第一章 1.1 1.1.1
一、选择题
1．下列语句中是命题的是( )
A．|x＋a| B．0∈N
C．集合与简易逻辑 D．真子集
[答案] B
[解析] 由命题定义知选B.
2．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )
A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3
B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面
D．l1，l2，l3共点?l1，l2，l3共面
[答案] B
[解析] 本题主要考查空间直线的位置关系，(A)如l1、l3共面为α，而l2⊥α，则A不对；(B)正确(C)可形成3个平面；(D)l1、l2、l3共点可形成3个平面，故选B.
3．下列命题中真命题的个数为( )
①面积相等的三角形是全等三角形
②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0
③若a>b，则a＋c>b＋c
④矩形的对角线互相垂直
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案] A
[解析] 只有③正确．
4．给出下列四个命题：
①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；
③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；
④如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直．
其中真命题的个数有( )
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
[答案] B
[解析] ①②④都是真命题．
5．设a，b，c是任意非零平面向量，且两两不共线，则
①(a·b)c＝(c·a)b；
②|a|－|b|≤|a－b|；
③(b·c)a－(c·a)b不与c垂直；
④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中真命题为( )
A．①② B．②③
C．③④ D．②④
[答案] D
[解析] ①向量的数量积不满足结合律；③(b·c)a－(c·a)b与c互相垂直．所以②④正确．
6．已知a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中是假命题的是( )
A．若a∥b，则α∥β
B．若α⊥β，则a⊥b
C．若a，b相交，则α，β相交
D．若α，β相交，则a，b相交
[答案] D
[解析] 画出这两条直线与两个平面位置关系的草图，结合图形判断真假．如图，设α∩β＝c，a⊥α，b⊥β，但a，b却没有相交，故D是假命题．
二、填空题
7．给出下列命题：
①若ac＝bc，则a＝b；
②方程x2－x＋1＝0有两个实根；
③对于实数x，若x－2＝0，则x－2≤0；
④若p>0，则p2>p；
⑤正方形不是菱形．
其中真命题是________，假命题是________．
[答案] ③ ①②④⑤
8．下面是关于四棱柱的四个命题：
①如果有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；
②如果两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；
③如果四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；
④如果四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱．
其中，真命题的编号是________(写出所有真命题的编号)．
[答案] ②④
[解析] ②中由过相对侧棱截面的交线垂直于底面并与侧棱平行，可知命题成立，④中由题意，可知对角面均为长方形，即可证命题成立．①、③错误，反例如斜四棱柱．
三、解答题
9．判断下列命题的真假：
(1)函数y＝sin4x－cos4x的最小正周期是π；
(2)函数y＝sin(x－)在[0，π]上是减函数；
(3)能被6整除的数既能被3整除，也能被2整除．
[解析] (1)y＝sin4x－cos4x＝sin2x－cos2x＝－cos2x
T＝＝π，故为真命题．
(2)y＝sin(x－)＝－cosx在[0，π]上是增函数，为假命题．
(3)命题可写成若一个数能被6整除，则它既能被3整除，也能被2整除，显然为真命题.
一、选择题
1．“若x>1，则p”为真命题，那么p不能是( )
A．x>－1 B．x>0
C．x>1 D．x>2
[答案] D
[解析] 若x>1，则p为真命题，则x>1得不到x>2.故选D.
2．(2013·天津)已知下列三个命题：
①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；
②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；
③直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝相切．
其中真命题的序号是( )
A．①②③ B．①②
C．①③ D．②③
[答案] C
[解析] 对于①，设球半径为R，则V＝πR3，r＝R，
∴V1＝π×(R)3＝＝V，故①正确；对于②，两组数据的平均数相等，标准差一般不相等；对于③，圆心(0,0)，半径为，圆心(0,0)到直线的距离d＝，故直线和圆相切，故①，③正确．
3．下列命题正确的个数为( )
①已知－1≤x＋y≤1,1≤x－y≤3，则3x－y的范围是[1,7]；
②若不等式2x－1>m(x2－1)对满足|m|≤2的所有m都成立，则x的范围是(，)；
③如果正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是[8，＋∞)；
④a＝log2，b＝log3，c＝()0.5的大小关系是a>b>c.
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] B
[解析] ①3x－y＝x＋y＋2(x－y)
∴1≤3x－y≤7.
故①对．
②当x＝1时，0<1成立．
当x＝－1时，0<－3不成立．
当x>1或x<－1时，
m<.
则>2或>－2.
解1
当－1.
则<－2.
解－1综上：故②对．
③a＋b≥2，
∴ab≥2＋3.
解≥3.ab≥9.故③错．
④a＝log2＝－log32
∴－1∴b<－1，c＝()0.5>0，
∴c>a>b，故④错．
故选B.
4．若A、B是两个集合，则下列命题中真命题是( )
A．如果A?B，那么A∩B＝A
B．如果A∩B＝A，那么(?UA)∩B＝?
C．如果A?B，那么A∪B＝A
D．如果A∪B＝A，那么A?B
[答案] A
[解析] 由韦恩图知A正确．
B中(?UA)∩B≠?.
C中A∪B＝B，
D中应为B?A.
二、填空题
5．函数f(x)的定义域为A，若x1，x2∈A且f(x1)＝f(x2)时，总有x1＝x2，则称f(x)为单函数．例如，函数f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数．下列命题：
①函数f(x)＝x2(x∈R)是单函数；
②若f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)；
③若f：A→B为单函数，则对于任意b∈B，它至多有一个原象；
④函数f(x)在某区间上具有单调性，则f(x)一定是单函数．
其中的真命题是________．(写出命题的序号)
[答案] ②③
[解析] 对于①，如：－2,2∈R且f(－2)＝f(2)，所以①错误；对于②，假设f(x1)＝f(x2)，据单函数的定义知一定有x1＝x2，根据逆否命题的等价性知②正确；对于③，若b有两个原象x1≠x2，则f(x1)＝f(x2)＝b，这与f：A→B是单函数予盾，故③正确；对于④，函数f(x)在某区间上具有单调性，而不是在整个定义域上具有单调性，所以不一定为单函数，故④错误．
6．设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a＋b、a－b、ab、∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域．例如有理数集Q是数域；数集F＝{a＋b|a，b∈Q}也是数域．有下列命题：
①整数集是数域；
②若有理数集Q?M，则数集M必为数域；
③数域必为无限集；
④存在无穷多个数域．
其中正确命题的序号是________．(把你认为正确的命题的序号都填上)
[答案] ③④
[解析] ①∵1∈Z,2∈Z，∴必须在整数集内，而?Z，故①错误；
②设M中除了有理数外还有另一个元素，则Q?M，
∵2∈Z，∴2也必须在M内，而2?M，故②错误；
③设数域P，a∈P，b∈P(假设a≠0)，则a＋b∈P，则a＋(a＋b)＝2a＋b∈P，同理na＋b∈P，n∈N，故数域必为无限集；
④设x是一个非完全平方正整数(x>1)，a，b∈Q，则由数域定义知，F＝{a＋b|a、b∈Q}必是数域，这样的数域F有无穷多个．
三、解答题
7．如果命题“若x∈A，则y＝loga(x2＋2x－3)为增函数”是真命题，试求出集合A.
[解析] 当a>1时，对数函数为增函数，由x2＋2x－3>0可得x>1或x<－3，又二次函数对称轴x＝－1，(－∞，－3)上二次函数递减，(1，＋∞)上二次函数递增，由复合函数单调性．故(1，＋∞)上函数递增．
∴A?(1，＋∞)，
当0故当x∈(－∞，－3)时，函数为增函数，
故A?(－∞，－3)．
8．判断下列语句是不是命题，如果是命题，指出是真命题还是假命题．
(1)任何负数都大于零；
(2)△ABC与△A1B1C1是全等三角形；
(3)x2＋x>0；
(4)??A；
(5)6是方程(x－2)(x－6)＝0的解；
(6)方程x2－2x＋5＝0有实数解．
[解析] (1)能构成命题，且是假命题．
(2)两个三角形为全等三角形是有条件的，本小题无法确定，故不是命题．
(3)因为x是未知数，无法判断x2＋x是否大于零，所以不是命题．
(4)空集是任何非空集合的真子集，集合A是否非空集合无法判断，故是命题，但为假命题．
(5)6确实是所给方程的解，所以这一语句是命题，且是真命题．
(6)由于给定方程的判别式Δ＝4－4＝－16<0，知方程x2－2x＋5＝0无实根，故这是命题，但为假命题．
课件43张PPT。成才之路·数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 · 选修2-1 常用逻辑用语第一章中国古代伟大的逻辑学家公孙龙提出了一个命题：白马非马．对于一般人来说，“白马是马”就如同说“苹果是水果”一样清楚明白，怎么可能“白马非马”呢？孔子的六世孙孔穿，为了驳倒公孙龙的主张，找上门去辩论，结果公孙龙说：“如果白马是马，那么黑马也是马，因此就有白马是黑马，也就是说白等于黑．像你这样黑白不分，我不值得和你辩论．”几句话就败下阵来．公孙龙在这里正是运用了逻辑推理才将这个错误的命题“证明”了，它的破绽在哪里呢？1.1 命题与量词第一章1.1.1 命题第一章课前自主预习 方法警示探究 课堂典例讲练 易错疑难辨析课后强化作业思想方法技巧 美国总统奥巴马于2010年2月1日以缺钱为由建议取消重返月球的“星座计划”，这给半年前还在呼吁靠它重建“阿波罗精神”的美国媒体泼了一盆冷水．如今美国人刚一退赛，一些西方媒体就将目光投向中国．英国《卫报》2日题为“月食：美国退出使中国在返回月球的比赛中领跑”的文章说，专家们相信中国可能在10年内将宇航员送上月球，此举将开启一个月球探索的新时代．众所周知，我国的登月计划正在有条不紊地进行中，那么“中国人一定会登上月球”这句话是真是假？这就是今天我们要学习的“命题”问题.1.命题：一般地，我们把用__________________表达的，可以____________的陈述句叫做命题．
2．命题的真假：判断________的命题叫做真命题，判断________的命题叫做假命题．
3．命题的形式：在数学中，“____________”是命题的常见形式，其中p叫做命题的________，q叫做命题的________．语言、符号或式子 判断真假为真为假若p，则q条件结论 [答案] C
[解析] ①②④⑤都是命题，③是祈使句，不是命题．2．下列语句中，不是命题的是( )
A．两点之间线段最短
B．互补的两个角相等
C．不是对顶角不相等
D．延长线段AB
[答案] D
[解析] 因只有选项D不能判断其真假，故选项D不是命题．3．下列命题是假命题的是( )
A．若ac2>bc2，则a>b
B．若|a|>|b|，则a>b
C．若x∈R，则x2＋1>x
D．正三棱锥的侧面是等腰三角形
[答案] B
[解析] B项需要讨论a，b的符号，共有四种情况．4．下列命题中真命题的个数有( )
①方程mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；
②抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点；
③相互包含的两个集合相等；
④空集是任何集合的真子集．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案] A
[解析] ①当m＝0时不是一元二次方程；②当Δ＝4＋4a<0时，抛物线与x轴没有交点；④空集不是空集的真子集．
5．如果命题“当x>1时，函数y＝loga(x2＋2x－3)为减函数”是真命题，试确定实数a的取值范围．
[解析] 令u＝x2＋2x－3，当x>1时，u为增函数．
又函数y＝logau为减函数，
∴0①“等边三角形是等腰三角形”；
②“垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？”；
③“一个数不是正数就是负数；”
④“大角所对的边大于小角所对的边”；
⑤“x＋y为有理数，则x，y也都是有理数”；
⑥“作△ABC∽△A′B′C′”．
[思路分析] (1)命题的特征是陈述句且能判断真假．
(2)要判断一个命题是真命题，要从条件出发，经过严格的推理论证推出结论成立．在判断时，要有推理依据，综合各种情况作出判断．要判断一个命题是假命题，只需要举出一个反例即可．
[答案] (1)B (2)①③④⑤
[方法总结] 判断一个语句是否是命题关键看它是否符合两个条件：“是陈述句”和“可以判断真假”，而祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题． (1)(2013·聊城高二检测)下列语句中，命题的个数是( )
①x2－3x－4＝0的根是－1和4；
②满足3x－2>0的整数有哪些？
③把门关上；
④自然数是偶数．
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由．
①一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列．
②垂直于同一个平面的两条直线必平行吗？
③当x＝4时，2x＋1<0.
[解析] (1)B ①④是命题．②③不是命题．
(2)①是命题，当等比数列的首项a1<0，公比q>1时，该数列为递减数列，因此该命题是一个假命题．
②不是命题，它是一个疑问句，没有作出判断．
③是命题，能判断真假，因为x＝4时，2x＋1＝2×4＋1＝9>0，所以它是一个假命题．命题的结构 [思路分析] 在数学中，命题的常见形式为“若p，则q”，“如果p，那么q”，“只要p，就有q”．
[解析] (1)在同一个平面内，若两条直线平行于同一条直线，则这两条直线平行．命题的条件：在同一个平面内，两条直线平行于同一条直线．
命题的结论：这两条直线平行．
“若p，则q”的形式：在同一个平面内，若两条直线平行于同一条直线，则这两条直线平行．
[方法总结] 找准命题的条件和结论是解决这类题目的关键，对于个别问题还要注意大前提的写法．若条件和结论比较隐含，要补充完整．把下列命题改写成“如果p，那么q”的形式．
(1)正四棱锥的顶点在底面的射影是底面的中心；
(2)偶函数的图象关于y轴对称；
(3)角平分线上的点到角的两边距离相等；
(4)当ac>bc时，a>b.
[思路分析] 根据原命题改写时，先把条件和结论分别列出来，再整理语句，使其通顺．
[解析] (1)如果一个棱锥是正四棱锥，那么它的顶点在底面的射影是底面的中心．
(2)如果一个函数是偶函数，那么这个函数的图象关于y轴对称．
(3)如果一个点在一个角的平分线上，那么这个点到这个角的两边距离相等．
(4)如果ac>bc，那么a>b.综合应用 [方法总结] 命题为真，也就是不等式成立．设有两个命题：p：|x|＋|x－1|≥m的解集为R；q：函数f(x)＝－(7－3m)x是减函数，若这两个命题中有且只有一个真命题，求实数m的范围．
[解析] 若p为真命题，则根据绝对值的几何意义可知m≤1.若q为真命题，则7－3m>1，所以m<2，若p真q假则m∈?.若p假q真，则1综上所述，实数m的范围是1[错解] 填(1)或填(1)(4)
[错因分析] 忽视向量的数量积满足分配律及数乘向量满足结合律而导致漏掉(3)或不理解向量数量积不满足结合律而错选(4)． [正解] 由于平面向量a，b不共线，则必有|a＋b|<|a|＋|b|，所以(1)正确；
由于a·b＝|a||b|cosθ<|a||b|，所以(2)不正确；
由于[(a·b)c－(a·c)b]·a＝(a·b)(c·a)－(a·c)(b·a)＝0，
所以(a·b)c－(a·c)b与a垂直，(3)正确；
由于平面向量的数量积不满足结合律，且a，b，c互不共线，
故(a·b)c≠a(b·c)，所以(4)不正确．
综上可知真命题的序号是(1)(3)．
[答案] (1)(3)数形结合思想
设U为全集，下列四个命题中，是假命题的是( )
A．若A∩B＝?，则(?UA)∪(?UB)＝U
B．若A∩B＝?，则A＝B＝?
C．若A∪B＝U，则(?UA)∩(?UB)＝?
D．若A∪B＝?，则A＝B＝?
