福建省福州延安中学2022-2023学年高二下学期会考第二次模拟考试数学试题（含解析）

福建省福州延安中学2022-2023学年高二下学期会考第二次模拟考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知命题，则为（ ）
A． B．
C． D．
3．不等式的解集是（　　）
A． B．
C． D．
4．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，则（ ）
A．2 B．-2 C． D．-
7．已知，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
8．若正实数，满足．则的最小值为（ ）
A．12 B．25 C．27 D．36
9．已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（ ）
A．3 B． C． D．
10．已知函数，若，则（ ）
A． B． C． D．
11．下列函数中是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
12．已知，，（其中为自然对数的底数），则（ ）
A． B． C． D．
13．函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
A．和 B．和2 C．和 D．和2
14．下列四组函数中与是同一函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
15．已知函数若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
16．已知幂函数的图象过点，则（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．在上为减函数 D．在上为减函数
17．为了得到函数的图象，只需把余弦曲线上所有的点（ ）
A．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
C．向右平移，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
D．向右平移，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
18．下列函数最小值为2的是（ ）
A． B．
C． D．
19．已知函数（，，，）的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．的图像关于点对称
B．的图像关于直线对称
C．在上为增函数
D．把的图像向右平移个单位长度，得到一个奇函数的图像
三、填空题
20．函数的定义域为____________．
21．已知圆台的上底面半径为2，下底面半径为6，若该圆台的侧面积为，则其母线长为__________.
22．已知是定义在R上的奇函数，且当时，，当时，___________．
23．点在角的终边上，则__________．
四、解答题
24．已知，且是第二象限角．
(1)求的值；
(2)求的值．
25．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，，，E是PD的中点.
(1)求证：平面平面PAD；
(2)求三棱锥的体积.
26．已知函数
(1)证明：函数在上单调递减；
(2)讨论关于x的方程的实数解的个数．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】首先进行并集运算，然后进行补集运算即可.
【详解】由题意可得：，则.
故选：A.
2．C
【分析】直接根据全称命题的否定是特称命题得到答案.
【详解】命题，则为.
故选：C
3．B
【分析】由一元二次不等式的解法，即可得出答案.
【详解】不等式可化为，
所以不等式的解集为.
故选：B.
4．D
【分析】利用奇偶性的定义判断.
【详解】A. 定义域为R，且，则为偶函数，故错误；
B. 则为奇函数，故错误；
C. 定义域为R，且，则为偶函数，故错误；
D. 定义域为R，且，则既不是奇函数，也不是偶函数，故正确；
故选：D
5．C
【分析】根据不等式的性质，利用作差比较，即可求解，得到答案．
【详解】解：由题意，因为，所以，
对于A中，，所以，所以不正确；
对于B中，若，则，所以不正确；
对于C中，，故，所以是正确的；
对于D中，，则，所以不正确.
故选：C．
6．A
【分析】根据函数的分段点代入求值.
【详解】，因为，所以.
故选：A.
7．A
【分析】先求出，根据的特征求解
【详解】由得，所以，
故选：A
8．C
【分析】根据基本不等式“1”的用法求解即可；
【详解】解：因为，所以．
因为，所以，当且仅当，即，时，等号成立，
所以，的最小值为27．
故选：C
9．A
【分析】利用扇形的弧长和面积公式即可.
【详解】设底面半径为r，侧面展开是半圆，圆心角为，所以母线长
则圆锥的表面积：，
.
故选：A.
10．C
【分析】由题意，可得，即函数为奇函数，进而求解.
【详解】由，即，所以函数定义域为，关于原点对称，
由，
所以，
则，即，
所以函数为奇函数.
由，
所以.
故选：C.
11．D
【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.
【详解】对于A，为上的减函数，不合题意，舍.
对于B，为上的减函数，不合题意，舍.
对于C，在为减函数，不合题意，舍.
对于D，为上的增函数，符合题意，
故选：D.
12．D
【分析】根据指数函数与对数函数的单调性比较大小可得答案.
【详解】因为，所以；
因为，；
因为，.
∴，
故选：D.
13．C
【分析】利用辅助角公式化简，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.
【详解】由题，，所以的最小正周期为，最大值为.
故选：C．
14．C
【分析】根据函数的定义域、对应关系等知识确定正确答案.
