8.1功和功率 学案（含答案解析）

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8.1 功和功率
一、考点梳理
考点一、对功的理解
1.某一恒力F对物体做的功，只与l、α有关，与物体的运动状态及物体是否还受其他作用力等因素无关.
2.功是标量，没有方向，但是有正负.
3.公式W＝Flcos α适用于计算恒力做功，若是变力，此公式不再适用.
4.正、负功的理解和判断
条件 从动力学角度看 从能量角度看
正功 当0≤α＜时，cos α＞0，W＞0 力是物体运动的动力 力对物体做正功，向物体提供能量，即受力物体获得了能量
不做功 当α＝时，cos α＝0，W＝0 力对物体既不起动力作用，也不起阻力作用
负功 当＜α≤π时，cos α＜0，W＜0 力是物体运动的阻力 物体克服外力做功，向外输出能量(以消耗自身能量为代价)，即负功表示物体失去了能量
说明 也可根据力和速度方向夹角判断功的正负
5.总功的计算
当物体在多个力的共同作用下发生一段位移时，合力对物体所做的功等于各分力对物体做功的代数和.故计算合力的功有以下两种方法：
(1)先由W＝Flcos α计算各个力对物体所做的功W1、W2、W3…然后求所有力做功的代数和，即W合＝W1＋W2＋W3＋….
(2)先由力的合成或根据牛顿第二定律求出合力F合，然后由W合＝F合lcos α计算总功，此时α为F合的方向与l的方向间的夹角.
【典例1】如图所示，质量为m的物体相对静止在倾角为θ的斜面上，斜面沿水平方向向右匀速移动了距离l，物体相对斜面静止，则下列说法正确的是（　　）
A．重力对物体做正功 B．摩擦力对物体做负功
C．合力对物体做功不为零 D．支持力对物体不做功
【答案】B
【解析】A．重力竖直向下，位移水平向右，故重力对物体不做功，故A错误；
C．合力为0，故合力对物体做功为零，故C错误；
B．摩擦力沿斜面向上，与位移的夹角为钝角，故摩擦力对物体做负功，故B正确；
D．支持力垂直于斜面向上，与位移的夹角为锐角，故支持力对物体做正功，故D错误。
【典例2】如图所示，一个质量为0.26kg的物体静止在水平面上，二者间动摩擦因数。现用F=1N、与水平面夹角为37°的力斜向上拉动物块向右匀速运动了1m。已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取。在此过程中，下列说法正确的是（　　）
A．物体所受摩擦力不做功
B．物体所受摩擦力做功大小为0.6J
C．拉力做功大小为0.6J
D．拉力做功大小为0.8J
【答案】D
【解析】AB．物块向右匀速运动，根据平衡条件可得物体所受摩擦力大小为
物块向右匀速运动了，可得摩擦力做功为
AB错误；
CD．拉力做功为
C错误，D正确。
【典例3】(多选)质量为m的物体，静止在倾角为θ的斜面上，斜面沿水平方向向右匀速移动了距离l，如图所示.物体始终相对斜面静止，则下列说法正确的是(　　)
A.重力对物体做正功 B.合力对物体做功为零
C.摩擦力对物体做负功 D.支持力对物体做正功
【答案】BCD
【解析】物体的受力和位移如图所示，支持力FN与位移l的夹角α<90°，故支持力做正功，D选项正确；重力方向与位移方向垂直，故重力不做功，A选项错误；摩擦力Ff与位移l的夹角大于90°，故摩擦力做负功，C选项正确；物体做匀速运动，所受合力为零，合力做功为零，B选项正确.
【典例4】如图所示，质量m＝50 kg的滑雪运动员从高度h＝30 m的坡顶由静止下滑，斜坡的倾角θ＝37°，滑雪板与雪面之间的动摩擦因数μ＝0.1.则运动员滑至坡底的过程中：(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，装备质量不计)
(1)滑雪运动员所受的重力对他做了多少功？
(2)各力对运动员做的总功是多少？
【答案】(1)1.5×104 J　(2)1.3×104 J
【解析】(1)重力做的功为：
WG＝mgsin 37°·＝1.5×104 J
(2)各分力对运动员做的总功与合力对运动员做功相同，运动员所受合力为：
F合＝mgsin 37°－μmgcos 37°＝260 N
合力方向沿斜坡向下，沿合力方向的位移l＝＝50 m
合力做的功W合＝F合·l＝260×50 J＝1.3×104 J.
练习1、如图所示，坐在雪橇上的人与雪橇的总质量为m，在与水平面成θ角的恒定拉力F作用下，沿水平地面向右移动了一段距离l.已知雪橇与地面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则雪橇受到的(　　)
A.支持力做功为mgl
B.重力做功为mgl
C.拉力做功为Flcos θ
D.滑动摩擦力做功为－μmgl
【答案】C
【解析】支持力和重力与位移方向垂直，不做功，A、B错误；拉力和滑动摩擦力做功分别为W1＝Flcos θ，W2＝－μ(mg－Fsin θ)l，C正确，D错误.
