18.2.2 菱形 课时 1 同步练习（含解析）

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第18章《平行四边形》练习
18.2.2菱形
第1课时
班级：___________姓名：___________得分：___________
一、选择题(每小题6分，共30分)
1．已知：如图，在矩形ABCD中，E ,F ,G ,H分别为边AB, BC ,CD, DA的中点．若AB＝2，AD＝4，则图中阴影部分的面积为 ( )
A. 5 B. 4.5 C. 4 D. 3.5
2．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列结论中不一定成立的是（ ）
A. AB∥DC B. AC＝BD C. AC⊥BD D. OA＝OC
3．如图四边形ABCD是菱形，对角线AC=8，BD=6，DH⊥AB于点H，则DH的长度是（　　）
A. B. C. D.
4．如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为（　　）
A. 2 B. 2 C. 4 D. 4
5．如果a表示一个菱形的对角线的平方和,b表示这个菱形的一边的平方,那么（ ）
A. a=4b B. a=2b C. a=b D. b=4a
二、填空题(每小题6分，共30分)
6．已知菱形两条对角线的长分别为5cm和12cm，则这个菱形的面积是________cm2.
7．如图，菱形花坛的边长为6cm，一个内角为60°，在花坛中用花盆围出两个正六边形的图形（图中粗线部分），则围出的图形的周长为___________ cm.
8．如图，已知菱形ABCD对角线交于点O，AE⊥CD于E，AE=OD，则∠CAE=_____．
9．已知菱形ABCD的两条对角线相交于点O，AC＝4，BD＝2，则菱形ABCD的周长是___________.
10．如图，由两个长为10，宽为2的矩形叠合而得到菱形ABCD，则菱形ABCD面积的最大值为_________．
三、解答题(共40分)
11．已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．
求证：（1）四边形AODE是矩形；
（2）若AB＝6，∠BCD＝120°，求四边形AODE的面积．
12．如图菱形ABCD中，∠ADC=60°，M、N分别为线段AB，BC上两点，且BM=CN，且AN，CM所在直线相交于E.
（1）证明△BCM≌△CAN；
（2）∠AEM= °；
（3）求证DE平分∠AEC；
（4）试猜想AE，CE，DE之间的数量关系并证明.
参考答案
1．C
【解析】连接AC，BD，FH，EG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
∵E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，
∴HG=AC,EF∥AC,EF=AC,EH=BD，GF=BD，
∴EH=HG =EF=GF，
∴平行四边形EFGH是菱形，
∴FH⊥EG，
∴阴影部分EFGH的面积是×HF×EG=×2×4=4，
故选C.
2．B
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥DC，故选项A正确，不合题意；
无法得出AC=BD，故选项B错误，符合题意；
AC⊥BD，故选项C正确，不合题意；
OA=OC，故选项D正确，不合题意；
故选B.
3．C
【解析】∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，
∴AC⊥BD，OA=OC=4，OB=OD=3，
∴AB=5cm，
∴S菱形ABCD=AC·BD=AB·DH，
∴DH=．
故选C.
4．B
【解析】如图作CE′⊥AB于E′，交BD于P′，连接AC、AP′．
∵已知菱形ABCD的周长为16，面积为8，
∴AB=BC=4，AB CE′=8，
∴CE′=2，
在Rt△BCE′中，BE′=，
∵BE=EA=2，
∴E与E′重合，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD垂直平分AC，
∴A、C关于BD对称，
∴当P与P′重合时，P′A+P‘E的值最小，最小值为CE的长=2，
故选：B．
5．A
【解析】设菱形的两条对角线分别为2m,2n,则a=(2m)2+(2n)2=4(m2+n2),则勾股定理得b=m2+n2，所以a=4b，故选A.
6．30
【解析】菱形的面积=×5×12=30(cm2).
故答案为：30.
7．20
【解析】如图，每个三角形都为等边三角形，由于图形中是两个正六边形，菱形花坛的边长为6cm，则每个正三角形的边长为2cm,则围出的图形的周长为 cm.
故答案：20.
