8.4机械能守恒定律 学案（含答案解析）

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8.4 机械能守恒定律
一、考点梳理
考点一、机械能守恒的理解与判断
1.对机械能守恒条件的理解
(1)只受重力作用，例如做平抛运动的物体机械能守恒。
(2)除重力外，物体还受其他力，但其他力不做功或做功代数和为零。
(3)除重力外，只有系统内的弹力做功，并且弹力做的功等于弹性势能减少量，那么系统的机械能守恒。注意：并非物体的机械能守恒，如与弹簧相连的小球下摆的过程机械能减少。
2．机械能是否守恒的三种判断方法
(1)利用做功即守恒条件判断。
(2)利用机械能的定义判断：若物体或系统的动能、势能之和保持不变，则机械能守恒。
(3)利用能量转化判断：若物体或系统与外界没有能量交换，内部也没有机械能与其他形式能的转化，则机械能守恒。
【典例1】（多选）如图所示,下列关于机械能是否守恒的判断正确的是(　 　)
A．(甲)图中,物体A将弹簧压缩的过程中，A机械能守恒
B．(乙)图中,A置于光滑水平面，物体B沿光滑斜面下滑,物体B在下滑过程中机械能守恒
C．(丙)图中，不计任何阻力和定滑轮质量时A加速下落，B加速上升过程中，A、B系统机械能守恒
D．(丁)图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒
【答案】CD
【解析】在物体A压缩弹簧的过程中，弹簧和物体A组成的系统，只有重力和弹力做功，系统机械能守恒．对于A，由于弹簧的弹性势能在增加，则A的机械能减小．故A错误．物块B沿A下滑的过程中，A要向后退，A、B组成的系统，只有重力做功，机械能守恒，由于A的机械能增大，所以B的机械能不守恒，在减小．故B错误．对A、B组成的系统，不计空气阻力，只有重力做功，A、B组成的系统机械能守恒．故C正确．小球在做圆锥摆的过程中，重力势能和动能都不变，机械能守恒．故D正确．
练习1、（多选）如图，小球自a点由静止自由下落，到b点时与弹簧接触，到c点时弹簧被压缩到最短，若不计弹簧质量和空气阻力，在小球由b→c的运动过程中，下列说法正确的是（　　）
A．小球和弹簧构成的系统总机械能守恒
B．小球的重力势能随时间先减少后增加
C．小球在b点时动能最大
D．小球动能的减少量小于弹簧弹性势能的增加量
【答案】AD
【解析】A．小球由b→c运动过程中，对于小球和弹簧组成的系统，由于只有重力和弹簧的弹力，所以系统总机械能守恒，故A正确；
B．小球不断下降，重力势能不断减小，故B错误；
C．小球从b到c过程，先加速后减速，故动能先变大后变小，动能最大的位置在bc之间的某点，故C错误；
D．小球从b到c过程中，重力势能、动能、弹性势能相互转化，机械能总量守恒，故动能和重力势能的减少量等于弹性势能的增加量，即小球动能的减少量小于弹簧弹性势能的增加量，故D正确。
练习2、在如图所示的物理过程示意图中，甲图为一端固定有小球的轻杆，从右偏上30°释放后绕光滑支点摆动；乙图为末端固定有小球的轻质直角架，释放后绕通过直角顶点的固定轴O无摩擦转动；丙图为置于光滑水平面上的A、B两小车，B静止，A获得一向右的初速度后向右运动，某时刻连接两车的细绳绷紧，然后带动B车运动；丁图为置于光滑水平面上的带有竖直支架的小车，把用细绳悬挂的小球从图示位置释放，小球开始摆动．则关于这几个物理过程(空气阻力忽略不计)，下列判断中正确的是(　　)
A．甲图中小球机械能守恒
B．乙图中小球A的机械能守恒
C．丙图中两车组成的系统机械能守恒
D．丁图中小球的机械能守恒
【答案】A
【解析】A、在图甲所示过程中，只有重力做功，小球的机械能守恒，故A正确；
B、图乙所示运动过程中，A、B两球组成的系统动量守恒，A球的机械能不守恒，故B错误；
C、丙图中两车组成的系统在绳子被拉直的瞬间，系统机械能有损失，系统机械能不守恒，故C错误；
D、丁图中小球和小车组成的系统机械能守恒，小球的机械能不守恒，故D错误；
考点二、单个物体的机械能守恒
应用机械能守恒定律的一般步骤
【典例1】忽略空气阻力，下列物体运动过程中满足机械能守恒的是(　　)
A．电梯匀速下降
B．物体由光滑斜面顶端滑到斜面底端
C．物体沿着斜面匀速下滑
D．拉着物体沿光滑斜面匀速上升
【答案】B
【解析】电梯匀速下降，说明电梯处于受力平衡状态，并不是只有重力做功，机械能不守恒，所以A错误；物体在光滑斜面上，受重力和支持力的作用，但是支持力的方向和物体运动的方向垂直，支持力不做功，只有重力做功，机械能守恒，所以B正确；物体沿着粗糙斜面匀速下滑，物体处于受力平衡状态，摩擦力和重力都要做功，机械能不守恒，所以C错误；拉着物体沿光滑斜面匀速上升，物体处于受力平衡状态，拉力和重力都要做功，机械能不守恒，所以D错误．
【典例2】(多选)神舟号载人飞船从发射至返回的过程中，以下哪些阶段返回舱的机械能是守恒的(　　)
A．飞船升空的阶段
B．只在地球引力作用下，返回舱沿椭圆轨道绕地球运行的阶段
C．只在地球引力作用下，返回舱飞向地球的阶段
D．临近地面时返回舱减速下降的阶段
【答案】BC
【解析】飞船升空的阶段，推力做正功，机械能增加，故A错误；飞船在椭圆轨道上绕地球运行的阶段，只受重力作用，重力势能和动能之和保持不变，故B正确；返回舱在大气层外向着地球做无动力飞行阶段，只有重力做功，重力势能减小，动能增加，机械能总量守恒，故C正确；降落伞张开后，返回舱下降的阶段，克服空气阻力做功，故机械能减小，故D错误。
练习1、如图所示，一轻绳的一端系在固定粗糙斜面上的O点，另一端系一小球。给小球一足够大的初速度，使小球在斜面上做圆周运动。在此过程中(　　)
A．小球的机械能守恒
B．重力对小球不做功
C．轻绳的张力对小球不做功
D．在任何一段时间内，小球克服摩擦力所做的功总是等于小球动能的减少量
【答案】C
【解析】斜面粗糙，小球受到重力、支持力、摩擦力、轻绳张力的作用，由于除重力做功外，支持力和轻绳张力总是与运动方向垂直，故不做功，摩擦力做负功，机械能减少，A、B错误，C正确；小球动能的变化量等于合外力对其做的功，即重力与摩擦力做功的代数和，D错误。
练习2、如图，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直．一小物块以速度v从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时对应的轨道半径为(重力加速度大小为g)(　　)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设小物块滑到轨道上端的速度大小为v1，小物块由最低点到最高点的过程，由机械能守恒定律有2mgr＋mv12＝mv2
小物块做平抛运动时，设落地点到轨道下端的距离为x，则有x＝v1t，
2r＝gt2，联立以上式子解得：x＝2，
当r＝时，x最大，故选项B正确．
练习3、如图所示，光滑水平轨道AB与光滑半圆形轨道BC在B点相切连接，半圆轨道半径为R，轨道AB、BC在同一竖直平面内．一质量为m的物块在A处压缩弹簧，并由静止释放，物块恰好能通过半圆轨道的最高点C.已知物块在到达B点之前已经与弹簧分离，重力加速度为g.求：
(1)物块由C点平抛出去后在水平轨道上的落点到B点的距离；
(2)物块在B点时对半圆轨道的压力大小；
(3)物块在A点时弹簧的弹性势能．
【答案】(1)2R　(2)6mg　(3)mgR
【解析】(1)因为物块恰好能通过C点，则有：mg＝m
又x＝vCt,2R＝gt2
解得x＝2R
即物块在水平轨道上的落点到B点的距离为2R；
(2)物块由B到C过程中机械能守恒，
则有mvB2＝2mgR＋mvC2
设物块在B点时受到的半圆轨道的支持力大小为FN，
则有：FN－mg＝m，
解得FN＝6mg
由牛顿第三定律可知，物块在B点时对半圆轨道的压力大小为FN′＝FN＝6mg.
