第二章 2.1 2.1.1
一、选择题
1．设圆M的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝2，直线l的方程为x＋y－3＝0，点P的坐标为(2,1)，那么( )
A．点P在直线l上，但不在圆M上
B．点P在圆M上，但不在直线l上
C．点P既在圆M上，也在直线l上
D．点P既不在圆M上，也不在直线l上
[答案] C
[解析] 将P(2,1)代入圆M和直线l的方程，得(2－3)2＋(1－2)2＝2且2＋1－3＝0，∴点P(1,2)既在圆(x－3)2＋(y－2)2＝2上也在直线l：x＋y－3＝0上，故选C.
2．f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析] 根据曲线与方程的概念知．
3．下列各组方程中表示相同曲线的是( )
A．x2＋y＝0与xy＝0
B.＝0与x2－y2＝0
C．y＝lgx2与y＝2lgx
D．x－y＝0与y＝lg10x
[答案] D
[解析] ∵lg10x＝x，故x－y＝0与y＝lg10x表示相同的曲线．
4．若方程x－2y－2k＝0与2x－y－k＝0所表示的两条曲线的交点在方程x2＋y2＝9的曲线上，则k＝( )
A．±3 B．0
C．±2 D. 一切实数
[答案] A
[解析] 两曲线的交点为(0，－k)，由已知点(0，－k)在曲线x2＋y2＝9上，故可得k2＝9，∴k＝±3.
5．给出下列曲线，其中与直线y＝－2x－3有交点的所有曲线是( )
①4x＋2y－1＝0；②x2＋y2＝3；③＋y2＝1；④－y2＝1.
A．①③ B．②④
C．①②③ D．②③④
[答案] D
[解析] y＝－2x－3与4x＋2y－1＝0平行，无交点；将y＝－2x－3代入x2＋y2＝3得5x2＋12x＋6＝0
Δ＝144－4×5×6＝24>0故有两个交点；
同理y＝－2x－3与±y2＝1也有交点．故选D.
6．曲线y＝x2与x2＋y2＝5的交点是( )
A．(2,1)
B．(±2,1)
C．(2,1)或(2，5)
D．(±2,1)或(±2，5)
[答案] B
[解析] 易知x2＝4y代入x2＋y2＝5得y2＋4y－5＝0得(y＋5)(y－1)＝0解得y＝－5，y＝1，y＝－5不合题意舍去，∴y＝1，解得x＝±2.
二、填空题
7．如图所示曲线方程是__________________．
[答案] |y|＝x
[解析] 曲线表示两条射线y＝x(x≥0)和y＝－x(x≥0)∴曲线方程为|y|＝x.
8．方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是________．
[答案] 四个点
[解析] 由得或
或或
故方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是四个点．
三、解答题
9．若直线x＋y－m＝0被曲线y＝x2所截得的线段长为3，求m的值．
[解析] 设直线x＋y－m＝0与曲线y＝x2相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，联立直线与曲线得将(2)代入(1)得x2＋x－m＝0，所以所以|AB|＝＝·|x1－x2|＝·＝·＝3，所以＝3，所以m的值为2.
一、选择题
1．方程4x2－y2＋6x－3y＝0表示的图形是( )
A．直线2x－y＝0
B．直线2x＋y＋3＝0
C．直线2x－y＝0或直线2x＋y＋3＝0
D．直线2x＋y＝0和直线2x－y＋3＝0
[答案] C
[解析] ∵4x2－y2＋6x－3y＝(2x＋y)(2x－y)＋3(2x－y)＝(2x－y)(2x＋y＋3)，
∴原方程表示两条直线2x－y＝0和2x＋y＋3＝0.
2．设曲线F1(x，y)＝0和F2(x，y)＝0的交点为P，那么曲线F1(x，y)－F2(x，y)＝0必定( )
A．经过P点 B．经过原点
C．经过P点和原点 D．不一定经过P点
[答案] A
[解析] 设A点坐标为(x0，y0)，∴F1(x0，y0)＝0，F2(x0，y0)＝0，∴F1(x0，y0)－F2(x0，y0)＝0，∴F1(x，y)－F2(x，y)＝0过定点P.是否有F1(0,0)＝F2(0,0)未知，故是否过原点未知．
3．方程(x－2)2＋(y＋2)2＝0表示曲线是( )
A．圆 B．两条直线
C．一个点 D．两个点
[答案] C
[解析] 由题意得x＝2且y＝－2为一个点．
4．曲线y＝－与曲线y＝－|ax|(a∈R)的交点个数一定是( )
A．2 B．4
C．0 D．与a的取值有关
[答案] A
[解析] 画出图形，易知两曲线的交点个数为2.
二、填空题
5．方程＝表示的曲线是________．
[答案] 两条线段
[解析] 由已知得1－|x|＝1－y,1－y≥0,1－|x|≥0，∴y＝|x|，|x|≤1∴曲线表示两条线段．
6．已知直线y＝2x－5与曲线x2＋y2＝k，当________时，有两个公共点；当________时，有一个公共点；当________时，无公共点．
[答案] k>5；k＝5；0
[解析] 首先应用k>0，再联立y＝2x－5和x2＋y2＝k组成方程组，利用“△”去研究．
7．|x|＋|y|＝1表示的曲线围成的图形面积为____．
[答案] 2
[解析] 利用x≥0，y≥0时，有x＋y＝1；x≥0，y≤0时，x－y＝1；x≤0，y≥0时，有－x＋y＝1；x≤0，y≤0时，－x－y＝1，作出图形为一个正方形，其边长为，面积为2.
三、解答题
8．已知直线y＝2x＋b与曲线xy＝2相交于A、B两点，且|AB|＝5，求实数b的值．
[解析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)
联立方程组
消去y整理得2x2＋bx－2＝0，①
运用x1＋x2＝－，x1·x2＝－1及y1－y2＝(2x1＋b)－(2x2＋b)＝2(x1－x2)，得
|AB|＝
＝
＝·＝·＝5.
解得b2＝4，b＝±2.
而①式中Δ＝b2＋16>0一定成立，故b＝±2.
9．已知直线l：y＝x＋b与曲线C：y＝有两个公共点，求b的取值范围．
[解析] 解法1：由方程组
得
消去x，得到2y2－2by＋b2－1＝0(y≥0)．
l与C有两个公共点，等价于此方程有两个不等的非负实数解，
可得
解得1≤b<
解法2：在同一直线坐标系内作出y＝x＋b与y＝的图形，如图所示，易得b的范围为1≤b<.
第二章 2.1 2.1.2
一、选择题
1．到直线4x＋3y－5＝0的距离为1的点的轨迹方程为( )
A．4x＋3y－10＝0和4x＋3y＝0
B．4x＋3y－10＝0和4x＋3y＋1＝0
C．4x＋3y＋10＝0和4x＋3y＝0
D．4x＋3y＋10＝0和4x＋3y＋1＝0
[答案] A
[解析] 利用点到直线的距离公式易求．
2．已知点M(－2,0)、N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是( )
A．x2＋y2＝4(x≠±2) B．x2＋y2＝4
C．x2＋y2＝16 D．x2＋y2＝16(x≠±4)
[答案] A
[解析] 由直角三角形斜边中线等于斜边一半知|PO|＝2，即x2＋y2＝4，但M、N、P不能共线，故P点轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)，故答案为A.
3．到A(2，－3)和B(4，－1)的距离相等的点的轨迹方程是( )
A．x－y－1＝0 B．x－y＋1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0
[答案] C
[解析] 设点的坐标为(x，y)，根据题意有
＝
化简得x＋y－1＝0.
4．方程y＝表示的曲线是( )
[答案] B
[解析] y＝＝，故选B.
5．已知A(－1,0)、B(2,4)，△ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是( )
A．4x－3y－16＝0或4x－3y＋16＝0
B．4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0
C．4x－3y＋16＝0或4x－3y＋24＝0
D．4x－3y＋16＝0或4x－3y－24＝0
[答案] B
[解析] |AB|＝5，∴C到AB的距离d＝＝4，设C(x，y)、AB所在的直线为4x－3y＋4＝0，
∴4＝，
∴|4x－3y＋4|＝20，
∴4x－3y＋4＝20或4x－3y＋4＝－20
故4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0，故选B.
6．方程(x＋1)·(y－1)＝1(x≠0)表示的曲线关于____对称( )
A．直线y＝x B．直线y＝x＋2
C．直线y＝－x D．(－1 ，－1)中心
[答案] B
[解析] 曲线(x＋1)(y－1)＝1，即y－1＝可看作曲线y＝沿x轴向左平移1个单位，沿y轴向上平移1个单位得到的，而y＝关于y＝x对称，故曲线y－1＝关于直线y＝x＋2对称．
二、填空题
7．已知l1是过原点O且与向量a＝(2，－λ)垂直的直线，l2是过定点A(0,2)且与向量b＝(－1，)平行的直线，则l1与l2的交点P的轨迹方程是________，轨迹是________________．
[答案] x2＋(y－1)2＝1(y≠0) 以(0,1)为圆心，1为半径的圆(不包括原点)
[解析] 由题意，l1可为过原点除x轴的任意直线，l2可为过A(0,2)除y轴的任意直线，由平面几何性质知，向量a，b共线，方向相反，l1与a垂直，l2与b平行，则l1与l2相互垂直，交点P的轨迹是以(0,1)为圆心，OA为直径的圆周除去原点O的部分．
8．已知两直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0的交点为P(2,3)，则过两点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)的直线方程是____________．
[答案] 2x＋3y＋1＝0
[解析] P(2,3)在a1x＋b1y＋1＝0上，代入得2a1＋3b1＋1＝0，同理2a2＋3b2＋1＝0.故(a1，b1)，(a2，b2)都在直线2x＋3y＋1＝0上，两点确定一条直线，故过Q1，Q2两点的直线方程为2x＋3y＋1＝0.
三、解答题
9．求(x－1)2＋(y－1)2＝1关于直线x＋y＝0的对称曲线的方程．
[解析] 设所求对称曲线上任一点的坐标为(x，y)，它关于x＋y＝0的对称点为(x1，y1)，根据对称定义知：
解得，
∵(x1，y1)在(x－1)2＋(y－1)2＝1上
∴(x1－1)2＋(y1－1)2＝1，
∴有(－y－1)2＋(－x－1)2＝1，
即(x＋1)2＋(y＋1)2＝1.
一、选择题
1．下面所给图形的方程是图中的曲线方程的是( )
[答案] D
[解析] A不是，因为x2＋y2＝1表示以原点为圆心，半径为1的圆，以方程的解为坐标的点不都是曲线上的点，如(，－)的坐标适合方程x2＋y2＝1，但不在所给曲线上；B不是，理由同上，如点(－1,1)适合x2－y2＝0，但不在所给曲线上；C不是，因为曲线上的点的坐标都不是方程的解，如(－1,1)在所给曲线上，但不适合方程lgx＋lgy＝1.
2．平行四边形ABCD的顶点A，C的坐标分别为(3，－1)，(2，－3)，顶点D在直线3x－y＋1＝0上移动，则顶点B的轨迹方程为( )
A．3x－y－20＝0(x≠13) B．3x－y－10＝0(x≠13)
C．3x－y－12＝0(x≠13) D．3x－y－9＝0(x≠13)
[答案] A
[解析] 设AC、BD交于点O，
∵A、C分别为(3，－1)(2，－3)，
∴O为(，－2)，设B为(x，y)，
∴D为(5－x，－4－y)．
∵D在3x－y＋1＝0上，
∴15－3x＋4＋y＋1＝0，由于A、B、C、D不共线则应除去与直线AC的交点(13,19)，故所求轨迹方程为3x－y－20＝0(x≠13)．
3．设动点P是抛物线y＝2x2＋1上任意一点，点A(0，－1)，点M使得＝2，则M的轨迹方程是( )
A．y＝6x2－ B．y＝3x2＋
C．y＝－3x2－1 D．x＝6y2－
[答案] A
[解析] 设M为(x，y)，
∵＝2， A(0，－1)，
∴P(3x,3y＋2)．
∵P为y＝2x2＋1上一点，
∴3y＋2＝2×9x2＋1＝18x2＋1，
∴y＝6x2－.故选A.
4．动点在曲线x2＋y2＝1上移动时，它和定点B(3,0)连线的中点P的轨迹方程是( )
A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝1
C．(2x－3)2＋4y2＝1 D. (x＋)2＋y2＝1
[答案] C
[解析] 设P点为(x，y)，曲线上对应点为(x1，y1)，则有＝x，＝y.
∴x1＝2x－3，y1＝2y.
∵(x1，y1)在x2＋y2＝1上，
∴x＋y＝1，
∴(2x－3)2＋(2y)2＝1，
即(2x－3)2＋4y2＝1.
二、填空题
5．已知△ABC为圆x2＋y2＝4的一个内接三角形，且＝1?3?5，则BC中点M的轨迹方程为________．
[答案] x2＋y2＝1
[解析] 如图建系
设BC中点为M(x，y)，连接OB、OC、OM，
由于∠BOC＝120°，所以∠OBC＝30°，
所以OM＝OB＝1.于是M点的轨迹方程为x2＋y2＝1.
6．直线y＝kx＋1与y＝2kx－3(k为常数，且k≠0)交点的轨迹方程是________．
[答案] y＝5(x≠0)
[解析] 由，
得k＝(x≠0)，
把k＝代入y＝kx＋1，得y＝5.
故交点的轨迹方程是y＝5(x≠0)．
三、解答题
7．M为直线l：2x－y＋3＝0上的一动点，A(4,2)为一定点，又点P在直线AM上，且AP?PM＝3，求动点P的轨迹方程．
[解析] 设点M、P的坐标分别为M(x0，y0)，P(x，y)，由题设及向量共线条件可得
得，
因为点M(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，
所以2×－＋3＝0，即8x－4y＋3＝0，
从而点P的轨迹方程为8x－4y＋3＝0.
8．点P与两定点A(－4,0)、B(4,0)的连线所成的角∠APB＝45°，求动点P的轨迹方程．
[解析] (1)当kAP或kPB不存在时，动点P为(4,8)，(－4,8)，(－4，－8)，(4，－8)．
(2)当kAP、kPB存在时，设P(x，y)若y>0，有＝1，化简得x2＋y2－8y－16＝0(y>0)，检验知(4,8)和(－4,8)
均适合上式．若y<0，有＝1，化简得x2＋y2＋8y－16＝0(y<0)，检验知(－4，－8)和(4，－8)均适合上式，综上知所求轨迹方程为x2＋y2－8y－16＝0(y>0)或x2＋y2＋8y－16＝0(y<0)．
第二章 2.2 2.2.1
一、选择题
1．命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a(a>0，a是常数)；命题乙：点P的轨迹是椭圆，甲是乙的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] 若点P轨迹是椭圆，则一定有|PA|＋|PB|＝2a(a>0)，反过来，若|PA|＋|PB|＝2a(a>0)，点P的轨迹可能是线段，或不存在．
2．过椭圆4x2＋y2＝1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A、B两点，则A、B与椭圆的另一个焦点F2构成△ABF1的周长是( )
A．2 B．4
C. D．2
[答案] B
[解析] 根据题意画出图形(如图所示)，
∵|AF1|＋|AF2|＝2，|BF1|＋|BF2|＝2，
∴|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4，
即|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4.