[思路分析] 利用Venn图和交并补集的概念解析判断，对于A，因为A∩B＝?，所以?U(A∩B)＝?U?，即(?UA)∪(?UB)＝U；对于C，因为A∪B＝U，所以?U(A∪B)＝?UU，即(?UA)∩(?UB)＝?；D显然正确，只有B是假命题．
[答案] B
[方法总结] 注意命题的条件与结论
若一个命题具备所给的条件，且能得到所给的结论，它就是真命题；若一个命题具备所给的条件，不一定能或一定不能得到所给的结论，那么就是假命题，如例4命题的条件是三个互不共线的平面向量，故首先都不是零向量，这是判断命题的结论是否成立的重要前提．第一章 1.1 1.1.2
一、选择题
1．下列全称命题为真命题的是( )
A．任何偶数都不是素数
B．所有的平行向量，都是相等向量
C．所有向量方向都确定
D．一切实数均有相反数
[答案] D
[解析] A偶数2是素数，故错误；B平行向量的方向可以相反，模长不一定相等，故错误；C零向量方向不能确定，故错误．
2．下列存在性命题为假命题的是( )
A．存在这样的数列，既是等比数列，又是等差数列
B．存在这样的函数，在其定义域内，既是偶函数又是单调增函数
C．四棱柱中有的是平行六面体
D．空间内存在这样的两条直线，既不相交，也不平行
[答案] B
[解析] A是真命题，如：数列1,1,1,1，…；B是假命题，因为偶函数在对称区间内的单调性恰好相反；C是真命题，因为平行六面体是四棱柱；D是真命题，存在这样的直线，它们是异面直线．
3．下列命题正确的是( )
A．对所有的正实数t，为正且B．存在实数x，使得x2－3x－4＝0
C．不存在实数x，使得x<4，且x2＋5x－24＝0
D．存在实数x，使得|x＋1|≤1且x2>4
[答案] B
[解析] 当0t，故A错误；存在x＝－8满足条件x<4和x2＋5x－24＝0，故C错误；不存在实数x，使得|x＋1|≤1且x2>4，因为不等式组无解，故D错误．
4．在下列存在性命题中假命题的个数是( )
①有的实数是无限不循环小数
②有些三角形不是等腰三角形
③有的菱形是正方形
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] A
[解析] ①实数分无限不循环小数、无限循环小数及有限小数，故正确；②正确；③有一个角为直角的菱形为正方形，故正确．故选A.
5．下列全称命题中假命题的个数为( )
①2x＋1是整数(x∈R) ②?x∈R，x>3 ③?x∈Z,2x2＋1为奇数
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] C
[解析] ①x＝，2x＋1＝，故错误；②假命题；③2x2一定为偶数，故2x2＋1一定为奇数，故选C.
6．下列命题是全称命题且是假命题的是( )
A．奇函数的图象关于原点对称
B．有些平行四边形是正方形
C．?x∈R,2x＋1是奇数
D．至少有一个整数，它既不是质数，也不是合数
[答案] C
[解析] A是全称命题，且是真命题；
B是存在性命题；
C是全称命题，且为假命题；
D是存在性命题．故选C.
二、填空题
7．下列语句：①被7整除的数都是奇数；②|x－1|<2；③存在实数a使方程x2－ax＋1＝0成立；④等腰梯形的对角线相等．
其中是全称命题且为真命题的序号是________．
[答案] ④
[解析] ①是全称命题，但为假命题； ②不是命题； ③是存在性命题．
8.下列命题：
①偶数都可以被2整除；
②正四棱锥的侧棱长相等；
③有的实数是无限不循环小数；
④有的菱形是正方形；
⑤存在三角形其内角和大于180°.
既是全称命题又是真命题的是________，既是存在性命题又是真命题的是________(填上所有满足要求的命题的序号)．
[答案] ①② ③④
[解析] ①②既是全称命题又是真命题，③④⑤是存在性命题③④为真命题，⑤为假命题．
三、解答题
9．判断下列命题是否为全称或存在性命题，并判断真假．
(1)有一个实数α，使tanα无意义；
(2)任何一条直线都有斜率；
(3)所有圆的圆心到其切线的距离等于半径；
(4)凡圆内接四边形，其对角互补．
[解析] (1)存在性命题，α＝时，tan不存在．所以存在性命题“有一个实数α，使tanα无意义”是真命题；
(2)全称命题，平行于y轴的直线，倾斜角为，而tan无意义，所以这些直线斜率不存在．所以全称命题“任何一条直线都有斜率”是假命题；
(3)全称命题，任何一个圆的圆心到其切线的距离等于半径．所以全称命题“所有圆的圆心到其切线的距离等于半径”是真命题；
(4)全称命题，圆内接四边形对角互补．所以全称命题“凡圆内接四边形，其对角互补”是真命题.
一、选择题
1．对命题“一次函数f(x)＝ax＋b是单调函数”改写错误的是( )
A．所有的一次函数f(x)＝ax＋b都是单调函数
B．任意一个一次函数f(x)＝ax＋b都是单调函数
C．任意一次函数f(x)＝ax＋b，f(x)是单调函数
D．有的一次函数f(x)不是单调函数
[答案] D
[解析] 由全称命题的表示形式可知选项D错误．
2．下列命题中的假命题是( )
A．?x∈R，lgx＝0 B．?x∈R，tanx＝1
C．?x∈R，x3＞0 D．?x∈R,2x＞0
[答案] C
[解析] 对于选项A，当x＝1时，lgx＝0，为真命题；对于选项B，当x＝时，tanx＝1，为真命题；对于选项C，当x<0时，x3<0，为假命题；对于选项D，由指数函数性质知，?x∈R,2x>0为真命题，故选C.
3．下列四个命题：
p1：?x∈(0，＋∞)，()x<()x
p2：?x∈(0,1)，logx>logx
p3：?x∈(0，＋∞)，()x>logx
p4：?x∈(0，)，()x其中的真命题是( )
A．p1，p3 B．p1，p4
C．p2，p3 D．p2，p4
[答案] D
[解析] 在(0，＋∞)上，()x<()x恒成立，故p1错误，又()x在(0，＋∞)上小于1.而logx的值域为R，故p3错误，故选D.
4．设非空集合S＝{x|m≤x≤l}满足：当x∈S时，有x2∈S.给出如下三个命题：
①若m＝1，则S＝{1}；②若m＝－，则≤l≤1；③若l＝，则－≤m≤0.
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] D
[解析] 对于①，m＝1, 则
解之可得l＝1，故S＝{1}，①正确；
对于② ，m＝－，则
解之可得≤l≤1，故②正确；
对于③，l＝，则
解之可得－≤m≤0，故③正确，故正确命题的个数是3.
二、填空题
5．设有两个命题：
①关于x的不等式mx2＋1>0的解集是R；
②函数f(x)＝logmx是增函数．
如果这两个命题中有且只有一个真命题，那么实数m的取值范围是________．
[答案] 0≤m≤1
[解析] ①是真命题则m≥0，②是真命题则m>1，若①真②假，则0≤m≤1；若②真①假，则m不存在，综上，0≤m≤1.
6．下列命题中，是真命题的为________．
①5能整除15；②不存在实数x，使得x2－x＋2<0；③对任意实数x，均有x－1[答案] ①②③⑤
[解析] 对于①，由整数的整除性知该命题是真命题；对于②，因Δ<0，故x2－x＋2<0无解，所以该命题是真命题；对于③，因任意一个数减去一个正数后都小于原数，故该命题是真命题；对于④，因Δ<0，故方程x2＋3x＋3＝0无解，所以该命题是假命题；对于⑤，因分子恒为正，分母大于0，故商不可能小于0，即解集为空集．
三、解答题
7．若命题p：＝sinx－cosx是真命题，求实数x的取值范围．
[解析] 由＝sinx－cosx
得，＝sinx－cosx，
∴＝sinx－cosx，
即|sinx－cosx|＝sinx－cosx.
∴sinx≥cosx.
结合三角函数线得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，此即为所求x的范围．即p：?x∈(k∈Z)，＝sinx－cosx为真命题．
8．在R上定义运算⊙：x⊙y＝x(1－y)，?x∈R，不等式(x－a)⊙(x＋a)<1恒成立，求实数a的取值范围．
[解析] ∵(x－a)⊙(x＋a)<1，
∴(x－a)[1－(x＋a)]<1，
∴－x2＋x＋a2－a－1<0，
即x2－x－a2＋a＋1>0，
∵?x∈R，上述不等式恒成立．
∴Δ<0，
即1－4(－a2＋a＋1)<0，
解得－∴实数a的取值范围是(－，)．
课件44张PPT。成才之路·数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 · 选修2-1 常用逻辑用语第一章1.1 命题与量词第一章1.1.2 量词第一章课前自主预习 方法警示探究 课堂典例讲练 易错疑难辨析课后强化作业思想方法技巧 某村只有一个理发师，且该村的人都需理发，理发师约定，给且只给村中自己不给自己理发的人理发．试问：理发师给不给自己理发？如果理发师给自己理发，那以违背了他的约定，如果理发师不给自己理发，那么按照他的约定，应给自己理发．原因是理发师的约定中，虽然没有明说该村的一切人(或所有人)，实际上，是指村里的一切人，且包括他自己．
为什么会出现以上矛盾情况？
提示：由于约定为全称命题，包括了理发师本人，他本人也受约定的制约.1.全称量词与全称命题
(1)全称量词：短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做________量词，并用符号“_____”表示．
(2)全称命题：含有___________的命题，叫做全称命题．
(3)全称命题的形式：一般地，设p(x)是某集合M的________元素都具有的性质，那么全称命题就是形如“对M中的_______x，p(x)”的命题．用符号简记为______________．全称?全称量词所有所有?x∈M，p(x)
名师点拨：(1)与“所有”等价的说法有：“一切”“每一个”“任一个”等．
(2)全称命题有时省去全称量词，仍为全称命题．如：“菱形都是平行四边形”，省去了全称量词“所有”．2．存在量词与存在性命题
(1)存在量词：短语“有一个”“有些”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的___________，逻辑中通常叫做________量词，并用符号“________”表示．
(2)存在性命题：含有存在量词的命题，叫做________命题．
(3)存在性命题的形式：一般地，设q(x)是某集合M的________元素x具有的____________，那么存在性命题就是形如“________集合M中的元素x，q(x)”的命题，用符号简记为_____________________．个体或部分存在?存在性有些某种性质存在 ?x∈M，q(x)1.下列命题是存在性命题的是( )
A．偶函数的图象关于y轴对称
B．正四棱柱都是平行六面体
C．不相交的两条直线是平行线
D．存在实数大于等于3
[答案] D
[解析] 只有选项D中含有存在量词，故选项D是存在性命题．2．下列命题是假命题的是( )
A．若a·b＝0，那么a⊥b
B．若|a|＝|b|，则a＝b
C．若ac2>bc2，则a>b
D．7>6
[答案] B
[解析] |a|＝|b|只是两向量的大小相等，但方向不一定相同，故两向量不一定相等．
3．下列命题中是真命题的是( )
A．?x∈R，x2＋1<0 B．?x∈Z,3x＋1是整数
C．?x∈R，|x|>3 D．?x∈Q，x2∈Z
[答案] B
[解析] 因为1∈Z，当x＝1时，3x＋1＝4是整数，故选项B是真命题．4．下列命题中是全称命题的是________．
(1)菱形的四条边相等；
(2)所有有两个角是45°的三角形都是等腰直角三角形；
(3)正数的平方根不等于0；
(4)至少有一个正整数是偶函数；
(5)所有整数都是实数吗？
[答案] (1)(2)(3)
[解析] 命题(2)含有全称量词，(1)(3)省略了全称量词，故(1)(2)(3)是全称命题；而(4)含有存在量词，故(4)是存在性命题，(5)是一般疑问句，不能判断其真假，不是命题．5．下列命题为真命题的是________．
①?a∈(0，＋∞)，函数y＝(a＋1)x是增函数；
②?a∈N，使得方程ax＋1＝0无实数解；
③设A是一个数集，那么一定存在定义在A上的一个函数f(x)是偶函数；
④存在实数对(x，y)，使得3x－4y－5>0.
[答案] ①②④
[解析] 当数集A不是关于原点对称的集合时，显然不存在函数f(x)是偶函数，故③为假命题． `判断下列命题是全称命题还是存在性命题．
(1)指数函数都是单调函数；
(2)至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除；
(3)?x∈{x|x是无理数}，x2是无理数；
(4)?x∈{x|x∈Z}，log2x>0；
(5)负数的平方是正数；
(6)有的实数是无限不循环小数．全称命题与存在性命题的判断及表述 [思路分析] 题目中，每个小题都给出了一个具体的语句，要判断它们是全称命题还是存在性命题，要考虑由概念去判断．
[解析] (1)中含有全称量词“都”，所以是全称命题．
(2)中含有存在量词“至少有一个”，所以是存在性命题．
(3)中含有全称量词符号“?”，所以是全称命题．
(4)中含有存在量词符号“?”，所以是存在性命题．
(5)中省略了全称量词“都”，所以是全称命题．
(6)中含有存在量词“有的”，所以是存在性命题．
[方法总结] 判定一个语句是全称命题还是存在性命题时要注意以下三点：(1)首先判断该语句是否是一个命题；(2)对命题属性进行判定时关键是看命题中含有的量词是全称量词还是存在量词；(3)对于不含有量词或省略了量词的命题要根据命题所涉及的实际意义进行判断．用量词符号“?”“?”表达下列命题：
(1)实数都能写成小数形式；
(2)凸n边形的外角和等于2π；
(3)任一个实数乘以－1都等于它的相反数；
(4)对任意实数x，都有x3>x2；
(5)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.
[解析] (1)?x∈R，x能写成小数形式；
(2)?x∈{x|x是凸n边形}，
x的外角和等于2π；
(3)?x∈R，x·(－1)＝－x；
(4)?x∈R，x3>x2；
(5)?α∈{α|α是角}，sin2α＋cos2α＝1.判断全称命题与存在性命题的真假 [思路分析] 对于一些特殊的语句，我们可考虑运用特例判断真假．判断全称命题为假，存在性命题为真时，均适用．
[解析] (1)(2)为全称命题，(3)(4)为存在性命题．
(1)∵y＝ax为指数函数，故ax>0恒成立为真命题；
(2)存在x1＝0，x2＝π，x1但tan0＝tanπ，故为假命题；
(3)|sinx|为周期函数，π是它的一个周期，故为真命题；
(4)因?x∈R，有x2＋1>0，故为假命题．
[方法总结] (1)全称命题为真，意味着对限定集合中的每一个元素都具有某种性质，不存在任何特例，否则为假；
(2)存在性命题为真，意味着对限定集合中只要有一个元素具有某种性质，可以存在不满足某种性质的其他元素．如果在给定集合中找不到一个元素具有该性质，则为假命题．判断下列命题的真假：
(1)?x∈Q，x2＝2；
(2)对于某一个实数x，有x3<1；
(3)?x∈N，x3(4)所有的实数x，都能使x2＋1>0成立． 若r(x)：sinx＋cosx>m，s(x)：x2＋mx＋1>0，如果?x∈R，r(x)为假命题且s(x)为真命题，求实数m的取值范围．
[思路分析] 充分利用存在性命题和全称命题的辩证关系，对命题r(x)：转化为求函数f(x)＝sinx＋cosx的值域问题，对命题s(x)：利用二次不等式恒成立问题求得m的取值范围，两个范围取交集即可．全称命题与存在性命题的应用
[方法总结] 对于全称命题与存在性命题的真假正确转化为恒成立问题与有解问题是解题的关键．已知f(x)＝x2－2x＋5，若存在一个实数x，使不等式m－f(x)>0成立，求实数m的取值范围．
[解析] 不等式m－f(x)>0可化为m>f(x)，
若存在一个实数x使不等式m>f(x)成立，
只需m>f(x)min，
又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)≥4.
∴m>4，故m的取值范围是(4，＋∞)．
[错因分析] 对恒成立问题，即全称命题中的参数取值范围理解不到位，错误地认为不等式恒成立只需使右边大于左边的最小值即可．函数与方程思想
若不等式t2－2at＋1≥sinx对一切x∈[－π，π]及a∈[－1,1]都成立，则t的取值范围是________．
[答案] {t|t≤－2或t＝0或t≥2}
[解析] 因为x∈[－π，π]，所以sinx∈[－1,1]，于是由题意可得对一切a∈[－1,1]不等式t2－2at＋1≥1恒成立．由t2－2at＋1≥1得2ta－t2≤0.