(3)由机械能守恒定律可知，物块在A点时弹簧的弹性势能为
Ep＝2mgR＋mvC2，解得Ep＝mgR.
考点三、机械能守恒定律在连接体问题中的应用
机械能守恒定律理解的三种形式：
1．守恒观点
(1)表达式：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E1＝E2．
(2)意义：系统初状态的机械能等于末状态的机械能．
(3)注意：要先选取零势能参考平面，并且在整个过程中必须选取同一个零势能参考平面．
2．转化观点
(1)表达式：ΔEk＝－ΔEp．
(2)意义：系统的机械能守恒时，系统增加(或减少)的动能等于系统减少(或增加)的势能．
3．转移观点
(1)表达式：ΔEA增＝ΔEB减．
(2)意义：若系统由A、B两部分组成，当系统的机械能守恒时，则A部分机械能的增加量等于B部分机械能的减少量．
类型一：速率相等的连接体模型
1．如图所示的两物体组成的系统，当释放B而使A、B运动的过程中，A、B的速度均沿绳子方向，在相等时间内A、B运动的路程相等，则A、B的速率相等。
2．判断系统的机械能是否守恒不从做功角度判断，而从能量转化的角度判断，即：如果系统中只有动能和势能相互转化，系统的机械能守恒。这类题目的典型特点是系统不受摩擦力作用。
【典例1】如图所示，a、b两物块质量分别为m、2m，用不计质量的细绳相连接，悬挂在定滑轮的两侧；不计滑轮质量和一切摩擦。开始时，a、b两物块距离地面高度相同，用手托住物块b，然后突然由静止释放，直到a、b物块间高度差为h。在此过程中，下列说法正确的是（　　）
A．物块a的机械能逐渐增加
B．物块b机械能减少了
C．物块b重力势能的减少量等于细绳拉力对它所做的功
D．物块b重力势能的减少量小于其动能的增加量
【答案】AB
【解析】A．a上升的过程中，动能增加了，重力势能也增加了，因此机械能增加了，选项A正确。
B．a，b物块间高度差为h，说明a上升了，b下降，系统减少的重力势能等于系统增加的动能
所以物块b机械能减少了，选项B正确。
C．根据功能关系可知物块b机械能的减少量等于细绳拉力对它所做的功，选项C错误。
D．物块b重力势能的减少量是其动能增加量与物块a机械能增加量的和，选项D错误。
【典例2】如图所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C放在水平地面上．现用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，同时保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行．已知A的质量为4m，B、C的质量均为m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计．开始时整个系统处于静止状态；释放A后，A沿斜面下滑至速度最大时，C恰好离开地面，在此过程中，求：
(1)斜面的倾角α；
(2)弹簧恢复原长时，细线中的拉力大小F0；
(3)A沿斜面下滑的速度最大值vm.
【答案】(1)30°　(2)mg　(3)2g
【解析】(1)A速度最大时，加速度为零，
对A有4mgsin α＝F，
此时B的加速度也为零，C恰好离开地面，
对B、C整体有F＝2mg，
解得sin α＝，即α＝30°.
(2)设当弹簧恢复原长时，A沿斜面向下运动的加速度大小为a，
对A有4mgsin α－F0＝4ma，
对B有F0－mg＝ma，
解得F0＝mg.
(3)一开始弹簧处于压缩状态，有mg＝k·Δx1，
压缩量Δx1＝，
C恰好离开地面时，弹簧处于伸长状态，有mg＝k·Δx2，
伸长量Δx2＝Δx1＝，
因而初、末状态弹簧的弹性势能相等，从释放A球至C球恰好离开地面的过程，对整个系统根据机械能守恒定律有
4mgsin α·(Δx1＋Δx2)－mg(Δx1＋Δx2)＝(4m＋m)vm2，
解得vm＝＝2g.
练习1、质量均为m的物体A和B分别系在一根不计质量的细绳两端，绳子跨过固定在倾角为30°的斜面顶端的定滑轮上，斜面固定在水平地面上，开始时把物体B拉到斜面底端，这时物体A离地面的高度为0.8 m，如图所示．若摩擦力均不计，从静止开始放手让它们运动．(斜面足够长，g取10 m/s2)求：
(1)物体A着地时的速度大小；
(2)物体A着地后物体B继续沿斜面上滑的最大距离．
【答案】(1)2 m/s　(2)0.4 m
【解析】(1)以地面为参考平面，
A、B系统机械能守恒，
根据机械能守恒定律有mgh＝mghsin 30°＋mvA2＋mvB2
因为vA＝vB，
所以vA＝vB＝2 m/s.
(2)A着地后，B机械能守恒，
则B上升到最大高度过程中，
有mvB2＝mgΔssin 30°
解得Δs＝0.4 m.
