选修1-1 第三章 3.1 第1课时
一、选择题
1．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x；②y＝x2；③y＝x3；④y＝中．平均变化率最大的是( )
A．④ B．③
C．② D．①
[答案] B
[解析] ①的平均变化率为1，②的平均变化率为2.3，③的平均变化率为3.99，④的平均变化率为－0.77.
2．已知函数y＝，当x由2变为1.5时，函数的增量为( )
A．1 B．2
C． D．
[答案] C
[解析] Δy＝－＝.
3．设函数f(x)在x＝1处存在导数，则 ＝( )
A．f ′(1) B．3f ′(1)
C．f ′(1) D．f ′(3)
[答案] C
[解析]
＝ ＝f ′(1)．
4．质点M的运动规律为s＝4t＋4t2，则质点M在t＝t0时的速度为( )
A．4＋4t0 B．0
C．8t0＋4 D．4t0＋4t
[答案] C
[解析] Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝4Δt2＋4Δt＋8t0Δt，
＝4Δt＋4＋8t0，
＝ (4Δt＋4＋8t0)＝4＋8t0.
5．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则( )
A．f ′(x)＝a B．f ′(x)＝b
C．f ′(x0)＝a D．f ′(x0)＝b
[答案] C
[解析] ∵f ′(x0)＝
＝ ＝ (a＋bΔx)＝a.
∴f ′(x0)＝a.
6．函数y＝x＋在x＝1处的导数是( )
A．2 B．
C．1 D．0
[答案] D
[解析] Δy＝(Δx＋1)＋－1－1＝Δx＋，
＝1－，
＝ ＝1－1＝0，
∴函数y＝x＋在x＝1处的导数为0.
二、填空题
7．函数y＝在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为________．
[答案] －
[解析] ∵Δy＝－，
∴y＝在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为
＝
＝－.
8．若f′(x0)＝2，则 的值为________．
[答案] －1
[解析]
＝－
＝－f′(x0)＝－×2＝－1.
9．已知函数f(x)＝2x－3，则f′(5)＝________.
[答案] 2
[解析] ∵Δy＝f(5＋Δx)－f(5)
＝[2(5＋Δx)－3]－(2×5－3)＝2Δx，
∴＝2，
∴f′(5)＝ ＝2.
三、解答题
10．一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，求此物体在t＝2时的瞬时速度．
[解析] 由于Δs＝3(2＋Δt)－(2＋Δt)2－(3×2－22)
＝3Δt－4Δt－Δt2＝－Δt－Δt2，
∴＝＝－1－Δt.
∴v＝ ＝ (－1－Δt)＝－1.
∴物体在t＝2时的瞬时速度为－1.
一、选择题
11．一个物体的运动方程是s＝2t2＋at＋1，该物体在t＝1的瞬时速度为3，则a＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．7
[答案] A
[解析] Δs＝2(1＋Δt)2＋a(1＋Δt)＋1－(2＋a＋1)＝Δt2＋(4＋a)Δt，
由条件知 ＝ (Δt＋4＋a)＝4＋a＝3，
∴a＝－1.
12．质点运动规律为s＝2t2＋5，则在时间(3,3＋Δt)中，相应的平均速度等于( )
A．6＋Δt B．12＋Δt＋
C．12＋2Δt D．12
[答案] C
[解析] ＝
＝12＋2Δt.
13．f(x)在x＝a处可导，则 等于( )
A．f ′(a) B．f ′(a)
C．4f ′(a) D．2f ′(a)
[答案] D
[解析]
＝
＝ ＋
＝f ′(a)＋f ′(a)＝2f ′(a)．
二、填空题
14．若f ′(x)＝3，则 ＝________.
[答案] 6
[解析]
＝2·
＝2 ＝2f ′(x)＝6.
15．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为________．
[答案]
[解析] ∵Δy＝π×23－π×13＝，
∴＝＝.
三、解答题
16．求导数f(x)＝3x－在x＝1处的导数．
[解析] Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝3(1＋Δx)－－1
＝2＋3Δx－＝3Δx＋，
＝＝3＋，
∴ ＝ (3＋)＝5，∴f′(1)＝5.
17．一物体的运动方程如下：(单位：m，时间：s)s＝.
求：(1)物体在t∈[3,5]时的平均速度；
(2)物体的初速度v0；
(3)物体在t＝1时的瞬时速度．
[解析] (1)∵物体在t∈[3,5]时的时间变化量为Δt＝5－3＝2，
物体在t∈[3,5]时的位移变化量为
Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，
∴物体在t∈[3,5]时的平均速度为
＝＝24(m/s)．
(2)求物体的初速度v0即求物体在t＝0时的瞬时速度．
∵物体在t＝0附近的平均变化率为
＝
＝＝3Δt－18，
∴物体在t＝0处的瞬时变化率为
＝ (3Δt－18)＝－18，
即物体的初速度为－18m/s.
(3)物体在t＝1时的瞬时速度即为函数在t＝1处的瞬时变化率．
∵物体在t＝1附近的平均变化率为
＝
＝
＝3Δt－12，
∴物体在t＝1处的瞬时变化率为 ＝ (3Δt－12)＝－12，
即物体在t＝1时的瞬时速率为－12m/s.
课件32张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 · 选修1-1 1-2 圆锥曲线与方程第三章3.1 变化率问题与导数的概念
第1课时 变化率问题与导数的概念第三章1.理解函数在某点的平均变化率的概念并会求此变化率．
2．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵.重点：函数在某一点的平均变化率，瞬时变化率、导数的概念．
难点：导数的概念的理解.1．我们都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢．从数学的角度，如何描述这种现象呢？变化率问题思维导航 思维导航
2．在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)的函数关系为h＝h(t)，h是否随t的变化均匀变化？斜率 物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？如何描述物体在某一时刻的运动状态？函数在某点处的导数思维导航 [答案] C2．一物体的运动方程是s＝3＋2t，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度是( )
A．0.41 B．2
C．0.3 D．0.2
[答案] B3．如果质点A的运动方程是s(t)＝2t3，则在t＝3秒时的瞬时速度为( )
A．6 B．18
C．54 D．81
[答案] C4．已知f(x)＝x2－3x，则f ′(0)＝( )
A．Δx－3 B．(Δx)2－3Δx
C．－3 D．0
[答案] C平均变化率 [分析] 直接利用概念求平均变化率，先求出表达式，再直接代入数据就可以得出相应的平均变化率．某质点沿曲线运动的方程为f(x)＝－2x2＋1(x表示时间，f(x)表示位移)，则该质点从x＝1到x＝2的平均速度为( )
A．－4 B．－8
C．6 D．－6
[答案] D 瞬时变化率 已知物体的运动方程是S＝－4t2＋16t(S的单位为m；t的单位为s)，则该物体在t＝2s时的瞬时速度为( )
A．3m/s B．2m/s
C．1m/s D．0m/s
[答案] D利用定义求函数在某点处的导数 求y＝f(x)＝x3＋2x＋1在x＝1处的导数．[辨析] 错误的原因是由于对导数的定义理解不清，函数值f(x0－Δx)－f(x0)所对应的自变量的改变量为(x0－Δx)－x0＝－Δx.选修1-1 第三章 3.1 第2课时
一、选择题
1．曲线y＝x3－3x在点(2,2)的切线斜率是( )
A．9 B．6
C．－3 D．－1
[答案] A
[解析] Δy＝(2＋Δx)3－3(2＋Δx)－23＋6＝9Δx＋6Δx2＋Δx3，
＝9＋6Δx＋Δx2，
＝ (9＋6Δx＋Δx2)＝9，
由导数的几何意义可知，曲线y＝x3－3x在点(2,2)处的切线斜率是9.
2．如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么( )
A．f ′(x0)＞0 B．f ′(x0)＜0
C．f ′(x0)＝0 D．f ′(x0)不存在
[答案] B
[解析] 由导数的几何意义可知f ′(x0)＝－<0，故选B.
3．曲线y＝x3－2在点(－1，－)处切线的倾斜角为( )
A．30° B．45°
C．135° D．60°
[答案] B
[解析] Δy＝(－1＋Δx)3－×(－1)3＝Δx－Δx2＋Δx3，＝1－Δx＋Δx2，
＝ (1－Δx＋Δx2)＝1，
∴曲线y＝x3－2在点处切线的斜率是1，倾斜角为45°.
4．曲线y＝x3－2x＋1在点(1,0)处的切线方程为( )
A．y＝x－1 B．y＝－x＋1
C．y＝2x－2 D．y＝－2x＋2
[答案] A
[解析] ∵f′(x)＝
＝
＝ (Δx2＋3x·Δx＋3x2－2)
＝3x2－2，
∴f′(1)＝3－2＝1，
∴切线的方程为y＝x－1.
5．设f(x)为可导函数且满足 ＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为( )
A．2 B．－1
C．1 D．－2
[答案] B
[解析]
＝
＝
＝f ′(1)＝－1.
6．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
[答案] A
[解析] 由已知点(0，b)是切点．
Δy＝(0＋Δx)2＋a(0＋Δx)＋b－b
＝(Δx)2＋aΔx，
∴＝Δx＋a，y′|x＝0＝ ＝a.
∵切线x－y＋1＝0的斜率为1，∴a＝1.
又切点(0，b)在切线上，∴b＝1.
二、填空题
7．已知函数f(x)＝x3＋2，则f ′(2)＝________.
[答案] 12
[解析] f ′(2)＝
＝
＝[4＋4Δx＋(Δx)2＋4＋2Δx＋4]
＝[12＋6Δx＋(Δx)2]＝12.
8．若抛物线y＝x2与直线2x＋y＋m＝0相切，则m＝__________________.
[答案] 1
[解析] 设切点为P(x0，y0)，易知，y′|x＝x0＝2x0.
由，得，即P(－1,1)，
又P(－1,1)在直线2x＋y＋m＝0上，
故2×(－1)＋1＋m＝0，即m＝1.
9．曲线y＝x2－3x的一条切线的斜率为1，则切点坐标为________．
[答案] (2，－2)
[解析] 设切点坐标为(x0，y0)，
y′|x＝x0＝
＝ ＝2x0－3＝1，
故x0＝2，y0＝x－3x0＝4－6＝－2，故切点坐标为(2，－2)．
三、解答题
10．直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：y＝x3－x2＋1相切．
(1)求切点的坐标；
(2)求a的值．
[解析] (1)设直线l与曲线C相切于P(x0，y0)点．
f ′(x)＝
＝
＝3x2－2x.
由题意知，k＝1，即3x－2x0＝1，解得x0＝－或x0＝1.
