第一章 §1 1.1
一、选择题
1．关于下列几何体，说法正确的是( )
A．图①是圆柱 B．图②和图③是圆锥
C．图④和图⑤是圆台 D．图⑤是圆台
[答案] D
[解析] 图①与图④中几何体两个底面不互相平行，所以它们不是圆柱和圆台．图②与图③中几何体的过旋转轴的截面(轴截面)不是等腰三角形，所以它们不是圆锥．图⑤是圆台．
2．一个圆柱的母线长为5，底面半径为2，则圆柱的轴截面的面积为( )
A．10 B．20
C．40 D．15
[答案] B
[解析] 圆柱的轴截面是矩形，矩形的长宽分别为5、4，则面积为4×5＝20.
3．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是四边形，这个几何体可能是( )
A．圆锥 B．圆柱
C．球体 D．以上均有可能
[答案] B
[解析] 圆锥、球体被平面截后不可能是四边形，而圆柱被截后可能是四边形．
4．充满气的车轮内胎可由图中哪个图形绕对称轴旋转生成( )
[答案] C
[解析] 汽车内胎是圆形筒状几何体．
5．一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的( )
[答案] B
[解析] 由组合体的结构特征知，球只与正方体的上、下底面相切，而与两侧棱相离．故正确答案为B.
6．已知球心到球的一个截面的距离为5，截面圆的半径为12，则球的半径为( )
A．13 B．12
C．5 D．
[答案] A
[解析] 设球的半径为R，则R＝＝13.
二、填空题
7．已知圆台的轴与母线所在直线的夹角为45°，若上底面的半径为1，高为1，则圆台的下底面半径为________．
[答案] 2
[解析] 设下底面半径为r，则＝tan45°，∴r＝2.
8．有下列说法：
①球的半径是连接球面上任意一点和球心的线段；
②球的直径是球面上任意两点间的线段；
③用一个平面截一个球，得到的是一个圆；
④空间中到一定点距离相等的点的集合是一个球．
其中正确的有________．
[答案] ①
[解析] 球是半圆绕其直径所在的直线旋转，旋转面所围成的封闭的几何体，不难理解，半圆的直径就是球的直径，半圆的圆心就是球心，半圆的半径就是球的半径，因此①正确；如果球面上的两点连线经过球心，则这条线段就是球的直径，因此②错误；球是一个几何体，平面截它应得到一个面而不是一条曲线，所以③错误；空间中到一定点距离相等的点的集合是一个球面，而不是一个球体，所以④错误．
三、解答题
9．如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的小圆锥的母线长是3 cm，求圆台OO′的母线长．
[解析] 设圆台的母线长为l，由截得圆台上、下底面积之比为1∶16，可设截得圆台的上、下底面半径分别为r,4r.过轴SO作截面
如图所示．
则△SO′A′∽△SOA，
∴＝.
又SA′＝3，SA＝3＋l，O′A′＝r，OA＝4r，
∴＝＝.解得l＝9.
即圆台的母线长为9 cm.
一、选择题
1．下列命题中，错误的是( )
A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个
B．圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个
C．圆台的所有平行于底面的截面都是圆
D．圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形
[答案] B
[解析] 当圆锥的轴截面顶角大于90°时，面积不是最大的．
2．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是( )
A．4 B．3
C．2 D．1
[答案] B
[解析] 如图，设球的半径为R，
两截面圆的半径分别为r1，r2，
则πr＝5π，πr＝8π，
∴r1＝，r2＝2.
又O1O2＝1，取OO2＝x，
则有R2＝5＋(x＋1)2，R2＝8＋x2，
∴5＋(x＋1)2＝8＋x2，
∴x＝1，∴R＝3.
二、填空题
3．若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8，则圆锥的高是________．
[答案] 2
[解析] 如图所示，设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高是，
∵·2r·＝8，
∴r＝2.∴圆锥的高为＝2.
4．已知圆锥母线与旋转轴所成的角为30°，母线的长为，则其底面面积为________．
[答案]
[解析] 如图所示，过圆锥的旋转轴作其轴截面ABC，设圆锥的底面半径为r.
∵△ABC为等腰三角形，
∴△ABO为直角三角形．
又∵∠BAO＝30°，
∴BO＝r＝AB＝.
∴底面圆O的面积为S＝πr2＝.
三、解答题
5．如图所示，已知AB是直角梯形ABCD与底边垂直的一腰．分别以AB，CD，DA为轴旋转，试说明所得几何体的结构特征．
[解析] (1)以AB边为轴旋转所得旋转体是圆台．如图(1)所示．
(2)以CD边为轴旋转所得旋转体为一组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥，如图(2)所示．
(3)以AD边为轴旋转得到一个组合体，它是一个圆柱上部挖去一个圆锥．如图(3)所示．
6．轴截面为正三角形的圆锥叫作等边圆锥．已知某等边圆锥的轴截面面积为，求该圆锥的底面半径、高和母线长．
[解析] 如图△SAB为等边圆锥的轴截面，
设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，
则在轴截面△SAB中，
有OB＝r，SO＝h，SB＝l，
且∠SBO＝60°.
在直角△SOB中，h＝r，l＝2r，
所以S△SAB＝×AB×SO＝rh＝r2，
根据题意得r2＝，
解得r＝1，所以l＝2r＝2，h＝r＝.
即该圆锥的底面半径为1，高为，母线长为2.
7．一个圆台的母线长为12cm，两底面面积分别为4πcm2和25πcm2，求：
(1)圆台的高；
(2)截得此圆台的圆锥的母线长．
[解析] (1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图)．
因为圆台上底面面积为4πcm2，
所以上底面半径为2cm.
又因为圆台下底面面积为25πcm2，
所以下底面半径为5cm，
所以高为AM＝＝3(cm)．
(2)延长BA，CD相交于点S，设截得此圆台的圆锥的母线长为l，
因为Rt△SAO1∽Rt△SBO，
所以＝，即＝，
解得l＝20(cm)，
即截得此圆台的圆锥的母线长为20cm.
课件46张PPT。立体几何初步第一章§1 简单几何体
1．1 简单旋转体第一章新华网西昌2010年1月17日电：1月17日0时12分，中国在西昌卫星发射中心用“长征三号”运载火箭发射第三颗北斗导航卫星．这是中国今年的首次卫星发射，也是长征系列运载火箭的第122次飞行．众所周知，要发射卫星必须要有大推力的运载火箭，那么运载火箭什么模样？
如图，这是某种大推力运载火箭的发射图，从图中我们可以看出，承载人类航空航天梦想的高科技航天器并没有华丽的外表，整个箭体是由圆锥、圆台、圆柱(这些几何体数学上叫旋转体)堆叠而成，而就是这种“其貌不扬”的组合体一次又一次地圆了人类的太空梦，因此我们还真不能小瞧了这貌似简单的旋转体！
1．旋转体
一条平面曲线绕着它所在的平面内的________________旋转所形成的曲面叫作旋转面，________________围成的几何体叫作旋转体．
一条定直线 封闭的旋转面
圆柱、圆锥、圆台：分别以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体分别叫________、________、________；旋转轴叫作它们的轴，在轴上这条边(或它的长度)叫作它们的________；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫作它们的________；不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫作它们的________，无论旋转到什么位置，这条边都叫侧面的________．圆柱 圆锥 圆台高 底面 侧面 母线 2．圆柱、圆锥、圆台的结构特征与性质：
全等的圆面 圆面垂直 垂直于 垂直于 等腰三角形 等腰梯形 全等 矩形 扇形
3.球
(1)球和球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转一周所成的曲面叫______．球面所围成的几何体叫球体，简称_____．
用集合的观点来描述，到定点的距离等于定长的所有点的集合(轨迹)叫________．
球面 球 球面
特别提示：球和球面是两个不同的概念，球面仅仅指球的表面；而球(球体)不仅包括球的表面，同时还包括球面所包围的空间．因此，用一个平面去截一个球，截面是圆面；而用一个平面去截一个球面，截面是圆．(2)球的截面性质
①球心和截面圆心的连线________于截面．
②球心到截面的距离d与球半径R及截面圆的半径r有如下关系r＝________，
如图．垂直 (3)球的大圆、小圆及球面距离
①球的大圆、小圆
球面被经过________的平面截得的圆叫作球的大圆；被不经过________的平面截得的圆叫作球的小圆．
把地球看作一个球时，经线是球面上从北极到南极的半个________圆，赤道是一个________圆，其余的纬线都是________圆．
②球面距离
在球面上，两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度．这段弧长叫作两点的________．球心 球心 大 大 小 球面距离1．与下图所示实物图相类似的立体图形按从左到右的顺序依次是( )
A．球，圆锥，圆柱 B．圆锥，圆柱，球
C．球，棱柱，棱锥 D．圆柱，球，圆台
[答案] D
[解析] 由几何体的结构特征易知选D.
2．下列说法中正确的是( )
A．圆台是直角梯形绕其一边旋转而成的
B．圆锥是直角三角形绕其一边旋转而成的
C．圆柱不是旋转体
D．圆台可以看作是平行于底面的平面截一个圆锥而得到的
[答案] D
[解析] 由圆台的定义及结构特征知D正确．3．图甲是由图中哪个平面图旋转得到的( )
[答案] A
[解析] 该简单组合体为一个圆台和一个圆锥，因此平面图应由一个直角三角形和一个直角梯形构成．B旋转后为两共底的圆锥；C旋转后为一个圆柱与一个圆锥的组合体；D旋转后为两圆锥与一圆柱．
4．以等腰梯形的对称轴为轴旋转一周，所形成的旋转体是________．
[答案] 圆台
[解析] 等腰梯形的对称轴将等腰梯形分成两个全等的直角梯形，故旋转后形成圆台．
5．边长为4的等边三角形ABC绕∠BAC的平分线所在的直线旋转所得圆锥的高h＝____________，底面半径r＝__________.旋转体的有关概念
[思路分析] ①②是根据几何体的旋转轴去判断旋转后的形状，③④是用平面截几何体．结合条件可根据旋转体的结构特征尝试作出判断．
[答案] B
[规范解答] ①正确，②应以直角梯形的垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转方可得到圆台， ③用平行于底面的平面去截圆柱、圆锥、圆台，得到的截面才是圆面，④用平行于圆锥底面的平面截圆锥可得圆锥和圆台，否则得不到．故选B.
[规律总结] 1.准确掌握旋转体的生成过程及其结构特征是解决此类概念问题的关键．
2．解决概念辨析问题应紧扣定义，还要尝试从不同角度入手，特别是从反面入手(举反例)，从而更容易找出正确答案．下列说法中正确的是( )
A．连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线
B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个圆柱体
C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线
[答案] C
[解析] A错，连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段不一定与轴平行．B错，当两个平行平面与底面不平行时，截得的几何体不是圆柱体．D错，通过圆台侧面上一点，只有一条母线，C正确．简单旋转体中有关量的计算
[规律总结] 解决圆柱、圆锥、圆台中有关量的计算问题时，关键是作出轴截面，通过轴截面，在矩形、三角形、梯形中构造直角三角形，利用勾股定理进行计算求解．将一个边长为a的正方形卷成圆柱侧面，求此圆柱的轴截面的面积．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图 [规范解答] 把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连接AB′，则AB′即为蚂蚁爬行的最短距离．
[规律总结] 1.解此类题的关键要清楚几何体的侧面展开图是什么样的平面图形，并进行合理的空间想象．
2．运用侧面展开图将空间问题转化为平面问题是求解最短距离的常用方法，即“化曲为直”的思想方法的应用．[分析] 圆柱侧面是曲面，先把曲面展开成平面，然后在平面上求最短距离．
[答案] B与球有关的计算问题 [思路分析] 根据球的截面的性质，球心与截面圆圆心的连线垂直于截面，据此构造直角三角形，利用勾股定理求解．用一个平面截半径为5cm的球，球心到截面距离为4cm，求截面圆的面积．[错解] A
[辨析] 若两点连线恰为球的直径，则可作无数个大圆；若两点连线不是直径，则可作一个大圆．
[正解] B
第一章 §1 1.2
一、选择题
1．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数共有( )
A．20 B．15
C．12 D．10
[答案] D
[解析] 由题意五棱柱对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线，因为不同在任何侧面内，故从一个顶点出发的对角线有2条，五棱柱对角线的条数共有2×5＝10条．
2．下图中是四棱台的侧面展开图的是( )
[答案] D
[解析] A，C都是四棱柱的侧面展开图，B是四棱锥的侧面展开图，D是四棱台的侧面展开图．
3．给出下列几个结论：
①棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点；
②多面体至少有四个面；
③棱台的侧棱所在直线均相交于同一点．
其中，错误的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] A
[解析] ①显然是正确的；
对于②，显然一个图形要成为空间几何体，则它至少需要有四个顶点，因为三个顶点只围成一个平面图形是三角形，当有四个顶点时，易知它可围成四个面，因而一个多面体至少应有四个面，而且这样的面必是三角形，故②是正确的；
对于③，棱台的侧棱所在的直线就是原棱锥的侧棱所在的直线，而棱锥的侧棱都有一个公共的点，即棱锥的顶点，于是棱台的侧棱所在的直线均相交于同一点，故③是正确的．
4．一个棱柱是正四棱柱的条件是( )
A．底面是正方形有两个侧面是矩形
B．底面是正方形，两个侧面垂直于底面
C．底面是菱形且有一个顶点处的两条棱互相垂直
D．底面是正方形，每个侧面都是全等矩形的四棱柱
[答案] D
[解析] 对于A，满足了底面是正方形，但两个侧面是矩形并不能保证另两个侧面也是矩形(相对的两个面)；
对于B，垂直于底面的侧面不是面内所有直线都垂直于底面，因此，不能保证侧棱垂直于底面；
对于C，底面是菱形但不一定是正方形，同时侧棱也不一定和底面垂直；
对于D，侧面全等且为矩形，保证了侧棱与底面垂直，底面是正方形，保证了底面是正多边形，因而符合正棱柱的定义和基本特征．故选D.