类型二：角速度相等的连接体模型
1．如图所示的两物体组成的系统，当释放后A、B在竖直平面内绕O点的轴转动，在转动的过程中相等时间内A、B转过的角度相等，则A、B转动的角速度相等。
2．系统机械能守恒的特点
(1)一个物体的机械能增加，另一个物体的机械能必然减少，机械能通过内力做功实现物体间的转移。
(2)内力对一个物体做正功，必然对另外一个物体做负功，且二者代数和为零。
【典例1】质量分别为m和2m的两个小球P和Q，中间用轻质杆固定连接，杆长为L，在离P球处有一个光滑固定轴O，如图所示。现把杆置于水平位置后自由释放，在Q球顺时针摆动到最低位置时，求：
(1)小球P的速度大小。
(2)在此过程中小球P机械能的变化量。
【答案】(1)　(2)增加mgL
【解析】(1)两球和杆组成的系统机械能守恒，设小球Q摆到最低位置时P球的速度为v，由于P、Q两球的角速度相等，Q球运动半径是P球运动半径的两倍，故Q球的速度为2v。由机械能守恒定律得
2mg·L－mg·L＝mv2＋·2m·(2v)2，
解得v＝。
(2)小球P机械能增加量
ΔE＝mg·L＋mv2＝mgL。
【典例2】一长度为2R的轻质细杆两端分别固定质量为m和2m小球M和N，两小球可视为质点，细杆的中点处有一轴，细杆可绕其在竖直平面内无摩擦地转动．开始细杆呈竖直状态，N在最高点，如图所示，当装置受到很小扰动后，细杆开始绕过中点的轴转动，则在球N转动到最低点的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．N的重力势能减小量等于M的重力势能增加量
B．运动过程中两球的最大速度均为
C．细杆对N做的功的绝对值大于细杆对M做的功的绝对值
D．细杆对N做的功为
【答案】B
【解析】A．由于M、N的质量不相等，所以重力势能的变化量也不相等，故A错误；
B．在最低点速度最大,根据系统机械能守恒,有
解得
故B正确；
C．对两个球系统,重力和细杆的弹力做功,只有重力势能和动能相互转化,机械能守恒,故细杆对两个球做功的代数和为零,即细杆对N做的功的绝对值等于细杆对M做的功的绝对值,故C错误;
D．对球N,根据动能定理,有:
解得：
故D错误；
练习1、（多选）一质量不计的直角形支架两端分别连接质量为m和2m的小球A和B.支架的两直角边长度分别为2l和l，支架可绕固定轴O在竖直平面内无摩擦转动，如图9所示．开始时OA边处于水平位置，由静止释放，重力加速度为g，则(　　)
A．A球的最大速度为2
B．A球的速度最大时，两小球的总重力势能最小
C．A球第一次转动到与竖直方向的夹角为45°时，A球的速度大小为
D．A、B两球的最大速度之比vA∶vB＝3∶1
【答案】BC
【解析】由机械能守恒可知，A球的速度最大时，二者的动能最大，此时两球总重力势能最小，所以B正确；根据题意知无论何时两球的角速度均相同，线速度大小之比均为vA∶vB＝ω·2l∶ωl＝2∶1，故D错误；当OA与竖直方向的夹角为θ时，由机械能守恒得：mg·2lcos θ－2mg·l(1－sin θ)＝mvA2＋·2mvB2，解得：vA2＝gl(sin θ＋cos θ)－gl，由数学知识知，当θ＝45°时，sin θ＋cos θ有最大值，最大值为vA＝，所以A错误，C正确．
类型三：分速度大小相等的连接体模型
1．如图所示的两物体组成的系统，当释放后A、B运动的过程中，A、B的速度并非均沿绳子方向，在相等时间内A、B运动的路程不相等，则A、B的速度大小不相等，但二者在沿着绳子方向的分速度大小相等。
2．列系统机械能守恒的两种思路
(1)系统动能的减少(增加)等于重力势能的增加(减少)。
(2)一个物体机械能的减少等于另一个物体机械能的增加。
【典例1】如图，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上．a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动．不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g，则(　　)
A．a落地前，轻杆对b一直做正功
B．a落地时速度大小为
C．a下落过程中，其加速度大小始终不大于g
D．a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg
【答案】D
【解析】当a到达底端时，b的速度为零，b的速度在整个过程中先增大后减小，动能先增大后减小，所以轻杆对b先做正功，后做负功，A错误；a运动到最低点时，b的速度为零，根据系统机械能守恒得：mgh＝mvA2，解得vA＝，B错误；b的速度在整个过程中先增大后减小，杆对b的作用力先是动力后是阻力，所以杆对a的作用力就先是阻力后是动力，所以在b减速的过程中，杆对a是斜向下的拉力，此时a的加速度大于重力加速度，C错误；a、b及杆系统的机械能守恒，当a的机械能最小时，b的速度最大，此时b受到杆的推力为零，b只受到重力和支持力的作用，结合牛顿第三定律可知，b对地面的压力大小为mg，D正确．
【典例2】如图所示，质量为m的小环(可视为质点)套在固定的光滑竖直杆上，一足够长且不可伸长的轻绳一端与小环相连，另一端跨过光滑的定滑轮与质量为M的物块相连，已知M＝2m.与定滑轮等高的A点和定滑轮之间的距离为d＝3 m，定滑轮大小及质量可忽略．现将小环从A点由静止释放，小环运动到C点速度为0，重力加速度取g＝10 m/s2，则下列说法正确的是(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)(　　)
A．A、C间距离为4 m
B．小环最终静止在C点
C．小环下落过程中减少的重力势能始终等于物块增加的机械能
D．当小环下滑至绳与杆的夹角为60°时，小环与物块的动能之比为2∶1
【答案】AD
【解析】小环运动到C点时，对系统，由机械能守恒得：mgLAC＝Mg(－d)，解得：LAC＝4 m，故A正确；假设小环最终静止在C点，则绳中的拉力大小等于2mg，在C点对小环有：FT＝＝mg≠2mg，所以假设不成立，小环不能静止，故B错误；由机械能守恒可知，小环下落过程中减少的重力势能转化为物块增加的机械能和小环增加的动能，故C错误；将小环的速度沿绳和垂直绳方向分解，沿绳方向的速度即为物块的速度vM＝vmcos 60°，由Ek＝mv2可知，小环与物块的动能之比为2∶1，故D正确．
故选AD．
练习1、如图所示，一个半径为R的半球形碗固定在桌面上，碗口水平，O点为其球心，碗的内表面及碗口光滑．一根轻质细线跨在碗口上，线的两端分别系有小球A和B，当它们处于平衡状态时，小球A与O点的连线与水平线夹角为60°．
(1)求小球A与B的质量比：；
(2)现将A球质量改为2m、B球质量改为m，且开始时A球位于碗口C点，由静止沿碗下滑，当A球滑到碗底时，求两球总的重力势能改变量；
