第一章 立体几何初步 章末检测
(时间∶120分钟 满分∶150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的全面积是( )
A．3π B．3π C．6π D．9π
2．一条直线与两条平行线中的一条为异面直线，则它与另一条( )
A．相交 B．异面 C．相交或异面 D．平行
3．一个正方体的8个顶点都在表面积为4π的球面上，则正方体的表面积为( )
A．8 B．8 C．8 D．4
4．在空间，下列命题正确的是( )
A．平行直线的平行投影重合
B．平行于同一直线的两个平面平行
C．垂直于同一平面的两个平面平行
D．垂直于同一平面的两条直线平行
5．如图所示，一个空间几何体的三视图均为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为( )
A. B. C. D．1
6．在空间中，下列说法中不正确的是( )
A．两组对边相等的四边形是平行四边形
B．两组对边平行的四边形是平行四边形
C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
7．如图，下列物体的主视图和俯视图中有错误的一项是( )
8．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是BB1、BC的中点，则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正投影为( )
9．矩形ABCD中，AB ( http: / / www.21cnjy.com )＝4，BC＝3，沿AC将矩形ABCD折成一个空间四边形，使面BAC⊥面DAC，则四面体ABCD的外接球的体积为( )
A.π B.π C.π D.π
10．如图(1)所示，已知正方体的棱长为1，沿阴影面将它切割成两部分，拼成如图(2)所示的几何体，那么此几何体的全面积为( )
A．2＋2 B．4＋2
C．2＋ D．4＋
11．如图所示，点P是△ABC所在平面外一点，PA、PB、PC两两垂直，且PO⊥平面ABC于点O，则点O是△ABC的( )
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
12．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )
A．若l⊥m，m?α，则l⊥α
B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α，m?α，则l∥m
D．若l∥α，m∥α，则l∥m
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．如图，一个一端开口圆柱形的锅炉，底面直径d＝1 m，高h＝2.3 m，则锅炉的表面积为________(π取3.14)．
14．正方体的棱长为3 cm，在每一个面的 ( http: / / www.21cnjy.com )正中央有一个正方形孔通过对面，孔的边长为1 cm，孔的各棱分别平行于正方体的各棱，则该几何体的体积是________．
15.
如图所示，在直四棱柱ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D—A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)．
16．下列四个命题：①若a ( http: / / www.21cnjy.com )∥b，a∥α，则b∥α；②若a∥α，b?α，则a∥b；③若a∥α，则a平行于α内所有的直线；④若a∥α，a∥b，b?α，则b∥α.
其中正确命题的序号是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知平面 ( http: / / www.21cnjy.com )α⊥平面β，在α与β的交线上取线段AB＝4，AC、BD分别在平面α和平面β内，它们都垂直于交线AB，并且AC＝3，BD＝12，求CD长．
18．(12分)求证：平行于三棱锥的两条相对棱的平面截三棱锥所得的截面是平行四边形．
19.(12分)某几何体的三视图如图所示，P是正方形ABCD对角线的交点，G是PB的中点．
(1)根据三视图，画出该几何体的直观图；
(2)在直观图中，①证明：PD∥面AGC，
②证明：面PBD⊥面AGC.
20．(12分)
如图所示，在四面体ABCD中，若棱CD＝，其余各棱长都为1，试问：在这个四面体中，是否存在两个面互相垂直？证明你的结论．
21．(12分)如图，在 ( http: / / www.21cnjy.com )四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA⊥PD，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD＝90°，AD＝3BC，O是AD上一点．
(1)若CD∥平面PBO，试指出点O的位置；
(2)求证：平面PAB⊥平面PCD.
22．(12分)如图，在直四棱柱ABCD—A ( http: / / www.21cnjy.com )1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，E，E1分别是棱AD，AA1的中点．
(1)设F是棱AB的中点，求证：直线EE1∥平面FCC1；
(2)求证：平面D1AC⊥平面BB1C1C.
【答案解析】
1．A 2.C 3.A
4．D [由于两条平行直线的平行投影 ( http: / / www.21cnjy.com )可以平行也可以重合，因此A不对．平行于同一直线的两个平面可以平行也可以相交，故B不对，垂直于同一平面的两个平面可以相交也可以平行，故C不对．由于垂直于同一平面的两条直线平行，故D正确．]
5．A 6.A 7.D 8.A
9．C [球O为AC中点，半径为AC＝，V＝πR3＝π.选C.]
10．B [S全＝4×12＋2××1＝4＋2.]
11．C
[(如图)
连接AO并延长交BC于H，
由题意知，AP⊥面PBC，
∴AP⊥BC.
又PO⊥面ABC，∴PO⊥BC，
∴BC⊥面APH，∴BC⊥AH.
同理CO⊥AB.∴O为△ABC的垂心．]
12．B [对于A，由l⊥m及m?α ( http: / / www.21cnjy.com )，可知l与α的位置关系有平行、相交或在平面内三种，故A不正确．B正确．对于C，由l∥α，m?α知，l与m的位置关系为平行或异面，故C不正确．对于D，由l∥α，m∥α知，l与m的位置关系为平行、异面或相交，故D不正确．]
13．8.0 m2 14.20 cm3
15．B1D1⊥A1C1(答案不唯一)
解析 由直四棱柱可知CC1⊥面A1B1C1D1，
所以CC1⊥B1D1，要使B1D1⊥A1C，
只要B1D1⊥平面A1CC1，所以只要B1D1⊥A1C1，
还可以填写四边形A1B1C1D1是菱形，正方形等条件．
16．④
解析 ①中b可能在α内；②a与b可能异面；③a可能与α内的直线异面．
17.
解 连接BC.∵AC⊥l，
∴BC＝＝＝5.
又∵BD⊥l，α⊥β，α∩β＝l，
∴BD⊥α.
又∵BC?α，∴BD⊥BC.
∴CD＝＝＝13.
∴CD长为13 cm.
18.
已知 如图所示，三棱锥S—ABC，SC∥截面HF，AB∥截面HF.
求证 截面EFGH是平行四边形．
证明 ∵SC∥截面HF，SC?平面ASC，且平面ASC∩平面HF＝HG.
由线面平行的性质定理得SC∥HG.
同理可证SC∥EF，∴HG∥EF.
同理可证HE∥GF，
∴四边形EFGH是平行四边形．
19．(1)解 该几何体的直观图如图所示
(2)证明 ①连接AC，BD交于点O，连接OG，因为G为PB的中点，O为BD的中点，所以OG∥PD.
又OG?面AGC，PD?面AGC，
所以PD∥面AGC.
②连接PO，由三视图，PO⊥面ABCD，所以AO⊥PO.
又AO⊥BO，所以AO⊥面PBD.
因为AO?面AGC，
所以面PBD⊥面AGC.
20．解 存在两个互相垂直的平面，
即平面ACD⊥平面BCD.
过A作AE⊥CD，∵AD＝AC＝1，DC＝，
∴∠DAC＝90°，∴AE＝，
连接BE，
∵BD＝BC＝1，CD＝，BE⊥DC，BE＝，
∴∠AEB是二面角A—CD—B的平面角．
∵AB＝1，∴AB2＝AE2＋BE2，
∴∠AEB＝90°，
∴平面ACD⊥平面BCD.
21．(1)解 ∵CD∥平面PBO，CD?平面ABCD，
且平面ABCD∩平面PBO＝BO，
∴BO∥CD.
又BC∥AD，∴四边形BCDO为平行四边形．
则BC＝DO，而AD＝3BC，
∴AD＝3OD，即点O是靠近点D的线段AD的一个三等分点．
(2)证明 ∵侧面PAD⊥底面ABCD，
面PAD∩面ABCD＝AD，AB?底面ABCD，
且AB⊥AD，
∴AB⊥平面PAD.又PD?平面PAD，
∴AB⊥PD.
又PA⊥PD，且PA?面PAB，AB?面PAB，AB∩PA＝A，
∴PD⊥平面PAB.
又PD?平面PCD，
∴平面PAB⊥平面PCD.
22．证明 (1)方法一 取A1B1的中点为F1.
连接FF1，C1F1，CF1，A1D.
由于FF1∥BB1∥CC1，
所以F1∈平面FCC1，
因此平面FCC1即为平面C1CFF1.
连接A1D，F1C，
由于A1F1D1C1CD，
所以四边形A1DCF1为平行四边形，因此，A1D∥F1C，又EE1∥A1D，∴EE1∥F1C.
而EE1?平面FCC1，F1C?平面FCC1.
故EE1∥平面FCC1.
方法二 因为F为AB的中点，CD＝2，AB＝4，
AB∥CD，所以CDAF，
因此四边形AFCD为平行四边形，所以AD∥FC.
又CC1∥DD1，FC∩C ( http: / / www.21cnjy.com )C1＝C，FC?平面FCC1，CC1?平面FCC1，AD∩DD1＝D，AD?平面ADD1A1，DD1?平面ADD1A1.
所以平面ADD1A1∥平面FCC1.
又EE1?平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1.
(2)在△FBC中，FC＝BC＝FB，
又F为AB的中点，所以AF＝FC＝FB.
因此∠ACB＝90°，即AC⊥BC.
又AC⊥CC1，且CC1∩BC＝C，
所以AC⊥平面BB1C1C.
而AC?平面D1AC，
故平面D1AC⊥平面BB1C1C.1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
自主学习
学习目标
1．了解柱、锥、台、球的表面积的计算公式，并学会运用这些公式解决一些简单的问题．
2．认清直棱柱、正棱锥和正棱台的侧面展开图的特点，由此推导出侧面积公式．
自学导引
1．棱柱、棱锥、棱台侧面积
(1)设直棱柱高为h，底面多 ( http: / / www.21cnjy.com )边形的周长为c，则直棱柱侧面积计算公式：S直棱柱侧＝________，即直棱柱的侧面积等于它的________________________．
(2)设正n棱锥的底面边长为a ( http: / / www.21cnjy.com )，底面周长为c，斜高为h′，则正n棱锥的侧面积的计算公式：S正棱锥侧＝__________＝________，即正棱锥的侧面积等于它的________________________________________________________________________．
(3)设棱台下底面边长为a，底面周长为c，上底面边长为a′，周长为c′，斜高为h′，则正n棱台的侧面积公式：
S正棱台侧＝________________＝________________.
2．棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于__________________．
(2)用球的半径R计算球表面积的公式：S球＝________，即球面面积等于它的________________．
对点讲练
知识点一 直棱柱、正棱锥的表面积
例1 直平行六面体的底面是菱形，两个对角面面积分别为Q1，Q2，求直平行六面体的侧面积．
点评 本题主要考查棱柱的结构特征，特 ( http: / / www.21cnjy.com )别是直平行六面体，它的特点：底面是平行四边形且侧棱与底面垂直，对角面是矩形．设边长后就可以转化为矩形内线段的研究．在解方程组时注意运用整体代入的方法，充分运用式子的特征来解决问题．
变式训练1 设正三棱锥S—ABC的侧面积是底面积的2倍，高为SO＝3.求此正三棱锥的全面积．
知识点二 正棱台的表面积
例2 已知四棱台的上、下底面分别是边长为4 cm和8 cm的正方形，侧面是腰长为8 cm的等腰梯形，求它的侧面积．
点评 求棱台的侧面积要注意利用公式 ( http: / / www.21cnjy.com )及正棱台中的特殊直角梯形，它是架起求侧面积关系式中的未知量与满足题目条件中几何图形元素间的桥梁．另外，“还台为锥”的思想在计算中也经常用到.
变式训练2 已知正三棱台的底面边长分别是30 cm和20 cm，其侧面积等于两底面积的和，求棱台的高．
知识点三 球的表面积公式的应用
例3 已知：圆柱的底面直径与高都等于球的直径．
求证：(1)球的表面积等于圆柱的侧面积；
(2)球的表面积等于圆柱全面积的.
点评 球的体积和表面积只与半径有关，利用球与其他几何体的位置关系，灵活求解球的半径是关键．
变式训练3 如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( )
A．9π B．10π C．11π D．12π
1．柱、锥、台的侧面积公式是由侧面展开图得到的，不要死记公式，要根据展开图的特点进行计算．
2．要注意三种几何体的侧面积公式之间的联系，
S台侧＝(c＋c′)h′S锥侧＝ch′
,c＝c′
S柱侧＝ch′.
3．计算侧面积时要注意从几何体的某一特殊位 ( http: / / www.21cnjy.com )置截面中(如旋转体的轴截面)找到关键量，借助它们的数量关系解决问题．另外，还要注意整体代换的思想方法的运用.
课时作业
一、选择题
1．底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线为，体对角线为，则这个棱柱的侧面积是( )
A．2 B．4 C．6 D．8
2．侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a，则该三棱锥的表面积是( )
A.a2 B.a2 C.a2 D.a2
3．两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12π，这两个球的半径之差为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
4．已知正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为，则正三棱台的侧面积S1与底面面积之和S2的大小关系为( )
A．S1>S2 B．S1C．S1＝S2 D．以上都不是
5．正四棱锥的侧面积为60，高为4，则正四棱锥的底面边长为( )
A．24 B．20 C．12 D．6
题 号 1 2 3 4 5
答 案
二、填空题
6．正六棱柱的高为5 cm，最长的对角线为13 cm，则它的侧面积为________．
7．若一个直立圆柱的侧视图是面积为S的正方形，则该圆柱的表面积为________．
8．长方体的体对角线长度是5，若长方体的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是__________．
三、解答题
9．已知正三棱锥的底面三角形的边长为，侧棱与高的夹角为60°，求三棱锥的侧面积及全面积．
10．如图所示是一个建筑物的三视图 ( http: / / www.21cnjy.com )，现需要将其外壁用油漆刷一遍，已知每平方米用油漆0.2 kg，问共需要油漆多少kg？(尺寸如图所示，单位：m，π取3.14，结果精确到0.01 kg)
【答案解析】
自学导引
1．(1)ch 底面周长和高的乘积 (2)nah′ ch′ 底面周长和斜高乘积的一半 (3)n(a＋a′)h′ (c＋c′)h′
2．(1)侧面积与底面积之和 (2)4πR2 大圆面积的四倍
对点讲练
例1
解 如图所示，设底面边长为a，侧棱长为l，底面两条对角线的长分别为c，d，即BD＝c，AC＝d，则
由①得c＝，由②得d＝，代入③得
2＋2＝a2，
∴Q＋Q＝4l2a2，∴2la＝.
∴S侧＝4al＝2.
变式训练1
解 设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h′，
过O作OE⊥AB，SE⊥AB，
则SE＝h′.
∵S侧＝2S底，
∴·3a·h′＝a2·2，
∴a＝h′.
∵SO⊥OE，∴SO2＋OE2＝SE2，
∴32＋2＝h′2，
∴h′＝2，a＝h′＝6，
∴S底＝a2＝×62＝9.
S侧＝2S底＝18，S全＝S侧＋S底＝9＋18＝27.
例2 解 方法一
图(1)
如图(1)，过B1作B1F⊥BC交BC于F.
Rt△B1FB中，B1F＝h′
BF＝×(8－4)＝2，B1B＝8，
∴B1F＝＝2，
∴h′＝B1F＝2，
∴S四棱台侧＝×(8＋4)×4×2
＝48 (cm2)．
方法二
图(2)
如图(2)，四棱台的侧棱延长后交于点P，过P作PE⊥BC交BC于E，交B1C1于E1，则PE1⊥B1C1.
设PB1＝x，则＝，
得x＝8.
∴PB1＝B1B＝8，
∴E1为PE的中点，
∴PE1＝＝2，PE＝2PE1＝4，
∴S四棱台侧＝S大四棱锥侧－S小四棱锥侧
＝×8×4×PE－×4×4×PE1
＝×8×4×4 －×4×4×2
＝48 (cm2)．
变式训练2 解 如图所示，正三棱台ABC—A1B1C1中，O1、O是上、下底面中心，D1、D是B1C1、BC的中点，则DD1是斜高．
设A1B1＝20，AB＝30，
则OD＝5，O1D1＝，
∵S侧＝S底，
∴(60＋90)·DD1
＝(202＋302)．
∴DD1＝.
在直角梯形O1ODD1中，
O1O＝
＝＝4 (cm)，
即棱台的高是4 cm.
例3 证明 (1)
如图所示，设球的半径为R，
则圆柱的底面半径为R，高为2R，
得S球＝4πR2，
S圆柱侧＝2πR·2R＝4πR2，
∴S球＝S圆柱侧．
(2)∵S圆柱全＝4πR2＋2πR2＝6πR2，
S球＝4πR2，∴S球＝S圆柱全．
变式训练3 D [由三视图知，几何体是由圆柱与球组成的组合体，
∴S表＝S球＋S柱＝4π·12＋2·π·12＋2π·3＝12π.]
课时作业
1．D 2.A 3.C 4.A 5.D
6．180 cm2
解析 设正六棱柱的底面边长为a，则底面正六边形的最长对角线为2a，∴52＋(2a)2＝132，∴a＝6 cm.
∴S正六棱柱侧＝6ah＝180 cm2.
7.S
解析 设圆柱的底面半径为r，母线长为l，∵l＝2r，∴S＝2r·l＝4r2.∴r2＝，∴S表＝2πr2＋2πrl＝6πr2＝S.
8．50π
解析 设球半径为R，由题意知2R＝5，
则S球＝4πR2＝π(2R)2＝π·(5)2＝50π.
9．解
如图所示，设O为正三角形ABC的中心，则正三棱锥的高、侧棱、底面半径组成Rt△AOS.
∵AB＝，
∴AO＝×sin 60°，
∵侧棱与高的夹角为60°，
∴SA＝＝5.