3．点A(a,1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是( )
A．－
C．－2[答案] A
[解析] 因为点A在椭圆内部，故将点A的坐标代入＋应满足＋<1，所以a2<2，即－4．已知椭圆＋＝1的两个焦点F1，F2，M是椭圆上一点，且|MF1|－|MF2|＝1，则△MF1F2是( )
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等边三角形
[答案] B
[解析] 由|MF1|－|MF2|＝1，且|MF1|＋|MF2|＝4，得|MF1|＝，|MF2|＝.
又|F1F2|＝2，显然△MF1F2为直角三角形．
5．已知A，B两点的坐标分别为(0，－5)和(0,5)，直线AM与MB的斜率之积为－，则点M的轨迹方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1(x≠±5)
C.＋＝1 D.＋＝1(x≠0)
[答案] D
[解析] 设点M的坐标为(x，y)，则kMA＝，kBM＝，由题意，得·＝－(x≠0)，
整理得＋＝1(x≠0)．故选D.
6．设P是椭圆＋＝1上一动点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则cos∠F1PF2的最小值是( )
A. B.
C．－ D．－
[答案] D
[解析] 由余弦定理，得
cos∠F1PF2＝ ①
又∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，
|F1F2|＝2，∴①式可化为cos∠F1PF2＝
＝－1.
∵|PF1|·|PF2|≤()2＝9.
当|PF1|＝|PF2|时，取等号，∴cos∠F1PF2≥－1＝－，当|PF1|＝|PF2|时取等号，
∴cos∠F1PF2的最小值为－.
二、填空题
7．椭圆＋＝1的一个焦点为F1，M为椭圆上一点，且|MF1|＝2，N是线段MF1的中点，则|ON|为(O为坐标原点)________．
[答案] 4
[解析] 如图所示
∵|MF1|＋|MF2|＝10，|MF1|＝2，
∴|MF2|＝8，
又ON为△F1F2M的中位线，
∴|ON|＝|MF2|＝4.
8．已知F1、F2是椭圆＋＝1的左右焦点，P为椭圆上一个点，且|PF1|?|PF2|＝1?2，则∠F1PF2＝______________.
[答案] arccos
[解析] 由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝6，又|PF1|?|PF2|＝1?2，则|PF1|＝2，|PF2|＝4，而|F1F2|＝4
由余弦定理得cos∠F1PF2＝，
∴∠F1PF2＝arccos.
三、解答题
9．(2013·沧州高二检测)求过点P(3,0)且与圆x2＋6x＋y2－91＝0相内切的动圆圆心的轨迹方程．
[解析] 将点(3,0)代入x2＋6x＋y2－91＝－64<0，所以点P在圆内，圆方程配方整理得(x＋3)2＋y2＝102，圆心为C1(－3,0)，半径为R＝10.设所求动圆圆心为C(x，y)，半径为r，依题意有消去r得R－|PC|＝|CC1|?|PC|＋|CC1|＝R，即|PC|＋|CC1|＝10.
又P(3,0)，C1(－3,0)，且|PC1|＝6<10.可见C点是以P，C1为两焦点的椭圆，且c＝3,2a＝10，所以a＝5，从而b＝4，故所求的动圆圆心的轨迹方程为＋＝1.
一、选择题
1．(2014·邵阳高二检测)已知两定点F1(－1,0)，F2(1,0)，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
[答案] C
[解析] 由题意知|F1F2|＝2，
而|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项．
则2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|
即|PF1|＋|PF2|＝4>2
则P点的轨迹方程为椭圆，
则a＝2，c＝1.
∴椭圆方程为＋＝1.
2．(2014·宁德高二检测)已知方程＋＝1(k∈R)表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是( )
A．k<1或k>3 B．1C．k>1 D．k<3
[答案] B
[解析] 因为方程＋＝1(k∈R)表示焦点在x轴上的椭圆．
所以解得13．(2014·北京海淀)已知点F1，F2是椭圆x2＋2y2＝2的两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|＋|的最小值是( )
A．0 B．1
C．2 D．2
[答案] C
[解析] 设P(x0，y0)，则＝(－1－x0，－y0)，＝(1－x0，－y0)，
∴＋＝(－2x0，－2y0)，
∴|＋|＝＝2＝2.
∵点P在椭圆上，∴0≤y≤1，∴当y＝1时，|＋|取最小值为2.故选C.
二、填空题
4．设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0[答案] x2＋y2＝1
[解析] 如图，由题意，A点横坐标为c，
∴c2＋＝1，
又b2＋c2＝1，∴y2＝b4，∴|AF2|＝b2，
又∵|AF1|＝3|BF1|，
∴B点坐标为(－c，－b2)，
代入椭圆方程得，
∴方程为x2＋y2＝1.
5．(2013·大理高二检测)若方程＋＝1表示椭圆，则实数k的取值范围是________．
[答案] (2，)∪(，5)
[解析] 由方程＋＝1表示椭圆，
可得
解得2即当2方程＋＝1表示椭圆．
6．若椭圆＋＝1的焦点在x轴上，过点(1，)作圆
x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．
[答案] ＋＝1
[解析] 本题主要考查圆的切线方程以及椭圆的标准方程，点在圆外过点(1，)与圆相切的一条直线方程为x＝1，一个切点为(1,0)，设另一条的方程为y＝x＋m，由1＝得m＝，故另一条切线的方程为y＝－x＋代入圆的方程联立解得切点为，则直线AB的方程为y＝－2x＋2，故椭圆的上顶点坐标为(0,2)．因此c＝1，b＝2，a＝，所求椭圆方程为＋＝1.
7．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝________；∠F1PF2的大小为________．
[答案] 2 120°
[解析] 考查椭圆定义及余弦定理．
由椭圆定义，|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，∴|PF2|＝2，
cos∠F1PF2＝
＝＝－.
∴∠F1PF2＝120°.
三、解答题
8．Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝2，AC＝，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持|PA|＋|PB|的值不变，求曲线E的方程．
[解析] 如图所示，以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．
在Rt△ABC中，
BC＝＝，
∵|PA|＋|PB|＝|CA|＋|CB|＝＋＝2.
又|PA|＋|PB|>|AB|，
∴由椭圆定义知，动点P的轨迹E为椭圆，a＝，c＝1，b＝1.∴所求的轨迹方程为＋y2＝1.
9．如图，动圆C1：x2＋y2＝t2,1(1)当t为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积；
(2)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程．
[解析] (1)设A(x0，y0)，则矩形ABCD的面积S＝4|x0||y0|.
由＋y＝1得y＝1－，从而
xy＝x(1－)＝－(x－)2＋.
当x＝，y＝时，Smax＝6，从而
t＝时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为6.
(2)由A(x0，y0)，B(x0，－y0)，A1(－3,0)，A2(3,0)知直线AA1的方程为
y＝(x＋3)． ①
直线A2B的方程为
y＝(x－3)． ②
由①②得
y2＝(x2－9)． ③
又点A(x0，y0)在椭圆C上，故
y＝1－. ④
将④代入③得－y2＝1(x<－3，y<0)．
因此点M的轨迹方程为
－y2＝1(x<－3，y<0)．
第二章 2.2 2.2.2 第1课时
一、选择题
1．椭圆＋＝1的焦点坐标是( )
A．(±5,0) B．(0，±5)
C．(0，±12) D．(±12,0)
[答案] B
[解析] 易知焦点在y轴上，∴a2＝169，b2＝144.
∴c＝＝＝5.
2．已知椭圆＋＝1的焦点在y轴上，若焦距为4，则m＝( )
A．4 B．5
C．7 D．8
[答案] D
[解析] 因为焦点在y轴上，
所以?6又焦距为4，所以m－2－10＋m＝4?m＝8.
3．已知椭圆的焦距为2，椭圆上一点到两焦点的距离的和为8，则椭圆的标准方程为( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1或＋＝1
[答案] D
[解析] ∵2c＝2，∴c＝，∵2a＝8，∴a＝4.
又∵焦点不知在哪个轴上，∴标准方程有两个，故选D.
4．椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆离心率为( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] 由题意知b＝c，∴a＝b，∴e＝＝.
5．椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.－2
[答案] B
[解析] 本题考查椭圆方程，等比数列知识、离心率等．
∵A、B分别在左右顶点，F1、F2分别为左右焦点，∴|AF1|＝a－c，|F1F2|＝2c，|BF1|＝a＋c，又由|AF1|、|F1F2|、|F1B|成等比数列得(a－c)(a＋c)＝4c2，即a2＝5c2，所以离心率e＝，要求离心率，应找到a、c关系．
6．我们把离心率等于黄金比的椭圆称为“优美椭圆”．设＋＝1(a>b>0)是优美椭圆，F、A分别是它的左焦点和右顶点，B是它的短轴的一个端点，则∠ABF等于( )
A．60° B．75°
C．90° D．120°
[答案] C
[解析] cos∠ABF＝
＝＝
＝＝0，
∴∠ABF＝90°，选C.
二、填空题
7．一椭圆的短半轴长是2，离心率是，焦点为F1，F2，弦AB过F1，则△ABF2的周长为____________．
[答案] 12
[解析] ∵离心率是，∴a＝3c，
又有a2－c2＝b2＝8，
∴(3c)2－c2＝8∴c2＝1，
∴a2＝9，易知△ABF2的周长为4a，
∴周长为12.
8．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________．
[答案] ＋＝1
[解析] 考查椭圆的定义与标准方程．
设椭圆G的标准方程为＋＝1 (a>b>0)，半焦距为c，则
，∴，∴b2＝a2－c2＝36－27＝9，
∴椭圆G的方程为＋＝1.
三、解答题
9．设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，短轴的一个顶点B与两焦点F1、F2组成的三角形的周长为4＋2，且∠F1BF2＝π，求椭圆方程．
[解析] 由题意知
??
∴b2＝a2－c2＝1，
∴椭圆方程为＋y2＝1.
一、选择题
1．设椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为e＝，右焦点为F(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)的位置( )
A．必在圆x2＋y2＝2内 B．必在圆x2＋y2＝2上
C．必在圆x2＋y2＝2外 D．以上三种情形都有可能
[答案] A
[解析] 由e＝知＝，a＝2c.由a2＝b2＋c2得b＝c，代入ax2＋bx－c＝0，得2cx2＋cx－c＝0，即2x2＋x－1＝0，则x1＋x2＝－，x1x2＝－，x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝<2.
2．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] 如图，△ABF2为正三角形，
∴|AF2|＝2|AF1|，|AF2|＋|AF1|＝2a，
|AF1|＝|F1F2|.
∴|AF1|＝a，又|F1F2|＝2c，
∴＝ .∴＝.故选A.
3．(2014·黑龙江佳木斯)已知椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点M在该椭圆上，且·＝0，则点M到y轴的距离为( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 由题意，得F1(－，0)，F2(，0)．
设M(x，y)，则·＝(－－x，－y)·(－x，－y)＝0，
整理得x2＋y2＝3. ①
又因为点M在椭圆上，故＋y2＝1，
即y2＝1－. ②
将②代入①，得x2＝2，解得x＝±.
故点M到y轴的距离为.
4．(2013·新疆乌鲁木齐)已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点且·＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是( )
A．[，1) B．[，]
C．[，] D．(0，]
[答案] C
[解析] 设P(m，n)，·＝c2＝(－c－m，－n)·(c－m，－n)＝m2－c2＋n2，
∴m2＋n2＝2c2,2c2－m2＝n2①，
把P(m，n)代入椭圆＋＝1，得b2m2＋a2n2＝a2b2②，
把①代入②得m2＝≥0，
∴a2b2≤2a2c2，∴b2≤2c2，∴a2≤3c2，∴e＝≥.
又m2＝≤a2，
∴a2≥2c2，∴e＝≤.
综上知此椭圆离心率的取值范围是[，]，故选C.
二、填空题
5．(2014·南京高二检测)已知椭圆的长轴长为20，离心率为，则该椭圆的标准方程为________．
[答案] ＋＝1或＋＝1
[解析] 因为2a＝20，e＝＝，所以a＝10，c＝6，b2＝a2－c2＝64.由于椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
6．(2013·安阳高二检测)以正方形ABCD的相对顶点A，C为焦点的椭圆，恰好过正方形四边的中点，则该椭圆的离心率为________．
[答案]
[解析] 连接CE，设AD＝1，则AC＝，即c＝，CE＝＝，
∴2a＝AE＋CE＝＋，
∴a＝＋，
∴e＝＝＝.
三、解答题
7. 设P是椭圆＋＝1(a>b>0)上的一点，F1、F2是椭圆的焦点，且∠F1PF2＝90°，求证：椭圆的圆心率e≥.
[证明] 证法一：∵P是椭圆上的点，F1、F2是焦点，由椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a， ①
在Rt△F1PF2中，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2＝4c2，
由①2，得|PF1|2＋2|PF1||PF2|＋|PF2|2＝4a2，
∴|PF1|·|PF2|＝2(a2－c2)， ②
由①和②，知|PF1|，|PF2|是方程z2－2az＋2(a2－c2)＝0的两根，且两根均在(a－c，a＋c)之间．
令f(z)＝z2－2az＋2(a2－c2)则可得()2≥，即e≥.
证法二：由题意知c≥b，∴c2≥b2＝a2－c2，
∴≥，故e≥.
8．过椭圆＋＝1内一点M(2,1)的一条直线与椭圆交于A，B两点，如果弦AB被M点平分，那么这样的直线是否存在？若存在，求其方程；若不存在，说明理由．
[解析] 设所求直线存在，方程y－1＝k(x－2)，代入椭圆方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k2－1)2－16＝0①.设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是方程①的两根，所以x1＋x2＝.又M为AB的中点，所以＝＝2，解得k＝－.又k＝－时，使得①式Δ>0，故这
样的直线存在，直线方程为x＋2y－4＝0.
