北师大版数学七年级下册5.3探索三角形全等的条件（第3课时）教案

第四章三角形
4.3探索三角形全等的条件
第3课时
一、教学目标
1.掌握三角形全等的“边角边”条件；
2.通过对三角形全等条件的探索，能够有条理地进行思考，并能进行简单的推理．
二、教学重点及难点
重点：三角形全等的条件SAS探索．
难点：能运用“边角边”判定方法解决有关问题．
三、教学准备
多媒体课件
四、相关资源
相关图片，动画，微课
五、教学过程
【问题情境】
小伟作业本上画的三角形被墨迹污染了，他想画一个与原来完全一样的三角形，他该怎么办？请你帮助小伟想一个办法，并说明你的理由．
想一想：如果已知一个三角形的两边及一角，那么有几种可能情况呢？每种情况下得到的三角形都全等吗？
让我们一起继续探索三角形全等的条件吧！
设计意图：通过问题情境提出确定三角形的问题，明确探究方向，激发探究欲望．
【探究新知】画一个三角形，使它的两条边长分别是2.5cm ，3.5cm ，其中一个角是40°
探究一：两条边长分别是2.5cm，3.5cm，这两条边的夹角为40°
任意画出一个△ABC再画出一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，A′C′＝AC，∠A′＝∠A（即使两边和它们的夹角对应相等）．把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗
画一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，A′C′＝AC，∠A′＝∠A：
①画∠DA′E＝∠A；
②在射线A′D上截取A′B′＝AB，在射线A′E上截取A′C′＝AC；
③连接B′C′．
总结定理：如果两个三角形的两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等．这个事实可以简写为或“SAS”．
几何语言表示：
如图：
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
设计意图：类比“边边边”探究得出“边角边”，学生通过动手操作、自主探究、交流、获得新知，进一步增强了动手能力．
探究二：两条边长分别是2.5cm，3.5 cm，其中一边的对角为40°
活动1.学生分组活动：画好后同桌两人讨论：两个三角形的两条边和其中一边的对角对应相等时，这两个三角形全等么？
有的组说全等，有的组说不全等
让各组派代表说说做法，比较有什么不同，老师总结，有二种做法
（1）两条边长分别是2.5 cm，3.5 cm ，并且长为2.5cm的这条边所对应的角是 40°，这种做法得出的结论是：不全等
（2）两条边长分别是 2.5 cm ， 3.5 cm ，并且长为3.5cm的这条边所对应的角是 40°，这种做法得出的结论也是：不全等
通过上面的探究我们知道不全等．现在进一步来说明．我们可以通过画图回答，还可以通过实验回答．
活动2.（1）把一长一短两根细木棍的一端用螺钉铰合在一起，使长木棍的另一端与射线BC的端点B重合．适当调整好长木棍与射线BC所成的角后，固定住长木棍，把短木棍摆起来．
图中的△ABC与△ABD满足两边及其中一边对角相等的条件，但△ABC与△ABD不全等．这说明，有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．
（2）任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，C′A′＝CA，∠B′＝∠B（即保证两边和其中一边的对角对应相等）．把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？
学生画出的图形各式各样，有的说全等，有的说不全等．教师在此可引导学生总结画图方法：
①画∠DB′E＝∠B；
②在射线B′D上截取B′A′＝BA；
③以A′为圆心，以AC长为半径画弧，此时只要∠C≠90°，弧线一定和射线B′E交于两点C′，F，也就是说可以得到两个三角形满足条件，而两个三角形是不可能同时和△ABC全等的．
也就是说：两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．所以它不能作为判定两三角形全等的条件．
归纳总结：
“两边及一内角”中的两种情况只有一种情况能判定三角形全等．即：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．（简记为“边角边”或“SAS”）．
设计意图：通过上述活动，我们可以得出“边角边”是判断三角形全等的条件，而“边边角”无法判定两个三角形全等．
【典型例题】
例1．如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达A和B．连接AC并延长到D，使CD＝CA．连接BC并延长到点E，使CE＝CB．连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离．为什么？
分析：如果能证明△ABC≌△DEC，就可以得出AB＝DE．在△ABC和△DEC中，AC＝DC，BC＝EC．要是再有∠1＝∠2，那么△ABC与△DEC就全等了．而∠1和∠2是对顶角，所以它们相等．
证明：在△ABC和△DEC中，
∴△ABC≌△DEC（SAS）．
∴AB＝DE．
设计意图：运用“边角边”判定方法解决实际问题，引导学生把实际问题转化为几何问题，分析问题中的已知条件，以及两个三角形全等还需要的条件．
例2.如下图，，那么≌吗？
分析：判定两个三角形全等，需要三个条件，已知两个条件：一对边对应相等，一对角对应相等，需要结合图形，寻找第三个条件，一般地，可以从以下几个方面考虑：①公共边；②公共角；③对顶角；④直角．本题中有公共边，可以利用SAS来证明三角形全等，注意三个条件的罗列顺序，第一个是边相等，第二个是角相等，第三个是边相等．
解：在和中
∴≌（SAS）
设计意图：熟练运用“边角边”判定三角形全等，规范解题格式.
