3.4 函数的应用(Ⅱ)
自主学习
学习目标
1．能够运用函数(指数函数、对数函数、幂函数等)性质，解决某些简单的实际问题．
2．能够根据实际问题构建适当的函数模型，了解和体会函数模型的广泛应用．
3．培养学生应用数学的意识以及分析问题、解决问题的能力．
自学导引
1．人口数的计算
设原有人口a人，人口的自然年增长率为b，则经过x年后，人口数y＝________.
2．复利及应用
(1)复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算做本金，再计算下一期的利息．
(2)本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，则本利和y随存期x变化的函数式为________ (x∈N＋)．
3．半衰期及应用
(1)放射性元素剩留量为________________所需要的时间叫做半衰期．
(2)放射性元素最初质量为a g．按 ( http: / / www.21cnjy.com )每年r衰减(0
对点讲练
知识点一 指数函数模型
例1 某化工厂生产一种溶液， ( http: / / www.21cnjy.com )按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)
变式迁移1 2000年全 ( http: / / www.21cnjy.com )国人口普查时，我国人口数为13亿，如果从2000年开始按1%的人口年增长率来控制人口增长，那么，大约经过多少年我国人口数达到18亿？
知识点二 对数函数模型的应用
例2 燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬 ( http: / / www.21cnjy.com )，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．
(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？
(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
变式迁移2 在不考虑空气阻力的条件下 ( http: / / www.21cnjy.com )，火箭的最大速度v (m/s)和燃料的质量M(kg)、火箭(除燃料外)的质量m (kg)的关系v＝2 000ln.当燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度可达12 km/s
知识点三 综合应用
例3 某医药研究所开发一种新 ( http: / / www.21cnjy.com )药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．
(1)写出服药后y与t之间的函数关系式y＝f(t)；
(2)进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25毫克时，药物对治疗疾病有效．求服药一次治疗疾病的有效时间．
变式迁移3 医学上为研究传染病传播中病毒细胞 ( http: / / www.21cnjy.com )的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检验，病毒细胞的总数与天数的数据记录如下表.
天数 病毒细胞个数
1 1
2 2
3 4
4 8
5 16
6 32
已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候，小白鼠将会死亡．如注射某种药物，可杀死其体内该病毒细胞的98%.
(1)为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？
(2)第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命？(精确到天，已知lg 2＝0.301 0)
解答应用题的基本步骤：
(1)设：合理、恰当地设出变量；(2)写： ( http: / / www.21cnjy.com )根据题意，抽象概括数量关系，并能用数学语言表示，得到数学问题；(3)算：对所得数学问题进行分析、运算、求解；(4)答：将数学问题的解还原到生活中的实际问题，给出最终的答案.
课时作业
一、选择题
1．在我国大西北，某地区荒漠化土 ( http: / / www.21cnjy.com )地面积每年平均比上年增长10.4%，专家预测经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为( )
2．据报道，青海湖的湖水在 ( http: / / www.21cnjy.com )最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2008年的湖水量为m，从2008起，过x年后湖水量y与x的函数关系式为( )
A．y＝0.9 B．y＝(1－0.1)m
C．y＝0.9·m D．y＝(1－0.150x) m
3．某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次(由一个分裂成两个)，这种细菌由1个繁殖成4 096个需经过( )
A．12小时 B．4小时 C．3小时 D．2小时
4．今有一组实验数据如下：
t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12
V 1.5 4.04 7.5 12 18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数满足的规律，其中最接近的一个是( )
A．V＝log2t B．V＝logt
C．V＝ D．V＝2t－2
5．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩留的物质约是原来的.则经过多少年，剩留的物质是原来的( )
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
6．已知镭经过100年后剩留量为原来的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x、y的关系是__________．
7. 某池塘中原有一块浮草，浮草蔓延后 ( http: / / www.21cnjy.com )的面积y(m2)与时间t(月)之间的函数关系式是y＝at－1 (a>0且a≠1)，它的图象如图所示，给出以下命题：
①池塘中原有浮草的面积是0.5 m2；
②到第7个月浮草的面积一定能超过60 m2；
③浮草每月增加的面积都相等；
④若浮草面积达到4 m2,16 m2,6 ( http: / / www.21cnjy.com )4 m2所经过的时间分别为t1，t2，t3，则t1＋t28. 如图所示，开始时桶1中 ( http: / / www.21cnjy.com )有a升水，t分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y1＝ae－nt，那么桶2中水就是y2＝a－ae－nt.假设过5分钟时桶1和桶2的水相等，若桶1中的水只有时，需经过的时间是________分钟．
三、解答题
9．某企业计划发行企业债券，每张债券现值50 ( http: / / www.21cnjy.com )0元，按年利率6.5%的复利计息，问多少年后每债券一次偿还本利和1 000元？(参考lg 2＝0.301 0，lg 1.065＝0.027 4)
【探究驿站】
10．某商场销售一种进价为50元 ( http: / / www.21cnjy.com )的商品，据市场调查，当商品销售单价x在50≤x≤100范围时，每天售出数量P与(x－40)2成反比例，且当定价为50元时，P＝1 000.
(1)写出售出数量P与销售单价x的关系式；
(2)为使每天获得的利润最多，销售单价x应定为多少元？
§3.4 函数的应用(Ⅱ) 答案
自学导引
1．a(1＋b)x
2．(2)y＝a(1＋r)x
3．(1)原来的一半 (2)w＝a(1－r)t
对点讲练
例1 解 依题意，得·n≤，
即n≤.
则n(lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，
故n≥≈7.4，
考虑到n∈N，即至少要过滤8次才能达到市场要求．
变式迁移1 解 设大约经过n年，我国人口由2000年的13亿增加到18亿，
则13×(1＋1%)n＝18.∴1.01n＝，
即n＝log1.01＝＝
≈＝32.883 7≈33(年)
即从2000年开始，大约经过33年，我国人口总数可达18亿．
例2 解 (1)由题知，当燕子静止时，
它的速度v＝0，代入v＝5 log2
可得：0＝5log2，解得Q＝10.
即燕子静止时的耗氧量是10个单位．
(2)将耗氧量Q＝80代入v＝5 log2得：
v＝5log2＝5log28＝15 (m/s)．
即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，
它的飞行速度为15 m/s.
变式迁移2 解 由12 000＝2 000ln，
即6＝ln，
1＋＝e6，利用计算器算得≈402.
即当燃料质量约是火箭质量的402倍时，火箭的最大速度可达12 km/s.
例3 解 (1)当t∈[0,1]时，函数的解析式为y＝kt，
将M(1,4)代入得k＝4，∴y＝4t.
又当t∈(1，＋∞)时，
函数的解析式为y＝t－a，
将点(3,1)代入得a＝3.∴y＝t－3.
综上有y＝f(t)＝
(2)由f(t)≥0.25，解得≤t≤5.
所以服药一次治疗疾病的有效时间为
5－＝4个小时．
变式迁移3 解 (1)由题意知，病毒细胞个数关于天数t的函数为y＝2t－1.
则由2t－1≤108两边取常用对数得
(t－1)lg 2≤8，
得t≤27.6.
即第一次最迟应在第27天注射该种药物．
(2)由题意知，注射药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞个数为226×2%，再经过x天后小白鼠体内病毒细胞个数为226×2%×2x.
由题意，得226×2%×2x≤108 ( http: / / www.21cnjy.com )，两边取常用对数，得26lg 2＋lg 2－2＋xlg 2≤8，得x≤6.2，即再经过6天必须注射药物，即第二次应在第33天注射药物．
课时作业
1．D
2．C [设湖水量每年为上一年的q%，
则(q%)50＝0.9，所以q%＝0.9，
即x年后湖水量为y＝0.9·m.]
3．C [设共分裂了x次，则有2x＝4 096，
∴2x＝212，又∵每次为15分钟，
∴共15×12＝180分钟，即3个小时．]
4．C 5.A
6．y＝(0.957 6) 7.①②
8．15
解析 当t＝5时，y1＝y2，
即ae－5n＝a－ae－5n
∴e－5n＝.若ae－nt＝，
则e－nt＝，即e－nt＝(e－5n)3，
∴－15n＝－nt，t＝15.
9．解 设本金为P元，每期利率为r，本利和为y元，存期为x年，则复利函数式y＝P(1＋r)x.
设n年后每张债券一次偿还本利和1 000元，
由1 000＝500(1＋6.5%)n，
解得n＝lg 2/lg 1.065≈11.
故11年后每张债券应一次偿还本利和1 000元．
10．解 (1)设P＝，
将x＝50，P＝1 000代入，解得k＝100 000，
∴P＝(50≤x≤100)．
(2)设每天获得利润y元，
则y＝(x－50)·
＝100 000[－＋]
＝100 000[－10(－)2＋]，
∵50≤x≤100，
∴∈[，]，
当＝，
即x＝60(元)时，每天利润最大，为2 500元．3.2.3 指数函数与对数函数的关系
自主学习
学习目标
1．理解反函数的定义．
2．知道指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a>0，a≠1)．
3．通过描点法作出指数函数、对数函数的图象，掌握它们的性质．
自学导引
1．反函数
(1)互为反函数的概念
当一个函数是一一映射时，可以把这 ( http: / / www.21cnjy.com )个函数的因变量作为一个新的函数的____________，而把这个函数的自变量作为新的函数的____________．称这两个函数互为反函数．
(2)反函数的记法：函数y＝f(x)的反函数通常用____________表示．
2．指数函数与对数函数的关系
(1)指数函数y＝ax与对数函数y＝loga x____________.
(2)指数函数y＝ax与对数函数y＝loga x的图象关于________对称．
对点讲练
知识点一 求函数的反函数问题
例1 求下列函数的反函数．
(1)y＝x；
(2)y＝log2x，x∈(1,8)；
(3)y＝x2＋1，x∈(0，＋∞)．
规律方法 求函数y＝f(x)的反函数的步骤为：
(1)由y＝f(x)解出x＝f－1(y)；
(2)由函数y＝f(x)求y的范围；
(3)x、y互换得y＝f－1(x)，注明定义域，即函数y＝f(x)的值域．
变式迁移1 求下列函数的反函数．
(1)y＝log2x； (2)y＝()x；
(3)y＝5x＋1.
知识点二 互为反函数的图象间的关系
例2 设方程2x＋x－3＝0的根为a，方程log2x＋x－3＝0的根为b，求a＋b的值．
规律方法 根据指数函数与对数函数的图象的关系，利用数形结合、等价转化的思想可较为简便地解决有关方程的问题．
变式迁移2 本例中若将题干中的两个方程分别改为x＋lg x＝3和x＋10x＝3，结果怎样？
知识点三 指数函数与对数函数图象及性质的综合应用
例3 设a，b，c均为正数，且2a＝loga，()b＝logb，()c＝log2c，则( )
A．a规律方法 比较数的大小问题，方法 ( http: / / www.21cnjy.com )灵活，就本题而言，把方程的解看作两函数图象交点的横坐标，从而利用数形结合比较简单，若几个数在不同的范围内，亦可通过求这些数的范围来比较大小．
变式迁移3 三个数60.7,0.76，log0.76的大小关系为( )
A．0.76B．0.76<60.7C．log0.76<60.7<0.76
D．log0.76<0.76<60.7
学习本节内容要发现指数函 ( http: / / www.21cnjy.com )数与对数函数的对立统一关系，能正确比较指数函数和对数函数的性质，能以它们为例对反函数进行解释和直观理解，掌握互为反函数的两个函数图象关于y＝x对称．在解题中反函数的某个函数值，常转化为求原函数的x值，注意转化思想和数形结合、分类讨论思想的应用．
求反函数的一般步骤：
(1)将y＝f(x)看作方程，解出x＝f－1(y)；
(2)将x、y对称，得y＝f－1(x)；
(3)写出反函数的定义域(即原函数的值域).
课时作业
一、选择题
1．函数f(x)＝3x (0A．(0，＋∞) B．(1,9]
C．(0,1) D．[9，＋∞)
2．下列函数中，反函数是其自身的函数为( )
A．f(x)＝x2，x∈[0，＋∞)
B．f(x)＝x3，x∈(－∞，＋∞)
C．f(x)＝ex，x∈(－∞，＋∞)
D．f(x)＝，x∈(0，＋∞)
3．若函数y＝f(x)的反函数图象过点(1,5)，则函数y＝f(x)的图象必过点( )
A．(1,1) B．(1,5)
C．(5,1) D．(5,5)
4．已知f(x)＝ax(a>0 ( http: / / www.21cnjy.com )，且a≠1)，g(x)＝logax(a>0，且a≠1)，若f(3)g(3)<0，则f(x)与g(x)在同一平面直角坐标系内的图象可能是( )
5．设函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)满足f(27)＝3，则f－1(log92)的值是( )
A．log3 B. C. D．2
二、填空题
6．函数y1＝log3x与函数 ( http: / / www.21cnjy.com )y2＝3x，当x从1增加到m时，函数的增量分别是Δy1与Δy2，则Δy1______Δy2(填“>”，“＝”或“<”)
7．函数y＝3＋logx(x≥1)的反函数的定义域为________．
8．已知函数f(x)＝()x的图象与函数g(x)的图象关于直线y＝x对称，令h(x)＝g(1－|x|)，则关于h(x)有下列命题：
①h(x)的图象关于原点对称；
②h(x)为偶函数；
③h(x)的最小值为0.
其中正确命题的序号为________．(将你认为正确的命题的序号都填上)
三、解答题
9．已知y＝x＋a与函数y＝3－bx互为反函数，求a，b的值．
【探究驿站】
10．已知f(x)＝lg(ax－bx)(a>1>b>0)．
(1)求y＝f(x)的定义域；
(2)在函数图象上是否存在不同的两点，使过两点的直线平行于x轴．
3．2.3 指数函数与对数函数的关系 答案
自学导引
1．(1)自变量 因变量 (2)y＝f－1(x)
2．(1)互为反函数 (2)y＝x
对点讲练
例1 解 (1)由y＝x，
得x＝log y，且y>0，
∴f－1(x)＝logx，x∈(0，＋∞)．
(2)由y＝log2x，得x＝2y，又x∈(1,8)，
∴0(3)由y＝x2＋1，x>0，得x＝，
又x∈(0，＋∞)，∴y>1，
∴f－1(x)＝，x∈(1，＋∞)．
变式迁移1 解 (1)由y＝log2x，
得y∈R，x＝2y，
∴f－1(x)＝2x，x∈R.
(2)由y＝()x，得x＝logy且y>0.
∴f－1(x)＝logx(x>0)．
(3)由y＝5x＋1，得x＝且y∈R，
∴f－1(x)＝，x∈R.
例2 解 将
方程整理得
2x＝－x＋3，
log2x＝－x＋3.
如图可知，
a是指数函数y＝2x的图象与直线y＝－x＋3交点A的横坐标，
b是对数函数y＝log2x的图象与直线y＝－x＋3交点B的横坐标．
由于函数y＝2x与y＝log2x互为反函数，
所以它们的图象关于直线y＝x对称，
由题意可得出A、B两点也关于直线y＝x对称，
于是A、B两点的坐标为A(a，b)，B(b，a)．
而A、B都在直线y＝－x＋3上，
∴b＝－a＋3(A点坐标代入)，
或a＝－b＋3(B点坐标代入)，
故a＋b＝3.
变式迁移2 解 将两方程化为：
lg x＝3－x与10x＝3－x，
在同一坐标系中分别作出函数y＝lg x，y＝10x，
y＝3－x的图象，
结合例题解法易知a＋b＝3.
例3 A [方法一 由函数y＝2x，y＝()x，
y＝log2x，y＝logx的图象知：0方法二 ∵a>0，∴2a>1，∴loga>1，
∴0又∵b>0，∴0<()b<1，
∴0又∵()c>0，∴log2c>0，
∴c>1，∴0变式迁移3 D [log0.76<0,0<0.76<1，60.7>1，
∴选D.]
课时作业
1．B [f(x)的值域即为其反函数定义域．]
2．D
3．C [互为反函数图象关于y＝x对称，(1,5)点关于直线y＝x对称点为(5,1)，∴选C.]
4．C [∵f(3)＝a3>0，
由f(3)·g(3)<0，得g(3)<0，
∴05．C [由f(27)＝3，得a＝3，
∴f－1(x)＝3x，
∴f－1(log92)＝3log92＝3log3＝.
选C.]
6．<
7．(－∞，3]
解析 求函数y＝3＋logx(x≥1)的反函数的定义域，即求原函数的值域．
∵x≥1，∴logx≤0.∴3＋logx≤3.
8．②③
解析 根据题意，得g(x)＝logx，
∴h(x)＝g(1－|x|)
＝log(1－|x|)(1∴h(x)是偶函数，h(x)不关于原点对称．
∴①不正确；②正确．
∵h(x)＝log(1－|x|)≥log1＝0，
∴③正确．
9．解 ∵y＝x＋a的反函数为y＝2x－2a应与函数y＝3－bx为同一函数，
∴－2a＝3，且2＝－b，
∴a＝－，b＝－2.
10．解 (1)由ax－bx>0，得()x>1＝()0.
∵>1，∴x>0.
∴函数的定义域为(0，＋∞)．
(2)先证明f(x)是增函数．
对于任意x1>x2>0，
∵a>1>b>0，∴ax1>ax2，bx1∴ax1－bx1>ax2－bx2.
∴lg(ax1－bx1)>lg(ax2－bx2)．
∴f(x1)>f(x2)．
∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数．
假设y＝f(x)的图象上存在不同的 ( http: / / www.21cnjy.com )两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，使直线AB平行于x轴，则x1≠x2，y1＝y2，这与f(x)是增函数矛盾．
∴y＝f(x)的图象上不存在两点，使过这两点的直线平行于x轴．3.3 幂函数
自主学习
学习目标
1．掌握幂函数的概念．
2．熟悉α＝1,2,3，，－1时幂函数y＝xα的图象与性质．
3．能利用幂函数的性质来解决一些实际问题．
自学导引
1．一般地，幂函数的表达式为________；其特征是以幂的________为自变量，________为常数．
2．幂函数的图象及性质
在同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象如图．结合图象，填空．
(1)所有的幂函数图象都过点__________，在(0，＋∞)上都有定义．
(2)若α>0时，幂函数图象过点___ ( http: / / www.21cnjy.com )_____________，且在第一象限内________；当0<α<1时，图象上凸，当α>1时，图象________．
(3)若α<0时，幂函数图象过点________，并且在第一象限内单调________，在第一象限内，当x从＋∞趋向于原点时，函数在y轴右方无限地逼近于y轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限逼近x轴．
(4)当α为奇数时，幂函数图象关于________对称；当α为偶数时，幂函数图象关于________对称．
(5)幂函数在第________象限无图象．
对点讲练
知识点一 理解幂函数的概念
例1 函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．
规律方法 幂函数y＝xα (α ( http: / / www.21cnjy.com )∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数(也可以为0)．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．对本例来说，还要根据单调性验根，以免增根．
变式迁移1 已知y＝(m2＋2m－2)x＋2n－3是幂函数，求m，n的值．
知识点二 幂函数单调性的应用
例2 比较下列各组数的大小：
(1) 3－与3.1－； (2)－8－与－.