于是切点的坐标为或(1,1)．
(2)当切点为时，＝－＋a，a＝；
当切点为(1,1)时，1＝1＋a，a＝0(舍去)．
∴a的值为，切点坐标为(－，).
一、选择题
11．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于( )
A．1 B．
C．－ D．－1
[答案] A
[解析] ∵y′|x＝1＝
＝
＝ (2a＋aΔx)＝2a，
∴2a＝2，∴a＝1.
12.已知函数y＝f(x)的图象如图，f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )
A．0>f′(xA)>f′(xB)
B．f′(xA)
C．f′(xA)＝f′(xB)
D．f′(xA)>f′(xB)>0
[答案] B
[解析] f′(xA)和f′(xB)分别表示函数图象在点A，B处的切线斜率，故f′(xA)13．已知直线ax－by－2＝0与曲线y＝x3在点P(1,1)处的切线互相垂直，则为( )
A． B．－
C． D．－
[答案] D
[解析] 由导数的定义可得y′＝3x2，
∴y＝x3在点P(1,1)处的切线斜率k＝y′|x＝1＝3，
由条件知，3×＝－1，∴＝－.
二、填空题
14．函数y＝f(x)的图象在点P(5，f(5))处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f ′(5)＝________.
[答案] 2
[解析] 由条件知，f(5)＝－5＋8＝3，f ′(5)＝－1，
∴f(5)＋f ′(5)＝2.
15．曲线y＝x3在点(1,1)处的切线与x轴、x＝2所围成的三角形的面积为________．
[答案]
[解析] y′＝ ＝3x2，所以k＝y′|x＝1＝3×1＝3，所以在点(1,1)处的切线方程为y＝3x－2，它与x轴的交点为，与x＝2的交点为(2,4)，所以S＝××4＝.
三、解答题
16．已知曲线y＝x2，求过点P(2,1)的切线方程．
[分析] 点P(2,1)不在曲线y＝x2上，所以点P不是切点，应先求出切点坐标，再求切线方程．
[解析] 设切点为Q(x0，y0)，
∵y′＝ ＝ (2x＋Δx)＝2x，
∴斜率k＝2x0＝＝，
解得x0＝2＋或x0＝2－，
∴切线方程为y－1＝2x0(x－2)，
即2(2＋)x－y－7－4＝0，
或2(2－)x－y－7＋4＝0.
17．已知曲线C：y＝经过点P(2，－1)，求
(1)曲线在点P处的切线的斜率．
(2)曲线在点P处的切线的方程．
(3)过点O(0,0)的曲线C的切线方程．
[解析] (1)将P(2，－1)代入y＝中得t＝1，
∴y＝.
∴＝＝＝，
∴ ＝，
∴曲线在点P处切线的斜率为k＝y′|x＝2＝＝1.
(2)曲线在点P处的切线方程为y＋1＝1×(x－2)，即x－y－3＝0.
(3)∵点O(0,0)不在曲线C上，设过点O的曲线C的切线与曲线C相切于点M(x0，y0)，则切线斜率k＝＝，
由于y0＝，∴x0＝，∴切点M(，2)，切线斜率k＝4，切线方程为y－2＝4(x－)，即y＝4x.
课件41张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 · 选修1-1 1-2 圆锥曲线与方程第三章3.1 变化率问题与导数的概念
第2课时 导数的几何意义第三章1.了解导函数的概念，通过函数图象直观地理解导数的几何意义．
2．会求导函数，能根据导数的几何意义求曲线上某点处的切线方程.重点：理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．
难点：对导数几何意义的理解.导数的几何意义新知导学 切线 切线的斜率 4．深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系
(1)函数在一点处的导数f ′(x0)是一个_____，不是变量．
(2)函数的导数，是针对某一区间内任意点x而言的．函数f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，是指对于区间(a，b)内的每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数f ′(x0)．根据函数的定义，在开区间(a，b)内就构成了一个新的函数，就是函数f(x)的导函数__________．常数f ′(x)
(3)函数y＝f(x)在点x0处的导数f ′(x0)就是导函数f ′(x)在点x＝x0处的_________，即f ′(x0)＝______________.
5．导数的物理意义：物体的运动方程s＝s(t)在点t0处的导数s′(t0)，就是物体在t0时刻的__________．
函数值f ′(x)|x＝x0瞬时速度牛刀小试
1．(2014·三峡名校联盟联考)曲线y＝x2在点P(1,1)处的切线方程为( )
A．y＝2x B．y＝2x－1
C．y＝2x＋1 D．y＝－2x
[答案] B[答案] B[答案] x＋y－2＝0[答案] y＝2x－1求切线方程 [方法规律总结] 1.求曲线在点P(x0，y0)处切线的步骤：
(1)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f ′(x0)；
(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f ′(x0)(x－x0)；
2．过曲线外的点P(x1，y1)求曲线的切线方程的步骤：
(1)设切点为Q(x0，y0)；
(2)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f ′(x0)；
(3)利用Q在曲线上和f ′(x0)＝kPQ，解出x0，y0及f ′(x0)．
(4)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f ′(x0)(x－x0)．
3．要正确区分曲线y＝f(x)在点P处的切线，与过点P的曲线y＝f(x)的切线．
4．f ′(x0)>0时，切线的倾斜角为锐角；f ′(x0)<0时，切线的倾斜角为钝角；f ′(x0)＝0时，切线与x轴平行．f(x)在x0处的导数不存在，则切线垂直于x轴或不存在．已知曲线方程为y＝x2，求：
(1)过点A(2,4)且与曲线相切的直线方程；
(2)过点B(3,5)且与曲线相切的直线方程．求切点坐标 [答案] D
[方法规律总结] 求切点坐标时，先根据切线与导数的关系，求出切线方程，再求切线与曲线的交点，找出切点．设P0为曲线f(x)＝x3＋x－2上的点，且曲线在P0处切线平行于直线y＝4x－1，则P0点的坐标为( )
A．(1,0) B．(2,8)
C．(1,0)或(－1，－4) D．(2,8)或(－1，－4)
[答案] C[分析] 抛物线上到直线y＝4x－5的距离最短的点，是平移该直线与抛物线相切时的切点．解答本题可先求导函数，再求P点的坐标．最值问题
[方法规律总结] 求最值问题的基本思路：(1)目标函数法：通过设变量构造目标函数，利用函数求最值；(2)数形结合法：根据问题的几何意义，利用图形的特殊位置求最值．曲线y＝－x2上的点到直线x－y＋3＝0的距离的最小值为________．
[辨析] 上述解法错在将点(1,1)当成了曲线y＝x3＋1上的点．因此在求过某点的切线时，一定要先判断点是否在曲线上，再据不同情况求解．选修1-1 第三章 3.2 第1课时
一、选择题
1．设y＝e3，则y′等于( )
A．3e2 B．e2
C．0 D．以上都不是
[答案] C
[解析] ∵y＝e3是一个常数，∴y′＝0.
2．已知函数f(x)＝x3的切线的斜率等于3，则切线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．不确定
[答案] B
[解析] ∵f′(x)＝3x2＝3，解得x＝±1.切点有两个，即可得切线有两条．
3．若y＝ln x，则其图象在x＝2处的切线斜率是( )
A．1 B．0
C．2 D．
[答案] D
[解析] ∵y′＝，∴y′|x＝2＝，故图象在x＝2处的切线斜率为.
4．y＝xα在x＝1处切线方程为y＝－4x，则α的值为( )
A．4 B．－4
C．1 D．－1
[答案] B
[解析] y′＝(xα)′＝αxα－1，
由条件知，y′|x＝1＝α＝－4.
5．f(x)＝，则f′(－1)＝( )
A． B．－
C． D．－
[答案] D
[解析] ∵f(x)＝x－，
∴f′(x)＝－x－，
∴f′(－1)＝－(－1)－＝－.
??6.函数y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴围成三角形的面积为( )
A．e2 B．2e2
C．e2 D．
[答案] D
[解析] ∵y′|x＝2＝e2，
∴切线方程为y－e2＝e2(x－2)．
当x＝0时，y＝－e2，当y＝0时，x＝1.
故切线与坐标轴围成三角形面积为×|－e2|×1＝，故选D.
二、填空题
7．曲线y＝xn在x＝2处的导数为12，则n等于________．
[答案] 3
[解析] y′＝nxn－1，∴y′|x＝2＝n2n－1＝12，∴n＝3.
8．质点沿直线运动的路程与时间的关系是s＝，则质点在t＝32时的速度等于________．
[答案]
[解析] ∵s′＝()′＝(t)′＝t－，
∴质点在t＝32时的速度为×32－＝×(25)－
＝.
9．在曲线y＝上求一点P，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P点坐标为________．
[答案] (2,1)
[解析] 设P(x0，y0)，
∵y′＝′＝(4x－2)′＝－8x－3，tan135°＝－1，
∴－8x＝－1.
∴x0＝2，y0＝1.
三、解答题
10．求证双曲线y＝上任意一点P处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为定值．
[解析] 设双曲线上任意一点P(x0，y0)，
∵y′＝－，
∴点P处的切线方程y－y0＝－(x－x0)．
令x＝0，得y＝y0＋＝；
令y＝0，得x＝x0＋xy0＝2x0.
∴S△＝|x|·|y|＝2.
∴三角形面积为定值2.
一、选择题
11．(2014·北京东城区联考)曲线y＝x3在x＝1处切线的倾斜角为( )
A．1 B．－
C． D．
[答案] C
[解析] ∵y＝x3，∴y′|x＝1＝1，∴切线的倾斜角α满足tanα＝1，∵0≤α<π，∴α＝.
12．给出下列结论：
①若y＝，则y′＝－；
②y＝，则y′＝；
③y＝log2x，则y′＝；
④y＝cosx，则y′＝sinx；
⑤已知f(x)＝3x，则f ′(2)＝[f(2)]′.
其中正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] A
[解析] y＝＝x－3，y′＝－3x－4＝－，故①正确；y＝＝x，y′＝x－＝，故②不正确；y＝log2x，y′＝；故③不正确；y＝cosx，y′＝－sinx，故④不正确；∵f(2)为常数，∴[f(2)]′＝0，又f ′(2)＝2xln2，
∴⑤错误．
13．已知直线y＝kx是y＝ln x的切线，则k的值为( )
A． B．－
C． D．－
[答案] C
[解析] y′＝＝k，∴x＝，切点坐标为，
又切点在曲线y＝lnx上，∴ln＝1，∴＝e，k＝.