例3. 如图，AC是的角平分线，且，试说明．
分析：要说明，只需说明≌，而，所以≌．
解：在和中，
因为，且AC平分，即．
所以≌，根据是，所以．
设计意图：在两个三角形中，来判断两个三角形的两条边相等，经常用判断这两个三角形全等的办法来判断，但需注意要判断相等的线段必须是这两个三角形的对应边．
【随堂练习】
1．（1）如图，AC与BD交于O点，若OA＝OD，用“SAS”证明△AOB≌△DOC，还需（ ）．B
A．AB＝DC B．OB＝OC C．∠A＝∠D D．∠AOB＝∠DOC
设计意图：考查运用“边角边”判定方法证明三角形全等所需条件．
（2）如图，AB平分∠CAD，E为AB上一点，若AC＝AD，则下列结论错误的是（ ）．D
A．BC＝BD B．CE＝DE C．BA平分∠CBD D．图中有两对全等三角形
设计意图：考查运用“边角边”判定方法和全等三角形性质进行推理论证的能力．
2．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD，请说明AC＝BD的理由．
证明：∵∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC，
即∠AOC＝∠BOD．
在△OAC和△OBD中，
∴△OAC≌△OBD（SAS）．
∴AC＝BD．
设计意图：考查运用“边角边”判定方法证明三角形全等和证明线段相等的基本思路．
3．如图，A、D、F、B在同一直线上，AD＝BF，AE＝BC，且AE∥BC．
求证：（1）△AEF≌△BCD；（2）EF∥CD．
提示：说明两个三角形全等，关键是根据已知条件结合图形，探究三角形全等所应具备的条件．要证明△AEF≌△BCD，根据已知条件AE∥BC，可得到∠A＝∠B，根据已知条件AD＝BF，可得到AF＝BD，这时两个三角形满足“SAS”．
证明：（1）∵AE∥BC，
∴∠A＝∠B．
又∵AD＝BF，
∴AD＋DF＝BF＋FD．
即AF＝BD．
在△AEF和△BCD中，
∴△AEF≌△BCD．
（2）∵△AEF≌△BCD，
∴∠EFA＝∠CDB．
∴EF∥CD．
设计意图：考查综合运用“边角边”判定方法和全等三角形性质以及平行线判定进行推理论证的能力．
4．如图，已知AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，证明：∠B＝∠E．
证明：∵∠BAD＝∠EAC，
∴∠BAD＋∠DAC＝∠EAC＋∠DAC．
即∠BAC＝∠EAD．
在△ABC与△AED中，
∴△ABC≌△AED．
∴∠B＝∠E．
设计意图：考查运用“边角边”判定方法和全等三角形性质以及证明两角相等思路．
【课堂小结】
1．根据“边角边”判定两个三角形全等，要找出两边及夹角对应相等的三个条件．
2．找使结论成立所需条件，要充分利用已知条件（包括给出图形中的隐含条件，如公共边、公共角等），并要善于运用学过的定义、公理、定理．
设计意图：通过小结，使学生梳理本节所学内容，理解“边角边”判定方法．
【板书设计】
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4.3探索三角形全等的条件
一、“边角边”SAS
二、练习：
)