练习2、如图所示，水平地面上一个质量为m=2kg的物体在与水平面成37°角的斜向下方的推力F=10N的作用下向右匀速运动，从某时刻起向右移动距离x1=2m后撤去推力，此物体又滑行了x2=1.6m的距离后停止运动。已知物体与地面间的动摩擦因数为0.2，g取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
（1）推力F对物体做的功；
（2）全过程中物体克服摩擦力所做功。
【答案】（1）16J；（2）16.8J
【解析】（1）推力F对物体做功为
解得
（2）撤去推力F前，摩擦力做功为
撤去推力F后，摩擦力做功为
所以全过程中摩擦力对物体做功
故全过程中，物体克服摩擦力所做的功为16.8J。
练习3、如图所示，一个质量为m＝2 kg的物体，受到与水平方向成37°角斜向上方的力F＝10 N作用，在水平地面上从静止开始向右移动的距离为l＝2 m，已知物体和地面间的动摩擦因数为0.3，g取10 m/s2，求外力对物体所做的总功.(cos 37°＝0.8，sin 37°＝0.6)
【答案】7.6 J
【解析】物体受到的摩擦力为：Ff＝μFN
＝μ(mg－Fsin 37°)＝0.3×(2×10－10×0.6)N＝4.2 N
解法一：先求各力的功，再求总功.
拉力F对物体所做的功为：
W1＝Flcos 37°＝10×2×0.8 J＝16 J
摩擦力Ff对物体所做的功为：
W2＝Fflcos 180°＝－4.2×2 J＝－8.4 J
由于重力、支持力对物体不做功，故外力对物体所做的总功W等于W1和W2的代数和，即W＝W1＋W2＝7.6 J.
解法二：先求合力，再求总功.
物体受到的合力为：
F合＝Fcos 37°－Ff＝10×0.8 N－4.2 N＝3.8 N，
所以W＝F合l＝3.8×2 J＝7.6 J.
练习4、如图所示，平行于斜面向上的拉力F使质量为m的物体匀加速地沿着长为L、倾角为α的固定斜面的一端向上滑到另一端，物体与斜面间的动摩擦因数为μ.重力加速度为g，求作用在物体上的各力的合力对物体所做的总功.(物体可视为质点)
【答案】FL－mgLsin α－μmgLcos α
【解析】以物体为研究对象，其受力分析如图所示：
解法一：拉力F对物体所做的功为：WF＝FL.
重力mg对物体所做的功为：
WG＝mgLcos(90°＋α)＝－mgLsin α.
摩擦力对物体所做的功为：
Wf＝FfLcos 180°＝－FfL＝－μmgLcos α.
支持力FN对物体所做的功为：
WN＝FNLcos 90°＝0.
故各力的总功为：W＝WF＋WG＋Wf＋WN
＝FL－mgLsin α－μmgLcos α
解法二：物体受到的合力为：
F合＝F－mgsin α－Ff＝F－mgsin α－μmgcos α
所以合力做的功为：
W＝F合L＝FL－mgLsin α－μmgLcos α.
考点二、求解变力做功的方法
方法 以例说法
微元法 　质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR
等效转换法 　恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做功W＝F·(－)
图像法 　一水平拉力拉着一物体在水平面上运动的位移为x0，图线与横轴所围面积表示拉力所做的功，W＝x0
平均值法 　当力与位移为线性关系，力可用平均值＝表示，代入功的公式得W＝·Δx
应用动能定理 　用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做功为WF，则有：WF－mgL(1－cos θ)＝0，得WF＝mgL(1－cos θ)
功率定义法 机车以恒定功率启动时，牵引力做功W＝Pt
【典例1】用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比，已知铁锤第一次将钉子钉进d，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次钉子进入木板的深度是( )
A．(－1)d 　 B．(－1)d
C． D．d
【答案】B
【解析】在将钉子钉入木板的过程中，随着深度的增加，阻力成正比地增加，这属于变力做功问题，由于力与深度成正比，可将变力等效为恒力来处理．
根据题意可得
第一次做功：W＝F1d＝d.
第二次做功：W＝F2d′＝kd′/2)d′
联立解得d′＝(－1)d.
【典例2】(多选)如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，滑块用轻绳系着绕过光滑的定滑轮O。现以大小不变的拉力F拉绳，使滑块从A点由静止开始上升，滑块运动到C点时速度最大。已知滑块质量为m，滑轮O到竖直杆的距离为d，∠OAO′＝37°，∠OCO′＝53°，重力加速度为g(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)。则(　　)
A．拉力F大小为mg
B．拉力F大小为mg
C．滑块由A到C过程轻绳对滑块做功mgd
D．滑块由A到C过程轻绳对滑块做功mgd
【答案】AC
【解析】滑块到C点时速度最大，其所受合力为零，则有Fcos 53°－mg＝0，解得F＝mg，故A正确，B错误；由能量的转化与守恒定律可知，拉力F做的功等于轻绳拉力F对滑块做的功，滑轮与A间绳长L1＝，滑轮与C间绳长L2＝，滑轮右侧绳子增大的长度ΔL＝L1－L2＝－＝，拉力做功W＝FΔL＝mgd，故C正确，D错误。
练习1、如图所示，一质量为m＝2．0 kg的物体从半径为R＝5．0 m的圆弧的A端，在拉力F作用下沿圆弧缓慢运动到B端(圆弧AB在竖直平面内)．拉力F大小不变始终为15 N，方向始终与物体所在位置的切线成37°角．圆弧所对应的圆心角为60°，BO边为竖直方向，g取10 m/s2．求这一过程中：
(1)拉力F做的功；
(2)重力mg做的功；
(3)圆弧面对物体的支持力FN做的功．
【答案】(1)62.8 J　(2)－50 J　(3)0
【解析】(1)将圆弧AB分成很多小段l1、l2、…、ln，拉力在每小段上做的功为W1、W2、…、Wn，因拉力F大小不变，方向始终与物体所在位置的切线方向成37°角，所以：
W1＝Fl1cos 37°，W2＝Fl2cos 37°，…，Wn＝Flncos 37°，
所以WF＝W1＋W2＋…＋Wn
＝Fcos 37°(l1＋l2＋…＋ln)
＝Fcos 37°·R＝20π J＝62.8 J.