14．正弦曲线y＝sinx上切线的斜率等于的点为( )
A．(，)
B．(－，－)或(，)
C．(2kπ＋，)
D．(2kπ＋，)或(2kπ－，－)
[答案] D
[解析] 设斜率等于的切线与曲线的切点为P(x0，y0)，∵y′|x＝x0＝cosx0＝，
∴x0＝2kπ＋或2kπ－，∴y0＝或－.
二、填空题
15．两曲线y＝与y＝在交点处的两切线的斜率之积为________．
[答案] －
[解析] 两曲线y＝与y＝的交点坐标为(1,1)，
∴k1＝()′|x＝1＝－|x＝1＝－1，
k2＝()′|x＝1＝|x＝1＝.
∴k1·k2＝－.
三、解答题
16．已知曲线C：y＝x3.
(1)求曲线C上点(1,1)处的切线方程；
(2)在(1)中的切线与曲线C是否还有其他公共点？
[解析] (1)∵y′＝3x2，
∴切线斜率k＝3，
∴切线方程y－1＝3(x－1)，
即3x－y－2＝0.
(2)由消去y得，3x－x3－2＝0，
∴(x－1)2(x＋2)＝0，
∴x1＝1，x2＝－2.
∴其他公共点为(1,1)及(－2，－8)．
17．已知函数y＝asinx＋b的图象过点A(0,0)，B(，－1)，试求函数在原点处的切线方程．
[解析] ∵y＝asinx＋b的图象过点A(0,0)，B(，－1)，
∴，解得.
∴y＝sinx.
又∵y′＝cosx，∴y′|x＝0＝1.
∴切线方程为y＝x.
课件31张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 · 选修1-1 1-2 圆锥曲线与方程第三章3.2 导数的计算
第1课时 几个常用函数的导数
及基本初等函数的导数公式第三章重点：常数函数、幂函数的导数及导数公式的应用．
难点：由常见幂函数的求导公式发现规律，得到幂函数的求导公式.几个常用函数的导数基本初等函数的导数公式 nxn－1 2．若f(x)＝sinx，则f ′(x)＝________.
若f(x)＝cosx，则f ′(x)＝__________.
3．若f(x)＝ax，则f ′(x)＝__________．
若f(x)＝ex，则f ′(x)＝_______.
4．若f(x)＝logax，则f ′(x)＝_____________________．
若f(x)＝lnx，则f ′(x)＝__________.cosx－sinxaxlna(a>0)ex
牛刀小试
2．函数f(x)＝0的导数是( )
A．0 B．1
C．不存在 D．不确定
[答案] A
[解析] 常数函数的导数为0.[答案] D[答案] A导数公式的直接应用
[方法规律总结] 1.用导数的定义求导是求导数的基本方法，但运算较繁．利用常用函数的导数公式，可以简化求导过程，降低运算难度．
2．利用导数公式求导，应根据所给问题的特征，恰当地选择求导公式，将题中函数的结构进行调整．如将根式、分式转化为指数式，利用幂函数的求导公式求导．求某一点处的导数
[方法规律总结] 求函数在某点处的导数的步骤：先求导函数，再代入变量的值求导数．利用导数公式求切线方程
[方法规律总结] 1.求切线方程的步骤：
(1)利用导数公式求导数．
(2)求斜率．
(3)写出切线方程．
注意导数为0和导数不存在的情形．曲线y＝ex在点(0,1)处的切线斜率为( )
A．1 B．2
C．e D．
[答案] A
[解析] ∵y＝ex，∴y′＝ex，
∴曲线y＝ex在点(0,1)处的切线斜率k＝e0＝1.[错解] ∵y′＝(2x)′＝x·2x－1，
∴y′|x＝1＝1，又x＝1时，y＝2，
∴切线方程为y－2＝x－1，
即x－y＋1＝0.
[辨析] y＝2x是指数函数，而不是幂函数，错解将幂函数y＝xα(α∈Q)与指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的导数公式记混用错．
[正解] ∵y′＝(2x)′＝2xln2，
∴y′|x＝1＝2ln2，
又x＝1时，y＝2，
∴切线方程为y－2＝2ln2(x－1)，
即2xln2－y－2ln2＋2＝0.选修1-1 第三章 3.2 第2课时
一、选择题
1．曲线y＝－x2＋3x在点(1,2)处的切线方程为( )
A．y＝x＋1 B．y＝－x＋3
C．y＝x＋3 D．y＝2x
[答案] A
[解析] y′＝－2x＋3，∴曲线在点(1,2)处的切线的斜率k＝－2＋3＝1，∴切线方程为y－2＝x－1，即y＝x＋1.
2．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f ′(－1)＝4，则a的值是( )
A． B．
C． D．
[答案] D
[解析] f ′(x)＝3ax2＋6x，
∵f ′(－1)＝3a－6，
∴3a－6＝4，∴a＝.
3．曲线运动方程为s＝＋2t2，则t＝2时的速度为( )
A．4 B．8
C．10 D．12
[答案] B
[解析] s′＝′＋(2t2)′＝＋4t，
∴t＝2时的速度为：s′|t＝2＝＋8＝8.
4．函数y＝的导数是( )
A．－ B．－sinx
C．－ D．－
[答案] C
[解析] y′＝′＝
＝.
5．(2014·山西六校联考)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋lnx，则f′(e)( )
A．e－1 B．－1
C．－e－1 D．－e
[答案] C
[解析] ∵f(x)＝2xf′(e)＋lnx，∴f′(x)＝2f′(e)＋，
∴f′(e)＝2f′(e)＋，解得f′(e)＝－，故选C.
6．(2014·泸州市一诊)若曲线f(x)＝x－在点(a，f(a))处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝( )
A．64 B．32
C．16 D．8
[答案] A
[解析] ∵f ′(x)＝－x－，∴f ′(a)＝－a－，
∴切线方程为y－a－＝－a－(x－a)．令x＝0得y＝a－，令y＝0得x＝3a，由条件知·a－·3a＝18，
∴a＝64.
二、填空题
7．函数f(x)＝x＋，则f′(x)＝________.
[答案] 1－
[解析] f(x)＝x＋，∴f′(x)＝1－.
8．若函数f(x)＝，则f ′(π)________．
[答案]
[解析] f ′(x)＝
＝，
∴f ′(π)＝＝.
9．(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________．
[答案] 2x－y＋1＝0
[解析] ∵点(1,3)在曲线y＝x3－x＋3上，y′＝3x2－1，∴曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线的斜率为y′|x＝1＝(3x2－1)|x＝1＝2，∴切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.
三、解答题
10．函数f(x)＝x3－x2－x＋1的图象上有两点A(0,1)和B(1,0)，在区间(0,1)内求实数a，使得函数f(x)的图象在x＝a处的切线平行于直线AB.
[解析] 直线AB的斜率kAB＝－1，f ′(x)＝3x2－2x－1，
令f ′(a)＝－1 (0即3a2－2a－1＝－1，
解得a＝.
一、选择题
11．(2014·长安一中质检)设a∈R，函数f(x)＝ex＋a·e－x的导函数是f ′(x)，且f ′(x)是奇函数．若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为( )
A．ln2 B．－ln2
C． D．－
[答案] A
[解析] ∵f ′(x)＝ex－ae－x为奇函数，∴a＝1，设切点横坐标为x0，则f ′(x0)＝ex0－e－x0＝，∵ex0>0，
∴ex0＝2，∴x0＝ln2，故选A.
12．若函数f(x)＝exsinx，则此函数图象在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为( )
A． B．0
C．钝角 D．锐角
[答案] C
[解析] y′|x＝4＝(exsinx＋excosx)|x＝4＝e4(sin4＋cos4)＝e4sin(4＋)<0，故倾斜角为钝角，选C.
13．曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为( )
A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1
C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2
[答案] A
[解析] ∵y′＝＝，
∴k＝y′|x＝－1＝＝2，
∴切线方程为：y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.
14．若函数f(x)＝f′(1)x3－2x2＋3，则f′(1)的值为( )
A．0 B．－1
C．1 D．2
[答案] D
[解析] ∵f′(x)＝3f′(1)x2－4x，
∴f′(1)＝3f′(1)－4，∴f′(1)＝2.
二、填空题
15．直线y＝4x＋b是曲线y＝x3＋2x(x>0)的一条切线，则实数b＝________.
[答案] －
[解析] 设切点为(x0，y0)，则y′＝x2＋2，∴x＋2＝4，∴x0＝.
∴切点(，)在直线y＝4x＋b上，∴b＝－.
16．设a∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数是f ′(x)，若f ′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为________．
[答案] y＝－3x
[解析] f ′(x)＝3x2＋2ax＋(a－3)，
又f ′(－x)＝f ′(x)，即3x2－2ax＋(a－3)＝3x2＋2ax＋(a－3)，对任意x∈R都成立，
所以a＝0，f ′(x)＝3x2－3，f ′(0)＝－3，
曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为y＝－3x.
三、解答题
17．设函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c，其中a>0，曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y＝1.求b、c的值
[解析] 由f(x)＝x3－x2＋bx＋c，得f(0)＝c，f′(x)＝x2－ax＋b，f′(0)＝b，又由曲线y＝f(x)在点p(0，f(0))处的切线方程为y＝1，得f(0)＝1，f′(0)＝0，故b＝0，c＝1.
18．已知函数f(x)＝x3＋x－16.
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；
(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；
(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．
[解析] (1)∵f ′(x)＝3x2＋1，
∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f ′(2)＝13.
∴切线的方程为13x－y－32＝0.
(2)解法一：设切点为(x0，y0)，
则直线l的斜率为f ′(x0)＝3x＋1，
∴直线l的方程为y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16，
又∵直线l过原点(0,0)，
∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16，
整理得，x＝－8，∴x0＝－2，∴y0＝－26，k＝13.
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
解法二：设直线l的方程为y＝kx，切点为(x0，y0)，
则k＝＝，
又∵k＝f ′(x0)＝3x＋1，∴＝3x＋1，
解之得，x0＝－2，∴y0＝－26，k＝13.
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
(3)∵切线与直线y＝－＋3垂直，
∴切线的斜率k＝4.
设切点坐标为(x0，y0)，则f ′(x0)＝3x＋1＝4，
∴x0＝±1，∴，或.
∴切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，切线方程为y＝4x－18或y＝4x－14.
即4x－y－18＝0或4x－y－14＝0.
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第2课时 导数的运算法则第三章
能利用给出的基本初等函数的导数公式表和导数的四则运算法则求简单函数的导数.
