黑龙江省鹤岗市工农区2022-2023学年高二下学期6月月考数学试题（含答案）

鹤岗市工农区2022-2023学年高二下学期6月月考
数学试卷
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．若集合，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
B． C． D．
2．已知函数的定义域为，则函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
3．命题“”为假命题，则命题成立的充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
4．已知偶函数的定义域为，当时，，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知是定义在上的奇函数，，且当时，，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数且，若函数的值域是，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则（ ）
A． B． C．为偶函数 D．的图象关于对称
8．已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题多选题（本题共有4道小题，每小题5分，共20分.有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的0分）
9．下列说法中正确的是（ ）
A．命题“，”的否定是“，”
B．函数且的图象经过定点
C．幂函数在上单调递增，则的值为
D．函数的单调递增区间是
10．下列结论中，正确的结论有（ ）
A．如果，，且，那么的最小值为4
B．如果，那么取得最大值为 C．函数的最小值为2
D．如果，，，那么的最小值为6
11．已知函数则以下说法正确的是（ ）
A．若，则是上的减函数 B．若，则有最小值
C．若，则的值域为 D．若，则存在，使得
12．设定义在R上的函数与的导函数分别为和．若，，且为奇函数，则（ ）．
A．， B．
C． D．
三、填空题填空题(本题共4道小题，每小题5分，共计20分)
13．已知为一次函数，且，则的值为_______．
14．已知函数，若方程有四个不相等的实数根、、、，且，则的取值范围是___．
15．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，平有“数学王子”的称号.为了纪念高斯，人们把函数，称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，例如：，，已知，则函数的值域为______.
16．丹麦数学家琴生是世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.定义：函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数是上的“严格凸函数”，称区间为函数的“严格凸区间”.则下列正确命题的序号为 ____________.
①函数在上为“严格凸函数”；
②函数的“严格凸区间”为；
③函数在为“严格凸函数”，则的取值范围为.
四、解答题解答题（本题共6道小题，共计70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
请在“①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件”这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.已知集合，，若是成立的________条件，判断实数是否存在？
18．某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍惜水果树的单株产量(单位：千克)与施用肥料(单位：千克)满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入(如培育管理、施肥等人工费)元．已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为(单位：元)
(1)写单株利润(元)关于施用肥料(千克)的关系式；
(2)当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？
19．函数对任意，，总有，当时，，且．
(1)证明是奇函数；
(2)证明在上是单调递增函数；
(3)若，求实数的取值范围．
20．已知函数．
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)若函数在处取得极值，求实数的值；
(3)若不等式对恒成立，求实数的取值范围．
21．已知函数（x∈R）为奇函数.
(1)求实数k的值；
(2)若对[-2，-1]，不等式≤6恒成立，求实数m的取值范围；
(3)若函数-5在[1，+∞]上有零点，求实数的取值范围.
22．设函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若函数存在两个零点，证明：.
参考答案：
1．A 2．C 3．C 4．D 5．D 6．B
【详解】当时，，函数在上单调递增，
在上单调递减，所以，即；
若函数的值域是，则需当时，．
当时，在上单调递增，
此时，不合题意；
当时，在上单调递减，
此时，即，则，
所以，显然，解得，又，所以．
综上所述，实数的取值范围是．
故选：B
7．C
【详解】为奇函数，，
令，则；用替换，则，
又为偶函数，，
令，则；用替换，则，
，用替换，则，
，则的一个周期为4，
由，解得，故A错误；
，故B错误；
由，得，得为偶函数，故C正确；
时，，，不关于对称，故D错误，
故选：C.
8．A
【详解】方法一：比较的大小时，
（法一）设函数，则，令，得，
当时，，函数单调递增；当，函数单调递减，
所以当时，函数取得最大值，
因为，所以，即.
（法二）因为，设为坐标原点，结合函数的图象知，所以；
比较的大小时，设函数，则，
当时，，所以函数在上单调递减；
当时，，所以函数在上单调递增，
因为，，又，所以，即，
综上可得，，故B，C，D错误.
故选：A.
方法二（估值法）：因为0.43.
所以，故B，C，D错误.
故选：A.
9．ABC
【详解】A.命题“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，即“，”，故正确；
B.因为函数且，令得 ，此时 的图象经过定点，故正确；
C. 因为是幂函数，所以，即 ，解得 或 ，当时，在上单调递减，当 时，在上单调递增，故正确；
D.令，得 或，所以函数的定义域为，
又在上递增，在上递增，所以的单调递增区间是，
故选：ABC
10．AD
【详解】对于选项A，如果，，且，
那么，
当且仅当且，即时取等号，故选项A正确；
对于选项B， 如果，那么，
则，
即，当且仅当，即时取等号，
因为，所以不能取得最小值，故选项B错误；
对于选项C，函数，
当且仅当时取等号，此时无解，不能取得最小值2，故选项C错误；
对于选项D，如果，，，
则
整理得，
所以或（舍去），
当且仅当时取得最小值，故选项D正确.
