石港中学2022-2023学年高一下学期6月第三次阶段检测
数学试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1．已知 且 ，若集合 ，则（ ）
A． B． C． D．
2．在中,“”是“"的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3．已知一个圆锥的母线长为2，其侧面积为，则该圆锥的高为
A. 1 B. C. D. 2
4．复数满足（为虚数单位），则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C． D．5
5．若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2.现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数为，方差为s2，则( )
A.＝5，s2<2 B.＝5，s2>2 C.>5，s2<2 D.>5，s2>2
6．已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．设m，n是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．，则 B．，则
C．，则 D．，则
8．已知锐角三边长分别为，，，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
9．复数，i是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A．z的实部是 B．z的共轭复数为
C．z的实部与虚部之和为2 D．z在复平面内的对应点位于第一象限
10．下列抽查，适合抽样调查的是( )
A. 进行某一项民意测验 B.调查某化工厂周围5个村庄是否受到污染
C.调查黄河的水质情况 D. 调查某药品生产厂家一批药品的质量情况
11．已知向量，，则（ ）
A．与方向相同的单位向量的坐标为
B．当时，与的夹角为锐角
C．当时，、可作为平面内的一组基底
D．当时，在方向上的投影向量为
12．一个正四棱锥的平面展开图如图所示，其中E，F，M，N，Q分别为，，，，的中点，关于该正四棱锥，现有下列四个结论：
A．直线与直线是异面直线；
B．直线与直线是异面直线；
C．直线与直线MN共面；
D．直线与直线是异面直线.
其中正确结论的为（ ）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．命题 “ ” 的否定是 .
14．200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的众数、中位数的估计值分别为________.
15．若一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形，且，，则该平面图形的面积为 _________.
第14题 第15题 第16题
16．如图，正方体的棱长为2， E是棱的中点，平面截正方体所得截面图形的周长为 ，若F是侧面上的动点，
且满足平面，则点F的轨迹长度为________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）
已知复数是纯虚数，是实数.
(1)求；
(2)若，求.
18．（12分）
已知f(x)＝4cosx·sin(x＋)―1
(1)求f(x)的周期；
(2)若f(α)＝，其中α∈(0，)，求cos2α．
19．（12分）
在条件①；②；③中任选一个，补充在下面的问题中，并求解.
问题：的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且_____.
求角A的大小；
若，求角B的大小.
20．（12分）
如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，DE⊥平面ABCD．
（1）求证：AB∥EF；
(
C
E
A
B
D
F
（第20题）
) （2）求证：平面BCF⊥平面CDEF．
21．（12分）
在中，，，，.
(1)用向量和向量分别表示向量，；
(2)若，且角为直角，求的值.
22．（12分）
如图，在直三棱柱中，，D为的中点，为上一点，且．
(1)证明：∥平面；
(2)若，，求点到平面的距离．石港中学2022-2023学年高一下学期6月第三次阶段检测
数学答案
一、单选题：
1．已知 且 ， 若集合 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】 C
【解析】
2．在中,“”是“"的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C
【解析】在中，，根据三角函数性质可知，故选C.
3．已知一个圆锥的母线长为2，其侧面积为，则该圆锥的高为
A. 1 B. C. D. 2
【答案】C
【解析】设圆锥的母线为 R ，底面圆的半径为 r ，则 ，
因为侧面积为 ，所以 ，所以 ，
所以圆锥的高
故选：C.
4．复数满足（为虚数单位），则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C． D．5
【答案】B
【解析】设，
复数的对应点在以原点为圆心，半径的圆上运动，
表示点与复数的对应点的距离，
故选：B.
5．A【解析】 ∵(x1＋x2＋…＋x8)＝5，∴(x1＋x2＋…＋x8＋5)＝5，∴＝5.
由方差定义及意义可知加入新数据5后，样本数据取值的稳定性比原来强，
∴s2<2.
6．已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知可得，
所以.
故选：B
7．设m，n是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．，则 B．，则
C．，则 D．，则
【答案】D
【解析】对于A，在长方体中，平面为平面，分别为直线，
显然满足，而，此时不成立，A错误；
对于B，在长方体中，平面，平面分别为平面，为直线，
显然满足，而，此时不成立，B错误；
对于C，在长方体中，平面，平面分别为平面，为直线，
显然满足，而，此时不成立，C错误；
对于D，因为，由线面垂直的性质知，，D正确.
故选：D
8．已知锐角三边长分别为，，，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用余弦定理建立不等式，解不等式求出实数的取值范围.
【详解】显然边长x，解得：．
故选：A
二、多选题：
9．复数，i是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A．z的实部是 B．z的共轭复数为
C．z的实部与虚部之和为2 D．z在复平面内的对应点位于第一象限
【答案】ACD
【解析】由复数，可得复数的实部为，虚部为，所以A正确；
又由共轭复数的概念，可得，所以B错误；
由复数的实部与虚部之和为，所以C正确；
由复数在复平面内对应的点位于第一象限，所以D正确.
故选：ACD.
10．ACD
【解析】 A项因为无法对所有的黄河水质进行全面调查，所以只能采取抽样调查的方式；B项适合全面调查；C项对药品的质量检验具有破坏性，所以只能采取抽样调查；D项由于民意测验的特殊性，不可能也没必要对所有的人都进行调查，因此也是采用抽样调查的方式.