过点S作SE⊥AB，垂足为点E，
则正三棱锥的侧棱、斜高、底面边长的一半构成Rt△SEA，
∴斜高SE＝＝＝，
∴S正三棱锥侧＝×××3＝，
∴S正三棱锥全＝S正三棱锥侧＋S正三棱锥底
＝＋×2×sin 60°＝(＋)．
10．解 由图知建筑物为自上到下分别是 ( http: / / www.21cnjy.com )圆锥和四棱柱的组合体．并且圆锥的底面半径为3 m，母线长为5 m，四棱柱的高为4 m，底面是边长为3 m的正方形．圆锥的表面积为πr2＋πrl＝3.14×32＋3.14×3×5＝28.26＋47.1＝75.36 m2；四棱柱的一个底面积为32＝9 m2.所以建筑物的外壁面积＝75.36－9＋48＝114.36 m2，所以需要油漆114.36×0.2＝22.872≈22.87 kg.1.2.2 空间中的平行关系(1)——平行直线
自主学习
学习目标
能认识和理解空间平行线的传递性，会证明空间等角定理．
自学导引
1．____________________________的两条直线叫做平行线，过直线外一点有且只有________直线与这条直线平行．
2．基本性质4：________________________________，用符号表述为
________________________________．
3．等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边________________________________，那么这两个角相等．
4．顺次连接不共面的四点A、B、C、D ( http: / / www.21cnjy.com )所构成的图形叫做________________，四个点叫做空间四边形的________，所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的______，连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的__________．
对点讲练
知识点一 理解有关概念及性质
例1 下列叙述是否正确，请说明理由．
①空间四边形的四个顶点不共面，它有四条边两条对角线．
②空间四边形不是平面图形，可以把它看作同一平面内有一条公共底边的两个三角形沿着公共底边适当翻折而成的空间图形．
③顺次连接空间四边形四条边的中点得到一个平行四边形．
④四边都相等的四边形都是菱形．
⑤有三个角都是直角的四边形是矩形．
点评 空间四边形是立体几何中的一个重要模型，应掌握其画法及特征．
变式训练1 在空间四边形ABCD中，若AC＝BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH是( )
A．菱形 B．矩形 C．梯形 D．正方形
知识点二 平行公理的应用
例2
如图所示，P是△ABC所在平面外一点，D、E分别是△PAB、△PBC的重心．求证：DE∥AC，DE＝AC.
点评 空间图形中的平行，往往转化到某一个平面中去，利用平面性质：如中位线、平行截割定理等．
变式训练2
如图所示，在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，且＝＝＝≠1，那么四边形EFGH是什么图形？
知识点三 等角定理的应用
例3
如图所示，两个三角形ABC和A′B′C′的对应顶点的连线AA′、BB′、CC′交于同一点O，且＝＝＝.
(1)求证：A′B′∥AB，A′C′∥AC，B′C′∥BC；
(2)求的值．
点评 本题考查了等角定理，等角定理的实质是由 ( http: / / www.21cnjy.com )两个结论合成的：①若一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等；②若一个角的两边与另一个角的两边分别平行且一组边的方向相反，那么这两个角互补．
变式训练3
如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、E1、F1分别为所在边中点．求证：
(1)EFE1F1；
(2)∠EA1F＝∠E1CF1.
1.空间两条直线的位置关系—
2．注意：等角定理的逆命题不成立.
课时作业
一、选择题
1．已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC＝30°，则∠PQR等于( )
A．30° B．30°或150°
C．150° D．以上结论都不对
2．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是( )
A．OB∥O1B1且方向相同
B．OB∥O1B1
C．OB与O1B1不平行
D．OB与O1B1不一定平行
3．正方体ABCD－A1B1C1D1中，P、Q分别为AA1、CC1的中点，则四边形D1PBQ是( )
A．正方形 B．菱形
C．矩形 D．空间四边形
4．如图所示，设E、F、G、H依次是空间四边形ABCD
边AB、BC、CD、DA上除端点外的点，且＝＝λ，＝＝μ.则下列结论中不正确的为( )
A．当λ＝μ时，四边形EFGH是平行四边形
B．当λ≠μ时，四边形EFGH是梯形
C．当λ＝μ＝时，四边形EFGH是平行四边形
D．当λ＝μ≠时，四边形EFGH是梯形
5．已知空间四边形ABCD中，M、N分别为AB、CD的中点，则下列判断正确的是( )
A．MN≥(AC＋BD)
B．MN≤(AC＋BD)
C．MN＝(AC＋BD)
D．MN<(AC＋BD)
题 号 1 2 3 4 5
答 案
二、填空题
6．下列命题中，正确的结论有________(填写序号)．
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；
②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；
③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；
④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．
7．在空间四边形ABCD中，点E、 ( http: / / www.21cnjy.com )F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，若AC＝BD，且AC⊥BD，则四边形EFGH的形状为________．
8.
如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；
(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；
(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________．
三、解答题
9.
如图所示，在一个长方体木块的A1C1面上有一点P，过P点作一条直线和棱CD平行，应怎样作？若要求过P点画一条直线和BD平行，又该怎样作？
10.
如图所示，在三棱锥A—BCD中，E，F，G分别是棱AB，AC，AD上的点，且满足＝＝.
求证：△EFG∽△BCD.
【答案解析】
自学导引
1．在同一平面内不相交 一条
2．平行于同一条直线的两条直线互相平行 如果a∥b，c∥b，那么a∥c
3．分别对应平行，并且方向相同
4．空间四边形 顶点 边 对角线
对点讲练
例1 解
由空间四边形的定义知命题①②③ ( http: / / www.21cnjy.com )都是真命题．空间四边形的四条边可相等，故命题④为假命题．关于命题⑤可构造正方体ABCD—A1B1C1D1，如图，∠D1AB＝∠ABC＝∠BCD1＝90°，但∠AD1C＝60°，四边形ABCD1不是矩形，故⑤为假命题．
变式训练1 A
例2 证明 连接PD并延长交AB于M，连接PE并延长交BC于N，则M为AB的中点，N为BC的中点，
∴MN∥AC，又＝＝，
∴DE∥MN，∴DE∥AC.
又＝＝，
∴DE＝MN，又因MN＝AC，
∴DE＝AC.
变式训练2 解 四边形EFGH是平行四边形．
因为＝＝＝，
所以△AEH∽△ABD，△CFG∽△CBD.
设＝＝＝＝k(k≠1)，则利用相似三角形的性质，知EH＝BD，FG＝BD，且EH∥BD，FG∥BD，所以EHFG，所以四边形EFGH是平行四边形．
例3 (1)证明 ∵AA′与BB′交于点O，
且＝＝，∴AB∥A′B′.
同理AC∥A′C′，BC∥B′C′.
(2)解 ∵A′B′∥AB，AC∥A′C′且AB和A′B′、AC和A′C′方向相反，∴∠BAC＝∠B′A′C′.
同理∠ABC＝∠A′B′C′.
因此△ABC∽△A′B′C′，且＝＝.
∴＝2＝.
变式训练3 证明 (1)连接BD、B1D1.
E、F分别为AD、AB的中点，
则在△ABD中有EF∥BD且EF＝BD.
同理，E1、F1分别为B1C1、C1D1的中点，
则在△C1D1B1中有E1F1∥B1D1且E1F1＝B1D1.
而在正方体ABCD—
A1B1C1D1中，BB1DD1.
∴四边形BB1D1D为平行四边形，
∴BD∥B1D1且BD＝B1D1，∴EFE1F1.
(2)取A1B1的中点M，连接BM，
则BF＝A1M＝AB，
又BF∥A1M，∴BFA1M，
∴四边形A1FBM为平行四边形．
∴A1F∥BM，而M、F1分别为A1B1、C1D1的中点，
则F1MC1B1，而C1B1BC.
∴F1M∥BC且F1M＝BC.
∴四边形F1MBC为平行四边形，
∴BM∥F1C，又BM∥A1F，∴A1F∥CF1.
同理取A1D1的中点N，
连接DN，则A1NDE，
所以四边形A1NDE为平行四边形．
∴A1E∥DN，又E1N∥CD且E1N＝CD.
∴E1NDC为平行四边形，∴DN∥CE1.
由基本性质4，A1E∥CE1.
∴∠EA1F与∠E1CF1的两边分别对应平行，
即A1E∥CE1，A1F∥CF1且方向都相反．
∴∠EA1F＝∠E1CF1.
课时作业
1．B [由等角定理知空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．]
2．D [等角定理的实质是角的平移，其逆命题不一定成立，OB与O1B1有可能平行，也可能不在同一平面内，位置关系不确定．]
3．B [设正方体棱长为2，直接计算可知四边形D1PBQ各边均为 ，又D1PBQ是平行四边形，所以四边形D1PBQ是菱形．]
4．D [当λ＝μ时EHFG，∴EFGH为平行四边形，
故D中结论不正确．]
5．D
[如右图所示，取BC中点E，连接ME，NE
?MN<(AC＋BD)．]
6．②④
7．正方形
解析 E、F、G、H分别为所在边的中点，
由中位线性质知EFAC，GHAC，
∴EFGH.∴四边形EFGH为平行四边形．
又AC＝BD，AC⊥BD，∴EF＝FG，且EF⊥FG.
∴四边形EFGH为正方形．
8．(1)平行 (2)异面 (3)相交 (4)异面
9．解 如图所示，(1)过点P作EF∥C1D1分别
交B1C1、A1D1于点E、F即可．因为CD∥C1D1，所以EF∥CD.
(2)过点P作GH∥B1D1分别交B1C1、C1D1于点G、H即可．因为BD∥B1D1，所以GH∥BD.
10．证明 在△ABC中，∵＝，
∴EF∥BC且＝.
同理，EG∥BD且＝.
又∵∠FEG与∠CBD的对应两边方向相同，
∴∠FEG＝∠CBD.∵＝，
∴△EFG∽△BCD.§1.2 点、线、面之间的位置关系
1.2.1 平面的基本性质与推论
自主学习
学习目标
1．掌握平面的基本性质和三个推论，会用三种语言表述性质与推论．
2．了解异面直线的概念，能用符号语言描述点、直线、平面之间的相互位置关系．
自学导引
1．平面的基本性质
(1)基本性质1：如果一条直线上的______点在一个平面内，那么这条直线上的________点都在这个平面内，这时我们说直线在平面内或________________．
(2)基本性质2：经过________________________的三点，有且只有一个平面．
也可简单说成，______________的三点确定一个平面．
(3)基本性质3：如果不重合的两个平面有________公共点，那么它们有且只有________过这个点的公共直线．
如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面________．这条公共直线叫做两个平面的________．
2．平面基本性质的推论
(1)推论1 经过________________________有且只有一个平面．
(2)推论2 经过________________有且只有一个平面．
(3)推论3 经过________________有且只有一个平面．
3．共面和异面直线
如果两直线共面，那么它们________或者________，否则称它们为______________．
对点讲练
知识点一 多线共面
例1 已知直线a∥b，直线l与a、b都相交，求证：过a、b、l有且只有一个平面．
点评 证明多线共面的一种方法是先由推论3 ( http: / / www.21cnjy.com )确定一个平面，再利用基本性质1依次证明其余各线也在这个平面内．另一种方法是先由一部分线确定一个平面，由另一部分线确定另一个平面，再让这两个面重合．
变式训练1 两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内．
知识点二 证明多点共线问题
例2
已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图所示．求证：P、Q、R三点共线．
点评 证明多点共线的方法是利用基本性质3，只 ( http: / / www.21cnjy.com )需说明这些点都是两个平面的公共点，则必在这两个面的交线上．本题也可先确定点P、R在同一条直线上，Q也在这条直线上，这也是证明共点、共线、共面问题的常用方法．
变式训练2
如图所示，AB∩α＝P，CD∩α＝P，A，D与B，C分别在平面α的两侧，AC∩α＝Q，BD∩α＝R.求证：P，Q，R三点共线．
知识点三 证明线共点问题
例3 在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3，
求证：EF，GH，BD交于一点．
点评 证明若干条线共点，一般可先证其中两条 ( http: / / www.21cnjy.com )相交于一点，再证其他线也过该点即可，本题在解答中应用了两个相交平面的公共点必然在它们的交线上这一结论．
变式训练3
如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：CE、D1F、DA三线交于一点．
1．三个基本性质的作用：
基本性质1——判定直线在平面内的依据；
基本性质2——判定点共面、线共面的依据；
基本性质3——判定点共线、线共点的依据．
2．注意事项
(1)应用基本性质2时，要注意条件“三个不共线的点”．事实上，共线的三点是不能确定一个平面的．
(2)在立体几何中，符号“∈”与“?”的用法与读法不要混淆．
(3)解决立体几何问题时注意数学符号、文字语言、图形语言间的相互转化.
课时作业
一、选择题
1．下列命题：
①书桌面是平面；
②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚；
③有一个平面的长是50 m，宽是20 m；
④平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念．
其中正确命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．点A在直线l上，而直线l在平面α内，用符号表示为( )
A．A∈l，l∈α B．A∈l，l?α
C．A?l，l∈α D．A?l，l?α
3．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有( )
A．1条或2条 B．2条或3条
C．1条或3条 D．1条或2条或3条
4．已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是( )
A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β?a?β
B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β?α∩β＝MN
C．A∈α，A∈β?α∩β＝A
D．A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线?α、β重合
5．平面α∩平面β＝l，点A∈α，B∈α，C∈β，且C?l，AB∩l＝R，过A、B、C三点确定平面γ，则β∩γ等于( )
A．直线AC B．直线BC
C．直线CR D．以上都不对
题 号 1 2 3 4 5
答 案
二、填空题
6．下列命题中，正确的是________．(填序号)
①若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点；
②若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线；
③若点A既在平面α内，又在平面β内，则α与β相交于直线l，且A在l上；
④两条直线不能确定一个平面．
7．读图①②，用符号语言表示下列图形中元素的位置关系．
(1)图①可以用符号语言表示为
________________________________________________________________________；
(2)图②可以用符号语言表示为
________________________________________________________________________．
8.
如图所示，ABCD—A1B1C1D1 ( http: / / www.21cnjy.com )是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论错误的是________(填序号)．
①A、M、O三点共线；
②A、M、O、A1四点共面；
③A、O、C、M四点共面；
④B、B1、O、M四点共面．
三、解答题
9．如图，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由．
10．如图，已知平面α，β，且α∩β＝l.设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB?α，CD?β.
求证：AB，CD，l共点(相交于一点)．
【答案解析】
自学导引
1．(1)两 所有 平面经过直线
(2)不在同一条直线上 不共线
(3)一个 一条 相交 交线
2．(1)一条直线和直线外一点 (2)两条相交直线 (3)两条平行直线
3．平行 相交 异面直线
对点讲练
例1 证明 方法一
?l?α?a，b，l共面．
方法二 ∵a∥b，
∴a，b确定一个平面α.
a∩l＝A，直线a，l确定一个平面β.
又∵B∈α，B∈β，a?α，a?β，
∴平面α与β重合．
故直线a，b，l共面．
变式训练1
已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.
求证：直线l1、l2、l3在同一平面内．
证明 方法一 (同一法)
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.
又∵l2?α，∴B∈α.同理可证C∈α.
又∵B∈l3，C∈l3，∴l3?α.
∴直线l1、l2、l3在同一平面内．
方法二 (重合法)
∵l1∩l2＝A，∴l1、l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴l2、l3确定一个平面β.
∵A∈l2，l2?α，∴A∈α.
∵A∈l2，l2?β，∴A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
∴不共线的三个点A、B、C既在平面α内，又在平面β内．
∴平面α和β重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内．
例2 证明 方法一 ∵AB∩α＝P，
∴P∈AB，P∈平面α.
又AB?平面ABC，∴P∈平面ABC.
由基本性质3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，
同理可证Q、R也在平面ABC与平面α的交线上．
∴P、Q、R三点共线．
方法二 ∵AP∩AR＝A，
∴直线AP与直线AR确定平面APR.
又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.
∵B∈面APR，C∈面APR，∴BC?面APR.
∵Q∈BC，∴Q∈面APR，又Q∈α，∴Q∈PR，
∴P、Q、R三点共线．
变式训练2 证明 ∵AB∩α＝P，CD∩α＝P，
∴AB∩CD＝P.
∴AB，CD可确定一个平面，设为β.
∵A∈AB，C∈CD，B∈AB，D∈CD，
∴A∈β，C∈β，B∈β，D∈β.
∴AC?β，BD?β，平面α，β相交．
∵AB∩α＝P，AC∩α＝Q，BD∩α＝R，
∴P，Q，R三点是平面α与平面β的公共点．
∴P，Q，R都在α与β的交线上，故P，Q，R三点共线．
例3 证明 因为E、G分别为BC、AB的中点，
所以GE∥AC.
又因为DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3，所以FH∥AC且HF＝AC，从而FH∥GE.故E，F，H，G四点共面．
所以四边形EFHG是一个梯形，GH和EF交于一点O.
因为O在平面ABD内，又在平面BCD内，
所以O在这两个平面的交线上．
而这两个平面的交线是BD，且交线只有这一条，所以点O在直线BD上．这就证明了GH和EF的交点也在BD上，所以EF，GH，BD交于一点．
变式训练3
证明 连接EF，D1C，A1B.
∵E为AB的中点，
F为AA1的中点，
∴EF A1B.
又∵A1B∥D1C，∴EF∥D1C，
∴E，F，D1，C四点共面，且EF＝D1C，
∴D1F与CE相交于点P.
又D1F?平面A1D1DA，CE?平面ABCD.
∴P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点．
又平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，
根据基本性质3，可得P∈DA，即CE、D1F、DA相交于一点．
课时作业
1．A [由平面的概念，它是平滑、无厚度、可 ( http: / / www.21cnjy.com )无限延展的，可以判断命题④正确，其余的命题都不符合平面的概念，所以命题①、②、③都不正确，故选A.]
2．B 3.D
4．C [∵A∈α，A∈β，∴A∈α∩β.