5．一个棱锥的各条棱都相等，那么这个棱锥一定不是( )
A．三棱锥 B．四棱锥
C．五棱锥 D．六棱锥
[答案] D
[解析] 因为棱锥的各条棱都相等，所以侧面都是正三角形，又因为顶点处的各个面上顶角之和小于360°，从而侧面数小于6，故选D.
6．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中“0”上方的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是( )
A．1 B．2
C．快 D．乐
[答案] B
[解析] 由题意，将正方体的展开图还原成正方体，1与乐相对，2与2相对，0与快相对，所以下面是2.
二、填空题
7．如图所示，三棱台A′B′C′－ABC截去三棱锥A′－ABC后，剩余部分是________．
[答案] 四棱锥
[解析] 剩余部分是四棱锥A′－BB′C′C.
8．下列命题中正确的是________．
①底面是正多边形的棱锥是正棱锥；
②各侧棱都相等的棱锥为正棱锥；
③各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；
④底面是正多边形，并且各侧面是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥．
[答案] ④
[解析] ①不能保证顶点在底面上的射影为底面正多边形的中心；②不能保证底面为正多边形，只能说明多边形共圆；③这个命题更具迷惑性，最关键的原因是不能保证这些全等的等腰三角形的腰长都作为侧棱长，故不正确，只有④正确．
三、解答题
9．正四棱台AC1的高是17cm，两底面的边长分别是4cm和16cm，求这个棱台侧棱的长和斜高．
[解析] 如图所示，设棱台的两底面的中心分别是O1和O，B1C1和BC的中点分别是E1和E，连接O1O，E1E，O1B1，OB，O1E1，OE，则四边形OBB1O1和OEE1O1都是直角梯形．
∵A1B1＝4cm，AB＝16cm，
∴O1E1＝2cm，OE＝8cm，O1B1＝2cm，OB＝8cm.
∴B1B2＝O1O2＋(OB－O1B1)2＝361cm2，
E1E2＝O1O2＋(OE－O1E1)2＝325cm2.
∴B1B＝19cm，E1E＝5cm.
即棱台的侧棱长为19cm，斜高为5cm.
一、选择题
1．已知长方体的全面积为11，十二条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为( )
A．2 B．
C．5 D．6
[答案] C
[解析] 设长方体的三条棱长分别为a、b、c，
则有
即
由②平方，得a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)＝36，
∴a2＋b2＋c2＝25，
即＝5.
2． 如图所示几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是( )
A．该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体
B．该几何体有12条棱、6个顶点
C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形
D．该几何体有9个面，其中一个为四边形，另外8个为三角形
[答案] D
[解析] 围成多面体的各个多边形叫作多面体的面，故四边形ABCD不是该多面体的面．
二、填空题
3．下列三种叙述，其中正确的个数为________．
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台
②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的几何体是棱台
[答案] 0
[解析] ①中的平面不一定平行于底面，故①错误．②③可用反例去检验如图所示，故②③不对．
4．正四棱台两底面边长分别为3 cm和5 cm，那么它的中截面(平行于两底面且与两底面距离相等的截面)的面积为________cm2.
[答案] 16
[解析] 正四棱台的中截面是正方形，其边长为(3＋5)＝4(cm)．
由此S截＝42＝16(cm2)．
三、解答题
5．正四棱锥的高为，侧棱长为，则侧面上的等腰三角形底边上的高为多少？
[解析] 如图所示，在正四棱锥S－ABCD中，
高OS＝，侧棱SA＝SB＝SC＝SD＝.
解Rt△SOA得OA＝2，则AC＝4，
所以AB＝BC＝CD＝DA＝2.
作OE⊥AB于E，则E为AB的中点，
故OE＝AB＝.
连接SE，则SE即为斜高，
在Rt△SOE中，因为OE＝，SO＝，
所在SE＝，即侧面上的等腰三角形底边上的高为.
6．一个正三棱柱的底面边长是4，高是6，过下底面的一条棱和该棱所对的上底面的顶点作截面，求此截面的面积．
[解析] 如图所示，正三棱柱ABC－A′B′C′，符合题意的截面为△A′BC.
在Rt△A′B′B中，A′B′＝4，BB′＝6，
∴A′B＝＝＝2.
同理A′C＝2，在等腰三角形A′BC
中，O为BC的中点，BO＝×4＝2，
∵A′O⊥BC，∴A′O＝＝＝4.
∴S△A′BC＝BC·A′O＝×4×4＝8.
∴此截面的面积为8.
7．如图所示，在一个长方体的容器中，里面装有少量水，现在将容器绕着其底部的一条棱倾斜，在倾斜的过程中．
(1)水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的平行四边形，对吗？
(2)水的形状也不断变化，可以是棱柱，也可能变为棱台或棱锥，对吗？
(3)如果倾斜时，不是绕着底部的一条棱，而是绕着其底部的一个顶点，上面的第(1)题和第(2)题对不对？
[解析] (1)不对；水面的形状就是用一个与棱(倾斜时固定不动的棱)平行的平面截长方体时截面的形状，因而可以是矩形，但不可能是其他非矩形的平行四边形．
(2)不对；水的形状就是用与棱(将长方体倾斜时固定不动的棱)平行的平面将长方体截去一部分后，剩余部分的几何体，此几何体是棱柱，水比较少时，是三棱柱，水多时，可能是四棱柱，或五棱柱；但不可能是棱台或棱锥．
(3)用任意一个平面去截长方体，其截面形状可以是三角形，四边形，五边形，六边形，因而水面的形状可以是三角形，四边形，五边形，六边形；水的形状可以是棱锥，棱柱，但不可能是棱台．
课件42张PPT。立体几何初步第一章§1 简单几何体
1．2 简单多面体第一章上海世博会中的中国馆，设计理念为：“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓．”它由国家馆和地区馆两部分组成，国家馆为“天”，“东方之冠”高耸其间；地区馆为“地”，如同基座般延展于国家馆之下．右上图就是“中国馆”的正南方向效果图，它就是由空间点、线、面构成的独一无二的标志性建筑．1．多面体
我们把若干个平面多边形围成的几何体叫作________．其中棱柱、棱锥、棱台都是______________．
多面体 简单多面体 2．棱柱
(1)棱柱的有关概念
两个面_________，其余各面都是_______，并且每相邻两个四边形的公共边都_________，这些面围成的几何体叫作棱柱．两个互相平行的面叫作棱柱的________，其余各面叫作棱柱的________，棱柱的侧面是____________．
两个面的公共边叫作棱柱的________，其中两个侧面的公共边叫作棱柱的________，底面多边形与侧面的公共顶点叫作棱柱的________，与两个底面都垂直的直线夹在两底面间的线段长叫作棱柱的________．互相平行 四边形 互相平行 底面 侧面 平行四边形 棱侧棱 顶点 高 (2)棱柱的分类
①按底面多边形的边数：棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……我们把这样的棱柱分别叫作____________、________、________…….
②按侧棱与底面是否垂直：三棱柱 四棱柱 五棱柱 垂直 多边形 不垂直
3．棱锥
(1)定义
有一个面是________，其余各面是有一个__________的三角形，这些面围成的几何体叫作棱锥．这个多边形叫作棱锥的________，其余各面叫作棱锥的________，相邻侧面的公共边叫作棱锥的________，各侧面的公共点叫作棱锥的________，过顶点作底面的垂线，顶点与垂足间的线段长叫作棱锥的________．
多边形 公共顶点 底面 侧面 侧棱 顶点 高
(2)正棱锥
如果棱锥的底面是__________，且各侧面_______，就称作正棱锥，正棱锥的侧面是____________三角形，它的高叫作正棱锥的斜高．
(3)分类
按底面多边形的边数分：底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫作_____棱锥、______棱锥、_____棱锥…….正多边形 全等 全等的等腰 三 四 五
4．棱台
(1)定义
用一个________棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫作棱台．原棱锥的底面和截面叫作棱台的________和________，其他各面叫作棱台的________，相邻侧面的公共边叫作棱台的________，与两个底面都垂直的直线夹在两底面间的线段长叫作棱台的________．
平行于 下底面 上底面 侧面 侧棱 高
(2)正棱台
用正棱锥截得的棱台叫作________，正棱台的侧面是全等的等腰梯形，它的高叫作正棱台的斜高．
(3)分类
按底面多边形的边数分：底面是三角形、四边形、五边形……的棱台分别叫作________棱台、________棱台、________棱台…….正棱台 三 四 五 1． 下列不是简单多面体的是( )
A．棱柱 B．棱锥
C．棱台 D．球
[答案] D
[解析] 棱柱、棱锥、棱台都是简单多面体，而球是旋转体．
2．下图所示的几何体是棱台的是( )
[答案] D
[解析] A中几何体的四条侧棱延长后不相交于一点，B、C中几何体的两底面不平行，只有D符合棱台定义．
3．斜四棱柱的侧面最多含有矩形的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] C[解析] 如图所示，在斜四棱柱ABCD－A′B′C′D′中，若AA′不垂直于AB，则DD′也不垂直于DC，所以四边形ABB′A′和四边形DCC′D′就不是矩形．所以斜四棱柱的侧面最多有2个矩形．4．如图所示，正四棱锥S－ABCD的所有棱长都等于a，过不相邻的两条棱SA，SC作截面SAC，则截面的面积为______．
5．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱的长为________ cm.