(3)在(2)条件下，当A球滑到碗底时，求B球的速度大小．
【答案】(1) (2) (3)
【解析】(1) 设绳的张力为T，对A球进行受力分析，有
对B球进行受力分析，有可解得：
(2) A球的重力势能改变量为
B两球的重力势能改变量为
所以A、B两球总的重力势能改变量为
(3) 当A球滑到碗底时，设A、B两球的速度分别为、，则
⑴
根据A、B两球总机械能守恒，有⑵
即⑶
联立以上三式，解得：（或或）
练习2、如图所示，跨过同一高度处的定滑轮的细线连接着质量相同的物体A和B，A套在光滑水平杆上，定滑轮离水平杆的高度h＝0.2 m，开始时让连着A的细线与水平杆的夹角θ1＝37°，由静止释放B，当细线与水平杆的夹角θ2＝53°时，A的速度为多大？在以后的运动过程中，A所获得的最大速度为多大？(设B不会碰到水平杆，sin 37°＝0.6，sin 53°＝0.8，取g＝10 m/s2)
【答案】1.1 m/s　1.63 m/s
【解析】对A、B两物体组成的系统，只有动能和重力势能的相互转化，机械能守恒。设细线与水平杆的夹角θ2＝53°时，A的速度为vA，B的速度为vB，此过程中B下降的高度为h1，则有mgh1＝mvA2＋mvB2，
其中，h1＝－，vAcos θ2＝vB，
代入数据，解以上关系式得vA≈1.1 m/s。
A沿着杆滑到左侧滑轮正下方的过程，细线拉力对A做正功，A做加速运动，此后细线拉力对A做负功，A做减速运动，故当θ3＝90°时，A的速度最大，设为vAm，此时B下降到最低点，B的速度为零，此过程中B下降的高度为h2，
则有mgh2＝mvAm2，
其中h2＝－h，
代入数据解得vAm≈1.63 m/s。
考点四、弹簧连接的系统机械能守恒
问题简述 由弹簧相连的物体系统，在运动过程中既有重力做功，又有弹簧弹力做功，这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧弹性势能相互转化或转移，而总的机械能守恒。
方法突破 求解这类问题时，首先以弹簧遵循的胡克定律为分析问题的突破口：弹簧伸长或缩短时产生的弹力的大小遵循F＝kx和ΔF＝kΔx。其次，以弹簧的弹力做功为分析问题的突破口：弹簧发生形变时，具有一定的弹性势能。弹簧的弹性势能与弹簧的劲度系数、形变量有关，但是在具体的问题中不用计算弹性势能的大小，弹簧的形变量相同的时候弹性势能相同，通过运算可以约去。当题目中始、末都不是弹簧原长时，要注意始、末弹力的大小与方向时刻要与当时的形变相对应，即伸长量或压缩量，而力的位移就可能是两次形变量之和或之差。
【典例1】（多选）如图所示，MN为半径为R、固定于竖直平面内的光滑圆管轨道，轨道上端切线水平，O为圆心，M、O、P三点在同一水平线上，M的下端与轨道相切处放置竖直向上的弹簧枪。现发射质量为m的小钢珠，小钢珠从M点离开弹簧枪，从N点飞出落到上距O点距离为的点。不计空气阻力，重力加速度为g，则该次发射（ ）
A．小钢珠到达N点时对上管壁的压力大小为0
B．小钢珠经过N点时的速度大小为
C．弹簧释放的弹性势能为2mgR
D．小钢珠与待检平板碰撞前瞬间动能为
【答案】AD
【解析】AB．小钢珠从N点飞出后做平抛运动，则
，
小钢珠在N点的速度为
根据牛顿第二定律
得
小钢珠到达N点时对上管壁的压力大小为0，A正确，B错误；
C．根据机械能守恒
弹簧释放的弹性势能为
C错误；
D．小钢珠与待检平板碰撞的位置与M点在同一水平面，则小钢珠与待检平板碰撞前瞬间动能等于小钢珠在M点的动能，即等于弹簧释放前的弹性势能
D正确。
【典例2】如图所示，竖直固定的光滑直杆上套有一个质量为m的小球，初始时置于a点。一原长为L的轻质弹簧左端固定在O点，右端与小球相连。直杆上还有b、c、d三点，且b与O在同一水平线上，Ob＝L，Oa、Oc与Ob夹角均为37°，Od与Ob夹角为53°．现释放小球，小球从a点由静止开始下滑，到达d点时速度为0．在此过程中弹簧始终处于弹性限度内，下列说法中正确的有（重力加速度为g，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）（　　）
A．小球在b点时加速度为g，速度最大 B．小球在b点时动能和重力势能的总和最大
C．小球在c点的速度大小为 D．小球从c点下滑到d点的过程中，弹簧的弹性势能增加了
【答案】BD
【解析】从a到b，弹簧对滑块由沿弹簧向下的拉力，滑块的速度不断增大；从b到c，弹簧对滑块有沿弹簧向上的拉力，开始时拉力沿杆向上的分力小于滑块的重力，滑块扔在加速，所以滑块在b点时速度不是最大，此时合力为mg，则加速度为g，故A错误。小球与弹簧组成的系统，只有重力和弹簧弹力做功，系统机械能守恒，在b点时弹簧的弹性势能最小是零，所以小球在b点时动能和重力势能的总和最大，故B正确；小球从a点下滑到c点的过程中，由小球和弹簧的系统机械能守恒得：mg 2Ltan37°＝ ，可得滑块在c点的速度大小为：vc＝，故C错误。小球从c点下滑到d点的过程中，小球的机械能减少量等于弹簧弹性势能增加量，△EP＝+mgL（tan53°﹣tan37°），解得：△EP＝mgL，故D正确。
练习1、如图所示，光滑细直杆倾角为45°，质量为m的小环(可视为质点)穿过直杆，并通过弹簧悬挂在天花板上位置O处，弹簧处于竖直位置时，小环恰好静止在位置A处，OA间距为L，现对小环施加沿杆向上的拉力F，使环缓慢沿杆滑动到弹簧与竖直方向的夹角为90°的位置C处．图中位置B为AC的中点，此过程中弹簧始终处于伸长状态，重力加速度为g，则整个过程(　　)
A．杆对环的弹力始终大于零
B．拉力F所做的功为mgL
C．弹簧的弹力所做的功为mgL
D．环在位置B与位置C处拉力F之比为2∶1
【答案】B
【解析】开始弹簧处于竖直状态，根据平衡条件可知弹簧的弹力等于小环的重力，即FT＝mg，此时杆对环的弹力为零，否则弹簧不会竖直，故A错误；根据题意可知，弹簧一端在A点与在C点时的长度相等，则弹簧的形变量相等，弹簧的弹力所做的总功为零，根据能量守恒可得整个过程拉力F所做的功为mgL，故B正确，C错误；环在B位置时，根据平衡条件可得FB＝mgsin 45°＝mg，在C位置时，根据平衡条件可得FC＝mgsin 45°＋FTsin 45°＝mg，所以环在位置B与位置C处拉力F之比为1∶2，故D错误．
练习2、轻质弹簧原长为2l，将弹簧竖直放置在水平地面上，在其顶端将一质量为5m的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为l.现将该弹簧水平放置，一端固定在A点，另一端与物块P接触但不连接．AB是长度为5l的水平轨道，B端与半径为l的光滑半圆轨道BCD相切，半圆的直径BD竖直，如图所示．物块P与AB间的动摩擦因数μ＝0.5.用外力推动物块P，将弹簧压缩至长度l，然后释放，P开始沿轨道运动，重力加速度大小为g.
