第十三章轴对称
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文档简介
13.1轴对称（第一课时） （总第1课时）作业完成评价 .
主备 王宇齐 审阅 审查 计划上课时间 .
学习目标：通过实例认识轴对称，掌握轴对称图形和关于直线成轴对称这两个概念。
学习重难点：重点：由具体情境抽象出轴对称图形与轴对称的概念．
难点：理解轴对称与轴对称图形之间的区别与联系．
第一学习时间 新知探究（课内合作学习，互评、互讲、互纠错）
（老师引导）探究一 在一张半透明的纸上画△ABC，使AB＝AC,作BC上的高AD，沿直线AD折叠，直
线两旁的部分重合吗？ 。说明△ABC是 图形。直线 是对称轴。
结论： __________________________________叫做轴对称图形，这条直线叫做它的
（老师引导）探究二 在一张半透明的 ( http: / / www.21cnjy.com )纸上建立一个平面直角坐标系，并描出点A（-1，3）、B（-2，-4）、C（-3，-1）、 A1（1，3）、B1(2，-4)、C1(3，-1)，画出△ABC和△A1B1C1，沿y轴折叠，这两个三角形重合吗？ 。说明△ABC和△A1B1C关于 轴对称。 是对称轴。
结论： __________________________________________________________那么就说这两个图形关于这
条直线轴对称，这条直线叫做 ，折叠后重合的点是对应点，叫做 。
（5组）探究三 轴对称图形与轴对称的区别和联系吗？
区别：__________________________________________________________________
联系：__________________________________________________________________
（6组）探究四 探究二中的△ABC和△A1B1C1全等吗？ 。把其中的△A1B1C1向下平移一个单
位，得到的△A2B2C2，△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC和△A2B2C2全等吗？ 。△ABC和△A2B2C2成轴对称吗？ 。
结论：两个图形成轴对称，则它们一定 ；两个图形全等， 成轴对称。
（7组）探究五 如图的阴影三角形与标数字1、2、3中的那些三角形成轴对称？
整个图形中有几条对称轴？
（8组）探究六 已知ABCD是矩形，将△BCD沿BD翻折到平面
ABD内，如图，若29°,求∠BDC的度数。
第二学习时间 课后训练（课后独立完成，组长批改，个人纠错后交数学老师检查）
下列汉字，如果用一样粗细的笔写出来，是轴对称图形有 。他们分别
有 条对称轴 ： 大 小 口 中 朋 木
2、在26个英文字母中，请你说出几个成轴对称图形的字母，并且指出有几条对称轴？
3、判断下面两组图形是否关于某条直线成轴对称.如果是，画出它的对称轴。 xkb1.com
标出下两图形中已知点的对称点
5、观察下列各种图形，是轴 ( http: / / www.21cnjy.com )对称图形有 .
6.下列图形不是轴对称图形的是______：A.圆形 B.有30°角的直角三角板 C.任意角 D.长方形
7.下列汉字，不是轴对称图形的是_______：A.中 B.田 C.喜 D.下
8.下列轴对称图形中，对称轴条数最少的是______：A.等边三角形 B.正方形 C.正六边形 D.圆
9.在镜中看到的一串数字是“”，则这串数字是
10.在英文字母“A、B、C、D、E、F、G、S”中，不是轴对称图形的有_______个。
11.下列图案中，不是轴对称图形的是_______：
13.1轴对称（第二课时） （总第2课时）作业完成评价 .
主备 王宇齐 审阅 审查 计划上课时间 .
学习目标：1. 掌握线段垂直平分线的性质、画法；
2. 会作轴对称图形的对称轴，并能灵活运用解决实际问题。
学习重难点：重点：探索轴对称的性质，并总结出线段垂直平分线的性质。
难点：探索并总结出线段垂直平分线的性质，能运用其性质解答简单的几何问题。
第一学习时间 新知探究（课内合作学习，互评、互讲、互纠错）
探究一 如图1，△ABC和△A1B1C1关于y轴对称，点A的
对应点是 ，点C1的对称点是_____，y轴经过线段AA1
的中点吗？ y轴垂直线段AA1吗？
结论：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任
何一对对应点所连线段的 。
探究二 在一张半透明的纸上画线段AB，用量角器和刻
度尺画线段AB的垂直平分线CD，在CD上任取一点P，
连结PA、PB,量一量PA、PB的长，发现它们
再沿直线CD对折，线段PA、PB重合吗？
结论：线段的垂直平分线上的点与这条线段____________的距离相等。请画图证明这个性质。
探究三 在一张纸上画线段AB及点P1 ( http: / / www.21cnjy.com )、P2，使P1A=P1B ，P2A=P2B，再画线段AB的垂直平分线CD，发现点P1、P2都在线段AB的 上。
结论：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 ________________上。请画图证明这个性质。
第二学习时间 课后训练（课后独立完成，组长批改，个人纠错后交数学老师检查）
三角形ABC与三角形A’B’C’关于直线l对称,则B的度数为
2、如图,将一块正方形纸片沿对角线 ( http: / / www.21cnjy.com )折叠一次,然后在得到的三角形的三个角上各挖去一个圆洞,最后将正方形纸片展开,得到的图案是右图中的( ).
3、下列说法中,正确的有（ ） A 0个 B 1个 C 2个 D 3个
（1）两个关于某直线对称的图形是全等形;
（2）两个图形关于某直线对称,对称点一定在直线两旁;
（3）两个对称图形对应点连线的垂直平分线就是它们的对称轴;
（4）平面上两个完全相同的图形一定关于某直线对称.
4.将一张正方形纸片经两次对折,并剪出一个菱形小洞后展开铺平,得到的图形是( ).
5.下列命题中，假命题是（ ） ( http: / / www.21cnjy.com )
A.两个三角形关于某直线对称，那么这两个三角形全等
B.两个图形关于某直线对称，且对应线段相交，则交点必在对称轴上
C.两个图形关于某直线对称，对应点的连线不一定垂直对称轴
D.若直线L同时垂直平分AA‘、BB’，那么线段AB＝A'B'
13.1轴对称（第三课时） （总第3课时）作业完成评价 .
主备 王宇齐 审阅 审查 计划上课时间 .
学习目标：1. 掌握线段垂直平分线的性质、画法；
2. 会作轴对称图形的对称轴，并能灵活运用解决实际问题。
学习重难点：重点：探索轴对称的性质，并总结出线段垂直平分线的性质。
第一学习时间 新知探究（课内合作学习，互评、互讲、互纠错）
探究一 如图1，△ABC中，DE是AC边的垂直平分线，△ABC和
△ABD的周长分别是18cm和12cm.求线段AE的长。
探究二 如图，点P在∠AOB的内部 ( http: / / www.21cnjy.com )，点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点，线段MN交OA、OB于点E、F，若△PEF的周长是20cm ，求线段MN的长。
探究三 △ABC中，DE是AC的垂直平分线，垂足为E，交AB于点D，
AE=5cm，△CBD的周长为24cm，求△ABC的周长。
4.如图4，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AB和AC，
垂足分别为M、N，分别交BC于D、E.
(1)若∠DAE=30°，则∠BAC=_________；
(2)若△ADE的周长是17cm,则BC的长是______cm.
1.已知点P在线段AB的垂直平分线上，若PA=3CM,则PB=____cm.
2.如图5，DE是AB的垂直平分线，△ADC的周长是26cm,
则AC+BC=______cm.
3.如图6，AB=AC,AB的垂直平分线DE交BC的延长线于E,
交AC于F, ∠A=50°，AB+BC=10.则△BCF的周长是
______，∠EFC的度数是______。
如图，某地有两所大学M、N和两条相交叉的公路AO、BO，
现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，
到两条公路的距离也相等.（1）你能确定仓库位置P吗？
在所给的图形中画出你的设计方案；（2）阐述你设计的理由.
13.1轴对称（第三课时） （总第3课时）作业完成评价 .
主备 王宇齐 审阅 审查 计划上课时间 .
学习目标：1、依据轴对称的性质找出两个图形成轴对称及轴对称图形的对称轴。
2、作出轴对称图形的对称轴，即线段垂直平分线的尺规作图。
学习重难点：重点：作出轴对称图形的对称轴。
难点：在自己的动手画图中体验轴对称的性质及线段垂直平分线的性质。
第一学习时间 自主预习（课前独立完成，课内互评、互纠错）
1、作轴对称图形的对称轴的 ( http: / / www.21cnjy.com )方法是：找到一对 ，作出连接它们的 的 线，就可以得到这两个图形的对称轴．
（1）如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗
（2）已知线段AB，作出它的垂直平分线CD，并写出线段的中点O.
（3）如图，角是轴对称图形吗 如果是，画出它的对称轴
（4）如图，在五角星上作出一条对称轴
（5）画一画：如图所示在方格纸上画出的一棵树的一半，
请你以树干为对称轴画出树的另一半。
2、复习回顾
线段垂直平分线的性质是__________________________________________________。
2.按教材要求操作：自己 ( http: / / www.21cnjy.com )动手在一张半透明的纸上画一个图案，将这张纸折叠，描图，再打开纸，看看你得到了什么 改变折痕的位置并重复几次，你又得到了什么
归纳结论：
(1)由一个平面图形可以得到它关于一条直线l成轴对称的图形，这个图形与原图形的 、________完全相同；
(2)新图形上的任意一点，都是原图形上某一点关于直线l的__________；
(3)连接任意一对对应点的线段被对称轴_______________。
3.把图1补成关于直线l对称的图形
归纳：几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点
关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的
轴对称图形；对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作
出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称
点，就可以得到原图形的轴对称图形。
4.例题解析：如图2，作出箭头图形关于直线l的轴对称图形
自学检测
1.若△ABC与△MNP是关于直线l对称的两个三角形，并且直线l
垂直平分线段AM.则有∠A=______。
2.如图3，把一张含30°角的直角三角形的纸片ABC沿最短边的
垂直平分线翻折.则∠BOC的度数是_______。
3.如图4，△AOD关于直线l进行轴对称变换后得到△BOC.
