第五讲 完 全 平 方 数.doc[下学期]

第五讲 完 全 平 方 数
【知识要点】
一个数如果是另一个整数的平方，就称这个数为完全平方数，也称平方数.
完全平方数的基本性质：
（1）完全平方数的末位数字只能是0，1，4，5，6和9；
（2）完全平方数的个位数字是奇数时，十位数字的必是偶数；
（3）完全平方数的十位数是奇数时，个位数字必为6；反之，完全平方数的个位数字是6时，十位数字必须为奇数；
（4）完全平方数的末位为5时，十位和百位数字都是偶数；
（5）形如3k+2，4k+2和4k+3型的自然数（其中k为整数）不是完全平方数；
（6）在两个相邻整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数；
（7）一个正整数是完全平方数的充要条件是它有奇数个因数（包括1和它本身）.
【例题精选】
例1 设N=23x+92y为完全平方数，且N不超过2392，则满足上述条件的一切正整数对（x，y）共有 对.（2002年全国初中数学联赛）
分析与解 由于N=23（x+4y）是完全平方数且23是质数，因此x+4y=23m2（m为整数）.
所以N=232·m2≤2392,得m2＜5,故m2=1或4.
当m2=1时，x+4y=23，由x、y都是正整数，有0＜4y＜23，即1≤y≤5,此时满足条件的正整数对(x,y)共有5对.
当m2=4时，x+4y=92，同上0＜4y＜92，可得1≤y≤22，此时满足条件的正整数对（x,y）共有22对.
综上所述，满足条件的正整数对（ x、y）共有27对.
例2 求证：11，111，1111，…，，…这串数中没有完全平方数.（1972年基辅数学竞赛）
分析与解 形如（n≥2）的数若是完全平方数，必是未位为1或9的数的平方数，即
=（10a+1）2或=（10a+9）2
若=（10a+1）2=100a2+20a+1，则
=100a2+20a 即=10a2+2a
因为左端是奇数，右端是偶数，所以左右两端不相等.
若=（10a+9）2=100a2+180a+81，则
=100a2+180a+81 即=10a2+18a+8
因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端也不相等.
综上，不可能是完全平方数.
说明:本题如果直接引用性质（2）（即完全平方数的个位数字是奇数时，十位数字必是偶数）立即可知不可能是完全平方数.
进一步，，，，，，，和（n≥2）都不是完全平方数，这是因为由性质（2）知，，和都不是完全平方数，由性质（1）知和不是完全平方数，由性质（3）知不是完全平方数，对于，由于=4×11…1且4=22，而不是完全平方数，知它也不是完全平方数.
例3 从1开始的自然数中，把能表示成两个整数的平方差的数从小到大排成一列，则这列数中，第1998个数是 （ ）
（A）2662 （B）2664 （C）2665 （D）2666
（第十三届江苏省初中数学竞赛）
分析与解 先寻找开始的数，探索这列数中的数有什么规律.
易求得这列数前n个数为1，3，4，5，7，8，9，11，12，….仔细观察这列数中缺少2，6，10，…，所缺少的数均为4n+2型的.
事实上，n2-(n-1)2=2n-1且（n+1)2-(n-1)2=4n，所以4n+1, 4n+3和4n型的数都是这列数中的数. 而对于4n+2型的，如果它是这列数中的数，那么存在两个整数p,q使p2-q2=4n+2（p＞q）
由于p2-q2=（ p-q）（p+q），p-q和p+q有相同的奇偶性，若（ p-q）（p+q）=4n+2，左边两个因数都要为偶数，此时p2-q2是4的倍数而非4n+2型的，因此4n+2型的数不在这列数中.
把这列数从最小的数开始每3个数为1组，则每组的第3个数为4n，而1998=3×666，所以第1998个数为第666组中的第3个数，故为4×666=2664.
例4 假设n是正整数，d是2n2的正约数. 证明：n2+d不是完全平方数.（1953年匈牙利数学奥林匹克）
分析与解 d是2n2的正约数，可设2n2=kd,其中k是正整数.如果n2+d是某整数x的平方，即x2=n2+d.
由于题设中2n2=kd,且保证右边为平方数
两边同乘以k2得
k2x2=k2n2+k2d=k2n2+2kn2=n2(k2+2k). (*)
因为k2例5 相继10个整数的平方和能否成为完全平方数？（1992年“友谊杯”国际数学竞赛）
分析与解 设相继的10个整数为n+1,n+2,……，n+10,本题要判断(n+1)2+(n+2)2+……+(n+10)2=5(2n2+22n+77)能否为完全平方数.如果是，则2n2+22n+77=5x2.即2n2+22n+77能被5整除.
