北师大版 数学七年级下册2.2探索直线平行的条件 第2课时 教案

第二章相交线与平行线
2.2探索两直线平行的条件
第2课时
教学目标
知识技能
会识别由“三线八角”构成的内错角合同旁内角．
数学思考
经历探索直线平行条件的过程，掌握利用同位角相等、同旁内角互补判别直线平行的结论，并能解决一些问题．
解决问题
经历观察、操作、想象、图利、交流等活动，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程，进一步发展空间想象、推理能力和有条理表达的能力．
情感态度
使学生在参与探索、交流的数学活动中，进一步体验数学与实际生活的密切联系．
教学重点
会识别内错角、同旁内角；能用内错角相等、同旁内角互补判别两直线平行．
教学难点:
在稍为复杂的图形中识别内错角和同旁内角．
教学过程设计：
情境导入
小明有一块小画板，他想知道它的上下边缘是否平行，于是他在两个边缘之间画了一条线段AB（如图所示）．小明只有一个量角器，他通过测量某些角的大小就能知道这个画板的上下边缘是否平行.
你知道他是怎样做的吗？
画板上下边缘是否平行
能利用同位角来判断吗？
如果不能，是否可以利用其他角来判断？
设计意图：通过实例引出探索两直线平行的条件．
探究新知
（一）探索内错角、同旁内角
1．看下图中∠3与∠5，这两个角都在直线AB、CD之间，且∠3在直线EF左侧，∠5在直线EF右侧，像这样的一对角叫做内错角．同样，∠4与∠6也具有类似位置特征，∠4与∠6也是内错角．
变式图形如下：图中的∠1与∠2都是内错角．
图形特征：在形如“Z”的图形中有内错角．
2．在下图中，∠3和∠6也在直线AB、CD之间，但它们在直线EF的同一旁，像这样的一对角，我们称它为同旁内角．具有类似的位置特征的还有∠4与∠5，因此它们也是同旁内角．
变式图形：图中的∠1与∠2都是同旁内角．
图形特征：在形如“U”的图形中有同旁内角．
设计意图：在认识了同位角的概念后，自主探索同旁内角、内错角是一种发展的眼光认识事物的过程，探索的意义在于描述和理解位置关系，并把同种位置关系的角归为一类．
（二）探究平行线的判定方法
1．如图，直线AB，CD被EF所截，我们知道∠1和∠7是一对内错角，如果∠1＝∠7，直线AB与CD平行吗
直观上看AB∥CD．
理由如下：∵∠1＝∠7（已知），
∠1＝∠3（对顶角相等），
∴∠3＝∠7（等量代换）．
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．
你能用文字语言概括上面的结论吗？
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
简单说成：内错角相等，两直线平行．
2．如图，我们知道∠4和∠7是一对同旁内角，如果4＋7＝180能判定AB∥CD吗？
直观上看AB∥CD．
理由如下：∵∠4＋∠7＝180°，∠4＋∠1＝180°（已知），
∴∠1＝∠7（同角的补角相等），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
你能用文字语言概括上面的结论吗？
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两条直线平行．
简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
设计意图：让学生经历从图形到文字到符号的转换过程，使学生加深对数学语言的理解．发展推理能力，引导学生及时反思，养成更正、归纳的学习习惯．
三、典例精讲
例1．如图，直线DE，BC被直线AB所截．
（1）∠1和∠2，∠1和∠3，∠1和∠4各是什么角？
（2）如果∠1＝∠4，那么∠1和∠2相等吗？∠1和∠3互补吗？为什么？
答：（1）∠1和∠2是内错角，∠1和∠3是同旁内角，∠1和∠4是同位角．
（2）如果∠1＝∠4，由对顶角相等，得∠2＝∠4，那么∠1＝∠2；
因为∠4和∠3互补，即∠4＋∠3＝180°，
又因为∠1＝∠4，所以∠1＋∠3＝180°，
即∠1和∠3互补．
设计意图：一方面让学生复习同位角、内错角、同旁内角的概念，另一方面也要求学生进行说理，为后面学习平行线做好铺垫．