则下列结论不正确的是______：
A.∠1=∠2 B.∠3=∠4 C.AC与BD互相平分 D.OA=OB
三.合作探究
1.如图5，已知直线l及l两侧的A、B两点，在l上
求作一点P，使P到A和B的距离之和最小.说明理由.
2.如图6，已知直线l及l同侧的A、B两点，在l上求作一点
P，使P到A和B的距离之和最小.说明理由.
3.把下列各图补成以a为对称轴的轴对称图形：
4.把图7中实线部分补成以虚线l为对称轴的轴对称图形，
你会得到一个美丽的图案。
5.如图8，△ABC与△DEF是关于直线l对称的两个三角形，
其中∠C=90°，AC=12cm,DE=13cm,BC=5cm.
(1)指出其中标了字母的对称点； (2)求∠F的度数；
(3)求△DEF的周长和面积。
1.如图9，两个三角形关于某条直线对称，则x=______，并画出对称轴。
要在河边修一个水泵站，分别向张村、李庄送水，修在河边什么地方，
可使所用水管最短？试在图中确定水泵站的位置，并说明你的理由。
3、某班举行文艺晚会，桌子摆成AO，B ( http: / / www.21cnjy.com )O的两直线，AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先到AO桌面上拿桔子，再到OB桌面上拿糖果，然后回到D处座位上，请你帮他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短。
13.2.2用坐标表示轴对称（一课时）（总第4课时）作业完成评价 .
主备 王宇齐 审阅 审查 计划上课时间 .
学习目标：1、能够经过探索利用坐标来表示轴对称。
2、掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标特点。
学习重难点：重点：关于x轴、y轴对称的点的坐标特点。难点：用坐标表示轴对称的应用。
第一学习时间 自主预习（课前独立完成，课内互评、互纠错）
<一>关于x轴、y轴对称的点的坐标特点
如图，在平面直角坐标系中你能画出点A（2，3）
关于x轴的对称点吗 它的坐标是______.
再画B(-4,-1)点关于X轴对称点B’( ) .
观察每对对称点横坐标、纵坐标各有什么关系？
总结：关于归纳：关于x轴对称的点的坐标的特点是:
横坐标_____,纵坐标_____________.
如右图，在平面直角坐标系中你能画出点A（2，4）
关于y轴的对称点吗 它的坐标是______.
再画B(-4,-3)点关于y轴对称点B’( ) .
观察每对对称点横坐标、纵坐标各有什么关系？
总结：关于归纳：关于y轴对称的点的坐标的特点是:
横坐标_____,纵坐标_____________.
归纳：点（x，y）关于x轴对称的点的作标是 ；
点（x，y）关于y轴对称的点的作标是
已知点P(2a+b , -3a)与点P’(8 , b+2).
若点p与点p’关于x轴对称，则a=_____ b=_______.
若点p与点p’关于y轴对称，则a=_____ b=_______.
（二）拓展延伸，运用新知
1、点P(-5, 6)与点Q关于x轴对称，则点Q的坐标为__________.
2、点M (a, -5)与点N(-2, b)关于x轴对称，则a=_____, b =_____.
３、点P(-5, 6)与点Q关于y轴对称，则点Q的坐标为__________.
４、点M (a, -5)与点N(-2, b)关于y轴对称，则a=_____, b =_____.
５如图，利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，分别作出与△ABC关于x轴和y轴对称的图形
已知点 A(2，－3) B（－1，2） C（－6，－5） D（0.5，1） E（4，0）
关于x轴对称的点 A’( ) B’( ) C’( ) D’( ) E’( )
关于y轴对称的点 A’’( ) B’’( ) C’’( ) D’’( ) E’’( )
６、如下图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为
A（－5，1），B（－2，1），C（－2，5），D（－5，4），
分别作出四边形ABCD关于y轴和x轴对称的图形xkb1.
。
二.自主学习
1.如图一
(1)观察上图中两个圆脸有什么关系？
(2)已知右边圆脸右眼B的坐标为（4，3），左眼A的坐标为
（2，3），嘴角两个端点，右端点C的坐标为（4，1），
左端点D的坐标为（2，1）．
请根据图形写出左边圆脸上左眼，右眼及嘴角两端点的坐标:
A1_________; B1_________; C1__________; D1___________.
(3)A与A1、B与B1、C与C1、D与D1分别关于_________对称。
1.点(-2,4)关于x轴对称的点坐标是________，关于y轴对称的点坐标是________。
2.点A关于x轴对称的点坐标是(3,-5)，则点A的坐标是__________。
3.已知点A(m+2，3)、B(-5,n+6)关于y轴对称，则m=________，n=_________。
4.点P(-3,2)与Q(-3,-2)关于_______对称： A.x轴 B.y轴 C.坐标轴 D.原点
1.点P(2,3)关于x轴对称的点为P1,点P1关于y轴对称的点为P2，则点P2的坐标是______:
A.(2,-3) B.(-2,3) C.(-2,-3) D.(2,3)
2.若点P(a,4)和Q(2,b)关于x轴对称，则方程ax+b=0的解是________。
3.若.则点A()关于y轴对称的点为______：
A.(-2,5) B.(2,5) C.(-2,-5) D.(2,-5)
4.如果点P(3a-2,a-1)关于y轴对称的点在第三象限.那么a的取值范围是___________。
5.已知P1(m+1,3)和P2(-3,n-2)关于x轴对称，则(m+n)2=___________。
6.已知A(a,3）,B(-4,b).根据下列条件求出a、b的值：
(1)A、B关于x轴对称 (2) A、B关于y轴对称
7.如图，四边形ABCD的顶点坐标为A(-5，1)，B(-1，1），
C(-1，6），D(-5，4），请作出四边形ABCD关于x轴及
y轴的对称图形。
8.如图，（1）请画出关于轴对称的
（其中分别是的对应点，不写画法）；
（2）直接写出三点
的坐标；（3）求出△ABC的面积。
1.已知点P(-2,3)关于y轴对称的点为Q(a,b).则a+b的值是______：
A.-1 B.1 C.5 D.-5
2.已知点A(2m+1，m-3)关于y轴的对称点在第四象限，则m的取值范围是 。
3.若∣3a-2∣+(b+3)2=0,点A（a，b）关于x轴对称的点为B，点B关于y轴对称的点为C，则点C的坐标是 。
五.如图，每个小正方形的边长都是1，
分别作出△PQR关于直线x=1(记为m)和直线
y=–1(记为n)对称的图形。它们的对应点的
坐标之间分别有什么关系？
13.3.1等腰三角形（第一课时）（总第5课时）作业完成评价 .
主备 王宇齐 审阅 审查 计划上课时间 .
学习目标：1、了解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的性质。
2、运用等腰三角形的概念及性质解决相关问题。
学习重点：等腰三角形的概念及性质。
难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用。
第一学习时间 自主预习（课前独立完成，课内互评、互纠错）
三角形按边来分类，可分为
三角形和 三角形。
有两边相等的三角形叫 ，
相等的两边叫 ，另一边叫 ，
两腰的夹角叫 ，腰和底边的夹角叫
3、如右图，在△ABC中，AB=AC，请在图中标出各部分名称。
第二学习时间 新知探究（课内合作学习，互评、互讲、互纠错）
探究一 等腰三角形的性质：
按右图方法折叠等腰三角形，观察：
∠B和∠C有什么关系？
（2）如果AB=AC,且∠1=∠2，那么 = ，且 。
（3）如果AB=AC,且BD=DC，那么 = ，且 。
（4）如果AB=AC,且AD⊥BC，那么 = ，且 。
性质1 等腰三角形的两个 相等（简写成“ ”）
性质2 等腰三角形 、 、 互相重合。
探究二 如图，已知AB=AC，AD=AE，说明DE∥BC的理由。
探究三 １等腰三角形顶角为1500，那么它的另外两个角的度数分别是 。
２等腰三角形的一个内角为500，则另外两个角的度数分别是 。
３在等腰△ABC中，若AB=3，AC=7，则△ABC的周长为 。
４如图，在△ABC中，AB=AC，∠1=∠2，BD=BE,且∠A=1000，则∠DEC= 。
５如图，AD//BC，CA平分∠BCD，∠D=1100，并且AB=AC，求∠BAC的度数。
６等腰三角形ABC中，∠A=36° ( http: / / www.21cnjy.com ) ，∠B=72° ，∠C=72° ，请同学们想一想，如何添一条线，将等腰三角形ABC分成两个等腰三角形？成功后，如何再添一条线，多得到一个等腰三角形？还可以继续吗？
二.自主学习
1.复习回顾： 叫做等腰三角形,相等的两条边叫做 ，另一条边叫做 ，两腰所夹的角叫做 ，底边与腰的夹角叫做 。
2.用剪刀按照教材75页介绍的方法，剪出一个等腰三角形，想一想，它是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
3.将上面的等腰三角形沿对称轴对折，找出重合的线段和角，由此你发现了等腰三角形的哪些性质（见75页探究）？
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）；
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上
的高相互重合(简单说成“三线合一”)。
4.填空证明上述两个性质：
性质1：如图1，在△ABC中，AB=AC,
过点A作AD⊥BC于点D
∴△ABD≌_______(HL) ∴∠B=_______.
