间的对应关系，回答问题：
①A＝{你们班的同学}，B＝{体重} ( http: / / www.21cnjy.com )，f：每个同学对应自己的体重；②M＝{1,2,3,4}，N＝{2,4,6,8}，f：n＝2m，n∈N，m∈M；③M＝R，N＝{x|x≥0}，f：y＝x4；④A＝{中国，日本，美国，英国}，B＝{北京，东京，华盛顿，伦敦}，f：对于集合A中的每一个国家，在集合B中都有一个首都与它对应．
上述四个对应中是映射的有______，是函数的有______，是一一映射的有________．( )
A．3个 2个 1个 B．3个 3个 2个
C．4个 2个 2个 D．2个 2个 1个
5．集合A＝{1,2,3}，B＝{3,4}，从A到B的映射f满足f(3)＝3，则这样的映射共有( )
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
二、填空题
6．设A＝Z，B＝{x|x＝2n＋1， ( http: / / www.21cnjy.com )n∈Z}，C＝R，且从A到B的映射是x→2x－1，从B到C的映射是y→，则经过两次映射，A中元素1在C中的象为________．
7．设f，g都是由A到A的映射，其对应法则如下表：
映射f的对应法则如下：
原象 1 2 3 4
象 3 4 2 1
映射g的对应法则如下：
原象 1 2 3 4
象 4 3 1 2
则f[g(1)]的值为________．
8．根据下列所给的对应关系，回答问题．
①A＝N*，B＝Z，f：x→y＝3x＋1，x∈A，y∈B；
②A＝N，B＝N*，f：x→y＝|x－1|，x∈A，y∈B；
③A＝{x|x为高一(2)班的同学}，B＝{x|x为身高}，f：每个同学对应自己的身高；
④A＝R，B＝R，f：x→y＝，x∈A，y∈B.
上述四个对应关系中，是映射的是________，是函数的是________．
三、解答题
9．设f：A→B是集合A到集合B的映射，其中A＝{正实数}，B＝R，f：x→x2－2x－1，求A中元素1＋的象和B中元素－1的原象．
10．已知A＝{1,2,3，m}，B＝{ ( http: / / www.21cnjy.com )4,7，n4，n2＋3n}，其中m，n∈N*.若x∈A，y∈B，有对应关系f：x→y＝px＋q是从集合A到集合B的一个映射，且f(1)＝4，f(2)＝7，试求p，q，m，n的值．
2．1.1 函数(二) 答案
自学导引
1．有一个且仅有一个 映射 象 f(x) 原象
2．任意一个元素 有且只有一个原象 一一对应关系
一一映射
3．函数 非空数集
对点讲练
例1 解 (1)中集合A中的每一个 ( http: / / www.21cnjy.com )元素通过法则f作用后，在集合B中都有唯一的一个元素与之对应，显然，对应法则f是A到B的映射，又B中的每一个元素在A中都有唯一的原象与之对应，故f：A→B也是一一映射．
(2)中集合A中的每一个元素通过法则f作用后，在集合B中都有两个元素与之对应，显然对应法则f不是A到B的映射，故不是一一映射．
(3)中集合A中的每一个元素通过法则 ( http: / / www.21cnjy.com )f作用后，在集合B中都有唯一的元素与之对应，故对应法则f是从A到B的映射，又B中某些元素1、2、4、5……在A中没有原象与之对应，故f：A→B不是一一映射．
(4)中集合A中的每一个元素通过法则f ( http: / / www.21cnjy.com )作用后，在集合B中都有唯一的元素与之对应，故法则f是从A到B的映射，但对于B中某些元素在A中可能有两个元素与之对应甚至没有原象，故f：A→B不是一一映射．
(5)当x＝0∈A，无意义，故法则f不是从A到B的映射．
变式迁移1 解 (1)当x＝－1时，y的值不存在，
∴不是映射，更不是函数．
(2)在f的作用下，A中的0,1,2,9分别对应到B中的1,0,1,64，∴是映射，也是函数．
(3)∵当A中的元素不为零时，B中有两个元素与之对应，∴不是映射，更不是函数．
(4)是映射，但不是函数，因为A，B不是数集．
例2 解 (1)当x＝1，y＝2时，3x－2y＋1＝0,4x＋3y－1＝9.
故A中元素(1,2)的象为(0,9)．
(2)令， 得，
故B中元素(1,2)的原象是.
变式迁移2 解 将x＝代入对应关系，可求出其在B中的对应元素(＋1,3)．
由 得x＝.
所以在B中的象为(＋1,3)，在A中对应的原象为.
例3 解 (1)当A中三个元素都对应0时，则f(a)＋f(b)＝0＋0＝0＝f(c)有一个映射；
(2)当A中三个元素对应B中两个时，
满足f(a)＋f(b)＝f(c)的映射有4个，
分别为2＋0＝2,0＋2＝2，
(－2)＋0＝－2,0＋(－2)＝－2.
(3)当A中的三个元素对应B中三个元素时，有两个映射，
分别为(－2)＋2＝0,2＋(－2)＝0.
因此满足条件中的映射共有7个．
变式迁移3 解 由于f(a) ( http: / / www.21cnjy.com )、f(b)、f(c)的取值属于{－1,0,1}，故f(a)·f(b)＝f(c)时，f(a)，f(b)，f(c)取值的情况如表所示.
f(a) f(b) f(c)
1 －1 －1
－1 1 －1
1 1 1
－1 －1 1
－1 0 0
0 －1 0
0 0 0
1 0 0
0 1 0
由表可知这样的映射有9个．
课时作业
1．A 2.A 3.B 4.C
5．B [由于要求f(3)＝3，因此只需考虑剩下两个元素的象的问题，总共有如图所示的4种可能．]
6.
解析 A中元素1在B中象为2×1－1＝1，
而1在C中象为＝.
7．1
解析 g(1)＝4，
∴f[g(1)]＝f(4)＝1.
8．①③ ①
解析 ①对x∈A，在f：x→y＝3x＋1作用下在B中都有唯一的象，因此能构成映射，又A、B均为数集，因而能构成函数；
②当x＝1时，y＝|x－1|＝|1－1|＝0 B，即A中的元素1在B中无象，因而不能构成映射，从而不能构成函数．
③对高一(2)班的每一个同学都对应着自己的身高，因而能构成映射，但由于高一(2)班的同学不是数集，从而不能构成函数．
④当x≤0时，|x|＋x＝0，从而无意义，因而在x≤0时，A中元素在B中无象，所以不能构成映射．
9．解 当x＝1＋时，x2－2x－1＝(1＋)2－2×(1＋)－1＝0，所以1＋的象是0.
当x2－2x－1＝－1时，x＝0或x＝2.
因为0 A，所以－1的原象是2.
10．解 由f(1)＝4，f(2)＝7，列方程组：
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故对应法则为f：x→y＝3 ( http: / / www.21cnjy.com )x＋1.由此判断出A中元素3的象是n4或n2＋3n.若n4＝10，因为n∈N*，不可能成立，所以n2＋3n＝10，解得n＝2(舍去不满足要求的负值)．又当集合A中的元素m的象是n4时，即3m＋1＝16，解得m＝5.当集合A中的元素m的象是n2＋3n时，即3m＋1＝10，解得m＝3.由元素互异性知，舍去m＝3.故p＝3，q＝1，m＝5，n＝2.