规律方法 比较大小的题，要综合考虑函数的性质，特别是单调性的应用，更善于运用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的参数．
变式迁移2 比较下列各组数的大小：
(1)－与－；
(2)4.1，(－1.9)与3.8－.
知识点三 幂函数性质的综合应用
例3 已知幂函数y＝x3m－9 ( http: / / www.21cnjy.com )(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随x的增大而减小，求满足(a＋1)－<(3－2a)－的a的范围．
规律方法 (1)解决与幂函数有关的综合题时，一定要考虑幂函数的定义．(2)幂函数y＝xα，由于α的值不同，单调性和奇偶性也就不同．
变式迁移3 已知幂函数y＝xm2－2m－3 (m∈Z)的图象与x轴、y轴都无公共点，且关于y轴对称，求m的值，且画出它的图象．
1．求幂函数的定义域时要看指数的正负和指数中的m是否为偶数；判断幂函数的奇偶性时要看指数中的m、n是奇数还是偶数．y＝xα，当α＝(m、n∈N*，m、n互质)时，有：
n m y＝x的奇偶性 定义域
奇数 偶数 非奇非偶函数 [0，＋∞)
偶数 奇数 偶函数 (－∞，＋∞)
奇数 奇数 奇函数 (－∞，＋∞)
2.幂函数y＝x的单调性，在(0，＋∞)上，>0时为增函数，<0时为减函数.
课时作业
一、选择题
1．下列命题：
①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)；
②幂函数的图象不可能在第四象限；
③n＝0时，y＝xn的图象是一条直线；
④幂函数y＝xn，当n>0时，是增函数；
⑤幂函数y＝xn，当n<0时，在第一象限内函数值随x值的增大而减小．
其中正确的是( )
A．①和④ B．④和⑤ C．②和③ D．②和⑤
2．下列函数中，不是幂函数的是( )
A．y＝2x B．y＝x－1 C．y＝ D．y＝x2
3．设α∈，则使f(x)＝xα为奇函数且在(0，＋∞)内单调递减的α值的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
4．当x∈(1，＋∞)时，下列函数图象恒在直线y＝x下方的偶函数是( )
A．y＝x B．y＝x－2 C．y＝x2 D．y＝x－1
5．如果幂函数y＝(m2－3m＋3)·xm2－m－2的图象不过原点，则m的取值是( )
A．－1≤m≤2 B．m＝1或m＝2
C．m＝2 D．m＝1
二、填空题
6．若幂函数y＝f(x)的图象经过点，则f(25)＝____________.
7．设f(x)是定义在R上的奇函数 ( http: / / www.21cnjy.com )，且当x≥0时，f(x)＝x2.若对任意的x∈[t，t＋2]，不等式f(x＋t)≥2f(x)恒成立，则实数t的取值范围是__________．
8. 如图所示是幂函数y＝xα在第一象限内的 ( http: / / www.21cnjy.com )图象，已知α取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的α依次为________________．
三、解答题
9．已知点(，2)在幂函数f(x)的图象上 ( http: / / www.21cnjy.com )，点在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)10．已知幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)在(0，＋∞)上是减函数，求其解析式，并讨论此函数的单调性和奇偶性．
§3.3 幂函数 答案
自学导引
1．y＝xα 底数 指数
2．(1)(1,1) (2)(0,0)，(1,1) 递增 下凸
(3)(1,1) 递减 (4)原点 y轴 (5)四
对点讲练
例1 解 根据幂函数定义得
m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1，
当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数；
当m＝－1时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故f(x)＝x3.
变式迁移1 解 由题意得，
解得，所以m＝－3，n＝.
例2 解 (1)函数y＝x－在(0，＋∞)上为减函数，
又3<3.1，所以3－>3.1－.
(2)－8－＝－，函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数，又>，则>，
从而－8－<－.
变式迁移2 解 (1)－＝－，
－＝－，
∵函数y＝x－在(0，＋∞)上为减函数，
又∵>，
∴－＝－<－
＝－.
(2)(4.1)>1＝1,0<3.8－<1－＝1，
(－1.9)<0，
所以(－1.9)<3.8－<(4.1).
例3 解 ∵函数在(0，＋∞)上递减，
∴3m－9<0，解得m<3，又m∈N*，
∴m＝1,2.
又函数图象关于y轴对称，
∴3m－9为偶数，故m＝1，
∴有(a＋1)－<(3－2a)－.
又∵y＝x－在(－∞，0)，(0，＋∞)上均递减，
∴a＋1>3－2a>0或0>a＋1>3－2a
或a＋1<0<3－2a，解得变式迁移3 解 由已知，得m2－2m－3≤0，
∴－1≤m≤3.
又∵m∈Z，∴m＝－1,0,1,2,3，
当m＝0或m＝2时，y＝x－3为奇函数，其图象不关于y轴对称，不符合题意．
∴m＝－1,1,3.
当m＝－1或m＝3时，有y＝x0，其图象如图①所示．
当m＝1时，y＝x－4，其图象如图②所示．
课时作业
1．D 2.A 3.A 4.B
5．B [由已知得m＝1或m＝2.]
6.
解析 设f(x)＝xα，则9α＝，α＝－.
∴f(25)＝25－＝.
7．[，＋∞)
解析 f(x＋t)≥2f(x)，即(x＋t)2≥2x2.
即x2－2tx－t2≤0在x∈[t，t＋2]上恒成立，
令g(x)＝x2－2tx－t2，
又对称轴为x＝t，只须g(t＋2)≤0，∴t≥.
8．2，，－，－2
9．解 设f(x)＝xα，由题意得：2＝()2 α＝2，
∴f(x)＝x2.
同理可求：g(x)＝x－2，在同一坐标系内作出y＝f(x)与y＝g(x)的图象，如图所示．
由图象可知：
(1)当x>1或x<－1时，
f(x)>g(x)．
(2)当x＝±1时，f(x)＝g(x)．
(3)当－110．解 由幂函数的性质，知m2－2m－3<0，
∴(m＋1)(m－3)<0.
∴－1又∵m∈Z，∴m＝0,1,2.
当m＝0或2时，y＝x－3，定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
∵(－x)－3＝－x－3，
∴y＝x－3是奇函数．
又∵－3<0，
∴y＝x－3在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数．
当m＝1时，y＝x－4，
定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
∵(－x)－4＝＝＝x－4，
∴函数y＝x－4是偶函数．
∵－4<0，∴y＝x－4在(0，＋∞)上是减函数．
又∵y＝x－4是偶函数，
∴y＝x－4在(－∞，0)上是增函数．
综上，当m＝0或2时，y＝x－3，此函数 ( http: / / www.21cnjy.com )是奇函数，且在 (－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数；当m＝1时，y＝x－4，此函数为偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数．3.2.1 对数及其运算(二)
自主学习
学习目标
1．掌握对数的运算性质及其推导．
2．能运用对数运算性质进行化简、求值和证明．
自学导引
1．对数的运算性质：如果a>0，a≠1，M>0，N>0，那么，
(1)loga(MN)＝________________；
(2)loga＝________；
(3)logaMn＝________(n∈R)．
2．对数换底公式：________________.
3．自然对数
(1)以________________为底的对数叫做自然对数，logeN通常记作________．
(2)自然对数与常用对数的关系：ln N≈____________.
对点讲练
知识点一 正确理解对数运算性质
例1 若a>0，a≠1，x>0，y>0，x>y，下列式子中正确的个数有( )
①logax＋logay＝loga (x＋y)；
②logax－logay＝loga(x－y)；
③loga＝logax÷logay；
④loga(xy)＝logax·logay.
A．0 B．1 C．2 D．3
规律方法 正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件．使用运算性质时，应牢记公式的形式及公式成立的条件．
变式迁移1 (1)若a>0且a≠1，x>0，n∈N*，则下列各式正确的是( )
A．logax＝－loga B．(logax)n＝nlogax
C．(logax)n＝logaxn D．logax＝loga
(2)对于a>0且a≠1，下列说法中正确的是( )
①若M＝N，则logaM＝logaN；
②若logaM＝logaN，则M＝N；
③若logaM2＝logaN2，则M＝N；
④若M＝N，则logaM2＝logaN2.
A．①③ B．②④ C．② D．①②③④
知识点二 对数运算性质的应用
例2 计算：
(1)log535－2log5＋log57－log51.8；
(2)2(lg)2＋lg·lg 5＋.
规律方法 (1)对于同底的对数的化简常用方法 ( http: / / www.21cnjy.com )是：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．(2)对于常用对数的化简要创设情境，充分利用“lg 5＋lg 2＝1”来解题．(3)对于含有多重对数符号的对数的化简，应从内向外逐层化简求值．
变式迁移2 求下列各式的值：
(1)log535＋2log－log5－log514；
(2)(lg 5)2＋lg 2·lg 50.
知识点三 换底公式的应用
例3 设3x＝4y＝36，求＋的值．
规律方法 换底公式的本质是化同底，这是解决对数问题的基本方法．解题过程中换什么样的底应结合题目条件，并非一定用常用对数、自然对数．
变式迁移3 (1)设log34·log48·log8m＝log416，求m；
(2)已知log142＝a，用a表示log7.
1．对于同底的对数的化简要用的 ( http: / / www.21cnjy.com )方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成两对数的和(差)．
2．对于常用对数的化简要创设情境充分利用“lg 5＋lg 2＝1”来解题．
3．对于多重对数符号对数的化简，应从内向外逐层化简求值．
4．要充分运用“1”的对数等于0，底的对数等于“1”等对数的运算性质．
5．两个常用的推论：
(1)logab·logba＝1；
(2)logambn＝logab(a、b>0且均不为1).
课时作业
一、选择题
1．lg 8＋3lg 5的值为( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
2．已知lg 2＝a，lg 3＝b，则log36等于( )
A. B. C. D.
3．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则2的值等于( )
A．2 B. C．4 D.
4．若2.5x＝1 000,0.25y＝1 000，则－等于( )
A. B．3 C．－ D．－3
5．计算2log525＋3log264－8log71的值为( )
A．14 B．8 C．22 D．27
二、填空题
6．设lg 2＝a，lg 3＝b，那么lg＝__________.
7．已知log63＝0.613 1，log6x＝0.386 9，则x＝__________.
三、解答题
8．求下列各式的值：
(1)lg－lg＋lg；
(2)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2.
9．已知log189＝a,18b＝5，试用a，b表示log365.
3．2.1 对数及其运算(二)
答案
自学导引
1．(1)logaM＋logaN (2)logaM－logaN
(3)nlogaM
2．logab＝
3．(1)无理数e＝2.718 28… ln N
(2)2.302 6lg N
对点讲练
例1 A [对数的运算实质是把积、 ( http: / / www.21cnjy.com )商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算．在运算中要注意不能把对数的符号当作表示数的字母参与运算，如logax≠loga·x，logax是不可分开的一个整体．四个选项都把对数符号当作字母参与运算，因而都是错误的．]
变式迁移1 (1)A
(2)C [在①中，当M＝N≤0时，logaM与logaN均无意义，因此logaM＝logaN不成立．
在②中，当logaM＝logaN时，必有M>0，N>0，且M＝N，因此M＝N成立．
在③中，当logaM2＝lo ( http: / / www.21cnjy.com )gaN2时，有M≠0，N≠0，且M2＝N2，即|M|＝|N|，但未必有M＝N.例如，M＝2，N＝－2时，也有logaM2＝logaN2，但M≠N.
在④中，若M＝N＝0，则logaM2与logaN2均无意义，因此logaM2＝logaN2不成立．
所以，只有②成立．]
例2 解 (1)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5
＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55
＝2log55＝2.
(2)原式＝lg(2lg＋lg 5)＋
＝lg(lg 2＋lg 5)＋1－lg
＝lg＋1－lg＝1.
变式迁移2 解 (1)原式
＝log5(5×7)－2log22＋log5(52×2)－log5(2×7)
＝1＋log57－1＋2＋log52－log52－log57＝2.
(2)原式＝(lg 5)2＋lg 2·(lg 2＋2lg 5)
＝(lg 5)2＋2lg 5·lg 2＋(lg 2)2＝(lg 5＋lg 2)2＝1.
例3 解 由已知分别求出x和y.
∵3x＝36,4y＝36，
∴x＝log336，y＝log436，
由换底公式得：
x＝＝，y＝＝，
∴＝log363，＝log364，
∴＋＝2log363＋log364
＝log36(32×4)＝log3636＝1.
变式迁移3 解 (1)利用换底公式，得··＝2，
∴lg m＝2lg 3，于是m＝9.
(2)由对数换底公式，得log7＝
＝＝2log27＝2(log214－log22)
＝2(－1)＝.
课时作业
1．D [lg 8＋3lg 5＝lg 8＋lg 53＝lg 1 000＝3.]
2．B [log36＝＝＝.]
3．A [由根与系数的关系，
得lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝，
∴2＝(lg a－lg b)2
＝(lg a＋lg b)2－4lg a·lg b
＝22－4×＝2.]
4．A [由指数式转化为对数式：
x＝log2.51 000，y＝log0.251 000，
则－＝log1 0002.5－log1 0000.25＝log1 00010
＝.]
5．C
6.
解析 lg＝lg 1.8
＝lg＝lg
＝(lg 2＋lg 9－1)＝(a＋2b－1)．
7．2
解析 由log63＋log6x＝0.613 1＋0.386 9＝1.
得log6(3x)＝1.故3x＝6，x＝2.
8．解 (1)方法一 原式＝(5 lg 2－2lg 7)－·lg 2＋(2lg 7＋lg 5)
＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5
＝lg 2＋lg 5
＝(lg 2＋lg 5)
＝lg 10＝.
方法二 原式＝lg－lg 4＋lg 7
＝lg
＝lg(·)＝lg＝.
(2)方法一 原式＝(lg 5＋lg 2)(lg 5－lg 2)＋2lg 2
＝lg 10·lg＋lg 4＝lg＝lg 10＝1.
方法二 原式＝(lg 10－lg 2)2＋2lg 2－lg22
＝1－2lg 2＋lg22＋2lg 2－lg22＝1.
9．解 ∵18b＝5，∴log185＝b, 又∵log189＝a，
∴log365＝＝
＝＝
＝＝.第三章 章末检测
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．函数y＝ln(x－1)的定义域是( )
A．(1,2) B．[1，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(1,2)∪(2，＋∞)
2．若xlog23＝1，则3x＋9x的值为( )
A．3 B. C．6 D.
3．已知a>0且a≠1，下列四组函数中表示相等函数的是( )
A．y＝logax与y＝(logxa)－1
B．y＝alogax与y＝x
C．y＝2x与y＝logaa2x
D．y＝logax2与y＝2logax
4．若函数y＝ax＋m－1 (a>0，a≠1)的图象在第一、三、四象限内，则( )
A．a>1 B．a>1，且m<0
C．00 D．05．已知函数f(log4x)＝x，则f等于( )
A. B.
C．1 D．2
6．已知函数y＝loga(3a－1)的值恒为正数，则a的取值范围是( )
A．a> B.C．a>1 D.1
7．已知函数f(x)＝则f[f()]的值是( )
A．9 B. C．－9 D．－
8．已知f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a的取值范围是( )
A．(0,1) B.
C. D.
9．已知0A．x>y>z B．z>y>x
C．y>x>z D．z>x>y
10．关于x的方程ax＝logx(a>0，且a≠1)( )
A．无解
B．必有唯一解
C．仅当a>1时有唯一解
D．仅当011．函数y＝lg(－1)的图象关于( )
A．x轴对称 B．y轴对称
C．原点对称 D．y＝x对称
12．设函数f(x)＝，若f(x0)>1，则x0的取值范围是( )
A．(－1,1)
B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．函数y＝x－的定义域是________．
14．已知log3＝2，则x＝________.
15．已知函数f(x)＝a－，若f(x)是奇函数，则a＝________.
16．给出函数f(x)＝
则f(log23)＝________.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)计算：
(1)－＋(0.002)－－10(－2)－1＋(－)0；
(2)2lg 5＋lg 8＋lg 5·lg 20＋lg22.
18．(12分)不等式2x＋3－2m>0在x∈[0，＋∞)时恒成立，求实数m的取值范围．
19．(12分)大西洋鲑鱼每年都要逆流而上 ( http: / / www.21cnjy.com )，游回产地产卵．经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数y＝log3，单位是m/s，其中x表示鱼的耗氧量的单位数．
(1)当一条鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是多少？
(2)某条鱼想把游速提高1 m/s，那么它的耗氧量的单位数将如何变化？
20．(12分)已知函数f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝loga(1－x)(a>0，且a≠1)，令F(x)＝f(x)－g(x)．
(1)求函数y＝F(x)的定义域；
(2)判断函数y＝F(x)的奇偶性．
21．(12分)已知函数f(x)＝3x，且f(a)＝2，g(x)＝3ax－4x.
(1)求g(x)的解析式；
(2)当x∈[－2,1]时，求g(x)的值域．
22．(12分)设f(x)＝log为奇函数，a为常数．
(1)求a的值；
(2)证明f(x)在(1，＋∞)内单调递增；
(3)若对于[3,4]上的每一个x的值，不等式f(x)>()x＋m恒成立，求实数m的取值范围．
第三章 章末检测 答案
1．C
2．C [xlog23＝1 log23x＝1，
∴3x＝2,9x＝(3x)2＝22＝4，
∴3x＋9x＝6.]
3．C [对A，解析式不同，定义域不同；对B，定义域不同；对D，定义域不同；对C，是相等函数．]
4．B [由函数y＝ax＋m－1 (a>0，a≠1)的图象在第一、三象限知a>1.又过第四象限内，
∴a0＋m－1<0，则有m<0.]
5．D [令log4x＝，则x＝4＝2.]
6．D [由y>0得：或，
解得a>1或7．B
8．C [当x＝1时，logax＝0，若f(x)为R上的减函数，
则(3a－1)x＋4a>0在x<1时恒成立．
令g(x)＝(3a－1)x＋4a，则g(x)>0在x<1上恒成立，故3a－1<0且g(1)≥0，
即 ≤a<，故选C.]
9．C [x＝loga＋loga＝loga，
y＝loga5＝loga，z＝loga＝loga，
∵0∴y＝logax在定义域上是减函数．
∴y>x>z.]
10．B [在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝ax，y＝logx的图象．]
11．C [f(x)＝lg(－1)＝lg，
f(－x)＝lg＝－f(x)，
所以y＝lg(－1)关于原点对称，故选C.]
12．D [当x≤0时，由2－x－1>1得x<－1；
当x>0时，由x>1得x>1.]
13．(0，＋∞)
14．81
解析 log3＝2 ＝32 x＝81.
15.
解析 方法一 函数f(x)＝a－的定义域为R，且为奇函数，
∴f(0)＝0，即a－＝0，∴a＝.
方法二 f(－x)＝a－＝a－，
∵f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)，
∴a－＝－a＋.
∴2a＝＝1，∴a＝.
