第三章 章末检测
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．将一枚硬币向上抛掷10次，其中正面向上恰有5次是( )
A．必然事件 B．随机事件
C．不可能事件 D．无法确定
2．若事件A是必然事件，事件B是不可能事件，则事件A与B的关系是( )
A．互斥不对立 B．对立不互斥
C．互斥且对立 D．不对立且不互斥
3．某医院治疗一种疾病的治愈率为，那么，前4个病人都没有治愈，第5个病人治愈的概率是( )
A．1 B. C. D．0
4．从含有20个次品的1 000个显像管中任取一个，则它是正品的概率为( )
A. B. C. D.
5．同时投掷两枚大小相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的基本事件数是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
6．盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概率是( )
A. B. C. D.
7．先后抛掷两枚骰子，若出现点数之和为2,3,4的概率分别为P1，P2，P3，则有( )
A．P1
C．P1>P2>P3 D．P28．如图如果你向靶子上射200支镖，大约有多少支镖落在黑色区域(颜色较深的区域)( )
A．50 B．100 C．150 D．200
9.
如图，A是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A′，连接AA′，它是一条弦，它的长度大于等于半径长度的概率为( )
A. B.
C. D.
10．一个盒子里装有标号为1,2，…，10的标签，随机地选取两张标签，若标签的选取是无放回的，则两张标签上数字为相邻整数的概率为( )
A. B. C. D.
11．假设在500 m2的一块平地上有一只野 ( http: / / www.21cnjy.com )兔，但不知道它的方位．在一个漆黑的晚上，5位猎人同时向这块地探照围捕这只野兔．若每位猎人探照范围为10 m2，并且所探照光线不重叠．为了不惊动野兔，需一次探照成功才能捕到野兔，则成功的概率为( )
A. B. C. D.
12．现有五个球分别记为A，C，J，K，S，随机放进三个盒子，每个盒子只能放一个球，则K或S在盒中的概率是( )
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．一箱产品中有正品4件，次品3件，从中任取2件，其中事件：
①恰有1件次品和恰有2件次品；②至少有1件次品和全是次品；③至少有1件正品和至少1件次品；④至少有1件次品和全是正品．
其中互斥事件为________．(填序号)
14．口袋中装有100个大小相同的 ( http: / / www.21cnjy.com )红球、白球、黑球，其中红球40个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为________．
15．已知盒子中有散落的棋子15粒， ( http: / / www.21cnjy.com )其中6粒是黑子，9粒是白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是，从中取出2粒都是白子的概率是，现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________．
16．向边长为a的正三角形内任投一点，点落在三角形内切圆内的概率是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)下表是某种油菜子在相同条件下的发芽试验结果表，请完成表格并回答问题.
每批粒数 2 5 10 70 130 700 1 500 2 000 3 000
发芽的粒数 2 4 9 60 116 639 1 339 1 806 2 715
发芽的频率
(1)完成上面表格；
(2)该油菜子发芽的概率约是多少？
18．(12分)从分别写有数字1,2,3，…，9的9张卡片中，任取2张，观察上面数字，试求下列事件的概率：
(1)两数和为偶数；
(2)两数积为完全平方数．
19．(12分)设A为圆周上一定点，在圆周上等可能的任取一点与A连结，求弦长超过半径的倍的概率．
20．(12分)一个盒子装有标号是1,2,3 ( http: / / www.21cnjy.com ),4,5的标签共5张，今依次随机选取2张标签，如果(1)标签的选取是无放回的；(2)标签的选取是有放回的．
求2张标签上的数字为相邻整数的概率．
21．(12分)袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个，现依次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球．
(1)试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；
(2)若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率．
22．(12分)汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：
轿车A 轿车B 轿车C
舒适型 100 150 z
标准型 300 450 600
按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．
(1)求z的值；
(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；
(3)用随机抽样的方法从B类舒适型 ( http: / / www.21cnjy.com )轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3，9.0，8.2.把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．
第三章 章末检测
1．B [正面向上恰有5次的事件可能发生，也可能不发生，该事件为随机事件．]
2．C
3．B [每一个病人治愈与否都是随机事件，故第五个人被治愈的概率仍为.]
4．C [1 000个显像管中含有980个正品，任取一个得到正品的概率为＝.]
5．D [事件A包含(1,1)、(1,2)、(2,1)、(1,3)、(2,2)、(3,1)共6个．]
6．C [从盒中任取一个铁钉包含的基本事件总数为10，其中抽到合格铁钉(记为事件A)包含8个基本事件，所以，所求概率为P(A)＝＝.]
7．A [先后投掷两枚骰子，共有36 ( http: / / www.21cnjy.com )个不同结果，点数之和为2的有1种情况，故P1＝，点数之和为3的有2种情况，故P2＝，点数之和为4的有3种情况，故P3＝，所以，P18．B [这是几何概型问 ( http: / / www.21cnjy.com )题．这200支镖落在每一点的可能性都是一样的，对每一支镖来说，落在黑色区域的概率P＝＝，每一支镖落在黑色区域的概率都是，则200支镖落在黑色区域的概率还是，
则落在黑色区域的支数＝200支×＝100支．]
9．B [
如图，当AA′长度等于半径时，A′位于B或C点，此时∠BOC＝120°，则优弧BC＝πR，
∴满足条件的概率为
P＝＝.]
10．A [若选取无放回，共有 ( http: / / www.21cnjy.com )10×9÷2＝45种可能，而两张标签上的数字相邻可能结果有9种(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7)、(7,8)、(8,9)、(9,10)，
所以P＝＝.]
11．B
12．D [K或S在盒中的对立事件是K，S都不在盒中，即A，C，J在三个盒子中，记为A，则P(A)＝.
∴1－P(A)＝.]
13．①④
14．0.37
解析 摸出黑球可以看作是摸出红、白球的对 ( http: / / www.21cnjy.com )立事件；摸出白球概率P1＝0.23；摸出红球概率P2＝＝0.40；所以摸出黑球概率P＝1－0.23－0.40＝0.37.
15.
16.π
17．解 (1)填入表中的数据依次为1,0.8,0.9,0.857，0.892，0.913,0.893,0.903,0.905.
(2)该油菜子发芽的概率约为0.9.
18．解 从9张卡片中任取2张，共有9×8÷2＝36(种)可能结果．
(1)两数和为偶数，则取得的两数同为奇数或同为偶数，共有＋＝16(种)可能结果，故所求事件的概率为P＝＝.
(2)两数积为完全平方数，若为4有一种 ( http: / / www.21cnjy.com )可能，若为9有一种可能，若为16有一种可能，若为36有一种可能，故共有4种可能结果(1,4)、(1,9)、(2,8)、(4,9)，所求事件的概率为＝.
19．解
如图所示，在⊙O上有一定点A，任取一点B与A连结，则弦长超过半径的倍，即为∠AOB的度数大于90°，而小于270°.
记“弦长超过半径的倍”为事件C，
则C表示的范围是∠AOB∈(90°，270°)．
则由几何概型求概率的公式，得
P(C)＝＝.
∴弦长超过半径的倍的概率为.
20．解 基本事件较少，可以分类列举，注意有放回与无放回的区别．
(1)无放回选取2张标签，分两次完成，考 ( http: / / www.21cnjy.com )虑顺序，共有20种取法，即(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)及把两数顺序交换的情况，其中抽到相邻整数仅有(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)及其交换数字顺序的情况共计8种，所以标签选取无放回时，2张标签上的数字为相邻整数的概率为P＝＝.
(2)标签选取有放回时，共有 ( http: / / www.21cnjy.com )25种取法，即无放回的20种，再加上(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)这5种取法，其中2张标签上为相邻整数的取法仍然只有8种，因此标签选取有放回时，2张标签上的数字为相邻整数的概率为P＝.
21．解 (1)一共有8种不同的结果， ( http: / / www.21cnjy.com )列举如下，(红，红，红)、(红，红，黑)、(红，黑，红)、(红，黑，黑)，(黑，红，红)、(黑，红，黑)，(黑，黑，红)，(黑，黑，黑)．
(2)记“3次摸球所得总分为5”为事件A.
事件A包含的基本事件为：(红，红，黑)、(红，黑，红)、
(黑，红，红)，事件A包含的基本事件数为3.
由(1)可知，基本事件总数为8，所以事件A的概率为P(A)＝.
22．解 (1)设该厂这个月共生产轿车n辆，
由题意得＝，所以n＝2 000.
则z＝2 000－(100＋300)－(150＋450)－600＝400.
(2)设所抽样本中有a辆舒适型轿车，
由题意得＝，即a＝2.
因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．
用A1，A2表示2辆舒适型轿车，用B1，B2，B3表示3辆标准型轿车，用E表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，
则基本事件空间包含的基本事件有：
(A1，A2)，(A1，B1)，(A1 ( http: / / www.21cnjy.com )，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)共10个．事件E包含的基本事件有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)共7个．
故P(E)＝，即所求概率为.
(3)样本平均数＝×(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.
设D表示事件“从样本中任取一数，该数与样 ( http: / / www.21cnjy.com )本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D包括的基本事件有：9.4,8.6,9.2,8.7,9.3，9.0，共6个，所以P(D)＝＝，即所求概率为.3.2.2 概率的一般加法公式
(选学)
自主学习
学习目标
了解概率的一般加法公式，会进行简单的应用．
自学导引
1．事件A与B的交(或积)由事件A和B ( http: / / www.21cnjy.com )____________所构成的事件D，称为事件A与B的交(或积)，记作D＝________(或D＝________)．
2．事件A∩B是由事件A和B________________________组成的集合．
3．概率的一般加法公式
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
对点讲练
知识点一 事件的交的概念
例1 写出下列事件的交事件．
(1)某人射击，事件A：“击中的环数大于3”，事件B：“击中的环数小于7”；
(2)抛掷一颗骰子，事件A：“出现奇数点”，事件B：“出现3点”，事件C：“出现偶数点”．
变式迁移1 从15件产品(其 ( http: / / www.21cnjy.com )中有2件次品)中任取2件产品，记A为“至少有1件正品”，B为“至少有1件次品”，则A∩B＝________________________________________________.
知识点二 概率的一般加法公式应用
例2 甲、乙两人各射击1次，命中率各为0.8和0.5，两人同时命中的概率为0.4，求“甲、乙至少有1人命中”的概率．
点评 两个相容事件至少有一个发生时用概率的一般加法公式求解．
变式迁移2 四人参加4×100接力，求“甲跑第一棒或乙跑第四棒”的概率．
1．事件的交、事件的并的概念．
2．概率的一般加法公式的应用，注意分析事件之间的关系.
课时作业
一、选择题
1．连续抛掷两次硬币，记事件A为“至少有一次正面朝上”，B为“至少有一次反面朝上”，则P(A∪B)为( )
A. B. C．1 D．0
2．已知事件A、B，则下列式子正确的是( )
A．P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
B．P(A∩B)＝P(A)－P(B)
C．P(A∩B)D．P(A)＋P(B)≥P(A∪B)
3．从含有3件正品和2件次品的5件产品中不放回地任取2件，则取出的2件中至少有1件正品的概率是( )
A. B. C. D.
4．从1,2,3，…，30这30个数中任意选一个数，则事件“是偶数或被5整除的数”的概率是( )
A. B. C. D.
二、填空题
5．抛掷一颗骰子，事件A为“出现偶数点”，事件B为“点数大于3”，则P(A∩B)＝________.
6．掷红、白两颗骰子，事 ( http: / / www.21cnjy.com )件A＝{红骰子点数小于3}，事件B＝{白骰子点数小于3}，则事件A∩B＝________(列出所含基本事件)，P(A∪B)＝________.
7．一个电路上有甲、乙两 ( http: / / www.21cnjy.com )个电阻，甲被烧坏的概率是0.57，乙被烧坏的概率是0.65，甲、乙同时被烧坏的概率是0.48，则至少有一个电阻被烧坏的概率是________．
三、解答题
8．抛掷一个骰子，事件A表示“朝上的一面点数为奇数”，事件B表示“朝上的一面点数不超过3”，计算P(A∪B)．
9．甲、乙两人练习投篮，其命中率相同，已知甲 ( http: / / www.21cnjy.com )、乙两人各投篮一次，“甲或乙命中”的概率是0.998 4，“甲、乙同时命中”的概率为0.921 6，求甲、乙两人投篮的命中率．
10．在对200家公司的最新调查中发现 ( http: / / www.21cnjy.com )，40%的公司在大力研究广告效果，50%的公司在进行短期销售预测，而30%的公司在从事这两项研究．假设从这200家公司中任选一家，记事件A为“该公司在研究广告效果”，记事件B为“该公司在进行短期销售预测”，求P(A)，P(B)，P(A∪B)．
3．2.2 概率的一般加法公式(选学)
自学导引
1．同时发生 A∩B AB
2．所共同含有的基本事件
对点讲练
例1 解 (1)事件A∩B＝{击中的环数大于3且小于7}．
(2)事件A∩B＝{出现3点}；事件A∩C＝ ；事件B∩C＝ .
变式迁移1 {取出两件产品，1件是正品，1件是次品}
例2 解 设事件A为“甲命中”，事件B为“乙命中”，则“甲、乙两人至少有一人命中”为事件A∪B，包含：“甲中乙不中”、“乙中甲不中”、“甲乙都中”三种情况，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.8＋0.5－0.4＝0.9.
变式迁移2 解 设事件A为“甲跑第一棒”，事件B为“乙跑第四棒”则P(A)＝P(B)＝，甲乙跑的棒数共有12种可能．∴P(A∩B)＝，
∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝＋－＝.
课时作业
1．C
2．D
3．D
4．B
5.
6．{(1,1)(1,2)(2,1)(2,2)}
7．0.74
8．解 “朝上的一面点数为奇数”为{1,3, ( http: / / www.21cnjy.com )5}，“朝上的一面点数不超过3”为{1,2,3}，它们的交为{1,3}，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝＋－＝＝.
9．解 设甲、乙两人投篮的 ( http: / / www.21cnjy.com )命中率为P，则“投篮一次，甲或乙命中”可看作是“甲命中”和“乙命中”的并事件，所以有0.998 4＝P＋P－0.921 6，解得P＝0.96.
10．解 P(A)＝40%＝0.4，P(B)＝50%＝0.5，
又已知P(A∩B)＝30%＝0.3，
∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)
＝0.4＋0.5－0.3＝0.6.§3.2 古典概型
3.2.1 古典概型
自主学习
学习目标
1．通过实例，理解古典概型及其特点．
2．掌握古典概型的概率公式，会求一些随机事件发生的概率．
自学导引
1．古典概型
一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有以下两个特征：
(1)________：在一次试验中，可能出现的结果只有________，即只有________不同的基本事件．
(2)____________：每个基本事件发生的可能性是________．
2．概率的古典定义
一般地，在基本事件总数为n的古典概型中 ( http: / / www.21cnjy.com )，每个基本事件发生的概率为________．如果随机事件A包含的基本事件总数为m，则由互斥事件的概率加法公式得P(A)＝.所以在古典概型中，P(A)＝________________________.
对点讲练
知识点一 古典概型的概念
例1 把一枚骰子抛6次，设朝上的一面出现的点数为x.