重点：导数的四则运算法则及其运用．
难点：导数的四则运算法则的理解运用．思维导航
我们已经会求幂函数、指数函数、对数函数及y＝sinx，y＝cosx的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？导数的运算法则 新知导学
1．设函数f(x)、g(x)是可导函数，则：
(f(x)±g(x))′＝________________；
(f(x)·g(x))′＝_________________________．f ′(x)±g′(x)f ′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)[答案] A
[解析] ∵f(x)＝ax2＋c，∴f′(x)＝2ax，
又∵f′(1)＝2a，∴2a＝2，∴a＝1.[答案] C3．求下列函数的导数
(1)y＝2x2－3x＋1，y′＝________.
(2)y＝(x＋2)2，y′＝________.
(3)y＝sinx＋cosx，y′＝________.
(4)y＝tanx，y′＝________.
(5)y＝(x＋2)(3x－1)，y′＝________.导数的四则运算法则的应用 [解析] (1)∵y＝ax2，∴y′＝2ax，
∴抛物线在x＝1处的切线的斜率2a，
∴2a＝2，
∴a＝1，故该抛物线方程为y＝x2. 运用求导法则求切线方程 曲线y＝2x－lnx－1在点(1,1)处的切线方程为( )
A．x－y＝0 B．x＋y－2＝0
C．x＋4y－5＝0 D．x－4y－5＝0
[答案] A利用导数求参数 [解析] ∵f(x)的图象过点P(0,1)，∴e＝1.
又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．
故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e.
∴b＝0，d＝0.∴f(x)＝ax4＋cx2＋1.
[方法规律总结] 1.导数的应用中，求导数是一个基本解题环节，应仔细分析函数解析式的结构特征，根据导数公式及运算法则求导数，不具备导数运算法则的结构形式时，先恒等变形，然后分析题目特点，探寻条件与结论的联系，选择解题途径．
2．求参数的问题一般依据条件建立参数的方程求解．已知抛物线y＝ax2＋bx－7通过点(1,1)，过点(1,1)的切线方程为4x－y－3＝0，求a、b的值．
[解析] 由于抛物线y＝ax2＋bx－7经过点(1,1)，
∴1＝a＋b－7，即a＋b－8＝0 ①
又由于经过点(1,1)的抛物线的切线方程为
4x－y－3＝0，
∴经过该点的抛物线的切线斜率为4.
∵y′＝(ax2＋bx－7)′＝2ax＋b，∴2a＋b－4＝0. ②
由①、②解得a＝－4，b＝12.[辨析] 这是复合函数的导数，但复合函数的导数我们没有学习讨论过，遇到这种类型的函数求导，可先整理，再求导．
函数y＝sin2x的导数为( )
A．y′＝cos2x B．y′＝2cos2x
C．y′＝2(sin2x－cos2x) D．y′＝－sin2x
[答案] B
[解析] y′＝(sin2x)′＝(2sinxcosx)′
＝2(sinx)′·cosx＋2sinx(cosx)′
＝2cos2x－2sin2x＝2cos2x.选修1-1 第三章 3.3 第1课时
一、选择题
1．函数f(x)＝x＋lnx在(0,6)上是( )
A．单调增函数
B．单调减函数
C．在(0，)上是减函数，在(，6)上是增函数
D．在(0，)上是增函数，在(，6)上是减函数
[答案] A
[解析] ∵f ′(x)＝1＋>0，
∴函数在(0,6)上单调递增．
2．下列函数中，在区间(－1,1)上是减函数的是( )
A．y＝2－3x2 B．y＝lnx
C．y＝ D．y＝sinx
[答案] C
[解析] A中，y′＝－6x，当－10，当00对x∈(－1，1)恒成立，∴函数y＝sinx在(－1,1)上是增函数．
3．(2014·新课标Ⅱ文，11)若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]
C．[2，＋∞) D．[1，＋∞)
[答案] D
[解析] 由条件知f′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)上恒成立，∴k≥1.
把函数的单调性转化为恒成立问题是解决问题的关键．
4．二次函数y＝f(x)的图象过原点，且它的导函数y＝f ′(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y＝f(x)的图象的顶点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] C
[解析] 由题意可设f(x)＝ax2＋bx，f ′(x)＝2ax＋b，由于f ′(x)图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a>0，b>0，则f(x)＝a(x＋)2－，顶点(－，－)在第三象限，故选C.
5．设f ′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f ′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能的是( )
[答案] C
[分析] 由导函数f ′(x)的图象位于x轴上方(下方)，确定f(x)的单调性，对比f(x)的图象，用排除法求解．
[解析] 由f ′(x)的图象知，x∈(－∞，0)时，f ′(x)>0，f(x)为增函数，x∈(0,2)时，f ′(x)<0，f(x)为减函数，x∈(2，＋∞)时，f ′(x)>0，f(x)为增函数．
只有C符合题意，故选C.
6．已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且当x>0，有f′(x)>0，g′(x)>0，则当x<0时，有( )
A．f′(x)>0，g′(x)>0 B．f′(x)>0，g′(x)<0
C．f′(x)<0′，g′(x)>0 D．f′(x)<0，g′(x)<0
[答案] B
[解析] 由已知f(x)为奇函数，g(x)为偶函数．∵x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，
∴f(x)，g(x)在(0，＋∞)上递增．
∴x<0时，f(x)递增，g(x)递减．
∴x<0时f′(x)>0，g′(x)<0.
二、填空题
7．函数y＝x3－x2－x的单调递增区间为________．
[答案] (－∞，－)，(1，＋∞)
[解析] ∵y′＝3x2－2x－1＝(3x＋1)(x－1)，
∴由y′>0得，x>1或x<－.
8．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调减区间为(－1,3)，则b＝________，c＝________.
[答案] －3 －9
[解析] f′(x)＝3x2＋2bx＋c，
由条件知，即，
解得b＝－3，c＝－9.
9．(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)已知函数f(x)＝x3－ax2－3x在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．
[答案] (－∞，0]
[解析] ∵f(x)＝x3－ax2－3x，∴f ′(x)＝3x2－2ax－3，
又因为f(x)＝x3－ax2－3x在区间[1，＋∞)上是增函数，
f ′(x)＝3x2－2ax－3≥0在区间[1，＋∞)上恒成立，
∴解得a≤0，
故答案为(－∞，0]．
三、解答题
10．(2014·甘肃省金昌市二中期中)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a、b∈R)的图象过点P(1,2)，且在点P处的切线斜率为8.
(1)求a、b的值；
(2)求函数f(x)的单调区间．
[解析] (1)∵函数f(x)的图象过点P(1,2)，
∴f(1)＝2.
∴a＋b＝1. ①
又函数图象在点P处的切线斜率为8，
∴f ′(1)＝8，
又f ′(x)＝3x2＋2ax＋b，
∴2a＋b＝5. ②
解由①②组成的方程组，可得a＝4，b＝－3.
(2)由(1)得f ′(x)＝3x2＋8x－3，
令f ′(x)>0，可得x<－3或x>；
令f ′(x)<0，可得－3∴函数f(x)的单调增区间为(－∞，－3)，(，＋∞)，单调减区间为(－3，).
一、选择题
11．若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是( )
[答案] A
[解析] ∵导函数f ′(x)是增函数，∴切线的斜率随着切点横坐标的增大，逐渐增大，故选A.
12．函数f(x)＝－(aA．f(a)＝f(b) B．f(a)C．f(a)>f(b) D．f(a)，f(b)的大小关系不能确定
[答案] C
[解析] f ′(x)＝()′
＝
＝.
当x<1时，f ′(x)<0，∴f(x)为减函数，
∵af(b)．
13．(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)设函数F(x)＝是定义在R上的函数，其中f(x)的导函数f ′(x)满足f ′(x)A．f(2)>e2f(0)，f(2012)>e2012f(0)
B．f(2)e2012f(0)
C．f(2)D．f(2)>e2f(0)，f(2012)[答案] C
[解析] ∵函数F(x)＝的导数
F′(x)＝＝<0，
∴函数F(x)＝是定义在R上的减函数，
∴F(2)同理可得f(2012)14．函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f ′(x)的图象可能是( )
[答案] D
[解析] 由f(x)的图象知，f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，∴在(0，＋∞)上f ′(x)≤0，在(－∞，0)上f ′(x)≥0，故选D.
二、填空题
15．函数f(x)＝xlnx的单调减区间为________．
[答案] (0，)
[解析] 函数f(x)定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝lnx＋1.
解f′(x)<0得x<，又x>0，
∴f(x)的减区间为(0，)．
16．已知函数f(x)＝在(－2，＋∞)上单调递减，则a的取值范围是________．
[答案] (－∞，)
[解析] f′(x)＝＝，
由题意得x<－2时，f′(x)≤0恒成立，
∴2a－1≤0，∴a≤.
又当a＝时，f(x)＝＝，
此时，函数f(x)在(－2，＋∞)上不是减函数，
∴a≠.
综上可知，a的取值范围为(－∞，)．
三、解答题
17．设函数f(x)＝x3－3ax2＋3bx的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11).
(1)求a、b的值；
(2)讨论函数f(x)的单调性．
[解析] (1)f′(x)＝3x2－6ax＋3b.
因为f(x)的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)，所以f(1)＝－11，f′(1)＝－12，
即，解得a＝1，b＝－3.
(2)由a＝1，b＝－3得f′(x)＝3x2－6ax＋3b＝3(x2－2x－3)＝3(x＋1)(x－3)．
令f′(x)>0，解得x<－1或x>3；
又令f′(x)<0，解得－1故当x∈(－∞，－1)时，f(x)是增函数；
当x∈(3，＋∞)时，f(x)也是增函数；
当x∈(－1,3)时，f(x)是减函数．
18．已知f(x)＝ex－ax－1.
(1)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围；
(2)是否存在实数a使f(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
[解析] (1)∵f(x)＝ex－ax－1，
∴f′(x)＝ex－a.
∵f(x)在R上单调递增，
∴f′(x)＝ex－a≥0(等号只能在有限个点处取得)恒成立，即a≤ex，x∈R恒成立．
∵x∈R时，ex∈(0，＋∞)，∴a≤0.
(2)f′(x)＝ex－a.
若f(x)在(－∞，0]上是单调递减函数?ex－a≤0在x∈(－∞，0]时恒成立?a≥(ex)max.
当x∈(－∞，0]时，ex∈(0,1]，
∴a≥1. ①
若f(x)在[0，＋∞)上是单调递增函数
?ex－a≥0在x∈[0，＋∞)时恒成立?a≤(ex)min.