16.
解析 ∵log23<4，
∴f(log23)＝f(log23＋1)＝f(log23＋3)
＝f(log224)，
∵log224>4，∴f(log224)＝log224＝.
17．解 (1)原式＝(－1)－－＋－－＋1
＝－＋500－10(＋2)＋1
＝＋10－10－20＋1＝－.
(2)原式＝2lg 5＋lg 23＋lg 5·lg(4×5)＋lg22
＝2lg 5＋2lg 2＋2lg 5·lg 2＋lg25＋lg22
＝2(lg 5＋lg 2)＋2lg 5·lg 2＋lg25＋lg22
＝2＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋1＝3.
18．解 原不等式可变为2m－3<2x，此不等式恒成立，只要2m－3小于2x的最小值．
当x∈[0，＋∞)时，由y＝2x的单调性知2x的最小值是20＝1，
∴2m－3<1，解得m<2.
故实数m的取值范围为(－∞，2)．
19．解 (1)当x＝900时，
y＝log3＝log39＝1(m/s)，
所以它的游速是1 m/s.
(2)由y2－y1＝1，即
log3－log3＝log3＝1.
得＝9，
所以耗氧量的单位数将增大为原来的9倍．
20．解 (1)由，
解得－1故函数F(x)的定义域是(－1,1)．
(2)因为函数F(x)的定义域关于原点对称，且
F(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)
＝loga＝－loga
＝－[loga(x＋1)－loga(1－x)]
＝－F(x)，
所以F(x)是奇函数．
21．解 (1)由f(a)＝2，得3a＝2，a＝log32，
∴g(x)＝(3a)x－4x＝(3log32)x－4x
＝2x－4x＝－(2x)2＋2x.
(2)设2x＝t，
∵x∈[－2,1]，∴≤t≤2.
g(t)＝－t2＋t＝－(t－)2＋，
由g(t)在t∈[，2]上的图象可得，
当t＝，即x＝－1时，g(x)有最大值；
当t＝2，即x＝1时，g(x)有最小值－2.
故g(x)的值域是[－2，]．
22．(1)解 ∵f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴log＝－log
＝>0
1－a2x2＝1－x2 a＝±1.
检验a＝1(舍)，
∴a＝－1.
(2)证明 任取x1>x2>1，
∴x1－1>x2－1>0，
∴0<<
0<1＋<1＋
0<<
log>log，
即f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在(1，＋∞)内单调递增．
(3)解 f(x)－()x>m恒成立．
令g(x)＝f(x)－()x，只需g(x)min>m，
用定义可以证明g(x)在[3,4]上是增函数，
∴g(x)min＝g(3)＝－，∴m<－时原式恒成立．§3.4 函数的应用(Ⅱ)
【入门向导】 想一想？
杰米是一个百万富翁，一天，他碰到了一件奇怪 ( http: / / www.21cnjy.com )的事．一个叫韦伯的人对他说，我想和你订个合同，在整整的一个月(30天)内，我每天给你10万元，而你第一天只需给我1元钱，第二天给我2元钱，每天给我的钱是前一天的两倍．杰米非常高兴，他同意订这样的合同．
同学们，按此合同，谁最终会获利？(提示公式：20＋21＋22＋…＋2n－1＝)
幂函数、指数函数、对数函数三种函数模型的增长情况有什么区别？
一般地，对于指数函数y＝ax(a>1)和幂 ( http: / / www.21cnjy.com )函数y＝xn(n>0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有ax>xn.
同样地，对于对数函数y＝logax(a> ( http: / / www.21cnjy.com )1)和幂函数y＝xn(n>0)，在区间(0，＋∞)上，随着x的增长，logax增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样，尽管在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但是由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有logax综上所述，在区间(0，＋∞)上 ( http: / / www.21cnjy.com )，尽管函数y＝ax(a>1)、y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“级别”上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n>0)的增长速度，而y＝logax(a>1)的增长速度则会越来越慢，因此，总会存在一个x0，当x>x0时，就会有logax常见的数学模型有哪些？
利用具体函数解决综合问题是我们需要 ( http: / / www.21cnjy.com )关注的，具体函数的运用在生活中有很多体现，在学习完函数这部分内容以后，重点运用一次函数、二次函数、分段函数、指数函数、对数函数和幂函数来解决问题．下面是几种常见的数学模型：
1．一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k、b为常数，k≠0)；
2．反比例函数模型：f(x)＝＋b(k、b为常数，k≠0)；
3．二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a、b、c为常数，a≠0)；
注意 二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的模型，在高考的应用题考查中最为常见．
4．指数函数模型：f(x)＝abx＋c(a、b、c为常数，a≠0，b>0，b≠1)；
5．对数函数模型：f(x)＝mlogax＋n(m、n、a为常数，a>0，a≠1)；
说明 随着新课标的实施，指数、对数函数模型将会起到越来越重要的作用，在高考的舞台上将会扮演愈来愈重要的角色．
6．幂函数模型：f(x)＝axn＋b(a、b、n为常数，a≠0，n≠1)；
7．分段函数模型：这个模型实则是以上两种或多种模型的综合，因此应用也十分广泛．
函数应用举例
例1 某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：
(1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；
(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；
(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精确到1年)．
(1.01210＝1.127,1.01215＝1.196,1.01216＝1.210)
解 (1)1年后该城市人口总数为
y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)，
2年后该城市人口总数为
y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%
＝100×(1＋1.2%)2，
3年后该城市人口总数为
y＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%
＝100×(1＋1.2%)2×(1＋1.2%)＝100×(1＋1.2%)．
…
x年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)x(x∈N*)．
(2)10年后人口总数为100×(1＋1.2%)10≈112.7(万)．
(3)设x年后该城市人口将达到120万人，
即100×(1＋1.2%)x＝120，
x＝log1.0121.20≈16(年)．
因此，大约16年以后该城市人口将达到120万人．
例2 有一个受到污染的湖泊，其湖水的体 ( http: / / www.21cnjy.com )积为V立方米，每天流出湖泊的水量等于流入湖泊的水量，都为r立方米．现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能很好地混合．用g(t)表示某一时刻t每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称其为在时刻t时的湖水污染质量分数．已知目前污染源以每天p克的污染物质污染湖水，湖水污染质量分数满足关系式g(t)＝＋[g(0)－]e－t(p≥0)，其中g(0)是湖水污染的初始质量分数．
(1)当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数；
(2)求证：当g(0)<时，湖泊的污染程度将越来越严重；
(3)如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开始时(即污染停时)污染水平的5%
(1)解 设0≤t1∵g(t)为常数，∴g(t1)＝g(t2)，
即[g(0)－]·[e－t1－e－t2]＝0，
∴g(0)＝.
(2)证明 设0≤t1＝[g(0)－]·[e－t1－e－t2]
＝[g(0)－]·，
∵g(0)－<0，t1∴g(t1)－g(t2)<0，∴g(t1)在湖泊污染质量分数随时间变化而增加，污染越来越严重．
(3)解 污染源停止，即p＝0，此时g(t)＝g(0)·e－t.
设要经过t天能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%.
即g(t)＝5%·g(0)，即有5%·g(0)＝g(0)·e－t.
由实际意义知g(0)≠0，∴＝e－t.
∴t＝ln 20(天)，即需要ln 20天时间．
点评 高考数学试题中联系生活实际和生产实际的 ( http: / / www.21cnjy.com )应用问题，其创意新颖，设问角度独特，解题方法灵活，一般文字叙述长，数量关系分散且难以把握．解决此类问题关键要认真审题，确切理解题意，进行科学的抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题，然后利用函数、方程、不等式等有关知识解答．
函数模型建立过程中的常见错误
解答函数应用问题时，要分四步进行：
第一步：阅读、理解；
第二步：建立数学模型，把应用问题转化为数学问题；
第三步：解答数学模型，求得结果；
第四步：把数学结果转译成具体问题的结论，做出解答．
而这四步中，最为关键的是把第二步处 ( http: / / www.21cnjy.com )理好．只要把数学模型建立妥当，所有的问题即可在此基础上迎刃而解．但是，很多同学在建模过程中忽视了一些细节，导致“满盘皆输”．
一、忽视实际意义出错
例3 生产一定数量的商品的全部 ( http: / / www.21cnjy.com )费用称为生产成本，它可以表示为商品数量的函数．现知一企业生产某种商品的数量为x(件)时的成本函数为y＝10＋2x＋2x2(万元)，若售出一件商品的价格是20万元，那么该企业所能获取的最大利润是多少？
错解 设该企业所能获取的最大利润为z(万元)，则
z＝20x－(10＋2x＋2x2)，
即z＝－2x2＋18x－10＝－2(x－4.5)2＋30.5，
故z的最大值为30.5，即该企业所能获取的最大利润为30.5万元．
剖析 同学们，你认为以上解答 ( http: / / www.21cnjy.com )出现了什么问题？应该怎样进行修正呢？题目中的条件已经暗示了x为自然数，而该错解中却是在x＝4.5时取到的最大值30.5，这种情况在实际中是无法操作的．
正解 设该企业所能获取的最大利润z(万元)，
则z＝20x－(10＋2x＋2x2)(x∈N)，
即z＝－2x2＋18x－10＝－2(x－4.5)2＋30.5，
故当x＝4或5时，z取最大值30，
即该企业生产4件或5件商品时所取得的利润最大，为30万元．
二、因读题不精而出错
例4 已知甲、乙两物体在同一直线上向同一方向作匀速直线运动，其位移y(km)和运动时间x(h)(0≤x≤5)的关系如图所示，给出以下说法：
①甲、乙运动的速度相同，都是5 km/h；
②甲、乙运动的时间相同，开始移动后相等时间内甲的位移比乙大；
③甲、乙运动的时间相同，乙的速度是4 km/h；
④当甲、乙运动了3小时后，甲的位移比乙大3 km，但乙在甲前方2 km处．
其中正确的说法是( )
A．③ B．①②③
C．①③④ D．②③④
错解 ①和③一定是一对一错，经分析，③是对的 ( http: / / www.21cnjy.com )；对于②，因为乙的图象在甲的上方，所以应是甲的位移比乙小，故②错误；对于④，当甲、乙运动了3小时，甲的位移为3×5＝15(km)，乙的位移为5＋3×4＝17(km)，故④错误．故选A.
剖析 错因在于未读懂图象，从而作出错误判断．对于②，不能依据图象的位置判断位移大小，要经计算判断；对于④，乙的位移计算错误．
正解 ①和③一定是一对一错，经分析③是对的 ( http: / / www.21cnjy.com )；对于②，甲、乙运动的时间显然都是5小时，因为甲的速度为5 km/h，乙的速度为4 km/h，所以开始移动后相等时间内甲的位移比乙大，故②正确；对于④，当甲、乙运动了3小时，甲的位移为3×5＝15(km)，乙的位移为3×4＝12(km)，又因为乙是从甲前方5 km处开始运动的，所以甲的位移比乙大3 km，但乙在甲前方2 km处，所以④正确．
故选D.
点评 对于图象题，同学们一定要认真观察，仔细分析，切实理解其真实含义和实际背景．
三、因主观性太强而致错
例5 如图所示，圆弧型声波DF ( http: / / www.21cnjy.com )E从坐标原点O向外传播．若D是DFE与x轴的交点，设OD＝x(0≤x≤a)，圆弧型声波DFE在传播过程中扫过平行四边形OABC的面积为y(图中阴影部分)，则函数y＝f(x)的图象大致是( )
错解 观察图1可知，声波扫过的面积先增大后减小，故正确答案为B.
剖析 本题的错误很明显，y指的是声波扫过的总面积，不是发展趋势，所以扫过的面积始终是增大的，上述判断是因主观性太强而致错．
正解 从题目所给的背景图形中不难发现：在声波 ( http: / / www.21cnjy.com )未传到C点之前，扫过图形的面积不断增大，而且增长得越来越快．当到达C点之后且离开A点之前，因为OA∥BC，所以此时扫过图形的面积呈匀速增长．当离开A点之后，扫过图形的面积会增长得越来越慢，所以函数图象刚开始应是下凹的，然后是一条上升的线段，最后是上凸的．故选A.
点评 函数图象的凸凹性是函数的一个重要性质， ( http: / / www.21cnjy.com )其一般规律是：上凸函数图象若减，则从左到右减得越来越快；若增，则从左到右增得越来越慢；下凹函数图象正好相反．
错误总是垂青于那些基础知识不扎实、思维不严谨、解题不认真的人，读完本文，希望同学们能知道怎样远离错误.
求解实际问题四策略
实际问题一般文字叙述较长、 ( http: / / www.21cnjy.com )背景新颖、涉及知识面广．很多同学在应用题面前束手无策，有的读不懂题意、有的不会分析．这里向同学们介绍求解实际问题的四种思路，望对同学们的学习有所帮助．
一、抓常规，乱中找序
实际问题往往与生活联系密切，无论多么复杂的问题，总存在着生活中的常规现象，抓住它，就在纷乱的条件中找到了“头序”，问题就能迎刃而解．
例1 某商店将每个进价为10元的商品，按每个 ( http: / / www.21cnjy.com )18元销售时，每天可卖出60个．经调查，若将这种商品的售价(在每个18元的基础上)每提高1元，则日销售量就减少5个，若将这种商品的售价(在每个18元的基础上)每降低1元，则日销售量就增加10个．为获得每日最大利润，此商品售价应定为每个多少元？
分析 “总利润＝销售量×单个利润”这是生活中的常规，从这里入手我们先设每个售价为x元，每日利润为y元．
解 若x≥18(即提价)，销售量为 ( http: / / www.21cnjy.com )60－5(x－18)，单个利润为x－10，那么每日利润为y＝[60－5(x－18)](x－10)＝－5(x－20)2＋500，显然当售价定为每个20元时，利润最大，其最大利润为500元．
若x<18(即降价)，销售量为60＋1 ( http: / / www.21cnjy.com )0(18－x)，单个利润为x－10，那么每日利润为y＝[60＋10(18－x)](x－10)＝－10(x－17)2＋490，显然当售价定为每个17元时，利润最大，其最大利润为490元．
比较知，商品售价定为每个20元，每日利润最大．
二、抓重点，以纲带目
实际问题的一大特点是：信息量大、文字叙述较长，有时还会出现很多数据，面对这些信息要善于找主要矛盾，抓重点，以纲带目．
例2 某市用水收费的方法是：水费＝基本费＋超 ( http: / / www.21cnjy.com )额费＋损耗费．若每月用水量不超过最高限量a立方米，只付基本费8元和每户每月的定额损耗费c元；若用水量超过a立方米，除了付同上的基本费和损耗费外，超过部分每立方米付b元的超额费，已知每户每月的定额损耗费不超过5元．
该市一家庭今年第一季度的用水量和支付的费用如下表所示.
月份 用水量(立方米) 水费(元)
一 9 9
二 15 19
三 22 33
根据上表中的数据求a、b、c的值．
分析 抓住“超过与不超过最高限量的付费方式不同”这一重点，想到用分段函数表示用水量与水费之间的函数关系．
解 设用水量为x立方米，支付费用为y元，则
y＝
由0因此，第二、三两月的用水量超过最高限量．
由得b＝2且2a＝c＋19.
再分析限量a，若a<9，由8＋2(9－a)＋c＝9，得
2a＝c＋17与2a＝c＋19矛盾，因此a≥9.
此时，由8＋c＝9，得c＝1，所以a＝10.
故a＝10，b＝2，c＝1.
三、抓概念，深入理解
实际问题一般都会伴有新概念、新术语的产 ( http: / / www.21cnjy.com )生，面对这些新概念、新术语，我们必须抓住它们，通过对它们的全面分析，使我们能准确地把握题意，从而进行正确求解．
例3 某工厂生产一种机器的固定 ( http: / / www.21cnjy.com )成本(即固定投入)为0.5万元，每生产100台，需要加可变成本(即另增加投入)0.25万元．市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为R(x)＝5x－(万元)(0≤x≤5)，其中x是产品售出的数量(单位：百台)．则当年产量是多少时，工厂所得利润最大？
解 当0≤x≤5时，L(x)＝4.75x－－0.5，
当x＝4.75时，L(x)max＝10.78125万元．
当x>5时，L(x)＝12－0.25x为减函数，
此时L(x)<10.75(万元)．
∴生产475台时利润最大.
函数应用问题中的创新考点分析
新课标加大了对应用问题的考查，近几年各类考试中函数的应用问题也正悄然变化，对情境文字与图形的结合的考查增多，下面举例说明．
1．(广州模拟)某民营企业生 ( http: / / www.21cnjy.com )产A、B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润与投资单位：万元)
图1 图2
(1)分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式，并写出它们的函数关系式；
(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投 ( http: / / www.21cnjy.com )入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元(精确到1万元)
解 (1)设A产品的利润y1(万元)与投资x(万元)之间的关系式为y1＝ax＋b (a≠0)，
由x＝1，y1＝0.25和x＝1.8，y1＝0.45，得
a＋b＝0.25,1.8a＋b＝0.45，
∴a＝0.25，b＝0，∴y1＝0.25x.
设B产品的利润y2(万元)与投资x(万元)之间的关系式为y2＝k (k≠0)，
由x＝4，y2＝2.5，得k＝1.25.
∴y2＝1.25 .
所以A、B两种产品利润与投资的函数关系式分别为
y1＝0.25x，y2＝1.25 .
(2)设将10万元资金投资B产品x万元，A产品(10－x)万元，则利润y＝0.25(10－x)＋1.25 .
令t＝，∴x＝t2.
∴y＝－0.25t2＋1.25t＋2.5
＝－0.25(t2－5t)＋2.5＝－0.25(t－2.5)2＋4.062 5.
又0≤x≤10，∴t∈[0，]．
∴当t＝2.5时，即x＝6.25时，
y取得最大值ymax＝4.062 5,10－6.25＝3.75.
所以，当投资A产品约4万元，B产品约6万元时，
所获利润最大，最大利润约为4万元．
点评 图象信息题是由图象给出数据信息，探 ( http: / / www.21cnjy.com )求多个变量之间的关系，再综合应用有关函数知识加以分析，以达到解决实际问题的目的．这类问题考查收集、整理与加工信息的能力，解决这类问题的一般步骤是：(1)观察图象，捕捉有效信息；(2)对已获信息进行加工，分清变量之间的关系；(3)选择恰当的数学工具，通过建模来加以解决；(4)要注意检验，去伪存真，尤其是实际问题，答案要符合实际．
2．(上海高考)某人定制了一批 ( http: / / www.21cnjy.com )地砖．每块地砖(如图1)是边长为0.4 m的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格之比为3∶2∶1.若将此种地砖按如图2所示的形式辅设，能使中间的深色阴影部分成四边形EFGH.