(1)求x可能的取值情况(即基本事件空间)；
(2)下列事件由哪些基本事件组成？(用x的取值回答)
①x的取值为2的倍数(记为事件A)；
②x的取值大于3(记为事件B)；
③x的取值不超过2(记为事件C)；
④x的取值是质数(记为事件D)．
(3)判断上述事件是否为古典概型，并求其概率．
点评 古典概型需满足两个条件：一是对于每次 ( http: / / www.21cnjy.com )随机试验来说，只可能出现有限个不同的试验结果；二是对于上述所有不同试验结果而言，它们出现的可能性是相等的．
变式迁移1 (1)向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，这是古典概型吗？
(2)某射击运动员向一靶 ( http: / / www.21cnjy.com )心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环，命中9环，……，命中1环和命中0环(即不命中)．你认为这是古典概型吗？
知识点二 列举法解古典概型问题
例2 某人有4把钥匙，其中有两把钥匙能把门打开．现每次随机地取1把钥匙试着开门，若只试开两次，试过的钥匙不扔掉，求第二次才能打开门的概率．
点评 “第二次才能打开门”暗示着第一次不能打开．另外应用枚举法列举基本事件时要尽量按照一定的顺序列举，不重不漏．
变式迁移2 袋中有红、白色球各一个，每次任取一个，有放回地取三次，求基本事件的个数，写出所有基本事件的全集，并计算下列事件的概率：
(1)抽取的三次中恰有两次同色；
(2)抽取的三次中颜色全相同；
(3)三次抽取的红球多于白球．
知识点三 图表法解古典概型问题
例3 抛掷两颗骰子，求
(1)点数之和出现7点的概率；
(2)出现两个4点的概率．
点评 在求概率时常常可以把全体基本事件用直角 ( http: / / www.21cnjy.com )坐标系中的点表示，以便我们准确地找出某事件所包含的基本事件数，这种借助表格列举的解题方式带来了一定的方便．
变式迁移3 随意安排甲、乙、丙3人在3天节日中值班，每人值班1天．
(1)这3人的值班共有多少种不同的排列方法？
(2)其中甲在乙之前的排法有多少种？
(3)甲排在乙之前的概率是多少？
1．古典概型
2．利用古典概型的计算公式时应注意两点：
(1)m为事件A所包含的基本事件数，求m值时，要做到不重不漏；
(2)在求概率时常常可以把全体基本事件用图表法表示，以便准确地找出某事件所包含的基本事件数.
课时作业
一、选择题
1．下列试验中，是古典概型的有( )
A．种下一粒种子观察它是否发芽
B．从规格直径为(250±0.6) mm的一批合格产品中任意抽一根，测量其直径d
C．抛一枚硬币，观察其出现正面或反面
D．某人射击中靶或不中靶
2.
一只蚂蚁在如图所示的地板砖(除颜色不同外，其余相同)上爬来爬去，它最后随意停留在黑色地板砖上的概率是( )
A. B.
C. D.
3．在计算机中输入程序，要求随机输出1～20范围内(包括1和20)的一个整数，则“输出的数字为10”的概率是( )
A. B.
C. D．无法确定
4．有100张卡片(从1号到100号)，从中任取1张，取到的卡号是7的倍数的概率为( )
A. B. C. D.
5．甲、乙、丙三人中任选两名课代表，甲被选中的概率为( )
A. B. C. D．1
二、填空题
6．一个三位数字的密码锁，每位 ( http: / / www.21cnjy.com )上的数字都在0到9这10个数字中任选，某人忘记了密码的最后一个号码，那么此人开锁时，在对好前面的两位密码后，随意拨动最后一个数字，恰好能开锁的概率为________．
7．从分别写有A、B、C、D、E的5张卡片中任选2张，这2张卡片上的字母顺序恰好相邻的概率为________．
8．如图所示，从甲村到乙村有A1、A2、 ( http: / / www.21cnjy.com )A3、A4共4条路线，从乙村到丙村有B1、B2共2条路线，其中A2B1是指从甲村到丙村的最短路线．小明同学任选了一条从甲村到丙村的路线，此路线正好是最短路线的概率为________．
三、解答题
9．在第1,2,4,6路车都要停 ( http: / / www.21cnjy.com )靠的一个车站(假定这个车站只能停靠一辆汽车)，有一乘客等候第1路或第4路汽车．假定各路汽车首先到站的可能性相等，求首先到站的车就是这位乘客所要乘的汽车的概率．
10．做抛掷两颗骰子的试验 ( http: / / www.21cnjy.com )：用(x，y)表示结果，其中x表示第一颗骰子出现的点数，y表示第二颗骰子出现的点数，写出(1)试验的基本事件；(2)事件“出现点数之和大于8”；(3)事件“出现点数相等”；(4)事件“出现点数之和大于10”．
§3.2 古典概型
3．2.1 古典概型
自学导引
1．(1)有限性 有限个 有限个 (2)等可能性 均等的
2.
对点讲练
例1 解 (1)Ω＝{1,2,3,4,5,6}．
(2)①事件A＝{2,4,6}；②事件B＝{4,5,6}；③事件C＝{1,2}；④事件D＝{2,3,5}．
(3)是古典概型，其中P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝，P(D)＝＝.
变式迁移1 解 (1)不是古典概型．因为事件的个数不是有限个．
(2)不是古典概型．因为每一事件发生的可能性不相等．
例2 解 用a，b表示能打开门的钥匙，用1,2表示不能打开门的钥匙，则所有基本事件为：(a，a)，(a，b)，(a,1)，(a,2)，(b，a)，(b，b)，(b,1)，(b,2)，(1，a)，(1，b)，(1,1)，(1,2)，(2，a)，(2，b)，(2,1)，(2,2)，共有16个基本事件，其中“第二次才能打开门”包含4个基本事件(加横线部分)．
因此，P(“第二次才打开门”)＝＝.
变式迁移2 解 基本事件共有8个，用枚举法写出的基本事件的全集为I＝{红红红，红白红，红红白，红白白，白红红，白红白，白白红，白白白}．
(1)三次颜色恰有两次同色的有6种，故其概率为
P1＝＝.
(2)三次颜色全相同的概率为P2＝＝.
(3)三次抽取红球多于白球的种数为4，
故其概率为P3＝＝.
例3 解 作图，从图中容易看出基本事件空间与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤6,1≤y≤6}中的元素一一对应．因为S中点的总数是6×6＝36(个)，所以基本事件总数n＝36.
(1)记“点数之和出现7点”的事件为 ( http: / / www.21cnjy.com )A，从图中可看到事件A包含的基本事件数共6个：(6,1)、(5,2)、(4,3)、(3,4)、(2,5)、(1,6)，
所以P(A)＝＝.
(2)记“出现两个4点”的事件为B，从图中可看到事件B包含的基本事件数只有1个：(4,4)．
所以P(B)＝.
变式迁移3 解 (1)3人值班的顺序的所有可能的情况如图所示．
( http: / / www.21cnjy.com )
由图知，所有不同的排法顺序共有6种．
(2)由图知，甲在乙之前的排法有3种．
(3)记“甲排在乙之前”为事件A，则事件A的概率是
P(A)＝＝.
课时作业
1．C [只有C具有：(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；(2)每个基本事件出现的可能性相等．]
2．A
3．C
4．A [基本事件总数为100，是7的倍数的有14个，
∴概率为＝.]
5．C
6.
7.
解析 所含基本事件情况为AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共10种，恰好相邻有4种情况，
所以概率为P＝＝.
8.
解析 从甲地到丙地的路线共有8条，并且小明选任一路线是等可能的，所以选最短路线的概率为.
9．解 每路公共汽车首先到站 ( http: / / www.21cnjy.com )都是等可能的，所以共有结果4种，即“1路车先到”，“2路车先到”，“3路车先到”，“4路车先到”．而乘客所要乘的车是1路或4路，有2种可能，故首先到站的就是这位乘客所要乘的汽车的概率是P＝＝.
10．解 (1)这个试验的基本事件为
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1, ( http: / / www.21cnjy.com )4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．
(2)“出现点数之和大于8”包含以下10个基本事件：
(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．
(3)“出现点数相等”包含以下6个基本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)．
(4)“出现点数之和大于10”包含以下3个基本事件：(5,6)，(6,5)，(6,6)．章末复习课
知识概览
对点讲练
知识点一 互斥事件与对立事件
互斥事件和对立事件，都是研 ( http: / / www.21cnjy.com )究怎样从一些较简单的事件的概率的计算来推算较复杂事件的概率．应用互斥事件的概率加法公式解题，备受高考命题者的青睐，应用公式时一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．对于较复杂事件的概率，可以转化为求对立事件的概率．
例1 某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3、0.2、0.1、0.4.
(1)求他乘火车或乘飞机去的概率；
(2)求他不乘轮船去的概率．
点评 “互斥”和“对立”事件容易搞混．互斥事件是指两事件不可能同时发生．对立事件是指互斥的两事件中必有一个发生．
变式迁移1 黄种人群中各种血型的人所占的比例如下：
血型 A B AB O
该血型的人所占比例(%) 28 29 8 35
已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，其他不同血型的人不能互相输血，小明是B型血，若小明因病需要输血，问：
(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？
(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？
知识点二 古典概型
古典概型是一种基本的概型，也是 ( http: / / www.21cnjy.com )学习其它概型的基础，在高考题中，经常出现此种概型的题目，解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性．在应用公式P(A)＝时，关键是正确理解基本事件与事件A的关系，求出n、m.
例2 将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求(1)两次向上的点数之和为7或是4的倍数的概率；
(2)以第一次向上的点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点(x，y)在圆x2＋y2＝20的内部(不包括边界)的概率．
变式迁移2 任取两个一位数，观察结果，问：
(1)共有多少种不同的结果？
(2)取出的两数之和等于3的结果有多少种？
(3)两数的和是3的概率是多少？
知识点三 几何概型
几何概型同古典概型一样，是概率中最具有 ( http: / / www.21cnjy.com )代表性的试验概型之一，在高考命题中占有非常重要的位置．我们要理解并掌握几何概型试验的两个基本特征，即每次试验中基本事件的无限性和每个事件发生的等可能性，并能求简单的几何概型试验的概率．
例3 甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1 h，乙船停泊时间为2 h，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．(保留小数点后三位)
变式迁移3 在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，求使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率．
课时作业
一、选择题
1．从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )
A．至少有1个黑球与都是黑球
B．至少有1个黑球与至少有1个红球
C．恰有1个黑球与都是黑球
D．至少有1个黑球与都是红球
2．一个电路板上装有甲、 ( http: / / www.21cnjy.com )乙两根熔丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，两根同时熔断的概率为0.63，则至少有一根熔断的概率是( )
A．0.59 B．0.85
C．0.96 D．0.74
3．将一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成27个同样的大小的小正方体，从中任取一个小正方体，其中恰有3面涂有颜色的概率为( )
A. B.
C. D.
4．在5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5，然后将它们混和，再任意排列成一行，则得到的数能被2或5整除的概率是( )
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8
5．已知实数x、y，可以在0A. B. C. D.
二、填空题
6．某射击选手射击一次，击中10环、9环、8环的概率分别为0.3、0.4、0.1，则射手射击一次，击中环数小于8的概率是________．
7．某市公交车每隔10分钟一班，在车站停1分钟，则乘客等车时间不超过7分钟的概率为________．
8．在平面直角坐标系xOy中，设D是横坐标 ( http: / / www.21cnjy.com )与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则所投点在E中的概率是________．
三、解答题
9．袋中有红、黄、白3种颜色的球各1只，从中每次任取1只，有放回地抽取3次，求：
(1)3只全是红球的概率；
(2)3只颜色全相同的概率；
(3)3只颜色不全相同的概率；
(4)3只颜色全不相同的概率．
10．在圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0内随机投点，求点与圆心距离小于的概率．
章末复习课
对点讲练
例1 解 (1)记“他乘火车去”为事件A1，“他乘轮船去”为事件A2，“他乘汽车去”为事件A3，“他乘飞机去”为事件A4，这四个事件不可能同时发生，故它们彼此互斥．
故P(A1∪A4)＝P(A1)＋P(A4)＝0.3＋0.4＝0.7.
所以他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.
(2)设他不乘轮船去的概率为P，则P＝1－P(A2)
＝1－0.2＝0.8.
变式迁移1 解 (1)对任一人，其血型为A、B、AB、O型血的事件分别记为A′、B′、C′、D′，它们是互斥的．由已知，有
P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.
因为B、O型血可以输给B型血的人，故“可以输给B型血的人”为事件B′∪D′.根据互斥事件的加法公式，有
P(B′∪D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.
(2)由于A、AB型血不能输给B型血的人，故“不能输给B型血的人”为事件A′∪C′，且
P(A′∪C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.
答 任找一人，其血可以输给小明的概率为0.64，其血不能输给小明的概率为0.36.
例2 解 (1)第一颗骰子先后抛掷2次，此问题中含有36个等可能的基本事件．
记“两数之和为7”为事件A，则事件A中含有(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，6个基本事件．
∴P(A)＝＝.
记“两数之和是4的倍数”为事件B，则事件 ( http: / / www.21cnjy.com )B中含有(1,3)，(2,2)，(3,1)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(6,6)，9个基本事件，
∴P(B)＝＝.
∵事件A与事件B是互斥事件，
∴所求概率为P(A)＋P(B)＝.
(2)记“点(x，y)在圆x2＋y2＝2 ( http: / / www.21cnjy.com )0的内部”为事件C，则事件C中共含有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，11个基本事件，
∴P(C)＝.
变式迁移2 解 (1)因为每次取出的数是 ( http: / / www.21cnjy.com )0,1,2，…，9这十个数字中的一个，从而每次取数都有10种可能，所以两次取数共有等可能的结果总数为n＝10×10＝100(种)．
(2)记“两个数的和等于3”为事 ( http: / / www.21cnjy.com )件A，则事件A的可能取法有第一次取的数分别为0,1,2,3，相应的第二次取的数分别为3,2,1,0，即事件A包含4种结果．
(3)事件A的概率是P(A)＝＝0.04.
例3 解 要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h以上或乙比甲早到达2 h以上，即
y－x≥1或x－y≥2，设 ( http: / / www.21cnjy.com )A为“两船都不需要等待码头空出”，则A＝{(x，y)|y－x≥1或x－y≥2，x∈[0,24]，y∈[0,24]}．
A为右图中阴影部分，Ω为边长是24的正方形，由几何概型定义知，
所求概率为P(A)
＝
＝＝≈0.879.
变式迁移3 解 如图所示，
设事件A是“作射线OC，使∠AOC ( http: / / www.21cnjy.com )和∠BOC都不小于30°”，μA＝90°－30°－30°＝30°，μΩ＝90°，由几何概型的计算公式，得P(A)＝＝＝.故所求“使得∠AOC和∠BOC都不小于30°”的概率是.
课时作业
1．C [结合互斥事件和对立 ( http: / / www.21cnjy.com )事件的定义知，对于C中恰有1个黑球，即1黑1红，与都是黑球是互斥事件．但不是对立事件，因为还有2个都是红球的情况，故应选C.]
2．C
3．B
4．C [最后一位数有5种结果，而能被2或5整除的有3种．]
5．A
6．0.2
解析 P＝1－0.3－0.4－0.1＝0.2.
7.
8.
9．解 (1)记“3只全是红球”为事件A.
从袋中有放回地抽取3次，每次取1只，共会出现3×3×3＝27种等可能的结果，其中3只全是红球的结果只有一种，故事件A的概率为P(A)＝.
(2)“3只颜色全相同”只 ( http: / / www.21cnjy.com )可能是这样三种情况：“3只全是红球”(设为事件A)，“3只全是黄球”(设为事件B)，“3只全是白球”(设为事件C)，且它们之间是互斥关系，故“3只颜色全相同”这个事件可记为A∪B∪C.由于事件A、B、C不可能同时发生，因此它们是互斥事件；再由于红、黄、白球个数一样，故不难得到P(B)＝P(C)＝P(A)＝，
故P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝.
(3)3只颜色不全相同的情况较多，如有两 ( http: / / www.21cnjy.com )只球同色而另一只球不同色，可以两只同红色或同黄色或同白色；或三只球颜色全不相同，这些情况一一考虑起来比较麻烦．现在记“3只颜色不全相同”为事件D，则事件为“3只颜色全相同”，显然事件D与是对立事件．
∴P(D)＝1－P()＝1－＝.
(4)要使3只颜色全不相同，只可能 ( http: / / www.21cnjy.com )是红、黄、白各一只，要分三次抽取，故3次抽到红、黄、白各一只的可能结果有3×2×1＝6种，故3只颜色全不相同的概率为＝.