故选：AD
11．ABC【详解】对于A，若，，在上单调递减，故A正确；
对于B，若，，当时，，在区间上单调递减，，则有最小值1, 故B正确；
对于C，若，，当时，，在区间上单调递减，；当时，，在区间上单调递增，，则的值域为，故C正确；
对于D，若，当时，；
当时，；
当时，，即当时，，所以不存在，使得，故D错误.
故选：ABC
12．AC
【详解】对A，又∵为奇函数，
则图像关于对称，且，
所以，A 正确；
对于C，∵，则，
则，又，
所以，
令，可得，即.
所以，又
所以，
所以，
∴的周期，所以，
由可得，
，，，
所以，，
∴，C正确；
对B，，则是周期的函数，，B错误；
对D，，，所以，
所以，D错误.
故选：AC.
13．
【详解】为一次函数，可设，
，
，解得：或，或，
.
故答案为：.
14．.
【详解】的图象如图所示，
∵方程有四个不相等的实根，
∴，
又∵，，
∴，，，
∴，
又∵在上单调递减，
∴，
∴，
∴的取值范围为.
故答案为：.
15．
【分析】先利用奇函数的定义判定是奇函数，利用分离常数法化简函数的解析式，判定函数的单调性且求出的值域，分情况讨论与的可能取值.
【详解】，
因为
，
即，所以为奇函数；
因为，所以，，，
则，即的值域为，
又因为在上单调递增，且，
所以当时，，当时，；
当时，，，
此时，，，，
则；
当时，，，
此时，，，，
则；
当时，，
此时，则；
综上所述，，
即的值域为.
故答案为: .
16．①②.
【详解】的导函数，，在上恒成立，所以函数在上为“严格凸函数”，所以①正确；
的导函数，，，所以，解得，所以函数的“严格凸区间”为，
所以②正确；
的导函数，，，所以在上恒成立，
即，设，则在单调递增，
所以，所以，所以③不正确；
故答案为：①②.
17．【详解】若选择条件①，即是成立的充分不必要条件，集合A是集合B的真子集，则有，解得，
所以，实数m的取值范围是；
若选择条件②，即是成立的必要不充分条件，集合B是集合A的真子集，
则有，解得，
所以，实数的取值范围是；
若选择条件③，即是成立的充要条件，则集合A等于集合B则有，方程组无解，
所以，不存在满足条件的实数.
18．(1)；
(2)4千克，480元﹒
【详解】（1）依题意，又，
∴．
（2）当时，，开口向上，对称轴为，
在上单调递减，在上单调递增，
在上的最大值为．
当时，，
当且仅当时，即时等号成立．
∵，∴当时，．
∴当投入的肥料费用为40元时，种植该果树获得的最大利润是480元．
19．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）令，则，解得，
令，则，即，即，
易知的定义域为，关于原点对称，所以函数是奇函数；
（2）任取，，且，则，
因为当时，，所以，
则，即，所以函数是上的增函数；
（3）由，得，，又由是奇函数得.
由，得，因为函数是上的增函数，
所以，解得，故实数的取值范围为．
20．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）当时，，定义域为，，
，，
所以函数在点处的切线方程为，即.
（2），
设，则，
依题意得，即，
当时，，当时，，当时，，
所以在处取得极大值，符合题意.
综上所述：.
（3）当时，，，
当时， ,
令，，
则，
①当时，在上恒成立，故在上为增函数，
所以，故在上为增函数，
故，不合题意.
②当时，令，得，
（i）若，即时，在时，，在上为减函数，
，即，在上为减函数，，符合题意；
(ii)若，即时，
当时，，在上为增函数，，
在上为增函数，，不合题意.
综上所述：若不等式对恒成立，则实数的取值范围是.
21．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为是奇函数，
所以，解得k＝1，
此时符合题意．
（2）原问题即为，，即恒成立，
则，
设，∵，∴，
则，
∵，∴当时，取得最小值26，
要使不等式在上恒成立，则，
即实数m的最大值为26．
（3），
则，
设，当x≥1时，函数为增函数，则，
若在上有零点，
则函数在上有零点，
即，即，
∵，当且仅当时取等号，
∴，即λ的取值范围是．
22．(1)当时，在区间上单调递减；
当时在区间上单调递减，在区间上单调递增
(2)证明见解析.
【详解】（1）由于，则定义域为 ，
可得：，
当时，∵，∴，故在区间上单调递减；
当时，∵，∴由可得，由得，
故在区间上单调递减，在区间上单调递增.
（2）证明：∵，，，不妨设，
则有，，
两式相加得，相减得，
消去得：，
令，则，
要证，即证，也就是要证，即证，
令，
∵
∴在上为增函数，，即成立，故.