[方法总结] 重视函数与方程思想的应用
函数与方程的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解决有关求值、解方程、解不等式以及讨论参数的取值范围等问题；二是在解题中通过构造函数，把所研究的方程问题或不等式问题转化为讨论函数的有关性质问题．本例中通过换元法将相应问题转化为二次函数在闭区间上的值域，一定要注意中间变量的取值范围．第一章 1.2 1.2.1
一、选择题
1．命题“△ABC是等腰直角三角形”的形式是( )
A．p∨q B．p∧q
C．綈p D．以上都不对
[答案] B
[解析] △ABC是等腰直角三角形是由△ABC是等腰三角形与△ABC是直角三角形用“且”联结而成，是p∧q命题．
2．对命题p：A∩?＝?，命题q：A∪?＝A，下列判断正确的是( )
A．p且q为假
B．p或q为假
C．p且q为真，p或q为假
D．p且q为真，p或q为真
[答案] D
[解析] 由题意知，p真，q也真．
故p且q为真，p或q为真．
3．命题“方程x2－4＝0的解是x＝±2”中，使用的逻辑联结词的情况是( )
A．没有使用联结词
B．使用了逻辑联结词“或”
C．使用了逻辑联结词“且”
D．使用了逻辑联结词“非”
[答案] B
[解析] x＝±2是指x＝2或x＝－2.
4．下列命题中既是p∧q形式的命题，又是真命题的是( )
A．10或15是5的倍数
B．方程2x2－4x－6＝0的两根是3和－1
C．方程x2＋1＝0没有实数根
D．有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形
[答案] D
[解析] 由联结词意义知选D.
5．若命题p：0是偶数，命题q：2是3的约数，则下列结论中正确的是( )
A．“p∨q”为假 B．“p∨q”为真
C．“p∧q”为真 D．以上都不对
[答案] B
[解析] ∵p为真，q为假，∴“p∨q”为真，故选B.
6．如果命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，那么( )
A．命题p，q都是真命题
B．命题p，q都是假命题
C．命题p，q只有一个是真命题
D．命题，p，q至少有一个是真命题
[答案] C
[解析] “p∨q”为真，则至少p、q有一真，
p∧q为假，则至少p、q有一假，
∴p、q一真一假，故选C.
二、填空题
7．已知命题p：1∈{x|x2[答案] (1，＋∞)
[解析] 若p真，则121；若q真，则可得a>4.“p或q”为真，则a>1或a>4，得a>1，所以实数a的取值范围是(1，＋∞)．
8．已知条件p(x)：x2＋2x－m>0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围是________．
[答案] 3≤m<8
[解析] 由p(1)是假命题，知12＋2×1－m＝3－m≤0，得m≥3；由p(2)是真命题，知22＋2×2－m＝8－m>0，得m<8.所以m的取值范围是3≤m<8.
三、解答题
9．分别指出由下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”形式，并判断真假．
(1)p：2n－1(n∈Z)是奇数；q：2n－1(n∈Z)是偶数．
(2)p：a2＋b2<0(a∈R，b∈R)；q：a2＋b2≥0.
(3)p：集合中元素是确定的；q：集合中元素是无序的．
(4)p：π是无理数；q：不是实数．
(5)p：9是质数；q：8是12的约数．
(6)p：?＝{0}；q：???.
[解析] (1)“p或q”：2n－1(n∈Z)是奇数或是偶数，真命题；“p且q”：2n－1(n∈N)既是奇数又是偶数，假命题．
(2)“p或q”：a2＋b2<0或a2＋b2≥0(a，b∈R)，真命题；“p且q”：a2＋b2<0且a2＋b2≥0(a，b∈R)，假命题．
(3)“p或q”：集合中的元素是确定的或是无序的，真命题；“p且q”：集合中的元素是确定的且是无序的，真命题．
(4)“p或q”：π是无理数或者不是实数，真命题；“p且q”：π是无理数并且不是实数，假命题．
(5)“p或q”：9是质数或者8是12的约数，假命题；“p且q”：9是质数且8是12的约数，假命题．
(6)“p或q”：?＝{0}或???，真命题；“p且q”；?＝{0}且???，假命题.
一、选择题
1．命题“矩形的对角线相等且互相平分”是( )
A．简单命题
B．“p∨q”形式的复合命题
C．“p∧q”形式的复合命题
D．“?p”形式的复合命题
[答案] C
[解析] 由定义可知选C.
2．若p是真命题，q是假命题，则( )
A．p∧q是真命题 B．p∨q是假命题
C．綈 p是真命题 D．綈q是真命题
[答案] D
[解析] 本题主要考查逻辑连接词．利用命题真值表进行判断．
根据命题真值表知，q是假命题，?q是真命题．
3．命题p：如果?a，b∈R，|a|＋|b|>1，那么|a＋b|>1；命题q：函数y＝的定义域是(－∞，－1]∪[3，＋∞)，那么( )
A．“p或q”为假命题
B．“p且q”为真命题
C．命题p为真命题，命题q为假命题
D．命题p为假命题，命题q为真命题
[答案] D
[解析] 因为?a，b∈R，都有|a|＋|b|≥|a＋b|，所以|a|＋|b|>1不能推出|a＋b|>1，故p为假命题；显然函数y＝的定义域，满足不等式|x－1|－2≥0，解得x≤－1或x≥3，所以q是真命题，故选D.
4．已知命题p：不等式|x－1|>m的解集是R，命题q：f(x)＝在区间(0，＋∞)上是减函数．如果命题“p或q”为真，命题“p且q”为假，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，0) B．(0,2)
C．[0,2) D．(－∞，2)
[答案] C
[解析] 由命题p可得m<0，由命题q可得m<2，又由命题“p或q”为真，命题“p且q”为假，得命题p与q一真一假，如果命题p真q假，则可得此不等式组无解；如果命题p假q真，则可得得0≤m<2.故应选C.
二、填空题
5．分别用“p∨q”、“p∧q”填空：
(1)命题“集合A?B”是________的形式；
(2)命题“≥2”是________的形式；
(3)命题“60是10与12的公倍数”是______的形式．
[答案] (1)p∧q (2)p∨q (3)p∧q
6．若命题p：a∈{a，b}，q：{a}?{a，b}，则：①p∨q为真；②p∨q为假；③p∧q为真；④p∧q为假．以上对复合命题的判断正确的是________(填上所有你认为正确的序号)．
[答案] ①③
[解析] 因为命题p：a∈{a，b}是真命题，命题q：{a}?{a，b}是真命题，所以p∨q为真命题，p∧q为真命题．
三、解答题
7．(2014·山东省菏泽市期中)已知命题p：关于x的不等式|x－1|>m－1的解集为R，命题q：函数f(x)＝(5－2m)x是R上的增函数，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．
[解析] 不等式|x－1|>m－1的解集为R，须m－1<0，即p是真命题时，m<1；
函数f(x)＝(5－2m)x是R上的增函数，须5－2m>1，即q是真命题时，m<2.
∵p或q为真命题，p且q为假命题，
∴p、q中一个为真命题，另一个为假命题．
(1)当p真，q假时，m<1且m≥2，此时无解；
(2)当p假，q真时，m≥1且m<2，此时1≤m<2，
因此1≤m<2.
8．(2013·临沂高二检测)已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的负根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，若“p或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围．
[解析] 因为方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的负根，
所以即
所以
所以m>2.所以p真：m>2.
又因为方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．
所以Δ<0，即16(m－2)2－16<0，
所以(m－2)2－1<0，(m－1)(m－3)<0.
所以1所以q真：1因为“p或q”为真，“p且q”为假，
所以p，q一真一假．
当p真q假时
所以m≥3.
当p假q真时
所以1综上所述，m的取值范围是(1,2]∪[3，＋∞)．
课件44张PPT。成才之路·数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 · 选修2-1 常用逻辑用语第一章1.2 基本逻辑联结词第一章1.2.1 “且”与“或”第一章课前自主预习 方法警示探究 课堂典例讲练 易错疑难辨析课后强化作业思想方法技巧 许多电器都有自动控制的功能．如：洗衣机在脱水时，如果“达到预定时间”或“机盖被打开”，就会停机，即当两个条件至少有一个满足时，就会停机，相应的电路，叫做或门电路．电子保险门在“钥匙插入”且“密码正确”两个条件都满足时，才会开启，相应的电路，叫做与门电路．本节我们开始学习逻辑联结词“或”“且”.1.“且”的含义及由“且”构成的新命题
(1)“且”的含义：逻辑联结词“________”与自然语言中的“________”“________”“________”相当．
(2)由“且”构成的新命题：一般地，用逻辑联结词“________”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题，记作：p________q，读作“p且q”．且并且及和且∧
(3)“p且q”的真假：如果p，q________真命题，p∧q是________命题；如果p，q两个命题中，________有一个是假命题，则p∧q是假命题．反过来，如果p∧q是________命题，则p，q一定________真命题；如果p∧q为________命题，则p，q两个命题中，________有一个是假命题．都是真至少真都是假至少注：在数理逻辑的书中，通常把如何判定p∧q的真假的几种情况总结为下表：
归纳总结：判断“且”命题的真假时，首先判断所给两个命题的真假，再利用“且”命题的真值表进行判定．真假假假2．“或”的含义及由“或”构成的新命题
(1)“或”的含义：逻辑联结词“或”的意义和日常语言中的“________”是相当的．
(2)由“或”构成的新命题：一般地，用逻辑联结词“________”把命题p，q联结起来，就得到一个新命题，记作：p________q，读作“p或q”．
(3)“p或q”的真假：如果p，q两个命题中，至少有一个是________，则p________q是真命题；只有当两个命题都为________时，p∨q是________命题．或者或∨真命题∨假假注：在数理逻辑的书中，通常把如何判定p∨q的真假的几种情况总结为下表：
归纳总结：判断“或”命题的真假时，首先判断所给两个命题的真假，再利用“或”命题的真值表进行判定．真真真假1.下列判断正确的是( )
A．命题p为真命题时，命题“p且q”一定是真命题
B．命题“p且q”为真命题时，命题p一定是真命题
C．命题“p且q”为假命题时，命题p一定是假命题
D．命题p为假命题时，命题“p且q”不一定是假命题
[答案] B
[解析] 如果“p且q”为真命题，那么p，q均为真命题．2．与“xy≠0”等价的是( )
A．x≠0且y≠0
B．x≠0或y≠0
C．x，y至少有一个不为0
D．x，y不都是0
[答案] A
[解析] “xy≠0”与“x≠0且y≠0”是等价命题．3．p：点P在直线y＝2x－3上，q：点P在抛物线y＝－x2上，则使“p且q”为真命题的一个点P(x，y)的坐标是( )
A．(0，－3) B．(1,2)
C．(1，－1) D．(－1,1)
[答案] C
4．下列命题是真命题的是________．
①不等式|x＋2|≤0没有实数解；
②－1是偶数或奇数；
③如果x2－3x＋2＝0，那么x＝2或x＝1.
[答案] ②③
[解析] 不等式|x＋2|≤0有实数解x＝－2.5．写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)p：50既能被5整除，又能被2整除；
(2)p：平面内的两条直线，相交或平行；
(3)p：一元二次方程至多有两个解．
[解析] (1)綈p：50不能被5整除，或不能被2整除，假命题．
(2)綈p：平面内的两条直线，不相交且不平行，假命题．
(3)綈p：一元二次方程至少有三个解，假命题． 分别写出下列各组命题构成的“p∧q”形式的新命题，并判断它们的真假：
(1)p：30是5的倍数；q：30是8的倍数．
(2)p：矩形的对角线互相平分；q：矩形的对角线相等．
(3)p：x＝1是方程x－1＝0的根；q：x＝1是x＋1＝0的根．
[思路分析] 用逻辑联结词“且”把命题p，q联结起来构成“p∧q”形式的命题；利用命题“p∧q”的真值表判断其真假． “p∧q”形式的命题及其真假的判定[解析] (1)p∧q：30是5的倍数且是8的倍数；
由于命题p是真命题，命题q是假命题，故命题p∧q是假命题．
(2)p∧q：矩形的对角线互相平分且相等．
由于命题p和q都是真命题，故命题p∧q是真命题．
(3)p∧q：x＝1是方程x－1＝0的根且是方程x＋1＝0的根．
由于命题p是真命题，命题q是假命题，故命题p∧q是假命题．
[方法总结] (1)写“且”命题时，若两个命题有公共的主语，写成“且”命题时，后一个命题可省略主语，如例1(1)．
(2)判断“且”命题真假的方法和步骤：①先判断每一个命题的真假；②利用真值表判断“且”命题的真假． 分别写出由下列各组命题构成的“p∨q”形式的命题，并判断它们的真假：
(1)p：正多边形各边相等；q：正多边形各内角相等．
(2)p：线段中垂线上的点到线段两端点距离相等；
q：角平分线上的点到角的两边的距离不相等．
(3)p：正六边形的对角线都相等；q：偶数都是4的倍数．
[思路分析] 用逻辑联结词“或”把命题p，q联结起来构成“p∨q”形式的命题；利用命题“p∨q”的真值表判断其真假． “p∨q”形式的命题及其真假的判定 [解析] (1)p∨q：正多边形各边相等或各内角相等．
由于命题p是真命题，命题q是真命题，故命题p∨q是真命题．
(2)p∨q：线段中垂线上的点到线段两端点距离相等或角平分线上的点到角的两边的距离不相等．
由于命题p是真命题，命题q是假命题，故命题p∨q是真命题．
(3)p∨q：正六边形的对角线都相等或偶数都是4的倍数．
由于命题p是假命题，命题q是假命题，故命题p∨q是假命题．
[方法总结] (1)写“或”命题时，若两个命题有公共的主语，写成“或”命题时后一个命题可省略主语；如例2的第(1)小题．
(2)判断“或”命题真假的方法和步骤：①先判断每一个命题的真假；②利用真值表判断“或”命题的真假．写出由下列各组命题构成的“p∨q”形式的复合命题，并判断真假．
(1)p：1是质数，q：1是方程x2＋2x－3＝0的根；
(2)p：平行四边形的对角线相等，q：平行四边形对角线互相垂直；
(3)p：3>3，q：3＝3.[分析] 先用“或”来联结构成“p∨q”形式的新命题，再根据真值表来判断“p∨q”的真假．
[解析] (1)p∨q：1是质数或是方程x2＋2x－3＝0的根．
因为p假q真，所以p∨q真．
(2)p∨q：平行四边形的对角线相等或互相垂直．
因为p假q假，所以p∨q假．
(3)p∨q：3≥3.
因为p假q真，所以p∨q真． (1)(2014·南京高二检测)命题p：x2＋2x－3>0，命题q：(x－2)(x－3)<0.若p且q为真，则x的取值范围是________．
(2)设有两个命题，命题p：不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集是?；命题q：函数f(x)＝(a＋1)x在定义域内是增函数，如果p且q为假命题，p或q为真命题，求a的取值范围．逻辑联结词的应用
[思路分析] (1)问要求x的取值范围．先求出p和q；再利用p且q为真，则p，q均为真；
(2)问同样求出p，q，再利用p且q为假，p或q为真，则p，q一真一假．(2)对于p：因为不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集是?，
所以Δ＝[－(a＋1)]2－4<0.
解这个不等式得：－3对于q：f(x)＝(a＋1)x在定义域内是增函数，则有a＋1>1，所以a>0.
又p且q为假命题，p或q为真命题，所以p，q必是一真一假．
当p真q假时有－3综上所述，a的取值范围是(－3,0]∪[1，＋∞)．
[方法总结] 应用逻辑联结词求参数范围的步骤：
步骤1：分别求出命题p，q对应的参数集合A，B；步骤2：由“p且q”“p或q”的真假讨论p，q的真假；步骤3：由p，q的真假转化为相应的集合的运算；步骤4：求解不等式或不等式组得到参数的取值范围． (2013·九江高二检测)已知下列两个命题：p：函数y＝x2－2mx＋4(x∈R)在[2，＋∞)上单调递增；q：关于x的不等式4x2＋4(m－2)x＋1>0(m∈R)的解集为R，p∧q为假命题，p∨q为真命题，求m的取值范围．
[解析] 当p真时，得m≤2，当p假时，m>2.
当q真时，得1由题知p，q一真一假，若p真q假，则m≤1；若p假q真，则2综上，m的取值范围是m≤1或2 已知命题p：不等式|x|＋|x－1|>m的解集为R，命题q：f(x)＝－(5－2m)x是减函数，如果p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．
[错因分析] 解此类问题注意两点：(1)正确理解并化简所给命题；(2)理解问题的命题形式．[正解] 由不等式|x|＋|x－1|>m的解集为R和绝对值的几何意义知m<1；
由f(x)＝－(5－2m)x是减函数知5－2m>1，
∴m<2.