性质2：如图1，在△ABC中，
①∵AB=AC，∠BAD=∠CAD ∴△ABD≌△ACD (____) ∴ BD = , ⊥ ；
②∵AB=AC，BD=CD ∴△ABD≌△ACD (____) ∴∠BAD= ， ⊥ ；
③∵AB=AC，AD⊥BC ∴△ABD≌△ACD (____) ∴∠BAD= ，BD= 。
自学检测
1.等腰三角形的一个底角是75°，则它的顶角度数是________。
2.等腰三角形有两边长分别是5、7，则它的周长是__________。
3.等腰三角形的两内角的度数比是1︰4，则底角的度数是_______。
4.如图2，在等腰三角形中，腰AB的垂直平分线交另一腰AC于F，
垂足为E，△BFC的周长为20cm,若AB=12cm.则BC=________cm.
5.已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，要使AD∥BC，则△ABC
的边一定满足___________。
三.合作探究
1.如图3，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD.求△ABC各角的度数。
2.在下列三角形中，若AB=AC,则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是_______
( http: / / www.21cnjy.com )
A.(1)(2)(3) B.(2)(3)(4) C.(1)(3)(4) D.(1)(2)(3)
3.如图4，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，且AD=AE.
求证：BD=CE.
4.如图5，AB=AE，BC=DE,∠B=∠E,AM⊥CD，垂足为点M
求证：CM=DM
5.等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为40o.求底角的度数。
1.在△ABC中，∠A=65o，∠B=50o，则AB︰BC=________。
2.等腰三角形的周长是20，其中一边长是6，则另两边长
是_________________。
3.如图6，AB=AC，BD⊥AC于D.求证：∠BAC=2∠DBC.
五.拓展提高.如图6，在△ABC中，AB=AC，∠A=30o，BF=CE，
BD=CF，求∠DFE的度数。
如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD是△ABC的角平分线，∠1=∠C，求证：AC=AB+BD.
如图6，已知AB是等腰直角三角形ABC的斜边，BD平分∠ABC，求证：BC+CD=AB.
16.如图，在Rt△ABC中，AB=AC,∠1=∠2,CE⊥BD的延长线于E。求证:BD=2CE
13.3.1等腰三角形（第二课时）（总第6课时）作业完成评价 .
主备 王宇齐 审阅 审查 计划上课时间 .
学习目标：1、理解等腰三角形的判定方法及应用。
2、通过对等腰三角形的判定方法的探索，体会探索学习的乐趣。
学习重点：等腰三角形的判定方法及其应用 学习难点：探索等腰三角形的方法定理
第一学习时间 自主预习（课前独立完成，课内互评、互纠错）
学习过程：
（一）创设情境，感受新知
1、实验猜想
如图，将一个长方形纸条进行折叠，叠和部分所成的
三角形有什么特征？它是等腰三角形吗？
2、思考：
ΔABC中，当添加一个什么条件时，可以成为等腰三角形？
3、提出猜测：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等吗？
如图，在△ABC中，已知∠B=∠C，说明△ABC是等腰三角形的理由.
归纳：等腰三角形的判定方法： （简称为“ ”） 。
几何语言：因为在△ABC中， （已知）
所以 （ ）
即
( 二) 拓展延伸，运用新知
1．一个三角形的一个外角为130°，且它恰好等于一个不相邻的内角的二倍。这个三角形是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
2．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，DE∥BC，则图形中共有等腰三角形（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
（第2题） 第3题 第４题
3．如图，△ABC中，AB＝AC，B ( http: / / www.21cnjy.com )＝36°，D、E是BC上两点，使∠ADE＝∠AED＝2∠BAD，则图中等腰三角形共有（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
4．如图，已知△ABC中，AB＝AC， ( http: / / www.21cnjy.com )∠BAC与∠ACB的平分线交于D点，∠ADC＝130°，那么∠CAB的大小是（ ）A．80° B．50° C．40° D．20°
５、如图1，已知点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE求证：AB=CD . 现给出以下两种添加
辅助线(如图2、图3)的方法，请任选一种证明.
1.复习回顾：等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形全等的判定
2.用直尺和量角器画△ABC，使∠B=∠C，再用刻度尺量一量线段AB、AC的长，你有什么发现？
猜想：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。
3.你能验证2中的猜想吗？
已知：如图,在△ABC中，∠B=∠C .求证：AB=AC.
结论：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等
（简写成：等角对等边”）。
4.等腰三角形的判定方法：(1)等腰三角形的定义 (2)等角对等边
等腰三角形的性质与判定有什么区别和联系？
区别：
联系：
5.等腰三角形的一些常见结论：
(1)等腰直角三角形的两底角相等，都等于45°；
(2)等腰直角三角形底边的高线把它分成全等的两个小等腰直角三角形；
(3)等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角、直角，当顶角可为钝角或直角；
(4)如果等腰三角形的腰长为a，底边长为b，则0自学检测
1.在△ABC中，∠A=36°，∠B=72°，则它的形状是_______：
A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形
2.若等腰三角形的一个底角为,则_______：
A.45° B.0°<<90 C.=90° D.90°<<180°
3.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线AF交与AB上的高CD交于点E.
△CEF是等腰三角形吗？为什么？
1.如图，AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OC=OD，求证：OA=OB
2.求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，
那么这个三角形是等腰三角形。
3.如图3，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，过D作
DE∥AB,DF∥AC,分别交BC于E、F,若BC=6cm,求△EAF的周长。
4.如图4，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O
作EF∥BC，交AB于点E，交AC于点.求证：EF=EB+FC.
1.一个等腰三角形的相邻两边长分别为3和7，则这个等腰三角形的周长为________；
一个等腰三角形的相邻两边长分别为5和7， 则这个等腰三角形的周长为_________。
2.△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于D,若△ABC的周长是50，△ABD的周长是40，则AD=____。
3.如图5，在△ABC中，A ( http: / / www.21cnjy.com )B=AC，∠B=36O，D、E是BC上的两点，且∠ADE=∠AED=2∠BAD则图中的等腰三角形共有_______:A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
五.拓展提高.如图6，E在△ABC的A ( http: / / www.21cnjy.com )C边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF=EF，BD=CE。求证：△ABC是等腰三角形。
13.3.2等边三角形（第一课时）（总第7课时）作业完成评价 .
主备 王宇齐 审阅 审查 计划上课时间 .
学习目标：1理解并掌握等边三角形的定义，探索等边三角形的性质和判定方法
2、能够用等边三角形的知识解决相应的数学问题
学习重点：等边三角形判定定理的发现与证明 学习难点：等边三角形性质和判定的应用
第一学习时间 自主预习（课前独立完成，课内互评、互纠错）
（一）创设情境，感受新知
归纳：（1）等边三角形的性质：等边三角形的
（2）等边三角形的判定：
（二）拓展延伸，运用新知
如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，交AB，AC于D，E。 求证△ADE是等边三角形。
2等边三角形三条中线相交于一点。画出图形，找出图中所有的全等三角形，并证明它们全等。
3如图，△ABD，△AEC都是等边三角形，求证BE＝DC
1.复习回顾：
①等腰三角形的性质和判定方法。②等边三角形的定义是怎样的？
2.新知探究:
①等边三角形与等腰三角形的关系是怎样的？(谁是谁的特殊情况？)
②把等腰三角形的性质用到等边三角形，能得到什么结论？(注意使用轴对称分析).
③一个三角形满足什么条件就是等边三角形？（分别从边、角、边和角分类讨论）.
④你认为有一个角等于60°的等腰三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )是等边三角形吗 为什么？(建议你分两种情况讨论：如果个60°的角是等腰三角形的顶角，情况怎样？如果这个60°的角是等腰三角形的底角，情况又怎样？)
3.结论：
①等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于______°；
②三个角都相等的三角形是________三角形；
③有一个角是60°的等腰三角形是_________三角形。
4.等边三角形的判定：
①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等的三角形是等边三角形；
③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；
④有三条对称轴的三角形是等边三角形。
自学检测
1.等边三角形的两条高线相交所成的钝角的度数是________。
2.等边三角形的周长是15cm,则它的边长是________cm。
3.△ABC中，AB=AC, ∠A=∠C.则△ABC的形状是________：
A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形
4.如图1，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB、AC于D、E.
求证：△ADE是等边三角形。
三.合作探究
1.如图2，D、E分别是等边△ABC中BC、AC边上的点，且BD=CE，求证：∠BAD=∠CBE.
2.已知P为等边△ABC所在平面内的一点，且△PAB、△PBC、△PCA都是等腰三角形，这样的点P共有 个。
3.如图3，点D、E、F在等边△ABC的三边上，且AD=BE=CF.
求证：△DEF是等边三角形。
4.如图4，△ABC和△ADE都是等边三角形.求证：BD=CE.
如图5，点C为线段AB上的一点，△ACM、△CBN都是等边三角形，
线段AN、MC交于点E，线段CN、MB交于点F。
求证：（1）AN=MB(2) △CEF是等边三角形.
等腰三角形的一个内角是另一个内角的2倍。
则它的三内角度数分别是___________。
2.如图6，点P、Q是△ABC的边BC上的两点，
且BP=PQ=CQ=AP=AQ.则∠BAC=_______。
3.如图7，点D是等边△ABC内的一点，且DB=DA，
BP=AB，∠DBP=∠DBC，求∠P的度数.