10．解 圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，则圆的圆心C(1,1)，半径r＝1，
点与圆心距离小于的区域是以C(1,1)为圆心，以为半径的圆内部分．
故点与圆心距离小于的概率为P＝＝.3.1.4 概率的加法公式
自主学习
学习目标
1．通过实例理解互斥事件和对立事件的定义及其关系．
2．会用概率加法公式求互斥事件及对立事件的概率．
自学导引
1．互斥事件(互不相容事件)
在同一试验中，________________的两个事件叫做互斥事件(或称互不相容事件)．
2．事件A与事件B的并(或和)
由事件A和B______________________________所构成的事件C，称为事件A与B的并(或和)，记作________．
3．互斥事件的概率加法公式
(1)设事件A和事件B是两个互斥事件，则P(A∪B)＝________________.
(2)如果事件A1，A2，…，An两两互斥(彼此互斥)，那么P(A1∪A2∪…∪An)＝________________________.
4．对立事件
________________且________________的两个事件叫做互为对立事件．事件A的对立事件记作____．
5．事件A的对立事件的概率求法：P(A)＝____________.
对点讲练
知识点一 事件关系的判断
例1 判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明道理．
从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中，任取一张．
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．
点评 判断事件间的关系时 ( http: / / www.21cnjy.com )，一是要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立，其发生的条件都是一样的，二是考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用Venn图分析．对于较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析．
变式迁移1 某县城有甲、乙两种报纸 ( http: / / www.21cnjy.com )供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列各对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件：(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.
知识点二 互斥事件的概率
例2 在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概率是0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09，计算小明在数学考试中取得80分以上的成绩的概率和小明及格的概率．
点评 对于一个较复杂的事件，一般 ( http: / / www.21cnjy.com )要将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些事件的概率的和，关键是确定事件是否互斥．
变式迁移2 抛掷一均匀的正方体玩具 ( http: / / www.21cnjy.com )(各面分别标有数1、2、3、4、5、6)，事件A表示“朝上一面的数是偶数”，事件B表示“朝上一面的数不小于4”，求P(A∪B)．
知识点三 对立事件的概率
例3 甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，求：
(1)甲获胜的概率；
(2)甲不输的概率．
点评 求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的并事件；二是先求对立事件的概率，进而再求所求事件的概率．
变式迁移3 在某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下表：
年最高水位(单位：m) [8,10) [10,12) [12,14) [14,16) [16,18)
概率 0.1 0.28 0.38 0.16 0.08
计算在同一时期内，河流这一处的年最高水位在下列范围内的概率：
(1)[10,16)(m)；
(2)[8,12)(m)；
(3)水位不低于12 m.
1．互斥事件与对立事件的区别与联系
互斥事件与对立事件都是两个 ( http: / / www.21cnjy.com )事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生．因此，对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件．
2．互斥事件概率的加法公式必须在各个事件彼此互斥的前提条件下使用．当直接求其一事件的概率较为复杂时，可转化去求其对立事件的概率.
课时作业
一、选择题
1．把语文、数学、物理、化学四 ( http: / / www.21cnjy.com )本书随机地分给甲、乙、丙、丁四位同学．每人一本，则事件“甲同学分得语文书”与事件“乙同学分得语文书”是( )
A．对立事件 B．不可能事件
C．互斥但不对立事件 D．以上答案都不对
2．现有2008年奥运会志愿者7名，其中4名为男性，3名为女性，从中任选2名志愿者为游客做向导，其中下列事件：
①恰有1名女性与恰有2名女性；
②至少有1名女性与全是女性；
③至少有1名男性与至少有1名女性；
④至少有1名女性与全是男性．
是互斥事件的组数有( )
A．1组 B．2组
C．3组 D．4组
3．某射手在一次射击中命中9环的概率是0.2 ( http: / / www.21cnjy.com )8，命中8环的概率是0.20，不够8环的概率是0.30，则这个射手在一次射击中命中9环或10环的概率是( )
A．0.50 B．0.22
C．0.70 D．无法确定
4．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、 ( http: / / www.21cnjy.com )丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对产品抽查一件抽得正品的概率为( )
A．0.09 B．0.98 C．0.97 D．0.96
5．某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( )
A．至多有一次中靶
B．两次都中靶
C．两次都不中靶
D．只有一次中靶
二、填空题
6．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，所选3人中至少有1名女生的概率为，那么所选3人中都是男生的概率为________．
7．某家庭电话在家中有人 ( http: / / www.21cnjy.com )时，打进的电话响第一声时被接的概率为0.1，响第二声时被接的概率为0.3，响第三声时被接的概率为0.4，响第四声时被接的概率为0.1，那么电话在响前4声内被接的概率为__________．
8．口袋内装有一些大小相 ( http: / / www.21cnjy.com )同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，则摸出黑球的概率是________．
三、解答题
9．盒子里有6个红球，4个白球，现从 ( http: / / www.21cnjy.com )中任取三个球，设事件A＝{3个球中有1个红球，2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球，1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．
问(1)事件D与A、B是什么样的运算关系？
(2)事件C与A的交事件是什么事件？
10．某射手射击一次射中10环，9环，8环，7环的概率分别是0.24,0.28,0.19,0.16，计算这名射手射击一次．
(1)射中10环或9环的概率；
(2)至少射中7环的概率．
3．1.4 概率的加法公式
自学导引
1．不可能同时发生
2．至少有一个发生(即A发生，或B发生或A、B都发生) C＝A∪B
3．(1)P(A)＋P(B) (2)P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)
4．不能同时发生 必有一个发生
5．1－P()
对点讲练
例1 解 (1)是互斥事件，不是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张， ( http: / / www.21cnjy.com )“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件，但是，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能“抽出方块”或者“抽出梅花”，因此，二者不是对立事件．
(2)既是互斥事件，又是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张， ( http: / / www.21cnjy.com )“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．
(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张， ( http: / / www.21cnjy.com )“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．
变式迁移1 解 (1)由于事件C“至多订一种报”中可能只订甲报，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．
(2)事件B“至少订一种报”与事件E“一种报 ( http: / / www.21cnjy.com )纸也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件，由于事件B发生可导致事件E一定不发生，且事件E发生会导致事件B一定不发生，故B与E是对立事件．
(3)事件B“至少订一种报”中有可能只订乙报，即有可能不订甲报，也就是说事件B发生，事件D也可能发生，故B与D不是互斥事件．
(4)事件B“至少订一种报”中 ( http: / / www.21cnjy.com )有这些可能：“只订甲报”，“只订乙报”，“订甲、乙两种报”．事件C“至多订一种报”中有这些可能：“一种报纸也不订”，“只订甲报”，“只订乙报”．由于这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件．
(5)由(4)的分析，事件E“一种报纸也不订”是事件C的一种可能，事件C与事件E有可能同时发生，故C与E不是互斥事件．
例2 解 根据题意，小明的数学成绩在给出的四个范围内的事件是互斥的，记B＝“考试成绩在90分以上”，C＝“考试成绩在80～89分”，D＝“考试成绩在70～79分”，E＝“考试成绩在60～69分”，
记事件A＝“考试成绩在80分以上”，则A＝B∪C，且B、C为互斥事件，
由互斥事件的概率加法公式可知
P(A)＝P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69.
记事件F＝“小明考试及格”，
有F＝B∪C∪D∪E，且B、C、D、E两两互斥，
由互斥事件的概率加法公式应有
P(F)＝P(B∪C∪D∪E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.
变式迁移2 解 A∪B这一事件包括4种结果，即出现2、4、5和6，所以P(A∪B)＝＋＝.
例3 解 (1)“甲获胜”是“和棋或乙获胜”的对立事件，所以甲获胜的概率P＝1－＝.
(2)方法一 记事件A＝“甲不输”，则A是“甲胜”与“和棋”这两个互斥事件的并，所以P(A)＝＋＝；
方法二 实际上，事件A“甲不输”是“乙胜”事件的对立事件，所以P(A)＝1－＝.
变式迁移3 解 设水位在[a，b)范围的概率为P([a，b))．
由于水位在各范围内对应的事件是互斥的，由概率加法公式得：
(1)P([10,16))＝P([10,12))＋P([12,14))＋P([14,16))
＝0.28＋0.38＋0.16＝0.82.
(2)P([8,12))＝P([8,10))＋P([10,12))
＝0.1＋0.28＝0.38.
(3)记“水位不低于12 m”为事件A，
P(A)＝1－P([8,12))＝1－0.38＝0.62.
课时作业
1．C
2．B
3．A [P＝1－0.30－0.20＝0.50.]
4．D [P＝1－0.03－0.01＝0.96.]
5．C [至少有一次中靶和两次都不中靶不可能同时发生．]
6.
解析 设A＝{3人中至少有1名女生}，
B＝{3人都为男生}，
则A、B为对立事件；
∴P(B)＝1－P(A)＝.
7．0.9
8．0.30
解析 P＝1－0.42－0.28＝0.30.
9．解 (1)对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球，或2个红球1个白球，故D＝A∪B.
(2)对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球，2个红球1个白球，三个均为红球，故C∩A＝A.
10．解 设“射中10环”，“射中9环”，“射中8环”，“射中7环”的事件分别为A、B、C、D，则A、B、C、D是互斥事件，
(1)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
＝0.24＋0.28＝0.52；
(2)P(A∪B∪C∪D)
＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)
＝0.24＋0.28＋0.19＋0.16＝0.87.
答 射中10环或9环的概率是0.52，至少射中7环的概率为0.87.第三章 概 率
§3.1 事件与概率
3.1.1-3.1.2 随机现象 事件与基本事件空间
自主学习
学习目标
1．了解随机现象和随机事件的概念．
2．会判断随机事件．
自学导引
1．现象
(1)必然现象
在一定条件下____________________的现象．
(2)随机现象
在相同的条件下____________________，每次观察到的结果____________，事先很难预料哪一种结果会出现的现象．
2．试验
把观察随机现象或为了____________而进行的实验统称为试验，把观察结果或实验结果称为____________．
3．不可能事件、必然事件、随机事件
(1)在同样条件下重复进行试验时，____________的结果，称为不可能事件．
(2)在每次试验中____________的结果，称为必然事件．
(3)在试验中____________，也____________的结果称为随机事件．
(4)随机事件的记法：通常用________________________来表示；随机事件简称为________．
4．基本事件、基本事件空间
(1)基本事件：试验中不能________的________的随机事件，并且其他事件可以用____________的随机事件．
(2)基本事件空间：所有____________构成的集合，称为基本事件空间，基本事件空间通常用____________来表示．
对点讲练
知识点一 判断必然现象和随机现象
例1 判断下列现象是必然现象还是随机现象．
(1)小明在校学生会主席竞选中成功；
(2)掷一枚质地均匀的硬币出现的结果；
(3)某人购买的彩票号码恰好是中奖号码；
(4)标准大气压下，把水加热至100℃沸腾；
(5)骑车经过十字路口时，信号灯的颜色．
点评 抓住判断必然现象与随机现象的关键——在一定条件下，现象发生的结果是否可以预知确定，是解决这类问题的方法．
变式迁移1 下列现象：
①当x是实数时，x－|x|＝2；
②某班一次数学测试，及格率低于75%；
③从分别标有0,1,2,3，…，9这十个数字的纸团中任取一个，取出的纸团是偶数；
④体育彩票某期的特等奖号码．
其中是随机现象的是( )
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
知识点二 随机试验的结果
例2 做试验“从一个装有标号为1,2,3,4的小球的盒子中，不放回地取两次小球，每次取一个，构成有序数对(x，y)，x为第一次取到的小球上的数字，y为第二次取到的小球上的数字”．
(1)求这个试验结果的个数；
(2)写出“第一次取出的小球上的数字是2”这一事件．
点评 随机事件的结果是相对于条件而言的， ( http: / / www.21cnjy.com )要弄清某一随机事件的所有结果，必须首先明确事件发生的条件，根据日常生活经验，按一定的次序列出所有结果．
变式迁移2 指出下列试验的结果：
(1)先后掷两枚质地均匀的硬币的结果；
(2)某人射击一次命中的环数；
(3)从集合A＝{a，b，c，d}中任取两个元素构成的A的子集．
知识点三 随机事件与基本事件空间
例3 指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件．
(1)长度为3、4、5的三条线段可以构成一个三角形；
(2)长度为2、3、4的三条线段可以构成一个直角三角形；
(3)在乒乓球比赛中，运动员小张取胜；
(4)在2012年伦敦奥运会中国队获取50枚金牌；
(5)常温下，焊锡熔化．
点评 判定一个事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件，就需考查该事件在它的条件下是必然发生、不可能发生，还是既可能发生也可能不发生．
变式迁移3 指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件．
(1)某体操运动员将在某次运动会上获得全能冠军；
(2)一个三角形的大边对的角小，小边对的角大；
(3)如果a>b，那么b(4)某人购买福利彩票中奖．
例4 1个盒子中装有5个完全相同的球，分别标有号码1,2,3,4,5，从中一次任取两球，取后不放回．
(1)写出这个试验的基本事件空间；
(2)求这个试验的基本事件总数；
(3)写出“取出的两球上的数字之和是6”的这一事件中所包含的基本事件．
点评 “从中一次任取两球，取后不放回”，“取后不放回”是指一个球不会在一个结果中重复出现．
变式迁移4 1个盒子中装有4个完全相同的球，分别标有号码1,2,3,5，有放回的任取两球．
(1)写出这个试验的基本事件空间；
(2)求这个试验的基本事件总数；
(3)写出“取出的两球上的数字之和是6”的这一事件中所包含的基本事件．
1．随机现象的概念，试验及试验结果．
2．事件.
3．基本事件空间的概念.
课时作业
一、选择题
1．下列事件中不是随机事件的是( )
A．某人购买福利彩票中奖
B．从10个杯子(其中8个正品，2个次品)中任取2个，2个均为次品
C．在标准大气压下，水加热到100℃沸腾
D．某人投篮10次，投中8次
2．下列事件中，随机事件的个数为( )
①明天是阴天；
②方程x2＋2x＋5＝0有两个不相等的实根；
③明年长江武汉段的最高水位是29.8米；
④一个三角形的大边对大角，小边对小角．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．从一副扑克牌中抽取5张红桃，4张梅花，3张黑桃，从中一次随机抽出10张，恰好红桃、梅花、黑桃3种牌都抽到，这种事情( )
A．可能发生 B．不可能发生
C．很可能发生 D．必然发生
4．在10件同类产品中，有8件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件的必然事件是( )
A．3件都是正品 B．至少有1件是次品
C．3件都是次品 D．至少有1件是正品
5．一个家庭中有两个小孩，则他(她)们的性别情况可能为( )
A．男女、男男、女女 B．男女、女男
C．男男、男女、女男、女女 D．男男、女女
二、填空题
6．下面给出了四种现象：
①若x∈R，则x2<0；②没有水分，种子发芽；③某地2月3日下雪；④若平面α∩β＝m，n∥α，n∥β，则m∥n.