由基本性质可知α∩β为经过A的一条直线而不是A.
故α∩β＝A的写法错误．]
5．C [∵AB∩l＝R，∴R∈l，R∈AB.
又α∩β＝l，∴l?β，∴R∈β，R∈γ，
又C∈β，C∈γ，∴β∩γ＝CR.]
6．①②③
7．(1)α∩β＝l，m?α，n?β，l∩n＝P，m∥l
(2)α∩β＝l，m∩α＝A，m∩β＝B
8．④
解析 连接AO，AO是平面AB1D1和平面BB1D1D的交线，∵M∈A1C，A1C?面AA1C1C，
∴M∈面AA1C1C，又M∈面AB1D1
∴M∈AO，即A、M、O三点共线，因此①②③均正确．
只有④不正确．
9．解 很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上，由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示．
∵E∈AC，AC?平面SAC，
∴E∈平面SAC.
同理，可证E∈平面SBD.
∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连接SE，
直线SE是平面SBD和平面SAC的交线．
10．证明 ∵梯形ABCD中，AD∥BC，
∴AB，CD是梯形ABCD的两条腰，
∴AB，CD必定相交于一点，设AB∩CD＝M.
又∵AB?α，CD?β，∴M∈α，且M∈β，
∴M∈α∩β.又∵α∩β＝l，∴M∈l，
即AB，CD，l共点．1.2.3 空间中的垂直关系(1)——直线与平面垂直
自主学习
学习目标
1．掌握直线与平面垂直的定义．
2．掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定定理及性质定理，并能灵活应用定理证明有关问题．
自学导引
1．如果直线l与平面α内的__ ( http: / / www.21cnjy.com )______________________，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作________，直线l叫做____________________，平面α叫做________________，它们的唯一公共点叫做________．垂线上任一点到垂足之间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到这个平面的距离．
2．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与平面内的两条________直线垂直，则这条直线与这个平面________．
3．如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么________________________．
4．直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线________．
5．垂直于同一条直线的两个平面________．
对点讲练
知识点一 线面垂直的判定
例1 如图所示，直角△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．
(1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥面SAC.
点评 (1)线面垂直的判定定理是判定线面垂直的最常用思路．
(2)线面垂直的定义，给出了线面垂直的必备条件，即直线垂直于平面内的所有直线，是直线垂直平面的必要条件．作为直线与平面垂直的判定并不实用．
变式训练1
如图所示，已知空间四边形ABCD的边BC＝AC，AD＝BD，引BE⊥CD，E为垂足，作AH⊥BE于点H.求证：AH⊥平面BCD.
知识点二 证明线线垂直
例2
如图所示，四边形ABCD为正方形，SA垂直于四边形ABCD所在的平面，过点A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G.
求证：AE⊥SB，AG⊥SD.
点评 本题的证明过程很具有代表性，即证 ( http: / / www.21cnjy.com )明线线垂直，可先证线面垂直，而已知的线面垂直又可以产生有利于题目的线线垂直，在线线垂直和线面垂直的相互转化中，平面在其中起着至关重要的作用，由于线线垂直是相互的，应充分考虑线和线各自所在平面的特征，以顺利实现证明需要的转化．
变式训练2
如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．
求证：CF⊥AE.
知识点三 直线与平面垂直的性质定理的应用
例3
已知，如图所示，直线a⊥α，直线b⊥β，且AB⊥a，AB⊥b，平面α∩β＝c.
求证：AB∥c.
点评 判断线线、线面的平 ( http: / / www.21cnjy.com )行或垂直关系，一般依赖于判定定理和性质定理，有时候也可以放到特征几何体(如正方体，长方体，正棱柱等)中，判断它们的位置关系．
变式训练3
如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，EF⊥AC，EF⊥A1D，求证：EF∥BD1.
1．直线与平面垂直的判定方 ( http: / / www.21cnjy.com )法：(1)定义，(2)判定定理．由直线和平面垂直的判定定理知，把线线垂直关系转化为线面垂直关系．在判定定理中，注意“两条”和“相交直线”的重要性．判定线面垂直关键在平面内找出两条相交直线和已知直线垂直．(3)如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．这个命题也可作为线面垂直的一个判定方法．证明时常用的转化关系：线线垂直线面垂直．
2．直线与平面垂直的性质定理是 ( http: / / www.21cnjy.com )平行关系与垂直关系的完美结合，利用垂直关系可判断平行，反过来由平行关系也可判定垂直，即两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面.
课时作业
一、选择题
1．下列命题中正确的个数是( )
①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；
②如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；
③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；
④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．
A．0 B．1 C．2 D．3
2．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是( )
A．垂直且相交 B．相交但不一定垂直
C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交
3．如果一条直线与一个平面垂直， ( http: / / www.21cnjy.com )那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”，在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是( )
A．12 B．24 C．36 D．48
4．如果直线l与平面α不垂直，那么在平面α内( )
A．不存在与l垂直的直线
B．存在一条与l垂直的直线
C．存在无数条与l垂直的直线
D．任意一条直线都与l垂直
5．若m、n表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( )
①?n⊥α； ②?m∥n；
③?m⊥n; ④?n⊥α.
A．1 B．2 C．3 D．4
题 号 1 2 3 4 5
答 案
二、填空题
6．点P为△ABC所在面外一点，若PA＝PB＝PC，且PO⊥面ABC，则O为△ABC的________心．
7．已知P是△ABC所在平面外的一点，点 ( http: / / www.21cnjy.com )P与AB、AC、BC的距离相等，且点P在△ABC上的射影O在△ABC内，则O一定是△ABC的________心．
8．在直三棱柱ABC—A1B1C1中 ( http: / / www.21cnjy.com )，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)．
三、解答题
9.
如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB，PC的中点，PA＝AD.
(1)求证：CD⊥PD；
(2)求证：EF⊥平面PCD.
10.
如图所示，AB是圆O的直径， ( http: / / www.21cnjy.com )点C是圆O上的动点，过动点C的直线VC垂直于圆O所在平面，E是VC的中点，D是VA上的点，若DE⊥平面VBC，试确定D点的位置．
【答案解析】
自学导引
1．任意一条直线都垂直 l⊥α 平面α的垂线 直线l的垂面 垂足
2．相交 垂直
3．另一条也垂直于这个平面
4．平行
5．平行
对点讲练
例1 证明 (1)∵SA＝SC，D为AC的中点，
∴SD⊥AC，
在Rt△ABC中，则AD＝DC＝BD.
又SA＝SB，∴△ADS≌△BDS.∴SD⊥BD.
又AC∩BD＝D，∴SD⊥面ABC.
(2)∵BA＝BC，D为AC中点，∴BD⊥AC.
又由(1)知SD⊥BD.
∵SD∩AC＝D，∴BD⊥平面SAC.
变式训练1 证明 取AB中点F，连接CF、DF，
∵AC＝BC，∴CF⊥AB.
又∵AD＝BD，∴DF⊥AB，
又∵CF∩DF＝F，
∴AB⊥平面CDF，∴AB⊥CD.
又BE⊥CD，且AB∩BE＝B，
直线CD⊥平面ABE.
∴CD⊥AH.
而AH⊥BE，CD∩BE＝E，
∴AH⊥平面BCD.
例2 证明 因为SA⊥平面ABCD，
所以SA⊥BC.
又BC⊥AB，SA∩AB＝A，
所以BC⊥平面SAB，
又AE?平面SAB，所以BC⊥AE.
因为SC⊥平面AEFG，所以SC⊥AE.
又BC∩SC＝C，所以AE⊥平面SBC，
所以AE⊥SB.同理可证AG⊥SD.
变式训练2 证明 在平面B1BCC1中，
∵E、F分别是B1C1、B1B的中点，
∴△BB1E≌△CBF，
∴∠B1BE＝∠BCF，
∴∠BCF＋∠EBC＝90°，∴CF⊥BE，
又AB⊥平面B1BCC1，CF?平面B1BCC1，
∴AB⊥CF，AB∩BE＝B，∴CF⊥平面EAB.
∴CF⊥AE.
例3 证明 过点B引直线a′∥a，a′与b确定的平面设为γ，因为a′∥a，AB⊥a，
所以AB⊥a′，
又AB⊥b，a′∩b＝B，所以AB⊥γ.
因为b⊥β，c?β，所以b⊥c.①
因为a⊥α，c?α，所以a⊥c.
又a′∥a，所以a′⊥c.②
由①②可得c⊥γ，又AB⊥γ，所以AB∥c.
变式训练3 证明 连接AB1，B1C，B1D1，BD.
∵B1B⊥平面ABCD，
AC?平面ABCD，
∴AC⊥B1B.
又AC⊥BD，
BD∩BB1＝B，
∴AC⊥平面BDD1B1.
又∵BD1?平面BDD1B1
∴AC⊥BD1，同理可证B1C⊥BD1.
∵B1C∩AC＝C，
∴BD1⊥平面AB1C.
∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，
∴EF⊥B1C.
又∵EF⊥AC且AC∩B1C＝C，
∴EF⊥平面AB1C，
又BD1⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.
课时作业
1．B 2.C
3．C [正方体的一条棱长对应着2 ( http: / / www.21cnjy.com )个“正交线面对”，12条棱长共对应着24个“正交线面对”；正方体的一条面对角线对应着1个“正交线面对”，12条面对角线对应着12个“正交线面对”，共有36个．]
4．C 5.C
6．外
7．内
解析
如图所示，过点P作PD⊥AB，PE ( http: / / www.21cnjy.com )⊥AC，PF⊥BC，分别交AB、AC、BC于点D、E、F.O是点P在平面ABC内的射影，连接OD、OE、OF.因为点P到AB、AC、BC的距离相等，且PO⊥平面ABC，所以PD＝PE＝PF，PO＝PO＝PO，∠POD＝∠POE＝∠POF＝90°，
所以OD＝OE＝OF.因为PO⊥AB，PD⊥AB且PD∩PO＝P.所以AB⊥平面POD，所以AB⊥OD.
同理可以证得OF⊥BC，OE⊥AC.
又因为OD＝OE＝OF，所以点O到三角形三边的距离相等，故O为三角形ABC的内心．
8．∠A1C1B1＝90°
解析
如图所示，连接B1C，
由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，
因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，
即只要证AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可．
因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可．
(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°等)
9．证明 (1)∵PA⊥底面ABCD，∴CD⊥PA.
又矩形ABCD中，CD⊥AD，且AD∩PA＝A，
∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD.
(2)取PD的中点G，连接AG，FG.
又∵G、F分别是PD，PC的中点，
∴GFCD，
又AECD，
∴GFAE，∴四边形AEFG是平行四边形，
∴AG∥EF.
∵PA＝AD，G是PD的中点，∴AG⊥PD，∴EF⊥PD，
∵CD⊥平面PAD，AG?平面PAD.
∴CD⊥AG.∴EF⊥CD.
∵PD∩CD＝D，∴EF⊥平面PCD.
10．解 ∵AB是底面圆的直径，
C是圆上一动点，∴AC⊥BC.
又VC⊥底面ABC，AC?平面ABC，
∴VC⊥AC.又BC∩VC＝C，
∴AC⊥平面VBC.又DE⊥平面VBC，
∴直线DE∥AC，又E在平面VAC内，E为VC的中点，∴D点为VA的中点1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征
自主学习
学习目标
1．了解和认识多面体、棱柱、棱锥、棱台的结构特征，加深对几种几何体的概念及性质的理解．
2．了解凸多面体和平行六面体等的概念．
3．掌握棱锥、棱台平行于底面的截面的性质．
自学导引
1．棱柱
(1)棱柱的主要特征性质：①________________________；②其余每相邻两个面的交线都互相平行．
(2)棱柱的______________叫做棱柱的底面，__________叫做棱柱的侧面，______________________叫做棱柱的侧棱，________________________叫做棱柱的高．
(3)棱柱的分类：①棱柱按底面分是三角形、四边形、五边形…分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱….
②棱柱又分为斜棱柱和直棱柱：侧棱与底面 ( http: / / www.21cnjy.com )__________的棱柱叫做斜棱柱，侧棱与底面________的棱柱叫做直棱柱，底面是______________的直棱柱叫做正棱柱．
(4)特殊四棱柱：底面是______________的棱柱叫做平行六面体，__________________的平行六面体叫做直平行六面体，底面是______________的直平行六面体是长方体，________________的长方体是正方体．
2．棱锥
(1)棱锥的主要结构特征：①有一个面是______________；②其余各面都是__________________的三角形．
(2)棱锥中________________________，叫做棱锥的侧面；______________________叫做棱锥的顶点；________________________叫做棱锥的侧棱；__________叫做棱锥的底面；______________________叫做棱锥的高．
(3)如果棱锥的底面是__________，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的__________，则这个棱锥叫做正棱锥．正棱锥各侧面都是____________________，它们底边上的高叫做棱锥的斜高．
3．棱台
(1)棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱
台．________________________分别叫做棱台的上下底面；其他各面叫做棱台的________；________________________叫做棱台的侧棱；__________________叫做棱台的高．
(2)由__________截得的棱台叫做正棱台．
(3)正棱台各侧面都是__________________，这些等腰梯形的高叫做棱台的________．
对点讲练
知识点一 理解棱柱、棱锥、棱台定义和性质
例1 下列概念判断不正确的有________．(填序号)
①有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱．
②四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形．
③有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台．
点评 对几何体定义的理解要准确，另外，要想真正把握几何体的结构特征，必须多角度、全面地分析，多观察实物，提高空间想象能力．
变式训练1 下列命题正确的是( )
A．斜棱柱的侧棱有时垂直于底面
B．正棱柱的高可以与侧棱不相等
C．六个面都是矩形的六面体是长方体
D．底面是正多边形的棱柱为正棱柱
知识点二 几何体的结构特征
例2 如图是三个几何体的表面展开图，请问各是什么几何体？
点评 解此类问题应结合常见的几何体的定义和结构特征，进行空间想象或亲自动手，制作表面展开图进行实践．
变式训练2 如图所示，小明设计了某个产品 ( http: / / www.21cnjy.com )的包装盒，他少设计了其中的一部分，请你把它补上，使其成为两边均有盖的正方体盒子．你有几种弥补的办法？任意画出一种成功的设计图．
知识点三 多面体中有关元素的计算
例3
如图所示，正四棱台AC′的高为17 cm，两底面的边长分别为4 cm和16 cm，求这个棱台的侧棱和斜高．
点评 关于正棱台的计算问题．解决问 ( http: / / www.21cnjy.com )题的关键是：(1)棱台的高．尽管棱台的高是上、下两底面之间的距离，但正棱台的上、下两底面中心的连线就是棱台的高；(2)正棱台的斜高就是侧面(等腰梯形)的高．要明白该梯形的上、下中点的连线就是斜高．(3)解题时要注意两个直角梯形，即：直角梯形OBB′O′和OEE′O′，计算问题都可以在这两个梯形中进行，我们以后要熟练掌握．
变式训练3 正四棱锥P—ABCD的底面边长为a，高PO为h，求它的侧棱PA的长和斜高PE.
一、知识结构梳理
二、几种特殊四棱柱的特征和性质(见下表)
名称 平行六面体 直平行六面体 长方体 正方体
结构特征 底面是平行四边形的棱柱 侧棱与底面垂直的平行六面体 底面是矩形的直平行六面体 棱长都相等的长方体
特殊的性质 底面和侧面都是平行四边形 侧棱垂直于底面，各侧面都是矩形 底面和侧面都是矩形 棱长都相等，各面都是正方形
1.长方体一条对角线的长的平方等于一 ( http: / / www.21cnjy.com )个顶点上三条棱的长的平方和，即l2＝a2＋b2＋c2.其中l是长方体的对角线长，a，b，c是长方体的三边长．
2．对于正棱锥和正棱台，要注意准确理解概念，把握图形的特征，尤其是图中的一些重要的直角三角形和直角梯形．
3．棱台是由棱锥截得的，在处理与棱台有关的问题时要注意联系棱锥的有关性质，“还台为锥”是常用的解题方法和策略.
课时作业
一、选择题
1．有四个集合：A＝{棱柱}，B＝{四棱柱}，C＝{长方体}，D＝{正方体}，它们之间的包含关系是( )
A．C?D?A?B B．D?C?B?A
C．C?A?D?B D．B?D?C?A
2．下列说法正确的是( )
A．棱柱的侧面都是矩形
B．棱柱的侧棱不全相等
C．棱柱是有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体
D．棱柱的几何体中至少有两个面平行
3．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能是( )
A．三棱锥 B．四棱锥 C．五棱锥 D．六棱锥
4．设有四个命题
甲：有两个平面互相平行，其余各面都是四边形的多面体一定是棱柱；
乙：有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体一定是棱锥；
丙：用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台；
丁：侧面都是长方形的棱柱叫长方体．
其中，真命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
5．有一个正三棱锥和一个正四棱锥，它们所有的棱长都相等，把这个正三棱锥的一个侧面重合在正四棱锥的一个侧面上，则所得到的这个组合体是( )
A．底面为平行四边形的四棱柱
B．五棱锥
C．无平行平面的六面体
D．斜三棱柱
题 号 1 2 3 4 5
答 案
二、填空题
6．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm.
7.