又p∧q为假，p∨q为真，
∴p、q一真一假，如果p真q假，可得m无解；
如果p假q真，可得1≤m<2.
由以上两种情况可得，
实数m的取值范围是{m|1≤m<2}．分类讨论思想
已知c>0，设p：函数y＝cx在R上递减；q：不等式x＋|x－2c|>1的解集为R，如果“p或q”为真，且“p且q”为假，求c的范围．
[思路分析] 要求c的范围，可先由条件p、q分别求出c的范围；然后利用“p或q”为真，且“p且q”为假，确定c的范围．
[方法总结] 本题以函数为载体将函数、不等式、简易逻辑有机地结合在一起．
解答这类题的一般步骤：(1)先求出命题p∧q，p∨q的命题p、q的参数成立条件；(2)其次根据命题p∧q，p∨q的真假判定命题p、q的真假；(3)根据p、q的真假求出参数的取值范围．第一章 1.2 1.2.2
一、选择题
1．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )
A．任意一个有理数，它的平方是有理数
B．任意一个无理数，它的平方不是有理数
C．存在一个有理数，它的平方是有理数
D．存在一个无理数，它的平方不是有理数
[答案] B
[解析] 本题主要考查了存在性命题与全称命题的互化问题．将“存在”改为“任意”，将“它的平方是有理数”改为“它的平方不是有理数”即可，命题的否定指将存在性命题，改为全称命题，否定其结论，或将全称命题改为存在性命题，否定其结论．
2．如果命题“綈p或綈q”是真命题，命题“綈p且綈q”是假命题，那么( )
A．命题p和q都是真命题
B．命题p和q都是假命题
C．命题p与“綈q”的真假相同
D．命题p与“綈q”的真假不同
[答案] C
[解析] “綈p或綈q”是真命题，说明綈p与綈q至少有一为真命题，而綈p且綈q是假命题，说明綈p与綈q至少有一为假命题，所以綈p和綈q有一真命题一假命题，∴p与“綈q”真假相同．
3．命题：“?x∈R，都有x2－x＋1>0”的否定是( )
A．?x∈R，都有x2－x＋1≤0
B．?x∈R，使x2－x＋1>0
C．?x∈R，使x2－x＋1≤0
D．以上选项均不正确
[答案] C
[解析] 原命题是全面肯定，则它的非命题应是部分否定，故选C.
4．命题“?x0∈?RQ，x∈Q”的否定是( )
A．?x0??RQ，x∈Q
B．?x0∈?RQ，x?Q
C．?x??RQ，x3∈Q
D．?x∈?RQ，x3?Q
[答案] D
[解析] 本题考查量词命题的否定改写．
?x0∈?RQ，x?Q，注意量词一定要改写．
5．(2014·武汉市联考)命题“所有奇数的立方都是奇数”的否定是( )
A．所有奇数的立方都不是奇数
B．不存在一个奇数，它的立方是偶数
C．存在一个奇数，它的立方是偶数
D．不存在一个奇数，它的立方是奇数
[答案] C
[解析] 全称命题的否定是特称命题，即“存在一个奇数，它的立方是偶数”．
6．设命题p：函数y＝sin2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cosx的图象关于直线x＝对称．则下列判断正确的是( )
A．p为真 B．綈q为假
C．p∧q为假 D．p∨q为真
[答案] C
[解析] 函数y＝sin2x的最小正周期为T＝＝π，所以命题p假，函数y＝cosx的图象关于直线x＝kπ(k∈Z)对称，所以命题q假，綈p为真，p∨q为假．
二、填空题
7．命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是____________．
[答案] 对?x∈R，都有x2＋2x＋5≠0.
[解析] 该题考查命题的否定．注意存在性命题的否定是全称命题．
8．若“p∧q”与“p∨q”均为假，则綈p，綈q的真假为________．
[答案] 均为真
[解析] 由命题“且”，“或”知p、q都是假，∴綈p、綈q都是真．
三、解答题
9．已知：p：|3x－4|>2，q：>0，求綈p和綈q对应的x值的集合．
[解析] 由p：|3x－4|>2，得p：x>2或x<，∴綈p：≤x≤2.
即綈p：{x|≤x≤2}．
由q：>0，得q：x>2或x<－1，
∴綈q：－1≤x≤2，即綈q：{x|－1≤x≤2}.
一、选择题
1．(2013·湖北高考)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )
A．(綈p)∨(綈q) B．p∨(綈q)
C．(綈p)∧(綈q) D．p∨q
[答案] A
[解析] ∵綈p“甲没降落在指定范围”，綈q“乙没降落在指定范围”，
∴“至少一位学员没有降落在指定范围”可表示为(綈p)∨(綈q)，故选A.
2．(2013·重庆高考)命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为( )
A．对任意x∈R，都有x2<0
B．不存在x∈R，使得x2<0
C．存在x0∈R，使得x≥0
D．存在x0∈R，使得x<0
[答案] D
[解析] 根据全称命题的否定是特称命题，应选D.
3．(2013·河南安阳)已知命题p：?x∈R，使sinx＝；命题q：?x∈R，都有x2＋x＋1>0.给出下列结论：
①命题“p∧q”是真命题；
②命题“p∧(綈q)”是假命题；
③命题“(綈p)∨q”是真命题；
④命题“(綈p)∨(綈q)”是假命题．
其中正确的是( )
A．②④ B．②③
C．③④ D．①②③
[答案] B
[解析] 因为对任意实数x，|sinx|≤1，而sinx＝>1，所以p为假；因为x2＋x＋1＝0的判别式Δ<0，所以q为真．因而②③正确．
4．(2014·湖南理，5)已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是( )
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
[答案] C
[解析] 当x>y时，两边乘以－1可得－x<－y，所以命题p为真命题，当x＝1，y＝－2时，因为x2二、填空题
5．已知命题p：不等式x2＋x＋1≤0的解集为R，命题q：不等式≤0的解集为{x|1[答案] p∨q，?p
[解析] p的范围应为?，故p为假；q为真，故“p∨q”与“?p”为真，而“p∧q”与“?p”为假．
6．已知命题p：|x2－x|≥6，q：x∈Z且“p∧q”与“?q”同时为假命题，则x的值为________．
[答案] －1、0、1、2
[解析] ∵“p∧q”为假，
∴p、q至少有一个命题为假，又“?q”为假，
∴q为真，从而可知p为假．
由p为假且q为真，
可得|x2－x|<6且x∈Z，
即??
故x的值为－1、0、1、2.
7．下列说法错误的是________．
①“p且q”的否定是“綈p或綈q”
②若q为真，则綈q为假
③若p∧q为真，则綈p为假
④命题p：若M∪N＝M，则N?M，命题q：5?{2,3}，则命题“p且q”为假
[答案] ④
[解析] ④中p为真q为真，所以p且q为真．
三、解答题
8．写出下列命题的“否定”，并判断其真假：
(1)p：?x∈R；x2－x＋≥0；
(2)q：所有的正方形都是矩形；
(3)s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0.
[解析] (1)?p：?x∈R，x2－x＋<0.是假命题，因为由?x∈R，x2－x＋＝2≥0恒成立．
(2)?q：至少存在一个正方形不是矩形．是假命题．
(3)?s：?x∈R，x3＋1≠0.是假命题，这是由于x＝－1时，x3＋1＝0.
9．已知p：方程x2－mx＋m＋3＝0有两个不等的负根，q：方程x2＋2(m－2)x－3m＋24＝0无实根．若p∨q为真，p∧q为假．求实数m的取值范围．
[解析] 当p为真命题时，有
即?
?－3当q为真命题时有Δ＝[2(m－2)]2－4(－3m＋24)<0，
即m2－4m＋4＋3m－24<0?m2－m－20<0?－4∵p∨q为真，p∧q为假，
∴p与q中有一真命题，一假命题，即p真q假或p假q真．
∴或
?－4所以所求实数m的取值范围是(－4，－3]∪[－2,5)．
课件44张PPT。常用逻辑用语第一章1.2 基本逻辑联结词第一章1.2.2 “非”(否定)第一章课前自主预习 方法警示探究 课堂典例讲练 易错疑难辨析课后强化作业思想方法技巧 数学家斯摩林根据莎士比亚的名剧《威尼斯商人》中的情节编了一道题：女主角鲍西娅对求婚者说：“这里有三只盒子：金盒、银盒和铅盒，每只盒子的铭牌上各写有一句话．三句话中，只有一句是真话．谁能猜中我的肖像放在哪一只盒子里，谁就能作我的丈夫．”盒子上的话如图所示，求婚者猜中了，你知道他是怎样猜中的吗？提示：金盒上的铭牌“肖像在这盒里”(即肖像在金盒里)与铅盒上面的铭牌“肖像不在金盒里”是两个命题，其中一个是另一个的否定，由逻辑知识可知，它们一真一假．又因为三句话中只有一句是真话，所以银盒的铭牌所说的那句话“肖像不在这盒里”就肯定是假话了，于是求婚者断定鲍西娅的肖像放在银盒子里.1.“非”的含义
逻辑联结词“非”(也称为“________”)，的意义是由日常语言中的“________”“______________”“_____________”等抽象而来的．
2．命题p的否定(非p)
一般地，对命题p加以否定，就得到一个新命题，记作________，读作“________”或“___________”．否定 不是全盘否定问题的反面 p的否定 綈p非p一般把如何由p的真假判定綈p的真假总结为下表：
名师点拨：(1)p的否定是綈p，綈p的否定是p，即p与綈p是相互否定的．
(2)命题“p且q”的否定是“綈p”或“綈q”；命题“p或q”的否定是“綈p且綈q”．假假3．存在性命题的否定
存在性命题p：?x∈A，p(x)；它的否定是綈p：___________________.
名师点拨：否定存在性命题时，首先把存在量词改为全称量词，再对性质p(x)进行否定．
4．全称命题的否定
全称命题q：?x∈A，q(x)；它的否定是綈q：_____________________.
名师点拨：否定全称命题时，首先把称量词改为存在量词，再对性质q(x)进行否定．?x∈A，綈p(x)?x∈A，綈q(x)1.命题“p”与命题“綈p”的真假关系是( )
A．可能都是真命题 B．一定是一真一假
C．可能都是假命题 D．不能判断
[答案] B [答案] B
[解析] p：?x∈R，x2＋1>0，綈p为?x∈R，x2＋1≤0.把全称命题改为存在性命题，否定结论．3．命题p：存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根，则綈p是( )
A．存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根
B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根
C．对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根
D．至多有一个实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根
[答案] C4．已知p，q是两个命题，且命题“p∧q”是假命题，则下列命题为真的是( )
A．綈p B．綈q
C．綈p且綈q D．綈p或綈q
[答案] D
[解析] 由命题“p∧q”是假命题知p，q中至少有一个为假，但不能确定谁真谁假，故选项A，B，C错．命题“p∧q”是假命题，则其否定为真，从而选D.
5．已知命题q：矩形的对角线相等．写出命题q的非(否定)．
[分析] 此命题省略了全称量词“所有”，按全称命题的否定形式进行否定得到綈q：有些矩形的对角线不相等．
[解析] 綈q：有些矩形的对角线不相等． 写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)p：圆(x－1)2＋y2＝4的圆心是(1,0)；
(2)q：50是7的倍数；
(3)r：一元二次方程至多有两个解；
(4)s：7<8.
[思路分析] (1)“是”的否定词语为“不是”，利用命题的否定的定义写出綈p：圆(x－1)2＋y2＝4的圆心不是(1,0)．因原命题是真命题，故其非是假命题． “綈p”形式的命题及其真假
(2)綈q：50不是7的倍数．因原命题为假，故其否定为真．
(3)“至多有两个”的否定词是“至少有三个”，利用命题的否定的定义写出该命题的否定綈r：一元二次方程至少有三个解．因原命题为真，故其否定为假．
(4)綈s：7≥8.因原命题是真命题，故其否定为假．
[解析] (1)綈p：圆(x－1)2＋y2＝4的圆心不是(1,0)．(假)
(2)綈q：50不是7的倍数．(真)
(3)綈r：一元二次方程至少有三个解．(假)
(4)綈s：7≥8.(假)
[方法总结] 1.关于命题“p∧q”与“p∨q”的否定
(1)命题“p∧q”表示“p与q”都具有某一性质，所以“p∧q”的否定应该是“p，q至少有一个不满足某一性质”，即“p∧q”的否定为“(綈p)∨(綈q)”．
(2)命题“p∨q”表示“p与q至少有一个具有某一性质”，所以“p∨q”的否定应该是“p，q都不满足某一性质”，即“p∨q”的否定为“(綈p)∧(綈q)”．2．常用正面词语的否定
写出命题的非(否定)，需要对其正面叙述的词语进行否定，常用正面叙述词语及它的否定列举如下： (1)“函数f(x)＝x2＋x＋1无零点”是________命题(填真、假)．
(2)写出下列命题p的否定，并判断其真假：
①p：周期函数都是三角函数．
②p：偶函数的图象关于y轴对称．
③p：若x2－x≠0，则x≠0且x≠1.
[解析] (1)真 由于“方程x2＋x＋1＝0无实数根”，所以“函数f(x)＝x2＋x＋1无零点”是真命题．
(2)①綈p：周期函数不都是三角函数．命题p是假命题，綈p是真命题．
②綈p：偶函数的图象不关于y轴对称．命题p是真命题，綈p是假命题．
③綈p：若x2－x≠0，则x＝0或x＝1.命题p是真命题，綈p是假命题． (1)命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是( )
A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0
B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0
C．存在x∈R，x3－x2＋1>0
D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0全称命题的否定(2)已知命题p：?x∈R，sinx≤1，则( )
A．綈p∶?x∈R，sinx≥1
B．綈p∶?x∈R，sinx≤1
C．綈p∶?x∈R，sinx>1
D．綈p∶?x∈R，sinx>1
[思路分析] “?x∈D，p(x)”的否定是“?x∈D，綈p(x)”．注意本题中的“≥”的否定是“<”．
[答案] (1)C (2)C
[方法总结] 1.对全称命题否定的两个步骤
第一步改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词；
第二步否定性质：原命题中的“p(x)成立”改为“綈p(x)成立”．
2．全称命题否定后的真假判断方法
全称命题的否定是存在性命题，其真假性与全称命题相反；要说明一个全称命题是假命题，只需举一个反例即可． (2013·四川高考)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：?x∈A,2x∈B，则( )
A．綈p：?x∈A,2x∈B B．綈p：?x?A,2x∈B
C．綈p：?x∈A,2x?B D．綈p：?x?A,2x?B
[答案] C
[解析] 由命题p：?x∈A,2x∈B得綈p：?x∈A,2x?B. 写出下列存在性命题的否定：
(1)p：?x∈R，x2＋2x＋2≤0；
(2)p：有的三角形是等边三角形；
(3)p：有一个素数含三个正因数．
[思路分析] 存在性命题?x∈A，p(x)，命题的否定为?x∈A，綈p(x)．存在性命题的否定
[解析] (1)綈p：?x∈R，x2＋2x＋2>0.
(2)綈p：所有的三角形都不是等边三角形．
(3)綈p：每一个素数都不含三个正因数．
[方法总结] 1.对存在性命题否定的步骤
第一步改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．
第二步否定性质：原命题中的“p(x)成立”否定为“綈p(x)成立”．
2．存在性命题否定后的真假判断
存在性命题的否定是全称命题，其真假性与存在性命题相反；要说明一个存在性命题是真命题，只需要找到一个实例即可．(1)(2013·九江高二检测)命题：存在n∈N,2n>1000的否定是( )
A．任意n∈N,2n≤1000
B．任意n∈N,2n>1000
C．存在n∈N,2n≤1000
D．存在n∈N,2n<1000由于概念不清对命题否定用词错误
若命题p：x∈A∪B，则綈p是( )
A．x∈A∪B B．x?A或x?B
C．x?A且x?B D．x∈A∩B
[错解] B
[错因分析] 因为x∈A∪B，即x∈A或x∈B，B项的否定只否定了x∈A和x∈B中的一个，而没有对“或”进行否定，从而得出错误结论．
[正解] C
[思路分析] 对“x∈A或x∈B”的否定，不但对“x∈A”“x∈B”进行否定，同时对“或”进行否定，因此非p是：x?A且x?B. 已知命题p：若x2＋y2＝0，则x，y全为0，试写出其否定形式綈p.