9．已知椭圆＋y2＝1和点M(－3,0)，N(0，－2)，直线l过点M与椭圆相交于A，B两点，那么∠ANB可以为钝角吗？如果你认为可以，请写出当∠ANB为钝角时，直线l的斜率k的取值范围；如果你认为不能．请加以证明．
[解析] ∠ANB不可能为钝角．证明如下：
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为y＝k(x＋3)，
由得(1＋2k2)x2＋12k2x＋18k2－2＝0.
由根与系数的关系，得x1＋x2＝－， ①
x1x2＝. ②
又∵＝(x1，y1＋2)，＝(x2，y2＋2)，若∠ANB为钝角．则·<0，
即x1x2＋(y1＋2)(y2＋2)<0，即x1x2＋y1y2＋2(y1＋y2)＋4<0. ③
∵y1＝k(x1＋3)，④ y2＝k(x2＋3)，⑤ ∴将④⑤代入③整理得(1＋k2)x1x2＋(3k2＋2k)(x1＋x2)＋9k2＋12k＋4<0， ⑥
将①②代入⑥，得(1＋k2)·＋(3k2＋2k)(－)＋9k2＋12k＋4<0.
整理得33k2＋12k＋2<0，Δ＝144－4×33×2＝－120<0，
∴k不存在，故∠ANB不可能为钝角．
第二章 2.2 2.2.2 第2课时
一、选择题
1．(2014·贵州遵义)椭圆＋＝1中，以点M(－1,2)为中点的弦所在的直线斜率为( )
A. B.
C. D．－
[答案] B
[解析] 设直线与椭圆交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1＋x2＝－2，
设直线为y＝k(x＋1)＋2，
联立得(9＋16k2)x2＋32k(k＋2)x＋(k＋2)2－144＝0.
∴x1＋x2＝，
∴＝－2.
解得k＝.
故选B.
2．已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )
A．3 B．2
C．2 D．4
[答案] C
[解析] 设椭圆方程为＋＝1，
联立得
(a2＋3b2)y2＋8b2y＋16b2－a2b2＝0，
由Δ＝0得a2＋3b2－16＝0，
而b2＝a2－4
代入得a2＋3(a2－4)－16＝0
解得a2＝7，∴a＝.
∴长轴长为2，选C.
3．P是椭圆＋＝1上的一点，F1、F2是焦点，若∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积是( )
A. B．64(2＋)
C．64(2－) D．64
[答案] A
[解析] 在△PF1F2中，设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则由椭圆定义知r1＋r2＝20 ①
由余弦定理知
cos60°＝＝
＝，即r＋r－r1r2＝144 ②
①2－②得r1r2＝.
∴S△PF1F2＝r1·r2sin60°＝.
4．已知F是椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a>b>0)的一个焦点，PQ是过其中心的一条弦，且c＝，则△PQF面积的最大值是( )
A.ab B．ab
C．ac D．bc
[答案] D
[解析] 设它的另一个焦点为F′，则|F′O|＝|FO|，|PO|＝|QO|，FPF′Q为平行四边形．
S△PQF＝SPF′QF＝S△PFF′，则当P为椭圆短轴端点时，P到FF′距离最大，此时S△PFF′最大为bc.
即(S△PQF)max＝bc.
5．椭圆＋＝1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上．如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的( )
A．7倍 B．5倍
C．4倍 D．3倍
[答案] A
[解析] 不妨设F1(－3,0)，F2(3,0)，由条件知P(3，±)，即|PF2|＝，由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，|PF1|＝，|PF2|＝，即|PF1|＝7|PF2|.
6．设0≤α<2π，若方程x2sinα－y2cosα＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是( )
A.∪ B.
C. D.
[答案] C
[解析] 将方程变形为：＋＝1.
∴，∴sinα>－cosα>0.
∴α在第二象限且|sinα|>|cosα|.
二、填空题
7．(2014·江西理，15)过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为________．
[答案]
[解析] 本题考查直线与椭圆的位置关系及椭圆的离心率的求法．
依题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，＋＝1，＋＝1，所以＋＝0，
＝－＝－＝，
因此e＝＝.
8．在平面直角坐标系xOy中，设椭圆＋＝1(a>b>0)的焦距为2c，以点O为圆心，a为半径的圆过点P过P作圆的两切线又互相垂直，则离心率e＝________.
[答案]
[解析] 如图，切线PA、PB互相垂直，又半径OA垂直于PA，所以△OAP是等腰直角三角形，故＝a，解得e＝＝.
三、解答题
9．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1、F2，斜率为k的直线l过左焦点F1且与椭圆的交点为A、B，与y轴交点为C，又B为线段CF1的中点，若|k|≤，求椭圆离心率e的取值范围．
[解析] 设l：y＝k(x＋c)则C(0，kc)，B(－，)．
∵B在椭圆上，∴＋＝1.
即＋＝1?e2＋＝4.
∴k2＝≤?2e4－17e2＋8≤0?
≤e2<1?≤e<1.
一、选择题
1．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上．若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为( )
A. B．3
C. D.
[答案] D
[解析] a2＝16，b2＝9?c2＝7?c＝.
∵△PF1F2为直角三角形．
∴P是横坐标为±的椭圆上的点．(点P不可能为直角顶点)
设P(±，|y|)，把x＝±
代入椭圆方程，知＋＝1?y2＝?|y|＝.
2．过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 考查椭圆的性质及三角形中的边角关系运算．
把x＝－c代入椭圆方程可得yc＝±，
∴|PF1|＝，∴|PF2|＝，
故|PF1|＋|PF2|＝＝2a，即3b2＝2a2
又∵a2＝b2＋c2，∴3(a2－c2)＝2a2，
∴()2＝，即e＝.
3．椭圆＋＝1上有n个不同的点P1、P2、…、Pn，椭圆的右焦点为F，数列{|PnF|}是公差大于的等差数列，则n的最大值是( )
A．2 000 B．2 006
C．2 007 D．2 008
[答案] A
[解析] ∵椭圆＋＝1上距离右焦点F(1,0)最近的点为右端点(2,0)，距离右焦点F(1,0)最远的点为左端点(－2,0)，数列{|PnF|}的公差d大于，不妨|P1F|＝1，|PnF|＝3,3＝1＋(n－1)·d，∴d＝>，n－1<2 000，
即n<2 001.∴故选A.
4．已知点(4,2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点，则l的方程是( )
A．x－2y＝0 B．x＋2y－4＝0
C．2x＋3y－4＝0 D．x＋2y－8＝0
[答案] D
[解析] 设截得的线段为AB，A(x1，y1)，B(x2，y2), 中点坐标为(x0，y0)，利用“差分法”得＝－，即·＝－，
∴k＝＝－，∴直线l的方程为y－2＝－(x－4)，即x＋2y－8＝0.
二、填空题
5．椭圆＋＝1(a为定值，且a>)的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A、B，△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________．
[答案]
[解析] 画图分析可知△FAB的周长的最大值即为4a＝12，∴a＝3，从而c＝＝2，故离心率e＝＝.
6．设F1、F2分别为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，点A，B在椭圆上，若＝5，则点A的坐标是________．
[答案] (0,1)或(0，－1)
[解析] 思路分析：本题主要考查椭圆的几何性质，向量的运算等基础知识，
如图，设直线AB与x轴交于点N(n,0)，∵＝5F2B，
∴＝，∴＝，∴n＝
设直线AB方程为x＝my＋，代入椭圆方程，得：(m2＋3)y2＋3my＋＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝－，y1y2＝，由＝5 得y1＝5y2.
∴，∴＝，∴m＝±，∴y2＝±，从而y1＝±1，
∴A点坐标为(0，±1)．
7．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________．
[答案] ＋＝1
[解析] 本题主要考查椭圆的定义及几何性质．
依题意：4a＝16，即a＝4，又e＝＝，∴c＝2，∴b2＝8.
∴椭圆C的方程为＋＝1.
三、解答题
8．如图所示，某隧道设计为双向四车通，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状．若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？
[解析] 如图所示，建立直角坐标系，则点P坐标为(11，4.5)，椭圆方程为＋＝1.
将b＝h＝6与点P代入椭圆方程，得a＝，
此时l＝2a＝≈33.3
因此隧道的拱宽约为33.3米．
9．如图，直线y＝kx＋b与椭圆＋y2＝1，交于A、B两点，记ΔAOB的面积为S.
(1)求在k＝0,0(2)当|AB|＝2，S＝1时，求直线AB的方程．
[解析] (1)解：设点A的坐标为(x1，b)，B为(x2，b)．由＋b2＝1，解得x12＝±2，所以S＝b·|x1－x2|＝2b·≤b2＋1－b2＝1.
当且仅当b＝时，S取到最大值1.
(2)解：由得(k2＋)x2＋2kbx＋b2－1＝0
∵Δ＝4k2－b2＋1 ①
∴|AB|＝|x1－x2|＝·＝2 ②
设O到AB的距离为d，则 d＝＝1.
又因为d＝，所以b2＝k2＋1，代入②式整理得k4－k2＋＝0，解得k2＝，b2＝，
代入①式检验，Δ>0，故直线AB的方程为y＝x＋或y＝x－或y＝－x＋或y＝－x－.
第二章 2.3 2.3.1
一、选择题
1．(2013·安阳高二检测)若k∈R，则k>3是方程－＝1表示双曲线的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 若k>3，则方程－＝1，表示双曲线；若方程－＝1表示双曲线，则或解得k>3或k<－3.故选A.
2．已知点F1(0，－13)，F2(0,13)，动点P到F1与F2的距离之差的绝对值为26，则动点P的轨迹方程为( )
A．y＝0 B．y＝0(|x|≥13)
C．x＝0(|y|≥13) D．以上都不对
[答案] C
[解析] ||PF1|－|PF2||＝|F1F2|，∴x＝0.
3．已知定点A，B，且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值为( )
A. B. C. D．5
[答案] C
[解析] 点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支，如右图所示，当P与双曲线右支顶点M重合时，|PA|最小，最小值为a＋c＝＋2＝.故选C.
4．若椭圆＋＝1(m>n>0)和双曲线－＝1(a>0.b>0)有相同的焦点，P是两曲线上的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值为( )
A．m－a B．m－b
C．m2－a2 D.－
[答案] A
[解析] 由题意|PF1|＋|PF2|＝2，|PF1|－|PF2|＝2整理得|PF1|·|PF2|＝m－a，选A.
5．(2014·广东理，4)若实数k满足0A．焦距相等 B．实半轴长相等
C．虚半轴长相等 D．离心率相等
[答案] A
[解析] 本题考查双曲线的性质．
∵00，
∴曲线表示双曲线，
又∵25＋9－k＝c2，
∴焦距相等．选A.
6．设P为双曲线x2－＝1上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点．若|PF1|?|PF1|＝3?2，则△PF1F2的面积为( )
A．6 B．12
C．12 D．24
[答案] B
[解析] 设|PF1|＝x，|PF2|＝y，
则解得又|F1F2|＝2
由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝0.
∴S△PF1F2＝x·y·sin∠F1PF2＝4×6××1＝12.
二、填空题
7．(2013·大连高二检测)方程＋＝1表示的曲线为C，给出下列四个命题：
①曲线C不可能为圆；②若14；④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1[答案] ③④
[解析] 若曲线C为圆，则4－k＝k－1，解得k＝.故①错．
若曲线C为椭圆，则1曲线C为双曲线，则k<1或k>4.③④对．
8．已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
[答案] 9
[解析] 设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义可知|PF|＝2a＋|PF1|＝4＋|PF1|，所以当满足|PF1|＋|PA|最小时就满足|PF|＋|PA|取最小值．由双曲线的图形可知当点A，P，F1共线时，满足|PF1|＋|PA|最小．而|AF1|即为|PF1|＋|PA|的最小值，|AF1|＝5，故所求最小值为9.
三、解答题
9．如图所示，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
[解析] 圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，
∴圆心F1(－5,0)，半径r1＝1.
圆F2：(x－5)2＋y2＝42，
∴圆心F2(5,0)，半径r2＝4.
设动圆M的半径为R，则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，
∴|MF2|－|MF1|＝3<10＝|F1F2|.
∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线(左支)，且a＝，c＝5.
∴双曲线方程为x2－y2＝1(x≤－).
一、选择题
1．已知方程ax2－ay2＝b，且ab<0，则它表示的曲线是( )
A．焦点在x轴上的双曲线
B．圆
C．焦点在y轴上的双曲线
D．椭圆
[答案] C
[解析] 原方程可变形为－＝1，即－＝1.可知它表示焦点在y轴上的双曲线．
2．已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P
在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 本题考查双曲线定义．由|PF1|＝2|PF2|及|PF1|－|PF2|＝2知|PF2|＝2
∴|PF1|＝4，而|F1F2|＝4，∴由余弦定理知cos∠F1PF2＝＝.当点在圆锥曲线上时，很容易考虑到定义解决问题．
3．已知平面内有一定线段AB，其长度为4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，O为AB的中点，则|PO|的最小值为( )
A．1 B.
C．2 D．4
[答案] B
[解析] 由已知，P点轨迹为以A，B为焦点，2a＝3的双曲线一支，顶点到原点距离最小，∴|PO|的最小值为，故选B.
4．设F1，F2是双曲线－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，且·＝0，则|PF1|·|PF2|的值等于( )
A．2 B．2
C．4 D．8
[答案] A
[解析] ∵·＝0，∴⊥.
又||PF1|－|PF2||＝4，|PF1|2＋|PF2|2＝20，
∴(|PF1|－|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝20－2|PF1|·|PF2|＝16，
∴|PF1|·|PF2|＝2.
二、填空题
5．已知F1、F2分别为双曲线C：－＝1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为(2,0)，AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|＝________
.[答案] 6
[解析] 本小题考查的内容是双曲线的定义与角平分线定理的应用．
如图，F1(－6,0)，F2(6,0)，
由角平分线定理知，
＝＝2
又|AF1|－|AF2|＝2a＝6，∴|AF2|＝6.
6．设圆过双曲线－＝1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是________．
[答案]
[解析] 如图所示，设圆心P(x0，y0)，则|x0|＝＝4，代入－＝1，
得y＝，
∴|OP|＝＝.