[答案] 12
[解析] n棱柱有2n个顶点，由于此棱柱有10个顶点，那么此棱柱为五棱柱．又棱柱的侧棱都相等，五条侧棱长的和为60 cm，可知每条侧棱的长为12 cm.棱柱的结构特征
[思路分析] 可从正棱柱的概念入手，分析其特征，找出正确的选项．
[答案] C
[规范解答] 当棱柱的底面是正三角形，且所有侧面都是矩形时，侧棱一定与底面垂直，即棱柱是直棱柱，又底面为正三角形，所以棱柱是正三棱柱．
[规律总结] 1.棱柱的结构特征有三个：
(1)有两个面互相平行；
(2)其余各面都是平行四边形；
(3)每相邻两个四边形的公共边都互相平行．
以上三个特征是判断一个几何体是否是棱柱的依据．
2．正棱柱的所有侧面都是矩形，且都全等．下列说法正确的是( )
A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行
B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
C．棱柱中一条侧棱的长叫作棱柱的高
D．棱柱的侧面是平行四边形，底面一定不是平行四边形
[分析] 以棱柱的定义进行判断．
[答案] A
[解析] 正四棱柱的相对侧面互相平行，B错误；只有直棱柱的侧棱长才是棱柱的高，C错误；正方体、长方体的侧面、底面都是平行四边形，D错误；由棱柱定义知，A正确．棱锥及棱台的有关概念 [思路分析] 根据棱锥定义判断．
[规范解答] 不一定是棱锥．如图的多面体有一个面是四边形，其余的各面都是三角形，但它不是棱锥．
[规律总结] 1.棱锥的性质
(1)底面与平行于底面的截面是相似的多边形．
(2)三棱锥由四个三角形面围成，是面数最少的多面体，又叫四面体．
2．棱台的结构特征
(1)上、下底面互相平行，且相似．
(2)各侧棱延长后交于一点．
(3)棱台的侧面是梯形．
3．在空间中判断一些命题的真假时，要善于使用模型．例如：正方体、长方体都是常见模型，使用模型进行判断可直观形象．棱台不一定具有的性质是( )
A．两底面相似 B．侧面都是梯形
C．侧棱长都相等 D．侧棱延长后交于一点
[答案] C
[解析] 棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到的，因此棱台的两底面相似，侧面都是梯形，侧棱延长后一定交于一点，故选C.几何体的结构特征
[思路分析] 根据定义判断．
[规范解答] (1)是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面则底面都是四边形，其余各面都是矩形，当然是平行四边形，并且四条侧棱互相平行．
(2)截面BCFE上方部分是棱柱，且是三棱柱BEB1－CFC1，其中△BEB1和△CFC1是底面，截面BCFE下方部分也是棱柱，且是四棱柱ABEA1－DCFD1，其中四边形ABEA1和DCFD1是底面．
[规律总结] 1.本题难点是棱柱的放置方式与我们常见的方式不同．无论几何体怎么放置，判断的依据仍然是定义，切忌凭空臆断．
2．棱柱定义中有两个面互相平行，指的就是两个底面互相平行．本例中平面BCFE左侧的几何体A1EFD1－ABCD是棱台吗？为什么？
[解析] 不是．因为面ABEA1与面DCFD1平行，故AA1、BE、CF、DD1延长后不能交于一点，也就是说它不是由棱锥截得的．简单几何体的计算问题[规范解答] 如图所示，将棱台还原为棱锥，设PO是原棱锥的高，O1O是棱台的高，已知正三棱锥V－ABC，底面边长为8，侧棱长为2，计算它的高和斜高．
[分析] 本题以三棱锥为载体，考查了正棱锥中基本量的计算，同时考查识图能力和计算能力．[错解] ①④
[辨析] 显然不对，因为正十二面体的每个面都是全等的正五边形．①④最具迷惑性，按所给条件能得出①所给的几何体是正棱锥．作为正棱锥，每个侧面都是全等的等腰三角形，底面正多边形可以是任意的，而作为正多面体的所有面必须是全等的正多边形，故①④不对．
[正解] ③
[规律总结] 多面体中，如正棱锥、正棱台、正棱柱及特殊的正方体、正四面体、应充分认识并掌握．第一章 §2
一、选择题
1．有下列说法：
①从投影的角度看，斜二测画法画的直观图是在平行投影下画出来的空间图形；②平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；③空间图形经过中心投影后，直线仍为直线，但平行线可能变成相交的直线；④空间几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式．
其中正确的命题有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案] D
[解析] 利用平行投影与中心投影的概念逐一判断，以上四句话都正确．
2．如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是( )
A．AB B．AD
C．BC D．AC
[答案] D
[解析] △ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°，
则AC>AB，AC>AD，AC>BC.
3．如图，△O′A′B′是△OAB水平放置的直观图，则△OAB的面积为( )
A．6 B．3
C．6 D．12
[答案] D
[解析] 若还原为原三角形，则易知OB＝4，OA⊥OB，OA＝6，
所以S△AOB＝×4×6＝12.
故应选D.
4．如图，直观图所示的平面图形是( )
A．正三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．直角三角形
[答案] D
[解析] 因为直观图中有两边分别平行于x′轴y′轴，所以这两边在原图形中互相垂直．
5．下列叙述中正确的个数是( )
①相等的角，在直观图中仍相等；
②长度相等的线段，在直观图中长度仍相等；
③若两条线段平行，在直观图中对应的线段仍平行；
④若两条线段垂直，则在直观图中对应的线段也互相垂直．
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] B
[解析] 从原图到直观图只能保证平行的仍然平行，故只有③正确，正确命题的个数只有1个．
6．如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是( )
[答案] C
[解析] 按斜二测画法的规则：平行于x轴或x轴上的线段的长度在新坐标系中不变，在y轴上或平行于y轴的线段长度在新坐标系中变为原来的，并注意到∠xOy＝90°，∠x′O′y′＝45°，将图形还原成原图形知选C.
二、填空题
7．平面直角坐标系中的点M(2,2)在直观图中对应点M′，则M′的找法是___________________________________________________________________________.
[答案] 过点(2,0) 和y′轴平行的直线与过点(0,1)与x′轴平行的直线的交点
[解析] 根据斜二测画法的规则．
8．如图是△AOB用斜二测画法画出的直观图，则△AOB的面积是________．
[答案] 32
[解析] 在△AOB中，OB＝4，高为16，则面积S＝×4×16＝32.
三、解答题
9．一正四棱锥底面边长为4，高为5，画出其直观图．
[解析] (1)画底面；
(2)画z′轴，并画出高线，确定顶点；
(3)成图．
一、选择题
1．利用斜二测画法得到的下列结论，正确的是( )
①三角形的直观图还是三角形；
②平行四边形的直观图还是平行四边形；
③正方形的直观图还是正方形；
④菱形的直观图还是菱形．
A．①② B．①
C．③④ D．①②③④
[答案] A
[解析] ①②正确；③④错误．在斜二测画法中，直线具有平行不变性，故①②正确；正方形的直观图是有一个角为45°的平行四边形，菱形的直观图对角线不再垂直，不是菱形，故③④错．
2．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是( )
A．16 B．64
C．16或64 D．都不对
[答案] C
[解析] 根据直观图的画法，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度变为原来的一半，于是长为4的边如果平行于x轴，则正方形边长为4，面积为16；边长为4的边如果平行于y轴，则正方形边长为8，面积是64.
二、填空题
3．如图所示为水平放置的△ABO的直观图，由图判断原三角形中AB，BO，BD，OD由小到大的顺序是______________．
[答案] OD
[解析] 由题中图知，原图中OD＝2，BD＝4，AD＝1，
则AB＝＝.
BO＝＝2；
∴OD4．△ABC的面积为10，以它的一边为x轴，画出直观图后，其直观图的面积为________．
[答案]
[解析] 以△ABC的一边BC为x轴，BC边上的高AO所在直线为y轴，建立如图(1)所示的坐标系，则它的直观图如图(2)所示，在△A′B′C′中，B′C′＝BC，A′O′＝AO，在△A′B′C′中，过A′点作A′M⊥B′C′于M，则A′M＝A′O′·sin45°＝·A′O′＝AO，所以S△A′B′C′＝·B′C′·A′M＝BC·AO＝×BC·AO＝×10＝.
三、解答题
5．画边长为1.8cm的正三角形的水平放置的直观图．
[解析] 画法1：如图所示．
(1)以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴，再画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.
(2)在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝0.9cm，在y′轴上截取O′A′＝AO，连接A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为正三角形ABC的直观图．
画法2：如下图所示．
(1)以BC边所在的直线为y轴，以BC边上的高AO所在的直线为x轴，再画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.
(2)在x′轴上截取O′A′＝OA，在y′轴上截取O′B′＝O′C′＝OC＝0.45cm，连接A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为正三角形ABC的直观图．
6．如图所示，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，用斜二测画法，画出这个梯形的直观图O′A′B′C′，求在直观图中梯形的高．
[解析] 按斜二测画法得梯形的直观图O′A′B′C′如图所示，原图形中梯形的高CD＝2，在直观图中C′D′＝1，且∠C′D′E′＝45°，作C′E′垂直x′轴于E′，则C′E′即为直观图中梯形的高，那么C′E′＝C′D′sin45°＝.
7．已知水平放置的三角形ABC是正三角形，其直观图的面积为a2，求△ABC的周长．
[解析] 图△ABC是△A′B′C′的原图形，设△ABC的边长为x，由斜二测画法知：A′B′＝AB＝x，O′C′＝OC＝x，作C′D′⊥A′B′，垂足为D′，
∵∠C′O′D′＝45°，
∴C′D′＝O′C′＝×x＝x，
∴S△A′B′C′＝A′B′×C′D′＝x×x＝x2.
∴x2＝a2，∴x＝2a，
∴△ABC周长为3×2a＝6a.
课件43张PPT。立体几何初步第一章§2 直观图第一章“一口叙说千古事，双手对舞百万兵”的皮影戏，是深受群众喜爱的一种民间艺术，它最早流传于鲁南、苏北、浙江、河北一带，后来逐渐扩散到全国各地．皮影戏的表演是借助一面影窗，利用灯光照射原理和平面映象，将纸
偶或皮偶影射出来，配合音乐、唱白来表演戏剧故事．学好本节内容你就会真正明白“两手托起千秋将，孤灯照出万古人”的原理．1．斜二测画法的规则
(1)在已知图形中建立直角坐标系xOy.画直观图时，它们分别对应x′轴和y′轴，两轴交于点O′，使∠x′O′y′＝________，它们确定的平面表示__________．
(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成______________________的线段；
(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中__________ ________；平行于y轴的线段，长度为________．45° 水平平面 平行于x′轴和y′轴 保持原长度 不变
2．立体图形的特点
立体图形与平面图形相比多一个z轴，其直观图中对应于z轴的是z′轴，平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示直立平面．平行于z轴的线段，在直观图中_________________都不变．
3．画直观图的原理
用斜二测画法画的直观图是根据___________的原理画出的图形，图中的投影线互相________．平行性和长度 平行投影 平行1．关于直观图画法的说法中，不正确的是( )
A．原图中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x′轴，其长度不变
B．原图中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴，其长度不变
C．画与坐标系xOy对应的坐标系x′O′y′时，∠x′O′y′可等于45°
D．作直观图时，由于选轴的不同，所画直观图可能不同
[答案] B
[解析] 由直观图的画法知平行于y轴的线段其对应线段平行于y′轴，长度为原来的一半．
2． 下列说法正确的是( )
A．水平放置的正方形的直观图可能是梯形
B．两条相交直线的直观图可能是平行直线
C．互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直
D．平行四边形的直观图仍是平行四边形
[答案] D
[解析] 选项A错，水平放置的正方形的直观图是平行四边形；选项B错，两条相交直线的直观图是两条相交直线；选项C错，互相垂直的两条直线的直观图夹角为45°；选项D正确．3．如图所示为水平放置的平面图形的直观图，ABCD所表示的实际图形是( )
A．任意梯形
B．直角梯形
C．任意四边形
D．平行四边形
[答案] B
[解析] ∵AB∥y轴，AD∥x轴，又x，y轴互相垂直，故AB⊥AD.又AD∥BC，故ABCD的原图形为直角梯形．
4．根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox、Oy、Oz轴画成对应的O′x′、O′y′、O′z′，使∠x′O′y′＝_________，∠x′O′z′＝__________；
在用斜二测画法作直观图时，原图中平行且相等的线段，在直观图中对应的两条线段__________．
[答案] 45°(或135°) 90° 平行且相等
[解析] 根据斜二测画法的规则．
5．水平放置的矩形ABCD长为4，宽为2，以AB、AD为轴作出斜二测直观图A′B′C′D′，则四边形A′B′C′D′的面积为______________．平面图形的直观图 [思路分析] 由斜二测画法画直观图．[规范解答] (1)如图所示，在已知直角梯形OBCD中以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立直角坐标系；如图(1)所示，另选一个平面画直观图，画x′轴和y′轴，使∠x′Oy′＝45°.
[规律总结] 在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，便于画点；原图中的共线点，在直观图中仍是共线点；原图中的平行线，在直观图中仍是平行线．如图所示，△ABC中BC＝8cm，BC边上的高AD＝6cm，试用斜二测画法画出其直观图．
[解析] (1)在三角形ABC中建立如图①所示的直角坐标系xOy，再建立如图②所示的直角坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.空间图形的直观图[思路分析] 先画水平放置的正六边形的直观图作底面，再画出高，定出顶点．[规范解答] 画法如图所示：
(1)画轴：画x′轴、y′轴、z′轴，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°.
(2)画底面：按x′轴、y′轴画正六边形的直观图ABCDEF，按比例尺，取边长等于5÷5＝1cm，并使正六边形的中心对应于点O′.
(3)画高线：在z′轴上取O′S＝11.5÷5＝2.3cm.