五.拓展提高、三角形的三个内角分别为、、，且有.试判断此三角形的形状。
1.如图2，已知∠B=∠E=90°，CE=CB，AB∥CD.求证：△ADC是等腰三角形.
13.3.2等边三角形（第二课时）（总第8课时）作业完成评价 .
主备 王宇齐 审阅 审查 计划上课时间 .
学习目标：1、证明直角三角形中有一个角为30°的性质．
2、有一个角为30°的直角三角形的性质的简单应用．
学习重点：含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明．
学习难点：含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明．
第一学习时间 自主预习（课前独立完成，课内互评、互纠错）
探究：有一个角为30°的直角三角形的性质
1、问题：用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由．
由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与
斜边有怎样的大小关系？你能证明你的结论吗？
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．求证：BC=AB．
3、归纳：在直角三角形中，
（二）拓展延伸，运用新知：
1、右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，立柱BD、DE要多长？
2、等腰三角形的底角为15°，腰长为2a，求腰上的高．
已知：如图，在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°，CD是腰AB上的高．
3已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°．求证：BD=AB．
1.复习回顾：等边三角形的性质与判定。
2.问题：用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？说出你的理由。
3．由上述你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？你能用不同于课本上的方法证明你的结论吗？
4.由此，我们得到下面的性质定理：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
5.填空：如右图，在△ABC中，
∵∠C=90o，∠A=30o ∴BC=
（ ）
6.思考：在直角三角形中，如果一直角边等于斜边的一半，
则这条边所对的锐角一定是30°吗？
请你借助右边的图示进行考虑并试着证明（辅助线说明：延长
BC到D,使CD=BC)。
自学检测
1.已知△ABC中，∠A︰∠B︰∠C=1︰2︰3,BC=6.则AB=_____.
2.如图1，在△ABC中，AB=AC,∠A=40°，AB的垂直平分线
MN交AC于点N.则∠NBC的度数是______。
3.如图2是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，
立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，
立柱BC、DE要多长？
1.等腰三角形的底角为15°，腰长为2a，则腰上的高为
2.如图4，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，求证：AB=4BD．
3.如图5，在等边△ABC中，AD⊥BC,DE⊥AC.试探究线段
AE与CE之间的数量关系。
4.如图6，△ABC为等边三角形，D、E分别是AC、BC上的点，
且AD=CE，AE与BD相交于点P，BF⊥AE于点F求证:BP=2PF
1.△ABC中,∠C=90°,∠A=2∠B.则AB与AC的
关系是________。
2.如图7，AD∥BC,BD平分∠ABC,BA=AD=DC,
∠A=120°.则AD与BC的关系是________。
3.如图8，在△ABC中，∠ACB=90°且，
求证：∠A=30°.
五.拓展提高.如图，等边三角形ABC的边长为4cm，
点D从C出发沿CA向A运动，点E从B出发沿AB的
延长线BF向右运动，已知点D、E都以
每秒0.5cm的速度同时开始运动，运动过程中DE与BC
相交于点P（1）运动几秒后，△ADE为直角三角形？
（2）求证：在运动过程中，点P始终为线段DE的中点。
复习轴对称 （总第1课时）作业完成评价 .
主备 王宇齐 审阅 审查 计划上课时间 .
第一学习时间 自主预习（课前独立完成，课内互评、互纠错）
1、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相_____，这个 图形就叫
___________，这条直线叫___________.折叠后重合的点是对应点，叫______
2、线段的垂直平分线:经过线段_________并且_______于这条线段的直线，叫做这条线段的________
3、等腰三角形:___________________叫做等腰三角形,相等的两条边叫________，另一条边叫_______，
两腰所夹的角叫________，底边与腰的夹角叫_______.
4、等边三角形:____________________________的三角形叫等边三角形。
5、如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的_______ 或者说轴对称图
形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的_________.
6、线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离_______.
7、通过画出坐标系上的两点观察得出：(1)点P(x，y)关于x轴对称的点的坐标为P′( ).
(2)点P（x,y)关于y轴对称的点的坐标为P″( ).
8、等腰三角形的性质: (1）等腰三角形的两个底角________（简称“等边对等角”）.
（2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的_______、底边上的_________相互重合.
（3)等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的__________.
（4）等腰三角形两腰上的高、中线分别相等，两底角的平分线也_______.
（5）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的________。
（6）等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个三角形的________.
9、等边三角形的性质:（1）等边三角形的三个内角都，并且每一个角都等于 .
（2）等边三角形是轴对称图形，共有 条对称轴.
（3）等边三角形每边上的 、 和该边所对内角的平分线互相重合.
10、与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 上.
11、如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边___________(简写成“等角对等边”）.
12、三个角都相等的三角形是___________三角形.
13、有一个角是60°的____________三角形是等边三角形.
第二学习时间 新知探究（课内合作学习，互评、互讲、互纠错）
探究一 如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点 M、N，
求证：CM=2BM．
探究二 如图所示，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线，交BC的延长线于点F， 连结AF．
求证：∠BAF=∠ACF．
第三学习时间 课后训练（课后独立完成，组长批改，个人纠错后交数学老师检查）
2.点M（1，2）关于x轴对称的点的坐标为_______：
A、（－1，－2） B、（－1，2） C、（1，－2） D、（2，－1）
3.下列图形中对称轴最多的是_______：A、等腰三角形 B、正方形 C、圆 D、线段
4.已知直角三角形中30°角所对的直角边为2㎝，则斜边的长为______:
A、2 ㎝ B、4 ㎝ C、6 ㎝ D、8㎝
5.下列说法正确的是________；A.等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 B.顶角相等的两个等腰三角形全等 C.等腰三角形的两个底角相等 D.等腰三角形一边不可以是另一边的二倍
6.若等腰三角形的周长为26cm，一边为11cm，则腰长为________：
A.11cm B.7.5cm C.11cm或7.5cm D.以上都不对
如图：DE是ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8厘米， AB=10厘米，
则EBC的周长为______厘米：A.16 B.18 C.26 D.28
8.如图，在△ABC中，AB=AC，AD ( http: / / www.21cnjy.com )=BD=BC，则∠C=_______：A.72° B.60° C.45° D.36°
9.若等腰三角形腰上的高是腰长的一半,则这个等腰三角形的底角是_______；
A、75°或15° B、75° C、30° D、75°或30°
耐心填一填（每小题2分，共20分）
等腰三角形一个底角是30°，则它的顶角是______度；
等腰三角形的一边长是6，另一边长是3，则周长为_______
14.等腰三角形的一内角等于50°，则其它两个内角各为
15.如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB＋BC=12㎝，则AB= ㎝；
16.如图：从镜子中看到一钟表的时针和分针，此时的实际时刻是________
17.若∣3a-2∣+∣b-3∣=0，则点P(-a，b)关于y轴的对轴点P′的坐标为
18、如图，在△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平
行线BG于G，DE⊥GF，交AB于E，连结EG.
①求证：BG=CF； ②请你判断BE+CF与EF的大小，并证明你的结论。
轴对称训练案 （总第1课时）作业完成评价 .
主备 王宇齐 审阅 审查 计划上课时间
基础题
1、下列图形不能确定为轴对称图形的是_________：
A.直角 B.线段 C.三角形 D.等腰梯形
2、下列说法中，正确的个数是_________：A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
(1)等腰三角形的一个角是40°，则其余两个角度是70°；(2)等腰三角形的底角一定是锐角；
(3)腰长相等，且有一个角是20°的两个等腰三角形全等；
(4)等腰三角形内角的平分线及此角所对边上的高一定重合。
3、等腰三角形的周长是16，其中两边之差为2，则它的三边的长分别为
4、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则它的顶角度数为
5、一等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成15cm和18cm两部分，则这个等 腰三角形的底边长是 .
6、若点M(1-x,1-y)在第二象限，则点N(1-x,y-1)关于y轴对称的点在第______象限:
A.1 B.2 C.3 D.4
7、如图1，在△ABC中，点D在AC上且AD=AB，∠ABC=∠C +30°，
则∠CBD=_______：A.15° B.18° C.20° D.22.5°
8、已知一个三角形的每一个角的平分线都垂直于这个角所对边。则这个三角形的形状是________：
A.直角三角形 B.钝角三角形 C.任意三角形 D.等边三角形
9、如图2，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于点E，交BC
于点D，△ABD的周长为16，AC=5.则△ABC的周长是______.
10、如图3，在直线MN、PQ上各找 一点B、C，使AB+BC最短（画出线路图）。
11、如图4，∠DEF=36°，AB=BC=CD=DE=EF，求∠A.
二.综合题
12、如图5，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且BD=CD，
DE、DF分别垂直AB、AC，垂足分别为E、F，试说明EB=FC.
13、如图6，在△ABC中，AB=AC,D、E、F分别在AB、BC、CA上，
且BD=CE,∠DEF=∠B. 求证：△DEF是等腰三角形。
14、如图7，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，AB的中垂线MN交AC于点D，交AB于点M.
有下面三个结论：
(1)BD是∠ABC的平分线；(2)△BCD是等腰三角形；(3)△AMD≌△BCD.
请判断其中正确的结论有哪几个？并选一个你认为正确的结论加以证明。
15、如图：△ABC和△AED都是等边三角形，AD是△ABC 中BC边上的中线。
求证：BE=BD。
(A)
(B)
(C)
(D)
A1
B1
C1
图1
a
a
a
l
图一
y
x
y
1
2
O
1
-1
A
B
C
1 2
A
D
E
B
C
D
A
C
E
B
1
2
A
D
B
C
B
A
C
C
B
A
P
F
E
D
C
B
A
P
D
C
B
A
E
F
第16题
E
D
C
B
A
主备 王宇齐 审阅 审查 计划上课时间 .
