湖南省衡阳市衡阳县第四中学2022-2023学年高二下学期期末考试数学模拟试卷（二）（含解析）

衡阳县四中2022-2023学年下学期高二期末模拟卷
数 学 （二）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．某班联欢会原定的个节目已排成节目单,开演前又增加了个新节目,如果将这个新节目插入节目单中,那么不同的插法种数为（ ）
A. B. C. D.
2.如图展现给我们的是唐代著名诗人杜牧写的《清明》,这首诗不仅意境极好,而且还准确地描述出了清明时节的天气状况,那就是“雨纷纷”,即天气多阴雨.某地区气象监测资料表明,清明节当天下雨的概率是,连续两天下雨的概率是,若该地某年清明节当天下雨,则随后一天也下雨的概率是( )
A. B. C. D.
3.同时抛掷枚质地均匀的硬币次,设枚硬币均正面向上的次数为,则的方差是( )
A. B. C. D.
4.对某同学次考试的数学成绩和物理成绩进行分析,下面是该生次考试的成绩.
发现他的物理成绩与数学成绩是线性相关的,利用最小二乘法得到线性回归方程为,若该生的数学成绩达到分,估计他的物理成绩大约是（ ）
A. B. C. D.
5.的展开式中的系数为( )
A． B． C． D．
6.甲、乙、丙人站到共有级的台阶上,若每级台阶最多站人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法总数是( )
A. B. C. D.
7.函数的图象大致是( )
8.甲、乙两位同学各拿出六张游戏牌,用作投骰子的奖品,两人商定:骰子朝上的面的点数为奇数时甲得分,否则乙得分,先积得分者获胜得所有张游戏牌,并结束游戏.比赛开始后,甲积分,乙积分,这时因意外事件中断游戏,以后他们不想再继续这场游戏,下面对这张游戏牌的分配合理的是( )
A.甲张,乙张 B.甲张,乙张 C.甲张,乙张 D.甲张,乙张
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，不分选对的得2分，有选错的得0分.
9．如城镇小汽车的普及率为,即平均每个家庭有个家庭拥有小汽车,若从如城镇中任意选出个家庭,则下列结论成立的是( )
A.这个家庭均有小汽车的概率为
B.这个家庭中,恰有三个家庭拥有小汽车的概率为
C.这个家庭平均有个家庭拥有小汽车
D.这个家庭中,四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为
10.千百年来,我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化,总结了丰富的“看云识天气”的经验,并将这些经验编成谚语,如“天上钩钩云,地上雨淋淋”“日落云里走,雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走,雨在半夜后”,观察了所在地区的天日落和夜晚天气,得到如下列联表:
临界值表
并计算得到,下列小波对地区天气判断正确的是( )
A.夜晚下雨的概率约为
B.未出现“日落云里走”夜晚下雨的概率约为
C.有的把握认为“′日落云里走′是否出现”与“当晚是否下雨”有关
D.出现“日落云里走”,有的把握认为夜晚会下雨
11.甲罐中有个红球，个白球和个黑球，乙罐中有个红球，个白球和个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是( )
A. B.
C．事件与事件相互独立 D．是两两互斥的事件
12.已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等,且展开式的各项系数之和为,则下列说法正确的是( )
A.展开式中奇数项的二项式系数和为 B.展开式中第项的系数最大
C.展开式中存在常数项 D.展开式中含项的系数为
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.名同学到个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去个小区，每个小区至少安排名同学，则不同的安排方法共有________种．
14.一个袋中装有个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出个球，至少得到一个白球的概率是，则袋中的白球个数为________，若从袋中任意摸出个球，记得到白球的个数为，则随机变量的均值________.(本题第一空3分，第二空2分)
15.在某项测量中，测量结果服从正态分布．若在内取值的概率为，则在内取值的概率为 ．
16.设某公路上经过的货车与客车的数量之比为,货车中途停车修理的概率为,客车为,今有一辆汽车中途停车修理,则该汽车是货车的概率为________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.针对某新型病毒,某科研机构已研发出甲、乙两种疫苗,为比较两种疫苗的效果,选取名志愿者,将他们随机分成两组,每组人.第一组志愿者注射甲种疫苗,第二组志愿者注射乙种疫苗,经过一段时间后,对这名志愿者进行该新型病毒抗体检测,发现有的志愿者未产生该新型病毒抗体,在未产生该新型病毒抗体的志愿者中,注射甲种疫苗的志愿者占.