(4)成图：连接SA，SB，SC，SD，SE，SF，并加以整理，擦去辅助线，得到正六棱锥的直观图，如图(2)所示．
[规律总结] 画空间几何体的直观图时，一般是先按照画平面图形直观图的方法与步骤，画出其底面的直观图，然后再画出z轴，在z轴上，确定该几何体的顶点或另一个底面的直观图所需坐标系的原点，从而作出另一个底面的直观图，最后得到整个几何体的直观图．画几何体的底面时，实际上就是画底面这个平面图形的直观图，在本例中如果把底面画成一个正六边形，那就错了．成图后要去掉辅助线，辅助线包括x′轴、y′轴、z′轴和引进的其他辅助线．用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm、3cm、2cm的长方体ABCD－A′B′C′D的直观图．
[解析] 画法：(1)画轴．如图所示，画x′轴、y′轴、z′轴，三轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°.(4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图．由直观图还原平面图 [思路分析] 由直观图确定原来的图形的形状及数量关系，关键要把握“横坐标不变，纵坐标减半”的原理，逆推即可．[规范解答] 如图①是四边形的直观图，取B′C′所在直线为x′轴，因为∠A′B′C′＝45°，所以取B′A′所在直线为y′轴，过D′作D′E′∥A′B′，D′E′交B′C′于E′，则B′E′＝A′D′＝1.水平放置的△ABC的直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．
[答案] 2.5
[解析] 由于在直观图中，∠A′C′B′＝45°，则在原图形中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，斜边AB＝5，故斜边AB上的中线长为2.5.
[规律总结] 无论是画平面图形直观图，还是空间图形直观图，还是由直观图复原真实图，都必须严格按照斜二测画法．
第一章 §3
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．若长方体的长、宽、高各不相同，则长方体的三视图中不可能有正方形(以长×宽所在的平面表示观察视角的正面)
B．照片是三视图中的一种
C．若三视图中有圆，则原几何体中一定有球体
D．圆锥的三视图都是等腰三角形
[答案] A
[解析] 按定义，三视图必须是包含主、左、俯三种视图，所以B不对；圆柱、圆锥等图形的三视图中也可能有圆，故C不对；圆锥的视图中有圆，故D不对．按A题意，可知其三视图都为非正方形的长方形．
2．(2014·江西理，5)一几何体的直观图如下图，下列给出的四个俯视图中正确的是( )
[答案] B
[解析] 本题考查三视图．
由俯视图的概念可知选B.
3．以下说法正确的是( )
A．任何物体的三视图都与物体摆放位置有关
B．任何物体的三视图都与物体摆放位置无关
C．有的物体的三视图与物体的摆放位置无关
D．正方体的三视图一定是三个全等的正方形
[答案] C
[解析] 球不管从何位置看三视图均为圆，故A错；正方体从不同角度观察，其三视图是不一样的，故B、D错．
4．(2014·新课标Ⅰ文，8)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )
A．三棱锥 B．三棱柱
C．四棱锥 D．四棱柱
[答案] B
[解析] 本题考查三视图
由三视图知识几何体是三棱柱，注意是平放的三棱柱．
5． 三棱柱ABC－A1B1C1，如图所示，以BCC1B1的前面为正前方，画出的三视图，正确的是( )
[答案] A
[解析] 正面是BCC1B1为矩形，故主视图为矩形，左侧为△ABC，所以左视图为三角形，俯视图为两个有公共边的矩形，公共边为CC1在面ABB1A1内的投影．
6．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的主视图与左视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( )
[答案] C
[解析] 由主视图可以看出去掉的小长方体在主视图的左上角，从左视图可以看出去掉的小长方体在左视图的右上角，由以上各视图的描述可知，该几何体如图所示，则易知俯视图为选项C.
二、填空题
7．如图所示是一个空间几何体的三视图，则该几何体为______________．
[答案] 正六棱台
8．图中三视图代表的立体图形分别是____________．
[答案] (1)代表直四棱柱，(2)代表一个圆柱和一个长方体的组合体，(3)代表正六棱锥，(4)代表两个圆台的组合体．
三、解答题
9．添线补全下面物体的三视图．
[解析] 如图所示．
一、选择题
1．已知一几何体的主视图与左视图如图所示，则下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有( )
A．①②③⑤ B．②③④⑤
C．①②④⑤ D．①②③④
[答案] D
[解析] 可以结合实物想象，对于①，可认为该几何体的最下部为棱柱，上部为两个圆柱；对于②，可认为该几何体的上部为两个棱柱，下部为圆柱；对于③，可认为该几何体的上部为圆柱，下部为两个棱柱；对于④，可认为该几何体的上部是底面为等腰直角三角形的棱柱，中间为一圆柱，底部为四棱柱；对于⑤，由原几何体最下部的两个视图可知，其俯视图不可能是一个三角形．
2．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为( )
[答案] D
[解析] 根据正投影的性质，并结合左视图要求及如图所示，AB的正投影为A′B′，BC的正投影为B′C′，BD′的正投影为B′D′，综上可知应选D.
二、填空题
3．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为________．
[答案] 2
[解析] 根据三视图还原成实物图，图中四棱锥P－ABCD即是，所以最长的一条棱的长为PB＝2.
4．给出下列几个命题，其中真命题的个数是________．
①如果一个几何体的三视图是完全相同的，则这个几何体是正方体；
②如果一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体；
③如果一个几何体的主视图和左视图都是等腰梯形，则这个几何体是圆台．
[答案] 1
[解析] ①是错误的，因为球的三视图也是完全相同的；③也可能是棱台；只有②正确．
三、解答题
5．如图所示是一个零件的实物图，画出这个几何体的三视图．
[解析] 该零件由一个长方体和一个半圆柱拼接而成，并挖去了一个小圆柱(形成圆孔)．主视图反映了长方体的侧面和半圆的底面、小圆柱的底面，左视图反映了长方体的侧面、半圆柱的侧面、小圆柱的侧面，俯视图反映了长方体的底面、半圆柱的侧面和小圆柱的侧面投影后的形状．它的三视图如图所示．
6．如图所示的是一个几何体的直观图，请画出这个几何体的三视图．
[解析] 如图所示．
7．如图是一个空间几何体的三视图，其中主视图和左视图都是边长为2的正三角形，俯视图是一个正方形．
(1)在给定的直角坐标系中作出这个几何体的直观图；(不写作法)
(2)求这个几何体的高．
[解析] (1)直观图如图．
(2)这个几何体是一个正四棱锥．
它的底面边长为2，高在主视图(或左视图)中可求，高h＝2sin60°＝.
课件43张PPT。立体几何初步第一章§3 三 视 图 第一章参观上海世博会，看的最多的是什么？相信不少游客会异口同声地回答：电影．的确，无论是坐着看、站着看、转着看、躺着看、趴着看，影片已成为众多场馆的主要展示手段．纵观上海世博会场馆播放的影片，除了传统电影外，以高新技术打造的3D,4D电影比比皆是，屏幕更是从180度、360度直至720度，营造出令人震撼的视听效果．同学们，你们知道吗？电影的放映过程中就蕴含着丰富的视图知识．1．三视图的画法要求
(1)三视图的主视图、俯视图、左视图分别是从物体的________、________、________看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形．
(2)一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在主视图的_______，长度与主视图一样；左视图放在主视图的______，高度与主视图一样，宽度与俯视图的宽度一样．如图所示．正前方 正上方 正左方 下面 右面
(3)记忆口诀：
①长对正，高平齐，宽相等；
②主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽．
(4)注意：
在三视图中，分界线和可见轮廓线用________线画出，不可见轮廓线，用________线画出．
实 虚 2．组合体的三视图
(1)由基本几何体生成的组合体有两种基本形式：
①将______________拼接成组合体．
②从基本几何体中____________________构成组合体．
(2)画简单组合体的三视图应注意两个问题：
首先，确定主视、俯视、左视的________．同一物体放置的位置不同，所画的三视图可能________．
其次，清楚简单组合体是由哪几个基本几何体组成的，并注意它们的组成方式，特别是它们的______________．基本几何体 切掉或挖掉部分 方向 不同 交线位置
3．由三视图还原成实物图
由三视图画直观图时，必须先观察________，想象出具体形状，还原成________，再画出直观图．
三视图 实物图 1．(2014·福建理，2)某空间几何体的主视图是三角形，则该几何体不可能是( )
A．圆柱 B．圆锥
C．四面体 D．三棱柱
[答案] A
[解析] 本题考查几何体的三视图，圆柱的正视图为矩形不可以是三角形，故选A.
应注意记忆常见几何体的三视图，如圆柱、圆锥及长方体、三棱锥、三棱柱等．2．如图所示，桌面上放着一个圆锥和一个长方体，其俯视图是下图中的( )
[答案] D
[解析] 由于圆锥的俯视图是一个圆内加一点，故选D.
3．如果一个几何体的主视图是矩形，则这个几何体不可能是( )
A．棱柱 B．棱锥
C．棱台 D．圆柱
[答案] B
[解析] 棱锥的主视图不可能是矩形，故选B.4．某物体的实物图如图(甲)所示，在其三视图中，图①是____________；图②是____________；图③是____________．
[答案] 主视图 俯视图 左视图
5．一个几何体的主视图与左视图一样，请你写出这个几何体是____________________．(要求写出至少两种)
[答案] 圆柱、圆锥(正方体、球……)简单几何体的三视图[思路分析] 物体三个视图的构成都是矩形，长方体截角后，截面是一个三角形，在每个视图中反映为不同的三角形．
[规范解答] 该长方体的三视图为如图所示：
[规律总结] 1.画三视图时，首先确定主视、左视、俯视的方向，同一物体放置的位置不同，所画的三视图可能不同．一般主视方向确定了，则左视与俯视的方向也就确定了，在有的问题里，直接给出主视图，也是确定主视方向的一个方法．
2．一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在主视图的下面，左视图放在主视图的右面． 如图所示，图(1)是底面边长和侧棱长都是2cm的四棱锥，图(2)是上、下底面半径分别为1cm,2cm，高为2cm的圆台，分别画出它们的三视图．[解析] (1)四棱锥的三视图如图所示：
(2)圆台的三视图如下图所示：画简单组合体的三视图 [思路分析] 画简单组合体的三视图时，首先要认真观察，可以想象自己就站在物体的正前方、正上方、正左方，观察它是由哪些基本几何体组合而成的，它的外轮廓线是什么，然后再去画图．[规范解答] ①②这两个组合体的三视图如下：
[规律总结] 画简单组合体的三视图时要注意的问题：
(1)分清简单组合体是由哪些简单几何体组成的，是组合型还是切挖型．
(2)先画主体部分，后画次要部分．
(3)几个视图要配合着画．一般是先画主视图再确定左视图和俯视图．
(4)组合体的各部分之间要画出分界线．画出如图所示的几何体的三视图．
[解析] 如图所示．根据三视图画直观图 [思路分析] 根据三视图作法，结合几何体的三视图逆推．[规范解答] 该三视图表示的几何体是截去一角的正方体，如图所示．
[规律总结] 由三视图还原为实物图是由几何体画三视图的逆向思维，在还原时要首先确定好投视方向，既要从三视图所反映的几何体的轮廓线推测该几何体的大致形状，又要根据三视图画图规则中反映的对齐关系画准其大小比例，还要弄清虚实线的含义，综合分析，想象实物图，从而准确无误地画出实物图．根据如图所示中物体的三视图，画出该物体．[解析] 由主视图可以判断出这个几何体由两部分构成，由左视图可以判断出上下两部分的宽度是相等的，再由俯视图可以判断出这个几何体的上部分是一个圆柱，下部分是一个长方体．由三视图求几何体的相关量 [思路分析] 根据三视图提供的信息，可得正三棱柱的高和底面正三角形的高，从而可求底面边长以及左视图的面积．
[规律总结] 解决三视图中有关量的计算问题时，首先要明确三视图在度量上的特点：主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽，据此可互求三视图中有关线段的长度．其次要明确三视图对应的原几何体在度量上的特点，获得原几何体中相关的量，从而进行计算．(2014·北京文，11)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________．[错解] 如图所示．
[辨析] 被挡住的部分没有画出并且丢掉一些边．[正解] 如图所示．
[规律总结] 在画由基本几何体拼接而成的组合体的三视图时，除了要注意三视图的排列规则和特点外，最重要的是看清该组合体由哪几个基本几何体拼接而成，找准其表面的交线，即分界线，用实线画出．第一章 §4
一、选择题
1．已知点A，直线a，平面α：
①A∈a，a?α?A?α ②A∈a，a∈α?A∈α
③A?a，a?α?A?α ④A∈a，a?α?A?α
以上命题表述正确的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] A
[解析] ①中若a与α相交，且交点为A，则不正确；②中“a∈α”符号不对；③中A可以在α内，也可以在α外，故不正确；④符号“A?α”错．
2．在空间中，下列命题成立的有________个( )
①两组对边都平行的四边形是平行四边形
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形
③顺次连接空间四边形各边中点所得的一定是平行四边形
④对角线互相平分的四边形是平行四边形
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] C
[解析] ②错误．
3．在空间中，可以确定一个平面的条件是( )
A．两两相交的三条直线
B．三条直线，其中一条直线与另外两条直线分别相交
C．三个点
D．三条直线，它们两两相交，但不交于同一点
[答案] D
[解析] A中两两相交的三条直线，它们可能交于同一个点，也可能不交于同一个点，若交于同一个点，则三条直线不一定在同一个平面内，故排除A；B中的另外两条直线可能共面，也可能不共面，当另外两条直线不共面时，则三条直线不能确定一个平面，故排除B；对于C来说，三个点的位置可能不在同一条直线上，也可能在同一条直线上，只有前者才能确定一个平面，因此，排除C；只有条件D中的三条直线，它们两两相交且不交于同一点，因而其三个交点不在同一条直线上，由公理1知其可以确定一个平面．
4．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1和BC的中点分别是E，F，各棱所在的直线与直线EF互为异面直线的条数是( )
A．4 B．6
C．8 D．10
[答案] C
[解析] AB，AD，AA1，A1B1，A1D1，D1D，D1C1，DC与直线EF都是异面直线．
5．如图，M是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列四个命题：
①过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都相交；
②过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都垂直；
③过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交；
④过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行．
其中真命题是( )
A．②③④ B．①③④
C．①②④ D．①②③
[答案] C
[解析] ①若还能作一条线，则两相交线确定一平面，从而证明 AB，B1C1共面与它们异面矛盾，从而假设不正确，①正确，②④也是同样的方法证明．将过点M的平面CDD1C1绕直线DD1旋转任意非零的角度，所得的平面与直线AB，B1C1都相交，故③错误．故选C.