【详解】A选项，的定义域是，的定义域是，所以不是同一函数.
B选项，的定义域是，的定义域是，所以不是同一函数.
C选项，，两个函数定义域、值域、对应关系完全相同，是同一函数.
D选项，的定义域是，的定义域是，所以不是同一函数.
故选：C
15．A
【分析】将函数有四个不同的零点，转化为函数与图象由四个交点，再数形结合即可解答.
【详解】
依题意，函数有四个不同的零点，即有四个解，
转化为函数与图象由四个交点，
由函数函数可知，
当时，函数为单调递减函数，；
当时，函数为单调递增函数，；
当时，函数为单调递减函数，；
当时，函数为单调递增函数，；
结合图象，可知实数的取值范围为.
故选：A
16．AD
【分析】利用幂函数定义即过点可得，再根据函数奇偶性定义即可判断是偶函数，由幂函数单调性即可判断D正确.
【详解】根据幂函数定义可得，解得；
又因为图象过点，所以可得，即；
易知函数的定义域为，且满足，
所以是偶函数，故A正确，B错误；
由幂函数性质可得，当时，为单调递减，再根据偶函数性质可得在上为增函数；故C错误，D正确.
故选：AD
17．BC
【分析】根据三角函数图象的伸缩平移变换即可得出结果.
【详解】函数的图象向右平移个长度单位，得，
再将横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得；
函数图象将横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得，
再向右平移个长度单位，得，即.
故选：BC
18．BC
【分析】根据基本不等式，结合“一正，二定，三相等”，即可判断选项.
【详解】A.只有当时，，当时等号成立，
当时，，当时等号成立，故A错误；
B.中，，，
当，即时，等号成立，故B正确；
C.，，当时，即时，等号成立，故C正确；
D.，，
当时，即时等号成立，所以不能取得等号，故D错误；
故选：BC
19．ABC
【分析】根据函数图像求出函数解析式，然后利用三角函数的性质逐一判断即可.
【详解】由已知，，，，
，，
又，，，
对于A，，故A正确；
对于B，令，，得，，时，，故B正确；
对于C，时，令，在上递增，故C正确；
对于D，把的图像向右平移个单位长度，得函数表达式为，它是偶函数，故D错误.
故选：ABC.
20．
【分析】分别求出 和 的定义域，再求交集.
【详解】由题意 ，解得 ，即 ；
故答案为： .
21．9
【分析】由圆台的侧面积公式求得圆台的母线长.
【详解】圆台的上底面半径为2，下底面半径为6，设圆台的母线长为l，
则该圆台的侧面积为，则，
所以圆台的母线长为9．
故答案为：9.
22．
【分析】由奇函数性质可得答案.
【详解】因是定义在R上的奇函数，则时，.
当，则，
又，则当时，.
故答案为：.
23．2
【分析】利用三角函数定义求出，再结合诱导公式、齐次式法求解作答.
【详解】因为点在角的终边上，则，
所以.
故答案为：2
24．(1)
(2)7
【分析】（1）由二倍角公式,已知条件代入即可得出答案;
（2）利用三角函数的平方关系和商数关系求出，将展开代入即可.
【详解】（1）
（2）为第二象限角,，
.
25．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）证明平面PAD，原题即得证；
（2）利用求解.
【详解】（1）证明：因为平面ABCD，平面ABCD，所以，
因为，，，AD，平面PAD，
所以平面PAD，又平面PCD，
所以平面平面PAD.
（2）解：因为平面ABCD，平面ABCD，所以.
在矩形中，，又E是PD的中点，
所以，
又平面PAD，
所以.
26．(1)证明见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）根据单调性的定义分析证明；
（2）原题意等价于函数与常函数的交点个数，作出函数的图像，数形结合处理问题.
【详解】（1）任取，
则，
令，且，
则，，
所以，即，
故函数在上单调递减．
（2）关于x的方程的实数解的个数，等价于函数与常函数的交点个数，
由（1）可得：，
令，且，
则，，
所以，即，
故函数在上单调递减，
结合（1）可得：函数在上单调递减，在上单调递增，故，
令，且，整理得，解得或，
故函数的图像如图所示：
可得函数的图像如图所示：
对于函数与常函数的交点个数，
则有：当时，交点个数为0个；当或时，交点个数为2个；
当时，交点个数为3个；当时，交点个数为4个．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页