必修1 第二章 基本初等函数（I） 2.1 指数函数同步训练B卷（含详细解析）
一．选择题（共10小题）
1．当a、b∈R时，下列总能成立的是（ ）
A．（）=a﹣b B．
C． D．
2．下列命题中，正确命题的个数为（ ）
①=a
②若a∈R，则（a2﹣a+1）0=1
③
④．
A． 0 B．1 C．2 D．3
3．若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D． R
4．已知集合，M={﹣1，1}，则M∩N=（ ）
A． {﹣1，1} B．{0} C．{﹣1} D．{﹣1，0}
5．已知函数，若，则函数f（x）在定义域内（ ）
A． 有最小值，但无最大值 B．有最大值，但无最小值
C． 既有最大值，又有最小值 D．既无最大值，又无最小值
6．函数（0＜a＜1）的图象的大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知实数a，b满足等式2a=3b，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；21cnjy.com
⑤a=b．其中可能成立的关系式有（ ）
A． ①②③ B．①②⑤ C．①③⑤ D．③④⑤
8．2009年7月1日老王到银行存入一年期款m万元，如果银行的年利率为a，以复利方式计息，则2014年7月1日老王可取款（不及利息税）（ ）
A． m+（1+a5）万元 B．m（1+a）5万元
C．m（1+a）4万元 D．m（1+a5）万元
9．已知函数f（x）=ax（a＞0，a≠1），g（x）=﹣x2+2x+2，设函数F（x）=min{f（x），g（x）}，（min{p，q}表示p，q中的较小值），若F（x）＜2恒成立，则a的取值范围是（ ）21·世纪*教育网
A． （1，2） B．（0，1）或（1，2） C．（1，） D．（0，1）或（1，）
10．设，则f（﹣12）+f（﹣11）+f（﹣10）+…+f（0）+…+f（11）+f（12）+f（13）的值为（ ）21世纪教育网版权所有
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题）
11．若3＜x＜4，化简的结果是 _________ ．
12．已知10a，10b是方程x2﹣4x+1=0的两个根，则a+b= _________ ．
13．已知函数f（x）=ax+b（a＞0）的图象经过点（2，3）和原点，则f（﹣2）= _________ ． 21*cnjy*com
14．已知函数f（x）=2x﹣1，如f（x0）＜1，则x0的取值范围是 _________ ．
15．f（x）=，则f（x）值域为 _________ ．
16．已知函数f（x）=e|x|，m＞1，对任意的x∈（1，m），都有f（x﹣2）≤ex，则最大的正整数m为________ ．【来源：21cnj*y.co*m】
三．解答题（共5小题）
17．已知函数f（x）=b?ax（其中a，b为常量，且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，6），B（3，24）．【出处：21教育名师】
（1）求f（x）；
（2）若不等式（）x+（）x﹣m≥0在x∈（﹣∞，1]时恒成立，求实数m的取值范围．
18．设f（x）的定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），且f（x）对任意不为零的实数x都满足f（﹣x）=﹣f（x）．已知当x＞0时
（1）求当x＜0时，f（x）的解析式 （2）解不等式．
19．已知函数f（x）=（其中e=2.71828…是一个无理数）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断奇偶性并证明之；
（3）判断单调性并证明之．
20．已知函数y=ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，记．
（1）求a的值；
（2）求f（x）+f（1﹣x）的值；