6．已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是( )
A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β?a?β
B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β?α∩β＝MN
C．A∈α，A∈β?α∩β＝A
D．A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线?α、 β重合
[答案] C
[解析] ∵A∈α，A∈β.∴A∈α∩β由公理3知α∩β为经过A的一条直线而不是A.故α∩β＝A写法错误．
二、填空题
7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与直线CC1平行的棱的条数是________．
[答案] 3
[解析] 与CC1平行的棱有AA1，BB1，DD1.
8．空间有四个点，如果其中任意三个点不共线，则经过其中三个点的平面有________个．
[答案] 1或4
[解析] 四点共面时，为一个平面；四点不共面时，可作4个平面．
三、解答题
9．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为D1C1、C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.
求证：(1)D、B、F、E四点共面；
(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P、Q、R三点共线．
[解析] 如图
(1)∵EF是△D1B1C1的中位线，∴EF∥B1D1.
在正方体AC1中，B1D1∥BD，
∴EF∥BD.∴EF、BD确定一个平面，即D、B、F、E四点共面．
(2)正方体AC1中，
设A1ACC1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.
∵Q∈A1C1，∴Q∈α，又Q∈EF，∴Q∈β，
则Q是α与β的公共点，
同理，P点也是α与β的公共点，∴α∩β＝PQ.
又A1C∩β＝R，∴R∈A1C，∴R∈α，且R∈β，
故R∈PQ.所以P、Q、R三点共线．
一、选择题
1． 若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则( )
A．过点P有且仅有一条直线与l、m都平行
B．过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直
C．过点P有且仅有一条直线与l、m都相交
D．过点P有且仅有一条直线与l、m都异面
[答案] B
[解析] 对于A，若正确，则l∥m，这与已知矛盾，由此排除A.对于B，由于l和m有且只有一条公垂线a，而过P有且只有一条直线与直线a平行，故B正确．
2．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于( )
A．45° B．60°
C．90° D．120°
[答案] B
[解析] 取A1B1的中点M，连接GM，HM.
∵在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，H，G分别为A1B1，B1C1，B1B的中点，
∴△GMH为正三角形，EF∥MG.于是∠MGH为异面直线EF与GH所成的角，即为60°角．
二、填空题
3．如图表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有________对．
[答案] 3
[解析] 将展开图恢复成正方体后，得到AB与CD，EF与GH，AB与GH三对异面直线．
4．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：
①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线AM与DD1是异面直线．
其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论的序号都填上)．
[答案] ③④
三、解答题
5．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，P为棱BB1的中点，画出由A1，C1，P三点所确定的平面α与长方体表面的交线．
[解析] 因为点P既在平面α内又在平面AB1内，所以点P在平面α与平面AB1的交线上．同理，点A1在平面α与平面AB1的交线上．因此，PA1就是平面α与平面AB1的交线．
同理可得：交线A1C1与交线PC1.
所以由A1，C1，P三点所确定的平面α与长方体表面的交线如图所示．
6．如图所示，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F.
求证：E，F，G，H四点必定共线．
[解析] ∵AB∥CD，∴AB，CD确定一个平面β.
又∵AB∩α＝E，AB?β，∴E∈α，E∈β，
即E为平面α与平面β的一个公共点．
同理可证，F，G，H为平面α与平面β的公共点．
∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，
∴E，F，G，H四点必定共线．
7．如图，两个三角形ABC和A′B′C′的对应顶点的连线AA′、BB′、CC′交于同一点O，且＝＝＝.
(1)求证：A′B′∥AB，A′C′∥AC，B′C′∥BC；
(2)求的值．
[解析] (1)证明：∵AA′与BB′交于点O，
且＝＝，∴AB∥A′B′.
同理AC∥A′C′，BC∥B′C′.
(2)∵A′B′∥AB，AC∥A′C′且AB和A′B′、AC和A′C′方向相反，
∴∠BAC＝∠B′A′C′.
∴同理∠ABC＝∠A′B′C′.
∴△ABC∽△A′B′C′，且＝＝.
∴＝()2＝.
课件52张PPT。立体几何初步第一章§4 空间图形的基本关系与公理 第一章民以食为天，以居为安．居住的要素少不了“门”，孔夫子的《论语·雍也》云：“谁能出不由户(户：门)？”道理虽很简单，却包蕴丰富．门在建筑上来说主要功能是围护、分隔和交通疏散作用，并兼有采光、通风和装饰作用．
一般情况下，门的一端有两个转轴，可以绕轴打开，另一端还有一个锁(古代为木制)．一旦上锁门就可以起到分隔的作用，这是非常浅显的道理，但却应用了我们数学上的“不在同一条直线上的三点确定一个平面”这条性质——也就是今天我们要学习的内容．1．空间两条直线的位置关系
(1)直线a与b在同一平面内，但_____________，这样的两条直线叫作平行直线；
(2)直线a与b________________，这样的两条直线叫作相交直线；
(3)直线a与b______________________，这样的两条直线叫作异面直线．
没有公共点 只有一个公共点 不同在任何一个平面内2．空间直线与平面的位置关系
(1)直线与平面有______________，我们称这条直线在这个平面内；
(2)直线和平面只有______________，称这条直线与这个平面相交．
(3)直线和平面____________，称这条直线和这个平面平行．无数个公共点 一个公共点 没有公共点
3．空间平面与平面的位置关系
(1)两个平面______________，这样的两个平面叫作平行平面；
(2)两个平面不重合，但__________，这样的两个平面叫作相交平面．
没有公共点 有公共点
4．空间图形的公理
公理1 过______________________，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)．
①_________________________可以确定一个平面．
②两条________直线可以确定一个平面．
③两条________直线可以确定一个平面．
公理2 如果一条直线上的__________________，那么这条直线在这个平面内(即直线在平面内)．
不在一条直线上的三点 一条直线和这条直线外一点 相交 平行 两点在一个平面内
公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有_______________________．
公理4
平行于同一条直线的两条直线________．
定理
空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角_____________．一条过该点的公共直线 平行 相等或互补 1．线段AB在平面α内，则直线AB与平面α的位置关系是( )
A．AB?α
B．AB∈α
C．由线段AB的长短而定
D．以上都不对
[答案] A
[解析] 由公理1可知选项A正确．
2．在空间，下列命题不正确的是( )
A．若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点
B．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线
C．若A既在平面α内，又在平面β内，则α与β相交于b，且A在b上
D．任意两条直线不能确定一个平面
[答案] D
[解析] 由公理3得，两个不重合的平面有一个公共点，则它们相交于过这一点的一条直线，因此有无数个公共点；若两个平面重合，亦知也有无数个公共点，A正确；如果任意三点共线，则四点共面，因此B正确；C满足公理3，正确；两条平行或相交直线，可以确定一个平面，D是错误的．3．平面α∩平面β＝l，点A∈α，点B∈α，C∈β且C?l，又AB∩l＝R，如图所示，过A、B、C三点确定的平面为γ，则β∩γ是( )
A．直线AC B．直线BC
C．直线CR D．以上均错
[答案] C4．如图所示，请把下面的叙述用符号语言表示出来：
(1)点A、B在直线a上：________；
(2)直线a在平面α内：__________，点C在平面α内：________；
(3)点D不在平面α内：__________，直线b不在平面α内：________.[答案] ②
[解析] 由已知得a与α相交，因此①③④错误，②正确．空间点、线、面的位置关系①点M在直线AC上，点B在直线A1B1外；
②直线AC与BD相交，直线AC与A1D1相交；
③平面AA1B1B与平面D1DCC1平行；
④直线AC与平面A1B1C1D1异面；
⑤直线BC与A1B1异面．
A．①③④ B．①②⑤
C．①③⑤ D．②③④⑤
[思路分析] 根据图形直接作出判断．
[答案] C
[规范解答] ①中，点M是直线AC与BD的交点，点M在直线AC上，点B显然在直线A1B1外，正确；②中，直线AC与A1D1异面，错误；③中，两平面没有公共点，互相平行，正确；④中，直线与平面的位置关系中没有“异面”，直线AC与平面A1B1C1D1平行，错误；⑤正确．选C.
[规律总结] 本题主要考查长方体模型中点、线、面之间的位置关系，做题时，不要主观臆断，要认真观察模型，体会其空间关系．已知正四棱锥P－ABCD如图所示，试判断下列点、线、面之间的位置关系：
(1)点P与平面ABCD；
(2)直线PC与AB，直线AB与CD；
(3)平面PCD与平面PCB，平面PAB与平面PCD.
[解析] (1)点P在平面ABCD外．
(2)直线PC与AB异面，直线AB与CD平行．
(3)平面PCD与平面PCB有公共点P，所以两平面相交，平面PAB与平面PCD有公共点P，所以两平面也是相交的．点共线问题
[规律总结] 证明多点共线的方法是利用公理3，证明这些点都是两个平面的公共点，则必在这两个平面的交线上，方法二的思想是先由点P、R确定一条直线，证Q点也在这条直线上，这也是证明共点、共线、共面问题的常用方法．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于Q，求证：B、Q、D1三点共线．多线共面问题 [思路分析] 先证明其中两条直线确定一个平面α，然后证明其他直线也在平面α内．
[规律总结] 1.证明线共面问题往往先利用条件确定一个平面．再证明其余线都在此平面内，也可以证明两个平面重合．
2．公理1及其3个推论都是确定平面的依据，公理2是确定线在已确定的面上的依据．一条直线与三条平行直线都相交．求证：这四条直线共面．
已知：如图所示，a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.
求证：直线a，b，c，l共面．多线共点问题 [思路分析] 直线过同一点，我们可以这样来思考：先证明两线相交，得一交点，然后证明该点在其余的直线上(或其余的直线经过该点)．等角定理的应用 [规范解答] 在A1B1上选取中点K，易知四边形MKBC为平行四边形．
∴CM∥BK.
又∵A1K∥BQ且A1K＝BQ，
∴四边形A1KBQ为平行四边形．∴A1Q∥BK.
由公理4有A1Q∥MC，同理可证A1P∥CN.
由于∠PA1Q与∠MCN对应边分别平行，且方向均相反，
∴∠PA1Q＝∠MCN.
[规律总结] 证明角相等问题，该定理是常用方法．另外，通过三角形的相似和全等来证明也可．如本例可以通过证明△A1PQ≌△CNM来说明角相等．已知E，E1是正方体AC1的棱AD，A1D1的中点，求证：∠C1E1B1＝∠CEB.
[解析] 如图所示，连接EE1，
∵E，E1分别为AD，A1D1的中点，
∴A1E1綊AE，
∴四边形A1E1EA为平行四边形，
∴A1A綊E1E.
又∵A1A綊B1B，由公理4可得E1E綊B1B，
∴四边形E1EBB1为平行四边形，
∴E1B1∥EB，
同理E1C1∥EC.
又∠C1E1B1与∠CEB方向相同，
∴∠C1E1B1＝∠CEB.
