扬中市2022-2023学年高二下学期期末模拟数学试题3 姓名
一 单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
x/℃ 15 20 25 30 35
y/百元 1 2 2 4 5
1.某冷饮店日盈利y(单位：百元)与当天气温x(单位：℃)
之间有如下数据：
已知y与x之间具有线性相关关系，则y与x的线性回归方程是 （ ）
A． ＝0.2x－2 B． ＝0.2x－2.2 C． ＝0.2x＋2 D． ＝0.2x＋2.2
2. 设随机变量的分布列为，且，则的值为（ ）
A. 8 B. 12 C. D. 16
3.已知在的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是，则展开式中系数的绝对值最大的是第（ ）项
A.6 B. 8 C.9 D.11
4．下列说法正确的有 ( )
A．设随机变量X服从二项分布B，则
B．若X是随机变量，则E(2X＋1)＝2E(X)＋1，D(2X＋1)＝4D(X)＋1
C．已知随机变量ξ~N(0，1)，若P(ξ＞1)＝p，则P(ξ＞－1)＝1－2p
D．设随机变量ξ表示发生概率为p的事件在一次随机实验中发生的次数，
5．现行排球比赛规则为五局三胜制，前四局每局先得25分者为胜，第五局先得15分者为胜，并且每赢1球得1分，每次得分者发球；当出现24平或14平时，要继续比赛至领先2分才能取胜.在一局比赛中，甲队发球赢球的概率为，甲队接发球赢球的概率，在比分为平且甲队发球的情况下，甲队以赢下比赛的概率为 （ ）
A. B. C. D.
6.设 分别是双曲线 的左、右焦点,过点的直线交双曲线的右支于A, B两点,若,且,则双曲线的离心率为 （ ）
B.
7．已知数列的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
8．在长方体ABCD－A1B1C1D1中．AB＝AD＝1，AA1＝2，P是线段BC1上的一动点，如下的四个命题中，
(1)AP//平面AD1C；(2)A1P与平面BCC1B1所成角的正切值的最大值是；
(3)A1P＋PC的最小值；(4)以A为球心，为半径的球面与侧面DCC1D1的交线长是．
真命题共有几个 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．记为随机事件，下列说法正确的是 （ ）
A． 若事件 B．若事件
C．若
D．若
10.若，等比数列的公比为，前项和为，则 （ ）
A. B. 成等比数列
C. 若，则成等差数列 D. 若，则成等差数列
11．如图在四棱锥为矩形，是正三角形，侧面的中点，下列说法正确的是 （ ）
A．
B．点到平面的距离为
C．平面与平面只有一个交点
D．侧面与底面所成的二面角为
12. 关于函数，下列说法正确的是 （ ）
A. 是的极小值； B. 函数有且只有1个零点
C. 在上单调递减； D. 设，则.
三 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
13．袋中混装着10个大小相同的球（编号不同），其中6只白球，4只红球，为了把红球与白球区分开来，采取逐只抽取检查；若恰好经过6次抽取检查，正好把所有白球和红球区分出来了，则这样的抽取方式共有 种．（用数字作答）
14.已知函数为定义在R上的奇函数，且对于，都有，且，则不等式的解集为___________.
15．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于，两点，且，线段的垂直平分线过点，则抛物线的方程是 ；若直线过点，则 .
16．甲盒中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙盒中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲盒中随机取出一球放入乙盒，分别以，，表示由甲盒取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙盒中随机取出一求，以表示由乙盒取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是___________.
（写出所有正确结论的编号）
①，，是两两互斥的事件；②事件与事件相互独立
③； ④.
四 解答题：本大题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17. 在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．
（1）求项数；（2）求展开式中的二项式系数最大的项；（3）求展开式中所有系数的绝对值的和．
18．由于往届高三年级数学学科的学习方式大都是“刷题一讲题一再刷题”的模式，效果不理想，某市一中的数学课堂教改采用了“记题型一刷题一检测效果”的模式，并记录了某学生的记题型时间（单位：）与检测效果的数据如下表所示.
记题型时间 1 2 3 4 5 6 7
检测效果 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
（1）据统计表明，与之间具有线性相关关系，请用相关系数加以说明（若，则认为与有很强的线性相关关系，否则认为没有很强的线性相关关系）；
（2）建立关于的回归方程，并预测该学生记题型的检测效果；
（3）在该学生检测效果不低于3.6的数据中任取2个，求检测效果均高于4.4的概率.
参考公式：回归直线中斜率和截距的最小二乘估计分别为，
，相关系数
参考数据：，，，.