其中是必然现象的是________．(填序号)
7．(1)“从自然数中任取两数，其中一个是偶数”，这是________现象；
(2)“从自然数中任取连续两数，乘积是偶数”，这是________现象；
(3)“从自然数中任取两数，差为”，这是________现象．
8．投掷两个骰子，点数之和为8的事件所含的基本事件有________种．
三、解答题
9．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y，结果为(x，y)．
(1)写出这个试验的基本事件空间；
(2)求这个试验的基本事件的总数；
(3)“x＋y＝5”这一事件包含哪几个基本事件？“x<3且y>1”呢？
(4)“xy＝4”这一事件包含哪几个基本事件？“x＝y”呢？
第三章 概 率
§3.1 事件与概率
3．1.1 随机现象
3．1.2 事件与基本事件空间
自学导引
1．(1)必然发生某种结果 (2)多次观察同一现象 不一定相同
2．某种目的 试验的结果
3．(1)始终不会发生 (2)一定发生 (3)可能发生 可能不发生 (4)大写英文字母A，B，C，… 事件
4．(1)再分 最简单 它们来描绘 (2)基本事件 大写希腊字母Ω
对点讲练
例1 解 (1)随机现象．因为竞选能否成功是不可预知与确定的；
(2)随机现象．因为出现的结果可能是正面，也可能是反面，结果并不确定．
(3)随机现象．因为彩票号码是否为中奖号码，本身是无法预测，是不可知的．
(4)必然现象．因为标准大气压下，水加热至100℃时沸腾这个结果一定会发生，是确定的．
(5)随机现象．因为信号灯的颜色对每位过路口的人来说事先都是不可知的，是无法确定的．
变式迁移1 C [由随机事件的定义知②③④正确．]
例2 解 (1)当x＝1时，y＝2,3,4；当x＝2时，y＝1,3,4；同理当x＝3,4时，也各有3个不同的有序数对，所以共有12个不同的有序数对．故这个试验结果的个数为12.
(2)记“第一次取出的小球上的数字是2”为事件A，
则A＝{(2,1)，(2,3)，(2,4)}．
变式迁移2 解 (1)结果：正面，正面；正面，反面；反面，正面；反面，反面；
(2)结果：0环，1环，2环，3环，4环，5环，6环，7环，8环，9环，10环；
(3)结果：{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}．
例3 解 (1)必然事件；(2)不可能事件；(3)随机事件；
(4)随机事件；(5)不可能事件．
变式迁移3 解 (1)(4)为随机事件，(2)是不可能事件，(3)是必然事件．
例4 解 (1)Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}；
(2)基本事件总数为10；
(3)“取出的两球上的数字之和是6”这一事件所包含的基本事件为(1,5)，(2,4)．
变式迁移4 解 (1)Ω＝{(1,1)，( ( http: / / www.21cnjy.com )1,2)，(1,3)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,5)}．
(2)基本事件总数为16；
(3)“取出的两球上的数字之和是6”这一事件所包含的基本事件有3个：(1,5)，(3,3)，(5,1)．
课时作业
1．C
2．B [只有①③是随机事件．]
3．D
4．D [至少有1件是正品是一定发生的．]
5．C
6．④
7．(1)随机 (2)必然 (3)不可能
8．5
9．解 (1)Ω＝{(1,1)，(1,2) ( http: / / www.21cnjy.com )，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．
(2)基本事件的总数为16.
(3)“x＋y＝5”包含以下4个基本事件：(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)；
“x<3且y>1”包含以下6个基本事件：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)．
(4)“xy＝4”包含以下 ( http: / / www.21cnjy.com )3个基本事件：(1,4)，(2,2)，(4,1)；“x＝y”包含以下4个基本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)．§3.4 概率的应用
【入门向导】
大学英语四级考试是全面检验大学生英语水平 ( http: / / www.21cnjy.com )的一种考试，具有一定难度，包括听力、语法结构、阅读理解、填空、写作等．除写作15分外，其余85道题是单项选择题，每道题有A、B、C、D四个选项，这种情况使个别学生产生碰运气和侥幸心理，那么靠运气能通过四级英语考试吗？答案是否定的．假设不考虑写作15分，及格按60分算，则85道题必须答对51题以上．经过计算，这种情况发生的概率非常小，相当于1 000亿个靠运气的考生仅有0.874人能通过．所以靠运气通过考试是不可能的．
概率广泛应用于体育运动、管理决策、天气预报以及某些科学实验中，它在这些应用中起着极其重要的作用．
(1)游戏的公平性：在各类游戏中，如果每人获胜的概率相等，那么游戏就是公平的，也就是说是否公平只要看获胜的概率是否相等．
如足球比赛前，裁判用抛硬币的方式来决定场地，由于抛掷一枚质地均匀的硬币“出现正面”和“出现反面”的概率都是0.5，因此这是公平的．
(2)天气预报的概率解释：天气预报的“降水 ( http: / / www.21cnjy.com )”是一个随机事件．“明天本地降水的概率是80%”是指本地降水的可能性是80%，而不是本地有80%的区域降水．
(3)试验与发现：概率学 ( http: / / www.21cnjy.com )知识在科学发展中起着非常重要的作用．例如，孟德尔豌豆试验，孟德尔经过长期观察得出了显性与隐性的比例接近3∶1，他认为其中一定有某种遗传规律，通过深入研究，得出了遗传学的一条重要的统计规律．
例 同时抛掷两枚骰子，求至少有一个5点或6点的概率．
错解一 化有可能结果有36个，其中含5点的结果有6个，含6点的结果有6个．∴至少有一个5点或6点的结果有12个．
∴所求概率为＝
错解二 事件A：含有点数5，事件B：含有点数6.
则P(A)＝P(B)＝
∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
正解 同时抛掷两枚骰子，共有36种不同的结果，其中至少有一个5点或6点的结果有20个．
∴所求概率为P＝＝.
长期以来，由于我国在数学 ( http: / / www.21cnjy.com )教育中对概率统计内容的忽视，人们认为数学只能研究确定的对象，得出确定的结论，因此对于随机现象方面的数学很不习惯．现在，概率统计内容的学习将进入一个全面普及的阶段．我们逐渐认识到数学可以研究一些偶然现象后面的必然规律性，应该像对待推理论证、运算求解一样，把数据分析当作最普通、最基本的数学素养．不过，随机数学虽然有自己的思维方式，却仍然要使用一些确定性的数学工具．学习中要通过大量的试验了解随机数学发生发展的过程，这将有利于随机思想的接受与普及．
例1 某食品公司为新产品问世拟举办2004 ( http: / / www.21cnjy.com )年国庆促销活动，方法是买一份糖果摸一次彩，摸彩的器具是黄、白两色乒乓球，这些乒乓球的大小与质地完全相同．另有一只棱长约为30厘米密封良好且不透光的长方体木箱(木箱上方可容一只手伸入)．该公司拟按中奖率1%设大奖，其余99%则为小奖，大奖奖品的价值为400元，小奖奖品的价值为2元．请你按公司的要求设计一个摸彩方案．
解 本题并不要求计算中奖概率， ( http: / / www.21cnjy.com )而是在给定的中奖率条件下设计摸奖的方案，因此本题是个开放性问题，可以有多种构思，可谓“一果多因”．我们不妨提出了如下5个方案：
方案一 在箱内放置100个乒乓球，其中1个为黄球，99个为白球．顾客一次摸出一个乒乓球，摸到黄球为中大奖，否则中小奖．
方案二 在箱内放置15个乒乓球，其中2个为黄球，13个为白球，顾客摸球和中奖办法与方案2相同．
方案三 在箱内放置25个乒乓球，其中3个为黄球，22个为白球，顾客一次摸出2个乒乓球，摸到2个均为黄球为中大奖，否则中小奖．
方案四 在箱内放置10个乒乓球，其中3 ( http: / / www.21cnjy.com )个为黄球，7个为白球，顾客一次摸出3个乒乓球或分几次摸，一次摸1个或2个，共摸出3个，不放回(考虑到儿童一次摸3个球比较困难)，如果摸出的3个乒乓球均为黄色即中大奖，否则中小奖．
例2 深夜，一辆出租车被 ( http: / / www.21cnjy.com )牵涉进一起交通事故，该市有两家出租车公司——红色出租车公司和蓝色出租车公司，其中蓝色出租车公司和红色出租车公司分别占整个城市出租车的85%和15%。据现场目击证人说，事故现场的出租车是红色，并对证人的辨别能力作了测试，测得他辨认的正确率为80%，于是警察就认定红色出租车具有较大的肇事嫌疑．请问警察的认定对红色出租车公平吗？试说明理由．
解 设该城市有出租车1 000辆，那么依题意可得如下信息：
证人所说的颜色(正确率80%)
真实颜色 蓝色 红色 合计
蓝色(85%) 680 170 850
红色(15%) 30 120 150
合计 710 290 1 000
从表中可以看出，当证人说出 ( http: / / www.21cnjy.com )租车是红色时，且它确实是红色的概率为≈0.41，而它是蓝色的概率为≈0.59.在这种情况下，以证人的证词作为推断的依据对红色出租车显然是不公平的．
1．(2011·海安模拟)一只 ( http: / / www.21cnjy.com )蚂蚁在三边长分别为3,4,5的三角形内爬行，某时刻蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为________．
答案
2．(2008·辽宁)4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( )
A. B. C. D.
解析 从4张卡片中取2张共有6种取法，数字之和为奇数是指所取两个数分别是一个奇数和一个偶数，共有4种，则满足条件的概率是＝.
答案 C第三章 概 率
§3.1 事件与概率
【入门向导】
在第二次世界大战爆发初期，大西洋上英 ( http: / / www.21cnjy.com )美运输船队常常受到德国潜艇的袭击，当时，英美两国限于实力，无力增派更多的护航舰，一时间，德军的“潜艇战”搞得盟军焦头烂额．为此，有位美国将领专门请教了几位数学家，数学家们分析后认为一定数量的船(如100艘)编队规模越小，则编次越多(如每个编次20艘，就要有5个编次)，与敌人相遇的概率就越大．
美国海军接受了数学家的建议，命令舰 ( http: / / www.21cnjy.com )队在指定海域集合，再集体通过危险海域，然后各自驶向预定港口，结果奇迹出现了：盟军舰队遭袭被击沉的概率由原来的25%降为1%，大大减少了损失，保证了物资的及时供应．
当我们在同样的条件下重复进行试验时， ( http: / / www.21cnjy.com )有的结果始终不会发生，它称为不可能事件，有的结果在每次试验中一定会发生，它称为必然事件，在试验中可能发生也可能不发生的结果称为随机事件．
对随机事件的理解应包含以下两个方面
(1)随机事件是指一定条件下出现的某种结果，随着条件的改变其结果也会不同，因此必须强调同一事件必须在相同的条件下研究；
(2)随机事件可以重复地进行大量实验，每次实验结果不一定相同，且无法预测下一次的结果，但随着实验的重复进行，其结果呈现规律性．
例1 分析下面给出的五个事件哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？
(1)某地2月3日下雪；
(2)函数y＝ax(a>0且a≠1)在定义域上是增函数；
(3)实数的绝对值不小于0；
(4)在标准大气压下，水在1℃结冰；
(5)a，b∈R，则ab＝ba.
分析 在一定条件下，看事件是否有可能发生．
解 (1)随机事件，某地在2月3日可能下雪，也可能不下雪．
(2)随机事件，函数y＝ax，当a>1时，在定义域上是增函数，；当0(3)必然事件，实数的绝对值非负．
(4)不可能事件，在标准大气压下，水在0℃结冰．
(5)必然事件，若a，b∈R，则ab＝ba恒成立．
1．频率
在相同的条件S下重复n次试验，若某一事件A发生的次数为nA，则事件A发生的比例fn(A)＝为事件A发生的频率．
2．概率
一般地，对于给定的随机事件A，在相 ( http: / / www.21cnjy.com )同条件下，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们把这个常数记作P(A)，称为随机事件A的概率．概率是用来度量随机事件发生的可能性的大小的量，能为决策提供关键性的依据．
3．频率与概率的区别与联系
(1)频率随着试验次数的变化而变化，是随机的，在试验前无法确定．而概率则是一个常数，是客观存在的，与试验次数无关；
(2)在实际应用中，只要次数足够多，所得的频率就可以近似地看作随机事件的概率；
(3)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值．
例2 2004年雅典奥运 ( http: / / www.21cnjy.com )会上，中国射击运动员王义夫在决赛中以0.2环的微弱优势战胜了俄罗斯运动员内斯特鲁耶夫，摘得该项目的金牌．下表是两人在参赛前训练中击中10环以上(包括10环)的次数统计：
王义夫：
射击次数n 10 20 50 100 200 500
击中10环以上的次数 9 17 44 92 179 450
击中10环以上的频率
内斯特鲁耶夫：
射击次数n 10 20 50 100 200 500
击中10环以上的次数 8 17 44 93 177 453
击中10环以上的频率
请根据以上表格的数据回答以下问题：
(1)分别计算出两位运动员击中10环以上的频率；
(2)根据(1)中计算的结果估计两位运动员击中10环以上的概率各是多少．
解 (1)两位运动员击中10环以上的频率分别为：
王义夫：0.9,0.85,0.88,0.92,0.895,0.9；
内斯特鲁耶夫：0.8,0.85,0.88,0.93,0.885,0.906.
(2)由(1)中的数据可知 ( http: / / www.21cnjy.com )两位运动员击中10环以上的频率都集中在0.9附近，且随着射击次数的增加，频率都稳定在0.9左右．所以可估计两人击中10环以上的概率均为0.9，也就是说两人的实力相当．
对立事件和互斥事件是一对易混淆的 ( http: / / www.21cnjy.com )概念．我们应从三方面加以区分：①从定义上加以区分，对立事件必是互斥事件，两个互斥或对立的事件不能同时发生，但对立事件有且只有一个发生，而互斥事件则可能两个都不发生，即互斥事件至多有一个发生；②从集合的观点看，表示互斥事件与对立事件的集合的交集都是空集，但两个对立事件的并集是全集，而两个互斥事件的并集不一定是全集；③两个对立事件的概率之和一定等于1，而两个互斥事件的概率之和小于或等于1.
例3 假设向三个相邻的军火库投掷一 ( http: / / www.21cnjy.com )个炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，其余两个各为0.1，只要炸中一个，另两个也要发生爆炸，求投掷一个炸弹，军火库发生爆炸的概率．
解 因为只投掷了一个炸弹，故炸中第一、第二、第三个军火库的事件是彼此互斥的．
令A、B、C分别表示炸中第一、第二、第三个军火库，则P(A)＝0.025，P(B)＝P(C)＝0.1.
令D表示军火库爆炸这个事件，则有D＝ ( http: / / www.21cnjy.com )A＋B＋C，又因为A，B，C是两两互斥事件，故所求概率为P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.025＋0.1＋0.1
＝0.225.
1．对概率的意义理解错误
例1 若某种彩票每1 000张设一张一等奖，那么买1 000张这种彩票一定中一等奖吗？
错解 因为中一等奖的概率为，所以买1 000张这种彩票一定中一等奖．
( http: / / www.21cnjy.com )
正解 买1 000张这种彩票不一定中一等奖．
2．混淆频率与概率
例2 把一枚质地均匀的硬币连续掷1 000次，其中有498次正面朝上，502次反面朝上，求掷一次硬币正面朝上的概率．
错解 由题意，根据公式可知＝0.498.
∴掷一次硬币正面朝上的概率是0.498.
( http: / / www.21cnjy.com )
正解 通过做大量的试验可以发现，正面朝上的频率都在0.5附近摆动，故掷一次硬币，正面朝上的概率是0.5.
3．对互斥事件概念理解有误
例3 抛掷一枚质地均匀的骰子，向上 ( http: / / www.21cnjy.com )的一面出现1点、2点、3点、4点、5点、6点的概率都是，记事件A为“出现奇数”，事件B为“向上的点数不超过3”，求P(A∪B)．
错解 P(A∪B)＝1.
( http: / / www.21cnjy.com )
正解 记事件“出现1点”“出现2点”“出现3点”“出现5点”分别为A1，A2，A3，A4，由题意知这四个事件彼此互斥．
故P(A∪B)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)
＝＋＋＋＝.