如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体的形状是______．
8．在下面4个平面图形中，哪几个是下面各侧棱都相等的四面体的展开图？其序号是________．(把你认为正确的序号都填上)
三、解答题
9．如图，请设计辅助线，沿辅助线翻折，使正三角形折成(1)正四面体；(2)正三棱柱．
10．如图所示，在正三棱柱ABC—A1 ( http: / / www.21cnjy.com )B1C1中，AB＝3，AA1＝4，M为AA1的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长为，设这条最短路线与CC1的交点为N，求：
(1)设三棱柱的侧面展开图的对角线长；
(2)PC与NC的长．
【答案解析】
自学导引
1．(1)①有两个互相平行的 ( http: / / www.21cnjy.com )面 (2)互相平行的面 其余各面 两侧面的公共边 两底面之间的距离 (3)②不垂直 垂直 正多边形 (4)平行四边形 侧棱与底面垂直 矩形 棱长都相等
2．(1)①多边形 ②有一 ( http: / / www.21cnjy.com )个公共顶点 (2)有公共顶点的各三角形 各侧面的公共顶点 相邻两侧面的公共边 多边形 顶点到底面的距离 (3)正多边形 直线上 全等的等腰三角形
3．(1)原棱锥的底面和截面 侧面 相邻两侧面的公共边 两底面间的距离 (2)正棱锥 (3)全等的等腰梯形 斜高
对点讲练
例1 ①③
解析 理由：(1)有两个面平行，其余各面是平行四边形，但不一定是棱柱，如图①.
(2)在四棱锥P—ABCD中，若PD⊥平面ABCD，而四边形ABCD为矩形，则可证明其四边侧面都是直角三角形，如图②.
(3)存在满足有两个面平行，其余各面是梯形，但不是棱台的图形，如图③.
变式训练1 C [四个侧面都是矩形的棱柱是直平行六面体，两个底面是矩形的直平行六面体是长方体，故正确答案为C.]
例2 解 ①五棱柱 ②五棱锥 ③三棱台
如图所示．
变式训练2 解 共有4种，设计如图(画出其中一种即可)．
例3 解 设棱台两底面的中心分别为O′和O，B′C′
和BC的中点分别为E′和E.连接O′O、E′E、O′B′、OB、O′E′、OE，则OBB′O′和OEE′O′都是直角梯形．
因为A′B′＝4 cm，AB＝16 cm，
所以O′E′＝2 cm，OE＝8 cm，O′B′＝2 cm，
OB＝8 cm.
因此B′B＝
＝＝19 cm，
EE′＝
＝＝5 cm.
即这个棱台的侧棱长为19 cm，斜高为5 cm.
变式训练3 解
∵正四棱锥的底面边长为a，
∴AO＝a，∴在Rt△PAO中，
PA＝＝
＝.
∵OE＝a，∴在Rt△POE中，
斜高PE＝＝＝.
即此正四棱锥的侧棱长为，
斜高为.
课时作业
1．B 2.D
3．D [如图所示，正六边形ABCDEF中 ( http: / / www.21cnjy.com )，OA＝OB＝…＝AB，那么正六棱锥S－ABCDEF中，SA>OA＝AB，即侧棱长大于底面边长．]
4．A 5.D 6.12 7.四棱柱 8.①②
9．解 (1)如图①，取各边中点可折成正四面体．
(2)如图②，在正三角形三个角上剪出三个相同 ( http: / / www.21cnjy.com )的四边形，其较长的一组邻边为三角形边长的.有一组对角为直角，余下部分按虚线折起，可成为一个缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形，恰可拼成这个正三棱柱的上底．
10．解 (1)正三棱柱ABC—A1B1C1的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为＝.
(2)
如图所示，将侧面BB1C1C绕棱CC1旋转1 ( http: / / www.21cnjy.com )20°使其与侧面AA1C1C在同一平面上，点P运动到点P1的位置，连结MP1，则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线．
设PC＝x，则P1C＝x，在Rt△MAP1中，由勾股定理得
(3＋x)2＋22＝29，求得x＝2.
∴PC＝P1C＝2.
∵＝＝，∴NC＝.1.1.7 柱、锥、台和球的体积(2)
自主学习
学习目标
1．了解球的体积公式．
2．会计算简单组合体的体积．
3．培养学生的空间想象能力和思维能力．
自学导引
1．球的表面积 设球的半径为R，则球的表面积S＝________，即球的表面积等于它的大圆面积的______倍．
2．球的体积 设球的半径为R，则球的体积V＝__________.
对点讲练
知识点一 球的体积和表面积的计算
例1 (1)球的体积是，则此球的表面积是( )
A．12π B．16π C. D.
(2)一个平面截一球得到直径为6 cm的圆面，球心到这个平面的距离为4 cm，则球的体积为( )
A.cm3 B.cm3
C.cm3 D.cm3
点评 遇到球的表面积及体积的有 ( http: / / www.21cnjy.com )关计算问题时，我们的分析方向就是要充分利用条件去确定球心的位置和半径，只要这两点确定了，那球的表面积及体积问题就会迎刃而解．
变式训练1 球的截面把垂直于截面的直径分成1∶3的两段，若截面圆半径为，则球的体积为( )
A．16π B. C. D．4π
知识点二 有关几何体的外接球与内切球问题
例2 在半球内有一个内接正方体，试求这个半球的体积与正方体的体积之比．
点评 解决与球有关的组合问题，可通过画过球心的截面来分析，并注意组合体中半径与相关几何体的关系：
①长方体的8个顶点在同一个球 ( http: / / www.21cnjy.com )面上，则长方体的体对角线是球的直径；球与正方体的六个面均相切，则球的直径等于正方体的棱长；球与正方体的12条棱均相切，则球的直径是正方体的面对角线．
②球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径．
③球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高．
变式训练2 有三个球，第一个球内切于正方体六个面，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．
知识点三 综合应用
例3 有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．
点评 在处理与球有关的相接、相切问题时，一 ( http: / / www.21cnjy.com )般要通过作一适当的截面，将立体几何问题转化为平面问题解决，而这类截面往往指的是圆锥的轴截面、球的大圆等．
变式训练3 一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥内又有一个内切球．
求：(1)圆锥的侧面积；
(2)圆锥的内切球的体积．
1．利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算．
2．解决球与其他几何体的切接问题，通常作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算.
课时作业
一、选择题
1．直径为6的球的表面积和体积分别是( )
A．144π，144π B．144π，36π
C．36π，144π D．36π，36π
2．如果两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为( )
A．8∶27 B．2∶3
C．4∶9 D．2∶9
3．三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的( )
A．1倍 B．2倍 C.倍 D.倍
4．四面体ABCD中，公共顶点A的三条棱两两相互垂直，且其长分别为1，，3，若它的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为( )
A．3π B．4π C．3π D．16π
题 号 1 2 3 4
答 案
二、填空题
5．若一个球的体积为4π，则它的表面积为______．
6．一个底面直径是32 cm的圆柱形水桶装入一些水，将一个球放入桶内完全淹没，水面上升了9 cm，则这个球的表面积是________．
7．有一棱长为a的正方体框架，其内放置一气球，使其充气且尽可能地膨胀(仍保持为球的形状)，则气球表面积的最大值为________．
三、解答题
8．如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个 ( http: / / www.21cnjy.com )直径为8 cm的半球形的冰淇凌，请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇凌的直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇凌融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？
9．某个几何体的三视图如图所示(单位：m)，
(1)求该几何体的表面积(结果保留π)；
(2)求该几何体的体积(结果保留π)．
【答案解析】
自学导引
1．4πR2 4 2.πR3
对点讲练
例1 (1)B [设球的半径为R，
则由已知得V＝πR3＝，R＝2.
∴球的表面积S＝4πR2＝16π.]
(2)C [由球的性质知，球的半径R＝＝5，
∴V球＝×53＝(cm3)．]
变式训练1 C [设直径被分成的两段为x,3x；
则球心O到截面的距离为x，球半径为2x，
由勾股定理得：x2＋()2＝(2x)2，x＝1，
球半径为2，所以V＝π·23＝π.]
例2
解 方法一 作正方体对角面的截面，如图所示，设半球的半径为R，正方体的棱长为a，那么CC′＝a，OC＝.
在Rt△C′CO中，由勾股定理，得CC′2＋OC2＝OC′2，
即a2＋()2＝R2，所以R＝a.
从而V半球＝πR3＝π(a)3＝πa3，V正方体＝a3.
因此V半球∶V正方体＝πa3∶a3＝π∶2.
方法二 将半球补成整个球，同时把原半球的 ( http: / / www.21cnjy.com )内接正方体再补接一个同样的正方体，构成的长方体刚好是这个球的内接长方体，那么这个长方体的对角线便是它的外接球的直径．设原正方体棱长为a，球的半径为R，
则根据长方体的对角线性质，得(2R)2＝a2＋a2＋(2a)2，
即4R2＝6a2，所以R＝a.
从而V半球＝πR3＝π(a)3＝πa3，V正方体＝a3.
因此V半球∶V正方体＝πa3∶a3＝π∶2.
变式训练2 解 设正方体的棱长a.
(1)正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面的中心，经过四个切点及球心作截面，如图(1)，
所以有2r1＝a，r1＝，所以S1＝4πr＝πa2.
(2)球与正方体各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图(2)，
2r2＝a，r2＝a，所以S2＝4πr＝2πa2.
(3)正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图(3)，所以有2r3＝a，r3＝a，
所以S3＝4πr＝3πa2.
综上知S1∶S2∶S3＝1∶2∶3.
例3 解 由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面．
根据切线性质知，当球在容器内 ( http: / / www.21cnjy.com )时，水深为3r，水面的半径为r，则容器内水的体积为V＝V圆锥－V球＝π·(r)2·3r－πr3＝πr3，而将球取出后，设容器内水的深度为h，则水面圆的半径为h，从而容器内水的体积是V′＝π·(h)2·h＝πh3，
由V＝V′，得h＝r.
变式训练3 解 (1)如图，
作轴截面，则等腰三角形CAB内接于⊙O，而⊙O1内切于△ABC.
设⊙O的半径为R，由题意得
πR3＝972π.
∴R3＝729，∴R＝9，∴CE＝18.
已知CD＝16，∴ED＝2.
连接AE，∵CE是直径，CA⊥AE，
CA2＝CD·CE＝16×18＝288，∴CA＝12 .
∵AB⊥CD，∴AD2＝CD·DE＝16×2＝32，
∴AD＝4.∴S圆锥侧＝π·4·12＝96π.
(2)设内切球O1的半径为r，
∵△ABC的周长为2×(12 ＋4)＝32，
∴r·32＝×8×16，∴r＝4.
∴内切球O1的体积V球＝πr3＝π.
课时作业
1．D
2．C [设这两个球的半径分别是r，R，则＝，所以＝，则这两个球的表面积之比为＝()2＝.]
3．C [设最小球的半径为r，则另两个球的半径分别为2r、3r，所以各球的表面积分别为4πr2、16πr2、36πr2.所以＝.]
4．D [此外接球的直径即为以1，，3为长、宽、高的长方体的体对角线，即2R＝＝4.
∴R＝2，S球＝4πR2＝16π.]
5．12π
解析 设球的半径为R，则πR3＝4π，∴R＝.
∴S球＝4πR2＝12π.
6．576π cm2
解析 球的体积等于以16 ( http: / / www.21cnjy.com ) cm为底面半径，高为9 cm的圆柱的体积，设球的半径为R，所以πR3＝π·162·9，解得R＝12，所以S球＝4πR2＝576π(cm2)．
7．2πa2
解析 气球表面积最大时，气球的直径等于正方体侧面的对角线长a，则此时气球的半径r＝a，
则表面积为4πr2＝4π×(a)2＝2πa2.
8．解 要使冰淇凌融化后不会溢出杯子，
则必须V圆锥≥V半球，V半球＝×πr3＝×π×43，
V圆锥＝Sh＝πr2h＝π×42×h.
依题意：π×42×h≥×π×43，解得h≥8.
即当圆锥形杯子杯口直径为8 cm，高大于或等于8 cm时，冰淇凌融化后不会溢出杯子．
又因为S圆锥侧＝πrl＝πr，
当圆锥高取最小值8时，S圆锥侧最小，所以高为8 cm时，
制造的杯子最省材料．
9．解 由三视图可知：
该几何体的下半部分是棱长为2 m的正方体，上半部分是半径为1 m的半球．
(1)几何体的表面积为
S＝×4π×12＋6×22－π×12＝24＋π(m2)．
(2)几何体的体积为
V＝23＋××π×13＝8＋(m3)．第一章 立体几何初步
§1.1 空间几何体
1.1.1 构成空间几何体的基本元素
自主学习
学习目标
1．了解数学的抽象性和理想性．
2．理解点、直线、平面三个原始概念．
3．掌握平面、长方体的画法．
自学导引
1．构成空间几何体的基本元素
(1)如图所示
(2)______________是构成几何体的基本元素．
(3)在立体几何中，平面是________________，通常画一个______________表示一个平面；平面一般用希腊字母α，β，γ，…来命名，还可以用表示它的平行四边形的__________的字母来命名．
2．线动成面
直线平行移动，可以形成______________．固定射线的端点，让其绕着一个圆弧转动，可以形成________．
对点讲练
知识点一 构成几何体的基本元素
例1 下列不属于构成几何体的基本元素的是( )
A．点 B．线段
C．曲面 D．多边形(不含内部的点)
点评 点、线、面是构成几何体的基本元素，任 ( http: / / www.21cnjy.com )何一个几何体都是由这些基本元素组成的，而其他图形有时也能构成另外复杂的几何体，但是不能称之为“基本元素”．
变式训练1 以下结论中不正确的是( )
A．平面上一定有直线
B．平面上一定有曲线
C．曲面上一定无直线
D．曲面上一定有曲线
知识点二 平面概念的理解
例2 下列说法中正确的是________．
(1)黑板面是一个平面；
(2)任何一个平面图形都是一个平面；
(3)平静的太平洋面就是一个平面；
(4)圆和平行四边形都可以表示平面．
点评 (1)搞清平面与平面图形的区别与联系是解决此类问题的关键；
(2)平面与平面图形的区别与联系为：平面是 ( http: / / www.21cnjy.com )没有厚度、绝对平展且无边界的，也就是说平面是无限延展的、无厚薄、无大小的一种理想的图形．平面可以用三角形、梯形、圆等平面图形来表示．但平面图形如三角形、正方形、梯形等，它们是有大小之分的，不能说三角形、正方形、梯形是平面，只能说平面可以用平面图形来表示．
变式训练2 下列语句是对平面的深层理解的描述：
①平面是绝对平的；②平面没 ( http: / / www.21cnjy.com )有厚度，也可理解成其厚度为0；③平面和点、直线一样，是我们以后研究空间图形的基本对象之一，也是空间图形的一个重要的组成部分；④一个平面将无限的空间分成两部分，如果想从平面的一侧到另一侧，必须穿过这个平面；⑤平面可以看作空间的点的集合，它当然是一个无限集．
上述关于平面的相关描述，你认为正确的有______．(填序号)
知识点三 长方体中的基本元素间的位置关系
例3
在长方体ABCD—A1B1C1D1中，如果把它的12条棱延伸为直线，6个面延展为平面，那么在这6个平面中，
(1)与直线B1C1平行的平面有哪几个？
(2)与直线B1C1垂直的平面有哪几个？
(3)与平面BC1平行的平面有哪几个？
(4)与平面BC1垂直的平面有哪几个？
点评 本题实质上是考查长方体中有关元素的位置关系，解决这类问题的关键在于先要识好图，然后由概念结合图形进行解答．
变式训练3 下列关于长方体的叙述不正确的是( )
A．将一个矩形沿竖直方向平移一段距离可形成一个长方体
B．长方体中相对的面都互相平行
C．长方体中某一底面上的高的长度就是两平行底面间的距离
D．两底面之间的棱互相平行且相等
一、知识结构
二、规律方法总结
1．点、线、面是构成几何体的基本元素．
2．平面是无限延展的，通常画一个平行四边形表示一个平面．
3．平面的记法．
(1)平面一般用希腊字母α，β，γ…来命名；
(2)平面图形顶点法．
4．认识空间中的点、直线和平面之间的位置关系，我们可以动手制作一些模型或画出图形，来帮助我们理解和提高空间想象能力．
三、思维误区分析
常见思维误区有几何中定义的平面是理想的 ( http: / / www.21cnjy.com )绝对的平且是无限延展的，但在表示时只能用一个平面图形来表示，通常用平行四边形表示．但不能误认为平面即平面图形．要注意立体几何中的平面与平面图形是两个不同的概念，是有区别的.
课时作业
一、选择题
1．如图所示，平行四边形ABCD所在的平面，下列表示方法中不正确的是( )
①平面ABCD；②平面BD；③平面AD；④平面ABC；⑤AC；⑥平面α.
A．④⑤ B．③④⑤
C．②③④⑤ D．③⑤
2．下列说法中正确的是( )
A．直线的移动只能形成平面
B．矩形上各点沿同一方向移动形成长方体
C．直线绕其相交但不垂直的直线旋转形成锥面
D．曲线的移动一定形成曲面
3．纸质的正方体的六个面根据其方位 ( http: / / www.21cnjy.com )分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“△”的面的方位是( )
A．南 B．北 C．西 D．下
4．西瓜人人都喜欢吃，给你一个西瓜，只许切三刀，则最多可切成的块数是( )
A．4 B．6 C．8 D．9
5．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成( )
A．5部分 B．6部分 C．7部分 D．8部分
题 号 1 2 3 4 5
答 案
二、填空题
6．在如图所示的长方体ABCD－A ( http: / / www.21cnjy.com )′B′C′D′中，互相平行的平面共有______对，与A′A垂直的平面是__________________．
7．三个平面将空间最少分成m部分，最多分成n部分，则m＋n＝________.
