湖南省衡阳市衡阳县第四中学2022-2023学年高二下学期期末考试数学模拟试卷（一）（含解析）

衡阳县四中2022-2023学年下学期高二期末模拟卷
数 学 （一）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．把个相同的小球分给个小朋友，使每个小朋友都能分到小球的分法有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
2.已知随机变量，其正态曲线如图所示，若，则（ ）
A. B. C. D.
3.根据组合数的性质可知，（ ）
A． B． C． D．
4.将三颗骰子各掷一次，设事件 “三个点数都不相同”， “至少出现一个点”，则概等于（ ）
A. B. C. D.
5.随机变量满足,且,则与的值分别为（ ）
A. B. C. D.
6.年亚运会于年月日至月日在中国浙江杭州举行,杭州亚运会吉祥物是一组承载深厚底蕴和充满活力的机器人,组合名为“江南忆”,出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆,最忆是杭州”,融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因.现将编号为的个吉祥物机器人赠送给:名亚运会志愿者留作纪念,若要求每名志愿者至少获得个吉祥物且号和号吉祥物被赠送给匠一名志愿者,则不同的赠送方法数为（ ）
A. B. C. D.
7.世纪美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时,偶然发现表中以开头的数出现的频率更高．约半个世纪后，物理学家本·福特又重新发现这个现象,从实际生活得出的大量数据中,以开头的数出现的频数约为总数的三成,并提出本·福特定律，即在大量进制随机数据中，以开头的数出现的概率为,如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律,后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据筹大数据的真
实性.若，则的值为( )
8.若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．以上均不正确
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，不分选对的得2分，有选错的得0分.
9．下列命题正确的是（ ）
A．在回归分析中，相关指数越小，说明回归效果越好
B．已知若根据列联表得到的观测值为，则有的把握认为两个分类变量有关
C．已知由一组样本数据得到的回归直线方程为，且，则这组样本数据中一定有
D．若随机变量，则不论取何值，为定值
10.将个不同的小球放入个分别标有号的盒子中，不允许有空盒子的放法，关于放法的种数，下列结论正确的有( )
A． B． C． D．
11.关于及其展开式,下列说法正确的是（ ）
A.展开式中各项系数和为 B.展开式中第项的二项式系数最大
C.展开式中第项为 D.当时,除以的余数是
12.定义在上的函数的导函数为，且对恒成立.下列结论正确的是( )
A. B.若，，则
C. D.若，，则
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若，则__________.
14.甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.每局比赛甲队获胜的概率是,没有平局.假设各局比赛结果相互独立,则甲队以获胜的概率是_________.
15.设某批产品中,编号为的三家工厂生产的产品分别占,各厂产品的次品率分别为.现从中任取一件,则取到的是次品的概率为_________.
16.已知的展开式的各项系数之和为,则实数_________,展开式中含项的系数是_________.(本小题第一空2分,第二空3分)
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.盒子内有个不同的黑球,个不同的白球.
(1)将它们全部取出排成一列,个黑球两两不相邻的排法有多少种
(2)若取到一个白球记分,取到一个黑球记分,从中任取个球,使总分不少于分的取法有多少种？
18. 在一个袋中装有大小、形状完全相同的个红球、个黄球.现从中任取个球,设随机变量为取得红球的个数.
(1)求的分布列；
(2)求的数学期望和方差.
19.甲、乙两位同学参加诗词大赛,各答道题,每人答对每道题的概率均为,且各人是否答对每道题互不影响.
(1)用表示甲同学答对题目的道数,求随机变量的分布列和数学期望;
(2)设“甲比乙答对的题目数恰好多”为事件,求事件发生的概率.
20.近年来,国资委党委高度重视扶贫开发工作,坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署,在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作,并取得了积极成效.某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召,特地承包了一块土地,已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如下表所示:
并调查了某村位村民参与管理的意愿,得到的部分数据如下表所示:（单位:人）
(1)求出样本相关系数的大小,并判断管理时间与土地使用面积是否线性相关(当时,即可认为线性相关);
(2)依据的独立性检验,分析村民的性别与参与管理的意愿是否有关;
(3)以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计该贫困县的情况,从该贫困县中任取人,记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为,求的分布列及数学期望.
参考公式:,
,其中.
临界值表:
参考数据:.
21.已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合.的离心率为，过的右焦点且垂直于轴的直线截所得的弦长为.
(1)求椭圆和抛物线的方程；
(2)过点的直线与椭圆，交于两点，点关于轴的对称点为点,证明：线过定点.
22.设函数，．
（1）若函数存在两个极值点，求实数的取值范围；
（2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
参考答案及解析
1．答案：B
解析：
利用隔板法.相当于在个球的个空档里插入块板子，有种方法.
故选：B.
2.答案：D
解析：
由图可知，因为，所以.
故选：D.
3.答案：C
解析：
根据组合数的性质得.
4.答案：A
解析：
依题意可得，
则.
故选：A.
5.答案：A
解析：
因为,所以,,又,
所以,所以,
.
故选：A.