（3）求的值．
21．已知m∈R，f（x）=32x+1+（m﹣1）（3x+1﹣1）﹣（m﹣3）?3x．
（1）m=4时，求解方程f（x）=0；
（2）若f（x）=0有两不等实根，求m的取值范围；
（3）m=4时，若f（x）≥a恒成立，求a的取值范围．
参考答案及解析
一．选择题（共10小题）
1．当a、b∈R时，下列总能成立的是（ ）
A．（）=a﹣b B．
C． D．
2．下列命题中，正确命题的个数为（ ）
①=a
②若a∈R，则（a2﹣a+1）0=1
③
④．
A． 0 B．1 C．2 D．3
答案：B
解：对于①，∵n为奇数时，；当n为偶数时，故①错
对于②，∵a2﹣a+1≠0∴（a2﹣a+1）0=1故②对
对于③，所以③不对
对于④是一个负数；是一个正数，故④错
故选B
3．若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D． R
答案：B
解：∵，
∴|2a﹣1|=1﹣2a
则2a﹣1≤0解得a
故选B．
4．已知集合，M={﹣1，1}，则M∩N=（ ）
A． {﹣1，1} B．{0} C．{﹣1} D．{﹣1，0}
5．已知函数，若，则函数f（x）在定义域内（ ）
A． 有最小值，但无最大值 B．有最大值，但无最小值
C． 既有最大值，又有最小值 D．既无最大值，又无最小值
答案：A
解：当x≥0时，函数f（x）=在[0，+∞）上单调递增
设x＞0，则﹣x＜0，f（x）=g（x），f（﹣x）=g（x）则f（﹣x）=f（x），故函数f（x）为偶函数21教育网
综上可知函数f（x）在x=0处取最小值f（0）=1﹣1=0，无最大值
故选A．
6．函数（0＜a＜1）的图象的大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
答案：B
解：令f（x）=2x和g（x）=3x，2a=3b即f（a）=g（b），如图所示
由图象可知①②⑤正确，
故选B．
8．2009年7月1日老王到银行存入一年期款m万元，如果银行的年利率为a，以复利方式计息，则2014年7月1日老王可取款（不及利息税）（ ）
A． m+（1+a5）万元 B．m（1+a）5万元
C．m（1+a）4万元 D．m（1+a5）万元
答案：B
解：由题意，2009年7月1日老王到银行存入一年期款m万元，2010年7月1日，老王可取款m（1+a），2011年7月1日，老王可取款m（1+a）2，2012年7月1日，老王可取款m（1+a）3，2013年7月1日，老王可取款m（1+a）4，2014年7月1日，老王可取款m（1+a）5，【来源：21·世纪·教育·网】
故选B．
9．已知函数f（x）=ax（a＞0，a≠1），g（x）=﹣x2+2x+2，设函数F（x）=min{f（x），g（x）}，（min{p，q}表示p，q中的较小值），若F（x）＜2恒成立，则a的取值范围是（ ）www-2-1-cnjy-com
A． （1，2） B．（0，1）或（1，2） C．（1，） D．（0，1）或（1，）
10．设，则f（﹣12）+f（﹣11）+f（﹣10）+…+f（0）+…+f（11）+f（12）+f（13）的值为（ ）2-1-c-n-j-y
A． B． C． D．
答案：D
解：由题意，可令s+t=1，则s=1﹣t，
则有，，
∴==
即自变量的和为1时，函数值的和是
∴f（﹣12）+f（﹣11）+f（﹣10）+…+f（0）+…+f（11）+f（12）+f（13）=13×=
故选D
二．填空题（共6小题）
11．若3＜x＜4，化简的结果是 1 ．
解：=|x﹣3|+|x﹣4|，因为3＜x＜4，所以上式=x﹣3+4﹣x=1．
故答案为：1．
12．已知10a，10b是方程x2﹣4x+1=0的两个根，则a+b= 0 ．
解：∵10a，10b是方程x2﹣4x+1=0的两个根，
根据韦达定理，10a?10b=10a+b=1，
∴a+b=0；
故答案为：0．
13．已知函数f（x）=ax+b（a＞0）的图象经过点（2，3）和原点，则f（﹣2）= ﹣ ．
解：已知函数f（x）=ax+b（a＞0）的图象经过点（2，3）和原点，
则?
