重庆市2022-2023学年高二下学期期末适应性检测数学试题（含解析）

重庆市2022-2023学年高二下学期期末适应性检测数学试题
一、选择题（每小题5分，共40分）
1、下列两个变量具有正相关关系的是( )
A.正方形面积与边长 B.吸烟与健康
C.数学成绩与物理成绩 D.汽车的质量与汽车每消耗1L汽油所行驶的平均路程
2、函数在区间上的平均变化率是( )
A. B. C. D.
3、曲线在点处切线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
4、已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
5、在的展开式中，系数绝对值最大项是( )
A.第10项 B.第9项 C.第11项 D.第8项
6、有5 名同学到甲、乙、丙 3 个社区协助工作人员调查疫苗的接种情况, 若每个社区至少有 1 名, 每名同学只能去 1 个社区, 且分配到甲、乙两个 社区的人数不同, 则不同的分配方法的种数为( )
A. 60 B. 80 C. 100 D. 120
7、某学习小组用计算机软件对一组数据进行回归分析，甲同学首先求出回归直线方程，样本的中心点为.乙同学对甲的计算过程进行检查发现甲将数据误输成，数据误输成，将这两个数据修正后得到回归直线方程，则实数( )
A. B. C. D.
8、已知函数的图象在点处与点处的切线均平行于x轴，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题（每小题分，共20分）
9、已知二项式的展开式中共有8项，则下列说法正确的有（ ）
A.所有项的二项式系数和为128 B.所有项的系数和为1
C.二项式系数最大的项为第5项 D.有理项共3项
10、已知样本数据，，…，的均值和标准差都是10，下列判断正确的是( )
A.样本数据，，…，均值和标准差都等于10；
B.样本数据，，…，均值等于31、标准差等于30；
C.样本数据，，…，的标准差等于0.1，方差等于1；
D.样本数据，，…，的标准差等于2、方差等于4；
11、阳山水蜜桃迄今已有近七十年的栽培历史，产于中国著名桃乡江苏无锡阳山镇.水蜜桃果形大、色泽美，皮韧易剥、香气浓郁，汁多味甜，入口即化，有“水做骨肉”的美誉，阳山水蜜桃早桃品种5月底开始上市，7月15日前后，甜度最高的湖景桃也将大量上市.已知甲、乙两个品种的阳山水蜜桃的质量（单位：斤）分别服从正态分布，，其正态分布的密度曲线如图所示则下列说法正确的是( )
A.乙品种水蜜桃的平均质量
B.甲品种水蜜桃的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右
C.甲品种水蜜桃的平均质量比乙类水果的平均质量小
D.乙品种水蜜桃的质量服从的正态分布的参数
12、已知函数，则下列说法正确的是( )
A.函数在处取得极大值
B.方程有两个不同的实数根
C.
D.若不等式在上恒成立，则
三、填空题（每小题5分，共20分）
13、若随机变量，且，则等于_________.
14、设验血诊 某种疾病的误诊率为5%，即若用A表示验血为阳性，B表示受验者患病，则，若已知受检人群中有0.5%患此病，即，则一个验血为阳性的人确患此病的概率为___________.
15、如果函数在上存在，满足，则称函数 是上的“中值函数”.已知函数是上的“中值函数”，则实数m的取值范围是_________
16、设，对任意，不等式恒成立，则正数的取值范围是____
四、解答题（第17题10分，其余各小题每题12分，共70分）
17、在（，且）的展开式中，
（1）若所有二项式系数之和为256，求展开式中二项式系数最大的项；
（2）若第3项的系数的14倍是第2项与第4项的系数的绝对值之和的9倍，求展开式中各项的系数的绝对值之和.
18、已知函数.若函数在处有极值-4.
（1）求的单调递减区间；
（2）求函数在上的最大值和最小值.
19、某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数x与烧开一壶水所用时间y的一组数据，且作了一定的数据处理(如下表)，得到了散点图(如下图).
1.47 20.6 0.78 2.35 0.81 -19.3 16.2
表中，.
(1)根据散点图判断，与哪一个更适宜作烧水时间y关于开关旋钮旋转的弧度数x的回归方程类型 (不必说明理由)
(2)根据判断结果和表中数据，建立y关于x的回归方程；
(3)若单位时间内煤气输出量t与旋转的弧度数x成正比，那么x为多少时，烧开一壶水最省煤气？
附：对于一组数据，，，…，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
20、已知函数，.