例2．如图所示，若∠ACE＝∠BDF，那么CE∥DF吗？
分析：要判定CE∥DF，需满足∠ECB＝∠FDA，利用“内错角相等，两直线平行”即可判定．
解：CE∥DF．理由如下：因为∠ACE＝∠BDF，又因为∠ACE＋∠ECB＝180°，∠BDF＋∠FDA＝180°，所以∠ECB＝∠FDA(等角的补角相等)，所以CE∥DF(内错角相等，两直线平行)．
设计意图：综合运用补角的性质及等量代换，将已知条件转换为内错角相等来判定两条直线平行，充分运用转化思想．
例3．如图，已知点E在AB上，且CE平分∠BCD，DE平分∠ADC，且∠DEC＝90°，试判断AD与BC的位置关系，并说明理由．
分析：先根据三角形内角和定理得出∠EDC＋∠ECD＋∠DEC＝180°．再由∠DEC＝90°得出∠EDC＋∠ECD＝90°．由CE平分∠BCD，DE平分∠ADC，可知∠ADC＋∠BCD＝2(∠EDC＋∠ECD)＝180°，由此可得出结论．
解：AD∥BC．理由如下：∵∠EDC＋∠ECD＋∠DEC＝180°，∠DEC＝90°，∴∠EDC＋∠ECD＝90°．∵CE平分∠BCD，DE平分∠ADC，∴∠ADC＋∠BCD＝2(∠EDC＋∠ECD)＝180°，∴AD∥BC．
设计意图：本题考查的是平行线的判定，熟知“同旁内角互补，两直线平行”是解答此题的关键．
四、课堂练习
1.（1）下列说法错误的是( )．
A．同位角不一定相等 B．内错角都相等
C．同旁内角可能相等 D．同位角相等，两直线平行
（2）如图，有以下四个条件：①∠B＋∠BCD＝180°，②∠1＝∠2，③∠3＝∠4，④∠B＝5．其中能判定AB∥CD的条件有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（3）一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上行驶，那么两次拐弯的角度可能为(　　)
A．第一次右拐60°，第二次右拐120°
B．第一次右拐60°，第二次右拐60°
C．第一次右拐60°，第二次左拐120°
D．第一次右拐60°，第二次左拐60°
2．下图中，∠1与∠2，∠3与∠4各是哪一条直线截哪两条直线而成的？它们各是什么角？
3.已知直线a，b被直线c所截，且∠1＋∠2＝180°，试判断直线a，b的位置关系，并说明理由．
4.如图所示，已知∠1＝∠2，AC平分∠DAB，试证明DC∥AB．
答案：（1）B;
（2）∵∠B＋∠BCD＝180°，∴AB∥CD；②∵∠1＝∠2，∴AD∥BC；③∵∠3＝∠4，∴AB∥CD；④∵∠B＝∠5，∴AB∥CD．∴能得到AB∥CD的条件是①③④．故选C．
（3）汽车两次拐弯后，行驶的路线与原路线一定不在同一直线上，但方向相同，说明这前后路线应该是平行的．如图，如果第一次向右拐，那么第二次应左拐，两次拐的方向是相反且角度相等的，两次拐的角度是同位角，所以前后路线平行且行驶方向不变．故选D．
2. 解：图（1）∠1与∠2是直线DE，BC被直线AB所截得的同位角；∠3与∠4是直线AB，AC被直线DE所截得的同旁内角．
图（2）∠1与∠2是直线DE，AC被直线BD所截得的内错角；∠3与∠4是直线AE，BD被直线AC所截得的同旁内角．
图（3）∠1与∠2是直线AB，DC被直线AC所截得的同位角；∠3与∠4是直线AD，BC被直线AC所截得的内错角．
3. 解：a∥b．
理由是：∵∠1＋∠2＝180°，
又∵∠3＝∠1（对顶角相等），
∴∠2＋∠3＝180°，
∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）．
4. 证明：∵AC平分∠DAB（已知），
∴∠1＝∠3（角平分线的定义）．
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠2＝∠3（等量代换）．
∴DC∥AB（内错角相等，两直线平行）
五、课堂小结
1．内错角和同旁内角的概念
2．利用内错角、同旁内角判定两直线平行：
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
线平行）．