(2)重力mg做的功WG＝－mgR(1－cos 60°)＝－50 J.
(3)物体受的支持力FN始终与物体的运动方向垂直，所以WFN＝0.
练习2、如图所示，一辆拖车通过定滑轮将一重为G的重物匀速提升，当拖车从A点水平移动到B点时，位移为s，绳子由竖直变为与竖直方向成θ的角度，求此过程中拖车对绳子所做的功．
【答案】G.
【解析】拖车对绳子做的功等于绳子对重物做的功．
以重物为研究对象，由于整个过程中重物匀速运动．
所以绳子的拉力：FT＝G.
重物上升的距离等于滑轮右侧后来的绳长OB减去开始时的绳长OA
l＝－＝
所以绳子对重物做功：
W＝Gl＝G
拖车对绳子做功等于绳子对重物做功，等于G.
考点三、功率
1、平均功率的计算
利用＝；
利用＝Fcos α，其中F为恒力，为物体运动的平均速度．
2、瞬时功率的计算
利用公式P＝Fvcos α，其中v为瞬时速度；
利用公式P＝FvF，其中vF为物体的速度在力F方向上的分速度；
利用公式P＝Fvv，其中Fv为物体受的外力在速度v方向上的分力．
3、公式P＝和P＝Fv的比较
P＝ P＝Fv
适用条件 (1)功率的定义式，适用于任何情况下功率的计算，一般用来求平均功率(2)当时间t→0时，可由定义式确定瞬时功率 (1)功率的计算式，仅适用于F与v同向的情况，若不同向，P＝＝＝Fvcos α(2)v为平均速度时功率为平均功率，v为瞬时速度时功率为瞬时功率
联系 (1)公式P＝Fv是P＝的推论(2)功率P的大小与W、t无关
“某秒末”或“到某位置时”的功率是指瞬时功率，只能用P＝Fvcos α求解；“某段时间内”或“某个过程中”的功率，是指平均功率，此时可用＝求解，也可以用＝Fcos α求解．
【典例1】教育部颁发的《国家学生体质健康标准》规定了大、中、小学生体能达标测试的评分标准。某高二年级女同学身高为160 cm,质量为40 kg,她在1分钟内完成仰卧起坐50次,并被评为90分。则在该同学完成一次坐起的过程,克服重力做功的平均功率约为 (　　)
A.0.8 W B.8 W
C.80 W D.800 W
【答案】C
【解析】　该同学身高约1.6 m,则每次上半身重心上升的距离约为h=×1.6 m=0.4 m,该同学上半身质量约为全身的0.6,则她每一次克服重力做的功W=0.6mgh=0.6×40×10×0.4 J=96 J,该同学完成一次坐起的过程,克服重力做功的平均功率约为P== W=80 W,选项C正确。
【典例2】如图所示,用大小为10 N的水平恒力F拉着质量为m=2 kg的物体沿水平面从A移到B的过程中,下列说法正确的是 (　　)
A.物体与地面间摩擦力越大,F做功越多
B.物体与地面间摩擦力越大,F做功的功率越大
C.物体原本具有的向右的初速度越大,F做功越少
D.物体原本具有的向右的初速度越大,F做功的功率越大
【答案】D
【解析】物体从A到B的距离恒定,F大小恒定,根据W=Fl,可知F做的功恒定,选项AC错误;根据牛顿第二定律得F-f=ma,结合l=v0t+at2,可知摩擦力越大,所用时间越多,根据P=,可知F做功的功率越小,选项B错误;根据l=v0t+at2,可知物体原本具有的向右的初速度越大,所用时间越少,根据P=可知F做功的功率越大,选项D正确。
【典例3】如图所示，细线的一端固定于O点，另一端系一小球．在水平拉力作用下，小球以恒定速率在竖直平面内由A点运动到B点．在此过程中拉力的瞬时功率的变化情况是(　　)
A．逐渐增大
B．逐渐减小
C．先增大，后减小
D．先减小，后增大
【答案】A
【解析】小球以恒定速率在竖直平面内由A点运动到B点，对小球受力分析如图，F＝mgtan θ，由P＝Fvcos θ，可得P＝mgvsin θ，θ逐渐增大，则功率P逐渐增大，A项正确．
练习1、张家界武陵源景区内的百龙天梯以“最高户外电梯”荣誉而被载入吉尼斯世界纪录,是自然美景和人造奇观的完美结合。某游客乘坐百龙天梯竖直上山过程中的v-t图像如图所示,若游客的质量为m,重力加速度大小为g,则该过程中游客克服重力做功的平均功率为 (　　)
A.mgv0 B.
C. D.mgv0
【答案】B
【解析】该过程中游客上升的高度h=·v0,游客克服重力做的功W=mgh,游客克服重力做功的平均功率P=,解得P=,选项B正确。
练习2、如图是某地铁列车从左到右匀速率通过轨道abcd的示意图,其中bc段水平,ab与cd段的倾角相等。已知整个过程中列车受阻力的大小保持不变(包括摩擦阻力和空气阻力),在ab和bc段,牵引列车的功率分别为P1和P2。则在cd段牵引列车的功率为 (　　)
A.2P2-P1 B.P2-P1 C. D.