(1)根据题中数据,完成下面的列联表;
(2)根据(1)中的列联表,判断能否有的把握认为甲、乙两种疫苗的效果有差异.
参考公式：,其中.
参考数据：
18.是指空气中直径小于或等于微米的颗粒物(也称可入肺颗粒物).为了探究车流量与的浓度是否相关,现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与的数据如表:
(1)请根据表格数据,在如图所示的平面直角坐标系中画出散点图;
(2)根据表格数据,用最小二乘法求出关于的回归直线方程;
(3)若周六同一时间的车流量是万辆,试根据(2)中求出的回归直线方程预测此时的浓度为多少(保留整数).
19.如图是高尔顿板的改造装置示意图,小球从入口处自由下落,已知在下落过程中,小球遇到黑色障碍物时,向左、右两边下落的概率都是.
(1)求小球落入袋的概率；
(2)在入口处依次放入个小球,设落入袋中的小球个数为,求的分布列.
20.某批产品共件，已知从该批产品中任取件，则取到的是次品的概率为，若从该批产品中任意抽取件．
(1)求取出的件产品中恰好有一件次品的概率；
(2)求取出的件产品中次品的件数的分布列与均值．
21. 十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加，为了制定提升农民收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了年位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：
(1)根据频率分布直方图，估计位农民的年平均收入(单位：千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)；
(2)由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民收入服从正态分布，其中近似为年平均收入，近似为样本方差，经计算得，利用该正态分布，求：
①在扶贫攻坚工作中，若使该地区约有的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？
②为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了位农民．若每位农民的年收入互相独立，记这位农民中的年收入高于千元的人数为，求．
附参考数据：，
若随机变量服从正态分布，则
，，
.
22.已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若，求的取值范围．
参考答案及解析
1．答案：B
解析：
利用分步乘法计数原理,第一步先插入第一个节目,有种方法,第二步插入第二个节目,此时有个空,故有种方法.因此不同的插法共有种.
故选：B.
2.答案：C
解析：
清明节当天下雨为事件,第二天下雨为事,,
,则.
故选：C.
3. 答案：B
解析：
同时抛掷枚质地均匀的硬币,
恰好出现两枚正面向上的概率,
所以枚硬币均正面向上的次数,
所以的方差.
4. 答案：B
解析：
由题意可知,
,
因为回归直线经过样本中心,所以,解得,
线性回归方程为,
该生的数学成绩达到分,估计他的物理成绩大约是：.
故选：B.
5.答案：A
解析：
展开式中含的项可以由“与”和“与”的乘积组成，则的系数为
.
6. 答案：C
解析：
由题意知本题需要分组解决,
因为对于个台阶上每一个只站一人有种;
若有一个台阶有人另一个是人,则共有种,
所以根据分类加法计数原理知共有不同的站法种数是种.
7. 答案：C
解析：
由，得．
令，则，
所以在上单调递减．
又，，
所以存在，使得，
所以当时，，；
当时，，.
所以在上单调递增，在上单调递减．
故选：C．
8. 答案：D
解析：
由题意知,继续比赛下去,甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,所以甲应分得张牌,乙应分得张牌.
故选：D.
9． 答案：A、C、D
解析：
由题得小汽车的普及率为,
A.这个家庭均有小汽车的概率为,所以该命题是真命题;
B.这个家庭中,恰有三个家庭拥有小汽车的概率,
所以该命题是假命题;
C.这个家庭平均有个家庭拥有小汽车,是真命题;
D.这个家庭中,四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为,所以该命题是真命题.