学习目标：通过实例认识轴对称，掌握轴对称图形和关于直线成轴对称这两个概念。
学习重难点：重点：由具体情境抽象出轴对称图形与轴对称的概念．
难点：理解轴对称与轴对称图形之间的区别与联系．
第一学习时间 新知探究（课内合作学习，互评、互讲、互纠错）
（老师引导）探究一 在一张半透明的纸上画△ABC，使AB＝AC,作BC上的高AD，沿直线AD折叠，直
线两旁的部分重合吗？ 。说明△ABC是 图形。直线 是对称轴。
结论： __________________________________叫做轴对称图形，这条直线叫做它的
（老师引导）探究二 在一张半透明的 ( http: / / www.21cnjy.com )纸上建立一个平面直角坐标系，并描出点A（-1，3）、B（-2，-4）、C（-3，-1）、 A1（1，3）、B1(2，-4)、C1(3，-1)，画出△ABC和△A1B1C1，沿y轴折叠，这两个三角形重合吗？ 。说明△ABC和△A1B1C关于 轴对称。 是对称轴。
结论： __________________________________________________________那么就说这两个图形关于这
条直线轴对称，这条直线叫做 ，折叠后重合的点是对应点，叫做 。
（5组）探究三 轴对称图形与轴对称的区别和联系吗？
区别：__________________________________________________________________
联系：__________________________________________________________________
（6组）探究四 探究二中的△ABC和△A1B1C1全等吗？ 。把其中的△A1B1C1向下平移一个单
位，得到的△A2B2C2，△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC和△A2B2C2全等吗？ 。△ABC和△A2B2C2成轴对称吗？ 。
结论：两个图形成轴对称，则它们一定 ；两个图形全等， 成轴对称。
（7组）探究五 如图的阴影三角形与标数字1、2、3中的那些三角形成轴对称？
整个图形中有几条对称轴？
（8组）探究六 已知ABCD是矩形，将△BCD沿BD翻折到平面
ABD内，如图，若29°,求∠BDC的度数。
第二学习时间 课后训练（课后独立完成，组长批改，个人纠错后交数学老师检查）
下列汉字，如果用一样粗细的笔写出来，是轴对称图形有 。他们分别
有 条对称轴 ： 大 小 口 中 朋 木
2、在26个英文字母中，请你说出几个成轴对称图形的字母，并且指出有几条对称轴？
3、判断下面两组图形是否关于某条直线成轴对称.如果是，画出它的对称轴。 xkb1.com
标出下两图形中已知点的对称点
5、观察下列各种图形，是轴 ( http: / / www.21cnjy.com )对称图形有 .
6.下列图形不是轴对称图形的是______：A.圆形 B.有30°角的直角三角板 C.任意角 D.长方形
7.下列汉字，不是轴对称图形的是_______：A.中 B.田 C.喜 D.下
8.下列轴对称图形中，对称轴条数最少的是______：A.等边三角形 B.正方形 C.正六边形 D.圆
9.在镜中看到的一串数字是“”，则这串数字是
10.在英文字母“A、B、C、D、E、F、G、S”中，不是轴对称图形的有_______个。
11.下列图案中，不是轴对称图形的是_______：
13.1轴对称（第二课时） （总第2课时）作业完成评价 .
主备 王宇齐 审阅 审查 计划上课时间 .
学习目标：1. 掌握线段垂直平分线的性质、画法；
2. 会作轴对称图形的对称轴，并能灵活运用解决实际问题。
学习重难点：重点：探索轴对称的性质，并总结出线段垂直平分线的性质。
难点：探索并总结出线段垂直平分线的性质，能运用其性质解答简单的几何问题。
第一学习时间 新知探究（课内合作学习，互评、互讲、互纠错）
探究一 如图1，△ABC和△A1B1C1关于y轴对称，点A的
对应点是 ，点C1的对称点是_____，y轴经过线段AA1
的中点吗？ y轴垂直线段AA1吗？
结论：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任
何一对对应点所连线段的 。
探究二 在一张半透明的纸上画线段AB，用量角器和刻
度尺画线段AB的垂直平分线CD，在CD上任取一点P，
连结PA、PB,量一量PA、PB的长，发现它们
再沿直线CD对折，线段PA、PB重合吗？
结论：线段的垂直平分线上的点与这条线段____________的距离相等。请画图证明这个性质。
探究三 在一张纸上画线段AB及点P1 ( http: / / www.21cnjy.com )、P2，使P1A=P1B ，P2A=P2B，再画线段AB的垂直平分线CD，发现点P1、P2都在线段AB的 上。
结论：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 ________________上。请画图证明这个性质。
第二学习时间 课后训练（课后独立完成，组长批改，个人纠错后交数学老师检查）
三角形ABC与三角形A’B’C’关于直线l对称,则B的度数为
2、如图,将一块正方形纸片沿对角线 ( http: / / www.21cnjy.com )折叠一次,然后在得到的三角形的三个角上各挖去一个圆洞,最后将正方形纸片展开,得到的图案是右图中的( ).
3、下列说法中,正确的有（ ） A 0个 B 1个 C 2个 D 3个
（1）两个关于某直线对称的图形是全等形;
（2）两个图形关于某直线对称,对称点一定在直线两旁;
（3）两个对称图形对应点连线的垂直平分线就是它们的对称轴;
（4）平面上两个完全相同的图形一定关于某直线对称.
4.将一张正方形纸片经两次对折,并剪出一个菱形小洞后展开铺平,得到的图形是( ).
5.下列命题中，假命题是（ ） ( http: / / www.21cnjy.com )
A.两个三角形关于某直线对称，那么这两个三角形全等
B.两个图形关于某直线对称，且对应线段相交，则交点必在对称轴上
C.两个图形关于某直线对称，对应点的连线不一定垂直对称轴
D.若直线L同时垂直平分AA‘、BB’，那么线段AB＝A'B'
13.1轴对称（第三课时） （总第3课时）作业完成评价 .
主备 王宇齐 审阅 审查 计划上课时间 .
学习目标：1. 掌握线段垂直平分线的性质、画法；
2. 会作轴对称图形的对称轴，并能灵活运用解决实际问题。
学习重难点：重点：探索轴对称的性质，并总结出线段垂直平分线的性质。
第一学习时间 新知探究（课内合作学习，互评、互讲、互纠错）
探究一 如图1，△ABC中，DE是AC边的垂直平分线，△ABC和
△ABD的周长分别是18cm和12cm.求线段AE的长。
探究二 如图，点P在∠AOB的内部 ( http: / / www.21cnjy.com )，点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点，线段MN交OA、OB于点E、F，若△PEF的周长是20cm ，求线段MN的长。
探究三 △ABC中，DE是AC的垂直平分线，垂足为E，交AB于点D，
AE=5cm，△CBD的周长为24cm，求△ABC的周长。
4.如图4，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AB和AC，
垂足分别为M、N，分别交BC于D、E.
(1)若∠DAE=30°，则∠BAC=_________；
(2)若△ADE的周长是17cm,则BC的长是______cm.
1.已知点P在线段AB的垂直平分线上，若PA=3CM,则PB=____cm.
2.如图5，DE是AB的垂直平分线，△ADC的周长是26cm,
则AC+BC=______cm.
3.如图6，AB=AC,AB的垂直平分线DE交BC的延长线于E,
交AC于F, ∠A=50°，AB+BC=10.则△BCF的周长是
______，∠EFC的度数是______。
如图，某地有两所大学M、N和两条相交叉的公路AO、BO，
现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，
到两条公路的距离也相等.（1）你能确定仓库位置P吗？
在所给的图形中画出你的设计方案；（2）阐述你设计的理由.
13.1轴对称（第三课时） （总第3课时）作业完成评价 .
主备 王宇齐 审阅 审查 计划上课时间 .
学习目标：1、依据轴对称的性质找出两个图形成轴对称及轴对称图形的对称轴。
2、作出轴对称图形的对称轴，即线段垂直平分线的尺规作图。
学习重难点：重点：作出轴对称图形的对称轴。
难点：在自己的动手画图中体验轴对称的性质及线段垂直平分线的性质。
第一学习时间 自主预习（课前独立完成，课内互评、互纠错）
1、作轴对称图形的对称轴的 ( http: / / www.21cnjy.com )方法是：找到一对 ，作出连接它们的 的 线，就可以得到这两个图形的对称轴．
（1）如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗
（2）已知线段AB，作出它的垂直平分线CD，并写出线段的中点O.
（3）如图，角是轴对称图形吗 如果是，画出它的对称轴
（4）如图，在五角星上作出一条对称轴
（5）画一画：如图所示在方格纸上画出的一棵树的一半，
请你以树干为对称轴画出树的另一半。
2、复习回顾
线段垂直平分线的性质是__________________________________________________。
2.按教材要求操作：自己 ( http: / / www.21cnjy.com )动手在一张半透明的纸上画一个图案，将这张纸折叠，描图，再打开纸，看看你得到了什么 改变折痕的位置并重复几次，你又得到了什么
归纳结论：
(1)由一个平面图形可以得到它关于一条直线l成轴对称的图形，这个图形与原图形的 、________完全相同；
(2)新图形上的任意一点，都是原图形上某一点关于直线l的__________；
(3)连接任意一对对应点的线段被对称轴_______________。
3.把图1补成关于直线l对称的图形
归纳：几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点
关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的
轴对称图形；对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作
出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称
点，就可以得到原图形的轴对称图形。
4.例题解析：如图2，作出箭头图形关于直线l的轴对称图形
自学检测
1.若△ABC与△MNP是关于直线l对称的两个三角形，并且直线l
垂直平分线段AM.则有∠A=______。
2.如图3，把一张含30°角的直角三角形的纸片ABC沿最短边的
垂直平分线翻折.则∠BOC的度数是_______。
3.如图4，△AOD关于直线l进行轴对称变换后得到△BOC.