（1）求函数的极值点；
（2）若恒成立，求实数m的取值范围.
21、在传染病学中,通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起,到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期. 一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息,得到如下表格：
潜伏期（单位:天）
人数 85 205 310 250 130 15 5
（1）求这1000名患者的潜伏期的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响,为研究潜伏期与患者年龄的关系,以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样,从上述1000名患者中抽取200人,得到如下列联表. 请将列联表补充完整,并根据列联表判断是否有的把握认为潜伏期与患者年龄有关；
潜伏期天 潜伏期天 总计
50岁以上（含50岁） 100
50岁以下 55
总计 200
（3）以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率,代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率,每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立. 为了深入研究,该研究团队随机调查了20名患者,其中潜伏期超过6天的人数最有可能（即概率最大）是多少？
附：
0.05 0.025 0.010
3.841 5.024 6.635
22、已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个零点，，求k的取值范围，并证明.
参考答案
1、答案：C
解析：正方形的面积与边长是函数关系，故A选项错误；吸烟越多，越不健康，所以吸烟与健康具有负相关关系，故B选项错误；汽车越重，每消耗1L汽油所行驶的平均路程越短，所以汽车的质量与汽车每消耗1L汽油所行驶的平均路程具有负相关关系，故D选项错误；一般来说，数学成绩越好，那么物理成绩越好，所以数学成绩与物理成绩具有正相关关系.故C选项正确.
2、答案：B
解析：，函数在区间上的平均变化率是，故选B.
3、答案：B
解析：设,
,
切线的斜率倾斜角为.
4、答案：A
解析：，
令，解得：，
令，解得：，
故在递减，在递增，
故，
若恒成立，
则，解得：，
故选：A.
5、答案：B
解析：二项式的通项公式为：，
设第项的系数绝对值最大，
所以有，
因为，所以，所以系数绝对值最大项是第9项，
故选：B.
6、答案：C
解析：根据题意, 分 2 种情况讨论:①将 5 人分为 1,1,3的三组, 此时 5 人分三组有 种分组方 法, 分配到甲、乙两个社区的人数不同, 有 种情况, 则此时有 种分配方法;②将 5 人 分为1,2,2 的三组, 此时 5 人分三组有 种分组方法, 分配到甲、乙两个社区的人数不同, 有 种情况, 则此时有 种分配方法. 综上,有种分配方法.
7、答案：D
解析：依题意知，设修正后的样本点的中心为，则，，，得，故选D.
8、答案：A
解析：函数的定义域为，且，则根据导数的几何意义知，是方程的两个不等正根，则则.令
.易知函数在上单调递减，则，所以的取值范围是，故选A.
9、答案：AB
解析：二项式的展开式中共有8项，则，
选项A：所有项的二项式系数和为，故A正确；
选项B：令，则，所以所有项的系数的和为1，故B正确；
选项C：二项式系数最大的项为第4项和第5项，故C不正确；
选项D：二项式的展开式的通项为，
当时，二项式的展开式中对应的项均为有理项，所以有理项有4项，故D不正确．
故选：AB﹒
10、答案：BD
解析：已知对于样本数据，，…，，均值，标准差.
对于选项A，样本均值，原判断错误；
对于选项B，样本均值，标准差，原判断正确；
对于选项C，样本标准差，方差，原判断错误；
对于选项D，样本标准差，方差，原判断正确.
故选：BD.
11、答案：ABC
解析：对于选项A：，故A对；
对于选项B：甲图像相对乙更高瘦，故B对；
对于选项C：，故C对；
对于选项D：乙图像的最高点为1.99，故对称轴取值为，所以，故D错.
故选：ABC.
12、答案：AC
解析：易知函数的定义域为，，令，则，解得，当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以当时，函数有极大值，选项A正确；因为，且当时，，当时，所以方程不可能有两个不同的实数根，选项B错误；因为函数在上单调递增，且，所以，选项C正确；不等式在上恒成立即不等式在上恒成立，令，则，令，则，解得，当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以当时，函数有最大值，，所以，选项D错误.故选AC.
13、答案：0.6或
解析：，，
.
故答案为：0.6.
14、答案：
解析：由题意，结合条件概率的计算公式，可得：
.
故答案为：.