因此函数的解析式是：f（x）=2x﹣1．
∴f（﹣2）=2（﹣2）﹣1=﹣．
故答案为：﹣．
14．已知函数f（x）=2x﹣1，如f（x0）＜1，则x0的取值范围是 x0＜1 ．
解：∵f（x）=2x﹣1，
∴若f（x0）＜1，
即由2x﹣1＜1，
得2x＜2，
∴x＜1，
即x0＜1，
故答案为：x0＜1
15．f（x）=，则f（x）值域为 （﹣2，﹣1] ．
解：当x≤1时，f（x）=3x﹣1﹣2≤30﹣2=﹣1
即当x≤1时，﹣2＜f（x）≤﹣1
当x＞1时，
即当x＞1时，﹣2＜f（x）＜﹣1
所以f（x）的值域是（﹣2，﹣1]
故答案为（﹣2，﹣1]
16．已知函数f（x）=e|x|，m＞1，对任意的x∈（1，m），都有f（x﹣2）≤ex，则最大的正整数m为 4 ．21·cn·jy·com
解：∵f（x）=e|x|，
∴f（x﹣2）=）=e|x﹣2|，
在同一坐标系中作出y1=e|x﹣2|和y2=ex的图象，如图所示：
由图知：当x=1时，y1=y2，
当x=4时，y1=e2＜y2=4e，
当x=5时，y1=e3＞y2=5e，
∴m＜5；
∴最大的正整数m为4；
故答案为：4．
三．解答题（共5小题）
17．已知函数f（x）=b?ax（其中a，b为常量，且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，6），B（3，24）．www.21-cn-jy.com
（1）求f（x）；
（2）若不等式（）x+（）x﹣m≥0在x∈（﹣∞，1]时恒成立，求实数m的取值范围．
解：（1）把A（1，6），B（3，24）代入f（x）=b?ax，得
结合a＞0且a≠1，解得：
∴f（x）=3?2x．
（2）要使（）x+（）x≥m在（﹣∞，1]上恒成立，
只需保证函数y=（）x+（）x在（﹣∞，1]上的最小值不小于m即可．
∵函数y=（）x+（）x在（﹣∞，1]上为减函数，
∴当x=1时，y=（）x+（）x有最小值．
∴只需m≤即可．
18．设f（x）的定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），且f（x）对任意不为零的实数x都满足f（﹣x）=﹣f（x）．已知当x＞0时
（1）求当x＜0时，f（x）的解析式 （2）解不等式．
解：（1）当x＜0时，﹣x＞0，=又f（﹣x）=﹣f（x）
所以，当x＜0时，
（2）x＞0时，，∴
化简得∴，解得1＜2x＜4∴0＜x＜2
当x＜0时，∴解得2x＞1（舍去）或
∴x＜﹣2
解集为{x|x＜﹣2或0＜x＜2}
19．已知函数f（x）=（其中e=2.71828…是一个无理数）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断奇偶性并证明之；
（3）判断单调性并证明之．
解：f（x）==1﹣
（1）∵e2x+1恒大于零，
∴x∈R
（2）函数是奇函数
∵f（﹣x）==
又由上一问知函数的定义域关于原点对称，
∴f（x）为奇函数
（3）是一个单调递增函数
设x1，x2∈R 且x1＜x2
则f（x1）﹣f（x2）=1﹣=
∵x1＜x2，
∴
∴f（x1）﹣f（x2）＜0
即f（x1）＜f（x2）
∴f（x）在R是单调增函数
20．已知函数y=ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，记．
（1）求a的值；
（2）求f（x）+f（1﹣x）的值；
（3）求的值．
解：（1）∵函数y=ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，且y=ax单调，2·1·c·n·j·y
∴a+a2=20，得a=4，或a=﹣5（舍去）；
（2）由（1）知，
∴=
===1；
（3）由（2）知f（x）+f（1﹣x）=1，得
n为奇数时，=×1=；
n为偶数时，=+f（）==；
综上，=．
21．已知m∈R，f（x）=32x+1+（m﹣1）（3x+1﹣1）﹣（m﹣3）?3x．
（1）m=4时，求解方程f（x）=0；
（2）若f（x）=0有两不等实根，求m的取值范围；
（3）m=4时，若f（x）≥a恒成立，求a的取值范围．
令3x=t，f（x）=32x+1+（m﹣1）（3x+1﹣1）﹣（m﹣3）?3x=3t2+2mt﹣m+1．
（1）m=4时，f（x）=3t2+8t﹣3=0，
解得或3x=﹣3（舍去）．
故方程f（x）=0为x=﹣1．
（2）设y=3t2+2mt﹣m+1．由题设知该方程有两个根0＜t1＜t2