(1)若P的质量为m，求P到达B点时速度的大小，以及它离开圆轨道后落回到AB上的位置与B点间的距离；
(2)若P能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求P的质量的取值范围．
【答案】　(1)　2l　(2)m≤mP【解析】　(1)竖直的弹簧放上物体压缩至长度l时，由机械能守恒得5mgl＝Ep
弹簧水平放置压缩至长度l时，物块P从开始到B点，由能量守恒得Ep＝μmg·4l＋mvB2解得vB＝
物块由B点到D点：－mg·2l＝mvD2－mvB2 解得vD＝
物块由D点平抛2l＝gt2，x＝vDt 解得x＝2l
(2)物块至少过B点时Ep>μmPg·4l
P最多到C点且不脱离轨道Ep≤μmPg·4l＋mPgl
则m≤mP考点五、用机械能守恒定律解决非质点问题
在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再看成质点来处理。
物体虽然不能看成质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒。一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解。
【典例1】如图所示，在倾角为的斜面上，有一质量分布均匀的长为质量为的铁链放在斜面的顶端，铁链的上端与斜面的顶端相平齐，用一质量不计的轻绳将一定质量的钩码与铁链相连接，假设斜面的顶端距离水平面足够高。现将连接体由静止释放，如果铁链与斜面之间的摩擦力不能忽略。则在铁链的下端点刚好到达斜面的顶端时（　　）
A．钩码的机械能一直增加
B．铁链的重力势能减少了
C．钩码减少的重力势能与摩擦力对铁链做功的数值相等
D．铁链减少的重力势能在数值上等于铁链动能的增加量与铁链克服摩擦力做功的和
【答案】B
【解析】A.轻绳的拉力对钩码做负功，所以钩码的机械能减少，故A错误；
B.铁链减少的重力势能
故B正确；
C.铁链被拉动，表明轻绳对铁链的拉力大于摩擦力，而钩码重力势能的减少量等于克服轻绳拉力做功与钩码动能之和，故C错误；
D.对铁链应用动能定理有
所以铁链重力势能的减少量
所以
故D错误。
练习1、如图所示，AB为光滑的水平面，BC是倾角为α的足够长的光滑斜面，斜面体固定不动，AB、BC间用一小段光滑圆弧轨道相连，一条长为L的均匀柔软链条开始是静止地放在ABC面上，其一端D至B的距离为L－a，其中a未知，现自由释放链条，当链条的D端滑到B点时链条的速率为v，求a。
【答案】a＝。
【解析】设链条质量为m，可以认为始末状态的重力势能变化是由L－a段下降引起的
下降高度h＝sin α＝sin α
该部分的质量为m′＝(L－a)
由机械能守恒定律可得(L－a)gh＝mv2
解得a＝。
练习1、长为L的均匀链条，放在光滑的水平桌面上，且使其长度的垂在桌边，如图所示，松手后链条从静止开始沿桌边下滑，则链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为（重力加速度为g）（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知，最终长为L的均匀链条离开桌边，处于竖直状态，等效于桌子上的链条挪到垂在桌边的的链条的下方，对这的链条为研究对象，初位置时重心在桌子上，末位置时重心距离桌子
则由机械能守恒定律得
解得
二、夯实小练
1、将某一物体由地面开始竖直上抛，不计空气阻力，物体能够到达的最大距地高度为H。选取地面为参考平面，当物体在上升过程中通过某一位置时，它的动能恰好等于其重力势能的一半，则这一位置的距地高度为（　　）
A． B． C． D．H
【答案】B
【解析】由机械能守恒定律可知
其中
解得
2、如图所示，光滑细杆AB、AC在A点连接，AB竖直放置，AC水平放置，两中心有孔的相同小球M、N，分别套在AB和AC上，并用一不可伸长的细绳相连，细绳恰好被拉直，现由静止释放M、N，在N球碰到A点前的运动过程中，下列说法中正确的是（　　）
A．M球的机械能守恒
B．M球的机械能增大
C．M球和N球组成的系统机械能守恒
D．绳的拉力对N球做负功
【答案】C
【解析】因M球下落的过程中细绳的拉力对M球做负功，对N球做正功，故M球的机械能减小，N球的机械能增大，但M球和N球组成的系统机械能守恒。
3、(多选)如图所示，一轻弹簧一端固定于O点，另一端系一重物，将重物从与悬点O在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速度地释放，让它自由摆下，不计空气阻力，在重物由A点摆到最低点的过程中(　　)
A.重物的机械能减少
B.重物与弹簧组成的系统的机械能不变
C.重物与弹簧组成的系统的机械能增加
D.重物与弹簧组成的系统的机械能减少
【答案】AB
【解析】重物自由摆下的过程中，弹簧拉力对重物做负功，重物的机械能减少，选项A正确；对重物与弹簧组成的系统而言，除重力、弹力外，无其他外力做功，故系统的机械能守恒，选项B正确.
4、(多选)如图所示，将物体P用长度适当的轻质细绳悬挂于天花板下方，两物体P、Q用一轻弹簧相连，物体Q在力F的作用下处于静止状态，弹簧被压缩，细绳处于伸直状态.已知该弹簧的弹性势能仅与其形变量有关，且弹簧始终在弹性限度内，现将力F撤去，轻绳始终未断，不计空气阻力，则(　　)
A.弹簧恢复原长时，物体Q的速度最大
B.撤去力F后，弹簧和物体Q组成的系统机械能守恒
C.在物体Q下落的过程中，弹簧的弹性势能先减小后增大
D.撤去力F前，细绳的拉力不可能为零
【答案】BC
【解析】由题意可知，撤去力F后，在Q下落过程中，Q和弹簧组成的系统满足机械能守恒，弹簧弹性势能先减小后增大，Q的动能先增大后减小，当弹簧向上的弹力大小等于Q物体的重力时，Q的速度最大，故A错误，B、C正确；F撤去之前，弹簧被压缩，对P受力分析，当重力等于弹簧弹力时，细绳的拉力可能为零，故D错误.
5、如图所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，并且处于原长状态，现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L(未超过弹性限度)，重力加速度为g，则在圆环下滑到最大距离的过程中(　　)
A.圆环的机械能守恒
B.弹簧弹性势能增加了mgL
C.圆环下滑到最大距离时，所受合力为零
D.圆环重力势能与弹簧弹性势能之和始终保持不变
【答案】B
【解析】圆环在下落过程中机械能减少，弹簧弹性势能增加，而圆环与弹簧组成的系统机械能守恒.圆环下落到最低点时速度为零，但是加速度不为零，即合力不为零；圆环下降高度h＝＝L，所以圆环重力势能减少了mgL，由机械能守恒定律可知，弹簧的弹性势能增加了mgL，故选B.
6、如图所示，长直轻杆两端分别固定小球A和B，两球质量均为m，两球半径忽略不计，杆的长度为L。先将杆AB竖直靠放在竖直墙上，轻轻拨动小球B，使小球B在水平面上由静止开始向右滑动，当小球A沿墙下滑距离为时，下列说法正确的是（不计一切摩擦，重力加速度为g）（　　）
A．杆对小球A做功为mgL B．小球A、B的速度都为
C．小球A、B的速度分别为和 D．杆与小球A、B组成的系统机械能减少了mgL
【答案】C
【解析】BCD．对A、B组成的系统，整个过程中，只有重力做功，机械能守恒，由机械能守恒定律得
mg·＝
又有
vAcos60°＝vBcos30°
解得
vA＝
vB＝
故C正确，BD错误；
A．对A，由动能定理得
mg＋W＝
解得杆对小球A做的功
W＝－mg·＝－mgL
故A错误。
7、如图所示，光滑的曲面与光滑的水平面平滑相连，一轻弹簧右端固定，质量为m的小球从高度h处由静止下滑，则（ ）
A．小球与弹簧刚接触时，速度大小为
B．小球与弹簧接触的过程中， 小球机械能守恒
C．小球在压缩弹簧最短时，弹簧的弹性势能为mv2
D．小球在压缩弹簧的过程中，小球的加速度保持不变
【答案】A
【解析】A．小球在曲面上下滑过程中，根据机械能守恒定律得
即小球与弹簧刚接触时，速度大小为，故A正确；
B．小球与弹簧接触的过程中，弹簧的弹力对小球做负功，则小球机械能不守恒，故B错误。
C．对整个过程，根据系统的机械能守恒可知，小球在压缩弹簧最短时，弹簧的弹性势能为mgh，因没有明确v是何处的速度，故C错误。
D．小球在压缩弹簧的过程中，弹力增大，则小球的加速度增大，故D错误。
8、以相同大小的初速度v0将物体从同一水平面分别竖直上抛、斜上抛、沿光滑斜面(足够长)上滑，如图所示，三种情况达到的最大高度分别为h1、h2和h3，不计空气阻力，则(　　)
A.h1＝h2＞h3 B.h1＝h2＜h3
C.h1＝h3＜h2 D.h1＝h3＞h2
【答案】D
【解析】竖直上抛的物体和沿斜面运动的物体，上升到最高点时，速度均为0，由机械能守恒定律得mgh＝mv02，所以h＝；斜上抛的物体在最高点速度不为零，设为v1，则mgh2＝mv02－mv12，所以h2＜h1＝h3，D正确.