[错解] 綈p：若x2＋y2＝0，则x，y全不为0.
[错因分析] 对“全为”的否定为“全不为”是错误的．
[正解] 綈p：若x2＋y2＝0，则x，y不全为0.
[思路分析] 对“全为”的否定应为“不全为”．
[方法总结] 1.注意命题真假之间的等价转化形式
命题与命题的否定之间的等价转化，表现在：若已知命题p为假，常常转化为綈p为真进行解题．另外本例也可以间接求得参数m的取值范围：若原命题为真命题，只需m>f(x)min＝1，所以原命题为假命题的参数m的取值范围是m≤1.第一章 1.3 1.3.1
一、选择题
1．“x<－1”是“x2－1>0”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要
[答案] A
[解析] 由“x2－1>0”可得x<－1或x>1.由于集合{x|x<－1}?{x|x<－1或x>1}，因此“x<－1”是“x2－1>0”的充分而不必要条件，故选A.
2．“x＝2kx＋(k∈Z)”是“tanx＝1”成立的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 因为tan(2kπ＋)＝tan＝1，所以是充分条件；但反之不成立，如：tan＝1，但≠2kπ＋(k∈Z)．
3．(2014·济南市模拟)“a＝1”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 由题意知，函数f(x)＝，函数f(x)在[a，＋∞)上单调递增．当a＝1时，函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数，当然在[2，＋∞)上为增函数，反之不成立，故选A.
4．f(x)，g(x)是定义在R上的函数，h(x)＝f(x)＋g(x)，则“f(x)，g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的( )
A．充要条件
B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] 若f(x)，g(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)，g(－x)＝g(x)，
故h(－x)＝f(－x)＋g(－x)＝f(x)＋g(x)＝h(x)．
又∵f(x)，g(x)的定义域是R.
∴h(x)是偶函数．
∴f(x)，g(x)是偶函数?h(x)是偶函数．
令f(x)＝x，g(x)＝x2－x，
则h(x)＝f(x)＋g(x)＝x2是偶函数．
而f(x)，g(x)不是偶函数，
∴h(x)是偶函数?/ f(x)，g(x)是偶函数．
5．(2014·安徽理，2)“x＜0”是ln(x＋1)＜0的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] 本题考查对数函数的性质，充分必要条件．
ln(x＋1)<0＝ln1，∴0即－1∴为必要不充分条件．
应用集合关系可以判定充分与必要条件．
6．(2013·福建)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A?B”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 本题考查了充要条件的判断．
当a＝3时，A＝{1,3}，故A?B，若A?B，则a＝2或a＝3，故为充分而不必要条件．
二、填空题
7．p：x＝x2，q：3－2x＝x2，则p是q的________条件．
[答案] 既不充分又不必要条件
[解析] 由xx＝x2可得x＝0或1，而3－2x＝x2可得1或－3，
∴p?/ q，q?/ p，
∴p是q的非充分非必要条件．
8．函数y＝x2＋bx＋c，x∈[0，＋∞)是单调函数的充要条件为________．
[答案] b≥0
[解析] 对称轴为x＝－，
要使y＝x2＋bx＋c在x∈[0，＋∞)上单调，
只需满足－≤0，即b≥0.
三、解答题
9．已知条件p：A＝{x|2a≤x≤a2＋1}，条件q：B＝{x|x2－3(a＋1)x＋2(3a＋1)≤0}．若条件p是条件q的充分条件，求实数a的取值范围．
[解析] A＝{x|2a≤x≤a2＋1}，B＝{x|(x－2)[x－(3a＋1)]≤0}．
①当a≥时，B＝{x|2≤x≤3a＋1}；
②当a<时，B＝{x|3a＋1≤x≤2}．
因为p是q的充分条件，
所以A?B，于是有解得1≤a≤3.
或解得a＝－1.
故a的取值范围是{a|1≤a≤3或a＝－1}.
一、选择题
1．(2013·山东)给定两个命题p，q.若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 由q?綈p且綈p?/ q可得p?綈q且綈q?/ p，所以p是綈q的充分不必要条件．
2．(2013·河南焦作)已知a∈R，则“a>2”是“a2>2a”成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 因为a>2，则a2>2a成立，反之不成立，所以“a>2”是“a2>2a”成立的充分不必要条件．
3．(2013·东北八校)设命题甲为命题乙为那么甲是乙的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] 根据不等式的性质知，由乙可推得甲，反之不成立，如x＝y＝满足甲，但不满足乙，所以甲是乙的必要不充分条件．
4．(2014·浙江省名校联考)一次函数y＝－x＋的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( )
A．m>1，且n<1 B．mn<0
C．m>0，且n<0 D．m<0，且n<0
[答案] B
[解析] 因为y＝－x＋经过第一、三、四象限，故－>0，<0，且m>0，n<0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mn<0，故选B.
二、填空题
5．“lgx>lgy”是“>”的______________条件．
[答案] 充分不必要
[解析] 由lgx>lgy?x>y>0?>充分条件成立．
又由>成立，当y＝0时，lgx>lgy不成立，必要条件不成立．
6．不等式ax2＋ax＋a＋3>0对一切实数x恒成立的充要条件是________．
[答案] a≥0
[解析] ①当a＝0时，原不等式为3>0，恒成立；
②当a≠0时，用数形结合的方法则有
?a>0.
∴由①②得a≥0.
7．(2014·江西省七校联考)若关于x的不等式|x－m|<2成立的充分不必要条件是2≤x≤3，则实数m的取值范围是________．
[答案] (1,4)
[解析] 由|x－m|<2得－2依题意有集合{x|2≤x≤3}是{x|m－2三、解答题
8．是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围．
[解析] x2－x－2>0的解是x>2或x<－1，由4x＋p<0得x<－.
要想使x<－时x>2或x<－1成立，必须有－≤－1，即p≥4，所以当p≥4时，－≤－1?x<－1?x2－x－2>0.
所以p≥4时，“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分条件．
9．设a，b，c为△ABC的三边，求证：x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.
[解析] 充分性：
∵∠A＝90°，∴a2＝b2＋c2，
于是方程x2＋2ax＋b2＝0可化为x2＋2ax＋a2－c2＝0，
即x2＋2ax＋(a＋c)(a－c)＝0，
∴[x＋(a＋c)][x＋(a－c)]＝0，
∴该方程有两个根x1＝－(a＋c)，x2＝－(a－c)，
同样，另一方程x2＋2cx－b2＝0也可化为
x2＋2cx－(a2－c2)＝0，
即x2＋2cx－(a－c)(a＋c)＝0，
∴[x＋(c＋a)][x＋(c－a)]＝0，
∴该方程有两个根x3＝－(a＋c)，x4＝－(c－a)，
可以发现x1＝x3，
∴这两个方程有公共根．
必要性：设β是两方程的公共根，
则，
由①＋②得：β＝－(a＋c)或β＝0(舍去)，
将β＝－(a＋c)代入①并整理可得：a2＝b2＋c2，
∴∠A＝90°.
课件52张PPT。常用逻辑用语第一章1.3 充分条件、
必要条件与命题的四种形式 第一章1.3.1 推出与充分条件、必要条件第一章课前自主预习 方法警示探究 课堂典例讲练 易错疑难辨析课后强化作业思想方法技巧 曹操赤壁兵败之后欲投南郡，除华容道外，还有大路一条，前者路险，但近50里；后者路平，但远50里．曹操发现“小路山边有数处起烟，大路并无动静”曹操推断“诸葛亮多谋，使人于山僻烧烟，他却伏兵于大路，我偏不中计！”
哪知这正与诸葛亮的推断吻合：曹操熟读兵书，会搬用“虚则实之，实则虚之”的原理，不如来一个实而实之，以傻卖傻，故燃炊烟，最终使曹操败走华容道．曹操的错误在于把不可靠的臆测作为已知条件，经过推理，得到的结论当然是不可靠的．那么什么样的条件算是充分的？什么样的条件只是必要的？推理所得的结论和条件一定是等价的吗？让我们从本节开始学起吧.1.命题的条件和结论
“如果p，则(那么)q”形式的命题，其中________称为命题的条件，________称为命题的结论．
2．推出符号“?”的含义
当命题“如果p，则q”是________命题时，就说由________可以推出________，记作p?q，读作“p推出q”．pq真pq
名师点拨：只有当一个命题是真命题时，才能使用推出符号“?”表示．例如：
“如果两个三角形全等，那么它们的面积相等”是真命题，故可用推出符号“?”表示为：两个三角形全等?它们的面积相等．
“如果两个三角形面积相等，那么它们全等”是假命题．故此命题不能用推出符号“?”表示．3．充分条件、必要条件
如果p可推出q，则称________是________的充分条件，________是________的必要条件．
4．充要条件
一般地，如果p?q，且________?________，则称p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件，记作p?q.
显然，当p是q的充要条件时，________也是________的充要条件，p是q的充要条件，又常说成________当且仅当________，或p与q________.pqqpqpqpqp等价名师点拨：对充要条件的判定，首先要分清条件p和结论q，不但要看是否能由p?q而且还要看是否能由q?p.1.已知p：x＝0，q：x(x－1)＝0；则p是q的________条件．
[答案] 充分不必要
2．已知在△ABC中，p：AB＝AC，q：∠C＝∠B；p是q的________条件．
[答案] 充要3．已知p：x2＝1，q：x＝1，则p是q的________条件．
[答案] 必要不充分
4．已知p：x(x－3)<0，q：|x|<2；则p是q的________条件．
[答案] 既不充分也不必要
5．已知p：{x|x2<1}，q：{x|x>a}，若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．
[分析] 先化简集合，根据p是q的充分不必要条件得到A?B，然后利用集合关系解决问题．
[解析] 设A＝{x|x2<1}＝{x|－1a}，则p：A＝{x|－1a}． (1)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的________条件(填充分不必要、必要不充分、充要或既不充分也不必要)
(2)分别指出下列各组命题中p是q的什么条件．
①p：(x＋1)(x－2)＝0，q：x＋1＝0.
②p：x＝y，q：sinx＝siny.
[思路分析] 先写成“若p，则q”的形式，然后判断p成立时，q是否成立，q成立时，p是否成立．用定义法判断充分条件与必要条件
[方法总结] 用定义法判断充分条件和必要条件的一般步骤
(1)判定“若p，则q”的真假．
(2)尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件．
(3)尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件． (1)设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)指出下列各组命题中，p是q的什么条件？
①p：x>1，q：x2>1；
②p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形． [解析] (1)A 当x＝2，y＝－1时，有2－1－1＝0成立，此时P(2，－1)在直线l上，而点P(x，y)在直线l上，并不确定有“x＝2且y＝－1”．
(2)①由x>1?x2>1，所以p?q.因为x2>1，所以x>1或x<－1，所以q?/ p，所以p是q的充分不必要条件．
②△ABC有两个角相等，则△ABC是等腰三角形，不一定是正三角形，所以p?/ q；若△ABC是正三角形，则三个角均相等，即任意两个角都相等，所以q?p，故p是q的必要不充分条件．用集合法判断充分条件与必要条件 [思路分析] 由p和q表示的集合范围大小来确定p，q的条件关系． [方法总结] 集合法判断充分条件与必要条件
写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合间的包含关系进行判断.(1)在下列各项中选择一项填空：
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
①p：(x－1)(x＋2)≤0，q：x<2，p是q的________；
②p：－1≤x≤6，q：|x－2|<3，p是q的________；
③p：x2－x－6＝0，q：x＝－2或x＝3，p是q的______．[解析] (1)①A ②B ③C ①令A＝{x|(x－1)(x＋2)≤0}＝{x|－2≤x≤1}，B＝{x|x<2}，显然A?B，所以p是q的充分不必要条件．
②令A＝{x|－1≤x≤6}，
B＝{x||x－2|<3}＝{x|－3显然B?A，所以p是q的必要不充分条件．
③令A＝{x|x2－x－6＝0}＝{x|x＝－2或x＝3}＝{－2,3}，B＝{－2,3}，显然A＝B，所以p是q的充要条件． 求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
[思路分析] 理清两个基本命题：p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，q：a＋b＋c＝0，证明充分性时：q?p，证明必要性时需证p?q.充要条件的证明[解析] 必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，
∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0，∴a＋b＋c＝0，
充分性：∵a＋b＋c＝0，
∴c＝－a－b代入ax2＋bx＋c＝0中有ax2＋bx－a－b＝0
即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.
即方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，
综上所述，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
[方法总结] 证明充分条件和必要条件，即证充分性和必要性，证明充要性时，一定要分类讨论，要搞清它的叙述格式，避免将充分性与必要性混为一谈．设x、y∈R，求证：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.
[证明] 充分性：如果xy＝0，那么，①x＝0，y≠0；②y＝0；x≠0；③x＝0，y＝0，于是|x＋y|＝|x|＋|y|.
如果xy>0，即x>0，y>0或x<0，y<0.
当x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y＝|x|＋|y|.
当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)＝－x＋(－y)＝|x|＋|y|.
总之，当xy≥0时，有|x＋y|＝|x|＋|y|.
必要性：由|x＋y|＝|x|＋|y|及x，y∈R，得(x＋y)2＝(|x|＋|y|)2，即x2＋2xy＋y2＝x2＋2|xy|＋y2.
|xy|＝xy，∴xy≥0.充分条件、必要条件、充要条件的综合问题
[方法总结] 含参数不等式的解法
在解含参数不等式时，判断是否需要讨论，若不需讨论，则按一般不等式求解，若需要讨论，则充分考虑参数的范围和可讨论的范围，做到不重不漏．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－mx＋2＝0}，若A是B的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
[解析] 化简条件得A＝{1,2}，A是B的必要不充分条件，即B?A.
根据集合中元素个数对集合B分类讨论：B＝?，B＝{1}或{2}．在逻辑推理方面考虑不周全，出现漏解
已知方程x2＋(2a－1)x＋a2＝0，求使方程有两个大于1的根的充要条件．[错因分析] 考虑不全面，此条件是必要不充分条件，并非充要条件．
[思路分析] 正确写出方程有两个大于1的根的充要条件是解决本题的关键，根据方程根的分布情况，画出相应的函数的图象，再根据图象的特征，写出其充要条件．分类讨论思想
求ax2＋2x＋1＝0(a≠0)至少有一负根的充要条件．
[思路分析] 方程至少有一负根包括：一正根和一负根、两负根，此外还要考虑a的正负号，本题也可以从至少有一负根的反面入手．
[方法总结] 求充要条件的问题实质就是求满足题设所需的条件，值得注意的是要保证这些条件的逻辑性正确．第一章 1.3 1.3.2
一、选择题
1．如果命题p的否命题为r，命题r的逆命题是s，则s是p的逆命题t的( )
A．逆否命题 B．逆命题
C．否命题 D．原命题
[答案] C
[解析] 不妨设p为“若m，则n”则r为“若綈m，则綈n，”则s为“若綈n则綈m”，p的逆命题为“若n则m”，∴s是p的逆命题t的否命题．
2．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题，否命题，逆否命题中，真命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] B
[解析] 原命题和它的逆否命题为真．
3．已知a、b、c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是( )
A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3
B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3
C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3
D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3
[答案] A
[解析] 本题考查了四种命题，分清“命题的否定”与“否命题”是解决问题的关键．“否命题”是将“原命题”的条件与结论同时否定．所以选A.
4．(2013·江西九江)命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是( )
A．“若xy，则x2>y2”
C．“若x≤y，则x2≤y2” D．“若x≥y，则x2≥y2”
[答案] C
[解析] 根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．
5．设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是( )
A．若a≠－b，则|a|≠|b|
B．若a＝－b，则|a|≠|b|
C．若|a|≠|b|，则a≠－b
D．若|a|＝|b|，则a＝－b
[答案] D
[解析] 本小题考查逆命题的写法．条件与结论互换．
6．下列说法正确的是( )
A．一个命题的否命题为真，则它的逆命题为假
B．一个命题的逆命题为真，则它的否命题为真
C．一个命题的否命题为真，则它的逆否命题为真
D．一个命题的逆否命题为真，则它的逆命题为真
[答案] B
[解析] 由四种命题的关系可知，一个命题的否命题与它的逆命题是互为逆否关系，根据互为逆否的两个命题等效的(同真同假)，可得选项B正确．
二、填空题
7．(1)命题“如果a>b，则2a>2b－1”的否命题是______________．
(2)命题“已知a，b∈R，如果|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”的逆否命题是______________．
[答案] (1)如果a≤b，则2a≤2b－1
(2)已知a，b∈R，如果a≠1或b≠1，则|a－1|＋|b－1|≠0.