∴，
解得．
（3）m=4时，
∵t=3x＞0，
∴y=3t2+8t﹣3=3＞﹣3，
∵f（x）≥a恒成立，
∴a≤﹣3．
必修1 第二章 基本初等函数（I）2.1 指数函数同步训练A卷（含详细解析）
一．选择题（共10小题）
1．已知，，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．化简的结果为（ ）
A． 5 B． C．﹣ D．﹣5
3．下列运算正确的是（ ）
A．a3+a4=a7 B．a4?a2=a6
C． D．
4．下列函数中，是指数函数的（ ）
A． y=2?3x B． y=3x+1 C． y=3x D．y=x3
5．函数f（x）=（a2﹣3a+3）?ax是指数函数，则a的值是（ ）
A． a=1或a=2 B．a=1 C．a=2 D．a＞0或a≠1
6．下列函数的定义域不是全体实数的是（ ）
A． y=23﹣x B． y=32x+1 C． D．
7．函数y=（）x在[1，2]上的值域为（ ）
A． [0，+∞] B． [0，4] C． [0，] D．[，]
8．函数y=2ax﹣1（0＜a＜1）的图象一定过点（ ）
A． （1，1） B．（1，2） C．（2，0） D． （2，﹣1）
9．设函数f（x）=a|x|（a＞0），且f（2）=4，则（ ）
A． f（﹣1）＞f（﹣2） B． f（1）＞f（2）
C． f（2）＜f（﹣2） D． f（﹣3）＞f（﹣2）
10．函数f（x）=4x+5×2x﹣1+1的值域是（ ）
A． （0，1） B． [1，+∞） C．（1，+∞） D． [0，1]
二．填空题（共6小题）
11．函数的定义域是 _________ ．
12．若全集U=R，函数y=3x﹣1的值域为集合A，则CUA= _________ ．
13．不等式1≤2x≤8的解是 _________ ．
14．若，则x的取值范围是 _________ ．
15．若函数f（x）=ax（a＞0，a≠1）在[﹣2，1]上的最大值为4，最小值为m，则m的值是 ____ ．21世纪教育网版权所有
16．已知，则a，b，c按从小到大顺序排列为______ ___ ．
三．解答题（共5小题）
17．计算：÷（1﹣2）×．
18．若aa+2＜a2a，求a的取值范围．
19．已知函数y=|2x﹣2|
（1）作出其图象；
（2）由图象指出函数的单调区间；
（3）由图象指出当x取何值时，函数有最值，并求出最值．
20．已知函f（x）=1﹣2ax﹣a2x（a＞1）
（1）求函f（x）的值域；
（2）若x∈[﹣2，1]时，函f（x）的最小值﹣7，求a的值和函f（x）的最大值．
21．已知函数f（x）=a?2x+b?3x，其中常数a，b满足a?b≠0
（1）若a?b＞0，判断函数f（x）的单调性；
（2）若a=﹣3b，求f（x+1）＞f（x）时的x的取值范围．
参考答案及解析
一．选择题（共10小题）
1．已知，，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．化简的结果为（ ）
A． 5 B． C．﹣ D．﹣5
答案：B
解：===
故选B
3．下列运算正确的是（ ）
A．a3+a4=a7 B．a4?a2=a6
C． D．
答案：B
解：A中，a3+a4≠a7，故A不成立；
B中，a4?a2=a6，故B成立；
C中，，，故C不成立；
D中，，，故D不成立．
故选B．
4．下列函数中，是指数函数的（ ）
A． y=2?3x B． y=3x+1 C． y=3x D．y=x3
答案：C
解：形如y=ax（a＞0，a≠1）的函数为指数函数，
y=2?3x的3x系数不为1，y=3x+1的指数不是x，y=x2是幂函数
只有y=3x符合指数函数定义．
故选C．
6．下列函数的定义域不是全体实数的是（ ）
A． y=23﹣x B． y=32x+1 C． D．
答案：D
解：要使函数y=有意义，须有x≠0，
所以函数y=的定义域为{x|x≠0}，即该函数定义域不是全体实数，
故选D．
7．函数y=（）x在[1，2]上的值域为（ ）
A． [0，+∞] B． [0，4] C． [0，] D．[，]
答案：D
解：∵∈（0，1），
∴指数函数y=（）x在[1，2]上为减函数，
可得函数的最大值为f（1）=，最小值为f（2）=．
因此，函数y=（）x在[1，2]上的值域为[，]．
故选：D
8．函数y=2ax﹣1（0＜a＜1）的图象一定过点（ ）
A． （1，1） B．（1，2） C．（2，0） D． （2，﹣1）