7．已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________．
[答案] 2
[解析] 本题考查了双曲线的概念．
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，根据双曲线的定义及已知条件可得|m－n|＝2a＝2，m2＋n2＝4c2＝8
∴2mn＝4
∴(|PF1|＋|PF2|)2＝(m＋n)2＝(m－n)2＋4mn＝12
∵|PF1|＋|PF2|＝2
充分利用PF1⊥PF2, 将||PF1|－|PF2||＝2a，转化到|PF1|＋|PF2|是解决本题的关键．
三、解答题
8．一炮弹在某处爆炸，在F1(－5 000,0)处听到爆炸声的时间比在F2(5 000,0)处晚 s，已知坐标轴的单位长度为1 m，声速为340 m/s，爆炸点应在什么样的曲线上？并求爆炸点所在的曲线方程．
[解析] 由声速为340 m/s可知F1、F2两处与爆炸点的距离差为340×＝6 000 (m)，因此爆炸点在以F1、F2为焦点的双曲线上，因为爆炸点离F1处比F2处更远，所以爆炸点应在靠近F2处的一支上，
设爆炸点P坐标为(x，y)，
则|PF1|－|PF2|＝6 000，即2a＝6 000，a＝3 000.
而c＝5 000，∴b2＝5 0002－3 0002＝4 0002.
∵|PF1|－|PF2|＝6 000>0，∴x>0.
∴所求双曲线方程为－＝1(x>0)．
9.如图，在△ABC中，已知|AB|＝4，且三内角A、B、C满足2sinA＋sinC＝2sinB，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．
[解析] 如图，以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，
则A(－2，0)、B(2，0)．
由正弦定理得sinA＝，sinB＝，sinC＝.
∵2sinA＋sinC＝2sinB，∴2a＋c＝2b，即b－a＝，
从而有|CA|－|CB|＝|AB|＝2由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支，扣除(，0)点的部分．
∵a′＝，c′＝2，
∴b′2＝c′2－a′2＝6.
所以顶点C的轨迹方程为－＝1(x>)．
第二章 2.3 2.3.2 第1课时
一、选择题
1．设双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为( )
A．4 B．3
C．2 D．1
[答案] C
[解析] 本小题考查内容为双曲线的渐近线．
双曲线的渐近线方程为y＝±x，比较y＝±x，∴a＝2.
2．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )
A.－＝1 B．－＝1
C.－＝1 D．－＝1
[答案] B
[解析] 顶点为(0,2)，∴a＝2且焦点在y轴上，又实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，∴有4＋2b＝·2c，且4＋b2＝c2，解得b＝2.
3．(2013·新课标Ⅰ理，4)已知双曲线C：－＝1(a>0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
[答案] C
[解析] e＝＝，∴＝，
∴b2＝a2－a2＝，
∴＝，即渐近线方程为y＝±x.
4．(2013·湖北理，5)已知0<θ<，则双曲线C1：－＝1与C2：－＝1的( )
A．实轴长相等 B．虚轴长相等
C．焦距相等 D．离心率相等
[答案] D
[解析] ∵双曲线C的离心率
e1＝＝＝，
而双曲线C2的离心率
e2＝＝＝
＝＝＝，
∴e1＝e2，故选D.
5．已知双曲线－＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于( )
A. B．
C. D．
[答案] C
[解析] 本题考查了双曲线的标准方程，焦点和离心率问题．由双曲线的右焦点(3,0)知c＝3，即c2＝9，
又c2＝a2＋b2，∴9＝a2＋5，即a2＝4，a＝2.
∴离心率e＝＝.
6．如果＋＝－1表示焦点在y轴上的双曲线，那么它的半焦距c的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(0,2)
C．(2，＋∞) D．(1,2)
[答案] A
[解析] 方程化为：－＝1，
∴∴k>2.
又c＝＝>1，
故选A.
二、填空题
7．若双曲线的渐近线方程为y＝±3x，它的一个焦点是(，0)则双曲线的方程是________．
[答案] x2－＝1
[解析] 设双曲线方程为9x2－y2＝λ(λ>0)，即－＝1.
∵a2＋b2＝c2，
∴＋λ＝10，解得λ＝9.
∴双曲线方程为x2－＝1.
8．已知双曲线x2－＝1(b>0)的一条渐近线的方程为y＝2x，则b＝________.
[答案] 2
[解析] 本题主要考查双曲线的基本性质．
双曲线的渐近线方程为y＝±x，因为a＝1，又知一条渐近线方程为y＝2x，所以b＝2.
三、解答题
9．已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆x2＋y2＝10相交于点P(3，－1)，若此圆过点P的切线与双曲线的渐近线平行，求此双曲线的方程．
[解析] 解法1：切点为P(3，－1)的圆的切线方程为3x－y＝10.
∵双曲线的一条渐近线与切线平行，且双曲线关于两坐标轴对称，
∴两渐近线方程为3x±y＝0.
设所求的双曲线方程为9x2－y2＝λ(λ≠0)，
∵点P(3，－1)在所求的双曲线上，∴λ＝80.
∴所求双曲线的方程为－＝1.
解法2：切点为P(3，－1)的圆的切线方程为3x－y＝10.
∵双曲线的一条渐近线与此切线平行，且双曲线关于两坐标对称，
∴双曲线的渐近线方程为3x±y＝0.
当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则其渐近线方程为y＝±x，即＝3，则双曲线方程可化为－＝1.
∵双曲线过P(3，－1)，
∴－＝1，a2＝，b2＝80.
∴所求双曲线的方程为－＝1.
当焦点在y轴上时，设双曲线方程为－＝1(a>0，
b>0)，则其渐近线方程为y＝±x，即＝3，则双曲线方程可化为－＝1.
∵双曲线过点P(3，－1)，
∴－＝1，得－＝1，此时方程无解．
∴所求的双曲线方程为－＝1.
一、选择题
1．(2014·天津理，5)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B．－＝1
C.－＝1 D．－＝1
[答案] A
[解析] 由于一个焦点在直线y＝2x＋10上，则一个焦点为(－5,0)，又由渐近线平行于直线y＝2x＋10.则＝2，结合a2＋b2＝c2，c＝5得，
∴a2＝5，b2＝20，双曲线标准方程为－＝1，选A.
2．已知椭圆＋＝1和双曲线－＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是( )
A．x＝±y B．y＝±x
C．x＝±y D．y＝±x
[答案] D
[解析] 由双曲线方程判断出公共焦点在x轴上，
∴椭圆焦点(，0)，
双曲线焦点(，0)．
∴3m2－5n2＝2m2＋3n2.∴m2＝8n2.
又∵双曲线渐近线为y＝±·x，
∴代入m2＝8n2，|m|＝2|n|，得y＝±x.
3．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率等于，则C的方程是( )
A.－＝1 B．－＝1
C.－＝1 D．－＝1
[答案] B
[解析] e＝，c＝3，∴a＝2，∴b2＝c2－a2＝5，
即双曲线的标准方程为－＝1.
4．如图，F1、F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是( )
A. B．
C. D．
[答案] D
[解析] 不妨设双曲线方程为－＝1.
由题意知|BF1|－|BF2|＝2a?|BF1|2＋|BF2|2－2|BF1|·|BF2|＝4a2， ①
并由勾股定理得|BF1|2＋|BF2|2＝4c2＝12， ②
由①②知12－4a2＝2|BF1|·|BF2|，∴|BF1|·|BF2|＝6－2a2.
下面求|BF1|·|BF2|的值．在椭圆中|BF1|＋|BF2|＝4，故|BF1|2＋|BF2|2＋2|BF1|·|BF2|＝16，
又由②知|BF1|2＋|BF2|2＝4c2＝12，
∴|BF1|·|BF2|＝2，因此有c2－a2＝1，
∵c2＝3，∴a2＝2，∴C2的离心率e＝＝.
二、填空题
5．双曲线－＝1的两条渐近线的方程为________．
[答案] y＝±x
[解析] 由a2＝16，b2＝9，∴渐近线方程y＝±x＝±x.
6．已知点F、A分别为双曲线C?－＝1(a>0，b>0)的左焦点、右顶点，点B(0，b)满足·＝0，则双曲线的离心率为________．
[答案]
[解析] 由已知F(－c,0)，A(a,0)，
∴＝(c，b)，＝(－a，b)，
∴由·＝0得－ac＋b2＝0，
即c2－ac－a2＝0，e2－e－1＝0，
解得e＝(另一根舍去)．
7．设m是常数，若点F(0,5)是双曲线－＝1的一个焦点，则m＝________.
[答案] 16
[解析] 本题考查双曲线的标准方程以及a、b、c基本量的关系和运算．
根据标准方程可知，a2＝m，b2＝9，而c＝5，∴c2＝a2＋b2，∴52＝m＋9.
∴m＝16.
三、解答题
8．如图，已知F1、F2为双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°.求双曲线的渐近线方程．
[解析] 解法一：设F2(c,0)(c>0)，P(c，y0)，代入方程得y0＝±，
∴|PF2|＝.
在Rt△F1F2P中，∠PF1F2＝30°，
∴|F1F2|＝|PF2|，即2c＝·，
又∵c2＝a2＋b2，∴b2＝2a2，∴＝.
故双曲线的渐近线方程为y＝±x.
解法二：在Rt△PF1F2中，∠PF1F2＝30°，
∴|PF1|＝2|PF2|，
由双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝2a，
∴|PF2|＝2a，∴|F1F2|＝|PF2|.
∴2c＝2a，c2＝3a2＝a2＋b2.∴2a2＝b2.
∴＝，故所求双曲线的渐近线方程为y＝±x.
9．(2013·广东湛江)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(c,0)．
(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；
(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－，求双曲线的离心率．
[解析] (1)∵双曲线的渐近线为y＝±x，∴a＝b，
∴c2＝a2＋b2＝2a2＝4，∴a2＝b2＝2，
∴双曲线方程为－＝1.
(2)设点A的坐标为(x0，y0)，
∴直线AO的斜率满足·(－)＝－1，
∴x0＝y0， ①
依题意，圆的方程为x2＋y2＝c2，
将①代入圆的方程得3y＋y＝c2，即y0＝c，
∴x0＝c，
∴点A的坐标为(c，)，代入双曲线方程得
－＝1，即b2c2－a2c2＝a2b2， ②
又∵a2＋b2＝c2，∴将b2＝c2－a2代入②式，
整理得c4－2a2c2＋a4＝0，
∴3()4－8()2＋4＝0，
∴(3e2－2)(e2－2)＝0，
∵e>1，∴e＝，∴双曲线的离心率为.
第二章 2.3 2.3.2 第2课时
一、选择题
1．直线y＝(x－)与双曲线－y2＝1的交点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．4
[答案] B
[解析] ∵直线与渐近线平行，∴有一个交点．
2．已知双曲线＋＝1，离心率e∈(1,2)，则m的取值范围是( )
A．(－12,0) B．(－∞，0)
C．(－3,0) D．(－60，－12)
[答案] A
[解析] 显然m<0，∴a2＝4，b2＝－m，c2＝a2＋b2＝4－m，
∵e∈(1,2)，∴e2∈(1,4)，∴＝＝∈(1,4)，
∴4－m∈(4,16)，∴m∈(－12,0)．
3．已知双曲线－＝1和椭圆＋＝1(a>0，m>b>0)的离心率互为倒数，那么以a、b、m为边的三角形是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．锐角或钝角三角形
[答案] B
[解析] 由题意＝，
即m2＝a2＋b2，∴选B.
4．(2013·福建文)双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )
A. B．
C．1 D．
[答案] B
[解析] x2－y2＝1的一个顶点为A(1,0)，一条渐近线为y＝x，则A(1,0)到y＝x距离为d＝＝.
5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)以及双曲线－＝1的渐近线将第一象限三等分，则双曲线－＝1的离心率为( )
A．2或 B．或
C．2或 D．或
[答案] A
[解析] 由题意，可知双曲线－＝1的渐近线的倾斜角为30°或60°，则＝或.
则e＝＝＝＝＝或2，故选A.
6．(2013·河南焦作)直线y＝x与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)左右两支分别交于M，N两点，F是双曲线C的右焦点，O是坐标原点，若||＝||，则双曲线的离心率等于( )
A.＋ B．＋1
C.＋1 D．2
[答案] B
[解析] 由题知|MO|＝|NO|＝|FO|，
∴△MFN为直角三角形，且∠MFN＝90°，
取左焦点为F0，连结NF0，MF0，由双曲线的对称性知，四边形NFMF0为平行四边形．
又∵∠MFN＝90°，∴四边形NFMF0为矩形，
∴|MN|＝|F0F|＝2c，
又∵直线MN的倾斜角为60°，即∠NOF＝60°，
∴∠NMF＝30°，∴|NF|＝|MF0|＝c，|MF|＝c，
由双曲线定义知|MF|－|MF0|＝c－c＝2a，∴e＝＝＋1，故选B.
二、填空题
7．(2013·辽宁高考)已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为C上的点，若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________．
[答案] 44
[解析] 如图，由条件知，双曲线右焦点为A(5,0)，则|PF|＝|PA|＋2a＝|PA|＋6，|QF|＝|QA|＋6，所以|PF|＋|QF|＝|PQ|＋12＝4b＋12＝28，
∴△PQF的周长为28＋16＝44.
8．过点P(8,1)的直线与双曲线x2－4y2＝4相交于A、B两点，且P是线段AB的中点，则直线AB的方程为______________．
[答案] 2x－y－15＝0
[解析] 设A、B坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则x－4y＝4 ①
x－4y＝4 ②
①－②得
(x1＋x2)(x1－x2)－4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
∵P是线段AB的中点，
∴x1＋x2＝16，y1＋y2＝2，
∴＝＝2.
∴直线AB的斜率为2，
∴直线AB的方程为2x－y－15＝0.
三、解答题
9．双曲线的中心在原点，实轴在x轴上，与圆x2＋y2＝5交于点P(2，－1)，如果圆在点P的切线平行于双曲线的左顶点与虚轴的一个端点的连线，求双曲线的方程．
[解析] ∵双曲线的中心在原点，实轴在x轴上，
∴双曲线方程可设为－＝1(a>0，b>0)．
∵点P(2，－1)在双曲线上，∴－＝1 ①.
又∵圆x2＋y2＝5在点P处的切线平行于双曲线左顶点(－a,0)与虚轴的一个端点(0，b)的连线，而圆的切线斜率k切与kOP的乘积为－1，
∴k切＝2，即＝2，∴b＝2a ②.
解得①②得a2＝，b2＝15，
∴双曲线方程为－＝1.
一、选择题
1．设P是双曲线－＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点．若|PF1|＝3，则|PF2|＝( )
A．1或5 B．6
C．7 D．9
[答案] C
[解析] ∵双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，∴＝，∵b＝3，∴a＝2.
又||PF1|－|PF2||＝2a＝4，
∴|3－|PF2||＝4.
∴|PF2|＝7或|PF2|＝－1(舍去)．
2．已知双曲线－＝1的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且MF1⊥x轴，则F1到直线F2M的距离为( )
A. B．
C. D．
[答案] C
[解析] 如图所示，由－＝1知，F1(－3,0)，F2(3,0)．设M(－3，y0)，则y0＝±，取M(－3，)．
直线MF2的方程为x＋6y－＝0，
即x＋2y－3＝0.