【答案】A
【解析】在ab段,由牛顿第二定律得+mgsin θ-f=0,在bc段,由牛顿第二定律得-f=0,在cd段,由牛顿第二定律得-mgsin θ-f=0,解得P3=2P2-P1,选项A正确。
考点四、机车的两种启动方式
两种方式 以恒定功率启动 以恒定加速度启动
P t图和v t图
OA段 过程分析 v↑ F＝↓ a＝↓ a＝不变 F不变P＝Fv↑直到P额＝Fv1
运动性质 加速度减小的加速直线运动 匀加速直线运动、维持时间t0＝
AB段 过程分析 F＝F阻 a＝0 F阻＝ v↑ F＝↓ a＝↓
运动性质 以vm做匀速直线运动 加速度减小的加速运动
BC段 F＝F阻 a＝0 F阻＝，以vm做匀速直线运动
2.三个重要关系式
无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm＝.
机车以恒定加速度启动的过程中，匀加速过程结束时，功率最大，但速度不是最大，v＝机车以恒定功率启动时，牵引力做的功W＝Pt.由动能定理得：Pt－F阻x＝ΔEk.此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小和时间．
【典例1】一辆小汽车在水平路面上由静止启动，在前5 s内做匀加速直线运动，5 s末达到额定功率，之后保持以额定功率运动，其v－t图像如图9所示．已知汽车的质量为m＝1×103 kg，汽车受到路面的阻力为车重的0.1倍，g取10 m/s2，则以下说法正确的是(　　)
图9
A．汽车在前5 s内的牵引力为5×102 N
B．汽车速度为25 m/s时的加速度为5 m/s2
C．汽车的额定功率为100 kW
D．汽车的最大速度为80 m/s
【答案】C
【解析】由题图可知汽车做匀加速直线运动的加速度为a＝＝ m/s2＝4 m/s2，根据牛顿第二定律得F－Ff＝ma，解得牵引力为F＝Ff＋ma＝0.1×1×104 N＋1×103×4 N＝5×103 N，故A错误；汽车的额定功率为P＝Fv＝5 000×20 W＝100 kW，当汽车的速度是25 m/s时，牵引力F′＝＝N＝4×103 N，此时汽车的加速度a′＝＝ m/s2＝3 m/s2，故B错误，C正确；当牵引力与阻力相等时，速度最大，最大速度为vm ＝＝＝ m/s＝100 m/s，故D错误．
【典例2】(多选)(2022陕西榆林市第十中学期中考试)一辆机动车在平直的公路上由静止启动。如图所示,图线A表示该车运动的速度与时间的关系,图线B表示该车的功率与时间的关系。若机动车在运动过程中阻力不变,则以下说法正确的是 (　　)
A.0~22 s内机动车先做加速度逐渐减小的加速运动,后做匀速运动
B.运动过程中机动车所受阻力为1 500 N
C.机动车速度为5 m/s时,牵引力大小为3×103 N
D.机动车的质量为562.5 kg
【答案】BD
【解析】根据图线A可知,机动车先做匀加速运动,后做变加速运动,最后做匀速运动,故A错误;根据图线A可知,机动车的最大速度vmax=12 m/s,根据图线B可知机动车的额定功率为P0=18 000 W,当牵引力F等于阻力Ff时,速度达到最大值,则阻力Ff=F==1 500 N,故B正确;匀加速运动的牵引力为F'==2 250 N,根据牛顿第二定律得F'-Ff=ma,由图线A知,a= m/s2,解得m=562.5 kg,故D正确,C错误。
练习1、(多选)如图所示,京张高铁将北京到张家口的通行时间缩短在1小时内,成为2022年北京冬奥会重要的交通保障设施。假设此高铁启动后沿平直轨道行驶,发动机的功率恒为P,且行驶过程中受到的阻力大小恒定,高铁的质量为m,最大行驶速度为vm,下列说法正确的是 (　　)
A.在加速阶段,高铁的加速度保持不变
B.在加速阶段,发动机对高铁的牵引力逐渐减小
C.高铁受到的阻力大小为
D.高铁的速度为时,其加速度大小为
【答案】BC
【解析】高铁启动后沿平直轨道行驶,发动机的功率恒为P,有P=Fv①,F-f=ma②,在加速阶段,高铁的速度v增加,而功率P不变,则牵引力F减小,加速度减小,选项A错误,B正确;由②式知当加速度为0时速度达到最大vm,牵引力F减小到和高铁受到的阻力大小相等,由①可知P=fvm,则有f=,选项C正确;当高铁的速度为时,高铁还在加速阶段,设牵引力为F1,加速度为a1,有P=F1·,F1-f=ma1,解得加速度大小为a1=,选项D错误。
练习2、汽车发动机的额定功率为60 kW，汽车的质量为5×103 kg，汽车在水平路面上行驶时，阻力是车重力的0.1倍(g取10 m/s2)，则：
(1)若汽车保持额定功率不变从静止启动，汽车所能达到的最大速度是多大？当汽车的加速度为2 m/s2时速度是多大？
(2)若汽车从静止开始，保持以0.5 m/s2的加速度做匀加速直线运动，这一过程能维持多长时间？
【答案】(1)12 m/s　4 m/s　(2)16 s
【解析】(1)汽车运动中所受阻力大小为Ff＝0.1mg①
当a＝0时速度最大，牵引力F等于Ff的大小，则最大速度vmax＝＝②
联立①②解得vmax＝12 m/s.
设汽车加速度为2 m/s2时牵引力为F1，由牛顿第二定律得F1－Ff＝ma③
此时汽车速度v1＝④联立①③④并代入数据得v1＝4 m/s.
