第一章综合素质检测
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是( )
A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0
B．存在x∈R，x3－x2＋1≥0
C．存在x∈R，x3－x2＋1>0
D．对任意x∈R，x3－x2＋1>0
[答案] C
[解析] 全称命题的否定是特称命题，将“任意”改为“存在”，将“≤”改为“>”．
2．若命题“p∨q”为真命题，“?p”为真命题，则( )
A．p真q真 B．p假，q真
C．p真q假 D．p假q假
[答案] B
[解析] ∵“?p”为真命题，∴p为假命题，又“p∨q”为真命题，∴q为真命题．
3．设a∈R，则“a>1”是“<1”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] a>1?<1，<1?/ a>1，故选A.
4．有下列四个命题
①“若b＝3，则b2＝9”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若c≤1，则x2＋2x＋c＝0有实根”；
④“若A∪B＝A，则A?B”的逆否命题．
其中真命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] A
[解析] “若b＝3，则b2＝9”的逆命题：“若b2＝9，则b＝3”，假；
“全等三角形的面积相等”的否命题是：“不全等的三角形，面积不相等”，假；
若c≤1，则方程x2＋2x＋c＝0中，Δ＝4－4c＝4(1－c)≥0，故方程有实根；
“若A∪B＝A，则A?B”为假，故其逆否命题为假．
5．命题“所有奇数的立方是奇数”的否定是( )
A．所有奇数的立方不是奇数
B．不存在一个奇数，它的立方是偶数
C．存在一个奇数，它的立方是偶数
D．不存在一个奇数，它的立方是奇数
[答案] C
[解析] “所有奇数的立方是奇数”的否定是“存在一个奇数的立方不是奇数”，故选C.
6．“若a⊥α，则a垂直于α内任一条直线”是( )
A．全称命题 B．特称命题
C．不是命题 D．假命题
[答案] A
[解析] 命题中含有全称量词，故为全称命题，且是真命题．
7．“B＝60°”是“△ABC三个内角A、B、C成等差数列”的( )
A．充分而不必要条件 B．充要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] 在△ABC中，若B＝60°，则A＋C＝120°，
∴2B＝A＋C，则A、B、C成等差数列；
若三个内角A、B、C成等差，则2B＝A＋C，
又A＋B＋C＝180°，∴3B＝180°，B＝60°.
8．“a<0”是“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 当a<0时，Δ＝4－4a>0，
∴方程ax2＋2x＋1＝0有两个不等实根，不妨设两根分别为x1、x2.
则x1＋x2＝－>0，
x1x2＝<0，
故方程ax2＋2x＋1＝0有一正根一负根.
当a＝0时，方程ax2＋2x＋1＝0有一负根为－，
∴a<0?方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根，
方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根?/ a<0，故选A.
9．“a＝－1”是方程“a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0”表示圆的( )
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
[答案] C
[解析] 当a＝－1时，方程为x2＋y2－2x－1＝0，
即(x－1)2＋y2＝2表示圆，
若a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0表示圆，则应满足
，解得a＝－1，故选C.
10．若集合A＝{1，m2}，B＝{2,4}，则“m＝2”是“A∩B＝{4}”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 由“m＝2”可知A＝{1,4}，B＝{2,4}，所以可以推得A∩B＝{4}，反之，如果“A∩B＝{4}”可以推得m2＝4，解得m＝2或－2，不能推得m＝2，所以“m＝2”是“A∩B＝{4}”的充分不必要条件．
11．下列命题中的真命题是( )
A．?x∈[0，]，sinx＋cosx≥2 B．?x∈，tanx>sinx
C．?x∈R，x2＋x＝－1 D．?x∈R，x2＋2x>4x－3
[答案] D
[解析] ∵对任意x∈R，有sinx＋cosx＝sin(x＋)≤，∴A假；∵x∈(，π)时，tanx<0，sinx>0，∴B假；∵x2＋x＋1＝(x＋)2＋>0，∴方程x2＋x＝－1无解，∴C假；∵x2＋2x－(4x－3)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，∴对任意x∈R，x2＋2x－(4x－3)>0恒成立，故D真．
12．下列命题错误的是( )
A．命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题为“若方程x2＋x－m＝0无实根，则m≤0”
B．对于命题p：“?x∈R，使得x2＋x＋1<0”，则?p：“?x∈R，均有x2＋x＋1≥0”
C．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题
D．“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件
[答案] C
[解析] 若p∧q为假命题，则p、q均为假命题，或p、q一真一假，故选C.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)
13．命题“?x∈[－2,3]，－1
[答案] ?x∈[－2,3]，x≤－1或x≥3
[解析] 全称命题的否定是特称命题，将“?”改为“?”，将“－114．命题“?x∈(－1,1)，2x＋a＝0”是真命题，则a的取值范围为________．
[答案] (－2,2)
[解析] 设f(x)＝2x＋a，由题意得函数f(x)在(－1,1)内有零点，
∴(a＋2)(a－2)<0，∴－215．给出命题：“若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限”．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是________．
[答案] 1
[解析] 因为命题：“若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限”是真命题，其逆命题“若函数y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数”是假命题，如函数y＝x＋1.再由互为逆否命题真假性相同知，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是1.