∴点F1到直线MF2的距离为d＝＝.
3．(2014·山西长治)设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，若在双曲线右支上存在一点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率e为( )
A. B．
C. D．
[答案] D
[解析] 设PF1的中点M，连结F2M，由题意知|F1F2|＝|PF2|＝2c，则F2M⊥PF1，所以|MF2|即为点F2到直线PF1的距离，故|MF2|＝2a.
由双曲线的定义可知|PF1|＝|PF2|＋2a＝2a＋2c，从而|F1M|＝a＋c，
故(2c)2＝(a＋c)2＋(2a)2，得e＝＝(e＝－1舍去)．
4．(2013·重庆文)设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|＝|A2B2|，其中A1，B1和A2，B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )
A．(，2] B．[，2)
C．(，＋∞) D．[，＋∞)
[答案] A
[解析] 由条件知>tan30°且≤tan60°
此时e>且e≤2，所以离心率取值范围是(，2]．
二、填空题
5．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的半焦距为c.已知原点到直线l：bx＋ay＝ab的距离等于c＋1，则c的最小值为________．
[答案] 4
[解析] 根据已知，得＝c＋1，又ab≤＝，故得c＋1≤，解得c≥4，即c的最小值为4.
6．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F作圆x2＋y2＝的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若E为PF的中点，则双曲线的离心率为________．
[答案]
[解析] 设双曲线的右焦点为F′.由于E为PF的中点，坐标原点O为FF′的中点，所以EO∥PF′，又EO⊥PF，所以PF′⊥PF，且|PF′|＝2×＝a，故|PF|＝3a，根据勾股定理得|FF′|＝a.所以双曲线的离心率为＝.
7．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，过F且斜率为的直线交C于A、B两点．若＝4，则C的离心率为________．
[答案]
[解析] 设A、B两点坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，
由，得(b2－3a2)y2＋2b2cy＋3b4＝0，
∵b2－3a2≠0，∴y1＋y2＝，y1y2＝，
由＝4得y1＝－4y2，
∴－3y2＝，－4y＝，
∴y2＝代入－4y＝，得
16c2＝27a2－9b2，又b2＝c2－a2，
∴16c2＝27a2－9c2＋9a2，
∴36a2＝25c2，∴e2＝，∴e＝.
三、解答题
8．(2014·宿州模拟)已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．点M(3，m)在双曲线上．
(1)求此双曲线方程；
(2)求证：·＝0.
[解析] (1)∵e＝，∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．
∵过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6.
∴双曲线方程为x2－y2＝6.
(2)证明：由(1)可知，双曲线中a＝b＝，∴c＝2，
∴F1(－2，0)、F2(2，0)，
∴kMF1＝，kMF2＝，
kMF1·kMF2＝＝－，
∵点(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，
故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2.
∴·＝0.
9．已知双曲线C?－y2＝1，P是C上的任意点．
(1)求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
(2)设点A的坐标为(3,0)，求|PA|的最小值．
[解析] (1)设P(x1，y1)是双曲线上任意一点，
该双曲线的两条渐近线方程分别是x－2y＝0和x＋2y＝0.
点P(x1，y1)到两条渐近线的距离分别是和.
它们的乘积是·＝＝.
∴点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数．
(2)设P的坐标为(x，y)，则
|PA|2＝(x－3)2＋y2＝(x－3)2＋－1
＝2＋.
∵|x|≥2，∴当x＝时，|PA|2的最小值为，即|PA|的最小值为.
第二章 2.4 2.4.1
一、选择题
1．(2013·南昌高二检测)抛物线x＝－2y2的准线方程是( )
A．y＝ B．y＝
C．x＝ D．x＝
[答案] D
[解析] 抛物线x＝－2y2化为标准方程为y2＝－x，则p＝，则准线方程为x＝.
2．(2013·四川文，5)抛物线y2＝8x的焦点到直线x－y＝0的距离是( )
A．2 B．2
C. D．1
[答案] D
[解析] 由y2＝8x可得其焦点坐标(2,0)，根据点到直线的距离公式可得d＝＝1.
3．若动点M(x，y)到点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点M的轨迹方程是( )
A．x＋4＝0 B．x－4＝0
C．y2＝8x D．y2＝16x
[答案] D
[解析] 依题意可知M点到F的距离等于M点到直线x＝－4的距离，因此其轨迹是抛物线，且p＝8，顶点在原点，焦点在x轴正半轴，∴其方程为y2＝16x，故答案为D.
4．抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
[答案] D
[解析] 解法一：∵y＝4，∴x2＝4·y＝16，
∴x＝4，∴A(4,4)，焦点坐标为(0,1)，
∴所求距离为＝＝5.
解法二：抛物线的准线为y＝－1，∴A到准线的距离为5，又∵A到准线的距离与A到焦点的距离相等．
∴距离为5.
5．抛物线y＝x2的焦点关于直线x－y－1＝0的对称点的坐标是( )
A．(2，－1) B．(1，－1)
C．(，－) D．(，－)
[答案] A
[解析] y＝x2?x2＝4y，焦点为(0,1)，其关于x－y－1＝0的对称点为(2，－1)．
6．已知抛物线y2＝2px(p>0)上有一点M(4，y)，它到焦点F的距离为5，则△OFM的面积(O为原点)为( )
A．1 B．
C.2 D．2
[答案] C
[解析] 抛物线准线方程为x＝，由于M(4，y)到焦点F的距离为5，故有|4＋|＝5，由于p>0，故p＝2，|OF|＝1，抛物线方程为y2＝4x，则M(4，±4)，于是S△OFM＝2.
二、填空题
7．(2013·北京高考)若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝________，准线方程为________．
[答案] 2 x＝－1
[解析] 本题考查抛物线的焦点坐标及准线方程. 由＝1知p＝2，则准线方程为x＝－＝－1.
8．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，且过点P(2,4)，则该抛物线的方程是________．
[答案] y2＝8x
[解析] 由题意可设抛物线方程为y2＝2ax，
∵点P(2,4)在抛物线上，∴42＝4a，∴a＝4.
即所求抛物线的方程为y2＝8x.
三、解答题
9．求适合下列条件的抛物线的标准方程：
(1)过抛物线y2＝2mx的焦点F作x轴的垂线交抛物线于A、B两点，且|AB|＝6.
(2)抛物线顶点在原点，对称轴是x轴，点P(－5，2)到焦点的距离是6.
[解析] (1)设抛物线的准线为l，交x轴于K点，l的方程为x＝－，如图，作AA′⊥l于A′，BB′⊥l于B′，则|AF|＝|AA′|＝|FK|＝|m|，同理
|BF|＝|m|.又|AB|＝6，则2|m|＝6.
∴m＝±3，故所求抛物线方程为y2＝±6x.
(2)设焦点F(a,0)，|PF|＝＝6，即a2＋10a＋9＝0，解得a＝－1或a＝－9.当焦点为F(－1,0)时，p＝2，抛物线开口方向向左，其方程为y2＝－4x；当焦点为F(－9,0)时，p＝18，抛物线开口方向向左，其方程为y2＝－36x.
一、选择题
1．(2013·江西高考)已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|?|MN|＝( )
A．2? B．1?2
C．1? D．1?3
[答案] C
[解析] 本题考查了抛物线定义等．如图：
过M作准线的垂线MH，设∠FAO＝∠MNH＝α，则tanα＝，sinα＝＝＝＝.
2．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点，若|AF|＝3，则△AOB的面积为( )
A. B．
C. D．2
[答案] C
[解析] 本题考查了抛物线的定义、三角形面积的求法及数形结合的应用．
设∠AFx＝θ(0<θ<π)及|BF|＝m；由点A到准线l：x＝－1的距离为3，
得：3＝2＋3cosθ?cosθ＝，
又m＝2＋mcos(π－θ)?m＝＝，
△AOB的面积为S＝×|OF|×|AB|×sinθ＝×1×(3＋)×＝.故选C.在解决解析几何有关问题时，要加强与图形的结合，合理的选取方法求解．
3．抛物线y＝x2(a≠0)的焦点坐标为( )
A．a>0时为(0，a)，a<0时为(0，－a)
B．a>0时为(0，)，a<0时为(0，－)
C．(0，a)
D．(，0)
[答案] C
[解析] a>0时，x2＝4ay的焦点为(0，a)；a<0时，x2＝4ay的焦点为(0，a)，这时焦点在y轴负半轴上．故不论a为何值，x2＝4ay的焦点总为(0，a)，故选C.
??4.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点， 若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是( )
A．直线 B．圆
C．双曲线 D．抛物线
[答案] D
[解析] ∵P到直线BC与直线C1D1的距离相等，又ABCD－A1B1C1D1是正方体，∴D1C1⊥侧面BCC1B1.
∴D1C1⊥PC1，∴PC1为P到直线D1C1的距离，即PC1等于P到直线BC的距离，由圆锥曲线的定义知，动点P的轨迹所在的曲线是抛物线．
二、填空题
5．已知圆x2＋y2－6x－7＝0与抛物线y2＝2px(p>0)的准线相切，则p＝________.
[答案] 2
[解析] 抛物线的准线方程为：x＝－，圆心坐标为(3,0)，半径为4，由题意知3＋＝4，∴p＝2.
6．(2014·湖南理，15)如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a0)经过C、F两点，则＝________.
[答案] ＋1
[解析] 本题考查抛物线的方程．
由题可得C(，－a)，F(＋b，b)，则
?＝＋1，故填＋1.
7．焦点在直线3x－4y－12＝0上，顶点在原点，关于坐标轴对称的抛物线的标准方程是________．
[答案] y2＝16x或x2＝－12y
[解析] 直线3x－4y－12＝0与x轴的交点为(4,0)，则以(4,0)为焦点的抛物线方程为y2＝16x；直线3x－4y－12＝0与y轴的交点为(0，－3)，则以(0，－3)为焦点的抛物线方程为x2＝－12y.
三、解答题
8．过抛物线y＝4x2的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若y1＋y2＝5，求线段AB的长．
[解析] 将抛物线方程化为x2＝y，设焦点为F，
|AF|＝y1＋，|BF|＝y2＋，p＝，
|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋＋y2＋＝y1＋y2＋p＝.
9．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米．
(1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程．
(2)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米)?
[解析] 如图所示
(1)依题意，设该抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，因为点C(5，－5)在抛物线上，所以该抛物线的方程为x2＝－5y.
(2)设车辆高h，则|DB|＝h＋0.5，
故D(3.5，h－6.5)，
代入方程x2＝－5y，解得h＝4.05，所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米．
第二章 2.4 2.4.2 第1课时
一、选择题
1．与y轴相切并和圆x2＋y2－10x＝0外切的动圆圆心的轨迹为( )
A．圆 B．抛物线和一条射线
C．椭圆 D．抛物线
[答案] B
[解析] 如图，
设动圆圆心坐标为(x，y)，由题意得
y＝0(x<0)或y2＝20x(x≠0)．
2．(2013·新课标Ⅰ文，8)O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为( )
A．2 B．2
C．2 D．4
[答案] C
[解析] 设P点坐标为(x0，y0)，则由抛物线的焦半径公式得|PF|＝x0＋＝4，x0＝3，代入抛物线的方程，得|y0|＝2，S△POF＝|y0|·|OF|＝2，选C.
3．设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是( )
A．(0,2) B．[0,2]
C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
[答案] C
[解析] 本题考查抛物线的相关概念．特别注意定义在本题中的应用．
由题意知当圆的半径大于4时满足条件，即y0＋2>4，y0>2.
4．(2014·辽宁理，10)已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为( )
A. B．
C. D．
[答案] D
[解析] 本题考查抛物线的几何性质、直线的斜率，直线与抛物线的位置关系．
由题意知，准线方程为x＝－2，∴p＝4，
抛物线方程：y2＝8x，焦点坐标(2,0)．
设过A点的直线为y＝k(x＋2)＋3
联立
化简得y2－y＋＋16＝0 ①
∴Δ＝－4(＋16)＝0，
∴k＝，k＝－2(舍去)．
将k＝代入方程①，∴y＝8，∴x＝8.
B点坐标为(8,8)．
∴kBF＝＝.
5．(2013·北京东城)已知点A(2,1)，抛物线y2＝4x的焦点是F，若抛物线上存在一点P，使得|PA|＋|PF|最小，则P点的坐标为( )
A．(2,1) B．(1,1)
C．(，1) D．(，1)
[答案] D
[解析] 抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，
由图可知|PF|＝|PH|.
当A、P、H三点共线时|PA|＋|PH|最小，
此时P点纵坐标为1.
而P点在抛物线y2＝4x上．
则x＝.故P点坐标为(，1)．
6．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为( )
A. B．1
C. D．
[答案] C
[解析] 本小题考查抛物线的定义．
如图，|AF|＋|BF|＝|AC|＋|BD|
＝2|MN|＝3，
∴|MN|＝，
又p＝，∴AB中点M到y轴的距离为|MN|－＝.
二、填空题
7．顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等于6的抛物线方程是________．
[答案] y2＝±24x
[解析] ∵顶点距离与焦点距离为6，即＝6，
∴2p＝24，又∵对称轴为x轴，
∴抛物线方程为：y2＝±24x.
8．沿直线y＝－2发出的光线经抛物线y2＝ax反射后，与x轴相交于点A(2,0)，则抛物线的准线方程为________(提示：抛物线的光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后与轴平行)．
[答案] x＝－2
[解析] 由直线y＝－2平行于抛物线的轴知A(2,0)为焦点，故准线方程为x＝－2.
三、解答题
9．已知A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，且OA⊥OB.
(1)求两点的横坐标之积和纵坐标之积；
(2)求证：直线AB过定点．
[解析] (1)设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则有kOA＝，kOB＝.
∵OA⊥OB，∴kOA·kOB＝－1，∴x1x2＋y1y2＝0.
∵y＝2px1，y＝2px2，∴·＋y1y2＝0.
∵y1≠0，y2≠0，∴y1y2＝－4p2，∴x1x2＝4p2.
(2)∵y＝2px1，y＝2px2，
∴(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)，
∴＝，∴kAB＝，
故直线AB的方程为y－y1＝(x－x1)，
∴y＝＋y1－，
即y＝＋.
∵y＝2px1，y1y2＝－4p2，∴y＝＋
∴y＝(x－2p)，
即直线AB过定点(2p,0).