(2)当汽车以加速度a′＝0.5 m/s2匀加速运动时，设牵引力为F2，由牛顿第二定律得F2－Ff＝ma′⑤
汽车匀加速过程所能达到的最大速度vt＝⑥t＝⑦联立①⑤⑥⑦并代入数据解得t＝16 s．
夯实小练
1、(多选)如图所示，质量为m的滑块(可视为质点)，从半径为R的半球面的上端A点处以初速度v0滑下，B为最低点，O为球心，A、O、C三点等高，从A到C滑动过程中滑块所受的摩擦力大小恒为Ff.则滑块(　　)
A．从A到B过程，重力做功为零
B．从A到B过程，弹力做功为零
C．从A到B过程，摩擦力做功为－πRFf
D．从A到C过程，摩擦力做功为－πRFf
【答案】BD
【解析】滑块从A到B过程，重力做功不为零，选项A错误；弹力始终与位移方向垂直，弹力做功为零，选项B正确；滑块从A到B过程，摩擦力方向始终与速度方向相反，摩擦力做功为W1＝－FfsAB＝－Ff(×2πR)＝－πRFf，选项C错误；同理，滑块从A到C过程，摩擦力做功W2＝－Ff(×2πR)＝－πRFf。
2、如图所示，拖着旧橡胶轮胎跑是身体耐力训练的一种有效方法。某受训者拖着轮胎在水平直道上前进的距离为x，已知绳与水平地面间的夹角为，拉力为F，那么下列说法正确的是（　　）
A．轮胎受到地面的摩擦力对轮胎做了负功 B．轮胎受到的重力对轮胎做了正功
C．轮胎受到的拉力对轮胎不做功 D．轮胎受到的拉力对轮胎做功大小为
【答案】A
【解析】A．由题知，轮胎受到地面的摩擦力方向水平向左，而位移水平向右，两者夹角为180°，则轮胎受到地面的摩擦力做了负功。故A正确；
B．轮胎受到的重力竖直向下，而轮胎的位移水平向右，则轮胎在竖直方向上没有发生位移，重力不做功。故B错误；
C．设拉力与水平方向的夹角为α，由于α是锐角，所以轮胎受到的拉力做正功。故C错误；
D．轮胎受到的拉力对轮胎做功大小为
3、如图所示，利用卷扬机将套在光滑竖直杆上重力为G的重物提升到高处。卷扬机以速度匀速缠绕钢丝绳，当重物运动到图示位置时，下列说法正确的是（　　）
A．重物的速度等于 B．重物的速度小于
C．重物重力的瞬时功率小于 D．重物重力的瞬时功率大于
【答案】D
【解析】AB．假设此时重物的速度为v，绳子与杆的夹角为θ，将重物速度沿绳和垂直于绳分解，如图所示
沿绳方向的速度相等
v0=vcosθ
所以重物的速度大于v0，故AB错误；
CD．由P=Fv可知，重物重力的瞬时功率大于。
4、汽车在平直公路上以速度v0匀速行驶，发动机功率为P.快进入闹区时，司机减小了油门，使汽车的功率立即减小一半并保持该功率继续行驶．下面四个图象中，哪个图象正确表示了从司机减小油门开始，汽车的速度与时间的关系(　　)
【答案】C
【解析】功率减小一半时，由于惯性汽车速度来不及变化，根据功率和速度关系公式P＝Fv，此时牵引力减小一半，小于阻力，汽车做减速运动，由公式P＝Fv可知，功率一定时，速度减小后，牵引力增大，则汽车所受合力减小，加速度减小，故汽车做加速度越来越小的减速运动，当牵引力增大到等于阻力时，汽车做匀速运动．
5、如图甲所示，滑轮质量、摩擦均不计，质量为2 kg的物体在拉力F作用下由静止向上做匀加速运动，物体速度随时间的变化关系如图乙所示，由此可知(　　)
A．物体加速度大小为2 m/s2
B．F的大小为21 N
C．4 s末F的功率为42 W
D．0～4 s内F的平均功率为42 W
【答案】C
【解析】由题图乙可知，v－t图像的斜率表示物体加速度，即a＝0.5 m/s2，由2F－mg＝ma可得：F＝10.5 N，A、B均错误；4 s末F的作用点的速度大小为vF＝2v物＝4 m/s，故4 s末F的功率为P＝FvF＝42 W，C正确；0～4 s内物体上升的高度h＝4 m，力F的作用点的位移l＝2h＝8 m，拉力F所做的功W＝Fl＝84 J，故平均功率＝＝21 W，D错误．
6、某同学参加学校运动会立定跳远项目比赛，起跳直至着地过程如图7，测量得到比赛成绩是2.5 m，目测空中脚离地最大高度约0.8 m，忽略空气阻力，则起跳过程该同学所做功最接近(　　)
A．65 J B．750 J
C．1 025 J D．1 650 J
【答案】B
【解析】该同学做抛体运动，从起跳到达到最大高度的过程中，竖直方向做加速度为g的匀减速直线运动，则t＝＝ s＝0.4 s，竖直方向初速度vy＝gt＝4 m/s，水平方向做匀速直线运动，则v0＝ m/s＝3.125 m/s，则起跳时的速度v＝≈5.08 m/s.中学生的质量约为50 kg，根据动能定理得：W＝mv2≈645 J，最接近750 J。