[错解] A、B、C、D、E五点共面．
[辨析] 共面问题的证明，常分两步：(1)确定平面；(2)证明元素在确定的平面内，必须注意到平面是确定的，上述错解中，由于没有注意到B、C、D三点不一定确定平面，即默认B、C、D三点一定不共线，因而出错．[正解] (1)当B、C、D三点不共线时，由公理2可知B、C、D三点确定一个平面α，由题设知A∈α，E∈α，故A、B、C、D、E五点共面于α；
(2)当B、C、D三点共线时，设共线于l，且A∈l，E∈l，则A、B、C、D、E五点共面；若A、E有且只有一点在l上，则A、B、C、D、E五点共面；若A、E都不在l上，则A、B、C、D、E五点不一定共面．
[规律总结] 证点共面常用两种方法：一是三点确定平面，证其余点也在平面内，二是确定几个平面，再证这几个平面重合．第一章 §5 5.1
一、选择题
1．下列命题中正确的是( )
A．平行于同一平面的两条直线平行
B．同时与两条异面直线平行的平面有无数多个
C．如果一条直线上有两点在一个平面外，则这条直线与这个平面平行
D．直线l与平面α不相交，则l∥α
[答案] B
[解析] 平行于同一平面的两条直线可能相交、平行或异面，所以A不正确；一条直线上有两点在一个平面外，则直线与平面相交或平行，所以C不正确；直线与平面不相交，意味着直线与平面平行或在平面内，D不正确．
2．设AB，BC，CD是不在同一平面内的三条线段，则经过它们的中点的平面和直线AC的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．AC在此平面内
[答案] A
[解析] 如图所示，E，F，G分别为AB，BC，CD的中点，不难得出EF∥AC.显然EF?平面EFG，AC?平面EFG，所以有AC∥平面EFG.
3．下列命题中正确的是( )
A．若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α
B．若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行
C．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行
D．若直线l与平面α平行，则l与平面α没有公共点
[答案] D
[解析] A项中，若l∩α＝A时，除A点所有的点均不在α内；B项中，l∥α时，α中有无数条直线与l异面；C项中，另一条直线可能在平面内．
4．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．以上都不对
[答案] C
[解析] 如下图中的甲、乙分别为两个平面平行、相交的情形，∴应选C.
5．α、 β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定α∥β的是( )
A．α、 β都平行于直线l、m
B．α内有三个不共线的点到β的距离相等
C．l、m是α内的两条直线，且l∥β，m∥β
D．l、m是两条异面直线且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β
[答案] D
[解析] A、B、C中都有可能使两个平面相交；D中l∥α，m∥α，可在α内取一点，过该点作l、m的平行线l′、m′，则l′、m′在平面α内且相交，又易知l′∥β，m′∥β，∴α∥β.
6．点N、M是正方体ABCD－A1B1C1D1的两棱A1A与A1B1的中点，P是正方形ABCD的中心，则MN与平面PCB1的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．MN?平面PCB1 D．以上三种情况都有可能
[答案] A
[解析] 如图所示，∵M、N分别是A1B1、A1A的中点，
∴MN∥AB1.取B1C的中点G，又P是AC的中点，
∴PG∥AB1，∴MN∥PG.
又MN?平面PCB1，PG?平面PCB1，
∴MN∥平面PCB1.
二、填空题
7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面AA1C1C和平面BB1D1D的交线与棱柱CC1的位置关系是________，截面BA1C1和直线AC的位置关系是________．
[答案] 平行 平行
[解析] ∵B1B∥C1C，
∴直线BB1∥平面AA1C1C.
∵B1B?平面BB1D1D，∴B1B平行于两平面的交线．
由公理4知，交线平行于C1C.
由AC∥A1C1，AC?平面BA1C1，A1C1?平面BA1C1，
∴AC∥平面BA1C1.
8．如图，长方体ABCD－A′B′C′D′的六个面中，
(1)与平面AD′平行的平面是________；
(2)与直线AB′平行的平面是________．
[答案] (1)平面BC′ (2)平面DC′
三、解答题
9．如图所示，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM＝FN，求证：MN∥平面BCE.
[解析] 证法一：作MP∥AB交BC于P，NQ∥AB交BE于Q.
∴MP∥NQ，∵AM＝FN，
∴MP＝MC＝BN＝NQ.
∴MP綊NQ，则四边形MNQP为平行四边形，
∴MN∥PQ.
∵MN?平面BCE，PQ?平面BCE，
∴MN∥平面BCE.
证法二：如图所示，连接AN并延长，交BE的延长线于G，连接CG，
∵AF∥BG，
∴＝＝，
∴MN∥CG，
∵MN?平面BCE，CG?平面BCE，
∴MN∥平面BCE.
一、选择题
1．对于不重合的两直线m、n和平面α，下列说法中正确的是( )
A．如果m?α，n?α，m，n是异面直线，那么n∥α
B．如果m?α，n∥α，m，n共面，那么m∥n
C．如果m?α，n?α，m，n是异面直线，那么n与α相交
D．如果m∥α，n∥α，m，n共面，那么m∥n
[答案] B
[解析] 如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AB?平面AC，直线CC1?平面AC，直线AB和直线CC1是异面直线，但是直线CC1∩平面AC＝C，排除选项A；直线AB?平面AC，直线B1C1?平面AC，直线AB和直线B1C1是异面直线，但是直线B1C1∥平面AC，排除选项C；直线A1B1∥平面AC，直线B1C1∥平面AC，直线A1B1和直线B1C1共面，但是直线A1B1∩直线B1C1＝B1，排除选项D.
2．若不在同一直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，且A?α，则( )
A．α∥平面ABC
B．△ABC中至少有一边平行于α
C．△ABC中至多有两边平行于α
D．△ABC中只可能有一边与α相交
[答案] B
[解析] 分两种情况讨论：①A、B、C三点在α的同侧时，面ABC∥α；②A、B、C三点在α的异侧时，同侧的两点确定的直线平行于α.
二、填空题
3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过A，C，E的平面的位置关系是________．
[答案] 平行
[解析] 如图，连接AC交BD于O.
则O为BD的中点．又E为DD1的中点，
∴OE为△BDD1的中位线，∴OE∥BD1.
又BD1?平面ACE，OE?平面ACE，∴BD1∥平面ACE.
4．已知a、b、c是三条不重合的直线，α、β、γ是三个不重合的平面．
①a∥c，b∥c?a∥b；②a∥γ，b∥γ?a∥b；
③a∥c，α∥c?a∥α；④a∥γ，α∥γ?a∥α；
⑤a?α，b?α，a∥b?a∥α.
其中正确的命题号是________．
[答案] ①⑤
[解析] 由公理4知①正确；对于②，因平行于同一个平面的两条直线不仅仅是平行，也可以相交，所以②不对；对于③当a?α内时，我们不能说a∥α，所以错误；对于④当a∥γ，α∥γ时a∥α或a?α，所以④错误；对于⑤，由直线与平面平行的判定定理知成立．
三、解答题
5．如图，正方形ABCD和四边形ACEF，EF∥AC，AB＝，EF＝1.求证：AF∥平面BDE.
[解析] 设AC与BD交于点G.
因为EF∥AC，且EF＝1，AG＝AC＝1.
所以四边形AGEF为平行四边形．
所以AF∥EG.
因为EG?平面BDE，AF?平面BDE，
所以AF∥平面BDE.
6．如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，E、F、G分别为AA1、AB、AC的中点，M、N、P分别为A1C1、A1B1、C1C的中点．
求证：平面EFG∥平面MNP.
[解析] 连接A1C，在四边形ACC1A1中，
E、G分别为AA1，AC的中点，所以EG∥A1C.
同理MP∥A1C，所以EG∥MP.
又因为EG?平面EFG，MP?平面EFG，
所以MP∥平面EFG.
因为M、N分别为A1C1、A1B1的中点，
所以MN∥B1C1.同理可得，FG∥BC.
又因为BC∥B1C1，所以MN∥FG.
而MN?平面EFG，FG?平面EFG，
所以MN∥平面EFG.
又因为MN∩MP＝M，所以平面EFG∥平面MNP.
7．如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长是2，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的点，EC＝2FB＝2，则当点M在什么位置时，MB∥平面AEF？试给出证明．
[解析] 当点M为AC的中点时，MB∥平面AEF.
证明如下：因为M为AC的中点，取AE的中点D，连接MD，DF，则MD为△AEC的中位线，所以MD∥EC且MD＝EC，
而FB∥EC且FB＝EC，
所以MD∥FB且MD＝FB，所以四边形DMBF为平行四边形，所以MB∥DF.而MB?平面AEF，DF?平面AEF，所以MB∥平面AEF.
课件42张PPT。立体几何初步第一章§5 平行关系
5．1 平行关系的判定 第一章日前有资深科学家说，高清晰度照片显示的迹象表明：火星上可能存在沉积岩．这可能是人类关于火星的最重要的发现．科学家说，“现在应该在这些沉积岩上寻找生命存在过的痕迹”．
众所周知，沉积岩是地面的岩石在外力作用下，经过风化、搬运、沉积固结等沉积而成，其主要特征是：层理构造显著，即岩石是由一层一层近似平行的岩面叠加而成，外观上就可发现这些平行的平面，因此沉积岩中常含古代生物遗迹，即化石．所以科学家希望据此可以探讨火星35亿年的生命史．1．直线与平面的位置关系
直线a在平面α内(记作________)，
直线a与平面α相交(记作__________)，
直线a与平面α平行(记作__________)．
α ?α
a∩α＝A
a∥α 2．直线与平面平行的判定定理
一条直线平行 两条相交直线 [答案] A
[解析] 由直线与平面平行的判定定理知A正确．
2．直线l在平面α外指的是( )
A．l∩α＝A
B．l∩α＝?
C．l∩α＝A或l∩α＝?
D．l∩α有无数个公共点
[答案] C
[解析] 直线与平面平行或相交统称为直线在平面外．[答案] D
[解析] 选项A有可能平行，也有可能相交；选项B、C，平面α与平面β可能相交；选项D正确．4．如图，长方体ABCD－A′B′C′D′的六个面都是矩形，则：
(1)与直线AB平行的平面是__________________；
(2)与直线AA′平行的平面是____________________；
(3)与直线AD平行的平面是__________________．
[答案] (1)平面A′C′，平面DC′ (2)平面B′C，平面DC′ (3)平面A′C′，平面BC′
[解析] 由于长方体中存在平行的棱，所以由线面平行的判定定理可求． 5．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，动点M在四边形EFGH边界及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.
[答案] M∈FH
[解析] ∵FH∥D1D，HN∥BD，
∴平面FHN∥平面B1BDD1，
又MN?平面FHN，
∴MN与平面B1BDD1无公共点．
∴MN∥平面B1BDD1.对平行关系的理解 [思路分析] 按照线面平行、面面平行的定义及判定定理对每个命题进行分析判断，得出其是否正确．
[规范解答] (1)不正确．当直线a和平面α不相交时，可能有a?α，不一定有a∥α；
(2)不正确．当直线b∥a时，如果b?α，则有b∥α，如果b?α，则没有b∥α；
(3)不正确．当a∥α时，经过直线a的平面β可能与α平行，也可能与α相交；
(4)正确．由线面平行的判定定理，知a∥β，b∥β，且a，b?α，a与b相交，所以必有α∥β.
[规律总结] 1.要全面、深刻地理解线面平行、面面平行的判定定理，运用这两个定理证明问题或判定分析结论是否正确时，一定要紧扣两个定理的条件，忽视条件，很容易导致判断错误．
2．在判断一些命题的真假时，要善于列举反例来否定一个命题，要充分考虑线线关系、线面关系、面面关系中的各种情形，以对一个命题的真假作出合理的判断．
其中真命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] A
[解析] ①中直线l可能在平面α内；②中直线a可能与平面α相交；③中直线a可能在平面α内；④正确，故选A.直线与平面平行的判定
[思路分析] 要证线面平行，可以将其转化为线线平行，即在平面内找到一条平行于EF的直线，又E，F分别为AB，SC的中点，就容易找到直线的平行关系，故可以考虑作辅助线，构成平行四边形，从而找到平行于EF并且在平面SAD内的直线．
[规律总结] 线面平行的判定方法：
(1)利用定义：证线面无公共点．
(2)利用线面平行的判定定理，将线面平行转化为线线平行．巧妙地作出辅助线，构造线线平行是解决问题的关键．
如下图，三棱柱A1B1C1—ABC中，M，N分别是BC和A1B1的中点，求证：MN∥平面AA1C1.面面平行的判定 [思路分析] 要证面面平行，依据平面与平面平行的判定定理，只需要证明一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面即可．
[规范解答] 证法一：如图所示，连接MF.∵M，F分别是A1B1，C1D1的中点，且四边形A1B1C1D1为正方形，
∴MF∥A1D1且MF＝A1D1.