一、选择题
1．设抛物线的顶点在原点，其焦点F在y轴上，又抛物线上的点(k，－2)与F点的距离为4，则k的值是( )
A．4 B．4或－4
C．－2 D．2或－2
[答案] B
[解析] 由题意，设抛物线的标准方程为：x2＝－2py，
由题意得，＋2＝4，∴p＝4，x2＝－8y.
又点(k，－2)在抛物线上，∴k2＝16，k＝±4.
2．边长为1的等边三角形AOB，O为原点，AB⊥x轴，以O为顶点，且过A、B的抛物线方程是( )
A．y2＝x B．y2＝－x
C．y2＝±x D．y2＝±x
[答案] C
[解析] 由抛物线的对称性及AB⊥x轴知，抛物线的焦点在x轴上．设方程为y2＝nx(n≠0)．
∵OA的方程为y＝x，且OA＝1.
得A或A，
代入y2＝nx，得n＝±，
∴方程为y2＝±x，故选C.
3．抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( )
A. B．
C. D．0
[答案] B
[解析] 设M(x，y)，且方程化为x2＝y，则必有|MF|＝y＋＝y＋＝1，所以y＝，故选B.
4．若双曲线－＝1的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．4
[答案] C
[解析] 双曲线的左焦点，抛物线的准线x＝－，∴－＝－?p2＝16，由题意知p>0，∴p＝4.故选C.
二、填空题
5．抛物线y2＝2px(p>0)上一点到准线和抛物线的对称轴距离分别为10和6，则该点的横坐标是________．
[答案] 1或9
[解析] 设抛物线上一点M坐标为(x0，y0)，
由题意，得y0＝6，x0＋＝10，
又y＝2px0，解得x0＝1或9.
6．过抛物线y2＝2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝，|AF|<|BF|，则|AF|＝________.
[答案]
[解析] 本题考查了抛物线的性质，设|AF|＝x，|BF|＝y，由抛物线的性质知＋＝＝2，又x＋y＝，∴x＝，y＝，即|AF|＝.
7．抛物线y2＝4x的弦AB垂直于x轴，若AB的长为4，则焦点到AB的距离为________．
[答案] 2
[解析] 由题意，设A点坐标为(x,2)，则x＝3，
又焦点F(1,0)，∴焦点到AB的距离为2.
三、解答题
8．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，求这个正三角形的边长．
[解析] 设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，且点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y＝2px1，y＝2px2.
∵|OA|＝|OB|，
∴x＋y＝x＋y，
即(x1＋x2)(x1－x2)＝2px2－2px1，
∴(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0.
∵x1>0，x2>0,2p>0，
∴x1－x2＝0，∴x1＝x2.
由此可知|y1|＝|y2|，即线段AB关于x轴对称，
∴AB垂直于x轴，且∠AOx＝30°，即＝tan30°＝.
∵x1＝，
∴y1＝2p，|AB|＝2y1＝4p.
故这个正三角形的边长为4p.
9．如图所示，线段AB为抛物线y＝x2上的动弦，且|AB|＝a(a为常数，且a≥1)，求弦的中点M到x轴的最近距离．
[解析] 如右图所示，设点A，M，B的纵坐标为y1，y2，y3，点A，M，B在抛物线y＝x2的准线上的射影分别为A′，M′，B′，
由抛物线的定义，得
|AF|＝|AA′|＝y1＋，
|BF|＝|BB′|＝y3＋，
∴y1＝|AF|－，y3＝|BF|－.
又M是线段AB的中点，
∴y2＝(y1＋y3)
＝(|AF|＋|BF|－)≥(|AB|－)
＝(2a－1)
当且仅当线段AB过焦点F时等号成立，即当定长为a的弦AB过焦点F时，点M到x轴的距离最近，最近距离为(2a－1)．
第二章 2.4 2.4.2 第2课时
一、选择题
1．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程是( )
A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－3＝0
C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0
[答案] D
[解析] ∵切线方程与直线2x－y＋4＝0平行，
∴切线方程为y＝2x＋b，联立得
∴x2＝2x＋b，即x2－2x－b＝0.
由于交点为切点，故方程只含有一个根，即需要判别式Δ＝(－2)2－4×(－b)＝0
∴b＝－1.
∴所求直线方程为2x－y－1＝0.
2．过点A(－p，p)作直线l与抛物线y2＝2px(p>0)仅有一个公共点的直线共有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．不能确定
[答案] C
[解析] 由题意知，点A(－p，p)在抛物线的“锅”外，则过点A(－p，p)有三条直线与抛物线仅有一个公共点，其中两条切线，一条是与抛物线的对称轴平行的直线．
3．P(x0，y0)是抛物线y2＝2px(p≠0)上任一点，则P到焦点的距离是( )
A．|x0－| B．|x0＋|
C．|x0－p| D．|x0＋p|
[答案] B
[解析] 利用P到焦点的距离等于到准线的距离，当p>0时，p到准线的距离为d＝x0＋；当p<0时，p到准线的距离为d＝－－x0＝|＋x0|.
4．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A、B两点，若AB中点的横坐标为2，则k＝( )
A．2或－2 B．－1
C．2 D．3
[答案] C
[解析] 由得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，
则＝4，即k＝2.
5．一动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过定点( )
A．(4,0) B．(2,0)
C．(0,2) D．(0，－2)
[答案] B
[解析] 由抛物线定义知，抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离，又动圆圆心在抛物线上且恒与x＋2＝0相切．∴动圆过定点F(2,0)，故选B.
6．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线与抛物线有公共点，则直线的斜率的取值范围( )
A．[－，] B．[－2,2]
C．[－1,1] D．[－4,4]
[答案] C
[解析] 准线x＝－2，Q(－2,0)，设y＝k(x＋2)，
由得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0，
当k＝0时，x＝0，即交点为(0,0)，当k≠0时，Δ≥0，
－1≤k<0或0是[－1,1]，故选C.
二、填空题
7．设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0,2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________．
[答案]
[解析] 由条件B(，1)代入y2＝2px，
1＝2p×，∴p2＝2，∴p＝∴B(，1)，故d＝.
8．已知过抛物线y2＝4x焦点的一条弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB所在直线与y轴的交点坐标为(0,2)，则＋＝________.
[答案]
[解析] 弦AB是过焦点F(1,0)的弦，又过点(0,2)
∴其方程为x＋＝1，
2x＋y－2＝0与y2＝4x联立得
y2＋2y－4＝0，y1＋y2＝－2，y1y2＝－4，
＋＝＝＝.
三、解答题
9．已知抛物线y2＝4x，直线l过定点P(－2,1)，斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线满足下列条件：
①只有一个公共点；
②有两个公共点；
③没有公共点．
[解析] 由题意得直线l的方程为y－1＝k(x＋2)，
由消去x得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0①，
当k＝0时，由方程①得y＝1，把y＝1代入y2＝4x，得x＝，此时，直线l与抛物线只有一个公共点(，1)．
当k≠0时，方程①的判别式为Δ＝－16(2k2＋k－1)．
①当Δ＝0，即2k2＋k－1＝0，解得k＝－1或k＝，此时方程①只有一解，方程组只有一个解，直线l与抛物线只有一个公共点．
②当Δ>0，即2k2＋k－1<0，解得－1③当Δ<0，即2k2＋k－1>0，解得k>或k<－1，
此时，直线l与抛物线没有公共点．
综上所述可知当k＝0或k＝－1或k＝时，直线l与抛物线只有一个公共点；
当－1当k<－1或k>时，直线l与抛物线没有公共点.
一、选择题
1．抛物线y2＝－4px(p>0)的焦点为F，准线为l，则p表示( )
A．F到l的距离 B．F到y轴的距离
C．F点的横坐标 D．F到l的距离的
[答案] B
[解析] 设y2＝－2p′x(p′>0)，p′表示焦点到准线的距离，又2p′＝4p，p＝，故P表示焦点到y轴的距离．
2．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝8，那么|AB|等于( )
A．10 B．8
C．6 D．4
[答案] A
[解析] 设F为抛物线y2＝4x的焦点，则由抛物线的定义知|AF|＝x1＋＝x1＋1，|BF|＝x2＋＝x2＋1，
∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝10.
3．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦AB的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则一定有等于( )
A．4 B．－4
C．p2 D．－p2
[答案] B
[解析] 设过焦点的直线方程为x＋ay－＝0(a∈R)，则代入抛物线方程有y2＋2apy－p2＝0，故由根与系数的关系知y1y2＝－p2.又由y＝2px1， ①
y＝2px2， ②
①②相乘得yy＝4p2x1x2，∴x1x2＝，
∴＝－4.
4．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标为( )
A．(2，±2) B．(1，±2)
C．(1,2) D．(2,2)
[答案] B
[解析] 依题意F(1,0)，设A点坐标为(x，y)，则＝(x，y)，＝(1－x，－y)，
·＝x(1－x)＋y(－y)＝x－x2－y2＝x－x2－4x＝－x2－3x＝－4.
即x2＋3x－4＝0解之得x＝1或x＝－4，
又∵x≥0，∴x＝1，y2＝4，y＝±2.
∴A(1，±2)．
二、填空题
5．P点是抛物线y2＝4x上任一点，到直线x＝－1的距离为d，A(3,4)，|PA|＋d的最小值为________．
[答案] 2
[解析] 设抛物线焦点为F(1,0)，
则d＝|PF|，∴|AP|＋d＝|AP|＋|PF|≥|AF|＝＝2.
6．已知点P在抛物线y2＝2x上运动，点Q与点P关于(1,1)对称，则点Q的轨迹方程是________．
[答案] y2－4y＋2x＝0
[解析] 设P(x0，y0)，Q(x，y)由已知得∴x0＝2－x，y0＝2－y，
又P(x0，y0)在y2＝2x上，
∴(2－y)2＝2(2－x)
即y2－4y＋2x＝0.
7．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B.若＝，则p＝______.
[答案] 2
[解析] 如图，设B(x0，y0)，则MK＝BH，
则x0＋＝2有x0＝＋2.
可得y0＝，又直线AB方程为y＝(x－1)，代入有＝，解得p＝2.
三、解答题
8．已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A，B两点．
(1)求证OA⊥OB；
(2)当△AOB的面积等于时， 求k的值．
[解析] (1)证明：如图所示，由方程组消去x得ky2＋y－k＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由根与系数的关系知y1y2＝－1.因为A，B在抛物线y2＝－x上，所以y＝－x1，y＝－x2，yy＝x1x2，因为kOA·kOB＝·＝＝＝－1，所以OA⊥OB.
(2)解：设直线AB与x轴交于点N，显然k≠0，所以点N的坐标为(－1,0)，因为S△OAB＝S△OAN＋S△OBN
＝|ON||y1|＋|ON||y2|＝|ON||y1－y2|，所以S△OAB＝·1·＝，因为S△OAB＝，所以＝，解得k＝±.
9．设抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点．
(1)若∠BFD＝90°，△ABD的面积为4，求p的值及圆 F的方程；
(2)若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个交公共，求坐标原点到m，n距离的比值．
[解析] (1)由已知可得△BFD为等腰直角三角形，|BD|＝2p，圆F的半径|FA|＝p.
由抛物线定义可知A到l的距离d＝|FA|＝p.
因为△ABD的面积为4，
所以|BD|·d＝4，
即·2p·p＝4，
解得p＝－2(舍去)，p＝2.
所以F(0,1)，圆F的方程为x2＋(y－1)2＝8.
(2)因为A，B，F三点在同一直线m上，所以AB为圆F的直径，∠ADB＝90°.
由抛物线定义知，|AD|＝|FA|＝|AB|，
所以∠ABD＝30°，m的斜率为或－.
当m的斜率为时，由已知可设n：y＝x＋b，代入x2＝2py得
x2－px－2pb＝0.
由于n与C只有一个公共点，故Δ＝p2＋8pb＝0.解得b＝－.
因为m的截距b1＝，＝3，
所以坐标原点到m，n距离的比值为3.
当m的斜率为－时，由图形对称性可知，坐标原点到m，n距离的比值为3.
第二章 2.5
一、选择题
1．如图所示，若ab≠0且a≠b，则ax－y＋b＝0与bx2＋ay2＝ab，所表示的曲线只可能是( )
[答案] C
[解析] 由A图可知a>0，b>0.故曲线应为椭圆，排除A.由B可知，a<0，b<0，该曲线不存在，排除B.D项可知，a<0，b>0，该曲线为双曲线，排除D.故选C.
2．若不论k为何值，直线y＝k(x－2)＋b与曲线x2－y2＝1总有公共点，则b的取值范围是( )
A．(－，) B．[－，]
C．(－2,2) D．[－2,2]
[答案] B
[解析] 由题意可知，直线所过的定点(2，b)应在双曲线上或内部，即y2≤x2－1，∴b2≤3，∴－≤b≤.
3．已知过抛物线y2＝6x焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是( )
A.或 B．或
C.或 D．
[答案] B
[解析] 由焦点弦长公式|AB|＝得
＝12，∴sinθ＝.
∴θ＝或π.故选B.
4．已知抛物线y2＝4x上一点P(x0，y0)，若y0∈[1,2]，则|PF|的范围是( )
A．[，1] B．[，2]
C．[1,2] D．[2,3]
[答案] B
[解析] ∵y0∈[1,2]，∴x0∈[，1]，
由定义|PF|＝1＋x0∈[，2]．
故选B.
5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)与直线y＝2x有交点，则双曲线的离心率的取值范围是( )
A．(1，) B．(1，)∪(，＋∞)
C．(，＋∞) D．[，＋∞)
[答案] C
[解析] 双曲线的一、三象限渐近线的斜率k＝，
要使双曲线－＝1和直线y＝2x有交点，
只要满足>2即可，
∴>2，∴>2，∴e>.
6．已知双曲线中心在原点，且一个焦点为F(，0)，直线y＝x－1与双曲线交于M，N两点，MN中点的横坐标为－，则此双曲线方程是( )
A.－＝1 B．－＝1
C.－＝1 D．－＝1
[答案] D
[解析] 由c＝，得a2＋b2＝7.
∵焦点为F(，0)，
∴可设双曲线方程为－＝1， ①
并设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
将y＝x－1代入①并整理得
(7－2a2)x2＋2a2x－a2(8－a2)＝0，
∴x1＋x2＝－，
由已知得－＝－×2，解得a2＝2，得双曲线的方程为－＝1.
二、填空题
7．已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的右顶点A(1,0)，过C1的焦点且垂直长轴的张长为1，则椭圆C1的方程为________．
[答案] ＋x2＝1
[解析] 由题意得
∴所求的椭圆方程为＋x2＝1.