三、解答题
8．想想看，如何检验一个物体的表面不是平面？
9．根据图中给出的平面图形，制作几何体：
10．如图所示，长方体AC1的长、宽、高分别 ( http: / / www.21cnjy.com )为3,4,5.现有一甲壳虫从A出发沿长方体表面爬行到C1来获取食物，试画出它的最短爬行路线，并求其路程的最小值．
【答案解析】
自学导引
1．(2)点、线、面 (3)无限延展的 平行四边形 对角顶点
2．平面或曲面 锥面
对点讲练
例1 D [由于一个几何体是由点、线、面组成的，而线有直线和曲线之分，面有平面和曲面之分，故而只有D不属于构成几何体的基本元素．]
变式训练1 C
例2 (4)
解析 (1)不正确．黑板面虽是一个矩形，且给我们以平面的印象，但它是不能无限延展的．
(2)不正确．平面图形和平面是完全不同的两个概念，平面图形是有大小的，它是不可能无限延展的．
(3)不正确．太平洋再大也会有边际，也不可能是绝对平的．太平洋面只是给我们一种平面的印象．
(4)正确．在需要时，除用平行四边形表示平面外，还能用三角形、梯形、圆等来表示平面．
变式训练2 ①②③④⑤
例3 解 (1)与直线B1C1平行的平面有：
平面AD1，平面AC.
(2)与直线B1C1垂直的平面有：平面AB1，平面CD1.
(3)与平面BC1平行的平面有：平面AD1.
(4)与平面BC1垂直的平面有：平面AB1，平面A1C1，平面CD1，平面AC.
变式训练3 A
课时作业
1．D 2.C 3.B 4.C 5.C
6．3 平面AC和平面A′C′
7．12
8．解 把直尺的边缘紧贴物体表面，如果在某个位置直尺边缘与物体表面间有缝隙，就说明该物体表面不是平面．
9．解 图(1)作出的几何体为正方体．
图(2)作出的几何体为正八面体．
10．解 把长方体含A、C1的面作展开图，如图甲、乙、丙所示．
对这三种展开图利用勾股定理可得AC1的长分别为、、，由此可见乙是最短路线．
所以甲壳虫可以先在面ABB1A1内由A到E，再在面BCC1B1内由E到C1，其最短路程为.1.1.4 投影与直观图
自主学习
学习目标
1．初步了解空间图形平行投影和中心投影的原理，初步理解平行投影的性质．
2．了解空间图形的不同表示形式，会运用斜二测画法的规则画出水平放置的简单空间图形的直观图．
自学导引
1．平行投影的性质
当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影都具有下述性质：
(1)直线或线段的平行投影仍是________或________；
(2)平行直线的平行投影是________或________的直线；
(3)平行于投射面的线段，它的投影与这条线段________且________；
(4)与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形________；
(5)在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比________这两条线段的比．
2．水平放置的平面图形的直观图的画法
(1)表示空间图形的__________，叫做空间图形的直观图．
(2)用斜二测画法画空间图形的直观 ( http: / / www.21cnjy.com )图时，图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段在直观图中分别画成________于x′轴、y′轴或z′轴的线段，平行于x轴和z轴的线段，在直观图中长度________，平行于y轴的线段，长度为原来的________．
(3)对于图形中与x轴、y轴、z轴 ( http: / / www.21cnjy.com )都不平行的线段，可通过确定端点的办法来解决，即过端点作坐标轴的________，再借助于所作的__________确定端点在直观图中的位置．
3．中心投影
一个__________把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影．
对点讲练
知识点一 平行投影的概念性质
例1 下列命题中正确的个数为( )
①直线或线段的平行投影仍是直线或线段；
②矩形的平行投影一定是矩形；
③两条相交直线的投影可能平行；
④如果△ABC在一投影面内的平行投影是△A′B′C′，则△ABC的重心M在投影面内的平行投影M′一定是△A′B′C′的重心．
A．1 B．2 C．3 D．4
点评 本题必须明白平行直线( ( http: / / www.21cnjy.com )与投射线不平行)的平行投影是平行直线或重合的直线；在同一直线上或平行直线上，两条线段的平行投影的比等于两条线段的比．一般来说正方形、菱形、长方形的平行投影是平行四边形，梯形的平行投影是梯形．
变式训练1 关于直角AOB在某平 ( http: / / www.21cnjy.com )面内的平行投影有如下判断：①可能是0°角；②可能是锐角；③可能是直角；④可能是钝角；⑤可能是180°的角．其中正确判断的序号是________________．
知识点二 水平放置的平面图形的直观图
例2
用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形的直观图．
点评 此类问题的解题步骤是：建系、定点、连线成图．要注意选取恰当的坐标原点，能使整个作图变得简便．
变式训练2
将例2中三角形放置成如图所示，则直观图与例2中还一样吗？
知识点三 将直观图恢复为原平面图形
例3
如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形．
点评 由直观图恢复到平面图形的步骤与斜二测画法的步骤一样，注意角度的改变，平行性不变，长度的变化，关键是点的确定．
变式训练3 已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，那么原△ABC的面积为( )
A.a2 B.a2 C.a2 D.a2
1．直观图中应遵循的基本原则：
(1)用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于x轴、y轴、z轴的线段在直观图中应分别画成平行于x′轴、y′轴、z′轴的线段；
(2)平行于x轴、z轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于y轴的线段长度变为原来的.
2．用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图的面积是原图形面积的倍．
3．在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小.
课时作业
一、选择题
1．人在灯光下走动，当人逐渐远离灯光时，其影子的长度将( )
A．逐渐变短 B．逐渐变长
C．不变 D．以上都不对
2．已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的直观图△A′B′C′的面积为( )
A.a2 B.a2 C.a2 D.a2
3.
如图所示，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是( )
4．如图建立坐标系，得到的正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是( )
5．如图甲所示为一个平面图形的直观图，则此平面图形可能是图乙中的( )
题 号 1 2 3 4 5
答 案
二、填空题
6．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为______．
7.
如图所示，为一个水平放置的正方形AB ( http: / / www.21cnjy.com )CO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．
三、解答题
8．如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4 cm，CD＝2 cm，∠DAB＝30°，AD＝3 cm，试画出它的直观图．
9.
如图所示，四边形ABCD是一个直角梯形，CD∥AB，CD＝AO＝1，△AOD为等腰直角三角形，试求梯形ABCD水平放置的直观图的面积.
【答案解析】
自学导引
1．(1)直线 线段 (2)平行 重合 (3)平行 等长 (4)全等 (5)等于
2．(1)平面图形 (2)平行 不变 一半 (3)平行线 平行线
3．点光源
对点讲练
例1 A [命题①错误，当直线或线段与投射线平行时，其平行投影是点；命题②错误，当投射线不与矩形所在平面垂直时，平行投影可以是平行四边形或者线段；命题③错误，两条相交直线的投影可能是相交直线或重合的直线，不可能平行；命题④正确，重心的平行投影仍是重心．]
变式训练1 ①②③④⑤
例2 解 (1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴．
(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.
在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝2 ( http: / / www.21cnjy.com ) cm，在y′轴上截取O′A′＝OA，连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图②所示．
变式训练2 解 (1)如图①所示，以BC边所在的直线为y轴，以BC边上的高AO所在的直线为x轴．
(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.
在x′轴上截取O′A′＝OA，在y ( http: / / www.21cnjy.com )′轴上截取O′B′＝O′C′＝OC＝1 cm，连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图②所示．
显然与例2中既不全等也不相似．
例3 解 画法：(1)以点C为原点，画直角坐标系xOy，在x轴上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；
(2)在图1中，过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于D′，在x轴上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，并使DB＝2D′B′.
(3)连接AB、BC，则△ABC即为△A′B′C′原来的图形，如图2.
变式训练3 C [画△ABC直观图如图(1)所示：
则A′D′＝a，又∠x′O′y′＝45°，∴A′O′＝a.
画△ABC的实际图形，如图(2)所示，
AO＝2A′O′＝a，BC＝B′C′＝a，
∴S△ABC＝BC·AO＝a2.]
课时作业
1．B [中心投影的性质．]
2．D [先画出正三角形ABC，然后 ( http: / / www.21cnjy.com )再画出它的水平放置的直观图，如图所示．由斜二测画法规则知B′C′＝a，O′A′＝a.过A′作A′M⊥x′轴，垂足为M，
则A′M＝O′A′·sin 45°＝a×＝a.
∴S△A′B′C′＝B′C′·A′M＝a×a＝a2.]
3．A 4.C 5.C 6.2.5
7.
解析 画出直观图，则B′到x′轴的距离为
·OA＝OA＝.
8．解 (1)如图a所示，在梯形A ( http: / / www.21cnjy.com )BCD中，以边AB所在的直线为x轴，点A为原点，建立平面直角坐标系xOy.如图b所示，画出对应的x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°.
(2)在图a中，过D点作 ( http: / / www.21cnjy.com )DE⊥x轴，垂足为E.在x′轴上取A′B′＝AB＝4 cm，A′E′＝AE＝≈2.598 cm；过点E′作E′D′∥y′轴，使E′D′＝ED，再过点D′作D′C′∥x′轴，且使D′C′＝DC＝2 cm.
(3)连接A′D′、B′C′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图c所示，则四边形A′B′C′D′就是所求作的直观图．
9．解 在梯形ABCD中，AB＝2，高OD＝1.
由于梯形ABCD水平放置的 ( http: / / www.21cnjy.com )直观图仍为梯形，且上底CD和下底AB的长度都不变，如图所示．在直观图中，O′D′＝OD，梯形的高D′E′＝，于是，梯形A′B′C′D′的面积S＝×(1＋2)×＝.1.1.5 三视图
自主学习
学习目标
了解正投影的概念，理解三视图的原理和视 ( http: / / www.21cnjy.com )图间的相互关系，能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简单组合)的三视图，会画某些建筑物或零件的直观图和三视图，能识别三视图所表示的立体模型，并会使用材料(比如纸板)制作模型．
自学导引
1．正投影
在物体的平行投影中，如果投射线与投射面垂直，则称这样的平行投影为________．
2．三视图
(1)一个投射面水平放置，叫做______________，投射到水平投射面的图形叫____________．一个投射面放置在正前方叫做________________，投射到直立投射面内的图形叫________，和直立、水平两个投射面都垂直的投射面叫做__________，投射到侧立投射面内的图形叫做________．
(2)将空间图形向水平投射面 ( http: / / www.21cnjy.com )、直立投射面、侧立投射面作正投影，然后把这三个投影按一定的布局(俯视图放在主视图的下面，长度与主视图一样，左视图放在主视图的右面，高度与主视图一样，宽度与俯视图的宽度一样即“长对正、高平齐、宽相等”)，放在一个平面内，这样构成的图形叫做空间图形的__________．
对点讲练
知识点一 画几何体的三视图
例1 画出如图所示的正四棱锥的三视图．
点评 (1)在画三视图时 ( http: / / www.21cnjy.com )，务必做到主(视图)左(视图)高平齐，主(视图)俯(视图)长对正，俯(视图)左(视图)宽相等．(2)习惯上将主视图与左视图画在同一水平位置上，俯视图在主视图的正下方．
变式训练1 下图为截去一角的长方体，画出它的三视图．
知识点二 简单组合体的三视图
例2 画出如下图所示几何体的三视图．
点评 三视图的训练有助于培养空间想像能力 ( http: / / www.21cnjy.com )和解决实际问题的能力，在绘制组合体三视图时，应注意：若相邻两个几何体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中不要忘记将分界线画出．
变式训练2 画出图中所示的简单空间几何体的组合体的三视图．
知识点三 由三视图还原成直观图
例3 几何体的三视图如图所示，请画出它的直观图．
点评 (1)根据三视图还原几何体，要仔 ( http: / / www.21cnjy.com )细分析和认真观察三视图并进行充分的想象，然后综合三视图的形状，从不同的角度去还原．看图和想图是两个重要的步骤，“想”于“看”中，形体分析的看图方法是解决此类问题的常用方法．(2)通常要根据俯视图判断几何体是多面体还是旋转体，再结合主视图和左视图确定具体的几何结构特征，最终确定是简单几何体还是简单组合体．
变式训练3 说出图(1)(2)三视图表示的几何体：
在绘制三视图时，要掌握如下技巧：
(1)若两相邻物体的表面相交，表面的交线是它们的原分界线，在三视图中，分界线和可见轮廓都用实线画出，不可见轮廓用虚线画出；
(2)一个物体的三视图的排列规则是：俯 ( http: / / www.21cnjy.com )视图放在主视图的下面，长度和主视图一样．左视图放在主视图的右面，高度和主视图一样，宽度和俯视图一样，简记为“长对正，高平齐，宽相等”；
(3)在画物体的三视图时应注意观察的角度，角度不同，往往画出的三视图不同.
课时作业
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．任何几何体的三视图都与其摆放的位置有关
B．任何几何体的三视图都与其摆放的位置无关
C．有的几何体的三视图与其摆放的位置无关
D．正方体的三视图一定是三个全等的正方形
2．某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是( )
A．三棱锥 B．四棱锥
C．四棱台 D．三棱台
3．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
4．实物图如图所示．无论怎样摆放物体，如图所示中不可能为其主视图的是( )
题 号 1 2 3 4
答 案
二、填空题
5．桌上放着一个长方体和圆柱(如图所示)，说出下列三幅图分别是什么图(主视图，俯视图或左视图)．
(1)________； (2)________； (3)________．
6．用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体需要的小正方体的块数是________．
三、解答题
7．画出如图所示的几何体的三视图．
8．下图是一几何体的三视图，想象该几何体的几何结构特征，画出该几何体的形状．
【答案解析】
自学导引
1．正投影
2．(1)水平投射面 俯视图 直立投射面 主视图 侧立投射面 左视图 (2)三视图
对点讲练
例1 解 四棱锥的三视图如图所示：
变式训练1 解
例2 解 三视图如下图所示．
变式训练2 解 三视图分别如图所示．
例3 解 由三视图可知，该几何体由正方体和四棱台组成，如图所示．
变式训练3 解 (1)由几何体的三视图知，该几何体的底面是正六边形，侧面是有一个公共顶点的六个等腰三角形，故该几何体是正六棱锥．
(2)由几何体的三视图知，该几何 ( http: / / www.21cnjy.com )体的底面是圆，相交的部分是一个与底面圆同圆心的圆，主视图和左视图是两个全等的等腰梯形，故该几何体是两个圆台的组合体．
课时作业
1．C [球的三视图与其摆放位置无关．]
2．B
3．D [在各自的三视图中①正方体的三个视图都相同；②圆锥的两个视图相同；③三棱台的三个视图都不同；④正四棱锥的两个视图相同，故选D.]
4．D [A图可看做该物体槽向前时的主视图，B图可看做槽向下时的主视图，C图可看做槽向后时的主视图．]
5．(1)俯视图 (2)主视图 (3)左视图
6．6
解析 由主视图和左视图，知 ( http: / / www.21cnjy.com )该几何体由两层小正方体拼接成，由俯视图可知，最下层有5个小正方体，由左视图知上层仅有一个正方体，则共有6个小正方体．
7．解 三视图如图所示．
8.
解 由于俯视图有一个圆和一个四边形 ( http: / / www.21cnjy.com )，则该几何体是由旋转体和多面体拼接成的组合体，结合左视图和主视图，可知该几何体是由上面一个圆柱，下面一个四棱柱拼接成的组合体．该几何体的形状如图所示．1.1.7 柱、锥、台和球的体积(1)
自主学习
学习目标
1．了解柱、锥、台的体积计算公式，并学会运用这些公式解决一些简单问题．
2．结合祖暅原理等内容的学习，了解我国古代数学家在数学发展上做出的杰出贡献，培养爱国主义思想，逐步培养热爱科学的态度．
自学导引
1．祖暅原理
(1)祖暅原理：____________，则积不容异，这就是说，夹在两个________平面间的两个几何体，被__________这两个平面的________平面所截，如果截得的两个截面的面积总________，那么这两个几何体的体积相等．
(2)应用祖暅原理可以说明：等__________、等______的两个柱体或锥体的体积相等．
2．柱、锥、台、球的体积
(1)柱体的体积等于它的底面积S和高h的积， ( http: / / www.21cnjy.com )即V柱体＝______.底面半径是r，高是h的圆柱体的体积的计算公式是V圆柱＝__________.
(2)如果一个锥体的底面积 ( http: / / www.21cnjy.com )是S，高是h，那么它的体积是V锥体＝__________.如果圆锥的底面半径是r，高是h，则它的体积是V圆锥＝__________.
(3)如果一个台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，那么它的体积是V台体＝__________________.
如果圆台的上、下底面半径分别是r′、r，高是h，则它的体积是V圆台＝________________.
对点讲练
知识点一 求台体的体积
例1 已知正三棱台(上、下底是正三角形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)的上、下底面边长分别是2 cm与4 cm，侧棱长是 cm，试求该三棱台的体积与表面积．
点评 在解决棱锥、棱台的侧面积、表面积及体积问题时往往将已知条件归结到一个直角三角形中求解，为此在解此类问题时，要注意直角三角形的应用．
变式训练1 一个正四棱台的斜高为12 cm，侧棱长为13 cm，侧面积为720 cm2，求它的体积．
知识点二 求锥体的体积
例2 三棱锥的顶点为P，已知三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，若PA＝2，PB＝3，PC＝4.求三棱锥P－ABC的体积．
点评 三棱锥又称四面体，由 ( http: / / www.21cnjy.com )于它的每一个面均可作为棱锥的底面，因此，灵活性较大，通过变换底面与对应的顶点，找出较易求出面积的底面和对应的高，从而求出体积，这种方法又称等体积变换．
变式训练2 已知正三棱锥P－ABC(如图所示)，侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，AB＝，求此三棱锥的体积．
知识点三 综合应用
例3 已知正三棱锥V—ABC(底面是等边三角形，顶点在底面的射影是底面的中心)的主视图，俯视图如图所示，其中VA＝4，AC＝2，求该三棱锥的表面积与体积．
点评 把几何体的表面积与体积的计算与三视图结 ( http: / / www.21cnjy.com )合考查是高考的一个热点，解决此类问题的关键是正确地观察三视图，把它还原为直观图，特别要注意从三视图中得到几何体的度量，再结合表面积或体积公式解题．
变式训练3 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．2π＋2 B．4π＋2
C．2π＋ D．4π＋
1．在解决棱锥、棱台的侧面积、表面积及体积问题时往往将已知条件归结到一个直角三角形中求解，为此在解此类问题时，要注意直角三角形的应用．
2．有关旋转体的表面积和体积的计算要充分利 ( http: / / www.21cnjy.com )用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解．而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解．
3．柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为
V柱体＝ShV台体＝h(S＋＋S′)V锥体＝Sh.