16．给出下列四个命题：
①?x∈R，x2＋2x>4x－3均成立；
②若log2x＋logx2≥2，故x>1；
③命题“若a>b>0，且c<0，则>”的逆否命题是真命题；
④“a＝1”是“直线x＋y＝0与直线x－ay＝0互相垂直”的充分不必要条件．
其中正确的命题为________(只填正确命题的序号)．
[答案] ①②③
[解析] ①中，x2＋2x>4x－3?x2－2x＋3>0?(x－1)2＋2>0，故①正确．
②中，显然x≠1且x>0若01，故②正确
③中，命题“若a>b>0，且c<0，则>”为真命题，故其逆否命题是真命题，∴③正确．
④“a＝1”是直线x＋y＝0与直线x－ay＝0互相垂直的充要条件，故④不正确．
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)判断下列命题的真假：
(1)?x∈R,2x>0；
(2)?x∈Q，x2－3x－1是有理数；
(3)?x∈N,2x＝x2；
(4)?x、y∈Z，x2＋y2＝10.
[解析] (1)真命题，对任意的x,2x>0恒成立．
(2)真命题，对于任意的有理数x，x2－3x－1都是有理数．
(3)真命题，x＝2,4时，2x＝x2成立．
(4)真命题，x＝1，y＝3时，x2＋y2＝10成立．
(1)(2)(3)(4)都是真命题．
18．(本题满分12分)写出命题“若x2＋7x－8＝0，则x＝－8或x＝1的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假．”
[解析] 逆命题：若x＝－8或x＝1，则x2＋7x－8＝0.
逆命题为真．
否命题：若x2＋7x－8≠0，则x≠－8且x≠1.
否命题为真．
逆否命题：若x≠－8且x≠1，则x2＋7x－8≠0.
逆否命题为真．
19．(本题满分12分)判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．
(1)对数函数都是单调函数；
(2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；
(3)?x∈{x|x>0}，x＋≥2；
(4)?x0∈Z，log2x0>2.
[解析] (1)本题隐含了全称量词“所有的”，其实命题应为“所有的对数函数都是单调函数”，是全称命题，且为真命题．
(2)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是特称命题，真命题．
(3)命题中含有全称量词“?”，是全称命题，真命题．
(4)命题中含有存在量词“?”，是特称命题，真命题．
20．(本题满分12分)对于下列命题p，写出?p的命题形式，并判断?p命题的真假：
(1)p：91∈(A∩B)(其中全集U＝N*，A＝{x|x是质数}，B＝{x|x是正奇数})；
(2)p：有一个素数是偶数；
(3)p：任意正整数都是质数或合数；
(4)p：一个三角形有且仅有一个外接圆．
[解析] (1)?p：91?A或91?B；假命题．
(2)?p：所有素数都不是偶数；假命题．
(3)?p：存在一个正整数不是质数且不是合数；真命题．
(4)?p：存在一个三角形至少有两个外接圆或没有外接圆；假命题．
21．(本题满分12分)设命题p：(4x－3)2≤1；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若?p是?q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
[解析] 由(4x－3)2≤1，得≤x≤1，
令A＝{x|≤x≤1}．
由x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，得
a≤x≤a＋1，
令B＝{x|a≤x≤a＋1}．
由?p是?q的必要不充分条件，得p是q的充分不必要条件，即A?B，
∴，∴0≤a≤.