19．如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，点在上，且．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）设点在上，且．判断直线是否在平面内，说明理由．
20．已知数列的前n项和为，，数列满足，，数列为等差数列．（1）求与的通项公式；（2）设，数列的前n项和为．若对于任意均有，求正整数k的值．
21．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的长轴长为4，离心率为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点A(a，0)，B(0，b)，直线l交椭圆C于P，Q两点(点A，B位于直线l的两侧)．
①若直线l过坐标原点O，设直线AP，AQ，BP，BQ的斜率分别为k1，k2，k3，k4.求证：k1k2＋k3k4为定值；
②若直线l的斜率为，求四边形APBQ的面积的最大值．
22.已知函数，．
（1）当时，求函数的最小值；
（2）当时，求证有两个零点，，并且．扬中市2022-2023学年高二下学期期末模拟数学试题3
教师版 姓名
一 单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
x/℃ 15 20 25 30 35
y/百元 1 2 2 4 5
1.某冷饮店日盈利y(单位：百元)与当天气温x(单位：℃)
之间有如下数据：
已知y与x之间具有线性相关关系，则y与x的线性回归方程是 （ B ）
A． ＝0.2x－2 B． ＝0.2x－2.2 C． ＝0.2x＋2 D． ＝0.2x＋2.2
2. 设随机变量的分布列为，且，则的值为（ A ）
A. 8 B. 12 C. D. 16
3.已知在的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是，则展开式中系数的绝对值最大的是第（ B ）项
A.6 B. 8 C.9 D.11
4．下列说法正确的有 ( D )
A．设随机变量X服从二项分布B，则
B．若X是随机变量，则E(2X＋1)＝2E(X)＋1，D(2X＋1)＝4D(X)＋1
C．已知随机变量ξ~N(0，1)，若P(ξ＞1)＝p，则P(ξ＞－1)＝1－2p
D．设随机变量ξ表示发生概率为p的事件在一次随机实验中发生的次数，
5．现行排球比赛规则为五局三胜制，前四局每局先得25分者为胜，第五局先得15分者为胜，并且每赢1球得1分，每次得分者发球；当出现24平或14平时，要继续比赛至领先2分才能取胜.在一局比赛中，甲队发球赢球的概率为，甲队接发球赢球的概率，在比分为平且甲队发球的情况下，甲队以赢下比赛的概率为 （ B ）
A. B. C. D.
6.设 分别是双曲线 的左、右焦点,过点的直线交双曲线的右支于A, B两点,若,且,则双曲线的离心率为 （ B ）
B.
7．已知数列的取值范围是 （ B ）
A． B． C． D．
8．在长方体ABCD－A1B1C1D1中．AB＝AD＝1，AA1＝2，P是线段BC1上的一动点，如下的四个命题中，
(1)AP//平面AD1C；(2)A1P与平面BCC1B1所成角的正切值的最大值是；
(3)A1P＋PC的最小值；(4)以A为球心，为半径的球面与侧面DCC1D1的交线长是．
真命题共有几个 ( C )
A．1 B．2 C．3 D．4
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．记为随机事件，下列说法正确的是 （ BC ）
A． 若事件 B．若事件
C．若
D．若
10.若，等比数列的公比为，前项和为，则 （ ACD ）
A. B. 成等比数列
C. 若，则成等差数列 D. 若，则成等差数列
11．如图在四棱锥为矩形，是正三角形，侧面的中点，下列说法正确的是 （ AB ）
A．
B．点到平面的距离为
C．平面与平面只有一个交点
D．侧面与底面所成的二面角为
12. 关于函数，下列说法正确的是 （ ABD ）
A. 是的极小值； B. 函数有且只有1个零点
C. 在上单调递减； D. 设，则.
三 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
13．袋中混装着10个大小相同的球（编号不同），其中6只白球，4只红球，为了把红球与白球区分开来，采取逐只抽取检查；若恰好经过6次抽取检查，正好把所有白球和红球区分出来了，则这样的抽取方式共有 种．（用数字作答）
14.已知函数为定义在R上的奇函数，且对于，都有，且，则不等式的解集为___________.
15．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于，两点，且，线段的垂直平分线过点，则抛物线的方程是 ；若直线过点，则 .
16．甲盒中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙盒中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲盒中随机取出一球放入乙盒，分别以，，表示由甲盒取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙盒中随机取出一求，以表示由乙盒取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是______ ①③_____.
（写出所有正确结论的编号）
①，，是两两互斥的事件；②事件与事件相互独立
③； ④.