8．命题“ax2－2ax－3≤0恒成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．
[答案] [－3,0]
[解析] 因为ax2－2ax－3≤0恒成立，当a＝0时，－3≤0成立；当a≠0时，得
解得－3≤a<0.
故－3≤a≤0.
三、解答题
9．写出以下原命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．
(1)如果学好了数学，那么就会使用电脑；
(2)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0；
(3)正方形既是矩形又是菱形；
(4)若a，b都是奇数，则ab必是奇数．
[解析] (1)逆命题：如果会使用电脑，那么就学好了数学；(假)
否命题：如果学不好数学，那么就不会使用电脑；(假)
逆否命题：如果不会使用电脑，那就学不好数学．(假)
(2)逆命题：若(x－3)(x－7)＝0，则x＝3或x＝7；(真)
否命题：x≠3且x≠7，则(x－3)(x－7)≠0；(真)
逆否命题：若(x－3)(x－7)≠0则x≠3且x≠7.(真)
(3)逆命题：既是菱形又是矩形的四边形是正方形；(真)
否命题：不是正方形的四边形就不是菱形或者不是矩形；(真)
逆否命题：不是菱形或者不是矩形的四边形就不是正方形．(真)
(4)逆命题：若ab是奇数，则a，b都是奇数；(真)
否命题：若a或b是偶数，则ab是偶数；(真)
逆否命题：若ab是偶数，则a或b是偶数．(真)
一、选择题
1．命题“若x2<1，则－1A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1
B．若－1C．若x>1或x<－1，则x2>1
D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1
[答案] D
[解析] 若x≥1或x≤－1，则x2≥1.故选D.
2．命题“如果函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2<0”的逆否命题是( )
A．如果loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数
B．如果loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数
C．如果loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数
D．如果loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数
[答案] A
[解析] 根据逆否命题的定义，易得答案．
3．(2014·潍坊模拟)命题“若a>b，则2a>2b”的否命题是( )
A．若a>b，则2a≤2b B．若2a>2b，则a>b
C．若a≤b，则2a≤2b D．若2a≤2b，则a≤b
[答案] C
[解析] “a>b”的否定是“a≤b”，“2a>2b”的否定是“2a≤2b”，故否命题是“若a≤b，则2a≤2b.”
4．(2013·山西四校联考)下列有关命题的说法正确的是( )
A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为若“x2＝1，则x≠1”
B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件
C．命题存在“x∈R，使得x2＋x－1<0”的否定是“?x∈R，均有x2＋x－1>0”
D．命题“若x＝y，则sinx＝siny”的逆否命题为真命题
[答案] D
[解析] 对于A，命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，因此选项A不正确；对于B，由x＝－1得x2－5x－6＝0，因此x＝－1是x2－5x－6＝0的充分条件，选项B不正确；对于C，命题“存在x∈R，使得x2＋x－1<0”的否定是“任意x∈R，均有x2＋x－1≥0”，因此选项C不正确；对于D，命题“若x＝y，则sinx＝siny”是真命题，因此它的逆否命题为真命题，选项D正确．故选D.
二、填空题
5．(2013·苏北四市三调)命题“若实数a满足a≤2，则a2<4”的否命题是________命题(填“真”或假)．
[答案] 真
[解析] 题中命题的否命题是“若实数a满足a>2，则a2≥4”，显然此命题为真命题．
6．以命题“如果2x2－3x－2＝0，则x＝－或x＝2”为原命题，在它的逆命题、否命题、逆否命题和命题的否定这四个命题中，有______个真命题，其中它的否定形式的逆命题是________．
[答案] 3 如果x≠－且x≠2，则2x2－3x－2＝0
[解析] 当2x2－3x－2＝0时(2x＋1)(x－2)＝0.
∴x＝－或x＝2，
∴原命题及其逆否命题是真命题．
反之，当x≠－且x≠2时，2x2－3x－2≠0，
∴否命题和逆命题也是真命题．
其否定为：如果2x2－3x－2＝0则x≠－且x≠2，
其逆命题为：
如果x≠－且x≠2，则2x2－3x－2＝0.
7．已知下命题：
①命题“存在x∈R，x2＋1>3x”的否定是“任意x∈R，x2＋1<3x”；
②已知p，q为两个命题，若“p或q”为假命题，则“綈p且綈q”为真命题；
③“a>2”是“a>5”的充分不必要条件；
④“若xy＝0，则x＝0且y＝0”的逆否命题为真命题．
其中所有真命题的序号是________．
[答案] ②
[解析] 命题“存在x∈R，x2＋1>3x”的否定是“任意x∈R，x2＋1≤3x”，故①错；“p或q”为假命题说明p假q假，则“綈p且綈q”为真命题，故②对；a>5?a>2，但a>2?/ a>5，故“a>2”是“a>5”的必要不充分条件，故③错；若“xy＝0，则x＝0且y＝0”为假命题，故其逆否命题也为假命题，故④错．
三、解答题
8．命题：“已知p>0，q>0，若p＋q≤2，则p3＋q3＝2”写出它的逆命题，判断其真假，并证明你的结论．
[解析] 逆命题：已知p>0，q>0，若p3＋q3＝2，则p＋q≤2，为真命题．
证明：设p＋q>2，∵p>0，q>0，
∴(p＋q)3＝p3＋3p2q＋3pq2＋q3＝p3＋q3＋3pq(p＋q)>8.
又p3＋q3＝2，∴3pq(p＋q)>6，即pq(p＋q)>2.
因为p3＋q3＝(p＋q)(p2－pq＋q2)＝2，
所以pq(p＋q)>(p＋q)(p2－pq＋q2)，
于是有(p－q)2<0，这是不可能的，故必有p＋q≤2.
9．证明：如果m2＋n2＝2，则m＋n≤2.
[证明] 将“如果m2＋n2＝2，则m＋n≤2”视为原命题，则它的逆否命题为“如果m＋n>2，则m2＋n2≠2”．
由于m＋n>2，则m2＋n2≥(m＋n)2>×22＝2，所以m2＋n2≠2.
这表明，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．
课件50张PPT。常用逻辑用语第一章1.3 充分条件、
必要条件与命题的四种形式 第一章1.3.2 命题的四种形式第一章课前自主预习 方法警示探究 课堂典例讲练 易错疑难辨析课后强化作业思想方法技巧 主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭聊天，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五打电话说：“临时有急事，不能来了．”主人听了随口说了句：“你看看，该来的没有来．”张三听了，脸色一沉，起来一声不吭地走了，主人愣了片刻，又道了句：“哎哟，不该走的又走了．”李四听了大怒，拂袖而去．
请你用逻辑学原理解释二人离去的原因．
提示：张三走的原因是：“该来的没有来”的逆否命题是“来了不该来的”，张三觉得自己是不该来的；李四走的原因是：“不该走的又走了”的逆否命题是“该走的没有走”，李四觉得自己是应该走的．1.四种命题
(1)原命题：如果p，则q；
(2)原命题的条件和结论“换位”得如果________，则________，这称为原命题的逆命题；
(3)原命题的条件和结论“换质”(分别否定)得如果________，则________，这称为原命题的否命题．qp非p非q
名师点拨：否命题和命题的否定是两个不同的概念，应注意区别：
①一般地，只有“如果p，则q”形式的命题才有否命题：“如果非p，则非q”，而一般命题都可有“否定命题”；
②一般命题的否定命题与原命题总是一真一假，而“如果p，则q”的否命题与原命题的真假可能相同也可能相反．
(4)原命题的条件和结论“换位”又“换质”得如果________，则________，这称为原命题的逆否命题．
名师点拨：原命题是我们自己规定的，其他三种命题是相对原命题而言的．非q 非p
2．四种命题的关系
(1)原命题和________是互逆的命题；________和逆否命题也是互逆的命题．
(2)原命题和________、逆命题和___________都是互否的命题．
(3)原命题和__________、逆命题和________都是互为逆否的命题．逆命题否命题否命题逆否命题逆否命题否命题四种命题的关系如下图：1.给出命题：“已知a，b，c，d是实数，若a≠b，且c≠d，则a＋c≠b＋d”，对原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言，其中的真命题有( )
A．0个 B．1个
C.2个 D．4个
[答案] A
[解析] 原命题是假命题，如：3≠5,4≠2但3＋4＝5＋2，逆命题为：“a＋c≠b＋d”则a≠b且c≠d也是假命题；如：3＋4≠3＋5中，a＝b＝3，c＝4≠d＝5，
由原命题与其逆否命题等价，知否命题和逆命题均为假命题，故选A.2．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( )
A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数
B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数
C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数
D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
[答案] B
[解析] 否命题同时否定条件和结论．3．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是( )
A．能被3整除的整数，一定能被6整除
B．不能被3整除的整数，一定不能被6整除
C．不能被6整除的整数，一定不能被3整除
D．不能被6整除的整数，不一定能被3整除
[答案] B
[解析] 一个命题与它的逆否命题是等价命题，选项B中的命题恰为已知命题的逆否命题．4．设綈A是A的否定，如果綈A?B，那么A是綈B的________条件．
[答案] 必要
[解析] 利用原命题和逆否命题是等价的由于綈A?B的逆否命题为綈B?A，即A?綈B，所以A是綈B的必要条件，故应填必要．
5．命题“到圆心的距离不等于半径的直线不是圆的切线”的逆否命题是____________________________．
[答案] 圆的切线到圆心的距离等于半径6．写出命题“若a2>b2，则a>b”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断四种命题的真假．
[解析] 逆命题：若a>b，则a2>b2；
否命题：若a2≤b2，则a≤b；
逆否命题：若a≤b，则a2≤b2.
因为(－1)2>02，但－1<0，所以原命题不正确．
又因为－2>－3，但(－2)2<(－3)2，所以逆命题不正确．
由四种命题的关系知，四个命题都是假命题． 若a、b、c∈R，写出命题“若ac<0，则ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这三个命题的真假．
[思路分析] 认清命题的条件p和结论q，然后按定义书写逆命题、否命题、逆否命题，最后判断真假．命题的四种形式及命题的真假判断 [解析] 逆命题：“若ax2＋bx＋c＝0(a、b、c∈R)有两个不相等的实数根，则ac<0.”它是假命题，如当a＝1，b＝－3，c＝2时，方程x2－3x＋2＝0有两个不等实根x1＝1，x2＝2，但ac＝2>0.
否命题：“若ac≥0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a、b、c∈R)没有两个不相等的实数根”，它是假命题，这是因为它和逆命题互为逆否命题，而逆命题是假命题的缘故．
逆否命题：“若ax2＋bx＋c＝0(a、b、c∈R)没有两个不相等的实数根，则ac≥0.”它是真命题，因为原命题是真命题，它与原命题等价．
[方法总结] 1.四种命题的转换方法
(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是原命题的逆命题．
(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是原命题的否命题．
(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是原命题的逆否命题．
2．判断命题真假的三种技巧
技巧一：根据学过的定义、公理、定理、性质直接判断命题的真假．
技巧二：根据已知的正确的结论，通过正确地推理所得到的命题是真命题．
技巧三：判断一个命题为假时，只要能找到一个反例就够了．写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题并判断其真假．
(1)等底等高的两个三角形是全等三角形；
(2)若q<1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根．
[思路点拨] 只需把逆命题，否命题，逆否命题准确地写出来，然后再判断真假性即可，原命题与逆否命题同真假，逆命题与否命题真值也相同．
[解析] (1)逆命题：如果两个三角形全等，那么这两个三角形等底等高，为真命题；
否命题：如果两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等，为真命题；
逆否命题：如果两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高，为假命题．
(2)逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q<1，为假命题；
否命题：若q≥1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根．假命题；
逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q≥1，真命题． 写出下列各命题的否定形式及命题的否命题，并分别判断它们的真假：
(1)面积相等的三角形是全等三角形；
(2)所有的方程不都是不等式；
(3)自然数的平方是正数．
[思路分析] 本题主要考查命题的否定及否命题之间的区别，命题的否定形式是对命题本身的否定，命题的否命题必须将命题的条件与结论同时否定．命题的否定和否命题 [解析] 原命题的否定形式：
(1)面积相等的三角形不一定是全等三角形．为真命题．
(2)所有的方程都是不等式，为假命题．
(3)自然数的平方不都是正数，为真命题．
原命题的否命题：
(1)面积不相等的三角形不是全等三角形，为真命题．
(2)有些方程是不等式，为假命题．
(3)有些自然数的平方不是正数，为真命题．
[方法总结] 命题的否定形式与否命题是两个不同的概念，要注意区别，不能混淆．写出下列命题的否命题及命题的否定形式，并判断真假．
(1)若m>0，则关于x的方程x2＋x－m＝0有实根；
(2)若x，y都是奇数，则x＋y是奇数；
(3)若abc＝0，则a、b、c中至少有一个为0. [解析] (1)否命题：若m≤0，则关于x的方程x2＋x－m＝0无实根，假命题．
命题的否定：若m>0，则关于x的方程x2＋x－m＝0无实根，假命题．
(2)否命题：若x，y不都是奇数，则x＋y不是奇数，假命题．
命题的否定：若x，y都是奇数，则x＋y不是奇数，真命题．
(3)否命题：若abc≠0，则a、b、c全不为零，真命题．
命题的否定：若abc＝0，则a、b、c全不为零，假命题．等价命题的应用
[方法总结] 用等价转换法证明有关命题
由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在证明某一个命题的真假性有困难时，可以证明它的逆否命题为真(假)命题，来间接地证明原命题为真(假)命题．判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．
[思路分析] 可以先写出逆否命题，直接判断其真假，也可以利用原命题与逆否命题的等价关系去判断原命题的真假．问题中涉及不等式的解集，还可以利用集合的包含、相等关系求解． [解析] 解法一：逆否命题为已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．
抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，
对应方程的Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.