又∵A1D1＝AD且AD∥A1D1，
∴MF＝AD，MF∥AD.
∴四边形AMFD是平行四边形．∴AM∥DF.
又DF?平面EFDB，AM?平面EFDB，
∴AM∥平面EFDB.
同理可证AN∥平面EFDB.
又AN，AM?平面AMN，AN∩AM＝A，
∴平面AMN∥平面EFDB.证法二：如图，连接A1C1、AC，B1D1，设A1C1分别交MN、EF于点P、Q，AC交BD于点O，连接AP，OQ，在矩形A1ACC1中，易证AP∥OQ，从而AP∥平面EFDB.又MN∥B1D1，EF∥B1D1，得EF∥MN，所以MN∥平面EFDB，而AP∩MN＝P，所以平面AMN∥平面EFDB.
[规律总结] 面面平行的判定方法：
(1)利用定义，证面面无公共点．
(2)利用面面平行的判定定理转化为证明线面平行，即证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面．[分析] 转化为证明平面DEF内的两条相交直线EF和DE平行于平面ABC.[规律总结] 熟练掌握线线平行、线面平行、面面平行的判定方法是解决这类小题的关键．第一章 §5 5.2
一、选择题
1． 有四个命题：
①若a?α，b?β，a∥b，则α∥β
②c为直线，α，β为平面，若c∥α，c∥β，则α∥β
③若a?α，b?β，α∥β，则a、b无交点
④若a?α，α∥β，则a∥β
其中正确命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] C
[解析] ①②中的α、β可能平行也可能相交；③④正确．
2．在空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H、G分别为BC、CD的中点，则( )
A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形
B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形
C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形
D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形
[答案] B
[解析] 因EF綊BD，HG綊BD，故四边形EFGH为梯形．
3．过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a，b，c，…，则这些交线的位置关系为( )
A．都平行 B．都相交且一定交于同一点
C．都相交但不一定交于同一点 D．都平行或交于同一点
[答案] D
[解析] ∵l?α，∴l∥α或l∩α＝A，
若l∥α，则由线面平行性质定理可知，
l∥a，l∥b，l∥c，…，∴由公理可知，a∥b∥c…；
若l∩α＝A，则A∈a，A∈b，A∈c，…，a∩b∩c＝A.
4．设a，b表示直线，α，β，γ表示平面，则下列命题中不正确的是( )
A．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b
B．a∥c，b∥α，a?α?a∥α
C．α∥β，β∥γ?α∥γ
D．α∥β，a∥α?a∥β
[答案] D
[解析] 当α∥β且a∥α时，可能有a∥β，也可能有a?β，因此选项D中的命题不正确．
5．如图所示，已知四棱柱ABCD－A′B′C′D′，过棱A′B′的平面α与底面AC交于EF，则直线AB与直线EF的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．异面 D．不确定
[答案] B
[解析] ∵A′B′∥AB，
∴A′B′∥平面AC.
又A′B′?平面α，α∩平面AC＝EF，∴A′B′∥EF，
∴AB∥EF.故选B.
6．下列说法中正确的个数有( )
①两平面平行，夹在两平面间的平行线段相等；
②两平面平行，夹在两平面间的相等的线段平行；
③如果一条直线和两个平行平面中的一个平行，那么它和另一个平面也平行
④三个平行平面把两条直线截得的线段对应成比例
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案] B
[解析] 如图知AC＝BD，但AC与BD不平行，②不正确；若α∥β，a∥α，则a∥β或a?β，③不正确．①④正确．
二、填空题
7．过正方体ABCD－A1B1C1D1的三个顶点A1、C1、B的平面与底面ABCD所在平面的交线为
l，由l与A1C1的位置关系是________．
[答案] 平行
[解析] 因为过A1、C1、B的平面与底面A1B1C1D1的交线为A1C1，与底面ABCD的交线为l，又正方体的两底面互相平行，则由两个平面平行的性质定理知l∥A1C1.
8．如图，A是△BCD所在平面外一点，，M是△ABC的重心，N是△ADC的中线AF上的点．并且MN∥平面BCD.当MN＝时，BD＝________.
[答案] 4
[解析] 如图，取E为BC的中点，连接AE、EF，则M在AE上，并且AM∶AE＝2∶3.
∵MN∥平面BCD，∴MN∥EF.
∴MN∶EF＝2∶3.
而EF＝BD，∴BD＝3MN＝4.
三、解答题
9．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E在AB1上，F在BD上，且B1E＝BF.
求证：EF∥平面BB1C1C.
[解析] 证法一：连接AF并延长交BC于M，连接B1M.
∵AD∥BC，∴△AFD∽△MFB，
∴＝.
又∵BD＝B1A，B1E＝BF，
∴DF＝AE.
∴＝.∴EF∥B1M，
又B1M?平面BB1C1C，EF?平面BB1C1C，
∴EF∥平面BB1C1C.
证法二：作FH∥AD交AB于H，连接HE.
∵AD∥BC，∴FH∥BC，BC?平面BB1C1C，
FH?平面BB1C1C，∴FH∥平面BB1C1C，
由FH∥AD可得＝.
又BF＝B1E，BD＝AB1∴＝，∴EH∥B1B，
B1B?平面BB1C1C，EH?平面BB1C1C，
∴EH∥平面BB1C1C，EH∩FH＝H，
∴平面FHE∥平面BB1C1C，EF?平面FHE，
∴EF∥平面BB1C1C.
一、选择题
1．已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面，下列推理正确的是( )
A．α∩β＝a，b?α?a∥b
B．α∩β＝a，a∥b?b∥α且b∥β
C．a∥β，b∥β，a?α，b?α?α∥β
D．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b
[答案] D
[解析] A中α∩β＝a，b?α，则a，b可能平行也可能相交；
B中α∩β＝a，a∥b，则可能b∥α且b∥β，也可能b在平面α或β内；
C中a∥β，b∥β，a?α，b?α，根据面面平行的判定定理，需再加上条件a∩b＝A，才能得出α∥β.
D为面面平行性质定理的符号语言．
2．如图，若Ω是长方体ABCD—A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是( )
A．EH∥FG
B．四边形EFGH是矩形
C．Ω是棱柱
D．Ω是棱台
[答案] D
[解析] ∵EH∥A1D1，∴EH∥B1C1，∴B1C1∥面EFGH，B1C1∥FG，∴Ω是五棱柱，故选D.
二、填空题
3．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．
[分析] 本题主要考查了立体几何中线面平行的性质定理、三角形中位线定理．
[答案]
[解析] 由于在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，∴AC＝2.又E为AD中点，EF∥平面AB1C，EF?平面ADC，平面ADC∩平面AB1C＝AC，∴EF∥AC，∴F为DC中点，∴EF＝AC＝.
4．已知m、n是不同的直线，α、β是不重合的平面，给出下列结论：①若α∥β，m?α，n?β，则m∥n；②若m、n?α，m∥β，n∥β，则α∥β；③m、n是两条异面直线，若m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β.
上面的结论中，正确的是________(写出所有正确结论的序号)．
[答案] ③
[解析] ①m、n两条直线可能异面；②若m，n两条直线平行，则平面α，β可能相交；③正确．
三、解答题
5．如图所示，棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，设D是A1C1上的一点，且A1B∥平面B1CD，求A1D∶DC1的值．
[证明] 如图所示，设BC1交B1C于点E，连接DE，则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线，因为A1B∥平面B1CD，所以A1B∥DE.
又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点，即A1D∶DC1＝1.
6．如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC上一点，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点．
求证：平面A1BD1∥平面AC1D.
[证明] 如图，连接A1C交AC1于点E，
∵四边形A1ACC1是平行四边形，
∴E是A1C的中点．连接ED，
∵A1B∥平面AC1D，平面A1BC∩平面AC1D＝ED，
∴A1B∥ED.
∵E是A1C的中点，
∴D是BC的中点．
又∵D1是B1C1的中点，
∴BD1∥C1D，A1D1∥AD，
∴BD1∥平面AC1D，A1D1∥平面AC1D.
又A1D1∩BD1＝D1，
∴平面A1BD1∥平面AC1D.
7．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中点．
(1)若E为A1C1的中点，求证：DE∥平面ABB1A1；
(2)若E为A1C1上一点，且A1B∥平面B1DE，求的值．
[解析] (1)证明：取B1C1的中点G，连接EG，GD，
则EG∥A1B1，DG∥BB1，
又EG∩DG＝G，
所以平面DEG∥平面ABB1A1，
又DE?平面DEG，
所以DE∥平面ABB1A1.
(2)解：设B1D交BC1于点F，则平面A1BC1∩平面B1DE＝EF.
因为A1B∥平面B1DE，A1B?平面A1BC1，
所以A1B∥EF.
所以＝.
又因为＝＝，所以＝.
课件43张PPT。立体几何初步第一章§5 平行关系
5．2 平行关系的性质 第一章躺在轨道上运行的行星——天王星
天王星是一颗远日行星，按照距离太阳由近及远的次序是第七颗．在西方，天王星被称为“乌拉诺斯”，中文中，人们就将这个星名译做“天王星”．
在太阳系中，所有的行星基本上都遵循自转轴与公转轨道面接近垂直的运动，只有天王星例外，它的自转轴几乎与公转轨道面平行，也就是说天王星的自转轴所在的直线与公转轨道面(黄道面)呈现线面平行的位置关系，因此，它差不多是“躺”着绕太阳运动的．于是有些人把天王星称做“一个颠倒的行星世界”．1．直线与平面平行的性质定理
(1)定理内容
如果一条直线与一个平面______，那么__________的任意一个平面与已知平面的________与该直线平行．平行 过该直线 交线 ∥
? 2．平面与平面平行的性质定理
(1)定理内容
如果两个________平面同时与第三个平面相交，那么它们的________平行．平行 交线 ∥ a b 1．若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是( )
A．α内的所有直线都与直线a异面
B．α内不存在与a平行的直线
C．α内的直线都与a相交
D．直线a与平面α有公共点
[答案] D
[解析] 直线与平面不平行，则直线与平面相交或直线在平面内，所以A、B、C都错．[答案] B
3．一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是( )
A．异面 B．相交
C．平行 D．不能确定
[答案] C
[解析] 如图所示，设α∩β＝l，a∥α，a∥β，过直线a作与α，β都相交的平面γ.
记α∩γ＝b，β∩γ＝c，
则a∥b，且a∥c，
所以b∥c，b∥β.
又b?α，α∩β＝l，
所以b∥l，a∥l.[答案] 平行直线与平面平行的性质 [思路分析] 欲证线线平行，往往先证线面平行，再由线面平行的性质定理证得线线平行．如图，E，H分别是三棱锥A－BCD的棱AB，AD的中点，平面α过EH分别交BC，CD于点F，G.求证：EH∥FG.平面与平面平行的性质
[思路分析] 由PB与PD相交于点P可知PB，PD确定一个平面，结合α∥β，可使用面面平行的性质定理推出线线平行关系，这样就转化为平面问题．
[规范解答] (1)证明：∵PB∩PD＝P，
∴直线PB和PD确定一个平面γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.
又α∥β，∴AC∥BD.
[规律总结] 利用平面平行的性质定理证明线线平行的基本步骤：
(1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条；
(2)判定这两个平面平行；
(3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上；
(4)由定理得出结论．设平面α∥平面β，直线a?α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中( )
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线
D．存在唯一一条与a平行的直线
[答案] D
[解析] 依题意，由点B和直线a可确定唯一的平面γ，平面γ与平面β的交线设为c，则必有c∥a，且这样的直线c是唯一的．
用面面平行证线面平行 [思路分析] 解题的关键是构造过MN与平面OCD平行的平面，根据题目条件中M为OA的中点，N为BC的中点，可利用三角形中位线的性质构造平面．
[规律总结] 因为两个平行平面没有公共点，所以当两个平面平行时，其中一个平面内的任何一条直线必与另一个平面无公共点，所以可得线面平行关系．如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是梯形，AB∥CD，AD⊥DC，CD＝2，DD1＝AB＝1，P，Q分别是CC1，C1D1的中点．
求证：AC∥平面BPQ.[错解] 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，平面A1ADD1∥平面B1BCC1，由两平行平面与第三平面相交得交线平行，故D1E∥FB，同理可证D1F∥EB，故四边形EBFD1为平行四边形．
[辨析] 错解主要错在盲目地在立体几何证明中套用平面几何定理．立体几何问题只有在化归为平面几何问题后才能直接使用平面几何知识解题．正确的思路应分为两步，第一步将立体几何问题化归为平面几何问题，即先证明EBFD1为平面四边形(四点共面)，第二步再证明EBFD1为平行四边形，或者用平行四边形的充要条件证明．第一章 §6 6.1
一、选择题
1．给出以下四个命题：
①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；
③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；
④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
其中真命题的个数是( )
A．4 B．3
C．2 D．1
[答案] B
[解析] ①②④显然正确，③两条直线可能相交、平行或异面．
2．在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是( )
A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC
[答案] C
[解析] 如图，∵BC∥DF，∴BC∥平面PDF.