∴实数a的取值范围是[0，]．
22．(本题满分14分)(2014·马鞍山二中期中)设命题p：f(x)＝在区间(1，＋∞)上是减函数；命题q：x1，x2是方程x2－ax－2＝0的两个实根，且不等式m2＋5m－3≥|x1－x2|对任意的实数a∈[－1,1]恒成立，若(?p)∧q为真，试求实数m的取值范围．
[解析] 对命题p：x－m≠0，又x∈(1，＋∞)，故m≤1，
对命题q：|x1－x2|＝＝对a∈[－1,1]有≤3，
∴m2＋5m－3≥3?m≥1或m≤－6.
若(?p)∧q为真，则p假q真，
∴∴m>1.
第二章综合素质检测
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若椭圆＋＝1(m>0)的一个焦点坐标为(1,0)，则m的值为( )
A．5 B．3
C． D．
[答案] D
[解析] 解法一：由椭圆的焦点在x轴上，可知4>m2，∴0解法二：由题意得4－m2＝1，∴m2＝3，又m>0，∴m＝.
2．设P是椭圆＋＝1上一点，F1、F2是椭圆的焦点，若|PF1|等于4，则|PF2|等于( )
A．22 B．21
C．20 D．13
[答案] A
[解析] 由椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝26，因为|PF1|＝4，所以|PF2|＝22.
3．3A．充分但非必要条件 B．必要但非充分条件
C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件
[答案] A
[解析] 当30，
∴方程＋＝1表示双曲线．
若方程＋＝1表示双曲线，则
(m－5)(m2－m－6)<0，
∴m<－2或34．(2014·江西文，9)过双曲线C：－＝1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A、O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
[答案] A
[解析] 如图设双曲线的右焦点F，右顶点B，设渐近线OA方程为y＝x，
由题意知，以F为圆心，4为半径的圆过点O，A，
∴|FA|＝|FO|＝r＝4.
∵AB⊥x轴，A为AB与渐近线y＝x的交点，
∴可求得A点坐标为A(a，b)．
∴在Rt△ABO中，|OA|2＝＝＝c＝|OF|＝4，
∴△OAF为等边三角形且边长为4，B为OF的中点，从而解得|OB|＝a＝2，|AB|＝b＝2，
∴双曲线的方程为－＝1，故选A.
5．双曲线－＝1与椭圆＋＝1(a>0，m>b>0)的离心率互为倒数，那么以a、b、m为边长的三角形一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
[答案] B
[解析] 双曲线的离心率e1＝，椭圆的离心率e2＝，由·＝1得a2＋b2＝m2，故为直角三角形．
6．若直线mx＋ny＝4与圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为( )
A．至多一个 B．2
C．1 D．0
[答案] B
[解析] ∵直线与圆无交点，∴>2，
∴m2＋n2<4，∴点P在⊙O内部，
又⊙O在椭圆内部，∴点P在椭圆内部，
∴过点P的直线与椭圆有两个交点．
7．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A、B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为( )
A．18 B．24
C．36 D．48
[答案] C
[解析] 设抛物线为y2＝2px，则焦点F，准线x＝－，由|AB|＝2p＝12，知p＝6，所以F到准线距离为6，所以三角形面积为S＝×12×6＝36.
8．过点(0,1)与双曲线x2－y2＝1仅有一个公共点的直线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
[答案] D
[解析] 过点(0,1)与双曲线x2－y2＝1的两条渐近线平行的直线与双曲线只有一个公共点；过点(0,1)与双曲线相切的直线设为y＝kx＋1，由，得(1－k2)x2－2kx－2＝0，
当1－k2≠0时，Δ＝4k2＋8(1－k2)＝0，
∴k＝±，故满足条件的直线有4条．
9．(2014·山东省烟台市期末)若双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y＝x2＋2相切，则此双曲线的离心率等于( )
A．2 B．3
C． D．9
[答案] B
[解析] 由题意双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，代入抛物线方程y＝x2＋2整理得x2－x＋2＝0，
因渐近线与抛物线相切，∴Δ＝(－)2－8＝0，
即()2＝8，
∴此双曲线的离心率e＝＝＝＝3.故选B.