9、轻杆AB长2L，A端连在固定轴上，B端固定一个质量为2m的小球，中点C固定一个质量为m的小球。AB杆可以绕A端在竖直平面内自由转动。现将杆置于水平位置，如图所示，然后由静止释放，不计各处摩擦力与空气阻力，重力加速度大小为，则下列说法不正确的是（　　）
A．AB杆转到竖直位置时，角速度为
B．AB杆转到竖直位置的过程中，B端小球的机械能的增量为
C．AB杆转动过程中杆CB对B球做正功，对C球做负功
D．AB杆转动过程中，C球机械能守恒
【答案】D
【解析】A．在AB杆由静止释放转到竖直位置的过程中，两小球和杆组成的系统机械能守恒，则以B端球的最低点为零势能点，根据机械能守恒定律有
解得角速度
故A正确，不符合题意；
B．在此过程中，B端小球机械能的增量为
故B正确，不符合题意；
CD．AB杆转动过程中，由于B球机械能增加，故杆对B球做正功，由机械能守恒，C球机械能必然减少，所以CB杆对C球做负功，故C正确，不符合题意，D错误，符合题意。
10、(多选)一个物体以一定的初速度竖直上抛，不计空气阻力，如图所示为表示物体的动能Ek随高度h变化的图像A、物体的重力势能Ep随速度v变化的图像B(图线形状为四分之一圆弧)、物体的机械能E随高度h变化的图像C、物体的动能Ek随速度v变化的图像D(图线形状为开口向上的抛物线的一部分)，其中可能正确的是(　　)
【答案】ACD
【解析】设物体的初速度为v0，物体的质量为m，由机械能守恒定律得mv02＝mgh＋mv2，所以物体的动能与高度h的关系为Ek＝mv02－mgh，图像A可能正确；物体的重力势能与速度v的关系为Ep＝mv02－mv2，则Ep－v图像为开口向下的抛物线(第一象限中的部分)，图像B错误；由于竖直上抛运动过程中机械能守恒，所以，E－h图像为一平行于h轴的直线，图像C可能正确；由Ek＝mv2知，Ek－v图像为一开口向上的抛物线(第一象限中的部分)，所以图像D可能正确.
11、如图所示，质量均为m=1kg的小物体A和B用轻绳连接，轻绳跨过倾角为30°的固定斜面顶端的定滑轮，滑轮左侧的轻绳方向与斜面方向平行，开始时用手托住A，B恰好位于斜面底端，A离地h=0.8 m。现静止释放A，在B沿斜面上滑的过程中，下列说法正确的是（已知A落地后不反弹，不计一切摩擦和空气阻力，g取10 m/s2）（　　）
A．物体A、B组成的系统机械能守恒
B．物体A落地前一瞬间的速度大小为4m/s
C．物体B的动量变化量的大小为2kgm/s
D．物体B沿斜面上滑的最大距离为1.2m
【答案】D
【解析】A．静止释放A，在B沿斜面上滑的过程中，A落地前物体A、B组成的系统机械能守恒，A落地后不反弹，则A的机械能发生变化，所以物体A、B组成的系统机械能不守恒，A错误；
B．设物体A落地前一瞬间的速度为 ，根据机械能守恒
解得
B错误；
C．静止释放A，在B沿斜面上滑的过程中，最终B升到最高点速度为零，则物体B的动量变化量的大小为零，C错误；
D．物体A落地，B物体的机械能守恒，设在斜面上滑的最大距离为L，则
解得
所以物体B沿斜面上滑的最大距离为
D正确。
12、（多选）小球穿在光滑水平杆上，轻弹簧的一端固定在O点，另一端与小球相连。现将小球由静止释放，已知小球运动到M、N两个位置时，弹簧的形变量相等，的长度大于。则小球从M点到N点的过程中（　　）
A．弹簧的弹力对小球做的总功 B．弹簧的弹性势能一直减小
C．小球的机械能守恒 D．小球速度最大时，弹簧的弹力对小球做功的功率为零
【答案】AD
【解析】
AB．小球运动到M、N两个位置时，弹簧的形变量相等，则小球在M、N两个位置的弹簧弹性势能相等，的长度大于，则小球在M位置时弹簧处于伸长状态，在N位置时弹簧处于压缩状态，小球从M点运动到N点的过程，弹簧的形变量先变小后变大，弹簧的弹性势能先减小后增大，又因为M、N两点的弹簧弹性势能相等，所以弹簧的弹力对小球做的总功为0，A正确，B错误；
C．对于小球来说，弹簧弹力对小球先做正功后做负功，小球的机械能先增大后减小，C错误；
D．小球速度最大时，弹簧处于原长，弹簧弹力为0，故此时弹簧的弹力对小球做功的功率为零，D正确；
13、如图所示，在竖直平面内有由圆弧AB和圆弧BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接.AB弧的半径为R，BC弧的半径为.一小球在A点正上方与A相距处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动(不计空气阻力).
(1)求小球在B、A两点的动能之比；
(2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点.
【答案】(1)5∶1　(2)见解析
【解析】(1)设小球的质量为m，小球在A点的动能为EkA，由机械能守恒定律得EkA＝mg①
设小球在B点的动能为EkB，同理有EkB＝mg②
由①②式得EkB∶EkA＝5∶1③
(2)若小球能沿轨道运动到C点，则小球在C点所受轨道的正压力FN应满足FN≥0④
设小球在C点的速度大小为vC，由牛顿第二定律有
FN＋mg＝m⑤
由④⑤式得：vC应满足mg≤m⑥
由机械能守恒定律得mg＝mvC2⑦
由⑥⑦式可知，小球恰好可以沿轨道运动到C点.
14、如图所示，A点距地面的高度为3L，摆线长为L，A、B连线与竖直方向夹角θ＝60°，使摆球从B点处由静止释放，不计摩擦阻力影响.
(1)若摆球运动至A点正下方O点时摆线断裂，求摆球落地点到O点的水平距离；
(2)若摆线不断裂，在A点正下方固定一光滑小钉子，使摆球能在竖直面内做完整的圆周运动，求钉子与A点距离至少多大.
【答案】(1)2L　(2)0.8L
【解析】(1)摆球从B点运动到O点过程，根据机械能守恒定律有
mg(L－Lcos θ)＝mv02，解得v0＝
在竖直方向上2L＝gt2
摆球落地点到O点的水平距离x＝v0t，解得x＝2L；
(2)设钉子与A点距离为y时，摆球恰能在竖直面内做完整的圆周运动，且在最高点速度为v，根据牛顿第二定律有mg＝m
根据机械能守恒定律有
mg[L－Lcos θ－2(L－y)]＝mv2
解得y＝0.8L，
即使摆球能在竖直面内做完整的圆周运动，钉子与A点距离至少为0.8L.