8．若抛物线y2＝－2px(p>0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，则点M的坐标为______．
[答案] (－9，－6)或(－9,6)
[解析] 由抛物线方程y2＝－2px(p>0)，得其焦点坐标为F，准线方程为x＝，设点M到准线的距离为d，则d＝|MF|＝10，即－(－9)＝10，
∴p＝2，故抛物线方程为y2＝－4x.
将M(－9，y)代入抛物线方程，得y＝±6，∴M(－9,6)或M(－9，－6)．
三、解答题
9．已知双曲线的方程为x2－＝1.
(1)求以A(2,1)为中点的弦所在直线的方程；
(2)以点B(1,1)为中点的弦是否存在？若存在，求出弦所在的直线方程；若不存在，请说明理由．
[解析] (1)设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是弦的两个端点，则有x－＝1，x－＝1.两式相减，得
(x1＋x2)(x1－x2)－＝0.①
∵A(2,1)为弦P1P2的中点，
∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
代入①得4(x1－x2)＝.
∴kP1P2＝6.故直线P1P2的方程为y－1＝6(x－2)．
即6x－y－11＝0.
(2)假设这样的直线存在，同(1)可求得3x－y－2＝0.
由得6x2－12x＋7＝0.
∵Δ＝122－4×6×7<0，
∴所求直线3x－y－2＝0与双曲线x2－＝1无交点．
故假设不成立，即这样的直线不存在.
一、选择题
1．(2013·新课标Ⅱ文，10)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A, B两点．若|AF|＝3|BF|，则l的方程为( )
A．y＝x－1或y＝－x＋1
B．y＝(x－1)或y＝－(x－1)
C．y＝(x－1)或y＝－(x－1)
D．y＝(x－1)或y＝－(x－1)
[答案] C
[解析] 由抛物线方程y2＝4x知焦点F(1,0)，准线x＝－1，设直线l：x＝my＋1，代入y2＝4x中消去x得，y2－4my－4＝0.
由根与系数的关系得，y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1>0>y2，
∵|AF|＝3|BF|，∴y1＝－3y2，
由解得y2＝－，∴y1＝2.
∴m＝＝，
∴直线l的方程为x＝y＋1.
由对称性知，这样的直线有两条．即y＝±(x－1)．
2．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右顶点A作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C.若＝，则双曲线的离心率是( )
A. B．
C. D．
[答案] C
[解析] 由已知，直线方程为x＋y－a＝0，
两渐近线为±＝0.
由得xB＝.
由得xC＝.
∵＝，∴2(xB－xA)＝xC－xB，
∴3xB＝2xA＋xC，
∴＝＋2a，解得b＝2a，
∴c2＝＝5，∴e＝.
故选C.
3．已知a>b>0，e1与e2分别为圆锥曲线＋＝1和－＝1的离心率，则lge1＋lge2的值( )
A．一定是正值 B．一定是零
C．一定是负值 D．符号不确定
[答案] C
[解析] ∵e1＝，e2＝，
∴e1e2＝＝<1.
∴lge1＋lge2＝lg(e1·e2)<0.故选C.
4．过抛物线y2＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A、B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( )
A．有且只有一条 B．有且只有两条
C．有且只有三条 D．有且只有四条
[答案] B
[解析] 设该抛物线焦点为F，则|AB|＝|AF|＋|FB|＝xA＋＋xB＋＝xA＋xB＋1＝3>2p＝2.所以符合条件的直线有且仅有两条．
二、填空题
5．已知椭圆C：＋y2＝1的两焦点为F1，F2，点P(x0，y0)满足＋y≤1，则|PF1|＋|PF2|的取值范围为________．
[答案] [2,2]
[解析] 当P在原点处时，|PF1|＋|PF2|取得最小值2；当P在椭圆上时，|PF1|＋|PF2|取得最大值2，故|PF1|＋|PF2|的取值范围为[2,2]．
6．(2013·绵阳模拟)＋＝1有两个动点P，Q，E(3,0)，EP⊥EQ，则·的最小值为________．
[答案] 6
[解析] 设P(x0，y0)，·＝·(－)＝||2＝(x0－3)2＋y＝(x0－3)2＋9－x＝x－6x0＋18＝[(x0－4)2－16]＋18≥6，当x0＝4时等号成立．
7．已知点P在直线x＋y＋5＝0上，点Q在抛物线y2＝2x上，则|PQ|的最小值等于________．
[答案]
[解析] 设l′平行于直线x＋y＋5＝0，且与抛物线相切，
设l′：y＝－x＋m，由得y2＋2y－2m＝0，
由Δ＝0，得m＝－，两直线距离d＝＝.即|PQ|min＝.
三、解答题
8．过椭圆＋y2＝1的一个焦点F作直线l交椭圆于A，B两点，椭圆的中心为O，当△AOB的面积最大时，求直线l的方程．
[解析] 过椭圆焦点F(1,0)的直线l垂直于x轴时，可知此时△AOB的面积等于.
当l不垂直x轴时，可设直线l的方程为y＝k(x－1)．因为|OF|是定值1，所以△AOB的面积可以用×1×|y1－y2|(其中y1，y2是A，B的纵坐标)来计算．
将y＝kx－k代入＋y2＝1，消去x，得(1＋2k2)y2＋2ky－k2＝0.
由根与系数的关系可得
(y1－y2)2＝＝2－<2.
可以看出|y1－y2|<，
此时△AOB的面积小于，所以直线l的方程为x＝1或x＝－1.
9．(2013·浙江文)已知抛物线C的顶点为O(0,0)，焦点为F(0,1)．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点F作直线交抛物线C于A，B两点．若直线AO，BO分别交直线l：y＝x－2于M，N两点，求|MN|的最小值．
[解析] (1)由题意可设抛物线C的方程为x2＝2py(p>0)得＝1，
所以抛物线C的方程为x2＝4y.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋1
由消去y，整理得x2－4kx－4＝0，
所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.
从而|x1－x2|＝4.由
解得点M的横坐标xM＝＝＝.
同理点N的横坐标xN＝.
所以|MN|＝|xM－xN|
＝|－|
＝8||＝
令4k－3＝t，t≠0，则k＝.
当t>0时，|MN|＝2>2.
当t<0时，
|MN|＝2≥.
综上所述，当t＝－，即k＝－时，|MN|的最小值是.
第二章综合测试A
时间120分钟，满分150分．
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)
1．θ是任意实数，则方程x2＋y2sinθ＝4的曲线不可能是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
[答案] C
[解析] 无论sinθ是否为零，均不能表示抛物线方程．
2．若焦点在y轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m的值为( )
A．1 B．
C. D．
[答案] B
[解析] 由题意得a2＝2，b2＝m，∴c2＝2－m，又＝，∴＝，∴m＝.
3．2A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] 若＋＝1表示椭圆，
则有，∴2故24．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
[答案] A
[解析] 由于直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1过定点(1,1)，
∵＋＝<1，
∴定点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆必相交．
5．(2013·广东文)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是( )
A.＋＝1 B．＋＝1
C.＋＝1 D．＋＝1
[答案] D
[解析] 设方程为＋＝1，则a2＝b2＋1，＝，所以a2＝4，b2＝3，椭圆方程为＋＝1.
6．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为( )
A. B．－
C.8 D．－8
[答案] B
[解析] y＝ax2?x2＝y，
＝－2，a＝－，选B.
7．(2013·豫东、豫北4月联考)已知双曲线－＝1的离心率为3，有一个焦点与抛物线y＝x2的焦点相同，那么双曲线的渐近线方程为( )
A．2x±y＝0 B．x±2y＝0
C．x±2y＝0 D．2x±y＝0
[答案] B
[解析] 由抛物线方程x2＝12y知焦点为F(0,3)，
∵双曲线有一个焦点与抛物线焦点相同，
∴双曲线的焦点在y轴上，∴n<0，m<0，
∴渐近线方程为y＝±x，又知e＝3，
∴1＋＝9，
∴＝，
∴渐近线方程为y＝±，故选B.
8．椭圆C1：＋＝1和椭圆C2：＋＝1 (0A．等长的长轴 B．相等的焦距
C．相等的离心率 D．等长的短轴
[答案] B
[解析] 依题意知椭圆C2的焦点在y轴上，对于椭圆C1：焦距＝2＝8，对于椭圆C2：焦距＝2＝8，故选B.
9．已知点F1(－，0)、F2(，0)动点P满足|PF2|－|PF1|＝2，当点P的纵坐标是时，点P到坐标原点的距离是( )
A. B．
C. D．2
[答案] A
[解析] 由题意知，P点的轨迹是双曲线的左支，c＝，a＝1，b＝1，
∴双曲线的方程为x2－y2＝1，
把y＝代入双曲线方程，得x2＝1＋＝，
∴|OP|2＝x2＋y2＝＋＝，∴|OP|＝.
10．双曲线的虚轴长为4，离心率e＝，F1、F2分别是它的左，右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，且|AB|是|AF2|与|BF2|的等差中项，则|AB|为( )
A．8 B．4
C.2 D．8
[答案] A
[解析] 利用双曲线定义，∵A、B在左支上，
∴|AF2|－|AF1|＝2a，
|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝4a，
又∵2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，|AF1|＋|BF1|＝|AB|，
∴2|AB|－|AB|＝4a，|AB|＝4a，
而∴|AB|＝8，选A.
11．曲线y2＝4x关于直线x＝2对称的曲线方程是( )
A．y2＝8－4x B．y2＝4x－8
C．y2＝16－4x D．y2＝4x－16
[答案] C
[解析] 设所求曲线的任意一点的坐标为P(x，y)，其关于x＝2对称的点的坐标为Q(4－x，y)，把它代入方程y2＝4x得y2＝4(4－x)，∴y2＝16－4x，故选C.
12．如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点，若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )
A．3 B．2
C. D．
[答案] B
[解析] 本题考查了椭圆与双曲线中离心率e的求法．设椭圆长轴长为2a，则双曲线实半轴长为＝，所以离心率的比值＝＝2.
对于圆锥曲线要熟练掌握椭圆和双曲线的异同点．
二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)
13．过抛物线y2＝4x的焦点F作垂直于x轴的直线，交抛物线于A、B两点，则以F为圆心，AB为直径的圆方程是________________．
[答案] (x－1)2＋y2＝4
[解析] 抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，因为AB为抛物线的通径2p，所以AB＝4，即圆的半径为2，故圆的方程是(x－1)2＋y2＝4.
14.右图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽________米．
[答案] 2
[解析] 本题考查了抛物线的标准方程与数学建模能力．
设抛物线方程为x2＝－2py，代入P(2，－2)得2p＝2，∴x2＝－2y，当y＝－3时，x2＝6，∴x＝±，则此时水面宽为2米，建立平面直角坐标系，将实际问题转化为数学问题．
15．(2013·天津文，11)已知抛物线y2＝8x的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．
[答案] x2－＝1
[解析] 抛物线y2＝8x的准线方程为x＝－2，则双曲线的一个焦点为(－2,0)，即c＝2，离心率e＝＝2.a＝1，由a2＋b2＝c2得b2＝3，所以双曲线的方程为x2－＝1.
16．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1的离心率为，则m的值为________．
[答案] 2
[解析] 本题考查双曲线的标准方程以及离心率等知识．
由双曲线标准方程－＝1知
a2＝m>0，b2＝m2＋4，
∴c2＝a2＋b2＝m＋m2＋4，由e＝得＝5，
∴m>0且＝5，∴m＝2.
三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为(，)，求抛物线与双曲线的方程．
[解析] 由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，∴p＝2c，
设抛物线方程为y2＝4c·x.
∵抛物线过点(，)，
∴6＝4c·，∴c＝1，
故抛物线方程为y2＝4x.
又双曲线－＝1过点(，)，
∴－＝1.又a2＋b2＝c2＝1，
∴－＝1.∴a2＝或a2＝9(舍)．
∴b2＝，故双曲线方程为－＝1.
18．(本小题满分12分)直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A，B两点，O为坐标原点．
(1)若·＝0，求a的值；
(2)若A，B在双曲线的左、右两支上，求a的取值范围．
[解析] (1)由消去y得
(3－a2)x2－2ax－2＝0.
由题意知Δ＝4a2＋8(3－a2)>0，
得－设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
x1＋x2＝，x1x2＝－，
y1y2＝(ax1＋1)(ax2＋1)
＝a2x1x2＋a(x1＋x2)＋1
＝－＋＋1＝1，
∵·＝0，x1x2＋y1y2＝0，
即－＋1＝0，∴a＝±1.
(2)若A、B在双曲线左右两支上，则有x1x2<0，
即－<0，∴－19．(本小题满分12分)(2014·北京理，19)已知椭圆C：x2＋2y2＝4.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y＝2上，且OA⊥OB，试判断直线AB与圆x2＋y2＝2的位置关系，并证明你的结论．
[解析] (1)由题意，椭圆C的标准方程为＋＝1.
所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2，
因此a＝2，c＝，
故椭圆C的离心率e＝＝.
(2)直线AB与圆x2＋y2＝2相切．证明如下：
设点A，B的坐标分别为(x0，y0)，(t,2)，其中x0≠0.
因为OA⊥OB，所以·＝0，即tx0＋2y0＝0，解得t＝－.
当x0＝t时，y0＝－，代入椭圆C的方程，得t＝±，
故直线AB的方程为x＝±.
圆心O到直线AB的距离d＝，
此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．
当x0≠t时，直线AB的方程为y－2＝(x－t)，
即(y0－2)x－(x0－t)y＋2x0－ty0＝0.
圆心O到直线AB的距离
d＝.
又x＋2y＝4，t＝－，
故d＝＝＝.
此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．
20．(本小题满分12分)已知椭圆的两焦点为F1(－1,0)、F2(1,0)，P为椭圆上一点，且2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|.
(1)求此椭圆的方程；
(2)若点P在第二象限，∠F2F1P＝120°，求△PF1F2的面积．
[解析] (1)依题意得，|F1F2|＝2，又2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|，
∴|PF1|＋|PF2|＝4＝2a，∴a＝2，c＝1，b2＝3.
∵焦点在x轴上，∴所求椭圆的方程为＋＝1.
(2)设P点坐标为(x，y)，∵∠F2F1P＝120°，
∴PF1所在直线的方程为y＝(x＋1)·tan120°，
即y＝－(x＋1)．解方程组
并注意到x<0，y>0，可得
∴S△PF1F2＝|F1F2|·＝.
21．(本小题满分12分)已知椭圆C1：＋＝1(00)的焦点是椭圆的顶点．
(1)求抛物线C2的方程．
(2)过点M(－1,0)的直线l与抛物线C2交于E，F两点，过E，F作抛物线C2的切线l1，l2，当l1⊥l2时，求直线l的方程．
[解析] (1)∵椭圆C1的长半轴长a＝2，半焦距c＝，由e＝＝＝得b2＝1，
∴椭圆C1的上顶点为(0,1)，
∴抛物线C2的焦点为(0,1)，
∴抛物线C2的方程为x2＝4y.