7、如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮，以恒定的拉力F拉绳，使滑块从A点起由静止开始上升．若从A点上升至B点和从B点上升至C点的过程中拉力F做的功分别为W1和W2，图中AB＝BC，则(　　)
A．W1>W2
B．W1C．W1＝W2
D．无法确定W1和W2的大小关系
【答案】A
【解析】轻绳对滑块做的功为变力做功，可以通过转换研究对象，将变力做功转化为恒力做功；因轻绳对滑块做的功等于拉力F对轻绳做的功，而拉力F为恒力，W＝F·Δl，Δl为轻绳拉滑块过程中力F的作用点移动的位移，大小等于定滑轮左侧绳长的缩短量，由题图及几何知识可知，ΔlAB>ΔlBC，故W1>W2。
8、如图所示，物体静止在粗糙的水平面上，若分别施加不同的力F使物体从静止开始运动，三种情形下物体的加速度相同，在发生相同位移的过程中力F的功分别为，力F的功率分别为。则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】物体的加速度相同，说明物体受到的合力相同，即水平方向所受合力相同，三种情形下根据牛顿第二定律分别列式可得
通过比较可得
由于物体运动的位移x相同，加速度a相同，所以物体的速度v也相同。由做功和功率定义可得
，
，
，
结合前式可得
，。
9、一赛车在平直赛道上以恒定功率200 kW加速，受到的阻力不变，加速度a和速度v的倒数的关系如图2所示，则赛车(　　)
A．做匀加速直线运动
B．质量为200 kg
C．所受阻力大小为2 000 N
D．v′＝50 m/s时牵引力大小为2 000 N
【答案】C
【解析】由题图可知，加速度变化，赛车不是做匀加速直线运动，故A错误；当赛车的速度最大时，加速度为零，由题图可知最大速度v＝100 m/s，此时有P＝Ffv，可得Ff＝2 000 N，故C正确；图线的反向延长线与纵轴的交点为a0＝－4 m/s2，根据牛顿第二定律有F－Ff＝ma，其中F＝，可得－Ff＝ma，则有a＝－，此时有Ff＝－ma0，可得m＝500 kg，故B错误；v′＝50 m/s时，F′＝＝ N＝4 000 N。
10、(多选)如图所示，甲、乙、丙三个光滑斜面，它们的高度相同、倾角不同，，现让完全相同的物块沿斜面由静止从顶端运动到底端。关于物块沿不同斜面运动时重力做功W和重力做功的平均功率P，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【解析】AC．三个物体下降的高度相同，根据
可知，重力做功相同，A错误，C正确；
BD．由牛顿第二定律
得，物体下滑的加速度为
由运动学公式
解得
又因为
所以
根据
所以有
。
11、某同学将篮球在空中水平向右抛出，篮球落地后又反弹。已知篮球的抛出点高度为1.8m，第一次反弹后上升的最大高度为0.8m；第一次落点与抛出点的水平距离为2.4m，两次落点的水平距离为1.6m，已知该篮球质量为0.5kg，不计空气阻力，取重力加速度大小，求该篮球：
（1）第一次落地前瞬间重力的功率；
（2）第一次落地前瞬间的水平分速度大小。
【答案】（1）30W；（2）4m/s
【解析】（1）篮球从抛出到第一次落地做平抛运动，由
解得
竖直速度为
重力的功率为
（2）设第一次抛出的速度为，有
解得第一次落地前瞬间的水平分速度大小
。
12、如图所示，质量为20kg的小孩坐在雪橇上，现用一个与水平方向成37°、大小为50N的力拉着雪橇沿水平地面从静止开始以的加速度做匀加速直线运动，已知雪橘的质量20kg，cos37°=0.8。求：
（1）5s内拉力对雪橇和小孩做的功是多少
（2）5s末地面与雪橇间摩擦力的瞬时功率大小。
【答案】（1）200J；（2）-48W
【解析】（1）5s内的位移
拉力的功
解得
W=200J
（2）5s末的速度
v=at
对小孩和雪橇，由牛顿第二定律
Fcos37°-f=2ma
摩擦力的功率
P=-fv
解得
P=-48W。
13、起重机将一质量为1.0×103 kg的货物竖直向上吊起，货物运动的v－t图象如图所示，求：(取g＝10 m/s2)
(1)整个过程中货物上升的高度；
(2)减速过程中货物的加速度大小；
(3)加速过程中起重机拉力的平均功率.