课时作业
一、选择题
1．圆台上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是( )
A.π B．2π C.π D.π
2．圆柱的侧面展开图是长12 cm，宽8 cm的矩形，则这个圆柱的体积为( )
A. cm3 B. cm3
C. cm3或 cm3 D．192π cm3
3．如图，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为，则该几何体的俯视图可以是( )
4．一个水平放置的圆柱形储油桶，桶内有油部分所在圆弧占底面圆周长的，则油桶直立时，油的高度与桶的高度的比值是( )
A. B.－ C. D.－
5．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．2π＋2 B．4π＋2
C．2π＋ D．4π＋
题 号 1 2 3 4 5
答 案
二、填空题
6．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的体积为________．
7．如图所示，在长方体 ABCD—A1B1 ( http: / / www.21cnjy.com )C1D1中，AB＝6，AD＝4，AA1＝3.分别过BC，A1D1的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为V1＝VAEA1—DFD1，V2＝VEBE1A—FCF1D1，V3＝VB1E1B—C1F1C，若V1∶V2∶V3＝1∶4∶1，则截面A1EFD1的面积为________．
三、解答题
8．一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)：
(1)试画出它的直观图；
(2)求它的表面积和体积．
9．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，主视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，左视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．
(1)求该几何体的体积V；
(2)求该几何体的侧面积S.
【答案解析】
自学导引
1．(1)幂势既同 平行 平行于 任意 相等 (2)底面积 高
2．(1)Sh πr2h (2)Sh πr2h
(3)h(S＋＋S′) πh(r2＋rr′＋r′2)
对点讲练
例1 解
如图所示，O′、O分别是上、下底面的中心，连接OO′、O′B′、OB，
在平面BCC′B′内过B′作B′D⊥BC于D，在平面BOO′B′内作B′E⊥OB于E.
∵△A′B′C′是边长为2的等边三角形，O′是中心，
∴O′B′＝×2×＝，
同理OB＝，则BE＝OB－O′B′＝.
在Rt△B′EB中，BB′＝，BE＝，
∴B′E＝，即棱台高为 cm.
所以三棱台的体积为
V棱台＝×(×16＋×4＋)
＝ (cm3)．
由于棱台的侧面是等腰梯形，∴BD＝×(4－2)＝1.
在Rt△B′DB中，BB′＝，BD＝1，
∴B′D＝，即梯形的高为 cm.
所以棱台的表面积S＝S上底＋S下底＋S侧
＝×4＋×16＋3××(2＋4)×
＝5＋9 (cm2)．
所以棱台的表面积是(5＋9) cm2，
体积是 cm3.
变式训练1 解 设该棱台的上、下底面边长分别为b和a，高为h，斜高为h′，侧棱长为l，
则由题意得.
∵h′＝12，l＝13，S侧＝720，
∴，∴，
∴V正四棱台＝××(202＋20×10＋102)
＝(cm3)，
即此四棱台的体积为 cm3.
例2 解 如图，在长方体中，PA、PB、PC两两互相垂直，显然AP⊥平面BPC.
∴AP是三棱锥A－PBC的高．
∵S△BPC＝·BP·PC
＝×3×4＝6，
∴V三棱锥P－ABC＝V三棱锥A－PBC
＝S△BPC·AP
＝×6×2＝4.
变式训练2
解 ∵三棱锥P－ABC为正三棱锥，∴△ABC为正三角形，
PA＝PB＝PC，
∵侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，
且AB＝，
∴可建立如图所示的正方体，
则PA⊥平面PBC，PA＝PB＝PC＝1.
∴V＝Sh＝S△PBC·PA
＝××1×1×1＝.
例3 解
由主视图与俯视图可得正三棱锥的直观图如图所示，且VA＝VB＝VC＝4，AB＝BC＝AC＝2，
取BC的中点D，连接VD，
则VD＝＝＝，
∴S△VBC＝×VD×BC＝××2＝，
S△ABC＝×(2)2×＝3，
∴三棱锥V—ABC的表面积为
3S△VBC＋S△ABC＝3＋3＝3(＋)．
点V在底面ABC上的射影为H，则A，H，D三点共线，
VH即为三棱锥V—ABC的高，
VH＝＝
＝＝2，
∴VV—ABC＝S△ABC·VH＝×3×2＝6，
所以正三棱锥的体积是6.
变式训练3 C [该空间几何体为一圆柱和一 ( http: / / www.21cnjy.com )四棱锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2，体积为2π，四棱锥的底面边长为，高为，所以体积为×()2×＝，所以该几何体的体积为2π＋.]
课时作业
1．D [上底半径r＝1，下底半径R＝2，因为S侧＝6π，设母线为l，则π(1＋2)·l＝6π.∴l＝2.
所以高h＝＝.
∴V＝π·×(1＋1×2＋2×2)＝π.]
2．C [若底面圆周长为12，则2πr＝12，所以r＝，
所以V＝π·2·8＝(cm3)．
若底面圆周长为8，则2πr＝8，所以r＝，
所以V＝π·2·12＝ (cm3)．]
3．C [当俯视图为A中正方形时，几 ( http: / / www.21cnjy.com )何体为边长为1的正方体，体积为1；当俯视图为B中圆时，几何体为底面半径为，高为1的圆柱，体积为；当俯视图为C中三角形时，几何体为三棱柱，且底面为直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，体积为；当俯视图为D中扇形时，几何体为圆柱的，且体积为.]
4．B [设圆柱桶的底面半径为R，高为h，油桶直立时油面的高度为x，则h＝πR2x，
所以＝－.]
5．C [该空间几何体为一圆柱和一四 ( http: / / www.21cnjy.com )棱锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2，体积为2π，四棱锥的底面边长为，高为，所以体积为×()2×＝，所以该几何体的体积为2π＋.]
6．224π
解析
如图为圆台的轴截面，设圆台 ( http: / / www.21cnjy.com )上、下底半径及圆台的高分别为x,4x,4x，则在三角形ABC中，AC＝4x，BC＝4x－x＝3x，AB＝10，由于AB2＝AC2＋BC2，
∴16x2＋9x2＝25x2＝100，∴x＝2，
从而可知圆台的上、下底面半径及高分别为2,8,8.
∴圆台的体积V＝(S′＋＋S)h
＝(π×22＋＋π×82)×8＝224π.
7．4
解析 本题主要考查棱柱的概念和棱柱的体积公式．长方体体积为72，则VAA1E—DD1F＝12，
∴S△AA1E＝3，∴AE＝2.
∴A1E＝，∴S矩形A1EFD1＝4.
8．解 (1)直观图如图所示．
(2)方法一 由三视图可知该几何体是长方体被截去一个角，且该几何体的体积是以A1A，A1D1，A1B1为棱的长方体的体积的，
在直角梯形AA1B1B中，作BE⊥A1B1，
则AA1EB是正方形，
∴AA1＝BE＝1.
在Rt△BEB1中，BE＝1，EB1＝1，
∴BB1＝.
∴几何体的表面积S＝S正方形AA1D1D＋2S梯形AA1B1B＋S矩形BB1C1C＋S正方形ABCD＋S矩形A1B1C1D1
＝1＋2××(1＋2)×1＋1×＋1＋1×2＝7＋(m2)．
∴几何体的体积V＝×1×2×1＝(m3)，
∴该几何体的表面积为(7＋)m2，体积为 m3.
方法二 几何体可以看作是以AA1B1B为底面的直四棱柱，其表面积求法同方法一，
V直四棱柱D1C1CD－A1B1BA＝Sh
＝×(1＋2)×1×1＝(m3)．
∴几何体的表面积为(7＋)m2，体积为m3.
9．解 (1)
由该几何体的俯视图、主视图、左视图可知，该几何体是四棱锥，且四棱锥的底面ABCD是边长为6和8的矩形，高PO＝4，O点是AC与BD的交点．
∴该几何体的体积
V＝×8×6×4＝64.
(2)如图所示，侧面PAB中，PE⊥AB，则
PE＝＝＝5，
∴S△PAB＝×AB×PE＝×8×5＝20，
侧面PBC中，PF⊥BC，
则PF＝＝＝4.
∴S△PBC＝×BC×PF＝×6×4＝12，
∴该几何体的侧面积
S＝2(S△PAB＋S△PBC)＝40＋24.1.2.2 空间中的平行关系(4)——平面与平面平行
自主学习
学习目标
1．掌握两平面平行的定义、图形的画法以及符号表示．
2．理解两平面平行的判定定理及性质定理，并能应用定理．证明线线、线面、面面的平行关系．
自学导引
1．两个平面平行的定义：
________________________________________________________________________.
2．平面与平面平行的判定定理：
__________________________________________________________.
图形表示：
符号表示：
________________________________________________________________________.
推论：如果一个平面内有两条____________分别平行于另一个平面内的__________，则这两个平面平行．
3．平面与平面平行的性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么____________________________．
符号表示：若平面α、β、γ满足________________________，则a∥b.
上述定理说明，可以由平面与平面平行，得出直线与直线平行．
对点讲练
知识点一 平面与平面平行的判定
例1 已知E、F、E1、F1分别是三棱柱A1B1C1—ABC棱AB、AC、A1B1、A1C1的中点．
求证：平面A1EF∥平面E1BCF1.
点评 要证平面平行，依据判定 ( http: / / www.21cnjy.com )定理只需要找出一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面即可．另外在证明线线、线面以及面面平行时，常进行如下转化：线线平行线面平行面面平行．
变式训练1 正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、E、F分别为棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点．
求证：平面AMN∥平面EFDB.
知识点二 用面面平行的性质定理证线面平行与线线平行
例2 已知M、N分别是底面为平行四边形的四棱锥P—ABCD棱AB、PC的中点，平面CMN与平面PAD交于PE，求证：
(1)MN∥平面PAD；
(2)MN∥PE.
点评 该题充分体现了线线平行、线 ( http: / / www.21cnjy.com )面平行、面面平行之间的相互转化关系．一般来说，证线面平行时，若用线面平行的判定定理较困难，改用面面平行的性质是一个较好的想法．
变式训练2
如图所示，正方体ABCD—A′B′C′D′中，点E在AB′上，点F在BD上，且B′E＝BF.
求证：EF∥平面BB′C′C.
知识点三 综合应用
例3 如图所示，在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝a，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1.那么，在棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面AEC？证明你的结论．
点评 解答开放性问题，要结合题目本身的特点与相应的定理，大胆地猜想，然后证明．
变式训练3
如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D ( http: / / www.21cnjy.com )1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足______时，有MN∥平面B1BDD1.
1．在空间平行的判断与证明时要注意线线、线面、面面平行关系的转化过程：
2．注意两个问题
(1)一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内的一切直线，这种说法是不对的，但可以认为这条直线与平面内的无数条直线平行．
(2)两个平面平行，其中一个平面内的直线必定平行于另一平面，但这两个平面内的直线不一定相互平行，也有可能异面.
课时作业
一、选择题
1．设平面α∥平面β，直线a?α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中( )
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线
D．存在惟一一条与a平行的直线
2．对于直线m、n和平面α，下列命题中是真命题的是( )
A．如果m?α，n?α，m、n是异面直线，那么n∥α
B．如果m?α，n?α，m、n是异面直线，那么n与α相交
C．如果m?α，n∥α，m、n共面，那么m∥n
D．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n
3．设m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是( )
A．m∥β且l1∥α B．m∥l1且n∥l2
C．m∥β且n∥β D．m∥β且n∥l2
4．设α∥β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A、B分别在平面α、β内运动时，那么所有的动点C( )
A．不共面
B．当且仅当A、B分别在两条直线上移动时才共面
C．当且仅当A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
D．不论A、B如何移动，都共面
5．已知平面α外不共线的三点A，B，C到α 的距离都相等，则正确的结论是( )
A．平面ABC必平行于α
B．平面ABC必与α相交
C．平面ABC必不垂直于α
D．存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内
题 号 1 2 3 4 5
答 案
二、填空题
6．下面的命题在“________”处缺少一个条件，补上这个条件，使其构成真命题(m，n为直线，α，β为平面)，则此条件应为________．
?α∥β
7．平面α∥平面β，△ABC和△A′B′C′分别在平面α和平面β内，若对应顶点的连线共点，则这两个三角形________．
8．下列命题正确的是________．(填序号)
①一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；
②一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；
③一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；
④一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行．
三、解答题
9．已知两条异面直线BA、DC与两平行平面α、β分别交于B、A和D、C，M、N分别是AB、CD的中点．求证：MN∥平面α.
10.
如图所示E、F、G、H分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点，
求证：(1)GE∥平面BB1D1D；
(2)平面BDF∥平面B1D1H.
【答案解析】
自学导引
1．没有公共点的两个平面
2．如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行
a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?β∥α
相交直线 两条直线
3．它们的交线平行 α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b
对点讲练
例1 证明
∵EF是△ABC的中位线，∴EF∥BC.
∵EF?平面E1BCF1，
BC?平面E1BCF1，
∴EF∥平面E1BCF1.
∵A1E1EB，
∴四边形EBE1A1是平行四边形，
∴A1E∥E1B.
∵A1E?平面E1BCF1，E1B?平面E1BCF1，
∴A1E∥平面E1BCF1.
又∵A1E∩EF＝E，∴平面A1EF∥平面E1BCF1.
变式训练1 证明
如图，连接A1C1，AC.
设A1C1分别交MN、EF于P、Q，
AC交BD于O.
连接AP，OQ，B1D1.
在矩形A1ACC1中，PQ∥AO，
∵M、N、E、F分别是所在棱的中点，
∴MND1B1，EFD1B1，
∴P、Q分别是四等分点，∴PQ＝AC，
又∵AO＝AC，∴PQAO.
∴四边形PQOA为平行四边形，∴AP∥OQ.
∴AP∥平面EFDB.又∵MN∥B1D1，EF∥B1D1，
∴EF∥MN，∴MN∥平面EFDB，
∴平面AMN∥平面EFDB.
例2 证明 (1)取DC中点Q，连接MQ、NQ.
∵NQ是△PDC的中位线，
∴NQ∥PD.
∵NQ?平面PAD，PD?平面PAD，
∴NQ∥平面PAD.
∵M是AB中点，ABCD是平行四边形，
∴MQ∥AD，MQ?平面PAD，AD?平面PAD.
从而MQ∥平面PAD.
∵MQ∩NQ＝Q，∴平面MNQ∥平面PAD.
∵MN?平面MNQ，∴MN∥平面PAD.
(2)∵平面MNQ∥平面PAD，
平面PEC∩平面MNQ＝MN，
平面PEC∩平面PAD＝PE.∴MN∥PE.
变式训练2 证明 方法一 连接AF延长交BC于M，连接B′M.
∵AD∥BC，∴△AFD∽△MFB，
∴＝.
又∵BD＝B′A，B′E＝BF，
∴DF＝AE.∴＝.
∴EF∥B′M，
又∵B′M?平面BB′C′C，EF?面BB′C′C，
∴EF∥平面BB′C′C.
方法二 作FH∥AD交AB于H，连接HE.
∵AD∥BC，∴FH∥BC，
又∵BC?平面BB′C′C，FH?平面BB′C′C，
∴FH∥平面BB′C′C.
由FH∥AD，可得＝，
又BF＝B′E，BD＝AB′，∴＝，
∴EH∥BB′，
∵B′B?平面BB′C′C，EH?面BB′C′C，
∴EH∥平面BB′C′C，又EH∩FH＝H，
∴平面FHE∥平面BB′C′C，
∵EF?平面FHE，∴EF∥平面BB′C′C.
例3 解
如图所示，当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC，
证明如下：
取PE的中点M，连接FM，
则FM∥CE.①
由EM＝PE＝ED知，E是MD的中点，连接BM、BD，设BD∩AC＝O，则O为BD的中点，
所以BM∥OE.②
又BM∩FM＝M，③
由①②③可得，平面BFM∥平面AEC.
又BF?平面BFM，所以BF∥平面AEC.
变式训练3 M∈线段FH
解析 ∵HN∥BD，HF∥DD1，
HN∩HF＝H，BD∩DD1＝D，
∴平面NHF∥平面B1BDD1，
故线段FH上任意点M与N连接，
有MN∥平面B1BDD1.
课时作业
1．D [直线a与B可确定一个平面γ，
∵B∈β∩γ，∴β与γ有一条公共直线b.
由线面平行的性质定理知b∥a，所以存在性成立．
因为过点B有且只有一条直线与已知直线a平行，所以b惟一．]
2．C [若m?α，n?α， ( http: / / www.21cnjy.com )m，n是异面直线，如图(1)所示，此时n与α相交，故A不正确．B项若m?α，n?α，m，n是异面直线，如图(2)所示，此时m与n为异面直线，而n与α平行，故B不正确．D项如果m∥α，n∥α，m，n共面，如图(3)所示，m与n可能相交，故D不正确．]
3．B
如图，在正方体ABCD—A1B1 ( http: / / www.21cnjy.com )C1D1中，AB∥面A1B1CD，CD∥面A1B1BA，但面A1B1CD与面A1B1BA相交，故A不正确；取AD中点为E，BC中点为F，则EF∥面ABB1A1，C1D1∥面ABB1A1，但面ABB1A1与面EFC1D1不平行，故C不对；虽然EF∥AB且C1D1∥面A1B1BA，但是面EFC1D1与面A1B1BA不平行，故D不正确．
对于选项B，当l1∥m，l2∥n且m? ( http: / / www.21cnjy.com )α，n?α时，有l1∥α，l2∥α.又l1与l2相交且都在β内，∴α∥β，而α∥β时，无法推出m∥l1且n∥l2.∴l1∥m且l2∥n是α∥β的充分不必要条件．]
4．D
如图所示，A′、B′分别是A、B两点在α ( http: / / www.21cnjy.com )、β上运动后的两点，此时AB中点变成A′B′中点C′，连接A′B，取A′B中点E.连接CE、C′E.