气象台预报“本市明天的降雨概率是80% ( http: / / www.21cnjy.com )”，市民甲听了后说“本市明天将有80%的地区降雨”，市民乙听了后说“本市明天将有80%的时间降雨”，市民丙听了后说“明天出行不带雨具肯定要淋雨”，市民丁听了预报后第二天出门带了雨具但第二天该市并没有降雨，于是丁说“我市的天气预报也太不准确了”．这些市民的说法是否正确？
显然降雨概率80%不是说有80% ( http: / / www.21cnjy.com )的地区降雨，也不是说有80%的时间降雨，而是指降雨的可能性为80%，故市民甲、乙的说法都是错误的．天气预报的“降雨”是一个随机事件，在一次试验中，概率为80%的事件可能发生，也可能不发生．因而市民丙说明天一定会下雨也是错误的，市民丁依据第二天没有下雨就说本市的天气预报太不准确也是不对的．
在42位美国总统中，有两 ( http: / / www.21cnjy.com )人的生日相同，三人的卒日相同，什尔克生于1795年11月2日，哈定则生于1865年11月2日；门罗卒于1831年7月4日，而亚当斯、杰佛逊都卒于1826年7月4日，还有两位总统的卒日都是3月8日：费尔莫死于1874年，塔夫脱死于1930年，这是巧合吗？
这是历史上有名的生日问题，记n为相关的人数，n个人中至少有两人的生日在同一天的概率为P(A)，则有下表：
n 10 20 23 30 40 50
P(A) 0.12 0.41 0.51 0.71 0.89 0.97
上表所列的内容足以引起多数人的惊奇，因为 ( http: / / www.21cnjy.com )“至少两人生日相同”这一事件发生的概率，并不如大多数人直觉想像中的那样小，而是相当大．由表中可以看出，当人数是40时，“至少有两人生日相同”的概率为0.89，因此，在42位美国总统中，有两人生日相同，三人卒日相同，根本不是什么巧合，而是很正常的．
所谓“化归”就是转化和归结，在解 ( http: / / www.21cnjy.com )决数学问题时，人们常常将待解决的问题甲，通过某种转化，归结为一个已经解决或比较容易解决的问题乙，然后，通过问题乙的解去求问题甲．
例 一箱产品中有正品4件，次品3件，从中任取2件，则是互斥事件的有________．
①恰有1件次品和全是次品；
②至少有1件次品和全是次品；
③至少有1件正品和至少有1件次品；
④至少有1件次品和全是正品．
解析 设n为任取2件产品中次品的个数，则所有n的取值可构成集合U＝{n∈Z|0≤n≤2}．
①中“恰有1件次品”，则此事件中n的取值构成集合P＝{1}．“全是次品”事件中n的取值构成集合Q＝{2}，
由于P∩Q＝ ，故这两个事件互斥．
②中“至少有1件次品”，则P＝{n∈Z|1≤n≤2}，
“全是次品”，则Q＝{2}，
由于P∩Q＝{2}≠ ，故不互斥．
③中“至少有1件正品”，注意要把正品转化为次品，
则Q＝{n∈Z|0≤n≤1}，
“至少有1件次品”，则P＝{n∈Z|1≤n≤2}，
由于P∩Q＝{1}≠ ，故不互斥．
④中“至少有1件次品”，则P＝{n∈Z|1≤n≤2}，
“全是正品”，则Q＝{0}，即没有次品，因为P∩Q＝ ，故这两个事件互斥．
答案 ①④
点评 首先是搞清两事件互斥的概念 ( http: / / www.21cnjy.com )，其次是将本题中的正品转化为次品．含有“至多”“至少”等类型的概率问题，从正面突破比较困难或者比较繁琐时，可考虑其反面，即对立事件，然后应用对立事件的性质P(A)＝1－P()进行求解.
1．(2011·济南模拟 ( http: / / www.21cnjy.com ))在一批产品中，有多于4件的次品和正品，从这批产品中任抽4件，事件A为抽取4件产品中至少有一件次品，那么为( )
A．抽取的4件产品中至多有一件次品
B．抽取的4件产品中恰有1件次品
C．抽取的4件产品中没有次品
D．抽取的产品中有多于4件的次品
解析 由对立事件的意义，“至少一件”的反面是“没有一件”．
答案 C
2．(2011·四川)有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：
[11.5,15.5) 2 [15.5,19.5) 4
[19.5,23.5) 9 [23.5,27.5) 18
[27.5,31.5) 11 [31.5,35.5) 12
[35.5,39.5) 7 [39.5,43.5) 3
根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5,43.5)的概率约是( )
A. B.
C. D.
解析 由条件可知，落在[31.5,43.5)的数据有12＋7＋3＝22(个)，故所求概率约为＝.
答案 B
3．(2011·重庆)从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下(单位：克)：
125 120 122 105 130 114 116 95 120 134
则样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为( )
A．0.2 B．0.3
C．0.4 D．0.5
解析 落在[114.5,124.5)内的样本数据为120,122,116,120，共4个，故所求频率为＝＝0.4.
答案 C§3.4 概率的应用
自主学习
学习目标
了解概率在解决实际问题中的应用，树立学生的数学应用意识．
自学导引
概率在我们的现实生活中有很多应 ( http: / / www.21cnjy.com )用，如程序设计、____________、____________、估计整体等方面有着广泛的应用．正确理解概率的意义，可澄清日常生活中的一些错误认识，对我们的行为作出正确的决策，指导我们正确行动．
对点讲练
知识点一 分析抽签的等可能性(公平性)
例1 在生活中，我们有时要用抽签的方法决定一件事情．例如，在5张奖票中有1张奖票，5个人按照顺序从中抽1张以决定谁得到其中的奖票，那么，先抽还是后抽(后抽人不知道先抽人的结果)，对每人来说公平吗？也就是说，每人抽到奖票的概率相等吗？
点评 在抽签时顺序虽然有 ( http: / / www.21cnjy.com )先有后，但只要不让后抽人知道先抽人的结果，那么各个抽签者中奖的概率是相等的，也就是说，并未因为抽签的顺序不同而影响其公平性．
变式迁移1 甲、乙二人用 ( http: / / www.21cnjy.com )4张扑克牌(分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．
(1)设(i，j)分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况．
(2)若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少？
(3)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜；若甲抽到的牌的牌面数字比乙小，则乙胜．你认为此游戏是否公平？说明你的理由．
知识点二 古典概型的应用
例2 假设储蓄卡的密码由4个数字组成，每个数字可以是0,1,2，…，9十个数字的任意一个．假设一个人完全忘记了自己的储蓄卡密码，问他到自动取款机上随机试一次密码就能取到钱的概率是多少？
点评 发生概率为0.000 1的事件是小概率 ( http: / / www.21cnjy.com )事件，通常我们认为这样的事件在一次试验中是几乎不可能发生的，也就是通过随机试验的方法取到储蓄卡中的钱的概率是很小的．但我们知道，如果试验很多次，比如10 000次，那么这个小概率事件是可能发生的．所以，为了安全，自动取款机一般允许取款人最多试3次密码，如果第4次键入的密码仍是错误的，那么取款机将“没收”储蓄卡．另外，为了使通过随机试验的方法取到储蓄卡中的钱的概率更小，现在储蓄卡使用6位数字作密码．
变式迁移2 甲、乙两人参加法律知识竞答，共有10道不同的题目，其中选择题有6道，判断题有4道，甲、乙两人依次各抽一题．
(1)甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？
(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
知识点三 对整体进行估计
例3 某草原鼠害严重，为科学灭鼠，请设计一个方案估计该草原鼠的数量．
点评 结合实际问题建立相应的数学模型是理论联系实际的有效途径．
变式迁移3 在某条人流较大的 ( http: / / www.21cnjy.com )街道上，有一中年人吆喝着“送钱喽！”只见他手拿一只黑色小布袋，袋中有且只有3个黄色和3个白色的乒乓球(体积大小、质地完全相同)．旁边立着一块黑板，上面写着：
摸球方法：
(1)若摸球一次，摸得同一颜色的球3个，摊主送给摸球者5元钱；
(2)若摸球一次，摸得非同一颜色的球3个，摸球者给摊主1元钱．
如果一天中有100人次摸球，试从概率角度估算一下这个摊主一个月(按30天计算)能赚多少钱？
(1)概率在解决实际中的程序设计、密码技术、社会调查、整体估计中都有重要的应用．
(2)将实际问题转化为概率问题，实现数学的应用价值.
课时作业
一、选择题
1．在第1,3,4,5, ( http: / / www.21cnjy.com )8路公共汽车都要停靠的一个站(假定这个站只能停靠一辆汽车)，有一位乘客等候第4路或第8路汽车．假定当时各路汽车首先到站的可能性相等，则首先到站正好是这位乘客所要等的汽车的概率等于( )
A. B. C. D.
2．某产品的设计长度为20 cm，规定误差不超过0.5 cm为合格品，今对一批产品进行测量，测量结果如下表：
长度(cm) 19.5以下 19.5～20.5 20.5以上
件数 5 68 7
则这批产品的不合格率为( )
A. B. C. D.
3．从一群游戏的小孩中抽出k ( http: / / www.21cnjy.com )人，一人分一个苹果，让他们返回继续游戏，一会儿后，再从中任取m人，发现其中有n个小孩曾分过苹果，估计一共有小孩( )
A.人 B.人
C.人 D.(k＋m－n)人
4．据人口普查统计，育龄妇女生男生女是等可能的，如果允许生育二胎，则某一育龄妇女两胎均是女孩的概率是( )
A. B. C. D.
二、填空题
5．在面积为S的△ABC的边AB上取一点P，则△PBC的面积大于的概率是________．
6．做A、B、C三件事的费用各不相同 ( http: / / www.21cnjy.com )．在一次游戏中，要求参加者写出做这三件事所需费用的顺序(由多到少排列)，如果某个参加者随意写出答案，他正好答对的概率是______．
7.
如图，a，b，c，d，e是处于断开状态的开关，任意闭合两个，则电路被接通的概率为________．
三、解答题
8．某家庭有3个孩子．
(1)求这个家庭有3个男孩的概率；
(2)求这个家庭有2个男孩和1个女孩的概率；
(3)求这个家庭至少有一个男孩的概率．
9．甲、乙两人进行压指头游戏，游戏规则 ( http: / / www.21cnjy.com )是：拇指胜食指，食指胜中指，中指胜无名指，无名指胜小指，小指胜母指，若甲、乙两人随机地伸出一根指头，求甲胜的概率．
§3.4 概率的应用
自学导引
密码技术 社会调查
对点讲练
例1 解 不妨把5张票随机地排列在位置1,2,3,4,5上，对于这张奖票来说，由于是随机的排列，因此它的位置有五种可能，故它排在任一位置上的概率都是.5个人按排定的顺序去抽，比如甲排在第三位上，那么他抽得奖票的概率，即奖票恰好排在第三个位置上的概率为，因此，不管排在第几位上去抽，在不知道前面的人抽出的结果的前提下，得到奖票的概率都是.
变式迁移1 解 (1)甲、乙二人抽到的牌 ( http: / / www.21cnjy.com )的所有情况(红桃2、红桃3、红桃4分别用2、3、4表示，方片4用4′表示)为(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4)，(3,4′)，(4,2)，(4,3)，(4,4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)，共12种．
(2)甲抽到红桃3，乙抽到的牌的牌面数字只有是2,4,4′，因此乙抽到的牌面数字大于3的概率为.
(3)甲抽到的牌的牌面数 ( http: / / www.21cnjy.com )字比乙大的有5种情况：(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′，3)，数字相等有2种情况：(4,4′)，(4′，4)．
故甲胜的概率P1＝，乙胜的概率为P2＝.
所以此游戏公平．
例2 解 这个人随机试一个密码，相当于做1次随机试验，试验的基本事件(所有可能结果)共10 000种．由于假设是随机地试密码，相当于试验的每个结果是等可能的，所以
P(“能取到钱”)＝
＝＝0.000 1.
变式迁移2 解 甲、乙两人从10道 ( http: / / www.21cnjy.com )题中不放回地各抽一道题，先抽的有10种抽法，后抽的有9种抽法，故所有可能的抽法有10×9＝90(种)，即基本事件总数是90.
(1)记“甲抽到选择题，乙 ( http: / / www.21cnjy.com )抽到判断题”为事件A，下面求事件A包含的基本事件数：甲抽选择题有6种抽法，乙抽判断题有4种抽法，所以事件A所包含的基本事件数为6×4＝24.∴P(A)＝＝＝.
(2)先考虑问题的对立面：“ ( http: / / www.21cnjy.com )甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”的对立事件是“甲、乙两人都抽到判断题”为事件B，“至少有一人抽到选择题”为事件C，则事件B包含的基本事件数为4×3＝12.
∴由古典概型概率公式得P(B)＝＝.
由对立事件的概率公式可得
P(C)＝1－P(B)＝1－＝.
例3 解 把该草原按面积划分区域，比如一平方公里为一个单位区域；利用随机数从中选取一定数量的地点，如10个；在每一个选取地点同时捕捉，得到一定数量的鼠，如得到x只，标号放回，过一段时间再捕捉，如得到y只鼠，查看其中带有标号的有z只鼠．若此草原有n只鼠，则可估计：≈，所以估计此草原有鼠只．
变式迁移3 解 假定把“摸球 ( http: / / www.21cnjy.com )一次，摸得同一颜色的3个球”记为事件A，“摸球一次，摸得非同一颜色的3个球”记为事件B，那么事件B与事件A为对立事件，又基本事件有：(黄1，黄2，白1)，(黄1，黄2，白2)，(黄1，黄2，白3)，(黄1，黄2，黄3)，(黄2，白1，白2)，(黄2，白1，白3)，(黄2，白2，白3)，(黄2，黄3，白1)，(黄2，黄3，白2)，(黄2，黄3，白3)，(黄3，白1，白2)，(黄3，白1，白3)，(黄3，白2，白3)，(白1，白2，白3)，(黄1，黄3，白1)，(黄1，黄3，白2)，(黄1，黄3，白3)，(黄1，白1，白2)，(黄1，白2，白3)，(黄1，白1，白3)共20个．其中事件A包括(黄1，黄2，黄3)，(白1，白2，白3)两个基本事件，所以事件A发生的概率为P(A)＝＝.
又P(A)＋P(B)＝1，
∴事件B发生的概率为
P(B)＝1－P(A)＝1－＝.
如果1天中有100人次摸球，
摊主一个月能赚得钱数为
×100×30＝1 200(元)．
课时作业
1．D
2．D
3．B
4．C [所含的基本事件总数为4，分别为(男男)(男女)(女男)(女女)，
∴两胎均是女孩的概率为.]
5.
6.
解析 写出做这三件事所需费用的顺序共有6种，而正确的只有1种．故正好答对的概率是.
7.
8．解 用x表示女孩，y表示男孩，树状图如下：
(1)有3个男孩的结果为1，则P(3男)＝；
(2)有2个男孩和1个女孩的结果为3，P(2男1女)＝；
(3)至少有一个男孩的结果为7，P(至少1男)＝.
9．解 甲随机地伸出一根指头后，其胜负决定于乙伸出哪一个手指，乙随机地伸出一根指头有5个基本事件，而甲胜有一基本事件，所以甲胜的概率是.3.2 古典概型
【入门向导】
“下一个赢家就是你！”这句响亮的具有极 ( http: / / www.21cnjy.com )大诱惑性的话是大英帝国彩票的广告词，买一张大英帝国彩票的诱惑有多大呢？只要花上1英镑，就有可能获得2 200万英镑！(1英镑约相当于13.7元人民币)
但一张彩票的中奖机会有多少呢？让我 ( http: / / www.21cnjy.com )们以大英帝国彩票为例来计算一下．大英帝国彩票的规则是49选6，即在1至49的49个号码中选6个号码．在每一轮，有一个专门的摇奖机随机摇出6个标有数字的小球，如果6个小球的数字都被一个人选中了，那他就获得了头等奖．可是，当我们计算一下在49个数字中随意组合其中6个数字的方法有多少种时，我们会吓一大跳：从49个数中选6个数的组合有13 983 816种方法！
这就是说，假如只买一张彩票，六个号码全对 ( http: / / www.21cnjy.com )的机会大约是一千四百万分之一，这个数大约相当于澳大利亚的任何一个普通人当上总理的机会．如果一个人每星期买50张彩票，那他赢得一次大奖的时间约为5 000年；即使每星期买1 000张彩票，也大致需要270年才中头奖！这几乎是单个人力不可为的．
1．定义
一次试验连同其中可能出现的 ( http: / / www.21cnjy.com )每一个结果称为一个基本事件，它们是试验中不能再分的最简单的随机事件，一次试验中只能出现一个基本事件，其他事件可以用它们表示．
2．基本事件的特点
①任何两个基本事件是互斥的．在 ( http: / / www.21cnjy.com )一次试验中，只可能出现一种结果，即只产生一个基本事件，如掷骰子试验中，一次试验只能出现一个点数，任何两个点数不可能在一次试验中同时发生．②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．相对于基本事件而言，由两个以上的基本事件组成的随机事件称为复杂事件．
在解决有关古典概型问题中 ( http: / / www.21cnjy.com )，要认识到基本事件不能再分，不同的基本事件不可能同时发生．判断基本事件时，一定要对照思考其特征，并将所有可能的基本事件一一列举出来．
例1 连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币正面向上还是反面向上．
(1)写出这个试验的基本事件；
(2)求这个试验的基本事件的总数；
(3)“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个基本事件？
解 (1)这个试验的基本事件是：(正，正，正 ( http: / / www.21cnjy.com ))，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)．
(2)基本事件的总数是8.