【答案】(1)14 m　(2)0.5 m/s2　(3)1.1×104 W
【解析】(1)v－t图像中图像与时间轴围成的面积即为货物在该段时间内的位移，
所以：x＝×(4＋10)×2 m＝14 m
(2)由公式：a＝
可得：a＝－0.5 m/s2
故减速过程中货物的加速度大小为0.5 m/s2
(3)由题图可知加速过程中：a′＝1 m/s2，＝1 m/s
由牛顿第二定律得：
F牵－mg＝ma′
解得：F牵＝1.1×104 N
由＝F牵得：
＝1.1×104 W。
三、培优练习
1、如图所示，光滑斜面放在水平面上，斜面上用固定的竖直挡板挡住一个光滑的重球。当整个装置沿水平面向左减速运动的过程中，则关于重球所受各力做功情况的说法中错误的是（　　）
A．重力不做功 B．斜面对球的弹力一定做正功
C．挡板对球的弹力可能不做功 D．挡板对球的弹力一定做负功
【答案】C
【解析】A．对小球进行受力分析，如图所示
重力方向与速度方向垂直，所以重力不做功，故A正确，不符合题意；
B．N2与速度方向的夹角为锐角，斜面对小球的弹力一定做正功，故B正确，不符合题意；
CD．N1的方向与速度方向相反，所以N1一定做负功，故C错误，符合题意，D正确，不符合题意。
2、“复兴号”动车组用多节车厢提供动力，从而达到提速的目的．总质量为m的动车组在平直的轨道上行驶．该动车组有四节动力车厢，每节车厢发动机的额定功率均为P，若动车组所受的阻力与其速率成正比(F阻＝kv，k为常量)，动车组能达到的最大速度为vm.下列说法正确的是(　　)
A．动车组在匀加速启动过程中，牵引力恒定不变
B．若四节动力车厢输出功率均为额定值，则动车组从静止开始做匀加速运动
C．若四节动力车厢输出的总功率为2.25P，则动车组匀速行驶的速度为vm
D．若四节动力车厢输出功率均为额定值，动车组从静止启动，经过时间t达到最大速度vm，则这一过程中该动车组克服阻力做的功为mvm2－Pt
【答案】C
【解析】对动车组由牛顿第二定律有F牵－F阻＝ma，
动车组匀加速启动，即加速度a恒定，但F阻＝kv随速度增大而增大，则牵引力也随阻力增大而增大，故A错误；
若四节动力车厢输出功率均为额定值，则总功率为4P，由牛顿第二定律有－kv＝ma，故可知加速启动的过程，牵引力减小，阻力增大，则加速度逐渐减小，故B错误；
若四节动力车厢输出的总功率为2.25P，动车组匀速行驶时加速度为零，有＝kv，
而以额定功率匀速时，有＝kvm，联立解得v＝vm，故C正确；
若四节动力车厢输出功率均为额定值，动车组从静止启动，经过时间t达到最大速度vm，
由动能定理可知4Pt－W克阻＝mvm2－0，
可得动车组克服阻力做的功为W克阻＝4Pt－mvm2。
3、质量为m的汽车，启动后沿平直路面行驶，如果发动机的功率恒为P，且行驶过程中受到的阻力大小一定，汽车速度能够达到的最大值为v，那么当汽车的车速为时，汽车的瞬时加速度的大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】发电机功率恒为P，汽车速度达到的最大值v时有
当汽车的车速为时有
根据牛顿第二定律有
解得
。
4、如图甲所示，水平面上一质量为m的物体，在水平力F作用下从静止开始加速运动，力F的功率P恒定不变，运动过程所受的阻力Ff大小不变，加速运动t时间后物体的速度达到最大值vm，F作用过程中物体的速度v的倒数与加速度a的关系图像如图乙所示，仅在已知功率P的情况下，根据图像所给的信息不能求出以下哪个物理量(　　)
A．物体的质量m B．物体所受阻力Ff
C．物体加速运动的时间t D．物体运动的最大速度vm
【答案】C
【解析】由题意可知P＝Fv，根据牛顿第二定律知F－Ff＝ma，即－Ff＝ma，变形得＝a＋，由题图乙可知，斜率＝＝，纵轴截距＝0.1，P已知，可求出m和Ff，选项A、B能够求出；水平力等于阻力时，速度达到最大，则有P＝Fvm＝Ffvm，能求出vm，选项D能够求出；由P＝Fv知，v增大，F减小，则物体先做变加速运动，当加速度为零时做匀速运动，根据条件不能求出加速运动时间，选项C不能求出．本题选不能求出的。
5、(多选)将三个光滑的平板倾斜固定，三个平板顶端到底端的高度相等，三个平板AC、AD、AE与水平面间的夹角分别为θ1、θ2、θ3，如图所示.现将三个完全相同的小球由最高点A沿三个平板同时无初速度释放，经一段时间到达平板的底端.则下列说法正确的是(　　)
A.重力对三个小球所做的功相同
B.沿倾角为θ3的AE平板下滑的小球的重力的平均功率最大
C.三个小球到达底端时的瞬时速度大小相同
D.沿倾角为θ3的AE平板下滑的小球到达平板底端时重力的瞬时功率最小
【答案】ACD
【解析】设A点距水平面的高度为h，小球的质量为m，对沿AC板下滑的小球，重力做功WAC＝mgsin θ·LAC＝mgh，同理可得，重力对三个小球所做的功相同，均为W＝mgh，选项A正确；由a＝gsin θ以及L＝＝at2可知，t＝，故沿倾角为θ3的AE平板下滑的小球运动的时间最长，根据＝可知，重力的平均功率最小，选项B错误；根据v2＝2ax＝2gsin θ·＝2gh，可知三个小球到达底端的速度大小相同，根据P＝mgvsin θ可知，沿倾角为θ3的AE平板下滑的小球到达平板底端时重力的瞬时功率最小，选项C、D正确.
6、(多选)质量为m的物体静止在光滑水平面上，从t＝0时刻开始受到水平力的作用.水平力F与时间t的关系如图5所示，力的方向保持不变，则(　　)
A.3t0时刻，物体的速度为
B.3t0时刻的瞬时功率为
C.在t＝0到3t0这段时间内，水平力F的平均功率为
D.在t＝0到3t0这段时间内，水平力F的平均功率为
【答案】BC
【解析】由题图知，0～2t0时间内，物体加速度a1＝，位移x1＝a1(2t0)2＝，2t0时刻的速度v1＝a1·2t0＝；2t0～3t0时间内，物体的加速度a2＝，位移x2＝v1t0＋a2t02＝，3t0时刻的速度v2＝v1＋a2t0＝，所以3t0时刻的瞬时功率P＝2F0v2＝，选项A错误，B正确；0～3t0时间内的平均功率＝＝＝，选项C正确，D错误.