(1)求证：四边形EFGH是正方形．
(2)E，F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？
(1)证明 图2是由四块图1所示的地砖绕点C按顺时针连续三次旋转90°后得到的，△CFE为等腰直角三角形，所以四边形EFGH是正方形．
(2)解 设CE＝x，则BE＝0.4－x， ( http: / / www.21cnjy.com )每块地砖的费用为W，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD三种材料每平方米的价格依次为(单位：元)3a,2a，a，
W＝x2·3a＋×0.4×(0.4－x)×2a＋[0.16－x2－×0.4×(0.4－x)]a＝a(x2－0.2x＋0.24)
＝a[(x－0.1)2＋0.23]，0由a>0，当x＝0.1时，W有最小值，即总费用最省．
所以当CE＝CF＝0.1 m时，总费用最省．
点评 本题考查平面几何的知识以及二次函数在有限区间上的值域问题，考查对实际问题的理解以及解决应用问题的能力．§3.2 对数与对数函数
3.2.1 对数及其运算(一)
自主学习
学习目标
1．理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化．
2．了解常用对数的意义．
3．理解对数恒等式并能用于有关对数的计算．
自学导引
1．如果a(a>0且a≠1)的b次幂等于N， ( http: / / www.21cnjy.com )就是________，那么数b叫做______________________，记作____________，其中a叫做________________，N叫做________．
2．对数的性质有：(1)1的对数为________；
(2)底的对数为________；
(3)零和负数________________．
3．通常将以10为底的对数叫做________________，log10N可简记为________．
4．若a>0，且a≠1，则ab＝N____________logaN＝b.
5．对数恒等式：alogaN＝________(a>0且a≠1)．
对点讲练
知识点一 对数式有意义的条件
例1 求下列各式中x的取值范围：
(1)log2(x－10)；
(2)log(x－1)(x＋2)；
(3)log(x＋1)(x－1)2.
规律方法 在解决与对数有关的问题时，一定要注意：对数真数大于零，对数的底数大于零且不等于1.
变式迁移1 在b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是( )
A．a>5或a<2 B．2C．2知识点二 对数式与指数式的互化
例2 将下列对数形式化成指数形式或将指数形式转化为对数形式：
(1)54＝625； (2)log8＝－3；
(3)－2＝16； (4)log101 000＝3.
规律方法 指数和对数运算是一对互逆运 ( http: / / www.21cnjy.com )算，在解题过程中，互相转化是解决相关问题的重要途径．在利用ax＝N x＝logaN进行互化时，要分清各字母分别在指数式和对数式中的位置．
变式迁移2 将下列对数式化为指数式求x值：
(1)logx27＝； (2)log2x＝－； (3)log5(log2x)＝0；
(4)x＝log27； (5)x＝log16.
知识点三 对数恒等式的应用
例3 计算：
(1)71＋log75； (2)4(log29－log25)．
规律方法 首先牢记对数恒 ( http: / / www.21cnjy.com )等式，对于对数恒等式alogaN＝N要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为对数的真数且大于零．其次合理利用对数、指数运算法则，化为相同底数．
变式迁移3 计算：3log3＋()log3.
1．一般地，如果a(a> ( http: / / www.21cnjy.com )0且a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么b叫做以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
2．利用ab＝N b＝logaN (其中a>0且a≠1，N>0)可以进行指数式与对数式的互化．
3．对数恒等式：alogaN＝N(a>0且a≠1).
课时作业
一、选择题
1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )
A．100＝1与lg 1＝0
B．27－＝与log27＝－
C．log3＝9与9＝3
D．log55＝1与51＝5
2．指数式b6＝a (b>0，b≠1)所对应的对数式是( )
A．log6a＝a B．log6b＝a C．logab＝6 D．logba＝6
3．若logx(－2)＝－1，则x的值为( )
A.－2 B.＋2
C.－2或＋2 D．2－
4．如果f(10x)＝x，则f(3)等于( )
A．log310 B．lg 3 C．103 D．310
5．21＋·log25的值等于( )
A．2＋ B．2 C．2＋ D．1＋
二、填空题
6．若5lg x＝25，则x的值为________．
7．设loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n的值为________．
8．已知lg 6≈0.778 2，则102.778 2≈________.
三、解答题
9．求10log103－10log51＋πlogπ2的值．
10．求x的值：
(1)x＝log4； (2)x＝log9； (3)x＝71－log75；
(4)logx8＝－3； (5)logx＝4.
§3.2 对数与对数函数
3．2.1 对数及其运算(一)
答案
自学导引
1．ab＝N 以a为底N的对数 b＝logaN 对数的底数
真数
2．(1)零 (2)1 (3)没有对数
3．常用对数 lg N
4．等价于
5．N
对点讲练
例1 解 (1)由题意有x－10>0，∴x>10，即为所求．
(2)由题意有
即∴x>1且x≠2.
(3)由题意有
解得x>－1且x≠0，x≠1.
变式迁移1 C [由题意得，
∴2例2 解 (1)∵54＝625，∴log5625＝4.
(2)∵log8＝－3，
∴－3＝8.
(3)∵－2＝16，∴log16＝－2.
(4)∵log101 000＝3，∴103＝1 000.
变式迁移2 解 (1)由logx27＝，
得x＝27，
∴x＝27＝32＝9.
(2)由log2x＝－，得2－＝x，
∴x＝＝.
(3)由log5(log2x)＝0，得log2x＝1，
∴x＝21＝2.
(4)由x＝log27，得27x＝，即33x＝3－2，
∴x＝－.
(5)由x＝log16，得x＝16，即2－x＝24，
∴x＝－4.
例3 解 (1)原式＝7·7log75＝7×5＝35.
(2)原式＝2log29－log25＝＝.
变式迁移3 解 原式＝＋3log3
＝＋(3log3)
＝＋＝.
课时作业
1．C 2.D 3.B
4．B [方法一 令10x＝t，则x＝lg t，
∴f(t)＝lg t，f(3)＝lg 3.
方法二 令10x＝3，则x＝lg 3，
∴f(3)＝lg 3.]
5．B [21＋log25＝2×2log25＝2×2log25
＝2×5＝2.]
6．100
解析 ∵5lg x＝52，∴lg x＝2，
∴x＝102＝100.
7．12
解析 ∵loga2＝m，loga3＝n，
∴am＝2，an＝3，
∴a2m＋n＝a2m·an＝(am)2·an＝22×3＝12.
8．600
解析 102.778 2≈102×10lg 6＝600.
9．解 原式＝3－10×0＋2＝5.
10．解 (1)由已知得：x＝4，
∴2－x＝22，－＝2，∴x＝－4.
(2)由已知得：9x＝，即32x＝3.
∴2x＝，∴x＝.
(3)x＝7÷7log75＝7÷5＝.
(4)由已知得：x－3＝8，
即3＝23，＝2，
∴x＝.
(5)由已知得：x＝4＝.§3.3 幂函数
幂函数要点导学
一、知识导引
1．幂函数定义：形如y＝xα的函数叫幂函数(α为常数)．
重点掌握α＝1,2,3，，－1时的幂函数．
2．图象：当α＝1,2,3，，－1时的图象如右图．
3．性质
(1)当α>0时，幂函数图象都过(0,0) ( http: / / www.21cnjy.com )点和(1,1)点，且在第一象限都是增函数；当0<α<1时曲线上凸；当α>1时，曲线下凹：α＝1时为过(0,0)点和(1,1)点的直线．
(2)当α<0时，幂函数图象总过(1,1)点，且在第一象限为减函数．
(3)当α＝0时，y＝xα＝x0，表示过(1,1)点平行于x轴的直线(除(0,1)点)．
(4)当α＝1,2,3，，－1时的函数的性质同学们可自行研究．
二、重点和难点
重点：幂函数的定义、图象和性质．
难点：幂函数图象的位置和形状变化．
三、典型例题剖析
例1 不论α取何值，函数y＝(x－1)α－2的图象都通过A点，求A点的坐标．
解 因为幂函数y＝xα的图象恒通过(1,1)点，
所以y＝(x－1)α的图象恒通过(2,1)点．
所以y＝(x－1)α－2的图象恒通过(2，－1)点．
例2 将幂函数：①y＝x；②y＝x－4；③y＝x；④y＝x－；
⑤y＝x；⑥y＝x；⑦y＝x－；⑧y＝x的题号填入下面对应的图象中的括号内．
解析 先根据图象是否经过原点区分幂指数n的正负：图象A，B，C，D，H的幂指数大于零；而图象E，F，G的幂指数小于零．
再考察函数的定义域和值域．图象A对应的幂函 ( http: / / www.21cnjy.com )数的定义域为[0，＋∞)，对应函数为⑤y＝x；图象E对应的幂函数的定义域为(0，＋∞)，对应函数为⑦y＝x－；图象D，H对应的幂函数的值域为[0，＋∞)，再注意到图象分布规律，D对应函数为⑥y＝x，H对应函数为①y＝x；图象G对应的幂函数的值域为(0，＋∞)，对应的函数为②y＝x－4.
余下的图象B，C，F依次对应函数为③y＝x，⑧y＝x，④y＝x－.
答案 ⑤ ③ ⑧ ⑥ ⑦ ④ ② ①
点评 以上分析只是提供了一种思考对应的方法，对幂函数图象熟悉以后，可以对每个幂函数的分析直接将题号填入相应的括号内．
幂函数常见错误剖析
本文就同学们在学习“幂函数”中的一些常见错误加以剖析，供同学们参考．
一、概念不清
例3 下列函数中不能化为幂函数的是( )
A．y＝x0 B．y＝2x2 C．y＝x D．y＝
错解 选A，或选C，或选D
剖析 错解主要是对幂函数的概念不清，造成错 ( http: / / www.21cnjy.com )误．由幂函数的定义：y＝xα(α∈R)称为幂函数，因此，A，C，D中的函数均可化为幂函数，而B中的函数不能化为幂函数．
正解 B
二、忽视隐含条件
例4 作出函数y＝4log2x的图象．
错解 y＝4log2x y＝22log2x y＝2log2x2 y＝x2.
故函数的图象如图所示．
剖析 在将函数式y＝4log2x变形为y＝2log2x2，即y＝x2时，定义域扩大了．
正解 y＝4log2x(x>0) y＝22log2x(x>0) y＝2log2x2(x>0) y＝x2(x>0)．
作出幂函数y＝x2(x>0)的图象，如图所示，即为函数y＝4log2x的图象．
三、思维片面
例5 幂函数f(x)＝(m2－m－1)xm2－2m－1在区间(0，＋∞)上是增函数，求实数m的取值集合．
错解 由幂函数的定义，可知f(x)可以写成f(x)＝xα的形式，所以m2－m－1＝1，
解得m＝－1或m＝2.
剖析 求得m的值后，未检验是否符合题意．
正解 由幂函数的定义，可知f(x)可以写成f(x)＝xα的形式，所以m2－m－1＝1，
解得m＝－1，或m＝2.
当m＝－1时，f(x)＝x2在(0，＋∞)上是增函数；
当m＝2时，f(x)＝x－1在(0，＋∞)上不是增函数，舍去．
故所求实数m的取值集合为{－1}．
四、单调性理解不透彻
例6 若(a＋1)－1<(3－2a)－1，求实数a的取值范围．
错解 考查幂函数f(x)＝x－1，因为该函数为减函数，所以由(a＋1)－1<(3－2a)－1，
得a＋1>3－2a，解得a>.
故实数a的取值范围是(，＋∞)．
剖析 函数f(x)＝x－1在(－∞， ( http: / / www.21cnjy.com )0)和(0，＋∞)上均为减函数，但在(－∞，0)∪(0，＋∞)上不具有单调性，错解中错用了函数单调性，从而导致错误．
正解 考查幂函数f(x)＝x－1，由 ( http: / / www.21cnjy.com )于该函数在(－∞，0)及(0，＋∞)上均为减函数，所以由(a＋1)－1<(3－2a)－1，得或a＋1>3－2a>0，或3－2a解得a<－1或故实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(，).
幂函数的“杀手锏”
一、对幂函数的定义要掌握准确
形如y＝xα的函数叫幂函数(系数是1，α为实常数)．
例1 如果f(x)＝(m－1)xm2－4m＋3是幂函数，则f(x)在其定义域上是( )
A．增函数
B．减函数
C．在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数
D．在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上也是减函数
解析 要使f(x)为幂函数，则m－1＝1，即m＝2.
当m＝2时，m2－4m＋3＝－1，
∴f(x)＝x－1.
∴f(x)在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上也是减函数．
答案 D
二、幂函数在第一象限的图象与幂指数α的大小关系
从x轴的正方向按逆时针旋转到y轴的正方向所经过的幂函数图象所对应的幂指数逐渐增大．
如图为y＝xα在α取－2, ( http: / / www.21cnjy.com )2，－，四个值时的图象，则对应于曲线C1，C2，C3，C4的α的值依次为2，，－，－2，其规律为在直线x＝1的右侧“指大图高”．
三、抓住幂函数的奇偶性，利用第一象限图象画出整个幂函数图象，进而利用数形结合进行解题
例2 若(a＋1)－<(3－2a)－，求a的取值范围．
解 y＝x－为偶函数，
其图象如图所示．
∴|a＋1|>|3－2a|，∴图象帮你定大小
在涉及指数、对数和幂函数的有关问题中， ( http: / / www.21cnjy.com )经常会遇到确定有关底数、指数的大小等问题，此类问题，如果巧妙转化，有效利用图象，问题便可迎刃而解．以下试举几例说明运用图象的直观性．
例3 已知实数a、b满足等式a＝b，下列五个关系式：
①0④－1其中可能成立的式子有________．
解析 首先画出y1＝x与y2＝x的图象(如图所示)，已知a＝b＝m，作直线y＝m.
如果m＝0或1，则a＝b；如果0如果m>1，则1答案 ①③⑤
例4 函数y＝xm，y＝xn，y＝xp的图象如图所示，则m，n，p的大小关系是____________．
解析 结合题目给出的幂函数图象，我们可以将 ( http: / / www.21cnjy.com )其转化成指数问题解决，作直线x＝a(0m>p.
答案 n>m>p
点评 以上几例，教同学们学会如何分析问题、 ( http: / / www.21cnjy.com )转化问题，数形结合使所学知识融会贯通，使所谓的某些“规律”直观地、立体地呈现在函数的图象中，减轻记忆的负担．
三种数学思想在幂函数中的应用
一、分类讨论的思想
例5 若(a＋1)－<(3－2a)－，试求a的取值范围．
分析 利用函数y＝x－的图象及单调性解题，注意根据a＋1,3－2a是否在同一单调区间去分类．
解 分类讨论或
或解得a<－1或点评 考虑问题要全面，谨防考虑不周导致 ( http: / / www.21cnjy.com )错误，本题是根据a＋1,3－2a是否在同一单调区间去分类．用分类讨论的思想解题时应做到标准明确，不重不漏．
二、数形结合的思想
例6 已知x2>x，求x的取值范围．
解 x2与x有相同的底数，不同的 ( http: / / www.21cnjy.com )指数，因此其模型应为幂函数y＝xα(其中α＝2，)，所以同一坐标系内作出它们的图象比较函数值的大小，确定自变量的范围，即为x的取值范围，如图所示，可得x的取值范围是x<0或x>1.
点评 数形结合是一类重要的数学思想方法，它把抽象的关系与直观的图形结合起来，使复杂的问题一目了然．
三、转化的数学思想
例7 指出函数f(x)＝的单调区间，并比较f(－π)与f(－)的大小．
解 因为f(x)＝
＝1＋＝1＋(x＋2)－2，
所以其图象可由幂函数y＝x－2向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到，如图所示．
所以f(x)在(－2，＋∞)上是减函数，在(－∞，－2)上是增函数，且图象关于直线x＝－2对称．
又因为－2－(－π)＝π－2，－－(－2)＝2－，
所以π－2<2－，故－π距离对称轴更近，
所以f(－π)>f(－)．
点评 通过化简、变形等，可将复杂的、不熟悉的函数转化为简单的、熟悉的函数形式，进而用其性质来解题．
三类抽象函数问题的解法
大量的抽象函数都是以中学阶段所学的基本初 ( http: / / www.21cnjy.com )等函数为背景抽象而得．解题时，若能从研究抽象函数的背景入手，通过类比、猜想出它们可能为某种基本初等函数，常可找到解题的切入点，进而加以解决．
一、以正比例函数为模型的抽象函数
例8 已知f(x)的定义域 ( http: / / www.21cnjy.com )为实数集R，对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x>0时，f(x)<0，f(1)＝－2，求f(x)在区间[－3,3]上的最大值和最小值．
解 由条件f(x＋y)＝f(x ( http: / / www.21cnjy.com ))＋f(y)联想正比例函数f(x)＝kx，其中k<0，满足已知条件．由此猜想函数f(x)是区间[－3,3]上的减函数且又为奇函数，这样问题的解决就有了方向．
因为对任意x，y∈R，都 ( http: / / www.21cnjy.com )有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，于是取x＝0，可得f(0)＝0，同时设y＝－x，得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，所以f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，知函数f(x)为奇函数．
下面证明它是减函数：任取－3≤x10，
又x>0时，f(x)<0，即f(x2－x1)<0，
f(x2－x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)<0.
所以函数f(x)在区间[－3,3]上是减函数．
当x＝－3时，函数f(x)取最大值；
当x＝3时，函数f(x)取最小值．
f(x)max＝f(－3)＝－f(3)＝－f(1＋2)＝－[f(1)＋f(2)]
＝－[f(1)＋f(1)＋f(1)]＝－3f(1)＝6；
f(x)min＝f(3)＝3f(1)＝－6.
点评 本题求解有两个特点：一是赋值；二是在求最值时，反复运用条件．这是求解抽象函数问题时常用的方法．
二、以指数函数为模型的抽象函数
例9 设函数f(x)的定义域为实数集R，满足 ( http: / / www.21cnjy.com )条件：存在x1≠x2，使得f(x1)≠f(x2)，对任意x和y，有f(x＋y)＝f(x)·f(y)．
(1)求f(0)；
(2)对任意x∈R，判断f(x)值的正负．
解 由已知猜想f(x)是指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的抽象函数，从而猜想f(0)＝1且f(x)>0.
(1)将y＝0代入f(x＋y)＝f(x)·f(y)，
得f(x)＝f(x)·f(0)，于是有f(x)[1－f(0)]＝0.
若f(x)＝0，则对任意x1≠x2，有f(x1)＝f(x2)＝0，
这与已知题设矛盾，所以f(x)≠0，从而f(0)＝1.
(2)设x＝y≠0，则f(2x)＝f(x)·f(x)＝[f(x)]2≥0，
又由(1)知f(x)≠0，所以f(2x)>0，
由x为任意实数，知f(x)>0.
故对任意x∈R，都有f(x)>0.
点评 从已知条件联想到指数函数模 ( http: / / www.21cnjy.com )型，为问题的解决指出了方向．但在推导过程中，说理的严密性是很重要的，如不能由f(x)[1－f(0)]＝0，直接得出f(0)＝1，这是求解有关抽象函数问题时必须注意的地方．
三、以对数函数为模型的抽象函数
例10 设函数f(x)是定义域(0，＋∞)上的增函数，且f()＝f(x)－f(y)．
(1)求f(1)的值；
(2)若f(6)＝1，求不等式f(x＋3)＋f()≤2的解集．
解 由已知猜想f(x)是对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的抽象函数．
(1)将x＝y＝1代入f()＝f(x)－f(y)，
得f(1)＝f(1)－f(1)，所以f(1)＝0.