三、培优练习
1、(多选)如图所示，倾角为30°高为L的固定斜面底端与光滑水平面平滑相连，质量分别为3m、m的两个小球A、B用一根长为L的轻绳连接，A球置于斜面顶端．现由静止释放A、B两球，B球与弧形挡板碰撞过程时间极短无机械能损失，且碰后只能沿斜面下滑，两球最终均滑到水平面上．已知重力加速度为g，不计一切摩擦，则(　　)
A．A球刚滑至水平面时的速度大小为
B．B球刚滑至水平面时的速度大小为
C．在A球沿斜面下滑的过程中，轻绳对B球先做正功、后不做功
D．两小球在水平面上不可能相撞
【答案】AC
【解析】当B球沿斜面顶端向下运动时，两个小球A、B运动过程中系统机械能守恒得：
3mg·L－mgL＝(3m＋m)v2
v＝
此后绳中无张力，小球A做加速运动．
根据动能定理研究A得
3mg·L＝(3m)v－ (3m)v2
vA＝，故A正确．
根据动能定理研究B得
mg·L＝mv－mv2
vB＝，故B错误．
B球在上升过程轻绳对B球做正功，二者一起沿斜面下滑时，轻绳张力为零，不做功，故C正确．两个小球A、B运动到水平面上，由于后面的B球速度大于A球速度，所以小球A、B在水平面会相撞．故D错误．
2、如图所示为著名的“阿特伍德机”装置示意图．跨过轻质定滑轮的轻绳两端悬挂两个质量均为M的物块，当左侧物块附上质量为m的小物块时，该物块由静止开始加速下落，下落h后小物块撞击挡板自动脱离，系统以v匀速运动．忽略系统一切阻力，重力加速度为g.若测出v，则可完成多个力学实验．下列关于此次实验的说法，正确的是(　　)
A．系统放上小物块后，轻绳的张力增加了mg
B．可测得当地重力加速度g＝
C．要验证机械能守恒，需验证等式mgh＝Mv2，是否成立
D．要探究合外力与加速度的关系，需探究mg＝(M＋m)是否成立
【答案】B
【解析】对系统，由牛顿第二定律得，加速度：a＝＝，对M，由牛顿第二定律得：F－Mg＝Ma，解得：F＝Mg＋，故A错误；对系统，由动能定理得：(M＋m)gh－Mgh＝ (M＋m＋M)v2－0，解得：g＝，故B正确；如果机械能守恒，则：(M＋m)gh＝Mgh＋ (M＋m＋M)v2，整理得：mgh＝ (2M＋m)v2，故C错误；物体做初速度为零的匀加速直线运动，加速度：a＝，由牛顿第二定律得：(M＋m)g－Mg＝(M＋m＋M)a，整理得：mg＝(2M＋m) ，要探究合外力与加速度的关系，需探究mg＝(2M＋m)是否成立。
3、（多选）如图所示，光滑水平面MA上有一轻质弹簧，弹簧一端固定在竖直墙壁上，弹簧原长小于MA。A点右侧有一匀速运动的水平传送带AB，传送带长度，速度。一半径为的光滑半圆轨道BCD在B点与传送带相切，轨道圆心为O，OC水平。现用一质量为的物块（可看做质点）压缩弹簧，使得弹簧的弹性势能为。由静止释放物块，已知物块与传送带之间的动摩擦因数为，g取关于物块的运动，下列说法正确的是（　　）
A．物块不能运动到半圆轨道最高点D
B．物块运动到B点的速度为
C．物块运动到C点时对轨道的压力为60 N
D．若传送带速度变为，物块在B点右侧不会脱离轨道
【答案】CD
【解析】AB．由题意知，物块到达A点的速度满足
解得
所以物块滑上传送带后做加速运动，有
且加速位移为
整理有
所以滑块在传送带上先加速后匀速，到达B点的速度与传送带速度相同，即为
设滑块恰好可以运动到半圆轨道最高点D，则在最高点满足
解得
从B到D由动能定理得
求得B点最小速度为
所以物块恰好能运动到半圆轨道最高点D，故AB错误；
C．从B到C由动能定理得
在C点受力分析得
联立解得
由牛顿第三定律可知物块运动到C点时对轨道的压力为60 N，故C项正确；
D．若传送带速度变为，则可知滑块滑上传送带后先做减速运动，且减速到时的位移为
整理得
即滑块恰好减速到B点和传送带共速，设物块恰好可以到达C点时对应的B点速度为，则从B到C由机械能守恒可得
解得
即滑块在B点的速度为时，在到达C点之前已经减速为零，则可知传送带速度变为时，物块在B点右侧不会脱离轨道，故D项正确。
4、如图所示，一质量不计的直角形支架两端分别连接相同质量的小球A和B，支架OA、OB边长度分别为2L和L，支架可绕固定轴O点在竖直平面内无摩擦转动，已知重力加速度大小为，开始时O处于水平位置，由静止释放后（　　）
A．当转过时，A球速度为
B．转过过程中，杆对A做了的正功
C．当转过时，B球速度为
D．转过过程中，杆对B做了的正功
【答案】C
【解析】AC．设B的速度为v，则A的速度为2v，根据能量关系可知
解得
则A的速度为
选项A错误，C正确；
B．对A由动能定理
解得
选项B错误；
D．对B由动能定理
解得
选项D错误；
5、如图所示，固定于地面、倾角为的光滑斜面上有一轻质弹簧，轻质弹簧一端与固定于斜面底端的挡板C连接，另一端与物块A连接，物块A上方放置有另一物块B，物块A、B质量均为m且不粘连，整个系统在沿斜面向下的恒力F作用下而处于静止状态。某一时刻将力F撤去，若在弹簧将A、B弹起过程中，A、B能够分离，则下列叙述正确的是（ ）
A．从力F撤去到A、B发生分离的过程中，A、B物块和地球所构成的系统机械能守恒
B．A、B被弹起过程中，A、B即将分离时，弹簧处于压缩状态
C．A、B分离瞬间，A的加速度大小为
D．若斜面为粗糙斜面，则从力F撤去到A、B发生分离的过程中，弹簧减少的弹性势能一定等于A、B增加的机械能与系统摩擦生热之和
【答案】D
【解析】A．从力F撤去到A、B发生分离的过程中，A、B物块和地球所构成的系统除了重力做功之外还有弹簧的弹力这个外力做功，所以系统的机械能不守恒，故A错误；
B．当A、B之间作用力为零且加速度相同时，两物块分离，此时弹簧处于原长状态，故B错误；
C．A、B刚分离瞬间，A、B间的弹力为零，对B，由牛顿第二定律得
得
此瞬间A与B的加速度相同，所以A的加速度大小为，故C错误；
D．若斜面为粗糙斜面，则从力F撤去到A、B发生分离的过程中，由能量守恒定律知，弹簧减少的弹性势能一定等于A、B增加的机械能与系统摩擦生热之和，故D错误。
6、如图甲，在倾角为的斜面上放一轻质弹簧，其下端固定，静止时上端位置在B点，小物快在A点由静止释放，从开始运动的一段时间内的v-t图像如图乙所示。小物块在0.8s时运动到B点，在1.0s时到达C点（图中未标出），在1.3s时到达D点，经过一段时间后又回到B点，且速度不为零。取。由图知（　　）
A．小物块从A点运动到D点的过程中，小物块在C点时，弹簧的弹性势能最小
B．小物块从A点运动到D点的过程中，小物块机械能不变
C．小物块从D点运动到B点的过程中，加速度不断减小
D．小物块第一次经过B点的加速度值小于第二次经过B点的加速度值
【答案】D
【解析】A．小物块从A点运动到B点的过程中，弹簧处于原长状态，弹性势能为零，从B点运动到C点的过程中，弹簧的压缩量增大，弹性势能增大，故A错误；
B．由图知小物块从A点运动到B点的过程中，加速度
所以小物块受滑动摩擦力，整个运动过程中小物块机械能减小，故B错误；
C．小物块从D点运动到B点的过程中，加速度方向先是沿斜面向上，后沿斜面向下，所以加速度先减小，再反向增大，故C错误；
D．根据牛顿第二定律，两次经过B点的加速度值分别为
所以
故D正确。
7、（多选）如图所示，一根不可伸长的轻绳绕过两个轻质光滑小定滑轮、，一端与一小球连接，另一端与套在足够长的光滑固定直杆上的小物块连接，小球与小物块的质量均为m，直杆与两定滑轮在同一竖直平面内，与水平面的夹角为，直杆上C点与两定滑轮均在同一高度，C点到定滑轮的距离为L，重力加速度为g，小球运动过程中不会与其他物体相碰，不计一切摩擦。将小物块从C点由静止释放，则下列说法正确的是（ ）
A．当小物块下滑距离为L时，其速度大小为
B．小物块能下滑的最大距离为
C．当小物块下滑距离为L时，小球的速度大小为
D．运动过程中小物块、小球和地球组成的系统机械能守恒
【答案】ACD
【解析】AC．设小物块下滑距离为L时的速度大小为v，此时小球的速度大小为v1，则
解得
，
故AC正确；
B．设小物块能下滑的最大距离为s，此时小球升高的高度为h，根据余弦定理有
根据机械能守恒定律有
解得
故B错误；
D．运动过程中，对小物块、小球和地球组成的系统，只有重力和系统内的弹力做功，所以机械能守恒，故D正确。
8、如图甲，质量为m的小木块左端与轻弹簧相连，弹簧的另一端与固定在足够大的光滑水平桌面上的挡板相连，木块的右端与一轻细线连接，细线绕过光滑的质量不计的轻滑轮，木块处于静止状态．在下列情况中弹簧均处于弹性限度内，不计空气阻力及线的形变，重力加速度为g.