因为a<1，所以4a－7<0.即抛物线与x轴无交点，
所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．
故逆否命题为真．1．对否命题和命题的否定概念理解不清，出现判断错误
“若x，y∈R且x2＋y2＝0，则x，y全为0”的否命题是( )
A．若x，y∈R且x2＋y2≠0，则x，y全不为0
B．若x，y∈R且x2＋y2≠0，则x，y不全为0
C．若x，y∈R且x2＋y2＝0，则x，y不全为0
D．若x，y∈R且x2＋y2＝0，则x，y全不为0
[错解] C
[错因分析] 对否命题和命题的否定概念理解不清，将否命题理解为命题的否定，只否定结论，不否定条件，从而导致错误．
[正解] B
[思路分析] 否命题是不但否定条件同时否定结论，条件和结论的否定分别为“x，y∈R且x2＋y2≠0”和“x，y不全为0”．2．对四种命题的真假判断规律掌握不熟
命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠?”的逆命题、否命题、逆否命题中( )
A．都是真命题 B．都是假命题
C．否命题真 D．逆否命题真
[错解] A [错因分析] 由题意得，原命题为真命题，从而错误地认为它们的逆命题、否命题、逆否命题都真．
[正解] D
[思路分析] 原命题为真命题，所以逆否命题也为真命题．但逆命题“若{x|ax2＋bx＋c<0}≠?，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下”是假命题．因为{x|ax2＋bx＋c<0}≠?时，开口不一定向下，也可以向上．否命题与逆命题等价，故否命题也为假命题．反证法证明的应用
已知下列三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0，若至少有一个方程有实数根，求实数a的取值范围．
[思路分析] 本题从正面解决难以入手，故要采用反证法，假设三个方程都无实数根，以此为条件推出均无实根的结论，再取其补集即可．
[方法总结] (1)适宜用反证法证明的数学命题：
①结论本身是以否定形式出现的一类命题；
②关于唯一性、存在性的命题；
③结论是以“至多”“至少”等形式出现的命题；
④结论的反面比原结论更具体更容易研究的命题．(2)常见的“结论词”与“反设词”列表如下：课件50张PPT。成才之路·数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 · 选修2-1 常用逻辑用语第一章章末归纳总结第一章知 识 结 构 学 后 反 思 专 题 探 究本章主要学习了常用逻辑用语中几个重要概念：命题、全称量词，存在性量词，“且”“或”“非”及充分条件、必要条件、充要条件等．
1．对命题概念的两点认识
(1)命题是对一个结论的判断：
所谓判断，就是肯定一个事物是什么或不是什么，不能含糊不清．命题的实质是对某一前提条件下相应结论的一个判断，这个判断可能正确，也可能错误，所以不能认为只有真命题才是命题而假命题不是命题． (2)命题都由条件和结论构成：
任何命题都有条件和结论，都可以改写成“若p，则q”的形式．数学中，一些命题表面上看不具有“若p，则q”的形式，如“对顶角相等”，但是适当改变叙述方式，就可以写成“若p，则q”的形式，即“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，这样，命题的条件和结论就十分清楚了．
一般地，在命题中，已知的事项为“条件”，由已知推出的事项为“结论”．
2．全称命题及其真假的判断方法
(1)全称命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题，常见的全称量词有“一切”“每一个”等，相应的词语是“都”．
(2)有些命题省去了全称量词，但仍是全称命题，如“有理数是实数”，就是“所有的有理数都是实数”．
(3)要判断全称命题“?x∈M，p(x)”为假命题，只需要在集合M中找到一个元素x，使得p(x)不成立即可；要判断全称命题为真命题，必须对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立．简单地说，判断全称命题真假的步骤为“先找反例后证明”．3．存在性命题及其真假的判断方法
(1)存在性命题就是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题，常见的存在量词有“有的”“存在”等．
(2)要判断存在性命题“?x∈M，p(x)”为真命题，只需要在集合M中找到一个元素x，使得p(x)成立即可；要判断存在性命题为假命题，必须说明集合M中不存在元素x，使得p(x)成立．简单地说，判断存在性命题真假的步骤为“先找正例后证明”．4．从交集、串联电路看“且”命题
(1)对于逻辑联结词“且”的理解，可联系集合中“交集”的概念，即A∩B＝{x|x∈A∧x∈B}，二者含义是一致的，都表示“既……，又……”的意思．
(2)对于含有逻辑联结词“且”的命题真假的判断，可以联系电路中两个串联开关的闭合或断开与电路的通或断的对应加以理解(如图示)．
5．从并集、并联电路看“或”命题
(1)对于逻辑联结词“或”的理解，可联系集合中“并集”的概念，即A∪B＝{x|x∈A∨x∈B}，二者含义是一致的，如果p：集合A；q：集合B；则p∨q：集合A∪B.“或”包含三个方面：
x∈A且x?B，x?A且x∈B，x∈A∩B.(2)对于含有逻辑联结词“或”的命题真假的判断，可以联系电路中两个并联开关的闭合或断开与电路的通或断的对应加以理解(如图示)．
6．关于命题p的否定綈p的理解
对命题p进行全盘否定得到綈p，故p与綈p一真一假．对于形如“若p，则q”的命题，其否定为“若p，则綈q”．7．对全称命题的否定以及特点的两点说明
(1)全称命题的否定实际上是对量词“所有”否定为“并非所有”，所以全称命题的否定的等价形式就是存在性命题，将全称量词调整为存在量词，就要对p(x)进行否定，这是叙述命题的需要，不能认为对全称命题进行“两次否定”，否则就是“双重否定即肯定”，所以含有一个量词的命题的否定仍是一次否定．
(2)对于省去了全称量词的全称命题的否定，一般要改写为含有全称量词的命题，再写出命题的否定命题．
8．对存在性命题的否定以及特点的两点说明
(1)由于全称命题的否定是存在性命题，而命题p与綈p互为否定，所以存在性命题的否定就是全称命题．
(2)全称命题与存在性命题以及否定命题都是形式化命题，叙述命题时要结合命题的内容和特点，灵活运用自然语言、符号语言进行描述，这样才能准确判断命题的真假．9．对充分条件的理解
(1)“p是q的充分条件”的等价说法有：
①“若p，则q”为真；
②p?q；
③q是p的必要条件．
(2)充分条件是某一个结论成立应具备的条件，当命题具备此条件时，就可以得出此结论；或要使此结论成立，只要具备此条件就足够了，当命题不具备此条件时，结论也有可能成立．例如x＝6?x2＝36，但是当x≠6时，x2＝36也可以成立，“x＝－6”也是“x2＝36成立”的充分条件．
10．对必要条件的理解
(1)必要条件是在充分条件的基础上得出的，真命题“若p，则q”的条件p是结论q的充分条件，同时，结论q是条件p的必要条件，所以“p是q的必要条件”的等价说法：①“若q，则p”为真；②q?p；③q是p的充分条件．(2)借助于电路图理解必要条件：
如图，当开关A闭合时，灯泡B不一定亮，但是当开关A不闭合时，灯泡B一定不亮；当灯泡B亮时，可以知道开关A一定是闭合的；所以要使灯泡B亮，开关A必须是闭合的，我们称开关A闭合是灯泡B亮的必要条件．11．对四种命题间结构关系的认识
“互逆命题”“互否命题”“互为逆否命题”反映的是两个命题之间的相互关系，不具有特指性，即四种命题中的任意两个命题之间一定具有这三种关系中的一种且唯一．
12．对四种命题间真假关系的认识
(1)当两个命题是互逆命题或者是互否命题时，这两个命题的真假是没有必然关系的，即它们之间可能同真、同假、一真一假．
(2)当两个命题是互为逆否命题时，这两个命题的真假是等价的，即两者之间要么同真，要么同假，两者必居其一．
13．互为逆否命题等价性的应用
由于原命题“若p，则q”与其逆否命题“若綈q，则綈p”的真假性相同，故其具有相同的真假性．有关綈p与綈q的推出关系常常转化为p与q的推出关系解决．[例1] 已知a>0，a≠1，设p：函数y＝loga(x＋1)在x∈(0，＋∞)内单调递减；q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点，如果p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．
[思路分析] 因p或q为真，p且q为假，故p、q一真一假，先求出p、q均为真的a的范围再讨论即可． 复合命题及其真假的判断
[方法总结] 在由复合命题求变量范围时，特别是涉及两个命题一真一假时，常运用分类讨论的数学思想进行求解．充要条件的判断
[方法总结] 判断p是q的什么条件时，充分性与必要性都得判定，同时要注意充分条件、必要条件与集合的关系．例如：若A?B，则A是B成立的充分不必要条件，B是A成立的必要不充分条件．1.转化与化归思想
转化与化归的思想在本章的应用主要体现在四种命题间的相互关系与集合之间关系的等价转化、原命题与其逆否命题之间的等价转化、充分必要条件与集合之间关系的等价转化等，即以充要条件为基础，把同一种数学意义的内容从一种数学语言形式等价转化为另一种数学语言形式，从而使复杂问题简单化、具体化．思想方法 [例3] 设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0；q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0，且綈p是綈q的必要不充分条件，求a的取值范围．
[思路分析] 本题主要考查充分、必要条件及等价转化思想，解题时注意借助数轴求解a的取值范围．
[解析] 设A＝{x|p}＝{x|x2－4ax＋3a2<0，a<0}＝{x|3aB＝{x|q}＝{x|x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0}＝{x|－2≤x≤3}∪{x|x<－4或x>2}＝{x|x<－4或x≥－2}．
∵綈p是綈q的必要不充分条件，
∴綈q?綈p，且綈p?/ 綈q，
则{x|綈q}?{x|綈p}．
[方法总结] 通过等价转化，把充分、必要条件的参数范围问题转化为集合的运算问题．
2．分类讨论思想
分类讨论又称逻辑划分，是中学数学中的常用数学思想之一，也是高考中常考的数学思想．分类讨论的关键是逻辑划分标准要恰当准确．从而对问题分类依次求解(或证明)，然后综合推出问题的结论．分类讨论思想在简易逻辑中主要体现在“或”、“且”、“非”所组成命题的真假及用充分必要性求参数范围问题上．∵綈p是綈q的充分条件，
∴q是p的充分条件．
设q对应集合A，p对应集合B，则A?B，
当a<1时，A?B，不合题意；
当a＝1时，A?B，符合题意；
当a>1时，1≤x≤a，要使A?B，则1综上，符合条件的a的取值范围是[1,3)．3．数形结合的思想
数形结合思想是重要的数学思想，它能把抽象的思维方式转化为形象、直观的思维方式，从而使问题变得简单明了．对于集合的推理一般借助于Venn图，从而使问题得到简化．
[例5] 设集合A，B是全集U的两个子集，则A?B是(?UA)∪B＝U的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 本题用推理的方法求解较繁琐，我们可以借助于Venn图，利用图形来解决．利用Venn图，当A?B时，如图1所示，则(?UA)∪B＝U成立；当A＝B时，如图2所示，则(?UA)∪B＝(?UB)∪B＝U也成立，即(?UA)∪B＝U成立时，可有A?B，故选A. [答案] A
[方法总结] 本题主要考查集合的运算和充要条件的判定，借助Venn图，利用数形结合的思想可更直观地解题．对于一些比较复杂、比较抽象，条件和结论之间关系不明朗，难于从正面入手的数学问题，在解题时，要调整思路，从问题的反面入手，探求已知和未知的关系，这样往往能化难为易，化隐为显，从而将问题解决．这就是“正难则反”的解题策略，也是处理问题的间接化原则的体现．具体的解题方法我们常常应用反证法和“补集”思想．正难则反的方法在本章的应用
1．补集思想的应用
[例6] 已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x|x<0}．若命题A∩B＝?为假命题，求实数m的取值范围．
最后再利用“补集”求解．[思路分析] 命题A∩B＝?为假命题，则有A∩B≠?.说明集合A是由方程x2－4mx＋2m＋6＝0①的实根组成的非空集合，并且①的根有：
(1)两负根；
(2)一负根一零根；
(3)一负根一正根等三种情况，分别求解十分繁琐，这里我们从求解问题的反面考虑，采用“正难则反”的解题策略，即先由Δ≥0，求出全集U，然后求方程①两根均为非负时的m的取值范围
2．反证法
[例7] 证明一个三角形中不可能有两个直角．
[思路分析] 命题是证明存在性问题，故可考虑运用反证法，考虑运用内角和定理证明．[解析] 假设一个三角形中有两个直角，
不妨设∠A＝90°，∠B＝90°，
∴∠A＋∠B＋∠C＝180°＋∠C，
又三角形内角和为180°，∴∠C＝0°与已知条件矛盾．
∴假设不成立，即原命题成立．
[方法总结] 当要证明的结论是以否定形式出现或命题的结论中含有“至少”“至多”等词语时，以及证明唯一性的结论时常考虑运用反证法．在运用时，有时反面不唯一，一定注意不能遗漏．第一章综合测试A
时间120分钟，满分150分．
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)
1．下列各命题中为真命题的是( )
A．?x∈R，x≥0 B．若x<5，则x≤5
C．?x∈R，x2≤－1 D．?x∈R，x2＋1≠0
[答案] D
[解析] ?x∈R，x2＋1≥1≠0，故D正确．
2．设x∈R，则(1－|x|)(1＋x)>0成立的充要条件是( )
A．－11
C．x<1 D．x<1且x≠－1
[答案] D
[解析] (1－|x|)(1＋x)>0?或?x<1且x≠－1.
3．“△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B都是锐角”的否命题是( )
A．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B都不是锐角
B．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角
C．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B都不一定是锐角
D．△ABC中，若∠A，∠B不都是锐角，则∠C≠90°
[答案] B
[解析] “＝”的否定是“≠”，“都是”的否定是“不都是”．
4．(2013·哈师大附中模拟)设x、y是两个实数，命题“x、y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是( )
A．x＋y＝2 B．x＋y>2
C．x2＋y2>2 D．xy>1
[答案] B
[解析] 命题“x、y中至少有一个数大于1”等价于“x>1或y>1”．若x＋y>2，必有x>1或y>1，否则x＋y≤2；而当x＝2，y＝－1时，2－1＝1<2，所以x>1或y>1不能推出x＋y>2.当x＝1，且y＝1时，满足x＋y＝2，不能推出x>1或y>1，所以A错；对于x2＋y2>2，当x<－1，y<－1时，满足x2＋y2>2，但不能推出x>1或y>1；故C错；对于xy>1，当x<－1，y<－1时，满足xy>1，不能推出x>1或y>1，故D错，故选B.
5．(2014·河南郑州)下列命题中的假命题是( )
A．?x∈R,2x－1>0
B．?x∈N＋，(x－1)2>0
C．?x∈R，lgx<1
D．?x∈R，tanx＝2
[答案] B
[解析] A正确，对于B，当x＝1时，(x－1)2＝0错误，对于 C，当x∈(0,1)时，lgx<0<1，正确，对于D.?x∈R，tanx＝2，正确．
6．(2013·福建宁德)已知命题p：“x>2是x2>4的充要条件”，命题q：“若>，则a>b”则( )
A．“p或q”为真 B．“p且q”为真
C．p真q假 D．p，q均为假
[答案] A
[解析] 由已知得命题p是假命题，命题q是真命题，因此选A.
7．(2014·河北保定)下列命题中正确的是( )
A．若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p∧q”为真命题
B．“sinα＝”是“α＝”的充分不必要条件
C．l为直线，α，β为两个不同的平面，若l⊥β，α⊥β，则l∥α
D．命题“?x∈R,2x>0”的否定是“?x0∈R,2x0≤0”
[答案] D
[解析] A：p为真命题，q为假命题，则p∧q为假命题．
B：由sinα＝得α＝＋2kπ或π＋2kπ(k∈Z)，故sinα＝?/ α＝，但α＝?sinα＝.
∴sinα＝是α＝的必要不充分条件．C：l可能在α内．
8．(2014·安徽皖南八校)下列命题中，真命题是( )
A．存在x∈R，sin2＋cos2＝
B．任意x∈(0，π)，sinx>cosx
C．任意x∈(0，＋∞)，x2≥x－
D．?x0∈[0，]使得sinx0>x0
[答案] C
[解析] 本题主要考查全称命题与特称命题真假的判断．对于A选项：?x∈R，sin2＋cos2＝1，故A为假命题；对于B选项：存在x＝，sinx＝，cosx＝，sinx9．(2014·北京东城)下列命题中，真命题是( )
A．?x∈R，－x2－1<0
B．?x0∈R，x＋x0＝－1
C．?x∈R，x2－x＋>0
D．?x0∈R，x＋2x0＋2<0
[答案] A
[解析] 对于A选项：?x∈R，－x2－1<0恒成立，A正确；
对于B选项：∵x2＋x＋1＝(x＋)2＋>0恒成立，
∴不存在x0∈R，使x＋x0＝－1，B错误；
对于C选项：∵x2－x＋＝(x－)2，存在x0＝，使x－x0＋＝0，C错误；
对于D选项：y＝x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1，D错误．
10．(2013·湖南六校)已知命题p：?x∈R，x2＋1<2x；命题q：若mx2－mx－1<0恒成立，则－4A．“綈p”是假命题 B．q是真命题
C．“p或q”为假命题 D．“p且q”为真命题
[答案] C
[解析] 因为x2＋1<2x，即x2－2x＋1<0，也即(x－1)2<0，所以命题p为假；若mx2－mx－1<0恒成立，则必须m＝0或则－411．下列四个命题中真命题的个数有( )
①若x＝1，则x－1＝0；
②“若ab＝0，则b＝0”的逆否命题；
③“等边三角形的三边相等”的逆命题；
④“全等三角形的面积相等”的逆否命题．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案] C
[解析] ①是真命题；②逆否命题为“若b≠0，则ab≠0”，是假命题；③逆命题为“若一个三角形的三边相等，则这个三角形为等边三角形”，是真命题；④逆否命题为“若两个三角形的面积不相等，则这两个三角形不是全等三角形”，是真命题．
12．已知命题p：“对?x∈R，?m∈R，使4x＋2xm＋1＝0”．若命题綈p是假命题，则实数m的取值范围是( )
A．－2≤m≤2 B．m≥2
C．m≤－2 D．m≤－2或m≥2
[答案] C
[解析] 由题意可知命题p为真，即方程4x＋2xm＋1＝0有解，∴m＝－＝－(2x＋)≤－2.
二、填空题(本大题共4小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)
13．(2013·龙岩质检)若命题“存在x∈R，x2＋(a－3)x＋4<0”为假命题，则实数a的取值范围是________．
[答案] [－1,7]
[解析] 依题意得，对任意x∈R，都有x2＋(a－3)x＋4≥0为真命题，则Δ＝(a－3)2－4×4≤0，解得－1≤a≤7.