当x∈[0，＋∞)时，
ex∈[1，＋∞)，∴a≤1. ②
由①②知a＝1，故存在a＝1满足条件．
课件37张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 · 选修1-1 1-2 圆锥曲线与方程第三章3.3 导数在研究函数中的应用
第1课时 函数的单调性与导数第三章结合实例，借助几何直观图探索并了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间.重点：利用求导的方法判断函数的单调性．
难点：探索发现函数的导数与单调性的关系.函数的单调性与导函数正负的关系 负 正正
新知导学
2．设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，
(1)如果在区间(a，b)内，f ′(x)>0，则f(x)在此区间单调__________；
(2)如果在区间(a，b)内，f ′(x)<0，则f(x)在此区间内单调__________．递增递减函数的变化快慢与导数的关系
新知导学
3．如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么这个函数在这个范围内变化较_____，其图象比较________．快陡峭
牛刀小试
1．函数y＝x3＋x的单调递增区间为( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(－∞，＋∞)
[答案] D
[解析] ∵y′＝3x2＋1>0恒成立，
∴函数y＝x3＋x在(－∞，＋∞)上是增函数，故选D.[答案] C
3．函数f(x)＝2x－sinx在(－∞，＋∞)上( )
A．是增函数
B．是减函数
C．在(0，＋∞)上增，在(－∞，0)上增
D．在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上增
[答案] A
[解析] f ′(x)＝2－cosx>0在(－∞，＋∞)上恒成立．
4．若在区间(a，b)内有f ′(x)＞0，且f(a) ≥0，则在(a，b)内有( )
A．f(x)＞0 B．f(x)＜0
C．f(x)＝0 D．不能确定
[答案] A
[解析] ∵在区间(a，b)内有f ′(x)>0，且f(a)≥0，
∴函数f(x)在区间(a，b)内是递增的，且f(x)>f(a)≥0.
5．函数y＝ax3－1在(－∞，＋∞)上是减函数，则a的取值范围是________．
[答案] (0，＋∞)
[解析] ∵y′＝3ax2≤0恒成立，
∴a≤0.
当a＝0时，y＝－1不是减函数，
∴a≠0.
故a的取值范围是(0，＋∞)． 用导数求函数的单调区间 (2014·三亚市一中月考)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
[答案] D
[解析] ∵f(x)＝(x－3)ex，
∴f ′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，
由f ′(x)>0得x>2，∴选D.已知函数的单调性，确定参数的取值范围 解法二：(转化为不等式恒成立的问题)
f ′(x)＝x2－ax＋a－1.因为f(x)在(1,4)内单调递减，所以f ′(x)≤0在(1,4)上恒成立．即a(x－1)≥x2－1在(1,4)上恒成立，所以a≥x＋1，因为2又因为f(x)在(6，＋∞)上单调递增，所以f ′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立，
所以a≤x＋1，因为x＋1>7，所以a≤7时，f ′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立．
综上知5≤a≤7.
[方法规律总结] 1.已知函数f(x)在某区间A上单调求参数的值或取值范围时，一般转化为在区间A上f ′(x)≥0(f(x)单调递增时)或f ′(x)≤0(f(x)在区间A上单调递减时)恒成立求解，有时也用数形结合方法求解．
2．y＝f(x)在(a，b)内可导，f ′(x)≥0或f ′(x)≤0且y＝f(x)在(a，b)内导数为0的点仅有有限个，则y＝f(x)在(a，b)内仍是单调函数，例如：y＝x3在R上f ′(x)≥0，所以y＝x3在R上单调递增．已知函数f(x)＝ax3＋3x2－x＋1在(－∞，＋∞)上是减函数，求实数a的取值范围．
[解析] f′(x)＝3ax2＋6x－1，
由题意得3ax2＋6x－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立． 转化思想的应用——构造法证明不等式
∴函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数．
又f(1)＝1－ln1＝1＞0，
即f(x)＞0对x∈(1，＋∞)恒成立，
∴x－lnx＞0，即x＞lnx (x＞1)．
[方法规律总结] 构造函数，利用导数确定函数单调性，把证明不等式的问题转化为用单调性比较函数值大小的问题，实现了复杂问题简单化．构造法是用导数研究函数中常用到的基本方法．已知：x＞0，求证：x＞sinx.
[解析] 设f(x)＝x－sinx (x＞0)，
f ′(x)＝1－cosx≥0对x∈(0，＋∞)恒成立，
∴函数f(x)＝x－sinx在(0，＋∞)上是单调增函数，
又f(0)＝0，∴f(x)＞0对x∈(0，＋∞)恒成立，
∴x＞sinx (x＞0).[辨析] 错解的原因是忽视了函数的定义域而导致错误. 选修1-1 第三章 3.3 第2课时
一、选择题
1．(2014·新课标Ⅱ文，3)函数f(x)在x＝x0处导数存在，若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则( )
A．p是q的充分必要条件
B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
[答案] C
[解析] ∵x＝x0是f(x)的极值点，∴f′(x)＝0，即q?p，而由f′(x0)＝0，不一定得到x0是极值点，故p?/ q，故选C.
2．函数f(x)＝x3－3x的极大值与极小值的和为( )
A．0 B．－2
C．2 D．－1
[答案] A
[解析] f′(x)＝3x2－3，令f′(x)>0，得x>1或x<－1，令f′(x)<0，得－1∴函数f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上递增，在(－1,1)上递减，
∴当x＝－1时，f(x)取极大值f(－1)＝2，当x＝1时，f(x)取极小值f(1)＝－2，
∴极大值与极小值的和为0.
3．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f ′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案] A
[解析] 由f ′(x)的图象可知，函数f(x)在区间(a，b)内，先增、再减、再增、最后再减，故函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极小值点．
4．设函数f(x)＝xex，则 ( )
A．x＝1为f(x)的极大值点 B．x＝1为f(x)的极小值点
C．x＝－1为f(x)的极大值点 D．x＝－1为f(x)的极小值点
[答案] D
[解析] f′(x)＝ex＋xex＝ex(1＋x)，
令f′(x)>0，得x>－1，
令f′(x)<0，得x<－1，
∴函数f(x)在(－∞，－1)上递减，在(－1，＋∞)上递增，∴当x＝－1时，f(x)取得极小值．
5．函数y＝ax3＋bx2取得极大值或极小值时的x的值分别为0和，则( )
A．a－2b＝0 B．2a－b＝0
C．2a＋b＝0 D．a＋2b＝0
[答案] D
[解析] y′＝3ax2＋2bx由题设0和是方程3ax2＋2bx＝0的两根，∴a＋2b＝0.
6．(2012·陕西文，9)设函数f(x)＝＋lnx，则( )
A．x＝为f(x)的极大值点 B．x＝为f(x)的极小值点
C．x＝2为f(x)的极大值点 D．x＝2为f(x)的极小值点
[答案] D
[解析] 本节考查了利用导数工具来探索其极值点问题．
f′(x)＝－＋＝(1－)，
由f ′(x)＝0可得x＝2.
当02时，
f′(x)>0，∴f(x)单调递增．所以x＝2为极小值点．
对于含有对数形式的函数在求导时，不要忽视定义域．
二、填空题
7．函数f(x)＝－x3＋x2＋2x取得极小值时，x的值是________．
[答案] －1
[解析] f′(x)＝－x2＋x＋2＝－(x－2)(x＋1)，
令f′(x)>0得－12，∴函数f(x)在(－∞，－1)，(2，＋∞)上递减，在(－1,2)上递增，
∴当x＝－1时，函数f(x)取得极小值．
8．已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处取极大值，则常数c的值为________．
[答案] 6
[解析] f(x)＝x(x－c)2＝x3－2cx2＋c2x，
f ′(x)＝3x2－4cx＋c2，令f ′(2)＝0解得c＝2或6.
当c＝2时，f ′(x)＝3x2－8x＋4＝(3x－2)(x－2)，
故f(x)在x＝2处取得极小值，不合题意舍去；
当c＝6时，f ′(x)＝3x2－24x＋36＝3(x2－8x＋12)
＝3(x－2)(x－6)，故f(x)在x＝2处取得极大值．
9．函数y＝的极大值为________，极小值为________．
[答案] 1，－1
[解析] y′＝，令y′>0得－1令y′<0得x>1或x<－1，∴当x＝－1时，取极小值－1，当x＝1时，取极大值1.
三、解答题
10．设y＝f(x)为三次函数，且图象关于原点对称，当x＝时，f(x)的极小值为－1，求出函数f(x)的解析式．
[解析] 设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，因为其图象关于原点对称，∴f(－x)＝－f(x)恒成立，得ax3＋bx2＋cx＋d＝ax3－bx2＋cx－d，
∴b＝0，d＝0，即f(x)＝ax3＋cx.
由f ′(x)＝3ax2＋c，
依题意，f ′＝a＋c＝0，f＝a＋＝－1，
解之，得a＝4，c＝－3.
故所求函数的解析式为f(x)＝4x3－3x.
一、选择题
11．函数y＝x3－3x2－9x(－2A．极大值5，极小值－27 B．极大值5，极小值－11
C．极大值5，无极小值 D．极小值－27，无极大值
[答案] C
[解析] y′＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)，
∵－2∴令y′>0得－2∴函数在(－2，－1)上递增，在(－1,2)上递减，
∴当x＝－1时，f(x)取极大值f(－1)＝－1－3＋9＝5，f(x)无极小值．
12．设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋a在x＝±1处均有极值，且f(－1)＝－1，则a、b、c的值为( )
A．a＝－1，b＝0，c＝－1 B．a＝，b＝0，c＝－
C．a＝－3，b＝0，c＝－3 D．a＝3，b＝0，c＝3
[答案] C
[解析] ∵f ′(x)＝3x2＋2bx＋c，∴由题意得，
，即，
解得a＝－3，b＝0，c＝－3.
13．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为( )
A．，0 B．0，
C．－，0 D．0，－
[答案] A
[解析] f ′(x)＝3x2－2px－q，
由f ′(1)＝0，f(1)＝0得，
，解得，∴f(x)＝x3－2x2＋x.
由f ′(x)＝3x2－4x＋1＝0得x＝或x＝1，
易得当x＝时f(x)取极大值.
当x＝1时f(x)取极小值0.
14．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是( )
A．－1C．a<－1或a>2 D．a<－3或a>6
[答案] D
[解析] f ′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，
∵f(x)有极大值与极小值，
∴f ′(x)＝0有两不等实根，
∴Δ＝4a2－12(a＋6)>0，∴a<－3或a>6.
二、填空题
15．设x＝1与x＝2是函数f(x)＝alnx＋bx2＋x的两个极值点，则常数a＝________.
[答案] －
[解析] f ′(x)＝＋2bx＋1，
由题意得，∴a＝－.