10．已知动圆P过定点A(－3,0)，并且与定圆B：(x－3)2＋y2＝64内切，则动圆的圆心P的轨迹是( )
A．线段 B．直线
C．圆 D．椭圆
[答案] D
[解析] 如下图，设动圆P和定圆B内切于M，则动圆的圆心P到两点，即定点A(－3,0)和定圆的圆心B(3,0)的距离之和恰好等于定圆半径，即|PA|＋|PB|＝|PM|＋|PB|＝|BM|＝8.∴点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，故选D.
11．(2014·陕西工大附中四模)F1、F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A、B两点．若△ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为( )
A． B．
C． D．
[答案] D
[解析] 如图，由双曲线的定义知，|AF2|－|AF1|＝2a，
|BF1|－|BF2|＝2a，∴|AB|＝|BF1|－|AF1|＝|BF1|－|AF1|＋|AF2|－|BF2|＝(|BF1|－|BF2|)＋(|AF2|－|AF1|)＝4a，
∴|BF2|＝4a，|BF1|＝6a，
在△BF1F2中，∠ABF2＝60°，
由余弦定理，|BF1|2＋|BF2|2－|F1F2|2＝2|BF1|·|BF2|·cos60°，
∴36a2＋16a2－4c2＝24a2，∴7a2＝c2，
∵e>1，∴e＝＝，故选D.
12．F是抛物线y2＝2x的焦点，P是抛物线上任一点，A(3,1)是定点，则|PF|＋|PA|的最小值是( )
A．2 B．
C．3 D．
[答案] B
[解析] 如图，|PF|＋|PA|＝|PB|＋|PA|，
显然当A、B、P共线时，|PF|＋|PA|取到最小值3－(－)＝.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)
13．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|＝2，则|BF|＝______.
[答案] 2
[解析] 本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系．
设点A(x1，y1)，点B(x2，y2)
抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，准线方程为x＝－1.
|AF|＝x1－(－1)＝2，所以x1＝1.
则AF与x轴垂直，|BF|＝|AF|＝2.
14．已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为________．
[答案]
[解析] ∵AB＝2c＝4，∴c＝2.
又AC＋CB＝5＋3＝8＝2a，∴a＝4.
∴椭圆离心率为＝.
15．设中心在原点的椭圆与双曲线2x2－2y2＝1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是________．
[答案] ＋y2＝1
[解析] ∵双曲线2x2－2y2＝1的离心率为，
∴所求椭圆的离心率为，
又焦点为(±1,0)，∴所求椭圆的方程为＋y2＝1.
16．椭圆的离心率等于，且与双曲线－＝1有相同的焦距，则椭圆的标准方程是________．
[答案] ＋＝1或＋＝1
[解析] 双曲线－＝1的焦距2c＝10，∴c＝5，又椭圆的离心率e＝＝，∴a＝5，∴a2＝75，b2＝a2－c2＝50，
故椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
三、解答题(本题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)求下列双曲线的标准方程．
(1)与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)的双曲线；
(2)以椭圆3x2＋13y2＝39的焦点为焦点，以直线y＝±为渐近线的双曲线．
[解析] (1)∵双曲线－＝1的焦点为(±2，0)，
∴设所求双曲线方程为：－＝1(20－a2>0)
又点(3，2)在双曲线上，
∴－＝1，解得a2＝12或30(舍去)，
∴所求双曲线方程为－＝1.
(2)椭圆3x2＋13y2＝39可化为＋＝1，
其焦点坐标为(±，0)，
∴所求双曲线的焦点为(±，0)，
设双曲线方程为：－＝1(a>0，b>0)
∵双曲线的渐近线为y＝±x，
∴＝，∴＝＝＝，
∴a2＝8，b2＝2，
即所求的双曲线方程为：－＝1.
18．(本题满分12分)方程x2sinα－y2cosα＝1表示焦点在y轴上的椭圆，求α的取值范围．
[分析] 根据焦点在y轴上的椭圆的标准方程的特点，先将方程化为标准式，得到关于α的关系式，再求α的取值范围．
[解析] ∵x2sinα－y2cosα＝1，∴＋＝1.
又∵此方程表示焦点在y轴上的椭圆，
∴，即，
∴2kπ＋<α<2kπ＋(k∈Z)．
故所求α的范围为(k∈Z)．
19．(本题满分12分)(2014·云南景洪市一中期末)设F1、F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0(1)求|AB|.
(2)若直线l的斜率为1，求b的值．
[解析] (1)求椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，
又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝.
