北师大版数学七年级下册 5.3简单的轴对称图形 第3课时 教案

第五章生活中的轴对称
5.3简单的轴对称图形
第3课时
一、教学目标
1.掌握角的平分线有关性质；
2.利用角平分线的性质解决问题；
3.尺规作图作一个角等于已知角.
二、教学重点及难点
重点：角是轴对称图形；角的平分线的有关性质．
难点：角的平分线性质的应用．
三、教学准备
多媒体课件
四、相关资源
相关图片，微课，动画
五、教学过程
【问题情境】
在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路．
问题1：怎样修建道路最短？
问题2：往哪条路走更近呢？
今天我们就来研究这类问题．
设计意图： 用学生熟悉的生活中的图形，体现对称图形的美丽一面的同时揭示对称图形的特征，激发学生的学习积极性和好胜心．学生独立思考后，小组间相互交流看法．教师要注意帮助学生审题，引发学生思考，从而引出课题---角平分线的性质．
【探究新知】
探究角的对称性：
活动1.不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角.你有什么办法？再打开纸片 ，看看折痕与这个角有何关系？
角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线.
设计意图：体验角平分线的简易作法，并为角平分线的性质定理的引出做铺垫，为下一步设置问题墙．
活动2.（1）将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？
可以看一看,第一条折痕是∠AOB的平分线OC,第二次折叠形成的两条折痕PD,PE是角的平分线上一点到∠AOB两边的距离,这两个距离相等
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等，改变点C的位置，线段CD和CE仍相等.
角平分线性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等
几何语言： ∵ ∠1=∠2, PD⊥OA，PE⊥OB
∴PD=PE
(角的平分线上的点到角的两边的距离相等)
（2）说明道理
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E.
求证：PD=PE.
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知）
∴∠PDO=∠PEO=90（垂直的定义）
在△PDO和△PEO中
∴△PDO≌△PEO（AAS）
∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等）
设计意图：经历实践→猜想→证明→归纳的过程，符合学生的认知规律，尤其是对于结论的验证，信息技术在此体现其不可替代性，从而把学生的直观体验上升到理性思维，明确角平分线性质如何运用.
活动3 尺规作图
例2.利用尺规，作∠AOB的平分线．
已知：∠AOB．
求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC．
作法：（1）在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE．
（2）分别以D，E为圆心．大于DE的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于点C．
（3）作射线OC．
则射线OC即为所求（如图示）．
【典型例题】
例1.判断正误（1）∵ 如图，OP平分∠AOB（已知）
∴PD=PE（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.）（×）
（2）∵ 如图，DC⊥AC，DB⊥AB（已知）
∴BD=CD（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.）（√）
（3）∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴BD=CD（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.）（×）
例2.如图，CD⊥OA，CE⊥OB，D、E为垂足．
（1）若∠1=∠2，则有___________; DC=EC
（2）若CD=CE，则有___________．∠1=∠2
设计意图：熟练掌握角平分线性质，明确条件，能正确运用.
例3.有一个简易平分角的仪器（如图），其中AB=AD，BC=DC，将A点放角的顶点，AB和AD分别与角的两边重合，沿AC画一条射线AE，AE就是∠BAD的平分线，为什么？
证明：在△ACD和△ACB中
AD=AB（已知）
DC=BC（已知）
CA=CA（公共边）
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的 对应边相等）
∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
设计意图：说明用其他实验的方法可以将一个角平分．培养学生的抽象思维能力和运用三角形全等的知识解决问题的能力，让学生体验成功．
例4.在Rt△ABC中，BD是角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE与DC相等吗？还有其它相等的线段吗？
解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，
∴DE=DC，
∵∠ADE=180°-∠EAD-∠AED，∠ADC=180°-∠C-∠CAD，
∴∠ADE=∠ADC，
∴△ADE≌△ADC，
∴AE=AC．
∴图中相等的线段：DE=DC，AE=AC．
设计意图：在直角三角形中利用角平分线的性质证明线段相等，注意与全等三角形相结合解决问题.
例5.如图，已知点O为△ABC的两条角平分线的交点，过点O作OD⊥BC于点D，且OD=4．若△ABC的周长是17，求△ABC的面积.
解：如图，作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连结OA，
∵点O是∠ABC、∠ACB角平分线的交点，
∴OE=OD，OF=OD，即OE=OF=OD=4，
∴S△ABC=S△ABO+S△BCO+S△ACO=AB OE+BC OD+AC OF
=×4×（AB+BC+AC）
=×4×17
=34．
设计意图：考查角平分线的性质以及三角形面积公式，从整体的角度求面积.
【随堂练习】
1.（1）如图：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB,垂足分别是D、E，PD=4cm， 则PE=__________cm. 4
（2）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=2，BC=8，则△BDC的面积是 ．8
2.已知△ABC中，∠C=900,AD平分∠CAB,且BC=8，BD=5，求点D到AB的距离是多少？
解：过点D作DE⊥AB于点E，
∵在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，
∴DE=CD，∵BC=8，BD=5，
∴CD=BC-BD=3，
∴DE=CD=3，
即点D到线段AB的距离是3．
设计意图：考查角平分线的性质，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
3．如图，求作一点P，使，并且使点P到的两边的距离相等，并说明你的理由．
解：作线段CD的垂直平分线和∠AOB的角平分线，两线交点即为所求点．
设计意图：角平分线性质和线段垂直平分线性质的综合运用.
4.如图，在△ABC中，的垂直平分线交AC于D，垂足为E，若，求的度数和CD的长．
分析：由，可知，又知D是AB垂直平分线上的点，所以有，从而求出，由，所以有．
解：因D是线段AB垂直平分线上的点．
所以，所以，所以
又因为，所以．
故．
设计意图：在这个题中应用了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角分线的性质．
5．如图，∠ABC与∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC交AB于D，交AC于E，求证：BD+EC=DE．
证明：∵BF平分∠ABC，∴∠DBF=∠FBC．
∵DE∥BC，∴∠DFB=∠FBC．∴∠DBF=∠DFB．
∴DF=DB，同理FE=EC，∴DE=DF+FE=BD+EC．
6.如图，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于D，BD，CE交点O，且AO平分∠BAC，
求证：OB=OC．
证明：∵AO平分∠BAC，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，
∴OE=OD，
又∵在Rt△OBE和Rt△OCD中
∴△OBE≌△OCD（ASA），
∴OB=OC．
设计意图：考查全等三角形的判定和性质以及角平分线的性质，把证明线段相等转化为证明三角形全等是常用的解题思路．
【课堂小结】
1.角是轴对称图形．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
2.角平分线性质定理的应用：（1）角平分线与全等三角形相结合说明线段相等；
（2）与面积问题相结合.
设计意图：通过小结，使学生梳理本节所学内容，掌握线段与角的对称性．
【板书设计】
(
5.3简单的轴对称图形（3）
一
、
角是轴对称图形
二、角平分线性质定理
三、尺规作图
)