15、答案：
解析：由题意，知在上存在，，满足，所以方程在上有两个不相等的解.令，则解得.
16、答案：
解析：对任意，不等式恒成立等价于，
，，当且仅当时取号，所以，即，，当时，，当时，，所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，所以，所以有，解之得.
17、答案：（1）由已知得，
，
展开式中二项式系数最大的项是第5项，
即.
（2）易得的展开式的通项为，
第3项的系数的14倍是第2项与第4项的系数的绝对值之和的9倍，
，解得或（舍去），
因为的展开式中各项的系数的绝对值之和与的展开式中各项的系数之和相等，
所以对于，令，得，即的展开式中各项的系数的绝对值之和为.
解析：
18、
（1）答案：
解析：，
，
依题意有即，解得.
，
由，得，
函数的单调递减区间.
（2）答案：最大值和最小值分别为8和
解析：由(1)知，
，
令，解得，.
当x变化时，，的变化情况如下表：
x -1 1 2
- 0 +
8 极小值-4 2
由上表知，函数在上单调递减，在上单调递增.
，.
故可得，
.
综上可得函数在上的最大值和最小值分别为8和.
19、答案：(1)选；(2)；(3).
解析：(1)选更适宜
(2)由公式可得：，
，
所以所求回归方程为；
(3)设，
则煤气用量，
当且仅当时，等号成立，即当时，煤气用量最小.
20、
（1）答案：是的极大值点，无极小值点
解析：由已知可得，函数的定义域为，且，
当时，；当时，，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以是的极大值点，无极小值点.
（2）答案：当时，恒成立
解析：设，，
则，
令，，
则对任意恒成立，
所以在上单调递减.
又，，
所以，使得，即，则，
即.
因此，当时，，即，则单调递增；
当时，，即，则单调递减，
故，解得，
所以当时，恒成立.
21、答案：(1).
(2)没有95%的把握认为潜伏期与年龄有关.
(3)这20名患者中潜伏期超过6天的人数最有可能是8人.
解析：(1)(天).
(2)根据题意，补充完整的列联表如下：
潜伏期天 潜伏期>6 总计
50岁以上（含50岁） 65 35 100
50 岁以下 55 45 100
总计 120 80 200
则，，
所以没有95%的把握认为潜伏期与年龄有关.
(3)由题可知，该地区每1名患者潜伏期超过6天发生的概率为，
设调查的20名患者中潜伏期超过6天的人数为X，
则，，
由
得
化简得解得，
又，所以，
即这20名患者中潜伏期超过6天的人数最有可能是8人.
22、
（1）答案：当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增
解析：因为，函数的定义域为，
所以，.
当时，，
所以函数在上单调递增.
当时，由，得(负根舍去)，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减；在上单调递增.
综上所述，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
（2）答案：k的取值范围是，证明见解析
解析：方法1：由(1)知，当时，在上单调递增，不可能有两个零点，不满足条件.
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
要使函数有两个零点，首先，解得.
因为，且，
下面证明.
设，则.
因为，所以.
所以在上单调递增，
所以.
所以k的取值范围是.
方法2：由，得到.
设，则.
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
所以由.
因为时，，且，
要使函数有两个零点，必有.
所以k的取值范围是.
再证明：
方法1：因为，是函数的两个零点，不妨设，令，则.
所以即.
所以，即，，.
要证，即证.
即证，即证.
因为，所以即证，
或证.
设，.
即，.
所以.
所以在上单调递减，
所以，.
所以.
方法2：因为，是函数有两个零点，不妨设，令，则.
所以即.
所以，即，，.
要证，需证.
即证，即证.
因为，所以即证.
设，
则，.
所以在上单调递减，
所以.
所以.
方法3：因为，是函数有两个零点，不妨设，令，则.
所以即.
要证，需证.
只需证.
即证，即证.
即证.
因为，所以，即.
所以.
而，
所以成立.
所以.
方法4：因为，是函数有两个零点，不妨设，令，则.
由已知得即.
先证明，即证明.
设，则.
所以在上单调递增，所以，所证不等式成立.
所以有.
即.
因为()，
所以，即.
所以.
方法5：要证，其中，，
即证.
利用函数的单调性，只需证明.
因为，所以只要证明，其中.
构造函数，，
则.
因为
(利用均值不等式)
，
所以在上单调递减.
所以.
所以在上恒成立.
所以要证的不等式成立.