(2)l的方程式为y＝x＋c，其中c＝
设A(x1，y1)，B(x1，y1)，则A、B两点坐标满足方程组
消去y化简得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0.
则x1＋x2＝，x1x2＝.
因为直线AB的斜率为1，所以|AB|＝|x2－x1|
即＝|x2－x1|.
则＝(x1＋x2)2－4x1x2
＝－＝，
解得b＝.
20．(本题满分12分)已知A、B、D三点不在一条直线上，且A(－2,0)、B(2,0)，||＝2，＝＋，＝，求点E的轨迹方程．
[解析] 如图
设点E的坐标为(x，y)，
∵＝＝(＋)，
∴由向量加法的平行四边形法则可知，点E为BD的中点，连结OE，
又O为AB的中点，∴OE＝AD＝1.
即动点E到定点O的距离为定值1，
由圆的定义知，点E的轨迹方程为x2＋y2＝1(y≠0)．
[点评] 平面向量在解析几何中的应用，是高考考查的重要内容，本题借助于图形，将数与形有机地结合起来，找到了突破口，即点E到定点O的距离等于定值1这一关键，从而求出了动点E的轨迹方程，充分体现了数形结合这一重要思想．
21．(本题满分12分)(2014·韶关市曲江一中月考)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点(0,4)，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．
[解析] (1)将点(0,4)代入椭圆C的方程，得＝1，∴b＝4，
又e＝＝，则＝，∴1－＝，∴a＝5，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)，
设直线与椭圆C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝(x－3)代入椭圆方程得＋＝1，即x2－3x－8＝0，由韦达定理得x1＋x2＝3，所以线段AB中点的横坐标为＝，纵坐标为(－3)＝－，即所截线段的中点坐标为(，－)．
22．(本题满分14分)已知动点P与平面上两定点A(－，0)、B(，0)连线的斜率的积为定值－.
(1)试求动点P的轨迹方程C.
(2)设直线l：y＝kx＋1与曲线C交于M、N两点，当|MN|＝时，求直线l的方程．
[解析] 设点P(x，y)，则依题意有·＝－，整理得＋y2＝1.由于x≠±，所以求得的曲线C的方程为＋y2＝1(x≠±)．
(2)由，消去y得：(1＋2k2)x2＋4kx＝0.
解得x1＝0，x2＝(x1、x2分别为M、N的横坐标)．
由|MN|＝|x1－x2|＝||＝，
解得：k＝±1.
所以直线l的方程x－y＋1＝0或x＋y－1＝0.
第三章综合素质检测
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设正弦函数y＝sinx在x＝0和x＝附近的瞬时变化率为k1、k2，则k1、k2的大小关系为( )
A．k1>k2 B．k1C．k1＝k2 D．不确定
[答案] A
[解析] y＝sinx，y′＝cosx，
∴k1＝cos0＝1，k2＝cos＝0，
k1>k2.
2．函数f(x)＝x2＋1在点(1,2)处的切线斜率为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] B
[解析] f′(x)＝2x，∴f(x)＝x2＋1在点(1,2)处的切线斜率k＝2.
3．若曲线f(x)＝x4－x在点P处的切线平行于直线3x－y＝0，则点P的坐标为( )
A．(1,3) B．(－1,3)
C．(1,0) D．(－1,0)
[答案] C
[解析] 设P(x0，y0)，f′(x)＝4x3－1，
由题意得f′(x0)＝3，
∴4x－1＝3，∴x0＝1.
∴y0＝x－x0＝0，故选C.
4．函数f(x)＝x－lnx的递增区间为( )
A．(－∞，1) B．(0,1)
C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)
[答案] C
[解析] 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－，令f′(x)>0，即1－>0，
∴<1，∴x>1，故选C.
5．函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( )
A．－2 B．0
C．2 D．4
[答案] C
[解析] f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，
f′(x)＝0得x＝0或2(舍去)
又f(0)＝2，f(1)＝0，f(－1)＝－2
∴f(x)在区间[－1,1]上的最大值为2.
6．(2014·浙江杜桥中学期中)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
[答案] D
[解析] f ′(x)＝3x2＋2ax＋3，由条件知，x＝－3是方程f ′(x)＝0的实数根，∴a＝5.