则下列结论不正确的是______：
A.∠1=∠2 B.∠3=∠4 C.AC与BD互相平分 D.OA=OB
三.合作探究
1.如图5，已知直线l及l两侧的A、B两点，在l上
求作一点P，使P到A和B的距离之和最小.说明理由.
2.如图6，已知直线l及l同侧的A、B两点，在l上求作一点
P，使P到A和B的距离之和最小.说明理由.
3.把下列各图补成以a为对称轴的轴对称图形：
4.把图7中实线部分补成以虚线l为对称轴的轴对称图形，
你会得到一个美丽的图案。
5.如图8，△ABC与△DEF是关于直线l对称的两个三角形，
其中∠C=90°，AC=12cm,DE=13cm,BC=5cm.
(1)指出其中标了字母的对称点； (2)求∠F的度数；
(3)求△DEF的周长和面积。
1.如图9，两个三角形关于某条直线对称，则x=______，并画出对称轴。
要在河边修一个水泵站，分别向张村、李庄送水，修在河边什么地方，
可使所用水管最短？试在图中确定水泵站的位置，并说明你的理由。
3、某班举行文艺晚会，桌子摆成AO，B ( http: / / www.21cnjy.com )O的两直线，AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先到AO桌面上拿桔子，再到OB桌面上拿糖果，然后回到D处座位上，请你帮他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短。
13.2.2用坐标表示轴对称（一课时）（总第4课时）作业完成评价 .
主备 王宇齐 审阅 审查 计划上课时间 .
学习目标：1、能够经过探索利用坐标来表示轴对称。
2、掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标特点。
学习重难点：重点：关于x轴、y轴对称的点的坐标特点。难点：用坐标表示轴对称的应用。
第一学习时间 自主预习（课前独立完成，课内互评、互纠错）
<一>关于x轴、y轴对称的点的坐标特点
如图，在平面直角坐标系中你能画出点A（2，3）
关于x轴的对称点吗 它的坐标是______.
再画B(-4,-1)点关于X轴对称点B’( ) .
观察每对对称点横坐标、纵坐标各有什么关系？
总结：关于归纳：关于x轴对称的点的坐标的特点是:
横坐标_____,纵坐标_____________.
如右图，在平面直角坐标系中你能画出点A（2，4）
关于y轴的对称点吗 它的坐标是______.
再画B(-4,-3)点关于y轴对称点B’( ) .
观察每对对称点横坐标、纵坐标各有什么关系？
总结：关于归纳：关于y轴对称的点的坐标的特点是:
横坐标_____,纵坐标_____________.
归纳：点（x，y）关于x轴对称的点的作标是 ；
点（x，y）关于y轴对称的点的作标是
已知点P(2a+b , -3a)与点P’(8 , b+2).
若点p与点p’关于x轴对称，则a=_____ b=_______.
若点p与点p’关于y轴对称，则a=_____ b=_______.
（二）拓展延伸，运用新知
1、点P(-5, 6)与点Q关于x轴对称，则点Q的坐标为__________.
2、点M (a, -5)与点N(-2, b)关于x轴对称，则a=_____, b =_____.
３、点P(-5, 6)与点Q关于y轴对称，则点Q的坐标为__________.
４、点M (a, -5)与点N(-2, b)关于y轴对称，则a=_____, b =_____.
５如图，利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，分别作出与△ABC关于x轴和y轴对称的图形
已知点 A(2，－3) B（－1，2） C（－6，－5） D（0.5，1） E（4，0）
关于x轴对称的点 A’( ) B’( ) C’( ) D’( ) E’( )
关于y轴对称的点 A’’( ) B’’( ) C’’( ) D’’( ) E’’( )
６、如下图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为
A（－5，1），B（－2，1），C（－2，5），D（－5，4），
分别作出四边形ABCD关于y轴和x轴对称的图形xkb1.
。
二.自主学习
1.如图一
(1)观察上图中两个圆脸有什么关系？
(2)已知右边圆脸右眼B的坐标为（4，3），左眼A的坐标为
（2，3），嘴角两个端点，右端点C的坐标为（4，1），
左端点D的坐标为（2，1）．
请根据图形写出左边圆脸上左眼，右眼及嘴角两端点的坐标:
A1_________; B1_________; C1__________; D1___________.
(3)A与A1、B与B1、C与C1、D与D1分别关于_________对称。
1.点(-2,4)关于x轴对称的点坐标是________，关于y轴对称的点坐标是________。
2.点A关于x轴对称的点坐标是(3,-5)，则点A的坐标是__________。
3.已知点A(m+2，3)、B(-5,n+6)关于y轴对称，则m=________，n=_________。
4.点P(-3,2)与Q(-3,-2)关于_______对称： A.x轴 B.y轴 C.坐标轴 D.原点
1.点P(2,3)关于x轴对称的点为P1,点P1关于y轴对称的点为P2，则点P2的坐标是______:
A.(2,-3) B.(-2,3) C.(-2,-3) D.(2,3)
2.若点P(a,4)和Q(2,b)关于x轴对称，则方程ax+b=0的解是________。
3.若.则点A()关于y轴对称的点为______：
A.(-2,5) B.(2,5) C.(-2,-5) D.(2,-5)
4.如果点P(3a-2,a-1)关于y轴对称的点在第三象限.那么a的取值范围是___________。
5.已知P1(m+1,3)和P2(-3,n-2)关于x轴对称，则(m+n)2=___________。
6.已知A(a,3）,B(-4,b).根据下列条件求出a、b的值：
(1)A、B关于x轴对称 (2) A、B关于y轴对称
7.如图，四边形ABCD的顶点坐标为A(-5，1)，B(-1，1），
C(-1，6），D(-5，4），请作出四边形ABCD关于x轴及
y轴的对称图形。
8.如图，（1）请画出关于轴对称的
（其中分别是的对应点，不写画法）；
（2）直接写出三点
的坐标；（3）求出△ABC的面积。
1.已知点P(-2,3)关于y轴对称的点为Q(a,b).则a+b的值是______：
A.-1 B.1 C.5 D.-5
2.已知点A(2m+1，m-3)关于y轴的对称点在第四象限，则m的取值范围是 。
3.若∣3a-2∣+(b+3)2=0,点A（a，b）关于x轴对称的点为B，点B关于y轴对称的点为C，则点C的坐标是 。
五.如图，每个小正方形的边长都是1，
分别作出△PQR关于直线x=1(记为m)和直线
y=–1(记为n)对称的图形。它们的对应点的
坐标之间分别有什么关系？
13.3.1等腰三角形（第一课时）（总第5课时）作业完成评价 .
主备 王宇齐 审阅 审查 计划上课时间 .
学习目标：1、了解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的性质。
2、运用等腰三角形的概念及性质解决相关问题。
学习重点：等腰三角形的概念及性质。
难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用。
第一学习时间 自主预习（课前独立完成，课内互评、互纠错）
三角形按边来分类，可分为
三角形和 三角形。
有两边相等的三角形叫 ，
相等的两边叫 ，另一边叫 ，
两腰的夹角叫 ，腰和底边的夹角叫
3、如右图，在△ABC中，AB=AC，请在图中标出各部分名称。
第二学习时间 新知探究（课内合作学习，互评、互讲、互纠错）
探究一 等腰三角形的性质：
按右图方法折叠等腰三角形，观察：
∠B和∠C有什么关系？
（2）如果AB=AC,且∠1=∠2，那么 = ，且 。
（3）如果AB=AC,且BD=DC，那么 = ，且 。
（4）如果AB=AC,且AD⊥BC，那么 = ，且 。
性质1 等腰三角形的两个 相等（简写成“ ”）
性质2 等腰三角形 、 、 互相重合。
探究二 如图，已知AB=AC，AD=AE，说明DE∥BC的理由。
探究三 １等腰三角形顶角为1500，那么它的另外两个角的度数分别是 。
２等腰三角形的一个内角为500，则另外两个角的度数分别是 。
３在等腰△ABC中，若AB=3，AC=7，则△ABC的周长为 。
４如图，在△ABC中，AB=AC，∠1=∠2，BD=BE,且∠A=1000，则∠DEC= 。
５如图，AD//BC，CA平分∠BCD，∠D=1100，并且AB=AC，求∠BAC的度数。
６等腰三角形ABC中，∠A=36° ( http: / / www.21cnjy.com ) ，∠B=72° ，∠C=72° ，请同学们想一想，如何添一条线，将等腰三角形ABC分成两个等腰三角形？成功后，如何再添一条线，多得到一个等腰三角形？还可以继续吗？
二.自主学习
1.复习回顾： 叫做等腰三角形,相等的两条边叫做 ，另一条边叫做 ，两腰所夹的角叫做 ，底边与腰的夹角叫做 。
2.用剪刀按照教材75页介绍的方法，剪出一个等腰三角形，想一想，它是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
3.将上面的等腰三角形沿对称轴对折，找出重合的线段和角，由此你发现了等腰三角形的哪些性质（见75页探究）？
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）；
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上
的高相互重合(简单说成“三线合一”)。
4.填空证明上述两个性质：
性质1：如图1，在△ABC中，AB=AC,
过点A作AD⊥BC于点D
∴△ABD≌_______(HL) ∴∠B=_______.