7、一辆汽车由静止开始沿平直公路行驶，汽车所受牵引力F随时间t变化关系图线如图所示。若汽车的质量为1.2×103kg，阻力恒定，汽车发动机的最大功率恒定，则以下说法正确的是（　　）
A．汽车发动机的最大功率为3×104W
B．汽车匀加速运动阶段的加速度为1.25m/s2
C．汽车先做匀加速运动，然后再做匀速直线运动
D．汽车运动的最大速度是25m/s
【答案】D
【解析】ABC．前4s内，汽车牵引力不变，汽车做匀加速直线运动，有
由图像知
4s后汽车牵引力减小，则加速度减小，汽车做加速度减小的加速运动，直至牵引力等于阻力时，做匀速直线运动，此时有
联立解得
且在4s末汽车达到最大功率，则最大功率为
故ABC错误；
D．汽车的最大速度为
。
8、(多选)一物体放在水平地面上，如图1所示，已知物体所受水平拉力F随时间t的变化情况如图2所示，物体相应的速度v随时间t的变化关系如图3所示，则（ ）
A．0~4s时间内水平拉力的做功大小为18J
B．0~6s时间内合外力的做功大小为4J
C．t=5s时合外力做功功率为4J/s
D．0~8s时间内物体克服摩擦力所做的功30J
【答案】AD
【解析】A．0~4s时间内拉力恒定为3N，位移为v-t图像的面积，则拉力做的功为
故A正确；
B．4s~6s时间内物体做匀速运动，受到的拉力与滑动摩擦力平衡，滑动摩擦力等于2N，合力为0做功为0，0～4s是滑动摩擦力等于2N，合力为1N，则0～6s合力做的功为
故B错误；
C．t=5s时物体匀速运动，合外力为0，合外力做功的功率也为0，故C错误；
D．根据B选项分析，滑动摩擦力为2N，则0~8s时间内，物体克服摩擦力所做的功为
。
9、(多选)汽车在平直公路上以速度v0匀速行驶时，发动机的功率为P。司机为合理进入限速区，减小油门使汽车功率立即减小到，并保持该功率继续行驶。设汽车行驶过程中所受阻力大小不变，从司机减小油门开始，汽车运动的v-t图像如图所示，t1时刻后，汽车做匀速运动。汽车因油耗而改变的质量可忽略。下列说法正确的是（　　）
A．汽车所受阻力大小为
B．在0~t1时间内，汽车行驶的位移大小为
C．在0~t1时间内，汽车的牵引力不断增大
D．t1时刻后，汽车匀速运动的速度大小为
【答案】ACD
【解析】A．开始汽车做匀速直线运动，所以阻力
故A正确；
C．在0~时间内，汽车做减速运动，速度减小，功率不变，根据
知，牵引力不断增大，故C正确；
D．时刻后，汽车仍然做匀速运动，则牵引力等于原来的阻力，即
解得此时的速度大小为
故D正确；
B．根据动能定理有
汽车行驶的位移
。
10、水平路面上有一质量为1kg的玩具小车由静止开始沿直线启动.其运动的v－t图像如图所示，图中0~2s时间段图像为直线，2s后发动机的输出功率保持不变，已知玩具小车行驶中的阻力恒为2N，求：
（1）2s后牵引力功率；
（2）玩具小车运动的最大速度；
（3）0~4s内牵引力所做的功。
【答案】（1）30W；（2）15m/s；（3）90J
【解析】（1）由题图可知0~2s内玩具小车的加速度大小为
设0~2s内玩具小车的牵引力大小为F，根据牛顿第二定律有
解得
F=5N
由题意可知2s后牵引力的功率为
（2）当玩具小车达到最大速度时，牵引力与阻力大小相等，则有
解得
（3）0~2s内，玩具小车的位移大小为
牵引力所做的功为
2~4s内牵引力所做的功为
0~4s内牵引力所做的功
W=W1+W2=90J
11、“复兴号”动车组列车是以中文命名的中国标准动车组，具有完全自主知识产权，达到世界先进水平的动车组列车。若某“复兴号”列车的额定功率为，列车的质量为，列车在水平路面上行驶时，阻力是车重的倍，。列车在水平轨道上行驶，受到的阻力保持不变，重力加速度。
（1）若列车保持额定功率行驶，求列车能达到的最大速度。
（2）若列车由静止开始，保持以的加速度做匀加速运动，求这样的加速运动能维持的最长时间。
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）当列车的牵引力与阻力大小相等时，列车速度达到最大，列车做匀速运动，根据力的平衡可知牵引力
列车能达到的最大速度
（2）列车从静止开始以的加速度做匀加速运动，设这种加速运动能达到的最大速度为，所需的时间为，当列车达到速度时，列车的实际功率恰好达到额定功率，根据功率公式有
根据牛顿第二定律有
根据运动学公式有
解得
。
12、如图所示，是汽车牵引力F和车速倒数的关系图像，若汽车质量为kg，由静止开始沿平直公路行驶，阻力恒定，最大车速为30m/s。
求：（1）机车启动过程最大功率为多少？
（2）汽车速度为20m/s时的加速度为多大？
（3）汽车维持匀加速直线运动的时间为多少？
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）当汽车匀速运动时，牵引力和阻力相等，此时功率最大，且由图知
因此
（2）汽车速度为20m/s时，此时牵引力为
根据牛顿第二定律
解得
（3）汽车匀加速运动的加速度
汽车刚达到额定功率时的速度
所以汽车做匀加速运动的时间
。
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