7．三次函数f(x)＝mx3－x在(－∞，＋∞)上是减函数，则m的取值范围是( )
A．m<0 B．m<1
C．m≤0 D．m≤1
[答案] C
[解析] f′(x)＝3mx2－1，由题意知3mx2－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，当m＝0时，－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立；
当m≠0时，由题意得m<0，
综上可知m≤0.
8．已知抛物线y＝－2x2＋bx＋c在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，则b＋c的值为( )
A．20 B．9
C．－2 D．2
[答案] C
[解析] 由题意得y′|x＝2＝1，又y′＝－4x＋b，
∴－4×2＋b＝1，∴b＝9，
又点(2，－1)在抛物线上，
∴c＝－11，∴b＋c＝－2，故选C.
9．函数f(x)＝excosx的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角的余弦值为( )
A．－ B．
C． D．1
[答案] C
[解析] f ′(x)＝excosx－exsinx，∴f ′(0)＝1.
设f(x)在点(0，f(0))处切线的倾斜角为α，则tanα＝1，
∵α∈(0，π)，∴α＝，∴cosα＝.
10．三次函数当x＝1时，有极大值4；当x＝3时，有极小值0，且函数过原点，则此函数是( )
A．y＝x3＋6x2＋9x B．y＝x3－6x2＋9x
C．y＝x3－6x2－9x D．y＝x3＋6x2－9x
[答案] B
[解析] 设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，
∵函数图象过原点，∴d＝0.f ′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
由题意得，，即，
解得，
∴f(x)＝x3－6x2＋9x，故应选B.
11．设函数f(x)的图象如图，则函数y＝f ′(x)的图象可能是下图中的( )
[答案] D
[解析] 解法一：由y＝f(x)图象知有两个极值点，第一个是极大值点，第二个是极小值点，由极值意义知．选D.
解法二：观察f(x)的图象可见f(x)的单调性为增、减、增，故f ′(x)的值为正、负、正，故选D.
12．若关于x的不等式x3－3x2－9x＋2≥m对任意x∈[－2，2]恒成立，则m的取值范围是( )
A．(－∞，7] B．(－∞，－20]
C．(－∞，0] D．[－12,7]
[答案] B
[解析] 令f(x)＝x3－3x2－9x＋2，则f′(x)＝3x2－6x－9，令f′(x)＝0得x＝－1或x＝3(舍去)．
∵f(－1)＝7，f(－2)＝0，
f(2)＝－20.
∴f(x)的最小值为f(2)＝－20，
故m≤－20，综上可知应选B.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)
13．f(x)＝ax3－2x2－3，若f′(1)＝5，则a等于________．
[答案] 3
[解析] ∵f′(x)＝3ax2－4x，
∴f′(1)＝3a－4＝5，∴a＝3.
14．已知函数f(x)＝x3－x2＋cx＋d有极值，则c的取值范围为________．
[答案] c<
[解析] ∵f′(x)＝x2－x＋c且f(x)有极值，
∴f′(x)＝0有不等的实数根，即Δ＝1－4c>0.
解得c<.
15．函数y＝f(x)＝lnx－x在区间(0，e]上的最大值为__________________．
[答案] －1
[解析] f′(x)＝－1，令f′(x)＝0，即x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0,1)
1
(1，e)
e
f′(x)
＋
0
－
f(x)
单调递增
极大值－1
单调递减
1－e
由于f(e)＝1－e，而－1>1－e，从而f(x)max＝f(1)＝－1.
16．设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则a的取值范围是________．
[答案] a<－1
[解析] ∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.
当a≥0时，y不可能有极值点，故a<0.
由ex＋a＝0，得ex＝－a，∴x＝ln(－a)．
∴x＝ln(－a)即为函数的极值点．
∴ln(－a)>0，即ln(－a)>ln1.
∴a<－1.
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)已知f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a、b的值．
[解析] 显然a≠0(否则f(x)＝b与题设矛盾)，由f ′(x)＝3ax2－12ax＝0及x∈[－1,2]得，x＝0.
(1)当a>0时，列表：
x
(－1,0)
0
(0,2)
f ′(x)
＋
0
－
f(x)
递增
极大值b
递减
由上表知，f(x)在[－1,0]上是增函数，
f(x)在[0,2]上是减函数．
且当x＝0时，f(x)有最大值，从而b＝3.
又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3，
∵a>0，∴f(－1)>f(2)，
从而f(2)＝－16a＋3＝－29，∴a＝2.