性质2：如图1，在△ABC中，
①∵AB=AC，∠BAD=∠CAD ∴△ABD≌△ACD (____) ∴ BD = , ⊥ ；
②∵AB=AC，BD=CD ∴△ABD≌△ACD (____) ∴∠BAD= ， ⊥ ；
③∵AB=AC，AD⊥BC ∴△ABD≌△ACD (____) ∴∠BAD= ，BD= 。
自学检测
1.等腰三角形的一个底角是75°，则它的顶角度数是________。
2.等腰三角形有两边长分别是5、7，则它的周长是__________。
3.等腰三角形的两内角的度数比是1︰4，则底角的度数是_______。
4.如图2，在等腰三角形中，腰AB的垂直平分线交另一腰AC于F，
垂足为E，△BFC的周长为20cm,若AB=12cm.则BC=________cm.
5.已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，要使AD∥BC，则△ABC
的边一定满足___________。
三.合作探究
1.如图3，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD.求△ABC各角的度数。
2.在下列三角形中，若AB=AC,则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是_______
( http: / / www.21cnjy.com )
A.(1)(2)(3) B.(2)(3)(4) C.(1)(3)(4) D.(1)(2)(3)
3.如图4，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，且AD=AE.
求证：BD=CE.
4.如图5，AB=AE，BC=DE,∠B=∠E,AM⊥CD，垂足为点M
求证：CM=DM
5.等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为40o.求底角的度数。
1.在△ABC中，∠A=65o，∠B=50o，则AB︰BC=________。
2.等腰三角形的周长是20，其中一边长是6，则另两边长
是_________________。
3.如图6，AB=AC，BD⊥AC于D.求证：∠BAC=2∠DBC.
五.拓展提高.如图6，在△ABC中，AB=AC，∠A=30o，BF=CE，
BD=CF，求∠DFE的度数。
如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD是△ABC的角平分线，∠1=∠C，求证：AC=AB+BD.
如图6，已知AB是等腰直角三角形ABC的斜边，BD平分∠ABC，求证：BC+CD=AB.
16.如图，在Rt△ABC中，AB=AC,∠1=∠2,CE⊥BD的延长线于E。求证:BD=2CE
13.3.1等腰三角形（第二课时）（总第6课时）作业完成评价 .
主备 王宇齐 审阅 审查 计划上课时间 .
学习目标：1、理解等腰三角形的判定方法及应用。
2、通过对等腰三角形的判定方法的探索，体会探索学习的乐趣。
学习重点：等腰三角形的判定方法及其应用 学习难点：探索等腰三角形的方法定理
第一学习时间 自主预习（课前独立完成，课内互评、互纠错）
学习过程：
（一）创设情境，感受新知
1、实验猜想
如图，将一个长方形纸条进行折叠，叠和部分所成的
三角形有什么特征？它是等腰三角形吗？
2、思考：
ΔABC中，当添加一个什么条件时，可以成为等腰三角形？
3、提出猜测：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等吗？
如图，在△ABC中，已知∠B=∠C，说明△ABC是等腰三角形的理由.
归纳：等腰三角形的判定方法： （简称为“ ”） 。
几何语言：因为在△ABC中， （已知）
所以 （ ）
即
( 二) 拓展延伸，运用新知
1．一个三角形的一个外角为130°，且它恰好等于一个不相邻的内角的二倍。这个三角形是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
2．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，DE∥BC，则图形中共有等腰三角形（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
（第2题） 第3题 第４题
3．如图，△ABC中，AB＝AC，B ( http: / / www.21cnjy.com )＝36°，D、E是BC上两点，使∠ADE＝∠AED＝2∠BAD，则图中等腰三角形共有（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
4．如图，已知△ABC中，AB＝AC， ( http: / / www.21cnjy.com )∠BAC与∠ACB的平分线交于D点，∠ADC＝130°，那么∠CAB的大小是（ ）A．80° B．50° C．40° D．20°
５、如图1，已知点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE求证：AB=CD . 现给出以下两种添加
辅助线(如图2、图3)的方法，请任选一种证明.
1.复习回顾：等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形全等的判定
2.用直尺和量角器画△ABC，使∠B=∠C，再用刻度尺量一量线段AB、AC的长，你有什么发现？
猜想：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。
3.你能验证2中的猜想吗？
已知：如图,在△ABC中，∠B=∠C .求证：AB=AC.
结论：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等
（简写成：等角对等边”）。
4.等腰三角形的判定方法：(1)等腰三角形的定义 (2)等角对等边
等腰三角形的性质与判定有什么区别和联系？
区别：
联系：
5.等腰三角形的一些常见结论：
(1)等腰直角三角形的两底角相等，都等于45°；
(2)等腰直角三角形底边的高线把它分成全等的两个小等腰直角三角形；
(3)等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角、直角，当顶角可为钝角或直角；
(4)如果等腰三角形的腰长为a，底边长为b，则0
1.在△ABC中，∠A=36°，∠B=72°，则它的形状是_______：
A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形
2.若等腰三角形的一个底角为,则_______：
A.45° B.0°<<90 C.=90° D.90°<<180°
3.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线AF交与AB上的高CD交于点E.
△CEF是等腰三角形吗？为什么？
1.如图，AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OC=OD，求证：OA=OB
2.求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，
那么这个三角形是等腰三角形。
3.如图3，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，过D作
DE∥AB,DF∥AC,分别交BC于E、F,若BC=6cm,求△EAF的周长。
4.如图4，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O
作EF∥BC，交AB于点E，交AC于点.求证：EF=EB+FC.
1.一个等腰三角形的相邻两边长分别为3和7，则这个等腰三角形的周长为________；
一个等腰三角形的相邻两边长分别为5和7， 则这个等腰三角形的周长为_________。
2.△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于D,若△ABC的周长是50，△ABD的周长是40，则AD=____。
3.如图5，在△ABC中，A ( http: / / www.21cnjy.com )B=AC，∠B=36O，D、E是BC上的两点，且∠ADE=∠AED=2∠BAD则图中的等腰三角形共有_______:A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
五.拓展提高.如图6，E在△ABC的A ( http: / / www.21cnjy.com )C边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF=EF，BD=CE。求证：△ABC是等腰三角形。
13.3.2等边三角形（第一课时）（总第7课时）作业完成评价 .
主备 王宇齐 审阅 审查 计划上课时间 .
学习目标：1理解并掌握等边三角形的定义，探索等边三角形的性质和判定方法
2、能够用等边三角形的知识解决相应的数学问题
学习重点：等边三角形判定定理的发现与证明 学习难点：等边三角形性质和判定的应用
第一学习时间 自主预习（课前独立完成，课内互评、互纠错）
（一）创设情境，感受新知
归纳：（1）等边三角形的性质：等边三角形的
（2）等边三角形的判定：
（二）拓展延伸，运用新知
如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，交AB，AC于D，E。 求证△ADE是等边三角形。
2等边三角形三条中线相交于一点。画出图形，找出图中所有的全等三角形，并证明它们全等。
3如图，△ABD，△AEC都是等边三角形，求证BE＝DC
1.复习回顾：
①等腰三角形的性质和判定方法。②等边三角形的定义是怎样的？
2.新知探究:
①等边三角形与等腰三角形的关系是怎样的？(谁是谁的特殊情况？)
②把等腰三角形的性质用到等边三角形，能得到什么结论？(注意使用轴对称分析).
③一个三角形满足什么条件就是等边三角形？（分别从边、角、边和角分类讨论）.
④你认为有一个角等于60°的等腰三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )是等边三角形吗 为什么？(建议你分两种情况讨论：如果个60°的角是等腰三角形的顶角，情况怎样？如果这个60°的角是等腰三角形的底角，情况又怎样？)
3.结论：
①等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于______°；
②三个角都相等的三角形是________三角形；
③有一个角是60°的等腰三角形是_________三角形。
4.等边三角形的判定：
①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等的三角形是等边三角形；
③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；
④有三条对称轴的三角形是等边三角形。
自学检测
1.等边三角形的两条高线相交所成的钝角的度数是________。
2.等边三角形的周长是15cm,则它的边长是________cm。
3.△ABC中，AB=AC, ∠A=∠C.则△ABC的形状是________：
A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形
4.如图1，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB、AC于D、E.
求证：△ADE是等边三角形。
三.合作探究
1.如图2，D、E分别是等边△ABC中BC、AC边上的点，且BD=CE，求证：∠BAD=∠CBE.
2.已知P为等边△ABC所在平面内的一点，且△PAB、△PBC、△PCA都是等腰三角形，这样的点P共有 个。
3.如图3，点D、E、F在等边△ABC的三边上，且AD=BE=CF.
求证：△DEF是等边三角形。
4.如图4，△ABC和△ADE都是等边三角形.求证：BD=CE.
如图5，点C为线段AB上的一点，△ACM、△CBN都是等边三角形，
线段AN、MC交于点E，线段CN、MB交于点F。
求证：（1）AN=MB(2) △CEF是等边三角形.
等腰三角形的一个内角是另一个内角的2倍。
则它的三内角度数分别是___________。
2.如图6，点P、Q是△ABC的边BC上的两点，
且BP=PQ=CQ=AP=AQ.则∠BAC=_______。
3.如图7，点D是等边△ABC内的一点，且DB=DA，
BP=AB，∠DBP=∠DBC，求∠P的度数.
五.拓展提高、三角形的三个内角分别为、、，且有.试判断此三角形的形状。
1.如图2，已知∠B=∠E=90°，CE=CB，AB∥CD.求证：△ADC是等腰三角形.