16．直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是________．
[答案] (－2,2)
[解析] f ′(x)＝3x2－3，由3x2－3＝0得x＝1或－1，当x<－1，或x>1时，f ′(x)>0，f(x)单调增；当－1∴x＝－1时，f(x)取到极大值f(－1)＝2，x＝1时，f(x)取到极小值f(1)＝－2，∴欲使直线y＝a与函数f(x)的图象有相异的三个公共点，应有－2三、解答题
17．已知函数f(x)＝x3－3x2－9x＋11.
(1)写出函数的递减区间；
(2)求函数的极值．
[解析] f ′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)，
令f ′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3.
x变化时，f ′(x)的符号变化情况及f(x)的增减性如下表所示：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,3)
1
(3，＋∞)
f ′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
增
极大值f(－1)
减
极小值f(3)
增
(1)由表可得函数的递减区间为(－1,3)
(2)由表可得，当x＝－1时，函数有极大值为f(－1)＝16；当x＝3时，函数有极小值为f(3)＝－16.
课件44张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 · 选修1-1 1-2 圆锥曲线与方程第三章3.3 导数在研究函数中的应用
第2课时 函数的极值与导数第三章结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.重点：利用导数的知识求函数的极值．
难点：函数的极值与导数的关系.新知导学函数的极值与导数的关系 1．如图是函数y＝f(x)的图象，在x＝a邻近的左侧f(x)单调递______，f ′(x)_____0，右侧f(x)单调递_____，f ′(x)_____ 0，在x＝a邻近的函数值都比f(a)小，且f ′(a)______0.在x＝b邻近情形恰好相反，图形上与a类似的点还有__________ ，(e，f(e))，与b类似的点还有__________ ．
我们把点a叫做函数f(x)的极_______值点，f(a)是函数的一个极______值；把点b叫做函数f(x)的极_____值点，f(b)是函数的一个极______值．增>减<＝(c，f(c))(d，f(d))大大小小2．一般地，已知函数y＝f(x)及其定义域内一点x0，对于包含x0在内的开区间内的所有点x，如果都有__________，则称函数f(x)在点x0处取得__________，并把x0称为函数f(x)的一个__________；如果都有__________ ，则称函数f(x)在点x0处取得_________，并把x0称为函数f(x)的一个__________．极大值与极小值统称为_____，极大值点与极小值点统称为_______．f(x)f(x0)极小值极小值点极值极值点
3．理解极值概念时需注意的几点
(1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧________的点而言的．
(2)极值点是函数__________的点，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点．
(3)若f(x)在定义域[a，b]内有极值，那么f(x)在[a，b]内绝不是单调函数，即在定义域区间上的单调函数_______极值．
附近定义域内没有(4)极大值与极小值没有必然的大小关系．一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值可能大于另一点的极______值．(如图)大
牛刀小试
1．函数y＝x3＋1的极大值是( )
A．1 B．0
C．2 D．不存在
[答案] D
[解析] ∵y′＝3x2≥0在R上恒成立，
∴函数y＝x3＋1在R上是单调增函数，
∴函数y＝x3＋1无极值．[答案] A3．对于函数f(x)＝x3－3x2，给出命题：
①f(x)是增函数，无极值；
②f(x)是减函数，无极值；
③f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，单调递减区间为(0,2)；
④f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值．
其中正确的命题有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案] B
[解析] f ′(x)＝3x2－6x.
令f ′(x)＝3x2－6x>0，得x>2或x<0；
令f ′(x)＝3x2－6x<0，得0∴函数f(x)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增，在区间(0,2)上单调递减．
当x＝0和x＝2时，函数分别取得极大值0和极小值－4.故①②错，③④对．
4．若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于( )
A．2 B．3
C．6 D．9
[答案] D[分析] 首先对函数求导，然后求方程y′＝0的根，再检查y′在方程根左右的值的符号．如果左正右负，那么y在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么y在这个根处取得极小值．利用导数求函数的极值
[方法规律总结] 1.当函数f(x)在点x0处连续时，判断f(x0)是否为极大(小)值的方法是：
(1)如果在x0附近的左侧f ′(x)>0，右侧f ′(x)<0，那么f(x0)是极大值；
(2)如果在x0附近的左侧f ′(x)<0，右侧f ′(x)>0，那么f(x0)是极小值；
(3)如果f ′(x)在点x0的左、右两侧符号不变，则f(x0)不是函数f(x)的极值．
2．利用导数求函数极值的步骤：
(1)确定函数的定义域．
(2)求导数f ′(x)．
(3)解方程f ′(x)＝0得方程的根．
(4)利用方程f ′(x)＝0的根将定义域分成若干个小开区间，列表，判定导函数在各个小开区间的符号．
(5)确定函数的极值，如果f ′(x)的符号在x0处由正(负)变负(正)，则f(x)在x0处取得极大(小)值．设函数f(x)＝x3－ax2－9x的导函数为f′(x)，且f′(2)＝15.
(1)求函数f(x)的图象在x＝0处的切线方程；
(2)求函数f(x)的极值．
[解析] (1)∵f′(x)＝3x2＋2ax－9，
∵f′(2)＝15，∴12＋4a－9＝15，∴a＝3.
∴f(x)＝x3＋3x2－9x，
∴f′(x)＝3x2＋6x－9，
∴f(0)＝0，f′(0)＝－9，
∴函数在x＝0处的切线方程为y＝－9x.[分析] f(x)在x＝1处的极小值为－1包含以下的含义：一是f(1)＝－1，二是f ′(1)＝0.已知函数极值求参数 已知函数f(x)＝ax3＋bx2，当x＝1时，有极大值3.
(1)求a、b的值；
(2)求函数f(x)的极小值．
(2)f ′(x)＝－18x2＋18x＝－18x(x－1)．
当f ′(x)＝0时，x＝0或x＝1.
当f ′(x)>0时，0当f ′(x)<0时，x<0或x>1.
∴函数f(x)＝－6x3＋9x2的极小值为f(0)＝0.图象信息问题 [分析] 给出了y＝f′(x)的图象，应观察图象找出使f ′(x)>0与f ′(x)<0的x的取值范围，并区分f ′(x)的符号由正到负和由负到正，再做判断．
[答案] ③
[方法规律总结] 有关给出图象研究函数性质的题目，要分清给的是f(x)的图象还是f ′(x)的图象，若给的是f(x)的图象，应先找出f(x)的单调区间及极(最)值点，如果给的是f ′(x)的图象，应先找出f ′(x)的正负区间及由正变负还是由负变正，然后结合题目特点分析求解．函数f(x)的定义域为R，导函数f ′(x)的图象如图所示，则函数f(x)( )
A．无极大值点、有四个极小值点
B．有一个极大值点、两个极小值点
C．有两个极大值点、两个极小值点
D．有四个极大值点、无极小值点
[答案] C
[解析] 设f ′(x)与x轴的4个交点，从左至右依次为x1、x2、x3、x4，
当x0，f(x)为增函数，
当x1则x＝x1为极大值点，
同理，x＝x3为极大值点，x＝x2，x＝x4为极小值点.分类讨论思想在含参数的函数极值中的应用 [解题思路探究] 第一步，审题．审结论明确解题方向，求函数f(x)的单调区间与极值，需求f ′(x)，然后按单调性和极值与导数的关系求解；
审条件，发掘解题信息，f(x)是三次函数，f ′(x)是二次函数，由二次方程的根探求极值点和单调区间；f(x)解析式中含参数，应分类讨论．
第二步，建联系，找解题途径．
先求f ′(x)，解方程f ′(x)＝0找分界点，再按a的符号讨论单调性求极值．
第三步，规范解答．[辨析] 根据极值定义，函数先减后增为极小值，函数先增后减为极大值，上述解法未验证x＝－1时函数两侧的单调性，导致错误．
[正解] (在上述解法之后继续)当a＝1，b＝3时，f ′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，
所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去；
当a＝2，b＝9时，f ′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．
当x∈[－3，－1]时，f(x)为减函数；
当x∈[－1，＋∞)时，f(x)为增函数，
所以f(x)在x＝－1时取得极小值．因此a＝2，b＝9.选修1-1 第三章 3.3 第3课时
一、选择题
1．(2014·营口三中期中)若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx在x＝1处有极值，则a＋b等于( )
A．2 B．3
C．6 D．9
[答案] C
[解析] f ′(x)＝12x2－2ax－2b，由条件知x＝1是方程f ′(x)＝0的实数根，∴a＋b＝6.
2．函数f(x)＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值为( )
A． B．
C． D．
[答案] A
[解析] f ′(x)＝1－3x2＝0，得x＝∈[0,1]，
∵f＝，f(0)＝f(1)＝0.
∴f(x)max＝.
3．(2014·河南淇县一中模拟)设a∈R，若函数y＝eax＋3x，x∈R有大于零的极值点，则( )
A．a>－3 B．a<－3
C．a>－ D．a<－
[答案] B
[解析] y′＝aeax＋3，由条件知，方程aeax＋3＝0有大于零的实数根，∴0<－<1，∴a<－3.
4．(2014·枣庄市期中)若1、3为函数f(x)＝x3＋bx2＋cx(b，c∈R)的两个极值点，则曲线y＝f(x)在点(－1，f(－1))处的切线的斜率为( )
A．8 B．6
C．4 D．0
[答案] A
[解析] f ′(x)＝x2＋2bx＋c，由条件知，1,3是方程f ′(x)＝0的两个实根，∴b＝－2，c＝3，∴f ′(－1)＝8，故选A.
5．(2014·北京东城区联考)如图是函数y＝f(x)的导函数f ′(x)的图象，则下面判断正确的是( )
A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数 B．在(1,3)上f(x)是减函数
C．在(4,5)上f(x)是增函数 D．当x＝4时，f(x)取极大值
[答案] C
[解析] 由导函数y＝f ′(x)的图象知，f(x)在(－2,1)上先减后增，在(1,3)上先增后减，在(4,5)上单调递增，x＝4是f(x)的极小值点，故A、B、D错误，选C.
6．(2014·河北冀州中学期中)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是( )
A．(－1,2) B．(－∞，－3)∪(6，＋∞)
C．(－3,6) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
[答案] B
[解析] f ′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，由条件知，方程f ′(x)＝0有两不等实根，∴Δ＝4a2－12(a＋6)>0，
∴a<－3或a>6，故选B.
二、填空题
7．(2014·福建安溪一中、养正中学联考)曲线y＝x(3lnx＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．
[答案] 4x－y－3＝0
[解析] y′|x＝1＝(3lnx＋4)|x＝1＝4，∴切线方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.