(2)当a<0时，用类似的方法可判断当x＝0时，f(x)有最小值，当x＝2时，f(x)有最大值，
从而f(0)＝b＝－29，f(2)＝－16a－29＝3，得a＝－2.
综上，a＝2、b＝3或a＝－2、b＝－29.
18．(本题满分12分)已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.
(1)求f(x)的单调递减区间；
(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
[解析] (1)f ′(x)＝－3x2＋6x＋9.
令f ′(x)<0，解得x<－1，或x>3，
∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)和(3，＋∞)．
(2)∵f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，
f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，∴f(2)>f(－2)．
∵在(－1,3)上f ′(x)>0，
∴f(x)在(－1,2]上单调递增．
又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，因此f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值．
于是有22＋a＝20，解得a＝－2，
∴f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2.
∴f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7.
19．(本题满分12分)设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d(a>0)，且方程f ′(x)－9x＝0的两个根分别为1、4.若f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点，求a的取值范围．
[解析] 由f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d，得f ′(x)＝ax2＋2bx＋c.
因为f ′(x)－9x＝0，即ax2＋2bx＋c－9x＝0的两个根分别为1、4，
所以(*)
由于a>0，所以“f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在(－∞，＋∞)内无极值点”等价于“f ′(x)＝ax2＋2bx＋c≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”．
由(*)式得2b＝9－5a，c＝4a.
又Δ＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9)．
由得1≤a≤9，
即a的取值范围是[1,9]．
20．(本题满分12分)(2012·安徽文，17)设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝ax＋＋b(a>0)．
(1)求f(x)的最小值；
(2)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x，求a、b的值．
[解析] (1)由题设和均值不等式可知，f(x)＝ax＋＋b≥2＋b，
其中等号成立当且仅当ax＝1，
即当x＝时，f(x)取最小值为2＋b.
(2)f ′(x)＝a－，
由题设知，f ′(1)＝a－＝，
解得a＝2或a＝－(不合题意，舍去)．
将a＝2代入f(1)＝a＋＋b＝，解得b＝－1，
所以a＝2，b＝－1.
[点评] 本题考查均值不等式，导数应用，方程求解等基础内容．在应用均值不等式时保证“一定、二正、三相等”，并明确等号成立的条件．第(1)问也可用导数研究其单调性再求最小值．
21．(本题满分12分)已知函数f(x)＝ax3＋bx(x∈R)．
(1)若函数f(x)的图象在点x＝3处的切线与直线24x－y＋1＝0平行，函数f(x)在x＝1处取得极值，求函数f(x)的解析式，并确定函数的单调递减区间；
(2)若a＝1，且函数f(x)在[－1,1]上是减函数，求b的取值范围．
[解析] (1)∵f(x)＝ax3＋bx(x∈R)，
∴f′(x)＝3ax2＋b.
由题意得f′(3)＝27a＋b＝24，
且f′(1)＝3a＋b＝0，
解得a＝1，b＝－3.
经检验成立．
∴f(x)＝x3－3x.
令f′(x)＝3x2－3<0，
得－1∴函数f(x)的减区间为(－1,1)．
(2)当a＝1时，f(x)＝x3＋bx(x∈R)，
又∵f(x)在区间[－1,1]上是减函数，
∴f′(x)＝3x2＋b≤0在区间[－1,1]上恒成立，
即b≤－3x2在区间[－1,1]上恒成立，
∴b≤(－3x2)min＝－3.
22．(本题满分14分)(2014·通化模拟)统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y(L)关于行驶速度x(km/h)的函数解析式可以表示为y＝x3－x＋8(0(1)当汽车以40km/h的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
[解析] (1)当x＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了＝2.5(h)，
耗油×2.5＝17.5(L)．
答：当汽车以40km/h的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5L.
(2)当速度为xkm/h时，汽车从甲地到乙地行驶了h，设耗油量为h(x)L.
依题意得h(x)＝·
＝x2＋－ (0h ′(x)＝－＝(0令h ′(x)＝0，得x＝80.
当x∈(0,80)时，h ′(x)<0，h(x)是减函数；
当x∈(80,120]时，h ′(x)>0，h(x)是增函数．
∴当x＝80时，h(x)取到极小值h(80)＝11.25(L)．
因为h(x)在(0,120]上只有一个极小值，所以它是最小值．
答：当汽车以80km/h的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25L.