9．设函数f（x）=a|x|（a＞0），且f（2）=4，则（ ）
A． f（﹣1）＞f（﹣2） B． f（1）＞f（2）
C． f（2）＜f（﹣2） D． f（﹣3）＞f（﹣2）
答案：D
解：由a2=4，a＞0
得a=2，
∴f（x）=2|x|．
又∵|﹣3|＞|﹣2|，
∴2|﹣3|＞2|﹣2|，
即f（﹣3）＞f（﹣2）．
故选D
10．函数f（x）=4x+5×2x﹣1+1的值域是（ ）
A． （0，1） B． [1，+∞） C．（1，+∞） D． [0，1]
答案：C
解：令2x=t，t＞0，则函数f（x）=t2+t+1=﹣＞﹣=1，
且由二次函数的性质知，函数f（x）=﹣无最大值，
故值域为（1，+∞）．
故选 C．
二．填空题（共6小题）
11．函数的定义域是 [0，+∞） ．
解：由函数可得，1﹣≥0，即 ≤，解得 x≥0，故函数的定义域是[0，+∞），
故答案为[0，+∞）．
12．若全集U=R，函数y=3x﹣1的值域为集合A，则CUA= （﹣∞，﹣1] ．
解：∵函数y=3x﹣1的值域为集合A，
∴A={y|y＞﹣1}，
∵全集U=R，
∴CUA={y|y≤﹣1}=（﹣∞，﹣1]．
故答案为（﹣∞，）．
15．若函数f（x）=ax（a＞0，a≠1）在[﹣2，1]上的最大值为4，最小值为m，则m的值是 或 ．21教育网
解：①当a＞1时，f（x）在[﹣2，1]上单调递增，
则f（x）的最大值为f（1）=a=4，
最小值m=f（﹣2）=a﹣2=4﹣2=；
②当0＜a＜1时，f（x）在[﹣2，1]上单调递减，
则f（x）的最大值为f（﹣2）=a﹣2=4，解得a=，
此时最小值m=f（1）=a=，
故答案为：或．
16．已知，则a，b，c按从小到大顺序排列为
b＜a＜c ．
解：∵0＜0.9＜1∴
∵＞0∴
∴即b＜a＜c
故答案为b＜a＜c．
三．解答题（共5小题）
17．计算：÷（1﹣2）×．
解：原式=÷（）×
=××
=××=a．
18．若aa+2＜a2a，求a的取值范围．
解：当a＞1时，不等式等价为a+2＜2a，即a＞2．
若0＜a＜1，不等式等价为a+2＞2a，解得a＜2，此时0＜a＜1，
综上a的取值范围是a＞2或0＜a＜1．
19．已知函数y=|2x﹣2|
（1）作出其图象；
（2）由图象指出函数的单调区间；
（3）由图象指出当x取何值时，函数有最值，并求出最值．
解：（1）函数y=|2x﹣2|图象是由y=2x的图象向下平移2个单位，再将x轴下方的部分翻着到x轴上方得到，如图所示：21cnjy.com
（2）结合函数的图象，可得函数的减区间为（﹣∞，1]，增区间为（1，+∞）．
（3）数形结合可得，当x=1时，ymiin=0．
20．已知函f（x）=1﹣2ax﹣a2x（a＞1）
（1）求函f（x）的值域；
（2）若x∈[﹣2，1]时，函f（x）的最小值﹣7，求a的值和函f（x）的最大值．
解：设ax=t＞0
∴y=﹣t2﹣2t+1=﹣（t+1）2+2
（1）∵t=﹣1?（1，+∞）
∴y=﹣t2﹣2t+1在（0，+∞）上是减函数
∴y＜1所以值域为（﹣∞，1）
（2）∵x∈[﹣2，1]a＞1
∴t∈[，a]由t=﹣1?[，a]
∴y=﹣t2﹣2t+1在[，a]上是减函数﹣a2﹣2a+1=﹣7
∴a=2或a=﹣4（不合题意舍去）
当t==时y有最大值，
即ymax=﹣（）2﹣2×+1=
21．已知函数f（x）=a?2x+b?3x，其中常数a，b满足a?b≠0
（1）若a?b＞0，判断函数f（x）的单调性；
（2）若a=﹣3b，求f（x+1）＞f（x）时的x的取值范围．
解：（1）当a＞0，b＞0时，
任意x1，x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=a（﹣）+b（﹣），
∵＜，＜，a＞0，b＞0，
∴a（﹣）＜0，b（﹣）＜0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
故函数f（x）在R上是增函数；
当a＜0，b＜0时，同理，可判断函数f（x）在R上是减函数；
（2）当a=﹣3b时，f（x）=﹣3b?2x+b?3x=b（3x﹣3?2x），
则f（x+1）＞f（x）即化为b（3x+1﹣3?2x+1）＞b（3x﹣3?2x），
若b＞0，则有3x+1﹣3?2x+1＞3x﹣3?2x，整理得，解得x＞1；
若b＜0，则有3x+1﹣3?2x+1＜3x﹣3?2x，整理得，解得x＜1；
故b＞0时，x的范围是x＞1；当b＜0时，x的范围是x＜1．