8．30°
【解析】由四边形ABCD为菱形，得到对角线互相垂直，进而得到一对直角相等，再由对顶角相等，得到△AFO与△DFE相似，利用相似三角形对应角相等得到一对角相等，利用ASA得到△AEC与△DOC全等，利用全等三角形对应边相等得到AC=CD，进而确定出△ACD为等边三角形，利用等边三角形的性质及三线合一性质即可求出所求角的度数．
解：∵菱形ABCD， ∴AC⊥BD，AD=DC， ∵AE⊥CD， ∴∠AEC=∠DOC=90°，
∵∠AOD=∠AED=90°，∠AFO=∠DFE， ∴△AFO∽△DFE， ∴∠CAE=∠CDO，
∴△AEC≌△DOC（ASA）， ∴AC=CD， ∴AC=CD=AD，即△ACD为等边三角形，
∵AE⊥CD， ∴AE为∠CAD的平分线， 则∠CAE=30°． 故答案为：30°．
9．
【解析】根据菱形的对角线相互平分，则OA=2，OB=1，根据对角线垂直，则AB= ，则菱形ABCD的周长是.
故答案：.
10．
【解析】菱形的一条对角线为矩形的对角线时，面积最大，作出图形，设边长为x，表示出BE=10-x，再利用勾股定理列式计算求出x，然后根据菱形的四条边都相等列式进行计算即可得解出边长，再计算面积即可．
解：如图，菱形的一条对角线与矩形的对角线重合时，面积最大，
设AB=BC=x，则BE=10-x，
在Rt△BCE中，BC2=BE2+CE2，
即x2=（10-x）2+22，
解得x=，
所以S菱形ABCD=×2=．
故答案为：．
11．（1）见解析（2）9
【解析】（1）由已知易得四边形AODE是平行四边形，由四边形ABCD是菱形可得AC⊥BD，从而可得∠AOD=90°，由此可得平行四边形AODE是矩形；
（2）由四边形ABCD是菱形，∠BCD=120°易证△ABC是等边三角形，从而可得AC=AB=6，AO=3，结合AC⊥BD由勾股定理可得BO=3，则OD=3，由此可得矩形AODE的面积为.
解：（1）∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AODE是平行四边形，
∵在菱形ABCD中，AC⊥BD，
∴平行四边形AODE是矩形，
（2）∵∠BCD=120°，AB∥CD，
∴∠ABC=180°﹣120°=60°，
∵AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴OA=×4=2，
∵在菱形ABCD中，AC⊥BD，
∴由勾股定理OB=3，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OD=OB=3，
∴四边形AODE的面积=OA OD=9．
12．（1）证明见解析；（2）60°；（3）证明见解析；（4）ED=EC+AE，理由见解析.
【解析】（1）如图，连接AC．由题意△ABC，△ADC都是等边三角形，根据SAS即可证明△BCM≌△CAN．
（2）由△BCM≌△CAN，推出∠BCM=∠CAN，推出∠AEM=∠ACE+∠EAC=∠ACE+∠BCM=60°．
（3）如图中，作DG⊥AN于G．DH⊥MC交MC的延长线于H．由△DGA≌△DHC，推出DG=DH，由DG⊥AN，DH⊥MC，推出∠DEG=∠DEH．即DE平分∠AEC．
（4）结论：EA+EC=ED．由（3）可知，∠GED=60°，在Rt△DEG中，由∠EDG=30°，推出DE=2EG，易证△DEG≌△DEH，推出EG=EH，推出EA+EC=EG+AG+EH-CH，由△DGA≌△DHC，推出GA=CH，推出EA+EC=2EG=DE，
解：（1）如图1中，连接AC．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，
∵∠ADC=60°，
∴△ACD，△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠B=∠ACN=60°，
在△BCM和△CAN中，
，
∴△BCM≌△CAN．
（2）如图1中，∵△BCM≌△CAN，
∴∠BCM=∠CAN，
∴AEM=∠ACE+∠EAC=∠ACE+∠BCM=60°．
故答案为60．
（3）如图2中，作DG⊥AN于G．DH⊥MC交MC的延长线于H．

∵∠AEM=60°，
∴∠AEC=120°，
∵∠DGE=∠H=90°，
∴∠GEH+∠GDH=180°，
∴∠GDH=∠ADC=60°，
∴∠ADG=∠CDH，
在△DGA和△DHC中，
，
∴△DGA≌△DHC，
∴DG=DH，
∵DG⊥AN，DH⊥MC，
∴∠DEG=∠DEH．
∴DE平分∠AEC．
（4）结论：EA+EC=ED．理由如下：
如图2中，由（3）可知，∠GED=60°，
在Rt△DEG中，∵∠EDG=30°，
∴DE=2EG，
易知△DEG≌△DEH，
∴EG=EH，
∴EA+EC=EG+AG+EH-CH，
∵△DGA≌△DHC，
∴GA=CH，
∴EA+EC=2EG=DE，
∴EA+EC=ED．