11．已知向量，，则（ ）
A．与方向相同的单位向量的坐标为
B．当时，与的夹角为锐角
C．当时，、可作为平面内的一组基底
D．当时，在方向上的投影向量为
【答案】BC
【解析】对于A，与方向相同的单位向量为，故A错误；
对于B，当时，，，，
所以，与的夹角为锐角，故B正确；
对于C，当时，，，则，则与不平行，
、可作为平面内的一组基底，故C正确；
对于D，设与的夹角为，则在方向的投影向量为，
当时，，，，，
所以，故D错误．
故选：BC.
12．一个正四棱锥的平面展开图如图所示，其中E，F，M，N，Q分别为，，，，的中点，关于该正四棱锥，现有下列四个结论：
A．直线与直线是异面直线；B．直线与直线是异面直线；
C．直线与直线MN共面；D．直线与直线是异面直线.
其中正确结论的为（ ）
【答案】B C D
【解析】根据展开图，复原几何体，如下图所示：
对A，因为F，M，N，Q分别为，，，的中点，所以，又，则，故F，N，A，B四点共面，故直线与直线是共面直线，A错误；
对B，E在过F，N，A，B四点的平面外，故直线与直线是异面直线，B正确；
对C，N，Q重合，故直线与直线共面，C正确；
对D，E在过F，N，A，B四点的平面外，故直线与直线是异面直线，D正确；
综上有B C D正确.
故选：B C D
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．命题 “ ” 的否定是 .
【答案】
14．200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的众数、中位数的估计值分别为________.
65,62.5【解析】 ∵最高的矩形为第三个矩形，∴时速的众数的估计值为65.
前两个矩形的面积为(0.01＋0.03)×10＝0.4.∵0.5－0.4＝0.1，×10＝2.5，
∴中位数的估计值为60＋2.5＝62.5.
15．若一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形，且，，则该平面图形的面积为 _________.
【答案】
【详解】解法一、计算等腰梯形的面积为，
所以原平面图形的面积为．
解法二、作，，因为，，
所以，．因此．
又根据斜二测画法的特征可得，在原图中，，即原图为直角梯形，且高为直观图中的2倍，
所以该平面图形的面积为．
故答案为：．
16．如图，正方体的棱长为2， E是棱的中点，平面截正方体所得截面图形的周长为________，若F是侧面上的动点，且满足平面，则点F的轨迹长度为________.
【答案】，
【解析】取CD中点G，连接BG、EG，则等腰梯形为截面，
而，，
故梯形的周长为 ，
取中点M，中点N，连接，
则，故四边形为平行四边形，
则得，而平面，平面，
故平面，同理平面，
而，平面，故平面平面，
∴点F的运动轨迹为线段MN，其长度为
故答案为：，
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
已知复数是纯虚数，是实数.
(1)求；
(2)若，求.
【解析】（1）设且.
则为实数，
所以，所以，
所以 ；
（2）由（1），，
所以．
18．（12分）
已知f(x)＝4cosx·sin(x＋)―1
(1)求f(x)的周期；
(2)若f(α)＝，其中α∈(0，)，求cos2α．
【解析】(1)f(x)＝4cosx(sinx＋cosx)－1＝2sinxcosx＋2cos2x－1
＝sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋)
T＝π
(2)f(α)＝2sin(2α＋)＝ sin(2α＋)＝
由＜α＜ 得＜2α＋＜，由sin(2α＋)＝＜得0＜2α＋＜
cos(2α＋)＝＝
所以cos2α＝cos[(2α＋)－]＝cos(2α＋)cos＋sin(2α＋)sin＝
19．在条件①；②；③中任选一个，补充在下面的问题中，并求解.
问题：的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且_____.
求角A的大小；
若，求角B的大小.
【解析】若选①，因为，
由正弦定理可得，
即，所以，
因为，所以，因为，所以
若选②，因为，可得，
由余弦定理可得，因为，所以
若选③，因为，
所以，即，否则不符合题意，
因为，所以
因为，所以，
即，又，所以，
原式可化为，化简可得，
因为，，所以，或，
解得或
20．（12分）
如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，DE⊥平面ABCD．
（1）求证：AB∥EF；
(
C
E
A
B
D
F
（第19题）
) （2）求证：平面BCF⊥平面CDEF．
【解析】【证】（1）因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD，
因为平面CDEF，平面CDEF，所以AB∥平面CDEF．…………… 4分
因为平面ABFE，平面平面，
所以AB∥EF． ………………… 7分
（2）因为DE⊥平面ABCD，平面ABCD，所以DE⊥BC． ………… 9分
因为BC⊥CD，，平面CDEF，
所以BC⊥平面CDEF． ………………………… 12分
因为BC平面BCF，平面BCF⊥平面CDEF． ……………………… 14分
21．（12分）
在中，，，，.
(1)用向量和向量分别表示向量，；
(2)若，且角为直角，求的值.
【解析】（1）
；
；
（2）由题意可知，，
，
因角是直角，则，
，化简为，
此时，
综上，的值是.
22．（12分）
如图，在直三棱柱中，，D为的中点，为上一点，且．
(1)证明：∥平面；
(2)若，，求点到平面的距离．
【解析】（1）如图，连接交于点，连接，
因为四边形为矩形，且为的中点，所以，
又因为，所以，所以，
因为平面，平面，所以平面．
（2）由题知点到平面的距离等于点到平面的距离的一半，
过作，垂足为，连接，过作，垂足为，
因为平面，平面，所以，
又因为，平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以.
又平面，，
所以平面，即线段为点到平面的距离．
因为，，，所以，
由几何关系可知，
所以，，
由几何关系可知，
所以，故点到的距离为．