8．(2014·河北冀州中学期中)若函数f(x)＝x＋asinx在R上递增，则实数a的取值范围为________．
[答案] [－1,1]
[解析] f ′(x)＝1＋acosx，由条件知f ′(x)≥0在R上恒成立，∴1＋acosx≥0，a＝0时显然成立；a>0时，
∵－≤cosx恒成立，∴－≤－1，∴a≤1，∴09．(2014·三亚市一中月考)曲线y＝在点(1,1)处的切线为l，则l上的点到圆x2＋y2＋4x＋3＝0上的点的最近距离是________．
[答案] 2－1
[解析] y′|x＝1＝－|x＝1＝－1，∴切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，圆心(－2,0)到直线的距离d＝2，圆的半径r＝1，
∴所求最近距离为2－1.
三、解答题
10．(2014·淄博市临淄中学学分认定考试)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5，曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线方程为y＝3x＋1.
(1)求a、b的值；
(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值．
[解析] (1)依题意可知点P(1，f(1))为切点，代入切线方程y＝3x＋1可得，f(1)＝3×1＋1＝4，
∴f(1)＝1＋a＋b＋5＝4，即a＋b＝－2，
又由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5得，f ′(x)＝3x2＋2ax＋b，
而由切线方程y＝3x＋1的斜率可知f ′(1)＝3，
∴3＋2a＋b＝3，即2a＋b＝0，
由解得
∴a＝2，b＝－4.
(2)由(1)知f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，
f ′(x)＝3x2＋4x－4＝(3x－2)(x＋2)，
令f ′(x)＝0，得x＝或x＝－2.
当x变化时，f(x)，f ′(x)的变化情况如下表：
x
－3
(－3，－2)
－2
(－2，)
(，1)
1
f ′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
8
增
极大值
减
极小值
增
4
∴f(x)的极大值为f(－2)＝13，极小值为f()＝，
又f(－3)＝8，f(1)＝4，
∴f(x)在[－3,1]上的最大值为13.
一、选择题
11．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分别是( )
A．12；－8 B．1；－8
C．12；－15 D．5；－16
[答案] A
[解析] y′＝6x2－6x－12，由y′＝0?x＝－1或x＝2(舍去)．x＝－2时y＝1，x＝－1时y＝12，x＝1时y＝－8.
∴ymax＝12，ymin＝－8.故选A.
12．(2014·开滦二中期中)若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是( )
A．(0,1) B．(－∞，1)
C．(0，＋∞) D．(0，)
[答案] D
[解析] f ′(x)＝3x2－6b，∵f(x)在(0,1)内有极小值，
∴在(0,1)内存在点x0，使得在(0，x0)内f ′(x)<0，在(x0,1)内f ′(x)>0，由f ′(x)＝0得，x2＝2b>0，
∴∴013．(2014·抚顺市六校联合体期中)已知R上可导函数f(x)的图象如图所示，则不等式(x2－2x－3)f ′(x)>0的解集为( )
A．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(1,2)
C．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)
[答案] D
[解析] 由f(x)的图象知，在(－∞，－1)上f ′(x)>0，在(－1,1)上f ′(x)<0，在(1，＋∞)上f ′(x)>0，又x2－2x－3>0的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)，x2－2x－3<0的解集为(－1,3)．
∴不等式(x2－2x－3)f ′(x)>0的解集为(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)．
14．(2014·安徽程集中学期中)已知函数f(x)(x∈R)满足f ′(x)＞f(x)，则( )
A．f(2)C．f(2)＝e2f(0) D．f(2)>e2f(0)
[答案] D
[分析] 所给四个选项实质是比较f(2)与e2f(0)的大小，即比较与的大小，故构造函数F(x)＝解决．
[解析] 设F(x)＝，则F′(x)＝>0，
∴F(x)在R上为增函数，故F(2)>F(0)，
∴>，
即f(2)>e2f(0)．
二、填空题
15．若函数f(x)＝在x＝1处取得极值，则a＝________.
[答案] 3
[解析] 考查分式函数求导法则、极值点的性质．
f ′(x)＝＝，
f ′(1)＝0?＝0?a＝3.
16．函数y＝x3－3x＋9的极小值是________．
[答案] 7
[解析] y′＝3x2－3，令y′>0，得
x>1或x<－1，令y′<0，得－1∴函数在(－∞，1)，(1，＋∞)上递增，在(－1,1)上递减，
∴当x＝1时，函数取得极小值1－3＋9＝7.
三、解答题
17．已知f(x)＝ax3＋bx2－2x＋c，在x＝－2时有极大值6，在x＝1时有极小值．
(1)求a、b、c的值；
(2)求出f(x)在区间[－3,3]上的最大值和最小值．
[解析] (1)f′(x)＝3ax2＋2bx－2，
由已知得，
解得a＝，b＝，c＝.
(2)由(1)知f(x)＝x3＋x2－2x＋，
f′(x)＝x2＋x－2，令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝1.
当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
x
－3
(－3，－2)
－2
(－2,1)
1
(1,3)
3
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
6
?
?
由上表可知，当x＝3时，f(x)取得最大值，当x＝1时，f(x)取得最小值.
课件43张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 · 选修1-1 1-2 圆锥曲线与方程第三章3.3 导数在研究函数中的应用
第3课时 函数的最大(小)值与导数第三章1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系．
2．会用导数求某定义域上函数的最值.重点：1.最值概念的理解．
2．求函数的最值．
难点：最值与极值的区别与联系.新知导学
1．下图中的函数f(x)的最大值为_____，最小值为_____．
而极大值为__________，极小值为__________．函数最值的概念 f(g)f(b)f(d)，f(g)f(c)，f(e)
2．由上图还可以看出，假设函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，该函数在[a，b]上一定能够取得_________与________，若该函数在(a，b)内是__________，该函数的最值必在极值点或区间端点取得．最大值最小值可导的[答案] A
2．f(x)＝2x3－3x2＋a的极大值是6，那么a等于( )
A．6 B．0
C．5 D．1
[答案] A
[解析] f ′(x)＝6x2－6x，令f ′(x)＝0，得6x2－6x＝0，解得x＝0或1.且易知x＝0是极大值点．
∴f(0)＝a＝6.
3．函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1，1]上的最大值是( )
A．－2 B．0
C．2 D．4
[答案] C
[解析] 对函数求导f ′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，则f(x)在区间[－1,0]上递增，在[0,1]上递减，因此最大值是f(0)＝2，故选C.
4．函数f(x)＝x3－x2－x＋a在区间[0,2]上的最大值是3，则a等于( )
A．3 B．1
C．2 D．－1
[答案] B
5．已知函数f(x)＝x4＋9x＋5，则f(x)的图象在(－1，3)内与x轴的交点的个数为________．
[答案] 1
[解析] 因为f ′(x)＝4x3＋9，当x∈(－1,3)时，f ′(x)>0，所以f(x)在(－1,3)上单调递增．又f(－1)＝－3<0，f(0)＝5>0，所以f(x)在(－1,3)内与x轴只有一个交点．[分析] 首先求f(x)在(－1,2)内的极值．然后将f(x)的各极值与f(－1)、f(2)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．利用导数求函数的最大值与最小值
[方法规律总结] 1.求可导函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值步骤如下：
(1)求f(x)在开区间(a，b)内所有极值点；
(2)计算函数f(x)在极值点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．求函数f(x)＝x4－8x2＋2在[－1,3]上的最大值与最小值．
[解析] f ′(x)＝4x3－16x＝4x(x－2)(x＋2)．
令f ′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝0，x3＝2.
其中x2＝0，x3＝2在[－1,3]内，计算得
f(0)＝2，f(2)＝－14，f(－1)＝－5，f(3)＝11，
故f(x)在[－1,3]上的最大值是11，最小值是－14.[分析] 先由f ′(x)＝0求出极值点，再求出极值点与区间端点的函数值，通过比较可找出最大值点与最小值点，利用最小值求出a的值后即可确定最大值．含参数的函数最值问题
[解析] f ′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，
令f ′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
又f(0)＝a，f(2)＝a－8，f(－2)＝a－40.
f(0)>f(2)>f(－2)，
∴当x＝－2时，f(x)min＝a－40＝－37，得a＝3.
∴当x＝0时，f(x)max＝3.
[方法规律总结] 已知函数最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参数，进而使问题得以解决．
若f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值是3，最小值是－29，求a、b的值．
[解析] f ′(x)＝3ax2－12ax＝3a(x2－4x)．
令f ′(x)＝0，得x＝0，x＝4.
∵x∈[－1,2]，∴x＝0.
由题意知a≠0.
(1)若a>0，则f ′(x)，f(x)随x变化的情况如下表： 综合应用问题
[方法规律总结] 1.证明不等式，研究方程根的个数、两函数图象的交点个数、图象的分布范围等问题，导数和数形结合法是一种很有效的方法，经常通过分析函数的变化情况，结合图形分析求解．
2．恒成立问题向最值转化也是一种常见题型．设函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，若对任意的x∈[0,3]，都有f(x)[解析] ∵f ′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)．
∴当x∈(0,1)时，f ′(x)>0；当x∈(1,2)时，f ′(x)＜0；
当x∈(2,3)时，f ′(x)>0.
∴当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝5＋8c.
又f(3)＝9＋8c>f(1)，
∴x∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c.
∵对任意的x∈[0,3]，有f(x)∴9＋8c9.
∴c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞).
第二步，建联系，确定解题步骤．
先求f ′(x)，利用极值条件建立a、b的方程组，解方程组求a、b；从而得到f(x)解析式；再解不等式f ′(x)>0(或f ′(x)<0)确定f(x)的单调性；最后由极大值求c，再求f(x)在[－3,3]上的最小值．
第三步，规范解答．
(2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋c，f ′(x)＝3x2－12，
令f ′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2，
当x∈(－∞，－2)时，f ′(x)>0，f(x)在(－∞，－2)上为增函数，
当x∈(－2,2)时，f ′(x)<0，f(x)在(－2,2)上为减函数，
当x∈(2，＋∞)时f ′(x)>0，f(x)在(2，＋∞)上为增函数．
由此可知f(x)在x1＝－2处取得极大值f(－2)＝16＋c，f(x)在x2＝2处取得极小值f(2)＝c－16，由题设条件知16＋c＝28得c＝12，
此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，f(2)＝c－16＝－4，
因此f(x)上[－3,3]的最小值为f(2)＝－4.选修1-1 第三章 3.4
一、选择题
1．以长为10的线段AB为直径画半圆，则它的内接矩形面积的最大值为( )
A．10 B．15
C．25 D．50
[答案] C
[解析] 如图，设∠NOB＝θ，则矩形面积S＝5sinθ·2·5cosθ＝50sinθ·cosθ＝25sin2θ，故Smax＝25.