(1)图甲中，在线的另一端施加一竖直向下的大小为F的恒力，木块离开初始位置O由静止开始向右运动，弹簧开始发生伸长形变，已知木块过P点时，速度大小为v，O、P两点间距离为s.求木块拉至P点时弹簧的弹性势能；
(2)如果在线的另一端不是施加恒力，而是悬挂一个质量为M的物块，如图乙所示，木块也从初始位置O由静止开始向右运动，求当木块通过P点时的速度大小．
【答案】(1)Fs－mv2　(2)
【解析】(1)用力F拉木块至P点时，设此时弹簧的弹性势能为Ep，根据功能关系有
Fs＝Ep＋mv2①
解得：Ep＝Fs－mv2②
(2)悬挂物块M时，当木块运动到P点时，弹簧的弹性势能仍为Ep，设木块的速度为v′，由机械能守恒定律得
Mgs＝Ep＋ (m＋M)v′2③
联立②③解得
v′＝
9、如图所示，在竖直方向上A、B两物体通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，A放在水平地面上，B、C两物体通过细线绕过足够高的轻质滑轮相连，用手拿住C，使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证ab、cd段的细线竖直，已知A、B的质量均为m，重力加速度为g，细线与滑轮间的摩擦力不计，空气阻力不计，开始时整个系统处于静止状态，释放C，当A刚离开地面时，B获得最大速度，求：
(1)C的质量；
(2)B的最大速度．
【答案】(1)2m　(2)2g
【解析】(1)当B的速度最大时，其加速度为0.设此时细线对B的拉力大小为F，弹簧弹力大小为F弹，
可得：mg＋F弹＝F
此时A刚好离开地面，则：F弹＝mg
B、C速度大小相等，故此时C速度也是最大，其加速度为0，可得：F＝mCg，解得mC＝2m.
(2)开始时弹簧压缩的长度为：xB＝
当B速度最大、A恰好离开地面时弹簧的伸长量为：
xA＝
所以物体B上升的距离和物体C下降的距离均为：
h＝xA＋xB
由于xA＝xB，弹簧弹性势能相等，设物体A刚刚离开地面时，B、C两物体的速度为vm，对B、C和弹簧组成的系统，有：2mgh＝mgh＋ (m＋2m)v
解得：vm＝2g.
10、如图所示，一根轻绳绕过光滑的轻质定滑轮，两端分别连接物块A和B，B的下面通过轻绳连接物块C，A锁定在地面上。已知B和C的质量均为m，A的质量为m，B和C之间的轻绳长度为L，初始时C离地面的高度也为L。现解除对A的锁定，物块开始运动。设物块可视为质点，落地后不反弹。重力加速度大小为g。求：
(1)A刚上升时的加速度大小a；
(2)A上升过程中的最大速度大小vm；
(3)A离地面的最大高度H。
【答案】(1)g　(2) 　(3)L
【解析】(1)解除对A的锁定后，A加速上升，B和C加速下降，A、B、C加速度大小相等，设轻绳对A和B的拉力大小为T，由牛顿第二定律得
对A受力分析得：
T－mg＝ma ①
对B、C受力分析得：
(m＋m)g－T＝(m＋m)a ②
由①②式得a＝g。 ③
(2)当物块C刚着地时，A的速度最大，从A刚开始上升到C刚着地的过程，由机械能守恒定律得
2mgL－mgL＝·2m·vm2＋·m·vm2 ④
由④式得vm＝ 。 ⑤
(3)假设C落地后A继续上升h时速度为零，此时B未触地，A和B组成的系统，由动能定理得
mgh－mgh＝0－vm2 ⑥
由⑤⑥式得h＝L⑦
由于h＝L＜L，假设成立，
所以A离地面的最大高度
H＝L＋h＝L。 ⑧
11、如图所示，倾角的光滑斜轨道与光滑水平轨道在处平滑连接，、之间安装着水平传送带，、为两轮的切点，间距，光滑水平轨道的右侧为足够长的粗糙水平轨道，以为坐标原点建立轴。可视为质点的小滑块从斜轨道上距离底端为处由静止开始释放，已知小滑块与传送带之间的动摩擦因数，小滑块与之间的动摩擦因数，不计空气阻力，重力加速度。
（1）若传送带静止，小滑块释放的位置为，则
①求小滑块运动到点时的速度大小；
②求小滑块最终停下位置的坐标；
（2）若传送带以的速度顺时针转动，小滑块从斜轨道上不同位置释放，试讨论小滑块在传送带上的运动情况和在轨道段滑行距离与的函数关系。
【答案】（1）①；②；（2）见解析
【解析】（1）传送带静止，滑块在传送带上和轨道上均做减速运动，则
①设滑块在斜轨道上运动的加速度为，则
解得
由运动学公式得
解得
②设滑块在传送带上加速度大小为，在轨道上加速度大小为，到时点时速度为，则
解得
由运动学公式
解得
（2）设滑块到达斜轨道底端时的速度为，则
①滑块在传送带上一直做加速运动，到达点时速度刚好达到，则
解得
当时，滑块在传送带上一直做加速运动。到点速度
即
② 当时，滑块在传送带上加速一段距离，到点速度：
即
③当时，滑块在传送带上一直做匀速运动，到点速度
即
④ 当时，滑块在传送带上减速一段距离，到点速度
即
⑤时，滑块在传送带上一直做减速运动，到点速度
即
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