(2)因为f(6)＝1，所以2＝f(6)＋f(6)，
于是f(x＋3)＋f()≤2等价于f(x＋3)－f(6)≤f(6)－f()，即f()≤f(6x)，
而函数f(x)是定义域(0，＋∞)上的增函数，
所以，解得x≥，
因此满足已知条件的不等式解集为[，＋∞)．
点评 (1)对不等式右端的“2”进行变形是本题求解的关键之处；
(2)本题是增函数概念“若x1例谈函数模型法的应用
例11 定义在实数集R上的函数y＝f(x)具有下列两条性质：①对于任意x∈R都有f(x3)＝[f(x)]3；
②对于任意x1，x2∈R，当x1≠x2时，都有f(x1)≠f(x2)．则f(－1)＋f(0)＋f(1)的值为( )
A．1 B．2 C．－1 D．0
分析 通过性质①可以看出此函数应为幂函数，性质②则要求这个幂函数必须是一个单调函数．
解析 根据题设条件设f(x)＝，
则可以求得f(－1)＋f(0)＋f(1)＝0，答案为D.
答案 D
例12 已知f(x)是R上的增函数，且 ( http: / / www.21cnjy.com )f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)，若f(2)＝4，则f(2x＋1)>8的解集是________．
分析 性质f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)类似于指数函数的性质am＋n＝am·an，故可以构建指数函数模型．
解析 设f(x)＝ax(a>1)，则由f(2)＝4可得a＝2，
所以f(x)＝2x.
由f(2x＋1)>8，则22x＋1>8，解得x>1.
故不等式f(2x＋1)>8的解集是(1，＋∞)．
答案 (1，＋∞)
例13 已知函数f(x)是定义域为R的增函数，且值域为(0，＋∞)，则下列函数中为减函数的是( )
A．f(x)＋f(－x) B．f(x)－f(－x)
C．f(x)·f(－x) D.
分析 指数函数y＝ax(a>0，a≠1)中，在a>1的情况下，函数满足题设的条件①定义域为R；②增函数；③值域为(0，＋∞)．
解析 不妨设f(x)＝2x，通过观察四个选项，可以得出＝()x符合题意，故选D.
答案 D
幂函数高考考点透视
本节知识在高考中很少单独出现，一 ( http: / / www.21cnjy.com )般是与指数函数、对数函数联合命题，因此在学习上要注意知识的结合点．借助y＝xα(α＝1,2,3，，－1)的图象和性质研究多项式函数、分式函数、简单的无理函数是高考考查的重点，考试题多以填空题为主．
1．(陕西高考)函数f(x)＝(x∈R)的值域为( )
A．[0,1] B．[0,1) C．(0,1] D．(0,1)
解析 ∵1＋x2≥1，∴0<≤1
∴f(x)＝的值域是(0,1]．
答案 C
2．(课标全国高考)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )
A．y＝x3 B．y＝|x|＋1
C．y＝－x2＋1 D．y＝2－|x|
解析 ∵y＝x3在定义域R上是奇函数，∴A不对．
y＝－x2＋1在定义域R上是偶函数，但在(0，＋∞)上是减函数，故C不对．
D中y＝2－|x|＝()|x|虽是偶函数，但在(0，＋∞)上是减函数，只有B对．
答案 B
3．(北京高考)函数f(x)＝－的定义域为______________．
解析 要使函数f(x)＝－有意义，
则必须有 即x∈[－1,2)∪(2，＋∞)．
答案 [－1,2)∪(2，＋∞)
4．(山东高考)设函数f1(x)＝x，f2(x)＝x－1，f3(x)＝x2，则f3(f2(f1(2 007)))＝________.
解析 f3(f2(f1(2 007)))＝f3(f2(2 007))
＝f3(2 007－)＝2 007－1＝.
答案 3.2.2 对数函数(一)
自主学习
学习目标
1．掌握对数函数的概念、图象和性质．
2．能够根据指数函数的图象和性质得出对数函数的图象和性质．
自学导引
1．对数函数的定义：一般地 ( http: / / www.21cnjy.com )，我们把函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做______________，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
2．对数函数的图象与性质
定义 y＝logax (a>0，且a≠1)
底数 a>1 0图象
定义域 (0，＋∞)
值域 R
单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
共点性 图象过定点________，即x＝1时，y＝0
函数值特点 x∈(0,1)时，y∈__________；x∈[1，＋∞)时，y∈__________ x∈(0,1)时，y∈__________；x∈[1，＋∞)时，y∈__________
对称性 函数y＝logax与y＝logx的图象关于______对称
对点讲练
知识点一 求函数的定义域
例1 求下列函数的定义域：
(1)y＝； (2)y＝；
(3)y＝log(x＋1)(2－x)．
规律方法 求与对数函数有关 ( http: / / www.21cnjy.com )的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调性，有针对性的解不等式．
变式迁移1 求下列函数的定义域．
(1)y＝；
(2)y＝(a>0，且a≠1)．
知识点二 对数函数的图象
例2 下图是对数函数y＝logax的图象，已知a值取，，，，则图象C1，C2，C3，C4相应的a值依次是( )
A.、、、 B.、、、
C.、、、 D.、、、
规律方法 (1)y＝logax(a>0，且a≠1)图象无限地靠近于y轴，但永远不会与y轴相交．
(2)设y1＝logax，y2＝lo ( http: / / www.21cnjy.com )gbx，其中a>1，b>1(或01时，“底大图低”，即若a>b，则y1b，则y1>y2.
(3)在同一坐标系内，y＝logax(a>0，且a≠1)的图象与y＝logx(a>0，且a≠1)的图象关于x轴(即y＝0)对称．
变式迁移2 借助图象求使函数y＝loga(3x＋4)的函数值恒为负值的x的取值范围．
知识点三 对数函数的单调性的应用
例3 比较下列各组中两个值的大小：
(1)log0.52.7，log0.52.8； (2)log34，log65；
(3)logaπ，logae (a>0且a≠1)．
规律方法 比较两个对数值的大小，常用的三种方法：
变式迁移3 对于0①loga(1＋a)loga(1＋)；③a1＋aa1＋.
其中成立的是( )
A．①与③ B．①与④ C．②与③ D．②与④
1．对数函数单调性等重要性质要借助图象来理解与掌握．
2．比较对数值的大小要用函数单调性及中间“桥梁”过渡．另外还要注意底数是否相同．
3．掌握对数函数不但要清楚对数函数自身的图象和性质，还要结合指数函数的图象和性质来对比掌握．
4．对数函数的单调性与指数函数的单调性大同小异.
课时作业
一、选择题
1．已知函数f(x)＝的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∩N等于( )
A．{x|x>－1} B．{x|x<1}
C．{x|－12．若定义在区间(－1,0)内的函数f(x)＝log2a(x＋1)满足f(x)＞0，则a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
3．若loga2A．0C．a>b>1 D．b>a>1
4．以下四个数中的最大者是( )
A．(ln 2)2 B．ln(ln 2) C．ln D．ln 2
5．函数y＝ax与y＝－logax(a>0且a≠1)在同一坐标系中的图象形状只能是( )
二、填空题
6．函数f(x)＝的定义域为________．
7．若指数函数f(x)＝ax (x∈R)的部分对应值如下表：
x －2 0 2
f(x) 0.694 1 1.44
则不等式loga(x－1)<0的解集为__________．
8．函数y＝loga(x＋2)＋3的图象过定点________．
三、解答题
9．求下列函数的定义域：
(1)y＝ ；
(2)y＝；
(3)y＝(a>0，a≠1)．
10．已知f(x)＝loga(a>0，a≠1)，
(1)求f(x)的定义域；
(2)求使f(x)>0的x的取值范围；
(3)判断f(x)的奇偶性．
3．2.2 对数函数(一)
答案
自学导引
1．对数函数
2．(1,0) (－∞，0) [0，＋∞) (0，＋∞)
(－∞，0] x轴
对点讲练
例1 解 (1)∵该函数是奇次根式，要使函数有意义，只要对数的真数是正数即可，
∴定义域是{x|x>0}．
(2)要使函数y＝有意义，
必须log0.5(4x－3)≥0＝log0.51，
∴0<4x－3≤1，解得∴定义域是.
(3)由，得
即0所求定义域为(－1,0)∪(0,2)．
变式迁移1 解 (1)由，
得，
∴x>－1且x≠999，
∴函数的定义域为{x|x>－1且x≠999}．
(2)loga(4x－3)≥0.(*)
当a>1时，(*)可化为loga(4x－3)≥loga1，
∴4x－3≥1，x≥1.
当0loga(4x－3)≥loga1，
∴0<4x－3≤1，综上所述，当a>1时，函数定义域为[1，＋∞)，
当0例2 A [
过(0,1)作平行于x轴的直线，与C1， ( http: / / www.21cnjy.com )C2，C3，C4的交点的坐标为(a1,1)，(a2,1)，(a3,1)，(a4,1)，其中a1，a2，a3，a4分别为各对数的底，显然a1>a2>a3>a4，所以C1，C2，C3，C4的底值依次由大到小．]
变式迁移2 解 当a>1时，
由题意有0<3x＋4<1，
即－当01，即x>－1.
综上，当a>1时，－当0－1.
例3 解 (1)∵0<0.5<1，
∴对数函数y＝log0.5x在(0，＋∞)上是减函数．
又∵2.7<2.8，∴log0.52.7>log0.52.8.
(2)∵y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，
∴log34>log33＝1.
∵y＝log6x在(0，＋∞)上是增函数，
∴log65∴log34>log65.
(3)当a>1时，
y＝logax在(0，＋∞)上是增函数．
∵π>e，∴logaπ>logae.
当0y＝logax在(0，＋∞)上是减函数．
∵π>e，∴logaπ综上可知，当a>1时，logaπ>logae；
当0变式迁移3 D [∵0∴a<，1＋a<1＋，
∴loga(1＋a)>loga(1＋)，a1＋a>a1＋，
即②④正确．]
课时作业
1．C [由题意知M＝{x|x<1}，
N＝{x|x>－1}．
故M∩N＝{x|－12．A [当x∈(－1,0)时，有x＋1∈(0,1)，此时要满足f(x)>0，只要0<2a<1即可．
由此解得03．B [由底数与对数函数的图象关系(如图)可知y＝logax，y＝logbx图象的大致走向．
再由对数函数的图象规律：从第一象限看，自左向右底数依次增大．∴选B.]
4．D [∵0∴ln(ln 2)<0，(ln 2)2而ln ＝ln 2∴最大的数是ln 2.]
5．A
6．{x|x<4，且x≠3}
解析 解得x<4，且x≠3，
所以定义域为{x|x<4，且x≠3}．
7．{x|1解析 由题可知a＝1.2，
∴log1.2(x－1)<0，
∴log1.2(x－1)又∵x－1>0，即x>1，∴1故原不等式的解集为{x|18．(－1,3)
9．解 (1)由32x－1－≥0得，x≥－1.
∴所求定义域为[－1，＋∞)．
(2)由－lg(1－x)≥0得，，
即x∈[0,1)
∴所求定义域为[0,1)．
(3)1－loga(x＋a)>0时，函数有意义，
即loga(x＋a)<1①
当a>1时，－a<－1
由①得，
解得－a当0由①得，x＋a>a.∴x>0.
∴定义域为(0，＋∞)．
故所求定义域是：
当0当a>1时，x∈(－a,0)．
10．解 (1)由>0，得－1故所求的定义域为(－1,1)．
(2)①当a>1时，由loga>0＝loga1得>1，
∴0②当00＝loga1
得0<<1，
∴－1故当a>1时，所求范围为0当0(3)f(－x)＝loga＝loga()－1＝－f(x)
∴f(x)为奇函数．3.1.2 指数函数
自主学习
学习目标
1．理解指数函数的概念，会判断一个函数是否为指数函数．
2．掌握指数函数的图象和性质．
自学导引
1．指数函数的概念
一般地，________________________叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是________．
2．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质
a>1 0图象
定义域 R
值域 (0，＋∞)
性质 过定点 过点________，即x＝________时，y＝________
函数值的变化
单调性____________________ 当x>0时，________；当x<0时，________； 当x>0时，________；当x<0时，________
是R上的
是R上的
对点讲练
知识点一 求定义域、值域问题
例1 求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝2； (2)y＝()－|x|； (3)y＝()2x－x2.
规律方法 (1)由于指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的定义域是R，所以函数y＝af(x)(a>0且a≠1)与函数f(x)的定义域相同．
(2)求与指数函数有关的函数的值域时，要注意到充分考虑并利用指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性．
变式迁移1 求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝3； (2)y＝ .
知识点二 指数函数的图象问题
例2 如图所示是指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是( )
A．aB．bC．1D．a变式迁移2 若－1A．5－x<5x<0.5x B．5x<0.5x<5－x
C．5x<5－x<0.5x D．0.5x<5－x<5x
知识点三 指数函数单调性的应用
例3 比较下列各题中两个值的大小：
(1)3π与33.14； (2)0.99－1.01与0.99－1.11；
(3)1.40.1与0.90.3.
规律方法 比较两指数大小时 ( http: / / www.21cnjy.com )，若底数相同，则先构造出该底数的指数函数，然后利用单调性比较；若底数不同，则考虑选择中间量，通常选择“1”作为中间量．
变式迁移3 比较，2，3，的大小．
例4 (1)函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大，求a的值；
(2)如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0且a≠1)在[－1,1]上有最大值14，试求a的值．
规律方法 指数函数y＝a ( http: / / www.21cnjy.com )x(a>1)为单调增函数，在闭区间[s，t]上存在最大、最小值，当x＝s时，函数有最小值as；当x＝t时，函数有最大值at.指数函数y＝ax(0变式迁移4 (1)函数f(x)＝ax (a>0，a≠1)在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为6，求a的值；
(2)0≤x≤2，求函数y＝4x－－3·2x＋5的最大值和最小值．
1．指数函数的定义及图象是本节的关键．通过图象可以求函数的值域及单调区间．
2．利用指数函数的性质可以比较两个指数幂的大小
(1)当两个正数指数幂的底数相同时，直接利用指数函数的单调性比较大小．
(2)当两个正数指数幂的底数不同而指数相同时，可利用两个指数函数的图象比较它们的大小．
(3)当两个正数指数幂的底数不同而且指数也不相同时，可考虑能否利用“媒介”数来比较它们的大小．
3．通过本节的学习，进一步体会分类讨论思想在解题中的应用.
课时作业
一、选择题
1．下列函数中①y＝2x2；②y＝4x；③y＝32x；④y＝3×2x；⑤y＝3x＋1；⑥y＝－3x，一定是指数函数的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
2．值域为(0，＋∞)的函数是( )
A．y＝5 B．y＝1－x
C．y＝ D．y＝
3．函数y＝a|x|(a>1)的图象是( )
4．已知a＝30.2，b＝0.2－3，c＝(－3)0.2，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．b>c>a
5．若函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围为( )
A．(1，＋∞) B．(1,8)
C．(4,8) D．[4,8)
二、填空题
6．函数y＝ax－5＋1 (a≠0)的图象必经过点________．
7．函数y＝的定义域是(－∞，0]，则a的取值范围是________．
8．下列说法中正确的是________．(填序号)
①任取x∈R，都有3x>2x；②当a> ( http: / / www.21cnjy.com )1时，任取x∈R，都有ax>a－x；③y＝()－x是增函数；④y＝2|x|的最小值为1；⑤在同一坐标系中，y＝5x与y＝5－x的图象关于y轴对称．
三、解答题
9．若函数f(x)＝ax－1(a>0，且a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a的值．
10．已知函数f(x)＝·x3.
(1)求f(x)的定义域； (2)判断f(x)的奇偶性；
(3)求证：f(x)>0.
3．1.2 指数函数 答案
自学导引
1．函数y＝ax (a>0，且a≠1) R
2．(0,1) 0 1 y>1 0y>1 增函数 减函数
对点讲练
例1 解 (1)由x－4≠0，得x≠4，
∴函数的定义域为{x∈R|x≠4}．
∵x－4≠0，即≠0，∴2≠1.
故函数的值域为{y|y>0且y≠1}．
(2)定义域为R.
∵|x|≥0，∴y＝()－|x|的值域为{y|y≥1}．
(3)显然定义域为R.
∵2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，
且y＝()x为减函数，
∴()2x－x2≥()1＝.
故函数y＝()2x－x2的值域为[，＋∞)．
变式迁移1 解 (1)定义域为[2，＋∞)，
∵≥0，∴y＝3≥1，
∴值域为[1，＋∞)．
(2)∵1－x≥0，∴x≤1，即x≥0，
∴函数y＝ 的定义域为[0，＋∞)．
令t＝x，∴0∴0≤1－t<1，∴0≤<1，
∴y＝ 的值域为[0,1)．
例2 B [方法一 当指数函数底数大于 ( http: / / www.21cnjy.com )1时，图象上升，且在第一象限内，底数越大，图象越靠近y轴；当底数大于0且小于1时，图象下降，且在第一象限内，底数越小，图象越靠近x轴，故可知b方法二 令x＝1，由图象知c>d>a>b，∴b变式迁移2 B [－11,0<5x<1，而0.5x＝()x>1，又()x>()x，
∴5－x>0.5x>5x.
也可直接利用图象：<0.5<5，－1∴()x>0.5x>5x.]
例3 解 (1)构造函数y＝3x.
∵a＝3>1，
∴y＝3x在(－∞，＋∞)上是增函数．
∵π>3.14，∴3π>33.14.
(2)构造函数y＝0.99x.
∵0∴y＝0.99x在(－∞，＋∞)上是减函数．
∵－1.01>－1.11，∴0.99－1.01<0.99－1.11.
(3)分别构造函数y＝1.4x与y＝0.9x.
∵1.4>1,0<0.9<1，∴y＝1.4x与y＝0.9x
在(－∞，＋∞)上分别为增函数和减函数．
∵0.1>0，∴1.40.1>1.40＝1.
∵0.3>0，∴0.90.3<0.90＝1，
∴1.40.1>1>0.90.3，即1.40.1>0.90.3.
变式迁移3 解 将，2，3，分成如下三类：
①负数3；
②大于0小于1的数；
③大于1的数，2.
∵<4，而4＝2，
∴3<<<2.
例4 解 (1)①若a>1，则f(x)在[1,2]上递增，
最大值为a2，最小值为a.
∴a2－a＝，即a＝或a＝0(舍去).
②若0最大值为a，最小值为a2.
∴a－a2＝，即a＝或a＝0(舍去)，
综上所述，所求a的值为或.
(2)设t＝ax，则原函数可化为y＝(t＋1)2－2，对称轴为t＝－1.
①若a>1，∵x∈[－1,1]，
∵t＝ax在[－1,1]上递增，∴0<≤t≤a；
∴y＝(t＋1)2－2当t∈[，a]时递增．
故当t＝a时，ymax＝a2＋2a－1.