(2)由已知可得直线l的斜率必存在，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，E(x1，y1)，F(x2，y2)．
由x2＝4y得y＝x2，
∴y′＝x.
∴切线l1，l2的斜率分别为x1，x2，
当l1⊥l2时，x1·x2＝－1，即x1x2＝－4.
由得x2－4kx－4k＝0，
∴Δ＝(4k)2－4×(－4k)>0，解得k<－1或k>0. ①
且x1x2＝－4k＝－4，得k＝1，满足①式，
∴直线l的方程为x－y＋1＝0.
22．(本小题满分14分)设椭圆C1和抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点，从每条曲线上至少取两点，将其坐标记录于下表中：
x
3
－2
4
y
－2
0
－4
－
(1)求C1，C2的标准方程；
(2)设直线l与椭圆C1交于不同两点M，N，且·＝0，请问是否存在这样的直线l过抛物线C2的焦点F？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
[解析] (1)设抛物线C2：y2＝2px(p≠0)，则有＝2p(x≠0)，据此验证5个点知只有(3，－2)，(4，－4)在同一抛物线上，易求得C2：y2＝4x.
设椭圆C1：＋＝1(a>b>0)，把点(－2,0)，(，)代入得解得
∴椭圆C1的方程为＋y2＝1.
(2)假设存在这样的直线l过抛物线C2的焦点F(1,0)，
设其方程为x－1＝my，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由·＝0，得x1x2＋y1y2＝0.(*)
由消去x得(m2＋4)y2＋2my－3＝0，
Δ＝16m2＋48>0，∴y1＋y2＝，
y1y2＝； ①
x1x2＝(1＋my1)(1＋my2)＝1＋m(y1＋y2)＋m2y1y2
＝1＋m·＋m2·＝. ②
将①②代入(*)式，得＋＝0，解得m＝±.
∴假设成立，即存在直线l过抛物线C2的焦点F，l的方程为：2x±y－2＝0.
第二章综合测试B
时间120分钟，满分150分．
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)
1．若抛物线y2＝8x上的点P(x0，y0)到焦点F的距离为3，则|y0|等于( )
A. B．2
C．2 D．4
[答案] B
[解析] 过点P作抛物线的准线l的垂线，P1为垂足，则|PF|＝|PP1|＝x0＋＝x0＋2＝3，所以x0＝1，于是|y0|＝2＝2.
2．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )
A. B．
C. D．
[答案] D
[解析] 设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，所以其渐近线方程为y＝±x，因为点(4，－2)在渐近线上，所以＝，根据c2＝a2＋b2可得＝，解得e2＝，故e＝，故选D.
3．已知椭圆x2＋my2＝1的离心率e∈(，1)，则实数m的取值范围是( )
A．(0，) B．(，＋∞)
C．(0，)∪(，＋∞) D．(，1)∪(1，)
[答案] C
[解析] 椭圆x2＋my2＝1的标准方程为x2＋＝1.；当椭圆的焦点在y轴上时，a2＝，b2＝1，则0.
4．(2014·全国大纲理，6)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为( )
A.＋＝1 B．＋y2＝1
C.＋＝1 D．＋＝1
[答案] C
[解析] 根据条件可知＝，且4a＝4，∴a＝，c＝1，b＝2，椭圆的方程为＋＝1.
5．设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则圆C的圆心轨迹为( )
A．抛物线 B．双曲线
C．椭圆 D．圆
[答案] A
[解析] 动圆圆心C到定点(0,3)的距离与到定直线y＝－1的距离相等，符合抛物线的定义，故选A.
6．设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为( )
A.－＝1 B．－＝1
C.－＝1 D．－＝1
[答案] A
[解析] 对于椭圆C1，∵长轴长2a1＝26，∴a1＝13，又离心率e1＝＝，∴c1＝5.由题意知曲线C2为双曲线，且与椭圆C1同焦点，∴c2＝5，又2a2＝8，∴a2＝4，b2＝＝3，又焦点在x轴上，
∴曲线C2的标准方程为－＝1.
7．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A.若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )
A．y2＝±4x B．y2＝±8x
C．y2＝4x D．y2＝8x
[答案] B
[解析] 抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F的坐标是(，0)，直线l的方程是y＝2(x－)，令x＝0，得y＝－，即点A的坐标为(0，－)．由·||·|－|＝4，得a＝±8，故抛物线的方程为y2＝±8x.
8．已知双曲线－＝1的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )
A. B．4
C．3 D．5
[答案] A
[解析] 本题考查了双曲线与抛物线的几何性质．
由y2＝12x，焦点坐标为(3,0)．
∴a2＋b2＝9，∴b＝.
双曲线的一条渐近线为y＝x.∴d＝＝.
求点到直线距离时，直线方程一定要化为一般式后，才能使用公式．
9．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上．则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B．－＝1
C.－＝1 D．－＝1
[答案] B
[解析] 因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，所以F(－6,0)是双曲线的左焦点，即a2＋b2＝36①，又双曲线的一条渐近线方程是y＝x，所以＝②.联立①②，解得a2＝9，b2＝27，所以双曲线的方程为－＝1，故选B.
10．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，设椭圆C1，C2，C3的离心率分别为e1，e2，e3，则( )
A．e1＝e2C．e1＝e2>e3 D．e2＝e3>e1
[答案] D
[解析] e＝＝，同理e＝，e＝＝<，故e2＝e3>e1.
11．已知点F为抛物线y2＝－8x的焦点，O为坐标原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|＝4，则|PA|＋|PO|的最小值为( )
A．6 B．2＋4
C．2 D．4＋2
[答案] C
[解析] 设点A的坐标为(x1，y1)，由已知得－x1＋2＝|AF|＝4，则x1＝－2，y＝－8x1＝16，取y1＝4，得A(－2,4)．设点O关于准线x＝2的对称点为B，则B(4,0)，连接AB交准线于一点，则该点就是满足要求的使|PA|＋|PO|取得最小值的点P，此时|AB|＝2，即|PA|＋|PO|的最小值为2.
12．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A、B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为( )
A.－＝1 B．－＝1
C.－＝1 D．－＝1
[答案] B
[解析] 设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9，设A(x1，y1)，B(x2，y2)则有：两式作差得：＝＝，又AB的斜率是＝1，所以b2＝a2，代入a2＋b2＝9得，a2＝4，b2＝5，所以双曲线标准方程是－＝1，故选B.
二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)
13．若双曲线－＝1的离心率e＝2，则m＝________.
[答案] 48
[解析] 本题主要考查双曲线的基本性质．
c2＝a2＋b2＝16＋m，又∵e＝，
∴e＝2＝，∴m＝48.
14．若抛物线x2＝2y的顶点是抛物线上到点A(0，a)距离最近的，则a的取值范围是________．
[答案] a≤1
[解析] 设P(x，y)是抛物线x2＝2y上任意一点，则|PA|2＝x2＋(y－a)2＝2y＋(y－a)2＝y2＋2(1－a)y＋a2.
∵y≥0，∴当－≤0，即a≤1时，抛物线的顶点是抛物线上到点A(0，a)距离最近的点．故a的取值范围是a≤1.
15．在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)．已知点(1，e)和(e，)都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率，则椭圆的方程为________．
[答案] ＋y2＝1
[解析] 由题设知，a2＝b2＋c2，e＝，由点(1，e)在椭圆上，得＋＝1，即＋＝1，即b2＋c2＝a2b2，所以a2＝a2b2，则b2＝1，所以c2＝a2－1.
由点(e，)在椭圆上，得＋＝1，即＋＝1，即＋＝1，所以a4－4a2＋4＝0，解得a2＝2，所以椭圆的方程为＋y2＝1.
16．已知直线x－y＋m＝0与双曲线x2－＝1相交于A，B两点，线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，则m＝________.
[答案] ±1
[解析] 由，得x2－2mx－m2－2＝0，设点A，B的横坐标分别为x1，x2，AB的中点为(x0，y0)，则x0＝＝m，y0＝x0＋m＝2m，从而m2＋(2m)2＝5，解得m＝±1.
三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)已知三点P(5,2)，F1(－6,0)，F2(6,0)．
(1)求以F1，F2为焦点且过点P的椭圆的标准方程；
(2)设点P，F1，F2关于直线y＝x的对称点分别为P′，F′1，F′2，求以F′1，F′2为焦点过点P′的双曲线的标准方程．
[解析] (1)由题意可设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，则c＝6,2a＝|PF1|＋|PF2|＝＋＝6，所以a＝3，b2＝a2－c2＝45－36＝9.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)点P(5,2)，F1(－6,0)，F2(6,0)关于直线y＝x的对称点分别为P′(2,5)，F′1(0，－6)，F′2(0,6)．
设所求双曲线的标准方程为－＝1(a1>0，b1>0)，由题意知，c1＝6,2a1＝||P′F′1|－|P′F′2||＝|－|＝4，所以a1＝2，b＝c－a＝36－20＝16.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
18．(本小题满分12分)已知椭圆C：＋y2＝1的焦点分别为F1，F2，设点P(x0，y0)满足0<＋y<1.
(1)求|PF1|＋|PF2|的取值范围；
(2)试判断直线x＋y0y＝1与椭圆C有几个交点，并说明你的理由．
[解析] (1)由已知可得点P在椭圆C内(除原点)，延长F1P交椭圆C于点M，则|F1F2|≤|PF1|＋|PF2|<|MF1|＋|MF2|＝2a，又|F1F2|＝2,2a＝2，所以2≤|PF1|＋|PF2|<2.
故|PF1|＋|PF2|的取值范围为[2,2)．
(2)当y0＝0时，直线方程为y＝.
由已知得0或<－，则直线x＝与椭圆C无交点．
当y0≠0时，直线方程可化为y＝(1－x)，代入椭圆C的方程，得(x＋y)x2－2x0x＋2－2y＝0，因为Δ＝4x－4(x＋y)(2－2y)＝8y(x＋y－1)<0，所以直线与椭圆C无交点．
综上，当P(x0，y0)满足0<＋y<1，直线x＋y0y＝1与椭圆C无交点．
19．(本小题满分12分)船上两根高7.5m的桅杆相距15m，一条30m长的绳子，两端系在桅杆的顶上，并按如图所示的方式绷紧．假设绳子位于两根桅杆所在的平面内，求绳子与甲板的接触点P到桅杆AB的距离．
[解析] 以两根桅杆的顶端A，C所在的直线为x轴，线段AC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，因为|AP|＋|PC|＝30，|AC|＝15，所以|AP|＋|PC|>|AC|，则点P在以A，C为焦点的椭圆上，依题意知，此椭圆的标准方程为＋＝1.因为点P的纵坐标为－7.5，代入椭圆方程可解得P(－5，－7.5)，所以点P到桅杆AB的距离为(5－7.5)m.
20．(本小题满分12分)若点O和点F(－2,0)分别是双曲线－y2＝1(a>0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，求·的取值范围．
[解析] 因为F(－2,0)是双曲线的左焦点，所以a2＋1＝4，即a2＝3，所以双曲线方程为－y2＝1.设点P(x0，y0)(x0≥)，则－y＝1(x0≥)，解得y＝－1(x0≥)．因为＝(x0＋2，y0)，＝(x0，y0)，所以·＝x0(x0＋2)＋y＝x0(x0＋2)＋－1＝＋2x0－1，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0＝－.因为x0≥，所以当x0＝时，·取得最小值×3＋2－1＝3＋2，故·的取值范围是[3＋2，＋∞)．
21．(本小题满分12分)已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，两个焦点分别为F1和F2，椭圆G上的一点到F1和F2的距离之和为12.圆Ck：x2＋y2＋2kx－4y－21＝0(k∈R)的圆心为点Ak.
(1)求椭圆G的方程；
(2)问是否存在圆Ck包围椭圆G？请说明理由．
[解析] (1)依题意可设椭圆G的方程为＋＝1(a>b>0)，半焦距为c.
∵椭圆G的离心率为，∴＝，即c＝a.
∵椭圆G上的一点到F1和F2的距离之和为12，
∴2a＝12，即a＝6.
∴c＝3，b＝＝3，
∴椭圆G的方程为＋＝1.
(2)圆Ck的方程可化为(x＋k)2＋(y－2)2＝25＋k2，
∴圆Ck的圆心Ak的坐标为(－k,2)，半径为.
∵椭圆G与圆心Ak所在直线y＝2均关于y轴对称，
∴不妨考虑k≥0的情形，此时，圆心Ak(－k,2)到椭圆G的右顶点N(6,0)，的距离为|AkN|＝＝>，
∴点N(6,0)总在圆外．
∴不存在圆Ck包围椭圆G.
22．(本小题满分14分)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c＞0)到直线l：x－y－2＝0的距离为.设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA、PB，其中A、B为切点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程；
(3)当点P在直线l上移动时，求|AF|·|BF|的最小值．
[解析] (1)依题意，设抛物线C的方程为x2＝4cy，
由＝结合c>0，
解得c＝1.
所以抛物线C的方程为x2＝4y.
(2)抛物线C的方程为x2＝4y，
即y＝x2，求导得y′＝x，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中y1＝，y2＝)，则切线PA，PB的斜率分别为x1，x2，
所以切线PA的方程为y－y1＝(x－x1)，
即y＝x－＋y1，即x1x－2y－2y1＝0，
同理可得切线PB的方程为x2x－2y－2y2＝0
因为切线PA、PB均过点P(x0，y0)，
所以x1x0－2y0－2y1＝0，x2x0－2y0－2y2＝0
所以(x1，y1)、(x2，y2)为方程x0x－2y0－2y＝0的两组解．
所以直线AB的方程为x0x－2y－2y0＝0.
(3)由抛物线定义可知|AF|＝y1＋1，|BF|＝y2＋1，
所以|AF|·|BF|＝(y1＋1)(y2＋1)＝y1y2＋(y1＋y2)＋1，
联立方程消去x整理得y2＋(2y0－x)y＋y＝0，
由一元二次方程根与系数的关系可得y1＋y2＝x－2y0，y1y2＝y，
所以|AF|·|BF|＝y1y2＋(y1＋y2)＋1＝y＋x－2y0＋1，
又点P(x0，y0)在直线l上，所以x0＝y0＋2，
所以y＋x－2y0＋1＝2y＋2y0＋5＝2(y0＋)2＋，
所以当y0＝－时，|AF|·|BF|取得最小值，且最小值为.