6. 答案：D
解析：
由题意号和号吉祥物被赠送给同一名志愿者,将号和号捆绑在一起,然后将个己祥物先分为组,有两类:,再将分好的三组分配给名志愿者,不同的方法数.
故选：D.
7.答案：B
解析：
又，故.
故选：B.
8.答案：C
解析：
因为对任意恒成立，
即对任意恒成立，
令，，
则，所以在上单调递增，
依题意对任意恒成立，
即对任意恒成立，
两边取对数可得，所以，
令，则，所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
所以，所以，即.
故选：C.
9．答案：B、D
解析：
对于A:在回归分析中，相关指数越大，说明回归效果越好，故错误；对于B:由于，则有的把握认为两个分类变量有关，故正确；对于C:当时， ，这只是一个预测值，故错误；对于D:由于，则，结合原则可知正确.
故选：BD.
10.答案：B、C
解析：
根据题意，个不同的小球放入个分别标有号的盒子中，且没有空盒子，则三个盒子中有个盒子中放个球，剩下的个盒子中各放个，有种解法：
方法一：分步进行分析：
①先将个不同的小球分成组，有种分组方法；
②将分好的组全排列，对应放到个盒子中，有种放法．
则没有空盒的放法有种．
方法二：分步进行分析：
①在个小球中任选个，在个盒子中任选个，将选出的个小球放入选出的小盒中，有种情况；
②将剩下的个小球全排列，放入剩下的个小盒中，有种放法．
则没有空盒的放法有种.
故选：BC.
11. 答案：B、D
解析：
令,可得展开式中各项系数和为,故A错误;
因为是偶数,所以展开式中中间项第项的二项式系数最大,故B正确;
展开式中的第项为,故C错误；
当时,，
其中能被整除,所以除以的余数是,故D正确.
故选：BD.
12. 答案：C、D
解析：
设函数，
则
因为，所以，
故在上单调递减，从而，整理得，
，故A错误，C正确.
当时，若，因为在上单调递减，所以，
即，即.故D正确，从而B不正确.
即结论正确的是CD.
故选：CD.
13.答案：
解析：
由题意可知或，解得.
14.答案：
解析：
根据题意,若甲队以获胜,则第五局甲胜,前四局是,
所以所求概率.
15.答案：
解析：
设表示“取到的是一件次品”,表示“取到的产品是由第家工厂生产的”,则,
.
由全概率公式可得
.
16.答案：
解析：
已知的展开式的各项系数之和为,令,则,解得,故该式为,其展开式中含项的是.故展开式中含项的系数为.
17.答案：
(1)首先将个白球进行排列,然后个黑球进行插空,则个黑球两两不相邻的排法有
种.
(2)从中任取个球,使总分不少于分的取法有类：个白球、个白球个黑球、个白球个黑球、个白球个黑球,故共有种.
18. 答案：
(1)的可能取值为.,,
则的分布列为:
(2)由(1)中分布列可得,
.
19.答案：
(1)的可能取值为.,
,
,
.
∴的分布列为
∴数学期望.
(2)由题意得,事件包含“甲答对道,乙答对道”和“甲答对道,乙答对道”两种情况,∴.
20.答案：
(1)由题知,,,
故,
,
,
则,
故管理时间与土地使用面积线性相关.
(2)依题意,完善表格如下：(单位:人)
零假设为:村民的性别与参与管理的意愿无关.计算可得
.
依据的独立性检验,推断不成立,即认为村民的性别与参与管理的意愿有关.
(3)解法一:依题意,的可能取值为,从该贫困县中随机抽取一位村民,取到不愿意参与管理的男性村民的概率为,
故,
,
,
.
故的分布列为
则数学期望.
解法二：依题意,从该贫困县中随机抽取一位村民,取到不愿意参与管理的男性村民的概率为,则,故.
21.
(1)由的离心率为，可得，所以,
因为椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，所以,
过的右焦点且垂直于轴的直线截所得的弦长为，令代入抛物线的方程
可得，所以,
即，解得，所以,
由可得,
所以椭圆和抛物线的方程分别为：；
(2)由题意可得直线的斜率存在且不为，设直线的方程为：,
设，由题意可得,
直线与椭圆联立：整理可得：，
，可得，，
直线的方程为：，真理可得：
所以当时，，即过定点，
所以可证直线过定点.
22. 答案：
（1）由题意得
，
∵存在两个极值点，∴在有两个不等实根，
∴且且，
即实数的取值范围为.
（2）方法一：（分类讨论）
当时，，符合题意；
当时，，
①若，对恒成立，在单调递增，
，符合题意；
②若，则
（ⅰ）当，，恒成立，在单调递减，
只需，
所以；
（ⅱ）当时，，恒成立，在单调递增，
只需，所以均符合题意；
（ⅲ）当时，，当，，
当，，所以在单调递增，在单调递减，
则，而当时，，均成立，
∴符合题意.
综上所述，.
方法二：（分离参数）恒成立，设，，则，由在单调递增，得，即，∴在单调递增，
所以，
∴恒成立，
只需.
设，，则
设，，则，∴在单调递减，
∴，（或者由）
从而得，故在单调递增，
∴，
∴.