(3)“恰有两枚正面向上”包含以下3个基本事件：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．
1．古典概型的定义
如果试验中出现如下特征：(1)试 ( http: / / www.21cnjy.com )验中所有可能出现的基本事件只有有限个(有限性)；(2)每个基本事件出现的可能性相等(等可能性)．具有以上两个特征的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
2．古典概型必须具备两个条件：
(1)有限性(即指试验中所有可能发生的基本事件只有有限个)；
(2)等可能性(即指每个基本事件发生的可能性相等)．
判断一个事件是否为古典概型，同学们只要紧紧抓住这两个条件，即可得出正确结论．
例2 下列概率模型：
(1)从区间[1,10]内任意取出一个实数，求取到实数2的概率；
(2)向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率；
(3)从1,2,3，…，100这100个整数中任意取出一个整数，求取到偶数的概率．
其中是古典概型的是________．
解析 (1)不是古典概型，因为在区间[ ( http: / / www.21cnjy.com )1,10]中有无穷多个实数，取出一个实数有无穷多种结果，即有无穷多个基本事件，不满足古典概型定义中“基本事件只有有限个”的条件．(2)不是古典概型，因为硬币不均匀导致“正面向上”与“反面向上”的概率不相等，不满足古典概型定义中“每个基本事件出现的可能性相等”的条件．(3)是古典概型，因为在试验中所有可能出现的结果的个数有限(100个)，而且每个整数被抽到的可能性相等．故填(3)．
答案 (3)
例 任意投掷两枚骰子，计算：
(1)“出现的点数相同”的概率；
(2)“出现的点数之和为奇数”的概率；
(3)“出现的点数之和为偶数”的概率．
错解 (1)点数相同是指同为1点，2点，…，6点，其中之一的概率是.
(2)点数之和为奇数，可取3、5、7、9、11共5种，所以“出现的点数之和为奇数”的概率为＝.
(3)点数之和为偶数，可取2、4、6、8、10、12共6种，所以“点数之和为偶数”的概率为.
( http: / / www.21cnjy.com )
正解 (1)任意投掷两枚骰子，可 ( http: / / www.21cnjy.com )看成等可能事件，其结果可表示为数组(i，j)(i，j＝1,2，…，6)，其中两个数i，j分别表示两枚骰子出现的点数，共有6×6＝36种结果，其中点数相同的数组为(i，j)(i＝j＝1,2，…，6)共有6种结果，故“出现的点数相同”的概率为＝.
(2)由于每个骰子上有奇、偶数各3 ( http: / / www.21cnjy.com )个，而按第1、第2个骰子的点数顺次写时，有(奇，奇)、(奇，偶)、(偶，奇)、(偶，偶)这四种等可能结果，所以“其和为奇数”的概率为P＝＝.
(3)由于骰子各有3个偶数，3个奇数， ( http: / / www.21cnjy.com )因此“点数之和为偶数”、“点数之和为奇数”这两个结果等可能，且为对立事件，所以“点数之和为偶数”的概率为P＝1－P(“点数之和为奇数”)＝1－＝.
解决古典概型问题的关键是分清基本事件 ( http: / / www.21cnjy.com )总数n与事件A中包含的结果数m，而这往往会遇到计算各类基本事件个数的困难．因此，学习中有必要掌握一定的求解技巧．
1．直接列举
把事件所有发生的结果逐一列举出来，然后再进行求解．
例1 袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率：
(1)事件A：取出的两球都是白球；
(2)事件B：取出的两球一个是白球，另一个是红球．
分析 首先直接列举出任取两球的基本事件的总数，然后分别列举求出两个事件分别含有的基本事件数，再利用概率公式求解．
解 设4个白球的编号为1,2, ( http: / / www.21cnjy.com )3,4,2个红球的编号为5,6.从袋中的6个小球中任取2个的方法为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2，6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种．
(1)从袋中的6个球中任取两 ( http: / / www.21cnjy.com )个，所取的两球全是白球的方法总数，即是从4个白球中任取两个的方法总数，共有6个，即为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．
∴取出的两个球全是白球的概率为P(A)＝＝.
(2)从袋中的6个球中任取两个，其中一个是 ( http: / / www.21cnjy.com )红球，而另一个是白球，其取法包括(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8种．
∴取出的两个球一个是白球，另一个是红球的概率为
P(B)＝.
2．逆向思维
对于较复杂的古典概型问题，若直接求解有困难时，可利用逆向思维，先求其对立事件的概率，进而再求所求事件的概率．
例2 同时抛掷两枚骰子，求至少有一个5点或6点的概率．
分析 直接求解，运算较繁，而利用对立事件求概率则很简捷．
解 至少有一个5点或6点的对立事件是：没有 ( http: / / www.21cnjy.com )5点或6点．因为没有5点或6点的结果共有16个，而抛掷两枚骰子的结果共有36个，所以没有5点或6点的概率为P＝＝.
故至少有一个5点或6点的概率为1－＝.
3．活用对称性
例3 有A、B、C、D、E共5人站成一排，A在B的右边(A、B可以不相邻)的概率是多少？
解 由于A、B可以不相邻，A在B的右边和 ( http: / / www.21cnjy.com )B在A的右边的总数是相等的，且A在B的右边的排法数与B在A的右边的排法数组成所有基本事件总数，所以A在B的右边的概率是.
1．(2011·徐州模拟)一个骰子连续投2次，点数和为4的概率为________．
解析 骰子连投两次，
基本事件共6×6＝36(个)，
点数和为4的有(1,3)、(2,2)、(3,1)，共3个，
故P＝＝.
答案
2．(2011·汉中调研)已 ( http: / / www.21cnjy.com )知某运动员每次投篮命中的概率低于40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458
569 683 431 257 393 027 556 488
730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( )
A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.15
解析 由题意知在20组随 ( http: / / www.21cnjy.com )机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：191、271、932、812、393共5组随机数，故所求概率为＝＝0.25.
答案 B
3．(2011·济宁模拟)袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个，现依次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球．
(1)试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；
(2)若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率．
解 (1)一共有8种不同 ( http: / / www.21cnjy.com )的结果，列举如下：(红，红，红)、(红，红，黑)、(红，黑，红)、(红，黑，黑)、(黑，红，红)、(黑，红，黑)、(黑，黑，红)、(黑，黑，黑)．
(2)记“3次摸球所得总分为5”为事件A.
事件A包含的基本事件为：(红，红，黑)、(红，黑，红)、(黑，红，红)，事件A包含的基本事件数为3.
由(1)可知，基本事件总数为8，所以事件A的概率为P(A)＝.
4．(2009·天津)为了了解某市工厂开展 ( http: / / www.21cnjy.com )群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A，B，C三个区中抽取7个工厂进行调查．已知A，B，C区中分别有18,27,18个工厂．
(1)求从A，B，C区中应分别抽取的工厂个数；
(2)若从抽得的7个工厂中随机地抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率．
解 (1)工厂总数为18＋27＋18＝63，样本容量与总体中的个体数比为＝，所以从A，B，C三个区中应分别抽取的工厂个数为2,3,2.
(2)设A1，A2为在A区中抽得的2个工厂 ( http: / / www.21cnjy.com )，B1，B2，B3为在B区中抽得的3个工厂，C1，C2为在C区中抽得的2个工厂，在这7个工厂中随机抽取2个，全部可能的结果有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(A2，C2)，(B1，B2)，(B1，B3)(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，C1)，(B3，C2)，(C1，C2)，共有21种．
随机地抽取的2个工厂至少有1个来 ( http: / / www.21cnjy.com )自A区的结果(记为事件X)有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(A2，C2)共有11种，所以这2个工厂中至少有1个来自A区的概率为P(X)＝.
5．(2011·天津)编号分别为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：
运动员编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8
得分 15 35 21 28 25 36 18 34
运动员编号 A9 A10 A11 A12 A13 A14 A15 A16
得分 17 26 25 33 22 12 31 38
(1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格.
区间 [10,20) [20,30) [30,40]
人数
(2)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，
①用运动员编号列出所有可能的抽取结果；
②求这2人得分之和大于50的概率．
解 (1)4,6,6.
(2)①得分在区间[20,30)内的运动员 ( http: / / www.21cnjy.com )编号为A3，A4，A5，A10，A11，A13，从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A10}，{A3，A11}，{A3，A13}，{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A4，A13}，{A5，A10}，{A5，A11}，{A5，A13}，{A10，A11}，{A10，A13}，{A11，A13}，共15种．
②“从得分在区间[20,30)内的运动员 ( http: / / www.21cnjy.com )中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”(记为事件B)的所有可能结果有：{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A5，A10}，{A10，A11}，共5种．
所以P(B)＝＝.
一、信息迁移创新
信息迁移题是近年高考命题改革的一个新的 ( http: / / www.21cnjy.com )亮点．此类试题通过给出一个新概念，或定义一种新运算，或给出几个新模型等来创设新的问题情境，要求同学们在阅读理解的基础上，应用所学的知识和方法，实现信息的迁移，以达到灵活解题的目的．
6．“渐升数”是指每个数字比其左边的数字大的自然数(如2 578)，在两位的“渐升数”中任取一个数比37大的概率是________．
解析 十位是1的“渐升数”有8个；十位是2 ( http: / / www.21cnjy.com )的“渐升数”有7个；…；十位是8的“渐升数”有1个，所以两位的“渐升数”共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36个；以3为十位比37大的“渐升数”有2个，分别以4、5、6、7、8为十位数的“渐升数”均比37大，且共有5＋4＋3＋2＋1＝15个，所以比37大的两位“渐升数”共有2＋15＝17个．故在两位的“渐升数”中任取一个比37大的概率是.
答案
二、图表解读创新
给出图表，要求同学们对图表进行观察、分析，并提炼、挖掘出图表所给予的有用信息，排除有关数据的干扰，进而抓住问题的实质，达到求解的目的．
7．下表为某班英语及数学的成绩 ( http: / / www.21cnjy.com )分布，全班共有学生50人，成绩分为1～5五个档次．例如表中所示英语成绩为4分、数学成绩为2分的学生共5人(设x、y分别表示英语成绩和数学成绩).
数学
5 4 3 2 1
英语 5 1 3 1 0 1
4 1 0 7 5 1
3 2 1 0 9 3
2 1 b 6 0 a
1 0 0 1 1 3
(1)x＝4的概率是多少？x＝4且y＝3的概率是多少？
x≥3的概率是多少？
(2)x＝2的概率是多少？a＋b的值是多少？
解 (1)P(x＝4)＝＝；
P(x＝4，y＝3)＝；
P(x≥3)＝P(x＝3)＋P(x＝4)＋P(x＝5)＝.
(2)P(x＝2)＝1－P(x＝1)－P(x≥3)
＝1－－＝；
又P(x＝2)＝＝，则a＋b＝3.
三、知识交汇创新
这类问题从学科知识的内在联系出发，在知识交汇点上做文章，一个题目往往包含多个知识点．
8．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子 ( http: / / www.21cnjy.com )(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为X、Y，则log2XY＝1的概率为( )
A. B. C. D.
解析 先后抛掷两枚骰子的点数方法共有6×6＝36种．
满足条件log2XY＝1，即Y＝2X的有
3种．
∴概率为＝.
答案 C
9．设l为平面上过点(0,1)的直线，l的斜 ( http: / / www.21cnjy.com )率等可能的取－2，－，－，0，，，2，则原点到l的距离小于1的概率是________．
解析 本题是古典概型与解析几何知识的交汇，运用点到直线的距离公式分别求距离得解．
原点到过点(0,1)且斜率分别为－2，－，－，0，，，2的直线的距离分别为，，，1，，，.
故原点到l的距离小于1的概率为.
答案 3.3 随机数的含义与应用
【入门向导】
数学与我们的生活密切相关，我们最 ( http: / / www.21cnjy.com )好能将学到的数学知识用到生活中，更加可贵的是，同学们能主动发现生活中的问题，然后再考虑用什么数学知识来解决，遇到没学过的知识还能积极探索！
现举一例：我们每天都与公交 ( http: / / www.21cnjy.com )车打交道！每个人都可能会有这种想法，刚到车站，公交车就来了，不用等待，这是多么好的事件．那么，不用等待的概率是多少呢？这是一个概率问题，但是用古典概型无法解决．本节，我们共同研究几何概型就可以解决这个问题．
几何概型有两个主要特点，即基本事件的无限性和发生的等可能性，由它们可判断一个概型是不是几何概型．几何概型的概率计算公式为P(A)＝
求几何概型概率的关键有二：(1)明确类 ( http: / / www.21cnjy.com )型，即要明确是长度型、面积型，还是体积型，判断的方法是看基本事件发生在一个几维空间内；(2)准确求出相应的几何度量．
例1
如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，以A为圆心，1为半径作圆弧DE交AB于点E.
(1)向矩形内随机投掷一点，求该点落在扇形DAE内的概率；
(2)在圆弧DE上任取一点P，求直线AP与线段BC有公共点的概率．
解 (1)∵S扇形＝π×12＝，S矩形＝1×＝，
∴该点落在扇形DAE内(设为事件A)的概率
P(A)＝＝.
(2)如题干图，若使直线AP与线段BC有公共点，须使点P在直线AC的下方，∵tan∠BAC＝＝，
∴∠BAC＝30°，
所以直线AP与线段BC有公共点(设为事件B)的概率P(B)＝＝＝.
几何概型问题中，所有可能出现的基本事件有无限个．
几何概型中的“几何”并非仅仅是数学上的长 ( http: / / www.21cnjy.com )度、面积或体积，许多相关或类似问题其性质与长度、面积或体积相似，也可归结为几何概型问题．如时间问题，其性质与直线问题相似，所以与时间相关的概率问题也可以看作几何概型问题．
计算几何概型问题的重点是怎样 ( http: / / www.21cnjy.com )把具体问题(如时间问题)转化为相应类型的几何概型问题；难点是基本事件总体与事件A包含的基本事件对应的区域的长度、面积、体积的运算．
例2 从甲地到乙地有一班车在9∶30到10∶ ( http: / / www.21cnjy.com )00到达，若某人从甲地坐该班车到乙地转乘9∶45到10∶15出发的汽车到丙地去，问他能赶上车的概率是多少？
解
到达乙地的时间是9∶30到10∶ ( http: / / www.21cnjy.com )00之间的任一时刻，某人从乙地转乘的时间是9∶45到10∶15之间的任一时刻，如果在平面直角坐标系中用x轴表示班车到达乙地的时间，y轴表示从乙地出发的时间，因为到达乙地时间和从乙地出发的时间是随机的，则试验的全部结果可看作是边长为0.5的正方形．设“他能赶上车”为事件A，则事件A的条件是x≤y，构成事件A的区域为图中的阴影部分．
由几何概型公式，得P(A)＝＝0.875，
即他能赶上车的概率为0.875.