则CE∥AA′，∴CE∥α.
C′E∥BB′，∴C′E∥β.
又∵α∥β，∴C′E∥α.∵C′E∩CE＝E.
∴平面CC′E∥平面α.
∴CC′∥α.所以不论A、B如何移动，所有的动点C都在过C点且与α、β平行的平面上．]
5．D [A，B，C在平面α的 ( http: / / www.21cnjy.com )异侧时，A错；而A，B，C在平面α同侧时，B错；A，B，C在平面α的异侧时，平面ABC有可能垂直于平面α，C错．]
6．m，n相交
7．相似
解析 由于对应顶点的连线共点，则AB与A′B′共面，
由面与面平行的性质知AB∥A′B′，
同理AC∥A′C′，BC∥B′C′，故两个三角形相似．
8．③④
9.
证明 过A作AE∥CD交α于E，取AE的中点P，
连接MP、PN、BE、ED.
∵AE∥CD，
∴AE、CD确定平面AEDC.
则平面AEDC∩α＝DE，
平面AEDC∩β＝AC，
∵α∥β，∴AC∥DE.
又P、N分别为AE、CD的中点，
∴PN∥DE.PN?α，DE?α，
∴PN∥α.又M、P分别为AB、AE的中点，
∴MP∥BE，且MP?α，BE?α，
∴MP∥α，又∵MP∩PN＝P，∴平面MPN∥α.
又MN?平面MPN，∴MN∥α.
10．证明 (1)取B1D1中点O，连接GO，OB，
易证OG∥B1C1，
且OG＝B1C1，
BE∥B1C1，且BE＝B1C1，
∴OG∥BE且OG＝BE，
四边形BEGO为平行四边形．∴OB∥GE.
∵OB?平面BDD1B1，GE?平面BDD1B1，
∴GE∥平面BDD1B1.
(2)由正方体性质得B1D1∥BD，
∵B1D1?平面BDF，BD?平面BDF，
∴B1D1∥平面BDF.连接HB，D1F，
易证四边形HBFD1是平行四边形，得HD1∥BF.
∵HD1?平面BDF，BF?平面BDF，
∴HD1∥平面BDF，∵B1D1∩HD1＝D1，
∴平面BDF∥平面B1D1H.1.2.3 空间中的垂直关系(2)——平面与平面垂直
自主学习
学习目标
1．掌握两个平面互相垂直的概念，并能利用判定定理，判定两个平面互相垂直．
2．掌握两个平面垂直的性质定理，并能利用该定理作平面的垂线．
3．理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的内在联系．
自学导引
1．如果两个相交平面的交线与第三个平面______，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相______，就称这两个平面互相垂直．
2．如果一个平面过另一个平面的__________，则两个平面互相垂直．
3．如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们________的直线垂直于另一个平面．
对点讲练
知识点一 面面垂直的证明
例1
如图所示，四边形ABCD是平行四边形，直线SC⊥平面ABCD，E是SA的中点．
求证：平面EDB⊥平面ABCD.
点评 将面面垂直转化为线面垂直是证明此类题的关键，另外利用面面垂直的定义求二面角的平面角是90°(如例1)．
变式训练1
如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E、F、G分别为CD、DA和对角线AC的中点．
求证：平面BEF⊥平面BGD.
知识点二 面面垂直的性质定理的应用
例2
如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点 ( http: / / www.21cnjy.com )，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；
(2)求证：AD⊥PB.
点评 证明线面垂直，一种方法 ( http: / / www.21cnjy.com )是利用线面垂直的判定定理，再一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线．
变式训练2 如图所示，四 ( http: / / www.21cnjy.com )棱锥P—ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝a，E为PA的中点．求证：平面EDB⊥平面ABCD.
知识点三 线线、线面、面面垂直的综合应用
例3
如图所示，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足．
(1)求证：PA⊥平面ABC；
(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．
点评 证明线面垂直、面面垂直、线线垂直不要局限于一个方面，有时需考虑多种情况的综合．
在运用面面垂直的性质定理时， ( http: / / www.21cnjy.com )若没有与交线垂直的直线，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样就把面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直．
变式训练3 在直三棱柱ABC—A1B ( http: / / www.21cnjy.com )1C1的底面△ABC中，AB＝BC.能否在侧棱BB1上找到一点E，使得截面A1EC⊥侧面AA1C1C？若能找到，指出点E的位置；若不能找到，说明理由．
1．面面垂直的证法
(1)定义法；
(2)判定定理法．
2．面面垂直的性质定理是判断线面垂直的又一重要定理．至此判定线面垂直的方法主要有以下五种：
(1)线面垂直的定义；(2)线面垂直的判定定理；
(3)面面垂直的性质定理；
(4)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面，
b⊥α.
(5)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面，
?a⊥β.
课时作业
一、选择题
1．平面α⊥平面β，直线a∥α，则( )
A．a⊥β B．a∥β
C．a与β相交 D．以上都有可能
2．若平面α与平面β不垂直，那么平面α内能与平面β垂直的直线有( )
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
3．已知m、n为不重合的直线，α、β、γ为不重合的平面，则下列命题中正确的是( )
A．m⊥α，n?β，m⊥n?α⊥β
B．α⊥γ，β⊥γ?α∥β
C．α∥β，m⊥α，n∥β?m⊥n
D．α⊥β，α∩β＝m，n⊥m?n⊥β
4.
如图所示，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，则在平面PAB、平面PAD、平面PCD、平面PBC及平面ABCD中，互相垂直的有( )
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
5.
如图所示，在立体图形D—ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是( )
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
题 号 1 2 3 4 5
答 案
二、填空题
6．已知m、l是直线，α、β是平面，给出下列命题：
①若l垂直于α内两条相交直线，则l⊥α；
②m?α，l?β，且l⊥m，则α⊥β；
③若l?β，且l⊥α，则α⊥β；
④若m?α，l?β，且α∥β，则l∥m.
其中正确的命题的序号是________．
7．空间四边形VABC的各边及对角线均为1，M是VB的中点，则平面ACM与平面VAB的位置关系是________．
8.
如图所示，已知，PA垂直于圆O所在平面．AB是圆O的直径，C是圆周上一点．则图中面面垂直的共有________对．
三、解答题
9．在三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB.
10.
如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点．求证：
(1)DE＝DA；
(2)平面BDM⊥平面ECA；
(3)平面DEA⊥平面ECA.
【答案解析】
自学导引
1．垂直 垂直
2．一条垂线
3．交线
对点讲练
例1 证明 连接AC，设AC、BD交点为F，连接EF，
∴EF是△SAC的中位线，
∴EF∥SC.
∵SC⊥平面ABCD，
∴EF⊥平面ABCD.
又EF?平面EDB，
∴平面EDB⊥平面ABCD.
变式训练1 证明 ∵AB＝BC，CD＝AD，G是AC的中点，∴BG⊥AC，DG⊥AC，
∴AC⊥平面BGD.
又EF∥AC，∴EF⊥平面BGD.
∵EF?平面BEF，∴平面BDG⊥平面BEF.
例2 证明 (1)连接PG，由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴PG⊥平面ABCD，
∴PG⊥BG.
又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，
∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.
又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD.
(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD.
所以AD⊥平面PBG，所以AD⊥PB.
变式训练2 证明 设AC∩BD＝O，连接EO，
则EO∥PC.
∵PC＝CD＝a，PD＝a，
∴PC2＋CD2＝PD2，
∴PC⊥CD.
∵平面PCD⊥平面ABCD，
CD为交线，
∴PC⊥平面ABCD，
∴EO⊥平面ABCD.
又EO?平面EDB，
∴平面EDB⊥平面ABCD.
例3 证明 (1)在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于F.
∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，
∴DF⊥平面PAC，PA?平面PAC，∴DF⊥AP.
作DG⊥AB于G.
同理可证DG⊥AP.
DG、DF都在平面ABC内，且DG∩DF＝D，
∴PA⊥平面ABC.
(2)连接BE并延长交PC于H.
∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BE.
又已知AE是平面PBC的垂线，∴PC⊥AE.
∴PC⊥面ABE.∴PC⊥AB.
又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB.
又PC∩PA＝P，∴AB⊥平面PAC.
∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．
变式训练3 解
假设能够找到符合题意的点E.如图所示， ( http: / / www.21cnjy.com )作EM⊥A1C于点M.因为截面A1EC⊥侧面AA1C1C，所以EM⊥侧面AA1C1C.取AC的中点N，连接MN，BN，因为AB＝BC，
所以BN⊥AC.
又因为AA1⊥BN，
所以BN⊥侧面AA1C1C，所以BN∥EM.
因为平面BEMN∩平面AA1C1C＝MN，
BE∥平面AA1C1C，所以BE∥MN∥A1A.
因为AN＝NC，所以A1M＝MC.
因为四边形BEMN为矩形，所以BE＝MN＝A1A.
所以当E为BB1的中点时，平面A1EC⊥侧面AA1C1C.
课时作业
1．D
2．A [若存在1条，则α⊥β，与已知矛盾．]
3．C
4．C [面PAB⊥面AC，面PAB⊥面PBC，
面PAD⊥面AC，面PAD⊥面PCD，面PAB⊥面PAD.]
5．C [∵AB＝CB，且E是AC的中点，
∴BE⊥AC.同理有DE⊥AC.
∴AC⊥平面BDE.∵AC?平面ABC，
∴平面ABC⊥平面BDE.
又AC?平面ACD，∴平面ACD⊥平面BDE.]
6．①③ 7.垂直 8.3
9.
证明 在平面PAB内，
作AD⊥PB于D.
∵平面PAB⊥平面PBC，
且平面PAB∩平面PBC＝PB.
∴AD⊥平面PBC.又BC?平面PBC，∴AD⊥BC.
又∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAB.
又AB?平面PAB，∴BC⊥AB.
10．证明 (1)如图所示，取EC的中点F，
连接DF.
∵EC⊥BC，DF∥BC，
∴DF⊥EC.
在Rt△EFD和Rt△DBA中，
∵EF＝EC＝BD，FD＝BC＝AB，
∴Rt△EFD≌Rt△DBA，故ED＝DA.
(2)取CA的中点N，连接MN、BN，
则EC.
∴MN∥BD，∴N点在平面BDM内．
∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN.
又CA⊥BN，∴BN⊥平面ECA.
∵BN在平面MBD内，∴平面MBD⊥平面ECA.
(3)∵BDEC，MNEC，
∴MNBD为平行四边形．
∴DM∥BN.又BN⊥平面ECA，
∴DM⊥平面ECA.又DM?平面DEA，
∴平面DEA⊥平面ECA.1.2.2 空间中的平行关系(3)——直线与平面平行的性质
自主学习
学习目标
1．理解直线与平面平行的性质定理的含义．
2．能应用文字语言、符号语言、图形语言准确地描述直线与平面平行的性质定理．
3．会证明直线与平面平行的性质定理．
4．能运用直线与平面平行的性质定理，证明一些空间线面平行关系的简单问题．
自学导引
直线与平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行， ( http: / / www.21cnjy.com )经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和________________________________________________________________________．
(1)符号语言描述：________________.
(2)性质定理的作用：
可以作为直线和直线平行的判定方法，也提供了一种作平行线的方法．
对点讲练
知识点一 利用性质定理证明线线平行
例1 如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行．
点评 线∥面线∥线．在空间平行关系中，交替使用线线平行、线面平行的判定与性质是解决此类问题的关键．
变式训练1 如图所示，三棱锥A—BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH.
求证：CD∥平面EFGH.
知识点二 线面平行性质定理与判定定理的综合应用
例2 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.
点评 本例应用了线面平行 ( http: / / www.21cnjy.com )的性质定理证题，应把握以下三个条件：①线面平行，即a∥α；②面面相交，即α∩β＝b；③线在面内，即a?β.这三个条件缺一不可．
变式训练2 如图所示，已知P是?ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l.
(1)求证：l∥BC；
(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．
知识点三 综合应用问题
例3 如图，一块矩形形状的太阳能吸光板安装在呈空间四边形形状的支架上．矩形EFGH的四个顶点分别在空间四边形ABCD的边上．已知AC＝a，BD＝b.
问：E、F、G、H在什么位置时，吸光板的吸光量最大？
点评 利用线面平行的性质，可以实现由线面 ( http: / / www.21cnjy.com )平行到线线平行的转化．在平时的解题过程中，若遇到线面平行这一条件，就需在图中找(或作)过已知直线与已知平面相交的平面．这样就可以由性质定理实现平行转化．至于最值问题，常用函数思想解决，若题目中没有涉及边长，要大胆地设未知量，以便解题．
变式训练3 如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形．
(1)求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH.
(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．
直线与平面平行的判定定理和直线与平面 ( http: / / www.21cnjy.com )平行的性质定理经常交替使用，也就是通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出新的线线平行，复杂的题目还可继续推下去．可有如下示意图：
线线平行线面平行线线平行
课时作业
一、选择题
1．已知直线l∥平面α，直线m?α，则直线l和m的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．异面 D．平行或异面
2．两条直线都和一个平面平行，则这两条直线的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．以上均可能
3．如图所示，长方体ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )－A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G、H，则HG与AB的位置关系是( )
A．平行
B．相交
C．异面
D．平行和异面
4．三棱锥S－ABC，E、F分别是SB、SC上的点，且EF∥平面ABC，则( )
A．EF与BC相交 B．EF∥BC
C．EF与BC异面 D．以上均有可能
5．已知a、b、c是三条不重合的直线，α、β、γ是三个不重合的平面，下面四个命题，其中正确的命题是( )
A．a∥γ，b∥γ?a∥b
B．c∥α，α∥β?c∥β
C．a∥b，b∥α?a∥α
D．a，b异面，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β?α∥β
题 号 1 2 3 4 5
答 案
二、填空题
6．如图，点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，过BC的平面与平面PAD交于EF，则四边形EFBC的形状一定是________．
7．设m、n是平面α外的两条直线，给出三个论断：
①m∥n；②m∥α；③n∥α.以其中的两个为 ( http: / / www.21cnjy.com )条件，余下的一个为结论，构造三个命题，写出你认为正确的一个命题：______________.(用序号表示)
8.
如图所示，ABCD—A1B1C1D1是棱长 ( http: / / www.21cnjy.com )为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.
三、解答题
9.
如图所示，已知A、B、C、D四点不共面，且AB∥α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G.
求证：四边形EFHG是平行四边形．
10．如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，点P∈BB′
(不与B、B′重合)．PA∩BA′＝M，PC∩BC′＝N.
求证：MN∥平面AC.
【答案解析】
自学导引
两平面的交线平行 (1)?a∥b
对点讲练
例1
证明 如图所示，过a作平面γ交平面α于b，
∵a∥α，∴a∥b.
同样过a作平面δ交平面β于c，
∵a∥β，∴a∥c.∴b∥c.
又b?β，c?β，∴b∥β.
又b?α，α∩β＝l，∴b∥l.∴a∥l.
变式训练1 证明 ∵四边形EFGH为平行四边形，
∴EF∥GH.
又GH?平面BCD，EF?平面BCD，
∴EF∥平面BCD.
而平面ACD∩平面BCD＝CD，EF?平面ACD，
∴EF∥CD.
而EF?平面EFGH，CD?平面EFGH，
∴CD∥平面EFGH.
例2 证明 如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点，
又M是PC的中点，
∴AP∥OM.
又AP?平面BMD，
OM?平面BMD，
∴AP∥平面BMD.
又∵AP?平面PAHG，
平面PAHG∩平面BMD＝GH，
∴AP∥GH.
变式训练2
(1)证明 因为BC∥AD，BC?平面PAD，
AD?平面PAD，
所以BC∥平面PAD.
又因为平面PBC∩平面PAD＝l，
所以BC∥l.
(2)解 平行．
证明如下：
取PD的中点E，连接AE，NE，
可以证得NE∥AM且NE＝AM，
可知四边形AMNE为平行四边形．
所以MN∥AE.
又因为MN?平面PAD，AE?平面PAD，
又MN?平面PAD，AE?平面PAD，
所以MN∥平面PAD.
例3 解 吸光板的吸光量最大，即要使得矩形EFGH的面积最大．设EH＝x，EF＝y，则在矩形EFGH中，有EH∥FG.
又EH?平面BCD，FG?平面BCD，
∴EH∥平面BCD.
而EH?平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，
∴EH∥BD，同理EF∥AC.
∴＝，＝.
两式相加，得＋＝1.①
矩形EFGH的面积为S＝xy.②
将①代入②，得S＝－x2＋ax(0当x＝－＝时，S有最大值．
此时，y＝a－()＝.
答 E、F、G、H依次为AB、BC、CD、DA的中点时，吸光板的吸光量最大
变式训练3 (1)证明 ∵四边形EFGH为平行四边形，
∴EF∥HG.
∵HG?平面ABD，∴EF∥平面ABD.
∵EF?平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，
∴EF∥AB.∴AB∥平面EFGH.
同理可证，CD∥平面EFGH.
(2)解 设EF＝x(0∴＝.
则＝＝＝1－.
从而FG＝6－x.
∴四边形EFGH的周长l＝2(x＋6－x)＝12－x.
又0即四边形EFGH周长的取值范围是(8,12)．
课时作业
1．D 2.D
3．A [∵E、F分别是AA1、BB1的中点，∴EF∥AB.