13.3.2等边三角形（第二课时）（总第8课时）作业完成评价 .
主备 王宇齐 审阅 审查 计划上课时间 .
学习目标：1、证明直角三角形中有一个角为30°的性质．
2、有一个角为30°的直角三角形的性质的简单应用．
学习重点：含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明．
学习难点：含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明．
第一学习时间 自主预习（课前独立完成，课内互评、互纠错）
探究：有一个角为30°的直角三角形的性质
1、问题：用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由．
由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与
斜边有怎样的大小关系？你能证明你的结论吗？
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．求证：BC=AB．
3、归纳：在直角三角形中，
（二）拓展延伸，运用新知：
1、右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，立柱BD、DE要多长？
2、等腰三角形的底角为15°，腰长为2a，求腰上的高．
已知：如图，在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°，CD是腰AB上的高．
3已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°．求证：BD=AB．
1.复习回顾：等边三角形的性质与判定。
2.问题：用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？说出你的理由。
3．由上述你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？你能用不同于课本上的方法证明你的结论吗？
4.由此，我们得到下面的性质定理：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
5.填空：如右图，在△ABC中，
∵∠C=90o，∠A=30o ∴BC=
（ ）
6.思考：在直角三角形中，如果一直角边等于斜边的一半，
则这条边所对的锐角一定是30°吗？
请你借助右边的图示进行考虑并试着证明（辅助线说明：延长
BC到D,使CD=BC)。
自学检测
1.已知△ABC中，∠A︰∠B︰∠C=1︰2︰3,BC=6.则AB=_____.
2.如图1，在△ABC中，AB=AC,∠A=40°，AB的垂直平分线
MN交AC于点N.则∠NBC的度数是______。
3.如图2是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，
立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，
立柱BC、DE要多长？
1.等腰三角形的底角为15°，腰长为2a，则腰上的高为
2.如图4，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，求证：AB=4BD．
3.如图5，在等边△ABC中，AD⊥BC,DE⊥AC.试探究线段
AE与CE之间的数量关系。
4.如图6，△ABC为等边三角形，D、E分别是AC、BC上的点，
且AD=CE，AE与BD相交于点P，BF⊥AE于点F求证:BP=2PF
1.△ABC中,∠C=90°,∠A=2∠B.则AB与AC的
关系是________。
2.如图7，AD∥BC,BD平分∠ABC,BA=AD=DC,
∠A=120°.则AD与BC的关系是________。
3.如图8，在△ABC中，∠ACB=90°且，
求证：∠A=30°.
五.拓展提高.如图，等边三角形ABC的边长为4cm，
点D从C出发沿CA向A运动，点E从B出发沿AB的
延长线BF向右运动，已知点D、E都以
每秒0.5cm的速度同时开始运动，运动过程中DE与BC
相交于点P（1）运动几秒后，△ADE为直角三角形？
（2）求证：在运动过程中，点P始终为线段DE的中点。
复习轴对称 （总第1课时）作业完成评价 .
主备 王宇齐 审阅 审查 计划上课时间 .
第一学习时间 自主预习（课前独立完成，课内互评、互纠错）
1、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相_____，这个 图形就叫
___________，这条直线叫___________.折叠后重合的点是对应点，叫______
2、线段的垂直平分线:经过线段_________并且_______于这条线段的直线，叫做这条线段的________
3、等腰三角形:___________________叫做等腰三角形,相等的两条边叫________，另一条边叫_______，
两腰所夹的角叫________，底边与腰的夹角叫_______.
4、等边三角形:____________________________的三角形叫等边三角形。
5、如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的_______ 或者说轴对称图
形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的_________.
6、线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离_______.
7、通过画出坐标系上的两点观察得出：(1)点P(x，y)关于x轴对称的点的坐标为P′( ).
(2)点P（x,y)关于y轴对称的点的坐标为P″( ).
8、等腰三角形的性质: (1）等腰三角形的两个底角________（简称“等边对等角”）.
（2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的_______、底边上的_________相互重合.
（3)等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的__________.
（4）等腰三角形两腰上的高、中线分别相等，两底角的平分线也_______.
（5）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的________。
（6）等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个三角形的________.
9、等边三角形的性质:（1）等边三角形的三个内角都，并且每一个角都等于 .
（2）等边三角形是轴对称图形，共有 条对称轴.
（3）等边三角形每边上的 、 和该边所对内角的平分线互相重合.
10、与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 上.
11、如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边___________(简写成“等角对等边”）.
12、三个角都相等的三角形是___________三角形.
13、有一个角是60°的____________三角形是等边三角形.
第二学习时间 新知探究（课内合作学习，互评、互讲、互纠错）
探究一 如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点 M、N，
求证：CM=2BM．
探究二 如图所示，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线，交BC的延长线于点F， 连结AF．
求证：∠BAF=∠ACF．
第三学习时间 课后训练（课后独立完成，组长批改，个人纠错后交数学老师检查）
2.点M（1，2）关于x轴对称的点的坐标为_______：
A、（－1，－2） B、（－1，2） C、（1，－2） D、（2，－1）
3.下列图形中对称轴最多的是_______：A、等腰三角形 B、正方形 C、圆 D、线段
4.已知直角三角形中30°角所对的直角边为2㎝，则斜边的长为______:
A、2 ㎝ B、4 ㎝ C、6 ㎝ D、8㎝
5.下列说法正确的是________；A.等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 B.顶角相等的两个等腰三角形全等 C.等腰三角形的两个底角相等 D.等腰三角形一边不可以是另一边的二倍
6.若等腰三角形的周长为26cm，一边为11cm，则腰长为________：
A.11cm B.7.5cm C.11cm或7.5cm D.以上都不对
如图：DE是ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8厘米， AB=10厘米，
则EBC的周长为______厘米：A.16 B.18 C.26 D.28
8.如图，在△ABC中，AB=AC，AD ( http: / / www.21cnjy.com )=BD=BC，则∠C=_______：A.72° B.60° C.45° D.36°
9.若等腰三角形腰上的高是腰长的一半,则这个等腰三角形的底角是_______；
A、75°或15° B、75° C、30° D、75°或30°
耐心填一填（每小题2分，共20分）
等腰三角形一个底角是30°，则它的顶角是______度；
等腰三角形的一边长是6，另一边长是3，则周长为_______
14.等腰三角形的一内角等于50°，则其它两个内角各为
15.如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB＋BC=12㎝，则AB= ㎝；
16.如图：从镜子中看到一钟表的时针和分针，此时的实际时刻是________
17.若∣3a-2∣+∣b-3∣=0，则点P(-a，b)关于y轴的对轴点P′的坐标为
18、如图，在△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平
行线BG于G，DE⊥GF，交AB于E，连结EG.
①求证：BG=CF； ②请你判断BE+CF与EF的大小，并证明你的结论。
轴对称训练案 （总第1课时）作业完成评价 .
主备 王宇齐 审阅 审查 计划上课时间
基础题
1、下列图形不能确定为轴对称图形的是_________：
A.直角 B.线段 C.三角形 D.等腰梯形
2、下列说法中，正确的个数是_________：A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
(1)等腰三角形的一个角是40°，则其余两个角度是70°；(2)等腰三角形的底角一定是锐角；
(3)腰长相等，且有一个角是20°的两个等腰三角形全等；
(4)等腰三角形内角的平分线及此角所对边上的高一定重合。
3、等腰三角形的周长是16，其中两边之差为2，则它的三边的长分别为
4、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则它的顶角度数为
5、一等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成15cm和18cm两部分，则这个等 腰三角形的底边长是 .
6、若点M(1-x,1-y)在第二象限，则点N(1-x,y-1)关于y轴对称的点在第______象限:
A.1 B.2 C.3 D.4
7、如图1，在△ABC中，点D在AC上且AD=AB，∠ABC=∠C +30°，
则∠CBD=_______：A.15° B.18° C.20° D.22.5°
8、已知一个三角形的每一个角的平分线都垂直于这个角所对边。则这个三角形的形状是________：
A.直角三角形 B.钝角三角形 C.任意三角形 D.等边三角形
9、如图2，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于点E，交BC
于点D，△ABD的周长为16，AC=5.则△ABC的周长是______.
10、如图3，在直线MN、PQ上各找 一点B、C，使AB+BC最短（画出线路图）。
11、如图4，∠DEF=36°，AB=BC=CD=DE=EF，求∠A.
二.综合题
12、如图5，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且BD=CD，
DE、DF分别垂直AB、AC，垂足分别为E、F，试说明EB=FC.
13、如图6，在△ABC中，AB=AC,D、E、F分别在AB、BC、CA上，
且BD=CE,∠DEF=∠B. 求证：△DEF是等腰三角形。
14、如图7，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，AB的中垂线MN交AC于点D，交AB于点M.
有下面三个结论：
(1)BD是∠ABC的平分线；(2)△BCD是等腰三角形；(3)△AMD≌△BCD.
请判断其中正确的结论有哪几个？并选一个你认为正确的结论加以证明。
15、如图：△ABC和△AED都是等边三角形，AD是△ABC 中BC边上的中线。
求证：BE=BD。
(A)
(B)
(C)
(D)
A1
B1
C1
图1
a
a
a
l
图一
y
x
y
1
2
O
1
-1
A
B
C
1 2
A
D
E
B
C
D
A
C
E
B
1
2
A
D
B
C
B
A
C
C
B
A
P
F
E
D
C
B
A
P
D
C
B
A
E
F
第16题
E
D
C
B
A