利用随机模拟试验，可以估计几何概型的概率，也可以估算不规则图形的面积．
例3 甲、乙两辆班车都要停在同一停车 ( http: / / www.21cnjy.com )位，它们可能在一天中的任意时刻到达．如果这两辆班车的停车时间都是一个小时，求有一辆班车停车时必须等待一段时间的概率．
分析 甲、乙两辆班车停在 ( http: / / www.21cnjy.com )同一停车位的时刻都是一天24小时中的任何时刻，可以分别用两组[0,24]区间上的均匀随机数x，y表示，两辆车在同一个小时内到达停车场的条件为|x－y|≤1，可以用随机模拟方法求概率．
解 记事件A＝{有一辆班车停车时必须等待一段时间}．
S1 用计数器N记录所做试验的次数，用计数器N1统计满足|x－y|≤1的点的个数首先置N＝0，N1＝0.
S2 用变换rand( )*24产生两个0～24之间的随机数x和y，用它们来表示班车的横坐标和纵坐标．
S3 统计N和N1的值．
S4 计算频率，即有一辆班车停车时必须等待一段时间的概率．
例4 利用随机模拟方法计算图中阴影部分(曲线y＝2x与x轴、x＝±1所围成的部分)的面积．
分析 在坐标系中画出正方形，可以用随机模拟的方法求出阴影部分的面积与正方形的面积之比，从而求得阴影部分的面积．
解 S1 用计数器N记录所做试验的次数，用计数器N1统计满足b<2a的点的个数，首先置N＝0，N1＝0.
S2 用变换rand( )*2－1产生两个－1～1之间的随机数a和b，用它们表示点的横坐标和纵坐标．
S3 统计试验总次数N和落在阴影内的点数N1(满足条件b<2a的点(a，b)的个数)；
S4 计算频率，即落在阴影部分的概率的近似值；
S5 设阴影面积为S，则用几何概型公式求得点落在阴影部分的概率为P＝.
所以≈，所以S≈即为阴影部分面积的近似值．
注 解决本题的关键是利用随机模拟法和几何概率公式求得几何概率，然后通过解方程求阴影部分面积的近似值．
选错几何度量
例 在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM错解 设“AM( http: / / www.21cnjy.com )
正解 设“AM所以射线CM在任何位置都是等可能的，在AB上取AC′＝AC，
则∠ACC′＝67.5°，
故满足条件的概率为P(A)＝＝0.75.
1．数形结合思想
例1 小王在公共汽车站等车上班，可乘坐6路车和4路车，6路车10分钟一班，4路车15分钟一班，求小王等车不超过8分钟的概率．
解 如图，设x轴表示4路车的到站时间，y轴表示6路车的到站时间．
记“8分钟内乘坐6路或4路车”为事件A，
则构成事件A的区域为图中阴影部分，面积为8×10＋7×8＝136，
整个区域的面积为10×15＝150，
那么P(A)＝＝.
故小王等车不超过8分钟的概率为.
点评 本题中两路公共汽车到站时间 ( http: / / www.21cnjy.com )恰好是两个变量，抓住两车到站时间的间隔，即可化为“约会型”概率问题．几何概型是最典型的应用数形结合思想解决问题的数学模型．求解符合几何概型事件的概率时，关键是正确构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的测度之比求随机事件的概率．
2．转化思想
例2 在[－1,1]上任取两个实数a、b，求二次方程x2＋2ax＋b2＝0有两个非负实数根的概率．
分析 方程x2＋2ax＋b2＝0有实根时 ( http: / / www.21cnjy.com )，应有4a2－4b2≥0即|a|≥|b|，且事件A应使方程x2＋2ax＋b2＝0有两个非负实根，所以－1≤a≤0.所以a、b满足还需满足－1≤b≤1，因此事件A要同时受到a、b的制约，所以构成事件A的区域应为二维空间，所求概率应为在平面直角坐标系中，满足的区域面积和a＝±1，b＝±1四条直线围成的区域面积的比值．
解 在平面直角坐标系中，点(a，b)所在的区域为如右图所示的正方形及其内部．
若使方程x2＋2ax＋b2＝0有两个非 ( http: / / www.21cnjy.com )负实根，则必须满足设x2＋2ax＋b2＝0有两个非负实根为事件A，则A＝所在的区域为图中阴影部分(包括边界)，阴影部分的面积为1，所以事件A发生的概率为P(A)＝＝＝.
点评 在了解几何概型的基础上 ( http: / / www.21cnjy.com )，解决实际几何概型问题与古典概型一样，都属于比例型解法，本题图中的a、b也可以交换位置，得出的结果将会是相同的；几何概型有长度型、面积型、体积型等类型．
1．(2009·辽宁)四边形AB ( http: / / www.21cnjy.com )CD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为( )
A. B．1－
C. D．1－
解析
如图，要使图中点到O的距离大于1，则该点需取在图中阴影部分，故概率为P＝＝1－.
答案 B
2．(2011·福州模拟)为了测算如图阴影部分的面积，
作一个边长为6的正方形将其色包含在内，并向 ( http: / / www.21cnjy.com )正方形内随机投掷800个点．已知恰有200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是________．
解析 由题意得正方形面积为S正＝36.
点落在阴影部分的概率为
P＝＝
∴阴影部分的面积为
S阴＝36×＝9.
答案 9
3．(2011·湖南)如图，EF ( http: / / www.21cnjy.com )GH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，则P(A)＝________.
解析 由题意可得，
事件A发生的概率
P(A)＝＝＝.
答案 3.3.2 随机数的含义与应用
自主学习
学习目标
1．理解随机数的意义和产生方法．
2．利用随机数来模拟试验，估计一些事件的概率．
自学导引
1．随机数
随机数就是在________________________，并且得到这个范围内的________________________．
2．计算机随机模拟法或蒙特卡罗方法
建立一个概率模型，它与某些我们____________有关，然后设计适当的试验，并通过这个试验的结果来____________．按照以上思路建立起来的方法称为计算机随机模拟法或蒙特卡罗方法．
对点讲练
知识点一 用随机数进行排序
例1 用随机数给50名学生编排考场．
点评 利用随机数排序，能很好地利用随机性体现公平性，此程序代表此类问题的一般过程．
变式迁移1 期中考试时，如何把某校高一全年级20个班1 200名学生分配到40个考场中去？
知识点二 用随机模拟法估算古典概型的概率
例2 某种心脏手术，成功率为0.6，现准备进行3例此种手术，试求：
(1)恰好成功1例的概率；
(2)恰好成功2例的概率．
变式迁移2 某人有5把钥匙 ( http: / / www.21cnjy.com )，其中2把能打开门．现随机地抽1把钥匙试着开门，不能开门就扔掉，问“第三次才打开门”的概率是多少？如果试过的钥匙不扔掉，这个概率又是多少？设计一个试验，随机模拟估计上述概率．
知识点三 用随机模拟法估算几何概型的概率
例3 取一根长度为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么“剪得两端的长都不小于1 m”的概率有多大？
点评 用随机数模拟的关键是把实际问题中事件A及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围．
有时可用转盘产生随机数，这种方法可 ( http: / / www.21cnjy.com )以亲自动手操作，但费时费力，试验次数不可能太大；有时用计算机产生随机数，可产生大量的随机数，又可以自动统计试验的结果，同时可以在短时间内多次重复试验，对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识．
变式迁移3 甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．
1．随机数及其产生方法．
2．利用随机数估算概率．
3．随机模拟试验是研究随机事件 ( http: / / www.21cnjy.com )概率的重要方法，用计算器或计算机模拟试验，首先要把实际问题转化为可以用随机数来模拟试验结果的量，然后按概率的公式求解问题.
课时作业
一、选择题
1．随机模拟方法产生的区间[0,1]上实数( )
A．非等可能的 B．0出现的机会少
C．1出现的机会少 D．是均匀分布的
2．几何概型的随机模拟试验中，得到阴影内的样本点数为N1，试验次数为N.下列说法正确的是( )
A．N1与N的大小无关
B.是试验中的频率
C.是试验中的概率
D．N越大，应越小
3.
在利用随机模拟法计算如图阴影部分( ( http: / / www.21cnjy.com )曲线y＝()x与x轴，x＝±1围成的部分)的面积时，需要经过伸缩变换得到哪两个区间上的均匀随机数( )
A．[－1,1]，[0,1] B．[－1,1]，[0,2]
C．[0,1]，[0,2] D．[0,1]，[0,1]
4．已知函数f(x)＝log2x，x∈[，2]，在区间[，2]上任取一点x0，则使f(x0)≥0的概率为( )
A．1 B. C. D.
5.
向图中所示正方形内随机地投掷飞标，飞标落在阴影部分的概率为( )
A. B.
C. D．1
二、填空题
6．若以连续投掷两枚骰子分别得到的点数m、n作为点P的坐标(m，n)，则点P落在圆x2＋y2＝16内的概率为____________．
7．从区间[0,1]内任取两个数x，y，且区间内任一数被取到的可能相同，则x8．一只蚂蚁在一边长为6的正方形区域内随机地爬行，则其恰在离四个顶点距离都大于3的地方的概率是________．
三、解答题
9．一口袋内装有大小相等的5个白球和3个黑球，从中任意取出一个球，用随机模拟法估计取出的球是白球的概率．
10.
利用随机模拟方法计算图中阴影部分(y＝x3和x＝2以及x轴所围成的部分)的面积．
3．3.2 随机数的含义与应用
自学导引
1．一定范围内随机产生的数 每一个数的机会一样
2．感兴趣的量 确定这些量
对点讲练
例1 解 S1 n＝1；
S2 用计算机或计算器产生一个[1,50]内的整数随机数x，表示学生的号码；
S3 执行S2，再产生一个号码，若此号码与以前的号码重复，则再执行S2，否则n＝n＋1；
S4 如果n≤50，则重复执行S3，否则执行S5；
S5 按号码的大小排列，程序结束．
按照号码排序产生两位数的考号，把50人分配到考场中相应的位置．
变式迁移1 解 要把1 200名学生分到40 ( http: / / www.21cnjy.com )个考场中去，每个考场30名学生，首先要把全体学生按一定顺序排成一列，然后1号到30号去第1考场，31号到60号去第2考场……人数太多．如果用随机数表法给每名学生找一个考试号，太费时费力，我们可以用随机函数给每名学生一个随机数，再按号数用计算机排序即可．
S1 按班级、学号顺序把学生档案输入计算机；
S2 用随机函数按顺序给每名学生一个随机数(每个人的都不同)；
S3 使用计算机排序功能将 ( http: / / www.21cnjy.com )随机数按从小到大排列，即可得到1到1 200的考试序号．(注：1号应为0001,2号应为0002，…，号码前用0补足位数)
例2 解 利用计算器或计算机产生0到9之间取整数值的随机数，我们用0,1,2,3代表手术不成功，用4,5,6,7,8,9代表手术成功，这样可以体现成功的概率为0.6.因为做3例手术，所以每3个随机数作为一组．例如产生907,966,191,925，…，730,113,537,989共100组随机数．
(1)随机数出现0,1,2,3中2个数的数组个数为N1，则恰好成功1例的概率为.
(2)随机数出现0,1,2,3中1个数的数组个数为N2，则恰好成功2例的概率为.
变式迁移2 解 用计算器或计算机产生1到5之间的取整随机数，1,2表示能打开门，3,4,5表示打不开门．
(1)三个一组(每组数字不重复)，统计 ( http: / / www.21cnjy.com )总组数N及前两个大于2，第三个是1或2的组数N1，则即为“不能打开门即扔掉，第三次才打开门”的概率的近似值．
(2)三个一组，统计总组数M及前两个大于2，第三个为1或2的组数M1，则即为“试过的钥匙不扔掉，第三次才打开门”的概率的近似值．
例3 解 方法一 (1)利用计算器或计算机产生一组0到1区间的均匀随机数a1.
(2)经过伸缩变换，a＝a1]N1,N)，即为概率P(A)的近似值．
方法二 做一个带有指针的圆 ( http: / / www.21cnjy.com )盘，把圆周三等分，标上刻度[0,3](这里3和0重合)．转动圆盘记下指针在[1,2](表示剪断绳子的位置在[1,2]范围内)的次数N1及试验总次数N，则即为概率P(A)的近似值．
变式迁移3 解 记事件A＝{两人能会面}，
S1 用计算机或计算器产生6～7之间的均匀随机数x，y；
S2 统计出试验总次数N和满足条件：－≤x－y≤的点(x，y)的个数n；
S3 计算即为事件A的概率近似值．
课时作业
1．D
2．B
3．B
4．C
5．C
6.
解析 基本事件总数为36，点P在圆内的情况为8种，
∴P＝.
7.
解析
(x，y)看作一个点，则(x，y)所在区域为边长为1的正方形，满足x∴P＝＝.
8.
解析 如果离四个顶点距离都大于3，那么蚂蚁所处的位置应该在四个四分之一圆之外，圆的圆心为4个顶点，半径都是3，因此所求的概率为.
9．解 设事件A“取得白球”
S1 用计算器的随机函数或计算机的随机函数产生
1到8之间的整数随机数，分别用1,2,3,4,5表示白球，用6,7,8表示取得黑球；
S2 统计试验总次数N及其中出现1～5之间的数的次数N1；
S3 计算频率即为事件A的概率近似值．
10．解 在坐标系中画出矩形(x＝0，x＝2，y＝0，y＝8所围成的部分)，利用面积比与概率、频率的关系进行计算．
S1 利用计算器或计算机分别产生0至1区间的均匀随机数a1，和0至8区间的均匀随机数b1；
S2 数出落在阴影内(满足b例如做1 000次试验，即N＝1 000，模拟得到N1＝250.
由≈，
得S阴影≈×S矩＝×16＝4.3.1.3 频率与概率
自主学习
学习目标
理解概率的统计定义，掌握频数、频率和概率的含义，结合实例，分析随机事件的频数、频率和概率．
自学导引
1．概率的统计定义
一般地，在n次重复进行的试验中，事件A ( http: / / www.21cnjy.com )发生的频率，当n很大时，总是在某个________附近摆动，随着n的增加，摆动幅度____________，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作____________．
2．概率的性质
(1)____≤P(A)≤____.
(2)必然事件A的概率P(A)＝____.
(3)不可能事件A的概率P(A)＝____.
3．概率是可以通过________来“ ( http: / / www.21cnjy.com )测量”的，或者说频率是概率的一个________，概率从________上反映了一个事件发生可能性的大小．
对点讲练
知识点一 概率的概念
例1 某种病的治愈率是0.3，那么，前7个人没有治愈，后3个人一定能治愈吗？该如何理解治愈率是0.3呢？
点评 只有正确理解概率的含义，才能澄清日常生活中出现的一些错误认识．
变式迁移1 如果掷一枚质地均匀的硬币，连续5次正面向上，有人认为下次出现反面向上的概率大于，这种理解正确吗？
知识点二 频率与概率
例2 某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：
射击次数n 10 20 50 100 200 500
击中靶心次数m 8 19 44 92 178 455
击中靶心的频率
(1)填写表中击中靶心的频率；
(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？
点评 概率实际上是频率的科学抽象，求某事件的概率可以通过求该事件的频率而得．
变式迁移2 一个地区从某年起几年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下表所示：
时间范围 1年内 2年内 3年内 4年内
新生婴儿数n 5 544 9 607 13 520 17 190
男婴数m 2 883 4 970 6 994 8 892
(1)计算男婴出生的频率(保留4位小数)；
(2)这一地区男婴出生的概率约是多少？
知识点三 概率的应用
例3 为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，例如200只，给每只天鹅作上记号(不影响其存活)，然后将其放回保护区，经过一段时间，让其和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天鹅，例如150只，查看其中有记号的天鹅，设有20只．试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量．
点评 由于概率体现了随机事件发生的可能性，所以，可用样本出现的频率来近似地估计总体中该结果出现的概率．
变式迁移3 种子公司在春耕前为了支持农业建设，采购了一批稻谷种子，进行了种子发芽试验．在统计的2 000粒种子中有1 962粒发芽．
(1)计算“种子发芽”这个事件发生的频率；
(2)若用户需要该批稻谷种芽100 000粒，需采购该批稻谷种子多少公斤(每公斤约1 000粒)
(1)概率意义下的“可能性”是大量随机现 ( http: / / www.21cnjy.com )象的客观规律，与我们平时所说的“可能”“估计”是不同的，也就是说，单独一次结果的不肯定性与积累结果的规律性，才是概率意义下的“可能性”，而日常生活中的“可能”“估计”侧重于某次的偶然性．
(2)概率与频率关系：对于一个事件而言，概率是一个常数，而频率则随着试验次数的变化而变化，试验次数越多，频率就越接近于事件的概率.