14．命题p：若x2<2，则－[答案] 若x2≥2，则x≤－或x≥
[解析] 根据否命题的定义解题．
15．(2014·合肥模拟)若命题“?x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，则a的取值范围是________．
[答案] －8≤a≤0
[解析] 由题意知，x为任意实数时，都有ax2－ax－2≤0恒成立．
当a＝0时，－2≤0成立．
当a≠0时，由
得－8≤a<0.
∴－8≤a≤0.
16．给定下列四个命题：
①“x＝”是“sinx＝”的充分不必要条件；
②若“p∨q”为真，则“p∧q”为真；
③若a④若集合A∩B＝A，则A?B.
其中为真命题的是________(填上所有正确命题的序号)．
[答案] ①④
[解析] ①中由x＝?sinx＝，但sinx＝?/ x＝，故①为真命题．
②中p∨q为真，但p、q不全为真命题，则推不出p∧q为真，故②为假命题．
③中当m2＝0时不成立，故③为假命题．
④中A∩B＝A?A?B，故④为真命题．故答案为①④.
三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)p：?m∈R，方程x2＋x－m＝0必有实数根；
(2)q：?x∈R，使得x2＋x＋1≤0.
[解析] (1)綈p：?m∈R，使方程x2＋x－m＝0无实数根．
若方程x2＋x－m＝0无实数根，则
Δ＝1＋4m<0，则m<－，
所以当m＝－1时，綈p为真．
(2)綈q：?x∈R，使得x2＋x＋1>0.(真)
因为x2＋x＋1＝(x＋)2＋>0，
所以綈q为真．
18．(本小题满分12分)设命题p：不等式|2x－1|[解析] 由|2x－1|由4x≥4ax2＋1的解集是?，得4ax2－4x＋1≤0无解，
即对任意x∈R,4ax2－4x＋1>0恒成立，
∴，得a>1.
∴命题q：a>1.
由“p或q”为真命题，得p、q中至少有一个真命题．
若p、q均为假命题，则?{a|a≤1}，而?U{a|a≤1}＝{a|a>1}．
∴实数a的取值范围是(1，＋∞)．
19．(本小题满分12分)判断下列命题的真假：
(1)“若自然数a能被6整除，则a能被2整除”的逆命题；
(2)“若0(3)命题“若不等式(a－2)x2＋2(a－2)·x－4<0对一切x∈R恒成立，则a∈(－2,2)”及其逆命题．
[解析] (1)逆命题：若自然数a能被2整除，则a能被6整除．逆命题为假．反例：2,4,14,22等都不能被6整除．
(2)否命题：若x≤0或x≥5，则|x－2|≥3.否命题为假．反例：x＝－≤0，但|－－2|＝<3.逆否命题：若|x－2|≥3，则x≤0或x≥5.逆否命题为真，|x－2|≥3?x≥5或x≤－1.
(3)原命题为假．因为(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0，当a＝2时，变为－4<0，也满足条件．逆命题：若a∈(－2，2)，则不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立．逆命题为真，因为当a∈(－2,2)时，Δ<0，且a－2<0.
20．(本小题满分12分)指出下列各组命题中，p是q的什么条件？
(1)p：a＋b＝2，q：直线x＋y＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2相切；
(2)设l，m均为直线，α为平面，其中l不在α内，m?α，p：l∥α，q：l∥m.
[解析] (1)若a＋b＝2，圆心(a，b)到直线x＋y＝0的距离d＝＝＝r，∴直线与圆相切；
反之，若直线与圆相切，则|a＋b|＝2，∴a＋b＝2或a＋b＝－2，故p是q的充分不必要条件．
(2)∵l∥α?/ l∥m，但l∥m?l∥α，∴p是q的必要不充分条件．
21．(本小题满分12分)设有两个命题：
(1)关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立；
(2)函数f(x)＝－(4－2a)x在(－∞，＋∞)上是减函数．
若命题(1)、(2)中有且仅有一个是真命题，则实数a的取值范围是多少？
[解析] 记命题p：A＝{a|x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立}，
命题q：B＝{a|f(x)＝－(4－2a)x在(－∞，＋∞)上是减函数}，
则A＝{a|－2∵p与q中仅有一个为真命题，
∴命题p真且命题q假或命题p假且命题q真，
∴原题转化为求(A∩?RB)∪(?RA∩B)，
∵?RA＝{a|a≥2或a≤－2}，
?RB＝{a|a≥}，
∴A∩?RB＝{a|≤a<2}，
?RA∩B＝{a|a≤－2}，
∴实数a的取值范围为{a|a≤－2或≤a<2}．
22．(本小题满分14分)已知关于x的方程(1－a)x2＋(a＋2)x－4＝0，a∈R，求：
(1)方程有两个正根的充要条件；
(2)方程至少有一个正根的充要条件．
[解析] (1)方程(1－a)x2＋(a＋2)x－4＝0有两个实根的充要条件是，
即?
即：a≥10或a≤2且a≠1，
设此时方程两根为x1，x2，
∴有两正根的充要条件是
?
?1(2)从(1)知1当a＝1时，方程化为3x－4＝0有一个正根x＝.
方程有一正、一负根的充要条件是：
??a<1.
综上所述：方程(1－a)x2＋(a＋2)x－4＝0至少有一个正根的充要条件是a≤2或a≥10.
第一章综合测试B
时间120分钟，满分150分．
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)
1．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] B
[解析] 由幂函数的图象知，x>0时，图象在第一象限，不在第四象限，故原命题正确，其逆否命题也正确；逆命题：“若函数y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数”是假命题，例如：函数y＝x＋1的图象不过第四象限，但它不是幂函数，故其逆命题是假命题，从而其否命题也是假命题．
2．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是( )
A．m＝－2 B．m＝2
C．m＝－1 D．m＝1
[答案] A
[解析] 函数f(x)＝x2＋mx＋1的对称轴为x＝－，于是－＝1?m＝－2.
3．下列说法错误的是( )
A．命题“若x2－4x＋3＝0，则x＝3”的逆否命题是“若x≠3，则x2－4x＋3≠0”
B．“x＝3”是“|x|>0”的充分不必要条件
C．若“p且q”为假命题，则p，q均为假命题
D．命题p：?x∈R，使x2＋x＋1<0，则綈p：?x∈R，均有x2＋x＋1≥0
[答案] C
[解析] 根据逆否命题的定义知选项A正确；x＝3?|x|>0，但|x|>0?/ x＝3，知选项B正确；“p且q”为假命题，则至少有一个为假命题，知选项C不正确；由命题p的否定知选项D正确．
4．下列命题中，真命题是( )
A．?m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数
B．?m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数
C．?m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数
D．?m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数
[答案] A
[解析] 当m＝0时，f(x)＝x2为偶函数，故选A.
5．(2013·安徽“江南十校”联考)命题p：若a·b>0，则a与b的夹角为锐角；命题q：若函数f(x)在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是( )
A．“p或q”是真命题 B．“p或q”是假命题
C．綈p为假命题 D．綈q为假命题
[答案] B
[解析] 当a ·b>0时，a与b的夹角为锐角或零度角，
∴命题p是假命题；命题q是假命题，例如f(x)＝所以“p或q”是假命题，选B.
6．“?x∈A，使得x2－2x－3>0”的否定为( )
A．?x∈A，使得x2－2x－3<0
B．?x∈A，使得x2－2x－3≤0
C．?x∈A，使得x2－2x－3>0
D．?x∈A，使得x2－2x－3≤0
[答案] D
[解析] 特称命题的否定为全称命题，故选D.
7．已知命题p：?x0∈R,2x0＝1，则綈p是( )
A．?x0∈R,2x0≠1 B．?x0?R,2x0≠1
C．?x0∈R,2x0≠1 D．?x0?R,2x0≠1
[答案] A
[解析] 重在考查特称命题与全称命题的转化关系．关键是?与?的转化．特称命题p：?x0∈R,2x0＝1的否定形式即为全称命题綈p：?x0∈R,2x0≠1，故选A.
8．“p∨q为真命题”是“p∧q为真命题”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] 若p∨q为真命题，则p，q至少有一个为真，但p∧q不一定为真，若p∧q为真命题，则p，q都为真命题，∴p∨q一定为真，∴“p∨q为真”是“p∧q为真”的必要不充分条件．
9．命题“?x0∈R，使log2x0≤0成立”的否定为( )
A．?x0∈R，使log2x0>0成立
B．?x0∈R，使log2x0≥0成立
C．?x0∈R，均有log2x0≥0成立
D．?x0∈R，均有log2x0>0成立
[答案] D
[解析] 特称命题的否定是全称命题，所以其否定为“?x0∈R，均有log2x0>0成立”，故选D.
10．(2013·吉林延边一模)下列命题错误的是( )
A．命题“若x2＋y2＝0，则x＝y＝0”的逆否命题为“若x，y中至少有一个不为0，则x2＋y2≠0”
B．若命题p：?x0∈R，x－x0＋1≤0，则綈p：?x∈R，x2－x＋1>0
C．△ABC中，sinA>sinB是A>B的充要条件
D．若向量a，b满足a·b<0，则a与b的夹角为钝角
[答案] D
[解析] a与b的夹角为180°时，a·b<0，但a与b的夹角不是钝角，所以D错．
11．已知α1，α2，α3是三个相互平行的平面，平面α1，α2之间的距离为d，平面α2，α3之间的距离为d2，直线l与α1，α2，α3分别相交于P1，P2，P3.那么“P1P2＝P2P3”是“d1＝d2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析] 本题主要考查平面的性质与距离以及充分必要条件．若“P1P2＝P2P3”，则“d1＝d2”，反过来，若“d1＝d2”，则“P1P2＝P2P3”，故应选C.
12．下列说法不正确的是( )
A．“?x0∈R，x－x0－1<0”的否定是“?x∈R，x2－x－1≥0”
B．命题“若x>0且y>0，则x＋y>0”的否命题是假命题
C．“?a∈R，使方程2x2＋x＋a＝0的两根x1，x2满足x1<1D．△ABC中，A是最大角，则sin2B＋sin2C[答案] C
[解析] 因为2x2＋x＋a＝0的两根x1，x2满足x1<1二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)
13．写出命题“若方程ax2－bx＋c＝0的两根均大于0，则ac>0”的一个等价命题是____________________________________．
[答案] 若ac≤0，则方程ax2－bx＋c＝0的两根不全大于0.
14．已知p：关于x的不等式|x－1|＋|x－3|[答案] 必要不充分
[解析] ∵|x－1|＋|x－3|≥|x－1－x＋3|＝2，
∴m>2，即p：m>2，q：2p?/ q，但q?p.
∴p成立是q成立的必要不充分条件．
15．设p：方程x2＋2mx＋1＝0有两个不相等的正根；q：方程x2＋2(m－2)x－3m＋10＝0无实根，则使p∨q为真，p∧q为假的实数m的取值范围是________．
[答案] (－∞，－2]∪[－1,3)
[解析] 对于方程x2＋2mx＋1＝0有两个不等正根，
∴∴m<－1，
方程x2＋2(m－2)x－3m＋10＝0无实根，
Δ＝4(m－2)2－4(－3m＋10)<0，
∴－216．(2014·济南市模拟)下列命题正确的序号为________．
①函数y＝ln(3－x)的定义域为(－∞，3]；
②定义在[a，b]上的偶函数f(x)＝x2＋(a＋5)x＋b的最小值为5；
③若命题p：对?x∈R，都有x2－x＋2≥0，则命题綈p：?x∈R，有x2－x＋2<0；
④若a>0，b>0，a＋b＝4，则＋的最小值为1.
[答案] ②③④
[解析] 命题①中，函数的定义域是(－∞，3)，故命题①不正确；命题②中，若已知函数是偶函数，则必有a＝－5，b＝5，即函数f(x)＝x2＋5，x∈[－5,5]，其最小值为5，命题②正确；全称命题的否定是特称命题，命题③正确；命题④中，＋＝(a＋b)·(＋)＝(2＋＋)≥(2＋2)＝1(当且仅当a＝b＝2时，等号成立)，命题④正确．
三、解答题(本大题共6个大题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(本小题满分12分)写出命题“若＋(y＋1)2＝0，则x＝2且y＝－1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
[解析] 逆命题：若x＝2且y＝－1，则＋(y＋1)2＝0；(真)
否命题：若＋(y＋1)2≠0，则x≠2或y≠－1；(真)
逆否命题：若x≠2或y≠－1，则＋(y＋1)2≠0(真)
18．(本题满分12分)已知a>0设命题p：函数y＝()x为增函数．命题q：当x∈[，2]时函数f(x)＝x＋>恒成立．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求a的范围．
[解析] 当y＝()x为增函数，得0当x∈[，2]时，因为f(x)在[，1]上为减函数，在[1,2]上为增函数．
∴f(x)在x∈[，2]上最小值为f(1)＝2.
当x∈[，2]时，由函数f(x)＝x＋>恒成立．
得2>解得a>.
如果p真且q假，则0如果p假且q真，则a≥1.
所以a的取值范围为(0，]∪[1，＋∞)．
19．(本题满分12分)证明二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的两个零点在点(m,0)的两侧的充要条件是af(m)<0.
[解析] 充分性：设△＝b2－4ac≤0则af(x)＝a2x2＋abx＋ac＝a2(x＋)2－＋ac
＝a2(x＋)2－(b2－4ac)≥0，
所以af(m)≥0，这与af(m)<0矛盾，即b2－4ac>0.
故二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个不等的零点，设为x1，x2，且x1af(m)＝a2(m－x1)(m－x2)<0，所以x1必要性：设x1，x2是方程的两个零点，且x1因为f(x)＝a(x－x1)(x－x2)，且x1∴af(m)＝a2(m－x1)(m－x2)<0，即af(m)<0.
综上所述，二次函数f(x)的两个零点在点(m,0)的两侧的充要条件是af(m)<0.
20．(本小题满分12分)(2013·山东济宁)已知命题p：关于x的方程4x2－2ax＋2a＋5＝0的解集至多有两个子集，命题q：1－m≤x≤1＋m，m>0，若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
[解析] ∵綈p是綈q的必要不充分条件，
∴p是q的充分不必要条件．
对于命题p，依题意知Δ＝(－2a)2－4·4(2a＋5)＝4(a2－8a－20)≤0，
∴－2≤a≤10，
令p：P＝{a|－2≤a≤10}，q：Q＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}，由题意知P?Q，
∴或
解得m≥9，因此实数m的取值范围是{m|m≥9}．
21．(本小题满分12分)求使函数f(x)＝(a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋3的图象全在x轴上方成立的充要条件．
[解析] 要使函数f(x)的图象全在x轴上方的充要条件是：
或
解得1所以使函数f(x)的图象全在x轴上方的充要条件是1≤a<19.
22．(本小题满分14分)已知a>0，函数f(x)＝ax－bx2.
(1)当b>0时，若对任意x∈R，都有f(x)≤1，证明a≤2；
(2)当b>1时，证明：对任意x∈[0,1]，|f(x)|≤1的充要条件是b－1≤a≤2.
[证明] (1)∵f(x)＝－b(x－)2＋，
对任意x∈R，都有f(x)≤1，
∴f()＝≤1.
又∵a>0，b>0，∴a2≤4b，即a≤2.
(2)必要性：
对任意x∈[0,1]，|f(x)|≤1，
即－1≤f(x)≤1，
∴f(1)≥－1，即a－b≥－1，∴a≥b－1.
∵b>1，∴0<<1，∴f≤1.
即a·－b·()2≤1，
∴－1≤1，∴a≤2.
所以b－1≤a≤2.
充分性：
∵b>1，∴f(x)的图象是开口向下的抛物线．
由a≤2，得0<<≤1.
∴0<<1.
∴ymax＝f()＝＝()2≤1.
∴f(x)≤1.∵f(0)＝0，∴f(0)>－1.
又∵f(1)＝a－b，由b－1≤a，即a≥b－1，
知f(1)≥b－1－b＝－1.而函数f(x)在(0，)上单调递增，在上单调递减，所以当x∈[0,1]时，f(x)≥－1.
综上所述，当b>1时，对任意x∈[0,1]，
|f(x)|≤1的充要条件是b－1≤a≤2.