又AB?平面EFGH，EF?平面EFGH，
∴AB∥平面EFGH.
又AB?平面ABCD，平面ABCD∩平面EFGH＝GH，
∴AB∥GH.]
4．B [∵EF?面SBC，面SBC∩面ABC＝BC，
EF∥面ABC，∴EF∥BC.]
5．D [选项A中，a、b相交、平行、异面都有可能，故A错误；B中，c还有可能在β中；C项，a也有可能在α中，故B、C错误．]
6．梯形
解析 ∵AD∥BC，BC?平面BCEF，
AD?平面BCEF.∴AD∥平面BCEF，
又平面PAD∩平面BCEF＝EF.
∴AD∥EF，从而EF∥BC且EF≠BC.
∴四边形BCEF为梯形．
7．①②?③(或①③?②)
解析 设过m的平面β与α交于l.
∵m∥α，∴m∥l，∵m∥n，∴n∥l，
∵n?α，l?α，∴n∥α.
8.a
解析 ∵MN∥平面AC，平面PMN∩平面AC＝PQ，
∴MN∥PQ，易知DP＝DQ＝，
故PQ＝＝DP＝.
9．证明 ∵AB∥α，平面ABC∩α＝EG，
∴EG∥AB.同理FH∥AB，
∴EG∥FH，又CD∥α，平面BCD∩α＝GH.
∴GH∥CD.同理EF∥CD.
∴GH∥EF.
∴四边形EFHG是平行四边形．
10．证明 如图所示，连接AC、A′C′.
∵ABCD－A′B′C′D′是长方体 ，∴AC∥A′C′.
又AC?平面BA′C′，
A′C′?平面BA′C′，
∴AC∥平面BA′C′.
又∵平面PAC过AC与平面BA′C′交于MN，
∴MN∥AC.
∵MN?平面AC，
AC?平面AC，
∴MN∥平面AC.1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球
自主学习
学习目标
1．在复习圆柱、圆锥概念的基础上了解圆台和球的概念，并认识由这些几何体组成的简单组合体．
2．会用旋转的方法定义圆柱、圆锥、圆台和球．会用集合的观点定义球．
3．理解这几种几何体的轴截面的概念和它在解决几何体时的重要作用，提高动手操作能力．
自学导引
1．圆柱、圆锥、圆台
(1)________、________、________可以看作分别以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，将矩形、直角三角形、直角梯形分别旋转一周而形成的曲面所围成的几何体．
(2)旋转轴叫做所围成的几何体 ( http: / / www.21cnjy.com )的______；在轴上的这条边(或它的长度)叫做这个几何体的______；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做这个几何体的________；不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做这个几何体的________，无论旋转到什么位置，这条边都叫做侧面的________．
2．球
(1)球面可以看作一个半圆绕着__________所在的直线旋转一周所形成的曲面，球面围成的几何体，叫做______．
(2)球面也可以看作空间中到一个定点的距离等于______的点的集合．
(3)球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的________；被不经过球心的平面截得的圆叫做球的________．
(4)在球面上，两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的____________．
3．组合体
由柱、锥、台、球等基本几何体组合而成的几何体叫做______．
对点讲练
知识点一 圆柱、圆锥、圆台的有关概念
例1 下列命题中正确的是( )
A．直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥
B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体
C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线
点评 此类题应以圆柱、圆锥、圆台的定义为基础 ( http: / / www.21cnjy.com )进行判断，同时要结合各种旋转体的结构特征，详细地分析，不可粗心大意．此类题在做的时候容易只注意到旋转的问题，而忽视了以什么为旋转轴的问题，旋转轴不同则得到的旋转体也是不同的．
变式训练1 下列说法：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；
③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．
其中正确的是( )
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
知识点二 旋转体中有关元素的计算问题
例2 圆台侧面的母线长为2a，母线与轴的夹角为30°，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍．求两底面的半径与两底面面积之和．
点评 解有关圆台的基本元素问题，一般要画出圆台的轴截面或将圆台还原为圆锥，有关元素之间的关系就体现出来了．
变式训练2 已知圆锥的底面半径为r，高为h，正方体ABCD—A1B1C1D1内接于圆锥，求这个长方体的棱长．
知识点三 球中有关元素的计算问题
例3
球面上有M、N两点，在过M、N的球的 ( http: / / www.21cnjy.com )大圆上，的度数为90°，在过点M、N的球的小圆上，的度数120°，又点M、N两点间的距离为 cm，求球心与小圆圆心的距离为多少？
变式训练3 设地球的半径为R，在北纬45°圈上有两个点A、B，A在西经40°，B在东经50°，求A、B两点间纬线圈的弧长及球面距离．
1．在解圆台问题时，常将圆台转化为圆锥问题，即化台为锥．
2．圆锥的母线、底面半径 ( http: / / www.21cnjy.com )、高构成直角三角形，圆台的母线、高、上、下底面半径构成直角梯形．解圆锥、圆台问题时，常归结为解此直角三角形或直角梯形．
3．小圆的圆心与球心连线垂直于该小圆所在平面.
课时作业
一、选择题
1．图①②③中的图形折叠后的图形分别是( )
A．圆柱、圆锥、棱柱 B．圆柱、圆锥、棱锥
C．圆台、球、棱锥 D．圆台、圆锥、棱柱
2．下列命题中不正确的是( )
A．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台
B．过球面上两个不同的点，只能作一个大圆
C．以直角梯形垂直于底的腰所在的直线为旋转轴，另一腰和两底边旋转一周所围成的几何体是圆台
D．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面
3．圆柱的轴截面(经过圆柱的轴所作的截面)是边长为5 cm的正方形ABCD，则圆柱侧面上从A到C的最短距离为( )
A．10 cm B. cm
C．5 cm D．5 cm
4．底面半径为2且底面水平放置的圆锥被过高的中点平行于底面的平面所截，则截得的截面圆的面积为( )
A．π B．2π C．3π D．4π
5．下图是由哪个平面图形旋转得到的( )
题 号 1 2 3 4 5
答 案
二、填空题
6．圆台上、下底面面积分别为25π cm2、64π cm2，高为12 cm，这个圆台的母线长为________cm.
7．用不过球心O的平面截 ( http: / / www.21cnjy.com )球O，截面是一个球的小圆O1，若球的半径为4 cm，球心O与小圆圆心O1的距离为2 cm，则小圆半径为________cm.
8．下列命题中：①用一个平行于棱锥底 ( http: / / www.21cnjy.com )面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台；②棱台的各侧棱延长后一定相交于一点；③圆台可以看作直角梯形绕与底边垂直的腰所在直线旋转而成的；④半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球．正确命题的序号为________．
三、解答题
9．一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2，求：
(1)圆台的高；
(2)截得此圆台的圆锥的母线长．
10．一个圆锥的底面半径为4，高为12，在其中有一个高为x的内接圆柱．
(1)用x表示圆柱的轴截面面积S；
(2)当x为何值时，S最大．
【答案解析】
自学导引
1．(1)圆柱 圆锥 圆台 (2)轴 高 底面 侧面 母线
2．(1)它的直径 球 (2)定长 (3)大圆 小圆 (4)球面距离
3．组合体
对点讲练
例1 C [A错误，应为直角三角形绕其一条直角边旋转得到的旋转体是圆锥．若绕其斜边旋转得到的是两个圆锥构成的一个组合体．B错误，没有说明这两个平行截面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况则是错误的．D错误，通过圆台侧面上一点，只有一条母线．]
变式训练1 D [由母线的定义知②④正确，所以选D.]
例2 解
设圆台上底面半径为r，则下底面半径为2r，如图所示，∠ASO＝30°，
在Rt△SO′A′中，
＝sin 30°，
∴SA′＝2r.
在Rt△SOA中，＝sin 30°，
∴SA＝4r.
又SA－SA′＝AA′，即4r－2r＝2a，∴r＝a.
∴S＝S1＋S2＝πr2＋π(2r)2＝5πr2＝5πa2.
∴圆台上底面半径为a，下底面半径为2a，两底面面积之和为5πa2.
变式训练2 解
过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面，如图所示．
设圆锥内接正方体的棱长为x，则在轴截面中，正方体的对角面A1ACC1的一组邻边的长分别为x和x.
∵△VA1C1∽△VMN，∴＝.
∴hx＝2rh－2rx，∴x＝.
即圆锥内接正方体的棱长为.
例3 解 取MN的中点P，连接OP、O1P，
由已知∠MON＝90°，∠MO1N＝120°，
又OM＝ON，O1M＝O1N，
可求OP＝，O1P＝.
∴OO′＝.
变式训练3 解
设45°纬线圈的中心为O1，地球中心为O，如图所示，
则∠AO1B＝40°＋50°＝90°.
∵O1O⊥圆O1所在平面，
∴OO1⊥O1A，OO1⊥O1B.
∵点A，B在北纬45°圈上，
∴∠OBO1＝∠OAO1＝45°.
∴O1A＝O1B＝OA·cos 45°＝R.
在Rt△AO1B中，∵AO1＝BO1，∴AB＝AO1，
∴△AOB为等边三角形，∴∠AOB＝60°.
∴A，B两点间纬线圈的弧长为
l1＝·R＝πR，
A，B两点间球面距离为l2＝＝.
课时作业
1．B 2.B 3.B
4．A
[设截面圆半径为r，由相似三角形的知识可知＝，所以r＝1，
所以S＝πr2＝π.]
5．A
6．3 7.2
8．①②③
9．解
(1)圆台的轴截面是等腰梯形
ABCD(如图)．
由已知可得上底半径
O1A＝2 cm，下底半径OB＝5 cm.
又因为腰长为12 cm，
所以高为AM＝
＝3 (cm)．
(2)设截得此圆台的圆锥的母线长为l，
则由△SAO1∽△SBO可得＝，
∴l＝20 cm.
即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.
10．解 根据圆柱和圆锥的图形特征可作出它们的轴截面图(如图所示)，设圆柱的底面半径为r，
则由三角形相似的性质可知
＝，
解得：r＝4－.
(1)圆柱的轴截面面积为
S＝2r·x＝2··x＝－x2＋8x，x∈(0,12)；
(2)∵S＝－x2＋8x，x∈(0,12)，
∴S＝－(x2－12x)＝－(x－6)2＋24，x∈(0,12)，
∴当x＝6时，S最大为24.1.2.2 空间中的平行关系(2)——直线与平面平行的判定
自主学习
学习目标
1．理解直线与平面平行的判定定理的含义．
2．会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用．
3．能运用直线与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题．
自学导引
1．如果一条直线和一个平面______________，那么，我们说这条直线和这个平面平行．
2．直线与平面平行的判定定理
如果不在一个平面内的一条直线和 ( http: / / www.21cnjy.com )________________________平行，那么这条直线和这个平面平行．即________平行，则线面平行．
用符号表示：______________________________.
3．过平面外一点有________条直线与这个平面平行．
对点讲练
知识点一 直线与平面的位置关系
例1 下面命题中正确的个数是( )
①如果a、b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；
②如果直线a满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；
③如果直线a、b满足a∥α，b∥α，则a∥b；
④如果直线a、b和平面α满足a∥b，a∥α，b?α，那么b∥α；
⑤如果a与平面α上的无数条直线平行，那么直线a必平行于平面α.
A．0 B．2 C．1 D．3
点评 解决此类问题首先要搞清直线与平面各种位置关系的特征，利用其定义作出判断，要有画图意识，并借助于空间想象能力进行细致的分析．
正方体(或长方体)既是立体几何中的一个重要 ( http: / / www.21cnjy.com )的模型，又是最基本的模型，而且立体几何的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映．因而人们给它以“百宝箱”之称．本例中的命题就是利用这个“百宝箱”来判定它们的真假的．
变式训练1 已知下列命题：
①若直线a在平面α外，则a∥α；
②若直线a∥b，直线b?α，则a∥α；
③若直线a∥b，b?α，那么直线a平行于平面α内的无数条直线．
其中真命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．0
知识点二 线面平行的判定定理的简单应用
例2 P是平行四边形ABCD所在平面外一点，Q是PA的中点，求证：PC∥平面BDQ.
点评 利用中点构造三角形的中位线，再利用三角形中位线定理实现线线平行，进而证得线面平行．
变式训练2 在三棱柱ABC—A1B1C1中，D为BC边的中点，连接AD、DC1、A1B、AC1.求证：A1B∥平面ADC1.
知识点三 线面平行判定定理的综合应用
例3
如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、C1D1的中点，求证：EF∥平面BDD1B1.
变式训练3
如图所示，P是?ABCD所在平面外一点，E，F分别在PA，BD上，且PE∶EA＝BF∶FD.
求证：EF∥平面PBC.
1．空间中直线与平面的位置 ( http: / / www.21cnjy.com )关系有且只有三种：直线在平面内(有无数个公共点)、直线与平面相交(有惟一公共点)、直线与平面平行(无公共点)．其中直线与平面相交、直线与平面平行统称为“直线在平面外”．
2．线面平行的判定方法—
课时作业
一、选择题
1．若三条直线，a，b，c满足a∥b∥c，且a?α，b?β，c?β，则两个平面α、β的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．不能确定
2．点E、F、G、H分别是空间四边 ( http: / / www.21cnjy.com )形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，则三棱锥A—BCD中的六条棱中与平面EFGH平行的条数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
3．若直线m不平行于平面α，且m?α，则下列结论中正确的是( )
A．α内的所有直线与m异面
B．α内不存在与m平行的直线
C．α内存在唯一的直线与m平行
D．α内的直线与m相交
4．A、B是不在直线l上的两点，则过点A、B且与直线l平行的平面有( )
A．0个 B．1个
C．无数个 D．以上三种情况均有可能
5．过平行六面体ABCD—A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有( )
A．4条 B．6条 C．8条 D．12条
题 号 1 2 3 4 5
答 案
二、填空题
6．经过直线外一点有________个平面与已知直线平行；经过直线外一点有________条直线与已知直线平行．
7．P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出四个结论：
①OM∥面PCD; ②OM∥面PBC；
③OM∥面PDA; ④OM∥面PBA.
其中正确的是________(填写序号)．
8．若直线a∩直线b＝A，a∥平面α，则b与α的位置关系是__________．
三、解答题
9.
如图所示，已知E、F、G、M分别是四面体的棱AD、CD、BD、BC的中点，求证：AM∥平面EFG.
10.
如图所示，设P，Q分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的面AA1D1D和面A1B1C1D1的中心．
求证：PQ∥平面AA1B1B.
【答案解析】
自学导引
1．没有公共点
2．平面内的一条直线 线线 a?α，b?α且a∥b?a∥α
3．无数
对点讲练
例1 C
如图所示，在长方体ABCD—A ( http: / / www.21cnjy.com )′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′却在过BB′的平面AB′内，故命题①不正确；AA′∥平面B′C，BC?平面B′C，但AA′不平行于BC，故命题②不正确；AA′∥平面B′C，A′D′∥平面B′C，但AA′与A′D′相交，所以③不正确；④中，假设α与b相交，∵a∥b，
∴a与α相交，这与a∥α矛盾，故b ( http: / / www.21cnjy.com )∥α，即④正确；AA′显然与平面A′B中和B′B平行的无数条直线平行，但AA′?平面A′B，故⑤不正确．]
变式训练1 A [①错．因为直线a在平面α外有两种情形：a∥α和a与α相交．
②错．因为a可能在平面α内．
③正确．无论a在平面α内或a∥α，在α内都有无数条直线与a平行．]
例2 证明
如图所示，连接AC交BD于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC，连接OQ，则OQ在平面BDQ内，且OQ是△APC的中位线，
∴PC∥OQ.又∵PC在平面BDQ外，
∴PC∥平面BDQ.
变式训练2 证明 连接A1C交AC1于O，连接OD.
在△A1BC中，
因为D为BC中点，
O为平行四边形对角线A1C的中点，
所以OD∥A1B.
又A1B?平面ADC1，
OD?平面ADC1，
∴A1B∥平面ADC1.
例3 证明 取D1B1的中点O，
连接OF，OB.
∵OFB1C1，BEB1C1，
∴OFBE.
∴四边形OFEB是平行四边形，
∴EF∥BO.
又∵EF?平面BDD1B1，
BO?平面BDD1B1，
∴EF∥平面BDD1B1.
变式训练3 证明 连接AF延长交BC于G，
连接PG.
在?ABCD中，
易证△BFG∽△DFA.
∴＝＝，
∴EF∥PG.
而EF?平面PBC，
PG?平面PBC，
∴EF∥平面PBC.
课时作业
1．C
2．C [由线面平行的判定定理知：
BD∥平面EFGH，AC∥平面EFGH.]
3．B 4.D 5.C
6．无数 1 7.①③ 8.平行或相交
9．证明 如图所示，连接MD交FG于N，连接EN.
∵GF为△BCD的中位线，
∴N为MD的中点，
∵E为AD中点，
∴EN为△AMD的中位线，
∴EN∥AM.
又∵AM?平面EFG，
EN?平面EFG，∴AM∥平面EFG.
10．证明 方法一 取AA1，A1B1的中点M，N，连接MN，NQ，MP，AD1，A1C1，
∵MP∥A1D1，MP＝A1D1，
NQ∥B1C1，NQ＝B1C1，
∴MP∥NQ且MP＝NQ，
∴四边形PQNM为平行四边形，
∴PQ∥MN.
又∵MN?平面AA1B1B，
PQ?平面AA1B1B，
∴PQ∥平面AA1B1B.
方法二 连接AD1，AB1，B1D1，
在△AB1D1中，显然P，Q分别是AD1，D1B1的中点，
∴PQ∥AB1，且PQ＝AB1.
又∵PQ?平面AA1B1B，AB1?平面AA1B1B，
∴PQ∥平面AA1B1B.