2．将数8拆分为两个非负数之和，使其立方之和为最小，则分法为( )
A．2和6 B．4和4
C．3和5 D．以上都不对
[答案] B
[解析] 设一个数为x，则另一个数为8－x，则y＝x3＋(8－x)3,0≤x≤8，y′＝3x2－3(8－x)2，令y′＝0，即3x2－3(8－x)2＝0，解得x＝4.
当0≤x<4时，y′<0，函数单调递减；当40，函数单调递增，所以x＝4时，y最小．
3．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2(x>0)；生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x>0)，为使利润最大，则应生产( )
A．6千台 B．7千台
C．8千台 D．9千台
[答案] A
[解析] 设利润为y(万元)，则y＝y1－y2＝17x2－2x3＋x2＝18x2－2x3(x>0)，
y′＝36x－6x2，
令y′>0，得0令y′<0，得x>6，
∴当x＝6时，y取最大值，故为使利润最大，则应生产6千台．
4．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是( )
[答案] A
[解析] 加速过程，路程对时间的导数逐渐变大，图象下凸；减速过程，路程对时间的导数逐渐变小，图象上凸，故选A.
5．内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为( )
A．R B．2R
C．R D．R
[答案] C
[解析] 设圆锥高为h，底面半径为r，
则R2＝(R－h)2＋r2，∴r2＝2Rh－h2，
∴V＝πr2h＝h(2Rh－h2)＝πRh2－h3，
∴V′＝πRh－πh2，令V′＝0得h＝R，
当00；当R因此当h＝R时，圆锥体积最大，故应选C.
6．做一个圆柱形锅炉，容积为V，两个底面的材料每单位面积的价格为a元，侧面的材料每单位面积的价格为b元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为( )
A． B．
C． D．
[答案] C
[解析] 如图，设圆柱的底面半径为R，高为h，则V＝πR2h.
设造价为y，则y＝2πR2a＋2πRhb＝2πaR2＋2πRb·＝2πaR2＋，
∴y′＝4πaR－.
令y′＝0并将V＝πR2h代入解得，＝.
二、填空题
7．把长为60cm的铁丝围成矩形，长为________，宽为________时，矩形的面积最大．
[答案] 15cm 15cm
[解析] 设长为xcm，则宽为(30－x)cm，此时S＝x·(30－x)＝30x－x2，S′＝30－2x＝0，所以x＝15.所以长为15cm，宽为15cm时，矩形的面积最大．
8．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最小，则圆柱的底面半径为________．
[答案] 3
[解析] 设圆柱的底面半径为R，母线长为L，则V＝πR2L＝27π，∴L＝，要使用料最省，只需使圆柱形表面积最小，∴S表＝πR2＋2πRL＝πR2＋，
∴S′(R)＝2πR－＝0，令S′＝0得R＝3，
∴当R＝3时，S表最小．
9．用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2?1，该长方体的最大体积是________．
[答案] 3m3
[解析] 设长方体的宽为x，则长为2x，高为－3x (0V′＝－18x2＋18x，令V′＝0得，x＝0或1，
∵0∴该长方体的长、宽、高各为2m、1m、1.5m时，体积最大，最大体积Vmax＝3m3.
三、解答题
10．用边长为120cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱．问：水箱底边的长取多少时，水箱容积最大？最大容积是多少？
[解析] 设水箱底边长为xcm，则水箱高为h＝60－(cm)．
水箱容积V＝V(x)＝60x2－(0V′(x)＝120x－x2.
令V′(x)＝0得，x＝0(舍)或x＝80.
当x在(0,120)内变化时，导数V′(x)的正负如下表：
x
(0,80)
80
(80,120)
V′(x)
＋
0
－
因此在x＝80处，函数V(x)取得极大值，并且这个极大值就是函数V(x)的最大值．
将x＝80代入V(x)，得最大容积
V＝802×60－＝128 000(cm3)．
答：水箱底边长取80cm时，容积最大，最大容积为128 000cm3.
一、选择题
11．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x(0≤x≤390)的关系是R(x)＝－＋400x,0≤x≤390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是( )
A．150 B．200
C．250 D．300
[答案] D
[解析] 由题意可得总利润P(x)＝－＋300x－20 000,0≤x≤390.由P′(x)＝0，得x＝300.
当0≤x≤300时，p′(x)>0；当30012．三棱锥O－ABC中，OA、OB、OC两两垂直，OC＝2x，OA＝x，OB＝y，且x＋y＝3，则三棱锥O－ABC体积的最大值为( )
A．4 B．8
C． D．
[答案] C
[解析] V＝×·y＝＝＝(0V′＝＝2x－x2＝x(2－x)．
令V′＝0，得x＝2或x＝0(舍去)．
∴x＝2时，V最大为.
13．要制作一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为( )
A．cm B．cm
C．cm D．cm
[答案] D
[解析] 设圆锥的高为x，则底面半径为，
其体积为V＝πx(400－x2) (0＜x＜20)，
V′＝π(400－3x2)，令V′＝0，解得x＝.
当0＜x＜时，V′＞0；当＜x＜20时，V′＜0
所以当x＝时，V取最大值．
14．若一球的半径为r，作内接于球的圆柱，则其圆柱侧面积最大值为( )
A．2πr2 B．πr2
C．4πr2 D．πr2
[答案] A
[解析] 设内接圆柱的底面半径为r1，高为t，
则S＝2πr1t＝2πr12＝4πr1.
∴S＝4π.
令(r2r－r)′＝0得r1＝r.
此时S＝4π·r·
＝4π·r·r＝2πr2.
二、填空题
15．做一个容积为256的方底无盖水箱，它的高为________时最省料．
[答案] 4
[解析] 设底面边长为x，则高为h＝，其表面积为S＝x2＋4××x＝x2＋，S′＝2x－，令S′＝0，则x＝8，则当高h＝＝4时S取得最小值．
16．某商品一件的成本为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，要使利润最大每件定价为________元．
[答案] 85
[解析] 设每件商品定价x元，依题意可得
利润为L＝x(200－x)－30x＝－x2＋170x(0＜x＜200)．
L′＝－2x＋170，令－2x＋170＝0，解得x＝＝85.
因为在(0,200)内L只有一个极值，所以以每件85元出售时利润最大．
三、解答题
17．某厂生产某种产品的固定成本(固定投入)为2 500
元，已知每生产x件这样的产品需要再增加可变成本C(x)＝200x＋x3(元)，若生产出的产品都能以每件500元售出，要使利润最大，该厂应生产多少件这种产品？最大利润是多少？
[解析] 设该厂生产x件这种产品利润为L(x)
则L(x)＝500x－2 500－C(x)
＝500x－2 500－
＝300x－x3－2 500(x∈N)
令L′(x)＝300－x2＝0，得x＝60(件)
又当0≤x<60时，L′(x)>0
x>60时，L′(x)<0
所以x＝60是L(x)的极大值点，也是最大值点．
所以当x＝60时，L(x)＝9 500元．
答：要使利润最大，该厂应生产60件这种产品，最大利润为9 500元．
18.已知圆柱的表面积为定值S，求当圆柱的容积V最大时圆柱的高h的值．
[分析] 将容积V表达为高h或底半径r的函数，运用导数求最值．由于表面积S＝2πr2＋2πrh，此式较易解出h，故将V的表达式中h消去可得V是r的函数．
[解析] 设圆柱的底面半径为r，高为h，则S圆柱底＝2πr2，
S圆柱侧＝2πrh，∴圆柱的表面积S＝2πr2＋2πrh.
∴h＝，
又圆柱的体积V＝πr2h＝(S－2πr2)＝，V′＝，
令V′＝0得S＝6πr2，∴h＝2r，
又r＝，∴h＝2＝.
即当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h为.
课件44张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 · 选修1-1 1-2 圆锥曲线与方程第三章3．4 生活中的优化问题举例第三章1.了解导数在实际问题中的应用，对给出的实际问题，如使利润最大、效率最高、用料最省等问题，体会导数在解决实际问题中的作用．
2．能利用导数求出某些特殊问题的最值.重点：利用导数知识解决实际中的最优化问题．
难点：将实际问题转化为数学问题，建立函数模型.思维导航
1．生活中，我们经常遇到面积、体积最大，周长最小，利润最大，用料最省，费用最低，效率最高等等一系列问题，这些问题通常通称为优化问题，解决这些问题的基本思路、途径、过程是什么？优化问题 新知导学
1．在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示，还应确定函数关系式中__________的取值范围．
2．实际优化问题中，若只有一个极值点，则极值点就是__________点．
3．解决优化问题的基本思路：自变量最优[答案] C[点评] 利用导数求函数最值时，令y′＝0得到x的值，此x的值不一定是极大(小)值时，还要判定x值左、右两边的导数的符号才能确定．[答案] D[答案] C[解析] 如图，设底面边长为x(x>0)，4．在周长为l的矩形中，面积的最大值为________．面积、容积最大问题 [方法规律总结] 1.利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤：
(1)分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；
(2)求函数的导数f ′(x)，解方程f ′(x)＝0；
(3)比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小)者为最大(小)值；
(4)把所得数学结论回归到数学问题中，看是否符合实际情况并下结论．其基本流程是
2．面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验．已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的长和宽．
[解析] 如图所示，设出AD的长，进而求出AB，表示出面积S，然后利用导数求最值．利润最大问题 [解析] (1)由题意得：本年度每辆车的投入成本为10×(1＋x)；出厂价为13×(1＋0.7x)，年销售量为5 000×(1＋0.4x)．因此本年度的年利润为：
p＝[13×(1＋0.7x)－10×(1＋x)]×5 000×(1＋0.4x)＝(3－0.9x)×5 000×(1＋0.4x)＝－1 800x2＋1 500x＋15 000(0[方法规律总结] 利润最大，效率最高等实际问题，关键是弄清问题的实际背景，将实际问题用函数关系表达，再求解．费用(用料)最省问题 [分析] 设出CD的长为x，进而求出AC，BC，然后将总费用表示为变量x的函数，转化为求函数的最值问题．
令y′＝0，解得x1＝30，x2＝－30(舍去)．
当x<30时，y′<0；当x>30时，y′>0.
所以当x＝30时，取得最小值，此时AC＝50－x＝20(km)，
即供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省．某工厂要围建一个面积为128m2的矩形堆料场，一边可以用原有的墙壁，其他三边要砌新的墙壁，要使砌墙所用的材料最省，堆料场的长、宽应分别为________．
[答案] 16m 8m