故选：ACD.
10. 答案：A、B、C
解析：
对于选项A:因为夜晚下雨的天数一共有(天),所以夜晚下雨的概率约为,故A正确;对于选项B:未出现“日落云里走”夜晚下雨的有天,未出现“日落云里走”的一共(天),所以未出现“日落云里走”夜晚下雨的概率约为,故B正确;
对于选项C:因为,所以有的把握认为“‘日落云里走’′是否出现”与“当晚是否下雨”有关,故C正确,D错误.
故选：ABC.
11. 答案：B、D
解析：
由题意是两两互斥的事件，，，，
，故B正确；，，
，故AC不正确；是两两互斥的事件，故D正确．
故选：BD.
12. 答案：B、C、D
解析：
因为的展开式中第项与第项的二项式系数相等；
所以；因为展开式的各项系数之和为,
所以;因为;所以.
原二项式为;其展开式的通项公式为：;
展开式中奇数项的二项式系数和为:;故A错;
因为本题中二项式系数和项的系数一样,且展开式有项,故展开式中第项的系数最大,B对;
令,即展开式中存在常数项,C对;
令,,D对.
故选：BCD.
13.答案：
解析：
将名同学分成人数为的组，有(种)分法，再将组同学分到个小区，共有(种)分法，由分步乘法计数原理可得不同的安排方法共有(种)．
14.答案：
解析：
依题意，设白球个数为，至少得到一个白球的概率是，则不含白球的概率为，
可得，即，解得，依题意，随机变量服从超几何分布，其中，所以.
15.答案：
解析：
如图，易得，
故.
16.答案：
解析：
中途停车修理,：经过的是货车,：经过的是客车,则,由贝叶斯公式有
.
17. 答案：
(1)由题意可得未产生该新型病毒抗体的志愿者的人数为,
则注射甲种疫苗的志愿者中未产生抗体的人数为,产生抗体的人数为;
注射乙种疫苗的志愿者中未产生抗体的人数为,产生抗体的人数为.
(2)计算,
因为,所以有的把握认为甲、乙两种疫苗的效果有差异.
18. 答案：
(1)散点图如图.
(2)因为.
,
,
所以,,
故关于的回归直线方程为.
(3)当时,,
所以可以预测此时的浓度约为微克/立方米.
19.答案：
(1)记“小球落入袋中”为事件,记“小球落入袋中”为事件,则事件的对立事件为,而小球落入袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下,故,从而.
(2) 可能的取值为.
；
；
；
；
.所以的分布列为:
20. 答案：
设该批产品中次品有件，由已知，∴.
(1)设取出的件产品中次品的件数为件产品中恰好有一件次品的概率为
.
(2)∵可能为，∴，
，.
∴的分布列为
则.
21.答案：
(千元)，
故估计位农民的年平均收入为千元．
(2)由题意知，
①，
所以时，满足题意，
即最低年收入大约为千元．
②由，
每个农民的年收入高于千元的事件的概率为，
则，其中，
所以.
22. 答案：
（1）∵，∴，∴.
∵，∴切点坐标为,
∴函数在点处的切线方程为,即,
∴切线与坐标轴交点坐标分别为,
∴所求三角形面积为；
（2）解法一：∵,
∴，且.
设,则，
∴在上单调递增，即在上单调递增，
当时，,∴,∴成立.
当时，，∴，∴,
∴存在唯一，使得，且当时，
当时，，，
因此
,
∴，∴恒成立；
当时，，∴不是恒成立.
综上所述，实数的取值范围是.
解法二：等价于
,
令,上述不等式等价于,
显然为单调增函数，∴又等价于，即，
令,则
在上,单调递增；在上,单调递减，
∴,,即，∴的取值范围是.