由a2＋2a－1＝14，
解得a＝3或a＝－5(舍去，∵a>1)．
②若0t∈[a，]，
ymax＝a－2＋2a－1－1＝14，解得a＝或a＝－(舍去)．
综上，可得a＝或3.
变式迁移4 解 (1)∵f(x)＝ax在[1,2]上是单调函数，
∴f(x)在1或2时取得最值．
∴a＋a2＝6，解得a＝2或a＝－3，
∵a>0，∴a＝2.
(2)y＝·22x－3·2x＋5＝(22x－6·2x)＋5
＝(2x－3)2＋.∵x∈[0,2]，1≤2x≤4，
∴当2x＝3时，y最小值＝，当2x＝1时，y最大值＝.
课时作业
1．B
2．B [∵B中定义域为R,1－x∈R，
∴y＝1－x>0.]
3．B [x>0时，y＝ax单调递增且y>1，又知y＝a|x|为偶函数，其图象关于y轴对称，所以选B.]
4．B [c<0，b＝53>3,1a>c.]
5．D [因为f(x)在R上是增函数，故结合图象知
，解得4≤a<8.]
6．(5,2)
解析 指数函数的图象必过点(0,1)，即a0＝1，
由此变形得a5－5＋1＝2，所以所求函数图象必过点(5,2)．
7．(0,1)
解析 由ax－1≥0，得ax≥1.
根据指数函数的性质知a∈(0,1)．
8．④⑤
9．解 当a>1时，f(x)在[0,2]上递增，
∴，即，∴a＝±.
又a>1，∴a＝，
当0∴，即，解得a∈ ，
综上所述，a＝.
10．(1)解 由2x－1≠0，得x≠0.
∴函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)解 由于函数f(x)的定义域关于原点对称，
f(－x)＝·(－x)3
＝－x3＝·x3
＝f(x)，
所以f(x)为偶函数．
(3)证明 当x>0时，>0，x3>0，
∴f(x)>0，
又∵f(x)为偶函数，∴x<0时，f(x)>0，
综上所述，对于定义域内的任意x都有f(x)>0.3.2.2 对数函数(二)
自主学习
学习目标
1．理解对数函数的性质．
2．掌握对数函数的单调性及其应用．
基础自测
1．函数y＝log2x在[1,2]上的值域是( )
A．R B．[0，＋∞) C．(－∞，1] D．[0,1]
2．函数y＝的定义域是( )
A．(3，＋∞) B．[3，＋∞)
C．(4，＋∞) D．[4，＋∞)
3．下列不等式成立的是( )
A．log32C．log23对点讲练
知识点一 利用对数函数单调性解不等式
例1 (1)已知loga>1，求a的取值范围．
(2)已知log0.7(2x)规律方法 (1)解对数不等式问题通常转化为一般不等式(组)求解，其依据是对数函数的单调性．
(2)解决与对数函数相关的问题时要遵循“定义域优先”原则．
(3)若含有字母，应考虑分类讨论．
变式迁移1 已知loga(2a＋1)知识点二 对数函数最值问题
例2 已知集合A＝{x|2≤x≤π}，定义在集合A上的函数y＝logax的最大值比最小值大1，求a的值．
规律方法 利用函数单调性求最值时，关键看底数a是否大于1，当底数未明确范围时，应进行讨论．
变式迁移2 函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值为( )
A. B. C．2 D．4
知识点三 利用图象求参数范围
例3 若不等式2x－logax<0，当x∈时恒成立，求实数a的取值范围．
规律方法 “数”是数学的特征，它精确 ( http: / / www.21cnjy.com )、量化，最有说服力；而“形”则形象、直观，能降低人的思维难度，简化解题过程，把它们的优点集中在一起就是最佳组合，在平时做题时一定要注意图象的运用．
变式迁移3 当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2A．(0,1) B．(1,2) C．(1,2] D．(0，)
解决与对数函数有关的函数单调性问题 ( http: / / www.21cnjy.com )的关键：一要看底数是否大于1，当底数未明确给出时，则应对底数a是否大于1进行讨论；二要注意其定义域；三要注意数形结合思想的应用.
课时作业
一、选择题
1．函数f(x)＝lg|x|为( )
A．奇函数，在区间(0，＋∞)上是减函数
B．奇函数，在区间(0，＋∞)上是增函数
C．偶函数，在区间(－∞，0)上是增函数
D．偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数
2．已知f(x)＝|lg x|，若>a>b>1，则( )
A．f(a)>f(b)>f(c) B．f(c)>f(b)>f(a)
C．f(c)>f(a)>f(b) D．f(b)>f(a)>f(c)
3．设函数f(x)＝log2a(x＋1)，若对于区间(－1,0)内的每一个x值都有f(x)>0，则实数a的取值范围为( )
A．(0，＋∞) B.
C. D.
4．函数y＝x＋a与y＝logax的图象只可能是( )
5．若loga<1，则a的取值范围是( )
A．a>1 B．01
C．0二、填空题
6．若f(x)＝则满足f(x)＝的x的值为________．
7．已知log0.45(x＋2)>log0.45(1－x)，则实数x的取值范围是________．
8．已知f(x)＝是(－∞，＋∞)上的增函数，则a的取值范围为________．
三、解答题
9．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg x，求满足f(x)>0的x的取值范围．
10．求函数y＝loga(a－ax)的值域．
3．2.2 对数函数(二)
答案
基础自测
1．D 2.D 3.A
对点讲练
例1 解 (1)由loga>1得loga>logaa.
①当a>1时，有a<，
此时无解．
②当0∴a的取值范围是(，1)．
(2)∵函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，
∴由log0.7(2x)，解得x>1.
∴x的取值范围为(1，＋∞)．
变式迁移1 解 ①当a>1时，
原不等式等价于
，解得a>1.
②当0解得0综上所述，a的范围是01.
例2 解 当a>1时，ymax＝logaπ，ymin＝loga2，
由题意有logaπ－loga2＝1，∴a＝.
同理，当0∴a＝.故所求的值为a＝或.
变式迁移2 B [不论a>1还是0∴f(0)＋f(1)＝a，解得a＝.故选B.]
例3 解
要使不等式2x显然这里0又loga≥＝logaa，
∴a≥，即a≥.
∴所求的a的取值范围为≤a<1.
变式迁移3 C
[设f1(x)＝(x－1)2，f ( http: / / www.21cnjy.com )2(x)＝logax，要使当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2当0当a>1时，如图所示，要使在(1,2)上，
f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝logax的下方，
只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤loga2，loga2≥1，
∴1课时作业
1．D [已知函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于坐标原点对称，且f(－x)＝lg|－x|＝lg|x|＝f(x)，所以它是偶函数．
又当x>0时，|x|＝x，
即函数y＝lg|x|在区间(0，＋∞)上是增函数．
又f(x)为偶函数，所以f(x)＝lg|x|在区间(－∞，0)上是减函数．]
2．C
[先作出函数y＝lg ( http: / / www.21cnjy.com )x的图象，再将图象在x轴下方的部分折到x轴上方，这样，我们便得到了y＝|lg x|的图象，由图可知，f(x)＝|lg x|在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
于是f()>f(a)>f(b)，而f()＝|lg |
＝|－lg c|＝|lg c|＝f(c)．所以f(c)>f(a)>f(b)．
故选C.]
3．D [已知－10，即00，
所以0<2a<1，即04．C 5.B
6．3
解析 ∵当x≤1时，f(x)＝x≥，
∴满足f(x)＝的x∈(1，＋∞)，
即log81x＝，∴x＝＝3.
7．(－2，－)
解析 原不等式等价于，
解得－28．[，6)
解析 f(x)是R上的增函数，则当x≥1时，
y＝logax是增函数，∴a>1.
又当x<1时，函数y＝(6－a)x－4a是增函数，
∴6－a>0，∴a<6.
又(6－a)×1－4a≤loga1，得a≥.
∴≤a<6.
9．解 ∵f(x)是R上的奇函数，
∴f(－0)＝－f(0)，∴f(0)＝0.
设x<0，则－x>0，
∴f(x)＝－f(－x)＝－lg(－x)，
∴f(x)＝，
由f(x)>0得或，
∴－11.
10．解 ∵ax>0且a－ax>0，∴0∴当a>1时，y＝loga(a－ax)当0logaa＝1.
故当a>1时，其值域为(－∞，1)；
当0§3.1 指数与指数函数
3.1.1 实数指数幂及其运算
自主学习
学习目标
1．了解指数函数模型的实际背景，体会引入有理数指数幂的必要性．
2．理解有理数指数幂的含义，知道实数指数幂的意义，掌握幂的运算．
自学导引
1．如果存在实数x，使得________________，则x叫做a的n次方根．
2．式子叫做________，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
3．(1)n∈N*时，()n＝________.
(2)n为正奇数时，＝________；n为正偶数时，＝________.
4．分数指数幂的定义：(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：a＝________(a>0，m、n∈N*，且为既约分数)；
(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：a－＝________(a>0，m、n∈N*，且为既约分数)；
(3)0的正分数指数幂等于________，0的负分数指数幂________________．
5．有理数指数幂的运算性质：
(1)aras＝________(a>0，r、s∈Q)；
(2)(ar)s＝________(a>0，r、s∈Q)；
(3)(ab)r＝________(a>0，b>0，r∈Q)．
对点讲练
知识点一 根式与分数指数幂的互化
例1 用分数指数幂的形式表示下列各式(式中a>0)的化简结果：
(1)a3·； (2)；
(3)·.
规律方法 此类问题应熟练应用a＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简．
变式迁移1 将下列根式化成分数指数幂的形式：
(1)； (2)()－ (b>0)．
知识点二 利用幂的运算性质化简、求值
例2 计算(或化简)下列各式：
(1)4＋1·23－2·8－；
(2)(0.064)－－0＋[(－2)3]－＋16－0.75＋|－0.01|；
(3)－(a>0，b>0)．
规律方法 一般地，进行指数幂运算时，化负指 ( http: / / www.21cnjy.com )数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于进行乘、除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的．利用乘法公式解决分数指数幂的化简求值问题，是简化运算的常用方法，熟练掌握a＝(a)2 (a>0)，a＝(a)3以及ab－a－b＝(a＋a－)(a－a－)等变形．
变式迁移2 求值：1.5－×0＋80.25×＋(×)6－.
知识点三 灵活应用——整体代入法
例3 已知x＋y＝12，xy＝9，且x规律方法 “整体代入”方法在条件求值中非常 ( http: / / www.21cnjy.com )重要，也是高中数学的一种重要的解题思想、解题方法，它反映了我们“把握全局”的能力．解题过程中不宜求出x、y后再代入，而应考虑把x＋y及xy整体代入求值．
变式迁移3 已知x＋x－＝3，求的值．
1．理解好方根的概念，是进行根式的计算和化简的关键．
2．将根式转化为分数指数幂是化简求值的关键．
3．正整数指数幂的运算性质对于实数指数幂仍然适用，只是底数的范围缩小为a>0.(想一想，为什么？)
课时作业
一、选择题
1．下列根式与分数指数幂互化中正确的是( )
A．－＝(－x)(x≠0)
B．x－＝－(x≠0)
C．()－＝ (xy>0)
D.＝y(y<0)
2．计算(n∈N*)的结果为( )
A. B．22n＋5
C．2n2－2n＋6 D．()2n－7
3．()2·()2等于( )
A．a B．a2 C．a3 D．a4
4．把根式－2改写成分数指数幂的形式为( )
A．－2(a－b)－ B．－2(a－b)－
C．－2(a－－b－) D．－2(a－－b－)
5．化简(ab)÷2的结果是( )
A．6a B．－a C．－9a D．9
二、填空题
6．计算：64－的值是________．
7．化简的结果是________．
8．设5x＝4,5y＝2，则52x－y＝________.
三、解答题
9．化简求值：
(1)()2＋＋；
(2)÷÷；
(3)(0.027)－－－2＋256－3－1＋(－1)0.
10．(1)若2x＋2－x＝3，求8x＋8－x的值；
(2)已知a＝－，b＝，求÷的值．
第三章 基本初等函数(Ⅰ)
§3.1 指数与指数函数
3．1.1 实数指数幂及其运算
答案
自学导引
1．xn＝a(a∈R，n>1，且n∈N*)
2．根式
3．(1)a (2)a |a|
4．(1) (2) (3)0 没有意义
5．(1)ar＋s (2)ars (3)arbr
对点讲练
例1 解 (1)a3·＝a3·a＝a3＋＝a.
(2)＝(a·a)＝(a)＝a.
(3)原式＝(a·a－)·[(a－5)－·(a－)13]
＝(a0)·(a·a－)＝(a－4)＝a－2.
变式迁移1 解 (1)原式＝＝
＝＝＝＝x－.
(2)原式＝[(b－)]－＝b－××＝b.
例2 解 (1)原式＝(22)＋1·23－2·(23)－
＝22＋2·23－2·2－2
＝22＋2＋3－2－2＝23＝8.
(2)原式＝[(0.4)3]－－1＋(－2)－4＋2－3＋[(0.1)2]
＝(0.4)－1－1＋＋＋0.1＝.
(3)原式＝－
＝a－b－(a－b)＝0.
变式迁移2 解 原式＝×1＋2×2＋22×33－×＝＋2＋108－＝110.
例3 解 ＝
＝. ①
∵x＋y＝12，xy＝9， ②
∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝122－4×9＝108.
∵x将②、③式代入式①得
＝＝－.
变式迁移3 解 ∵x＋x－＝3，
∴(x＋x－)2＝9，即x＋x－1＋2＝9，
∴x＋x－1＝7，x＋x－1＋3＝10.
∵x＋x－＝(x)3＋(x－)3
＝(x＋x－)(x－x·x－＋x－1)＝3×(7－1)＝18.
∴x＋x－＋2＝20，
∴＝＝2.
课时作业
1．C 2.D 3.B 4.A 5.D
6.
解析 64－＝(26)－＝2－4＝.
7．－
解析 由题意知x<0，
∴＝－＝－.
8．8
解析 52x－y＝(5x)2·(5y)－1＝42·2－1＝8.
9．解 (1)由题意知，a>1，
∴原式＝a－1＋(a－1)＋1－a＝a－1.
(2)原式＝÷÷
＝÷÷＝a÷(a)÷(a－2)
＝a÷a÷a－＝a－－(－)＝a.
(3)原式＝(0.33)－－(－7－1)－2＋(44)－＋1
＝－49＋64－＋1＝19.
10．解 (1)∵8x＋8－x＝(2x)3＋(2－x)3
＝(2x＋2－x)[(2x)2－2x·2－x＋(2－x)2]
＝3[(2x＋2－x)2－3·2x·2－x]＝3×(32－3)＝18.
(2)∵a≠0，a－27b≠0
∴原式＝×
＝＝a－
＝(－)－＝(－)－2
＝(－)2＝.3.2 对数与对数函数
解读对数概念及运算
对数是中学数学中重要的内容之一，理解对数的定义，掌握对数的运算性质是学习对数的重点内容．现梳理这部分知识，供同学们参考．
一、对数的概念
对数概念与指数概念有关，指数式和对数式 ( http: / / www.21cnjy.com )是互逆的，即ab＝N logaN＝b(a>0，且a≠1)，据此可得两个常用恒等式：(1)logaab＝b；(2)alogaN＝N.
例1 计算：log22＋log51＋log3＋9log32.
分析 根据定义，再结合对数两个恒等式即可求值．
解 原式＝1＋0＋log33－3＋(3log32)2＝1－3＋4＝2.
点评 解决此类问题关键在于根据幂的运算法则将指数式和对数式化为同底数．
二、对数的运算法则
常用的对数运算法则有：对于M>0，N>0.
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；
(2)loga＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM.
例2 计算：lg 14－2lg ＋lg 7－lg 18.
分析 运用对数的运算法则求解．
解 由已知，得
原式＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2)
＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.
点评 对数运算法则是进行对数运算的根本保证，同学们必须能从正反两方面熟练应用．
三、对数换底公式
根据对数的定义和运算法则 可以得到对数换底公式：
logab＝(a>0且a≠1，c>0且c≠1，b>0)．
由对数换底公式又可得到两个重要结论：
(1)logab·logba＝1；
(2)loganbm＝logab.
例3 计算：(log25＋log4125)×.
分析 在利用换底公式进行化简求值时，一般是根据题中对数式的特点选择适当的底数进行换底，也可选择以10为底进行换底．
解 原式＝(log25＋log25)×
＝log25×log52＝.
点评 对数的换底公式是“同底化”的有力工具，同学们要牢记．
通过上面讲解，同学们可以知道对数 ( http: / / www.21cnjy.com )的定义是对数式和指数式互化的依据，正确进行它们之间的相互转换是解题的有效途径．对数的运算性质，同学们要熟练掌握，在应用过程中避免错误，将公式由“正用”“逆用”逐步达到“活用”的境界．
对数换底公式的证明及应用
设a>0，c>0且a≠1， ( http: / / www.21cnjy.com )c≠1，N>0，则有logaN＝，这个公式称为对数的换底公式，它在对数的运算中有着重要的应用，课本中没有给出证明，现证明如下：
证明 记p＝logaN，则ap＝N.*
*式两边同时取以c为底的对数(c>0且c≠1)得
logcap＝logcN，即plogca＝logcN.
所以p＝，即logaN＝.
推论1：logab·logba＝1.
推论2：loganbm＝logab(a>0且a≠1，b>0)．
例4 (1)已知log189＝a,18b＝5，求log3645的值；
(2)求log23·log34·log45·…·log6364的值．
解 (1)因为log189＝a,18b＝5，所以＝a.
所以lg 9＝alg 18，lg 5＝blg 18.
所以log3645＝＝
＝＝.
(2)log23·log34·log45·…·log6364
＝···…·
＝＝＝6.
点评 对数运算法则中，对数式都是同底的，凡不同底的对数运算，都需要用换底公式将底统一，一般统一成常用对数．
例5 已知log8a＋log4b＝，log8b＋log4a2＝7，求ab的值．
解 由已知可得
即解得
所以a＝26，b＝23.故ab＝26·23＝512.
点评 发现底数“4”，“8”与“2”的关系，将底数统一成“2”，解决问题比较简单．
此外还有下面的关系式：logNM＝＝；
logaM·logbN＝logaN·logbM；
＝＝logab；
NlogaM＝MlogaN.