课时作业
一、选择题
1．据测算，在“福彩”30选7型活动中，中500万大奖的概率为二百万分之一，这说明( )
A．买一张彩票不可能中得500万大奖
B．只要购买二百万元彩票，就一定会中得500万大奖
C．500万大奖根本不存在
D．买一张彩票即中得500万大奖的可能性几乎为零
2．某市对该市观看中央台播放的2011年春节联欢晚会进行统计，该市收视率为65.4%，这表示( )
A．该市观看该节目的频数
B．在1 000户家庭中总有654户收看该节目
C．反映该市观看该节目的频率
D．该市收看该节目共有654户
3．某人进行打靶练习，他打了10发，结果有6发中靶，若用A表示中靶这一事件，则A的( )
A．概率为 B．频率为
C．频率为6 D．概率接近0.6
4．某汽车交易市场共发生了150项交易，将销售记录按付款方式及汽车类型加以区分如下：
一次付款 分期付款
新车 5 95
旧车 25 25
如果从销售记录中随机抽取一项，该项是分期付款的概率大约是( )
A．0.95 B．0.5 C．0.8 D．0.25
5．根据山东省教育研究机构的统计资料，今在校 ( http: / / www.21cnjy.com )中学生近视率约为37.4%，某配镜商要到一中学给学生配镜，若已知该校学生总数为600人，则该眼镜商应带眼镜的数目为( )
A．374副 B．224.4副
C．不少于225副 D．不多于225副
二、填空题
6．一对夫妇前两胎生的都是男孩，则第三胎生一个女孩的概率是________．
7．下列说法：①频率是反映事件发生的 ( http: / / www.21cnjy.com )频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小；②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率就是事件的概率；③百分率是频率，但不是概率；④频率是不能脱离具体的n次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；⑤频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值，其中正确的说法有________．
8．一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破 ( http: / / www.21cnjy.com )碎的概率，公司收集了20 000部汽车，时间是从某年5月1日到下一年的5月1日，共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎，则一部汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似是________．
三、解答题
9．(1)某厂一批产品的次品率为，问任意抽取其中10件产品是否一定会发现一件次品？为什么？
(2)10件产品中次品率为，问这10件必有一件次品的说法是否正确？为什么？
10．下面的表中列出了10次抛掷硬币的试 ( http: / / www.21cnjy.com )验结果，n为抛掷硬币的次数，m为硬币正面向上的次数．计算每次实验中“正面向上”这一事件的频率，并考查它的概率．
实验序号 抛掷的次数n 正面向上的次数m “正面向上”出现的频率
1 500 251
2 500 249
3 500 256
4 500 253
5 500 251
6 500 246
7 500 244
8 500 258
9 500 262
10 500 247
3．1.3 频率与概率
自学导引
1．常数 越来越小 P(A)
2．(1)0 1 (2)1 (3)0
3．频率 近似 数量
对点讲练
例1 解 如果把治疗一个病人作为一次试验，治愈率是30%，指随着试验次数的增加，即治疗的病人数量的增加，大约有30%的人能够治愈，对于一次试验来说，其结果是随机的；因此前7个人没治愈是可能的，对后3个人来说，其结果仍然是随机的，即有可能治愈，也有可能没有治愈．
治愈的概率是0.3，是指如果患病的 ( http: / / www.21cnjy.com )人有1 000人，那么我们根据“治愈的频率应在治愈的概率附近摆动”这一前提，就可以认为这1 000人中，大约有300人能治愈，这个事先估计对于医药卫生部门是很有参考价值的．这也进一步说明了随机事件的概率只是反映了在大量重复试验条件下，随机事件发生的频率是稳定性．
变式迁移1 解 这种理解是不正确的． ( http: / / www.21cnjy.com )掷一枚质地均匀的硬币，作为一次试验，其结果是随机的，但通过大量的试验，其结果呈现出一定的规律，即“正面向上”，“反面向上”的可能性都为，连续5次正面向上这种结果是可能的，但对下一次试验来说，仍然是随机的，其出现正面向上和反面向上的可能性还是，而不会大于.
例2 解 (1)表中依次填入的数据为0.80,0.95,0.88，0.92，0.89，0.91.
(2)由于频率稳定在常数0.89附近，所以这个射手射击一次，击中靶心的概率约是0.89.
变式迁移2 解 (1)①第一年内：n1＝5 544，m1＝2 883，
故fn1(A)＝≈0.520 0.
②第二年内：n2＝9 607，m2＝4 970.
故fn2(B)＝≈0.517 3.
③第三年内：n3＝13 520，m3＝6 994，
故fn3(C)＝≈0.517 3.
④第四年内：n4＝17 190，m4＝8 892，
故fn4(D)＝≈0.517 3.
(2)由于这些频率非常接近0.517 3，因此这一地区男婴出生的概率约为0.517 3.
例3 解 设该自然保护区中天鹅的数量为n，则≈，n≈1 500.所以该自然保护区中天鹅的数量约为1 500只．
变式迁移3 解 (1)“种子发芽”这个事件发生的频率为＝0.981.
(2)100 000×÷1 000＝102(公斤)．
课时作业
1．D
2．C [频率是一个实际值，是个统计值，概率为估计值．]
3．B
4．C
5．C [根据概率，该校学生近视的人数应为37.4%×600＝224.4，结合实际情况，眼镜商应带眼镜不少于225.]
6．0.5
7．①④⑤
8．3%
9．解 (1)不一定，此处次品率即指概 ( http: / / www.21cnjy.com )率．从概率的统计定义看，当抽取件数相当多时，其中出现次品的件数与抽取总件数之比在附近摆动，是随机事件结果，而不是确定性数字结果，事实上这10件产品中有11种可能：全为正品，有1件次品，2件次品，…，10件次品，本题若改为“可能有一件次品”便是正确的了．
(2)正确．这是确定性数学问题．
10．解 由fn(A)＝，可分别得出这10次实验中“正面向上”这一事件出现的频率依次为0.502,0.498,0.512，0.506，0.502,0.492,0.488,0.516,0.524，0.494，这些数字在0.5附近摆动，由概率的统计定义可得，“正面向上”的概率为0.5.§3.3 随机数的含义与应用
3.3.1 几何概型
自主学习
学习目标
1．通过实例体会几何概型的含义，会区分古典概型和几何概型．
2．掌握几何概型的概率计算公式，会求一些事件的概率．
自学导引
1．几何概型的概念
事件A理解为区域Ω的某一子区域A，如图，A的概
率只与子区域A的____________(长度、面积或体积)成________，而与A的________和________无关．满足以上条件的试验称为____________．
2．几何概型的概率计算公式
在几何概型中，事件A的概率定义为：___ ( http: / / www.21cnjy.com )_____________，其中，μΩ表示________________，μA表示________________________．
对点讲练
知识点一 与长度或角度有关的几何概型
例1 公共汽车站每隔5 min有一辆汽车通过，乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的，求乘客候车不超过3 min的概率．
点评 几何概型应用广泛，其难点是确定几何度量．本例中，设定乘客到站后开来一辆公共汽车的时刻t后，就容易写出Ω、A，这里设“t”是关键．
变式迁移1 某人从东西走向的河的南岸向东 ( http: / / www.21cnjy.com )北方向游去，游了100 m后没有到岸边，随后，他随意选定了一个方向继续游，求这个人游100 m之内能够到达南岸边的概率．
知识点二 与面积有关的几何概型
例2 在墙上挂着一块边长为16 cm的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2 cm，4 cm，6 cm，某人站在3 m之外向此板投镖．设投镖击中线上或没有投中木板都不算，可重投，问：
(1)投中大圆内的概率是多少？
(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？
(3)投中大圆之外的概率是多少？
点评 在研究射击、射箭、投中、射门等 ( http: / / www.21cnjy.com )实际问题时，常借助于区域的面积来计算概率的值．此时，只需分清各自区域特征，分别计算其面积，然后利用公式P(A)＝来计算事件的概率．
变式迁移2 两个对讲机持有者莉莉和霍伊都为 ( http: / / www.21cnjy.com )卡尔货运公司工作，他们的对讲机接收范围为25公里，在下午3∶00时莉莉正在基地正东距离基地30公里以内的某处向基地行驶．而此时霍伊正在基地正北距基地40公里以内的某地向基地行驶，试计算他们能够通过对讲机交谈的概率有多大？
知识点三 与体积有关的几何概型问题
例3 在1升高产小麦种子中混入了1粒带麦锈病的种子，从中随机取出10毫升，则“取出的种子中含有麦锈病的种子”的概率是多少？
点评 如果试验的结果所成的区域可用体积来度 ( http: / / www.21cnjy.com )量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的总的体积及事件A所分布的体积．其概率的计算
P(A)＝.
变式迁移3 有一杯2升的水，其中含有一个细菌，用一个小杯从这水中取出0.1升水，求小杯水中含有这个细菌的概率．
1．几何概型与古典概型的异同点
(1)相同点
古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的．
(2)不同点
①古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个．
②在古典概型中，概率为0的事件为不可能事件，概率为1的事件是必然事件，而在几何概型中概率为0的事件可能发生，概率为1的事件不一定发生．
2．几何概型计算步骤
(1)判断是否是几何概型，尤其是判断等可能性，比古典概型更难于判断．
(2)计算基本事件的总体与事件A所含的基本事件对应的区域的几何度量(长度、面积或体积)．这是计算的难点．
(3)利用概率公式计算.
课时作业
一、选择题
1．两根相距6 m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2 m的概率为( )
A. B. C. D.
2．一张方桌的图案如图所示，将一颗豆子随机扔到桌面上，假设豆子不落在线上，则豆子落在红色区域和落在黄色或绿色区域的概率分别是( )
A.， B.，
C.， D.，
3．在正方形ABCD内任取一点P，则使∠APB>90°的概率是( )
A. B.
C. D.
4．在半径为1的半圆内，放置一个边长为的正方形ABCD，向半圆内任投一点，落在正方形内的概率为( )
A. B.
C. D.
5．在区间(10,20]内的所有实数中随机取一个实数a，则这个实数a<13的概率是( )
A. B. C. D.
二、填空题
6．如图所示的大正方形面积为13，四个全 ( http: / / www.21cnjy.com )等的直角三角形围成一个阴影小正方形，较短的直角边长为2，向大正方形内投掷飞镖，飞镖落在阴影部分的概率为________．
7．一个游戏盘上有四种颜色：红，黄，蓝，黑，并且它们所占面积的比为6∶2∶1∶4，则指针停在红色或蓝色的区域的概率为________．
8．在区间[－1,2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为________．
三、解答题
9．已知等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，在直角边BC上任取一点M，求∠CAM<30°的概率．
10．设有关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.
(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
(2)若a是从区间[0,3]上任取的一个数，b是从区间[0,2]上任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
§3.3 随机数的含义与应用
3．3.1 几何概型
自学导引
1．几何度量 正比 位置 形状 几何概型
2．P(A)＝ 区域Ω的几何度量 子区域A的几何度量
对点讲练
例1 解 设A＝“候车时间不超过3 min”，x表示乘客来到车站的时刻，那么每一个试验结果可表示为x，假定乘客到达车站后开来一辆公共汽车的时刻为t，据题意，乘客必然在(t－5，t]内来到车站，故Ω＝{x|t－5所以P(A)＝＝＝0.6.
答 乘客候车时间不超过3 min的概率为0.6.
变式迁移1 解
如图所示，某人从B沿北偏东45 ( http: / / www.21cnjy.com )°方向游了100 m到达O点处．由图可知，∠OBA＝45°，OA＝OB＝100 m，在点O处只有向阴影方向游100 m之内才能到达岸边，故所求的概率为P＝＝.
例2 解 S正方形＝16×16＝256(cm2)，
S小圆＝π×22＝4π(cm2)，
S圆环＝π×42－π×22＝12π(cm2)，
S大圆＝π×62＝36π(cm2)，
S大圆外＝16×16－36π＝(256－36π)(cm2)，则
(1)投中大圆的概率P(A1)＝≈0.442.
(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率为
P(A2)＝≈0.147.
(3)投中大圆之外的概率为
P(A3)＝＝1－＝1－P(A1)≈0.558.
变式迁移2 解 设x和y分别代表莉 ( http: / / www.21cnjy.com )莉和霍伊距基地的距离，于是0≤x≤30,0≤y≤40.则他俩所有可能的距离的数据构成有序数对(x，y)，这里x，y都在它们各自的限制范围内，则所有这样的有序数对构成的集合即为试验的全部结果，每一个点都代表莉莉和霍伊的一个特定的位置，他们可以通过对讲机交谈这一事件仅当他们之间的距离不超过25公里时发生，因此构成该事件的点由满足不等式≤25的数对组成，此不等式等价于x2＋y2≤625.
图中，长和宽分别为40和30的矩形区域 ( http: / / www.21cnjy.com )表示试验的所有结果构成的区域，以25为半径的圆的区域表示事件发生的区域，而矩形的面积为30×40＝1 200(平方公里)，而扇形的面积为π×252＝(平方公里)，故所求事件成功的概率为
P＝＝＝.
例3 解 取出10毫升种子，其中“含有麦锈病种子”记为事件A，则P(A)＝＝＝0.01.
所以“含有麦锈病种子”的概率为0.01.
变式迁移3 解 记“小水杯中含有这个细菌”为 ( http: / / www.21cnjy.com )事件A，则事件A的概率只与取出水的体积有关，符合几何概型的条件，又μA＝0.1升，μΩ＝2升，所以由几何概型的概率公式，
得P(A)＝＝＝0.05.
课时作业
1．B
2．A [一颗豆子落在每一点的可能 ( http: / / www.21cnjy.com )性相同，是几何概型问题，设A＝{豆子落在红色区域}，B＝{豆子落在黄色或绿色区域}，设方桌的总面积为9，则μΩ＝9，μA＝3，μB＝6.
∴P(A)＝＝，P(B)＝＝.]
3．A [
如图，由题意知点P落在以AB为直径的半圆内时∠APB>90°，设正方形边长为2，则μΩ＝4，μA＝，
∴P(A)＝＝.]
4．D [
如图，半圆的面积为，正方形的面积为，所求概率为P＝＝.]
5．C
6.
解析 由题意得，区域D所对应的 ( http: / / www.21cnjy.com )面积是大正方形的面积S大＝13，事件A＝{飞镖落在阴影部分}对应的区域面积是阴影部分(小正方形)的面积，S阴＝(－2)2＝1，所以P(A)＝.
7.
8.
解析 由|x|≤1，得－1≤x≤1.由几何概型的概率求法知，所求的概率P＝＝.
9．解
如图所示，在CB上取点M0，使∠CAM0＝30°，设BC＝a，则
CM0＝AC＝BC＝a.
于是有P(∠CAM<30°)
＝＝
＝.
10．解 设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．
当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b.
(1)基本事件共有12个：
(0,0)，(0,1)，(0 ( http: / / www.21cnjy.com ),2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．
事件A包含9个基本事件，故事件A发生的概率为
P(A)＝＝.
(2)试验的全部结果所构成的区域为
{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}．
构成事件A的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}．
所以所求的概率为
P(A)＝＝.