四 解答题：本大题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17. 在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．
（1）求项数；（2）求展开式中的二项式系数最大的项；（3）求展开式中所有系数的绝对值的和．
17.解：（1）二项式展开式的通项为
，
因为前三项系数的绝对值成等差数列，
所以，
化简得，解得，（，舍去）．
（2）由（1）知，二项式的展开项共9项，
故二项式系数最大的项为第项，
即
（3）展开式中所有系数的绝对值的和为
，
18．由于往届高三年级数学学科的学习方式大都是“刷题一讲题一再刷题”的模式，效果不理想，某市一中的数学课堂教改采用了“记题型一刷题一检测效果”的模式，并记录了某学生的记题型时间（单位：）与检测效果的数据如下表所示.
记题型时间 1 2 3 4 5 6 7
检测效果 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
（1）据统计表明，与之间具有线性相关关系，请用相关系数加以说明（若，则认为与有很强的线性相关关系，否则认为没有很强的线性相关关系）；
（2）建立关于的回归方程，并预测该学生记题型的检测效果；
（3）在该学生检测效果不低于3.6的数据中任取2个，求检测效果均高于4.4的概率.
参考公式：回归直线中斜率和截距的最小二乘估计分别为，
，相关系数
参考数据：，，，.
18．解：（1）由题得，
，
所以，
所以与有很强的线性相关关系.
（2）由（1）可得，
所以，
所以关于的回归方程为.
当时，，
所以预测该学生记题型的检测效果约为6.3.
（3）由题知该学生检测效果不低于3.6的数据有5个，
任取2个数据有，，，，，，，
，，共10种情况，其中检测效果均高于4.4的有，
，，共3种结果，
故所求概率为.
19．如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，点在上，且．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）设点在上，且．判断直线是否在平面内，说明理由．
19．解：（1）因为，
20．已知数列的前n项和为，，数列满足，，数列为等差数列．（1）求与的通项公式；（2）设，数列的前n项和为．若对于任意均有，求正整数k的值．
20.解：（1）由题意知，，
时，，显然也满足，故；
，数列为等差数列，，
则，解得，
等差数列的首项为，公差为，
，．
（2）由（1）可得：，
当n为奇数时，，又随n增加而增加，此时；
当n为偶数时，，令，则，
∴当n为偶数时，恒有．综合①②知，∴满足题意的．
21．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的长轴长为4，离心率为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点A(a，0)，B(0，b)，直线l交椭圆C于P，Q两点(点A，B位于直线l的两侧)．
①若直线l过坐标原点O，设直线AP，AQ，BP，BQ的斜率分别为k1，k2，k3，k4.求证：k1k2＋k3k4为定值；
②若直线l的斜率为，求四边形APBQ的面积的最大值．
21．解：（1）由题意得解得a2＝4，b2＝3.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
（2）①点A，B的坐标分别为(2，0)，(0，)．
设点P的坐标为(m，n)，由对称性知点Q的坐标为(－m，－n)．
所以k1＝，k2＝.所以k1k2＝·＝.
又因为点P在椭圆C：＋＝1上，所以＋＝1，即m2－4＝－n2，
所以k1k2＝＝－.
同理k3k4＝－.所以k1k2＋k3k4＝＋＝－，为定值．
②由题意，A(2，0)，B(0，)．设l：y＝x＋t.
由点A(2，0)，B(0，)位于直线l的两侧，得＜0，
解得－＜t＜.由，消去y并整理，得3x2＋2tx＋2t2－6＝0.
由判别式＝(2t)2－4×3×(2t2－6)＞0，得t2＜6.当－＜t＜时，显然，判别式＞0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．由根与系数的关系得，x1＋x2＝－，x1x2＝.
|PQ|＝·＝·＝·.
点A(2，0)到直线l：y＝x＋t的距离d1＝＝.
因为－＜t＜，所以d1＝.
点B(0，)到直线l：y＝x＋t的距离d2＝＝.
因为－＜t＜，所以d2＝.
因此，四边形APBQ的面积＝·|PQ|·(d1＋d2)
＝×××＝2.
因为－＜t＜，显然，当t＝0时，(S四边形APBQ)max＝2.
【点睛】关键点点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，解题的关键是求出直线
l：y＝x＋t中－＜t＜以及弦长，考查了弦长公式、数学运算.
22.已知函数，．
（1）当时，求函数的最小值；
（2）当时，求证有两个零点，，并且．
22.解：（1）当时，，．
令，则，所以单调递增，
又因为，，
所以存在，使得，此时．
当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增．
所以的最小值为，
（2），，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
则，
这时，利用放缩
记的正根为所以，
所以存在两个零点和，，，
因为，即两式相减得；
两式相加得．
要证，即只要证，
令，，
，则在单调递增，所以，
又因为，所以得证，所以成立．