对数函数图象及性质的简单应用
对数函数图象是对数函数的一种表达形 ( http: / / www.21cnjy.com )式，形象显示了函数的性质，为研究它的数量关系提供了“形”的直观性．它是探求解题思路、获得问题结果的重要途径．能准确地作出对数函数的图象是利用平移、对称的变换来研究复杂函数的性质的前提，而数形结合是研究与对数函数的有关问题的常用思想．
一、求函数的单调区间
例6 画出函数y＝log2x2的图象，并根据图象指出它的单调区间．
解 当x≠0时，函数y＝log2x2满足
f(－x)＝log2(－x)2＝log2x2＝f(x)，
所以y＝log2x2是偶函数，它的图象关于y轴对称．
当x>0时，y＝log2x2＝2log2x，
因此先画出y＝2log2x(x>0)的图象为C1，再作出C1关于y轴对称的图象C2，C1与C2构成函数y＝log2x2的图象，如图所示．
由图象可以知道函数y＝log2x2的单调减区间是(－∞，0)，单调增区间是(0，＋∞)．
点评 作图象时一定要考虑定义域，否则会导致求出错误的单调区间，同时在确定单调区间时，要注意增减区间的分界点，特别要注意区间的开与闭问题．
二、利用图象求参数的值
例7 若函数f(x)＝loga(x＋1)(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a等于( )
A. B. C. D．2
解析 当a>1时，f(x)＝loga(x＋1)的图象如图所示．
f(x)在[0,1]上是单调增函数，且值域为[0,1]，
所以f(1)＝1，即loga(1＋1)＝1，
所以a＝2，
当0答案 D
点评 (1)当对数的底数不确定时要注意讨论；
(2)注意应用函数的单调性确定函数的最值(值域)．
三、利用图象比较实数的大小
例8 已知logm21，试确定实数m和n的大小关系．
解 在同一直角坐标系中作出函数y＝logmx与y＝lognx的图象如图所示，再作x＝2的直线，可得m>n.
点评 不同底的对数函数图象的规律是：
(1)底都大于1时，底大图低 ( http: / / www.21cnjy.com )(即在x>1的部分底越大图象就越接近x轴)；(2)底都小于1时，底大图高(即在0四、利用图象判断方程根的个数
例9 已知关于x的方程|log3x|＝a，讨论a的值来确定方程根的个数．
解 因为y＝|log3x|
＝
在同一直角坐标系中作出函数与y＝a的图象，如图可知：
(1)当a<0时，两个函数图象无公共点，所以原方程根的个数为0；
(2)当a＝0时，两个函数图象有一个公共点，所以原方程根有1个；
(3)当a>0时，两个函数图象有两个公共点，所以原方程根有2个．
点评 利用图象判断方程根的个数一般都是 ( http: / / www.21cnjy.com )针对不能将根求出的题型，与利用图象解不等式一样，需要先将方程等价转化为两端对应的函数为基本函数(最好一端为一次函数)，再作图象．若含有参数，要注意对参数的讨论，参数的取值不同，函数图象的位置也就不同，也就会引起根的个数不同．
三类对数大小的比较
一、底相同，真数不同
例10 比较loga与loga的大小．
分析 底数相同，都是a，可借助于函数y＝logax的单调性比较大小．
解 由()6＝8<()6＝9，得<.
当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，
故loga当0函数y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，
故loga>loga.
点评 本题需对底数a的范围进行分类讨论，以确定以a为底的对数函数的单调性，从而应用函数y＝logax的单调性比较出两者的大小．
二、底不同，真数相同
例11 比较log0.13与log0.53的大小．
分析 底数不同但真数相同，可在同一坐标系中 ( http: / / www.21cnjy.com )画出函数y＝log0.1x与y＝log0.5x的图象，借助于图象来比较大小；或应用换底公式将其转化为同底的对数大小问题．
解 方法一 在同一坐标系中作出函数y＝log0.1x与y＝log0.5x的图象，如右图．
在区间(1，＋∞)上函数y＝log0.1x的图象在函数y＝log0.5x图象的上方，
故有log0.13>log0.53.
方法二 log0.13＝，log0.53＝.
因为3>1，故y＝log3x是增函数，
所以log30.1所以>.
即log0.13>log0.53.
方法三 因为函数y＝lo ( http: / / www.21cnjy.com )g0.1x与y＝log0.5x在区间(0，＋∞)上都是减函数，故log0.13>log0.110＝－1，log0.53log0.53.
点评 方法一借助于对数函数的图象；方法二应用换底公式将问题转化为比较两个同底数的对数大小；方法三借助于中间值来传递大小关系．
三、底数、真数均不同
例12 比较log3与log5的大小．
分析 底数、真数均不相同，可通过考察两者的范围来确定中间值，进而比较大小．
解 因为函数y＝log3x与函数y＝log5x在(0，＋∞)上都是增函数，
故log3log51＝0，
所以log3点评 当底数、真数均不相同时，可找中间量(如1或0等)传递大小关系，从而比较出大小．
综上所述，比较两个(或多个)对数的大小时，一 ( http: / / www.21cnjy.com )看底数，底数相同的两个对数可直接利用对数函数的单调性来比较大小，对数函数的单调性由“底”的范围决定，若“底”的范围不明确，则需分“底数大于1”和“底数大于0且小于1”两种情况讨论，如例10；二看真数，底数不同但真数相同的两个对数可借助于图象，或应用换底公式将其转化为同底的对数来比较大小，如例11；三找中间值，底数、真数均不相同的两个对数可选择适当的中间值(如1或0等)来比较，如例12.
初学对数给你提个醒
对数函数是函数的重要内容之一，由于同学们对概念、定义域、值域、图象等知识点掌握得不够好，经常出现解题错误，现将这些错误进行归纳并举例说明．
一、忽视0没有对数
例13 求函数y＝log3(1＋x)2的定义域．
错解 对于任意的实数x，都有(1＋x)2≥0，
所以原函数的定义域为R.
剖析 只考虑到负数没有对数．事实上，由对数的定义可知，零和负数都没有对数．
正解 {x|x≠－1}
二、忽视1的对数为0
例14 求函数y＝的定义域．
错解 由2x＋3>0，得x>－，
所以定义域为{x|x>－}．
剖析 当2x＋3＝1时，log21＝0，分母为0没有意义，上述解法忽视了这一点．
正解 {x|x>－且x≠－1}
三、忽视底数的取值范围
例15 已知log(2x＋5)(x2＋x－1)＝1，则x的值是( )
A．－4 B．－2或3
C．3 D．－4或5
错解 由2x＋5＝x2＋x－1，化简得x2－x－6＝0，
解得x＝－2或x＝3.故选B.
剖析 忽视了底数有意义的条件：2x＋5>0且2x＋5≠1.当x＝－2时，2x＋5＝1，应舍去，只能取x＝3.
正解 C
四、忽视真数大于零
例16 已知lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，求log的值．
错解 因为lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，
所以xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0，
所以x＝y或x＝4y，即＝1或＝4，
所以log＝0，或log＝4.
剖析 错误的原因在于忽视了原式中的三个对数式隐含的条件，x>0，y>0，x－2y>0，所以x>2y>0，所以x＝y不成立．
正解 因为lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，
所以xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0，
所以x＝y或x＝4y，
因为x>0，y>0，x－2y>0，
所以x＝y应舍去，所以x＝4y，即＝4，所以log＝4.
五、对数运算性质混淆
例17 下列运算：(1)＝log2；
(2)log28＝3log22；
(3)log2(8－4)＝log28－log24；
(4)log2·log23＝log2(×3)．其中正确的有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
错解 A
剖析 (1)真数8与4不能相 ( http: / / www.21cnjy.com )除；(3)中log2(8－4)不能把log乘进去运算，没有这种运算的，运算log2＝log28－log24才是对的；(4)错把log提出来运算了，也没有这种运算，正确的只有(2)．
正解 D
六、忽视对含参底数的讨论
例18 已知函数y＝logax(2≤x≤4)的最大值比最小值大1，求a的值．
错解 由题意得loga4－loga2＝loga2＝1，所以a＝2.
剖析 对数函数的底数含有参数a，错在没有讨论a与1的大小关系而直接按a>1解题．
正解 ①若a>1，
函数y＝logax(2≤x≤4)为增函数，
由题意得loga4－loga2＝loga2＝1，
所以a＝2，又2>1，符合题意．
②若0由题意得loga2－loga4＝loga＝1，
所以a＝，又0<<1，符合题意，
综上可知a＝2或a＝.
巧借对数函数图象解题
数形结合思想，就是将抽象的数学语言与直观 ( http: / / www.21cnjy.com )的图形结合起来，使抽象思维与形象思维相结合．通过对图形的认识、数形转化，来提高思维的灵活性、形象性、直观性，使问题化难为易、化抽象为具体．它包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面．
一、利用数形结合判断方程解的范围
方程解的问题可以转化为曲线的交点问题，从而把代数与几何有机地结合起来，使问题的解决得到简化．
例1 方程lg x＋x＝3的解所在区间为( )
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3，＋∞)
解析 在同一平面直角坐标系中，画 ( http: / / www.21cnjy.com )出函数y＝lg x与y＝－x＋3的图象(如图所示)．它们的交点横坐标x0显然在区间(1,3)内，由此可排除选项A、D.实际上这是要比较x0与2的大小．当x0＝2时，lg x0＝lg 2，3－x0＝1.由于lg 2<1，因此x0>2，从而判定x0∈(2,3)．
答案 C
点评 本题是通过构造函数用 ( http: / / www.21cnjy.com )数形结合法求方程lg x＋x＝3的解所在的区间．数形结合，要在结合方面下功夫．不仅要通过图象直观估计，而且还要计算x0的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断．
二、利用数形结合求解的个数
例2 已知函数f(x)满足f(x＋2 ( http: / / www.21cnjy.com ))＝f(x)，当x∈[－1,1)时，f(x)＝x，则方程f(x)＝lg x的根的个数是________．
解析 构造函数g(x)＝lg x，在同一坐标系中画出f(x)与g(x)的图象，如图所示，易知有4个根．
答案 4
点评 本题学生极易填3项，其 ( http: / / www.21cnjy.com )原因是学生作图不标准，尤其是在作对数函数的图象时没有考虑到当x＝10时，y＝1.因此，在利用数形结合法解决问题时，要注意作图的准确性．
三、利用数形结合解不等式
例3 使log2x<1－x成立的x的取值范围是
________________________________________________________________________．
解析 构造函数f(x)＝log2x，g(x)＝1－x，在同一坐标系中作出两者的图象，如图所示，直接从图象中观察得到x∈(0,1)．
答案 (0,1)
点评 用数形结合的方法去分析解决问题，除了会读图外，还要会画图，绘制图形既是利用数形结合方法的需要，也是培养我们动手能力的需要．
对数函数常见题型归纳
一、考查对数函数的定义
例4 已知函数f(x)为对数函数，且满足f(＋1)＋f(－1)＝1，求f(＋1)＋f(－1)的值．
解 设对数函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)，
由已知得loga(＋1)＋loga(－1)＝1，
即loga[(＋1)×(－1)]＝1 a＝2.
所以f(x)＝log2x(x>0)．
从而得f(＋1)＋f(－1)
＝log2[(＋1)×(－1)]＝2.
二、考查对数的运算性质
例5 的值是( )
A. B．1 C. D．2
解析 原式＝·
＝··＝.
答案 A
三、考查指数式与对数式的互化
例6 已知logax＝2，logbx＝3，logcx＝6，求logabcx的值．
解 由已知，得a2＝x，b3＝x，c6＝x，
所以a＝x，b＝x，c＝x.
于是，有abc＝x＋＋＝x1，
所以x＝abc，则logabcx＝1.
四、考查对数函数定义域和值域(最值)
例7 (江西高考)若f(x)＝，则f(x)的定义域为( )
A. B.
C. D．(0，＋∞)
解析 要使f(x)有意义，需log(2x＋1)>0＝log1，
∴0<2x＋1<1，∴－答案 A
例8 已知函数f(x)＝2＋ ( http: / / www.21cnjy.com )log3x(1≤x≤9)，则函数g(x)＝f2(x)＋f(x2)的最大值为________，最小值为________．
解析 由已知，得函数g(x)的定义域为
1≤x≤3.
且g(x)＝f2(x)＋f(x2)
＝(2＋log3x)2＋2＋log3x2
＝logx＋6log3x＋6.
则当log3x＝0，即x＝1时，g(x)有最小值g(1)＝6；
当log3x＝1，即x＝3时，g(x)有最大值g(3)＝13.
答案 13 6
五、考查单调性
例9 若函数f(x)＝logax(0A. B. C. D.
解析 由于0答案 A
六、考查对数函数的图象
例10 若不等式x2－logax<0在(0，)内恒成立，则a的取值范围是________．
解析 由已知，不等式可化为x2所以不等式x2可转化为当x∈(0，)时，
函数y＝x2的图象在函数y＝logax图象的下方，如图所示．
答案 [，1)
点评 不等式x2巧比对数大小
一、中间值法
若两对数底数不相同且真数也不相同时，比较其大小通常运用中间值作媒介进行过渡．
理论依据：若A>C，C>B，则A>B.
例11 比较大小：log9，log8.
解 由于log9所以log9点评 以为纽带，建立起放缩的桥梁，解题时常通过观察确定中间值的选取．
二、比较法
比较法是比较对数大小的常用方法，通常有作差和作商两种策略．
理论依据：(1)作差比较：若A－B>0，则A>B；
(2)作商比较：若A，B>0，且>1，则A>B.
例12 比较大小：(1)log47，log1221；
(2)log1.10.9，log0.91.1.
解 (1)log47－log1221＝(log47－1)－(log1221－1)
＝log4－log12＝－，
由于0，
即log47>log1221.
(2)由于log1.10.9，log0.91.1都小于零，
所以＝(log1.10.9)2＝(－log1.10.9)2
＝(log1.1)2>(log1.1)2＝1，
故|log1.10.9|>|log0.91.1|，所以log1.10.9点评 将本例(1)推广延伸为：若10，则logAB>logAC(BC)，进而可比较形如此类对数的大小．
三、减数法
将对数值的大概范围确定后，两边同减去一个数，通过局部比较大小．
理论依据：若A－C>B－C，则A>B.
例13 比较大小：
logn＋2(n＋1)，logn＋1n(n>1)．
解 因为logn＋2(n＋1)－1
＝logn＋2>logn＋2>logn＋1＝logn＋1n－1.
所以logn＋2(n＋1)>logn＋1n.
点评 将本例推广延伸为：若10，则logA＋C(B＋C)>logAB，进而可比较形如此类对数的大小．
四、析整取微法
将对数的整数部分分别析取出来，通过比较相应小数部分的大小使得问题获解．
理论依据：若A＝logaM＝k＋x，B＝logbN＝k＋y，且x>y，则A>B.
例14 比较大小：log3，log8.
解 令log3＝－2＋x，log8＝－2＋y，
于是2－(－2＋x)＝3,3－(－2＋y)＝8，
则2－x－3－y＝－<0，故2－x<3－y.
两边同时取对数，化简得xlg 2>ylg 3，
则>>1，即x>y，故log3>log8.
点评 这种方法便于操作，容易掌握，并且所涉及的知识又都是通性通法，有利于“回归课本，夯实基础”，此法值得深思．
解题要学会反思
解题中的反思是完善解题思路的有效方法 ( http: / / www.21cnjy.com )，面对一道较为综合的题，寻找解题思路时，想一步到位，往往不太现实；边解边反思，逐步产生完善、正确的解题思路，却是可行的，请看：
题目：已知函数f(x)＝logm，试问：是否存在正数α，β，使f(x)在[α，β]上的值域为[logm(β－4)，logm(α－4)]？若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．
甲：在[α，β]上的值域为[logm(β－4)，logm(α－4)]，也就是
α＝β，与α<β矛盾，故不存在．
乙：你的解答不全面，你的求解建立在一个条件的基础上，就是函数f(x)是增函数，而题目并没有说明这个函数是增函数呀！
丙：没错，应该对m进行讨论．
设0<α≤x1由于－＝<0，
那么0<<.
讨论：(1)若0则logm>logm，
即f(x1)>f(x2)，得f(x)为减函数．
(2)若m>1，则logm即f(x1)若m存在，当0
显然α，β是方程x2－2x－9＝0的两根，由于此方程的两根中一根为正，另一根为负，与0<α<β不符，因此m不存在；
当m>1时，就是甲的解题过程，同样满足条件的α，β不存在．
老师：乙和丙实质上是对甲的解法做了个反思．通过你们的讨论可以看出，反思的作用相当大，它可以使思路逐步完善，最终形成完美的解题过程.
对数函数高考考点例析
对数函数是高中数学函数知识的重要组成部分， ( http: / / www.21cnjy.com )关于对数函数的考查在高考中一直占有重要的地位．下面我们针对近几年高考中考查对数函数知识的几个着眼点作一一剖析，希望对大家的学习有所帮助．
1．(湖南高考)函数f(x)＝的图象和函数g(x)＝log2x的图象的交点个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析 作出函数f(x)与g(x)的图象，如图所示，由图象可知：两函数图象的交点有3个．
答案 C
2．(江苏高考)函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________．
解析 函数f(x)的定义域为，令t＝2x＋1(t>0)．因为y＝log5t在t∈(0，＋∞)上为增函数，t＝2x＋1在上为增函数，所以函数y＝log5(2x＋1)的单调增区间为.
答案
3．(辽宁高考)设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是( )
A．[－1,2] B．[0,2] C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)
解析 当x≤1时，由21－x≤2，知x ( http: / / www.21cnjy.com )≥0，即0≤x≤1.当x>1时，由1－log2x≤2，知x≥，即x>1，所以满足f(x)≤2的x的取值范围是[0，＋∞)．
答案 D
(一)排除法
当我们面临的问题不易从正面入手直 ( http: / / www.21cnjy.com )接挑选出正确的答案或解题过程繁琐时，可以从反面入手，因为选择题的正确答案已在选项中列出，从而逐一考虑所有选项，排除其中不正确的，则剩下的就是正确的答案．
4．(全国高考)若a＝，b＝，c＝，则( )
A．a＜b＜c B．c＜b＜a
C．c＜a＜b D．b＜a＜c
解析 首先比较a，b，即比较3ln 2,2ln 3的大小，
∵3ln 2＝ln 8＜ln 9＝2ln 3，
∴a＜b.故排除B、D.
同理可得c＜a.
答案 C
(二)媒介法
对于直接比较困难时，常插入媒介，以此为桥梁进行比较，常插入0或1.
5．(山东高考)下列大小关系正确的是( )
A．0.43>30.4B．0.43C．log40.3<0.43<30.4
D．log40.3<30.4<0.43
解析 分析知0<0.43<1,30.4>30＝1，
log40.3故log40.3<0.43<30.4.故选C.
答案 C
(三)特值法
对于有些有关对数不等式的选择题，通过取一些符合条件的特殊值验证，往往也能简便求解．
6．(青岛模拟)已知0A．loga(xy)<0 B．0C．12
解析 取x＝，y＝，a＝，代入loga(xy)检验即可得D.
答案 D
7．对于函数y＝f(x)，x∈D，若 ( http: / / www.21cnjy.com )存在一常数c，对任意x1∈D，存在惟一的x2∈D，使＝c，则称函数f(x)在D上的均值为c.已知f(x)＝lg x，x∈[10,100]，则函数f(x)＝lg x在[10,100]上的均值为( )
A. B. C. D．10
分析 该题通过定义均值的方式命题，以定义给出题目信息，是当前的一种命题趋势．其本质是考查关于对数和指数的运算性质和对定义的理解与转化．
解析 首先从均值公式可得lg (x1x2)＝2c，
所以x1x2＝102c＝100c.