若n=5k，则2n2+22n+77≡2 (mod 5)
若n=5k+1 则2n2+22n+77=2(5k+1)2+22(5k+1)+77,此时，2n2+22n+77≡2+22+77≡2+2+2≡1 (mod 5)
若n=5k+2,则2n2+22n+77=2(5k+2)2+22(5k+2)+77,此时2n2+22n+77≡8+44+77≡3+4+2≡4 (mod 5)
若n=5k+3,则2n2+22n+77=2(5k+3)2+22(5k+3)+77，此时 2n2+
22n+77≡18+66+77≡3+1+2≡1 (mod 5)
若n=5k+4,则2n2+22n+77=2(5k+4)2+22(5k+4)+77,此时，2 n2+22n
+77≡32+88+77≡2+3+2≡2（mod 5)
综上2n2+22n+77不能被5整除.所以相继的10个整数的平方和不能成为完全平方数.
例6 在平面直角坐标系xoy中，我们把横坐标为正整数，纵坐标是完全平方数的点都染成红点. 试将函数y=(x-36)(x-144)-1991的图形所通过的“红点”都确定下来.（1991年北京市高一数学竞赛）
分析与解 设纵坐标y= m2,m为自然数，则,
令x-90=k,则k2-m2=4907，由于4907=7×701是两个质数的乘积，k-m＜k+m，所以由
得k=354,m=347,x=444，
或由
得k=2425,m=2453,x=2544，
当 及 时，解得x均为非负整数，不合要求，所以其图像只通过两个红点，它们是（444，120409）与（2544，6017209）.
例7求所有这样的正整数，使得是一个自然数的完全平方.
分析与解 为了便于寻找，得先提取一些因式，由于不知x与6的大小，分以下三类进行讨论：
　　①当8时， N=
要使N是完全平方数，且为奇数，则也要为完全平方数，即取偶数，=2,4，6,8.一一验证知N都不是完全平方数.
②当=9时，N=不是完全平方数.
③当时，N=.
要使N是平方数，必须使为一奇数的完全平方.设
，
于是.
由于和为一奇、一偶，于是只能是=1，即.从而-10=2，求得=12.
综上所述，=12是唯一能使N为平方数的自然数.
例8 试求出这样的四位数，它的前两位数字与后面两位数字分别组成的二位数之和的平方，恰好等于这个四位数.（2003年全国初中数学联赛）
分析与解 设前后两个二位数分别为x、y，其中10≤x,y≤99.由题意（x+y）2=100x+y
把上式整理成关于x的一元二次方程：
x2+2（y-50）x+(y2-y)=0 （*）
由于x是正整数，所以△=4（y-50）2-4(y2-y)=4(2500-99y)是完全平方数.
由△≥0知y≤25，所以10≤y≤25
由于2500-99y必为完全平方数，而完全平方数末位数字仅可能是0,1,4,5,6,9,代入仅当y=25时，2500-99y为完全平方数.
将y=25代入（*）式可求得x=20或30.
所以所求四位数为2025或3025.
【练习题】
1.从1到2002连续自然数的平方和12+22+32+…+20022的个位数是 （ ）
（A）0 （B）3 （C）5 （D）9
（2002年太原初中数学竞赛）
2.如果对于不小于8的自然数n，当3n+1是一个完全平方数时，n+1都能表示成个完全平方数的和，那么，的最小值为 （ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
（2002年全国初中数学联赛）
3.使得2n(n+1)(n+2)(n+3)+12可表示成两个自然数平方和的自然
数n的个数是 （ ）
（A）0 （B）1 （C）有限的(但多于1) （D）无限多
(1990年广州等五市初中数学联赛)
4.设平方数y2是11个相继整数的平方和，则y的最小值是 .（1998年初中数学联赛）
5.如果n2-19n+91是完全平方数，那么自然数n的个数是 .(1991年北京市初中数学竞赛)
6. 甲、乙两人合养了n头羊，而每头羊的卖价又恰为n元，全部卖完后，两个分钱方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去，为了平均分配，甲应补给乙多少元钱？（第二届“希望杯”初中数学邀请赛）
7. 试证：若a是完全平方数，则a的正约数的个数一定是奇数；反之，若自然数a的正约数的个数是奇数，则a是完全平方数.
8.试求出一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同.（第二届莫斯科数学奥林匹克）
9.是否存在一个2000位的整数，它是某整数的平方，且在十进制中至少有1999个数字是“5”？（1999年乌克兰数学奥林匹克）
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