因为x1，x2∈[10,100]，所以x1x2∈[100,10 000]．
所以100≤100c≤ 10 000.所以1≤c≤2.
从选项看可知成为均值的常数可为.故选A.
答案 A
8．函数y＝|log2x|的定义域为[a，b]，值域为[0,2]，则区间[a，b]的长度b－a的最小值为( )
A．3 B. C．2 D.
分析 对函数的性质的分析研 ( http: / / www.21cnjy.com )究一直是高中数学的重点，尤其是二次函数、指数函数和对数函数等重点函数的形态研究．本题正是以函数y＝log2x为基础而编制，从定性分析和定量的计算中刻划a，b的关系．结合函数的图象(图象是函数性质的立体显示)数形结合易于寻找、确定二者的关系．
解析 画出函数图象如图所示．
由log2a＝－2得a＝.
由log2b＝2得b＝4.
数形结合知a∈[，1]，b∈[1,4]．
考虑函数定义域，满足值域[0,2]的取值情况可知，
当b＝1，a＝时，b－a的最小值为1－＝.故选B.
答案 B第三章 基本初等函数(Ⅰ)
§3.1 指数与指数函数
【入门向导】 指数函数图象诗歌鉴赏
多个图象像束花，(0,1)这点把它扎．
撇增捺减无例外，底互倒时纵轴夹．
x＝1为判底线，交点y标看小大．
重视数形结合法，横轴上面图象察．
此诗每行字数相等，且押韵，读起来倍感顺口，内容简洁明了，使读者在无形之中把指数函数图象的特点牢记于心．
如图所示的就是上面举的指数函数的图象． ( http: / / www.21cnjy.com )不难看出，它们就像一束花．每个指数函数的图象都经过(0,1)这点，所以说“(0,1)这点把它扎”就顺理成章了．
对于指数函数的图象来说，“撇增捺减”就绝 ( http: / / www.21cnjy.com )对是事实．当a>1时，从左往右看指数函数y＝ax的图象是上升的，类似于汉字中的撇，这时，指数函数y＝ax是增函数；当0解读指数函数图象的应用
一、比较大小
例1 若a<0，则2a，()a,0.2a的大小顺序是________．
解析 分别作出函数y＝2x，y＝()x和y＝0.2x的图象，如图所示，从图象可以看出，当a<0时，有0.2a>()a>2a.
答案 0.2a>()a>2a
点评 本题涉及三个指数函数图象，因此在作图时 ( http: / / www.21cnjy.com )，一定要抓住图象的特征点(0,1)或特征线y＝1及指数函数图象的走向正确作图：当a>1时，底数a越大图象越陡；当0二、求解方程根的问题
例2 确定方程2x＝－x2＋2的根的个数．
解 根据方程的两端分别设函数f(x)＝2x，g(x)＝－x2＋2.
在同一坐标系中画出函数f(x)＝2x与g(x)＝－x2＋2的图象，如图所示．
由图可以发现，二者仅有两个交点，
所以方程2x＝－x2＋2的根的个数为2.
点评 利用指数函数的图象确定方程的根的关键是要正确作出方程两端对应的函数的图象，遇到含有参数的方程时，还要注意分类讨论．
三、求解参数问题
例3 若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|＋1(a>0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是________．
解析 当a>1时，通过平移变换和翻折变换可得如图1所示的图象，则由图可知1<2a<2，
即1矛盾．
当0则由图可知1<2a<2，
即答案 点评 (1)解答此题时要注意底数的不 ( http: / / www.21cnjy.com )确定性，因此作图时要注意讨论；(2)根据条件确定直线y＝2a与函数的图象位置关系，然后由位置关系建立不等式，进而求得结果，其处理的过程体现了数形结合的思想．
学习根式和分数指数幂的运算三注意
有关根式和分数指数幂的运算，和我们学过 ( http: / / www.21cnjy.com )的加、减、乘、除运算一样，是十分重要的，它也是我们继续学习指数函数和对数函数的基础．由于这一部分内容的概念较多，初学时很容易出错，首先要注意以下三点．
(1)根式的运算中，有开方和乘方两种情况 ( http: / / www.21cnjy.com )并存的情况，此时要注意两种运算的顺序是否可换．如当a≥0时，＝()m，而当a<0时，则不一定可换，应视m，n的情况而定．
(2)分数指数幂不能对指数随意约分．
(3)对分数指数幂的运算结果不能同时含有根号和分数指数，不能同时含有分母和负指数．
错例分析
一、有关方根的概念不清与忽视方根的性质致错分析
例4 设f(x)＝，且0错解 f(a＋)＝ ＝ ＝a－.
剖析 在开方运算中忽视根式的两个重要性质：
(1)当n为奇数时，＝a；
(2)当n为偶数时，＝|a|＝
性质(2)在解题中是很容易被忽视的，因为此时的n为偶数，所以不论a取怎样的值，总有意义．
因此在上面的解答中应有：由0所以－a≥0，从而
＝ ＝|a－|＝－a.
二、忽视分数指数幂的意义致错分析
例5 下列化简与计算中，正确的个数是( )
(1)(a3)2＝a9；(2)a·a＝a(a>0)；
(3)a＝a；
(4)＝(－8)＝(－8)＝－2；
(5)×＝×＝＝－.
A．0 B．1 C．2 D．3
请同学们给出答案后根据基础知识分析致错的原因．
剖析 忽视运算性质致错：
(1)应为(a3)2＝a6，比如，(23)2＝82≠29；
(2)应为a·a＝a＋＝a.
忽视字母的取值范围致错：
(3)应为a＝|a|，比如(－2)应是一个正数，而(－2)却是一个负数．
在分数指数幂与根式的化简中致错：
(4)显然应是一个正数，这里(－8)≠(－8)；
(5)显然≠.
故答案为A.
教材中，规定了正分数指数幂的意义a ( http: / / www.21cnjy.com )＝(a>0，m，n∈N*，且为既约分数)，从而指数的概念扩充到了有理数指数，继而又扩充到了实数指数．这时底数、指数的范围发生了变化，这在解题中是很容易被忽视的，由于在后面有关指数函数求定义域的问题中经常用到，这里就不再赘述．
三、忽视隐含条件致错
例6 化简：(1－x)[(x－1)－2(－x)].
错解 (1－x)[(x－1)－2(－x)]
＝(1－x)(x－1)－1(－x)＝－(－x).
剖析 题目中含有(－x)，要注意考虑－x≥0这个前提条件，即x≤0.
正解 由(－x)可知－x≥0，即x≤0，
所以(1－x)[(x－1)－2(－x)]
＝(1－x)(1－x)－1(－x)＝(－x).
点评 在指数运算过程中，一定要注意题目中隐含的一些特殊条件，只有充分挖掘这些隐含的特殊条件，才能为正确解答打下坚实的基础．
初学指数函数应当心
一、指数函数概念出错
例7 已知指数函数y＝ax的底数a满足方程a2＋a－6＝0，求该指数函数．
错解 由方程a2＋a－6＝0，解得a＝2或a＝－3.
所以该指数函数为y＝2x或y＝(－3)x.
剖析 在解题过程中忽视了指数函数的定义中对底数a的限定，这个隐含条件对解题往往起到至关重要的作用．
正解 由方程a2＋a－6＝0，解得a＝2或a＝－3.由于指数函数y＝ax的底数a满足a>0且a≠1，故取a＝2.所以该指数函数为y＝2x.
点评 指数函数定义中的底数a满足a>0且a≠1这个隐含条件，在解答过程中一定要加以注意．
二、指数函数值域出错
例8 求函数y＝2的定义域和值域．
错解 要使函数y＝2有意义，则x－1≠0，即x≠1.
所以函数y＝2的定义域为{x|x≠1}．
因为x≠1，即≠0，所以2≠1.
所以函数y＝2的值域为{y|y≠1}．
剖析 在解题过程中忽视了指数函数的值域{y|y>0}这个隐含条件，而只是根据题目条件得出y≠1是不全面的．
正解 要使函数有意义，则x－1≠0，即x≠1.
所以函数y＝2的定义域为{x|x≠1}．
因为x≠1，即≠0，所以2≠1.又2>0，
所以函数y＝2的值域为{y|y>0，且y≠1}．
点评 指数函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的值域只能是R＋的子集，解题时一定要结合具体情况加以分析讨论．
三、指数函数图象出错
例9 根据函数y＝|2x－1|的图象，判断当实数m为何值时，方程|2x－1|＝m无解？有一解？有两解？
错解 由方程|2x－1|＝m可得2x＝1±m，结合指数函数的图象(如图)可知：
当2x＝1±m≤0，
即m≤－1或m≥1时，
方程|2x－1|＝m无解；
当2x＝1±m>0，即－1不存在实数m使方程|2x－1|＝m有两解．
剖析 不能充分理解函数图象的交点与方 ( http: / / www.21cnjy.com )程解的关系．没有充分结合指数函数的图象的变换加以解答．可以把这个问题加以转换，将求方程|2x－1|＝m的解的个数转化为求两个函数y＝|2x－1|与y＝m的图象交点个数去理解，而不能结合运算加以分析，这样容易导致错误．
正解 函数y＝|2x－1|的图象可由指数函数y＝2x的图象先向下平移一个单位长度，然后再作x轴下方的部分关于x轴的对称图形，如图所示．
函数y＝m的图象是与x轴平行的直线，观察两图象的关系可知：
当m<0时，两函数图象没有公共点，此时方程|2x－1|＝m无解；
当m＝0或m≥1时，两函数图象只有一个公共点，此时方程|2x－1|＝m有一解；
当0点评 由于方程解的个数与它们对应的函数 ( http: / / www.21cnjy.com )图象交点的个数是相等的，所以对于含字母方程解的个数讨论，往往用数形结合方法加以分析，准确作出相应函数的图象是正确解题的前提和关键.
指数运算中的几种变形技巧
常见的指数运算问题有：化简、 ( http: / / www.21cnjy.com )求值、证明等，而分数指数幂的引入为这类问题的解决增加了难度，为帮助大家更好的学习，本文就这类问题的求解方法试作分析．
一、逆用公式
例1 已知a＝，b＝，c＝，试比较a，b，c的大小．
解 因为a＝＝＝，
b＝＝＝，c＝，
而121<123<125，所以a>c>b.
即>>.
二、妙用公式变形
引入负指数及分数指数幂后， ( http: / / www.21cnjy.com )平方差、立方差、完全平方公式就有了新的形式，赋予新的活力，如：a＋b＝(a＋b)(a－ab＋b)，a－b＝(a＋b)(a－b)等等，运用这些公式新变形，可快速巧妙求解问题．
例2 ÷(1－2)×.
解 原式＝÷×a
＝××a
＝··a
＝a·a·a＝a.
三、整体代换
在指数运算中，若进行适当的变量代换，将分数指数幂转化为整数指数幂，使指数间的关系比较明显显现出来，易于求解．
例3 已知a2－3a＋1＝0，求a－＋a的值．
分析 若先求出a的值，再代入计算很繁琐，探寻条件与结论之间的关系，分析条件，把条件转化为与结论有明显关系的式子．
解 ∵a2－3a＋1＝0，∴a≠0，∴a＋＝3.
而(a－＋a)2＝a－1＋a＋2＝3＋2＝5，∴a－＋a＝.
四、化异为同
例4 计算(－)2 008·(＋)2 009.
分析 注意到两个底数＋与－互为有理化因式，且它们的指数相差不大，所以互化为同指数计算．
解 原式＝(－)2 008·(＋)2 008·(＋)
＝[(－)·(＋)]2 008·(＋)
＝12 008·(＋)＝＋.
五、化负为正
例5 化简＋.
解 方法一 原式＝＋
＝＋＝＋＝＝1.
方法二 原式＝＋
＝＋＝1.
点评 对于式子，方法一是利用分子分母同时 ( http: / / www.21cnjy.com )乘4x化简，而方法二是把2写成2·4x·4－x，通过约分化简，两种方法都是巧用4x·4－x＝1实现化简的．
指数函数常见题型解法探究
一、指数函数的定义
例6 已知指数函数f(x)的图象经过点(2,4)，试求f(－)的值．
解 设指数函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)，
由已知得f(2)＝4，即a2＝4(a>0，a≠1)，所以a＝2.
故f(－)＝2－＝.
二、考查指数的运算性质
例7 若f(x)＝，g(x)＝，则f(2x)等于( )
A．2f(x) B．2g(x)
C．2[f(x)＋g(x)] D．2f(x)·g(x)
解析 f(2x)＝＝
＝2·＝2f(x)·g(x)．
故选D.
答案 D
三、指数函数的单调性
例8 设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝()－1.5，则( )
A．y3>y1>y2 B．y2>y1>y3
C．y1>y2>y3 D．y1>y3>y2
解析 y1＝40.9＝21.8，y2＝80. ( http: / / www.21cnjy.com )48＝21.44，y3＝()－1.5＝21.5.由于指数函数f(x)＝2x是R上的增函数，且1.8>1.5>1.44，所以y1>y3>y2，选D.
答案 D
四、定义域和值域
例9 已知函数y＝f(x)的定义域为(1,2)，则函数y＝f(2x)的定义域为________．
解析 由函数的定义，得1<2x<2 0所以应填(0,1)．
答案 (0,1)
五、图象过定点问题
例10 已知不论a为何正实数，y＝ax＋1－2的图象恒过定点，则这个定点的坐标是________．
解析 因为指数函数y＝ax(a>0，a≠1) ( http: / / www.21cnjy.com )的图象恒过定点(0,1)，而函数y＝ax＋1－2的图象可由y＝ax(a>0，a≠1)的图象向左平移1个单位后，再向下平移2个单位而得到，于是，定点(0,1)→(－1,1)→(－1，－1)．所以函数y＝ax＋1－2的图象恒过定点(－1，－1)．
答案 (－1，－1)
六、图象
依据：(1)指数函数y＝ax ( http: / / www.21cnjy.com )(a>0，a≠1)的图象；(2)函数y＝f(x)的图象与y＝f(x＋a)、y＝f(x)＋b、y＝f(－x)、y＝－f(x)、y＝－f(－x)、y＝|f(x)|、y＝f(|x|)的图象之间的关系．
例11 利用函数f(x)＝2x的图象，作出下列各函数的图象：
(1)y＝f(x－1)；(2)y＝f(|x|)；(3)y＝f(x)－1；
(4)y＝－f(x)；(5)y＝|f(x)－1|.
解 利用指数函数y＝2x的图象及变换作图法可作所要作的函数图象．其图象如图所示：
点评 函数y＝2|x|，y＝2－|x|，y＝|2x－1|的值域和单调性如何？
七、考查参数的取值范围
例12 已知函数y＝(ax－a－x)(a>0，a≠1)在(－∞，＋∞)上递增，求a的取值范围．
解 设任意x1，x2∈R，且x1即(ax1－a－x1)－(ax2－a－x2)
＝(ax1－ax2)(1＋)<0，
所以(a2－2)(ax1－ax2)<0
或解得a>或0异底指数比大小五法
一、化同底
例13 比较20.6，()－0.7,80.3的大小．
解 化同底得20.6，()－0.7＝20.7,80.3＝20.9.
因为函数y＝2x在R上是增函数，且0.6<0.7<0.9，
所以20.6<20.7<20.9，
即20.6<()－0.7<80.3.
点评 因为化同底后即可运用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽可能化同底．
二、商比法
例14 比较下列两个数的大小：1.1－0.2与1.3－0.1.
解 因为＝()－0.1
＝()0.1>()0＝1，
所以1.1－0.2>1.3－0.1.
点评 不同底但可以化为同指数的两数比较大小，用商比法即可迎刃而解，这时要特别注意分母的正负．
三、取中间值
例15 下列大小关系正确的是( )
A．0.43<30.4<π0 B．0.43<π0<30.4
C．30.4<0.43<π0 D．π0<30.4<0.43
解析 因为π0＝1,0.43<0.40＝1,30.4>30＝1，
所以0.43<π0<30.4，故选B.
答案 B
点评 不同底也不同指数时比较大小，宜先与中间值0或1比较大小，再间接地得出所求解．
四、估算法
例16 若3a＝0.618，a∈[k，k＋1]，则k＝________.
解析 因为k≤a≤k＋1，所以3k≤3a≤3k＋1.
把3a＝0.618代入得3k≤0.618≤3k＋1.
估算得≤0.618≤1，即3－1≤0.618≤30.
解得k＝－1.
答案 －1
点评 估算法既可快速达到比较大小的目的，又可培养同学们的估算能力，它是同学们必备的一种技能，在考试中解答填空、选择题时可用．
五、图解法
例17 已知实数a，b满足等式
()a＝()b，
下列五个关系式：
①0③0⑤a＝b.
其中不可能成立的关系式有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析 在同一坐标系中，分别画出函数y＝()a，y＝()b的图象．
由图观察可知，当b又当0答案 B
点评 把所要比较的指数化为指数函数，在同一坐标系中画出它们的图象，可以直观地看出其中的大小关系.
指数函数考什么？
1．(福建高考)已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
解析 由题意知f(1)＝21＝2.
∵f(a)＋f(1)＝0，∴f(a)＋2＝0.
①当a>0时，f(a)＝2a,2a＋2＝0无解；
②当a≤0时，f(a)＝a＋1，∴a＋1＋2＝0，∴a＝－3.
答案 A
2．(全国Ⅰ高考)已知函数f(x)＝a－.若f(x)为奇函数，则a＝________.
解析 ∵定义域为R，且函数为奇函数，
∴f(0)＝0，即a－＝0，∴a＝.
答案
3．(全国高考)函数y＝－ex的图象( )
A．与y＝ex的图象关于y轴对称
B．与y＝ex的图象关于坐标原点对称
C．与y＝e－x的图象关于y轴对称
D．与y＝e－x的图象关于坐标原点对称
解析 函数y＝－ex与y＝e－x的自变量x取相反数时，函数值y也为相反数，所以其图象关于原点对称．
答案 D
4．(湖北高考)若函数y＝ax＋b－1 (a>0且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则必有( )
A．a>0，b<1 B．0C．00 D．a>1，b<0
解析 数形结合是解题中常用的方法 ( http: / / www.21cnjy.com )之一，熟练掌握基本初等函数的图象及性质是利用数形结合法解题的前提．由指数函数y＝ax向下平移1－b个单位，使1－b>1即可得知．
答案 B
5．(全国高考)设函数f(x)＝若f(x0)<1，则x0的取值范围是( )
A．(－1,1)
B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析 当x≤0时，2－x0－1<1，得x0<2，
即x0>－1，
当x>0时，x0<1，得x0<1.
答案 A
6．(湖北高考)若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ex，则g(x)＝( )
A．ex－e－x B.(ex＋e－x)
C.(e－x－ex) D.(ex－e－x)
解析 ∵f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．
∴f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)＝e－x.
又∵f(x)＋g(x)＝ex，∴g(x)＝.
答案 D
7．(重庆高考)若x>0，则(2x＋3)(2x－3)－4x－(x－x)＝________.
答案 －23