∴A正确．
由题设知BC⊥PE，BC⊥AE，
∴BC⊥平面PAE.
∴DF⊥平面PAE.
∴B正确．
可知平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE)．
∴D正确．
3．若l，m，n表示直线，α，β表示平面，下列命题正确的是( )
A．若l⊥m，m?α，则l⊥α
B．若l⊥m，l?α，m?β，则α⊥β
C．若l⊥m，l⊥n，m?α，n?α，则l⊥α
D．若l⊥β，l?α，则α⊥β
[答案] D
[解析] 选项A中，由于m不是平面 α的任一直线，不符合直线与平面垂直的定义，所以不正确；选项B用文字语言叙述为：如果分别在两个平面内的两条直线垂直，那么这两个平面垂直，很明显不正确；选项C中，由于直线m，n不一定是相交直线，所以不正确；选项D是平面与平面垂直的判定定理，所以正确．
4．已知直线m，n与平面α，β，γ，下列可能使α⊥β成立的条件是( )
A．α⊥γ，β⊥γ B．α∩β＝m，m⊥n，n?β
C．m∥α，m∥β D．m∥α，m⊥β
[答案] D
[解析] 选择适合条件的几何图形观察可得，A中α∥β或α与β相交，B中α，β相交，但不一定垂直，C中α∥β或α与β相交．
5．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1内运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P在( )
A．线段B1C上 B．线段BC1上
C．BB1中点与CC1中点的连线上 D．B1C1中点与BC中点的连线上
[答案] A
[解析] 易知BD1⊥平面AB1C，故P∈B1C.
6．如图，在三棱锥P－ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E，F，G分别是所在棱的中点，则下面结论中错误的是( )
A．平面EFG∥平面PBC
B．平面EFG⊥平面ABC
C．∠BPC是直线EF与直线PC所成的角
D．∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角
[答案] D
[解析] 由已知PC⊥BC，PC⊥AC，
又AC∩BC＝C，
∴PC⊥平面ABC.
又FG∥PC，
∴FG⊥平面ABC.
又FG?平面EFG，
∴平面EFG⊥平面ABC，
故B正确．
∵FG∥PC，GE∥BC，
∴平面EFG∥平面PBC.
故A正确．
由异面直线所成角的定义知C正确．故选D.
二、填空题
7．下列三个命题，其中正确命题的序号为________．
(1)平面α∥平面β，β⊥平面γ，则α⊥γ；
(2)平面α∥平面β，β∥平面γ，则α∥γ；
(3)平面α⊥平面β，平面γ⊥β，则α⊥γ.
[答案] (1)(2)
[解析] ∵β⊥γ，∴在γ内作直线a垂直于β与γ的交线，
∵α∥β，a⊥β，
∴a⊥α，又a?γ，∴γ⊥α，(1)正确；
由传递性，(2)正确；
而α⊥β，γ⊥β，α与γ相交或平行．
∴(3)不正确．
8．如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中：
(1)与PC垂直的直线有________；
(2)与AP垂直的直线有________．
[答案] (1)AB，AC，BC (2)BC
[解析] (1)因为PC⊥平面ABC，AB，AC，BC?平面ABC，所以与PC垂直的直线有AB，AC，BC.
(2)∠BCA＝90°，即BC⊥AC，又BC⊥PC，AC∩PC＝C，所以BC⊥平面PAC，PA?平面PAC.
所以BC⊥AP.
三、解答题
9．(2014·新课标Ⅰ文，19)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C.
(1)证明：B1C⊥AB；
(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱ABC－A1B1C1的高．
[解析] 思路分析：(1)根据菱形的性质及线面垂直可证第一问；(2)通过作辅助线先求出点O到面ABC的距离，尽而易求三棱锥的高．
证明：(1)连接BC1，则O为B1C与BC1的交点，因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1C⊥BC1.
又AO⊥平面BB1C1C，所以B1C⊥AO，故B1C⊥平面ABO.
由于AB?平面ABO，故B1C⊥AB，
(2)作OD⊥BC，垂足为D，连接AD，作OH⊥AD，垂足为H，
由于BC⊥AO，BC⊥OD，故BC⊥平面AOD，所以OH⊥BC，
又OH⊥AD，所以OH⊥平面ABC，
因为∠CBB1＝60°，所以△CBB1为等边三角形，又BC＝1，可得OD＝.
由于AC⊥AB1，所以OA＝B1C＝.
由OH·AD＝OD·OA，且AD＝＝，得OH＝.
又O为B1C的中点，所以点B1到平面ABC的距离为，故三棱柱ABC－A1B1C1的高为.
一、选择题
1．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在( )
A．直线AB上
B．直线BC上
C．直线AC上
D．△ABC内部
[答案] A
[解析] ∵BA⊥AC，BC1⊥AC，BA∩BC1＝B，
∴AC⊥平面ABC1，
∵AC?平面ABC，
∴平面ABC⊥平面ABC1，且交线是AB.
故平面ABC1上一点C1在底面ABC的射影H必在交线AB上．
2．如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°，M为AB中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么( )
A．PA＝PB>PC B．PA＝PBC．PA＝PB＝PC D．PA≠PB≠PC
[答案] C
[解析] ∵M是Rt△ABC斜边AB的中点，
∴MA＝MB＝MC.
又∵PM⊥平面ABC，
∴MA，MB，MC分别是PA，PB，PC在平面ABC上的射影．
∴PA＝PB＝PC，故选C.
二、填空题
3．已知平面α，β和直线m，给出下列条件
①m∥α；②m⊥α；③m?α；④α⊥β；⑤α∥β
(1)当满足条件________时，有m∥β；
(2)当满足条件________时，有m⊥β.
(填所有条件的序号)
[答案] ③⑤ ②⑤
[解析] 由线面平行、线面垂直的判定定理可得．
4．如图，平面ABC⊥平面BDC，∠BAC＝∠BDC＝90°，且AB＝AC＝a，则AD＝________.
[答案] a
[解析] 过A作AH⊥BC于H，
∵AB＝AC，∴H为BC中点，
故AH＝a，
连接DH，∵平面ABC⊥平面BCD，
∴AH⊥平面BCD，∴AH⊥HD，
又∠BDC＝90°，∴HD＝a，
∴AD＝
＝＝a.
三、解答题
5．在底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，点E是PD的中点．
(1)求证：PB∥平面AEC；
(2)求证：平面EAC⊥平面PAB.
[解析] (1)连接BD交AC于F，连接EF，在△DPB中，EF为中位线，∴EF∥PB.
又PB?平面EAC，EF?平面EAC，
∴PB∥平面AEC.
(2)∵PA⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PA⊥AC.又AB⊥AC，PA∩AB＝A，
∴AC⊥平面PAB.
又AC?平面EAC，∴平面EAC⊥平面PAB.
6．如图，S为直角三角形ABC所在平面外一点，∠ABC＝90°，且SA＝SB＝SC.
(1)求证：点S到斜边AC中点D的连线SD⊥平面ABC；
(2)若直角边BA＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
[证明] (1)取AB的中点E，连接DE，则DE∥BC，∴DE⊥AB.
又SA＝SB，E为AB的中点，
∴SE⊥AB.
又SE∩DE＝E，∴AB⊥平面SDE.
∴AB⊥SD.
又SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.
又AB∩AC＝A，
∴SD⊥平面ABC.
(2)若BA＝BC，则BD⊥AC.
又SD⊥平面ABC，∴SD⊥BD.
又∵SD∩AC＝D，∴BD⊥平面SAC.
7．在如图所示的四面体ABCD中，AB，BC，CD两两互相垂直，且BC＝CD＝1.
(1)求证：平面ACD⊥平面ABC；
(2)求二面角C－AB－D的大小．
[分析] (1)转化为证明CD⊥平面ABC；(2)∠CBD是二面角C－AB－D的平面角．
[解析] (1)证明：∵CD⊥AB，CD⊥BC，且AB?平面ABC，BC?平面ABC，AB∩BC＝B，
∴CD⊥平面ABC.
又∵CD?平面ACD，
∴平面ACD⊥平面ABC.
(2)解：∵AB⊥BC，AB⊥CD，且BC?平面BCD，CD?平面BCD，BC∩CD＝C，∴AB⊥平面BCD.
∴AB⊥BD.
∴∠CBD是二面角C－AB－D的平面角．
∵在Rt△BCD中，BC＝CD，∴∠CBD＝45°.
∴二面角C－AB－D的大小为45°.
课件41张PPT。立体几何初步第一章§6 垂直关系
6．1 垂直关系的判定 第一章英国发明家瓦特获得了蒸汽机专利后，从一个大学实验员一跃成为波士顿—瓦特公司的老板，还成为英国皇家学会的会员，因此引起了许多旧贵族的嫉妒和不满．据说，在一次皇家音乐会上，有个贵族嘲讽地对瓦特说：“乐队指挥手里拿的东西在物理学家眼里仅仅是根棒子而已．”瓦特回答道：“是的，那的确是根棒子，但是我可以用这样的3根棒子摆出12个直角，而你却不能做到．”那个贵族不服气地用3根指挥棒在桌上摆来摆去，可始终无法摆出12个直角．你能用3根棒子摆出12个直角吗？1．直线与平面垂直的定义
如果一条直线和一个平面内的________一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面________．
2．直线与平面垂直的判定定理
(1)定理内容：如果一条直线和一个平面内的两条________直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．
(2)符号表示为：若_____________________________，则l⊥α.任何 垂直相交 (3)图形表示：
(4)简记为：线线垂直?线面垂直
3．二面角及其平面角
(1)半平面的定义：一个平面内的__________，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半平面．
(2)二面角的定义：从一条直线出发的__________________图形，叫作二面角，这条直线叫作________________，这两个半平面叫作________________．
(3)二面角的记法：
以直线AB为棱、半平面α，β为面的二面角，记作二面角______________，也可记作________________．一条直线 两个半平面所组成的 二面角的棱 二面角的面 α—AB—β 2∠α—AB—β
(4)二面角的平面角：
以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别____________的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角．
(5)直二面角：平面角是______的二面角叫作直二面角．
作垂直于棱 直角 4．两个平面互相垂直
(1)两个平面互相垂直的定义：两个平面相交，如果所成的二面角是__________，就说这两个平面互相垂直．
(2)两个平面互相垂直的判定定理
①定理内容：如果一个平面________另一个平面的一条________，那么这两个平面互相垂直．直二面角 经过 垂线 ?
⊥ ③图形表示
④简记为：线面垂直?面面垂直．
特别提示：应用判定定理证明平面与平面垂直的关键是：在一个平面内找一条直线垂直于另一个平面．1．如果直线l与平面α不垂直，那么在平面α内( )
A．不存在与l垂直的直线
B．存在一条与l垂直的直线
C．存在无数条与l垂直的直线
D．任意一条都与l垂直
[答案] C
[解析] 设l′是与l垂直的直线，在平面α内的所有与l′平行的直线与l都垂直．2．下列结论正确的是( )
A．若直线a与平面M内两条直线垂直，则a⊥M
B．若直线a与平面M内的无数条直线垂直，则a⊥M
C．若直线a与平面M内的一个三角形两边垂直，则a⊥M
D．若直线a与平面M内的一平行四边形两边垂直，则a⊥M
[答案] C
[解析] A中漏掉相交两字，B中无数条不等价于任何一条，D中同样不能保证两边是相交．
3．(2014·浙江文，6)设m，n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面( )
A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α
B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α
C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α
D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α
[答案] C
4．在正方体A1B1C1D1－ABCD中，E、F分别是棱AB，BC的中点，O是AC、BD的交点，如图所示，则EF与平面BB1O的关系是________．
[答案] 垂直
[解析] EF与平面BB1O的关系，即EF与平面BB1D1D的关系．由已知可得EF⊥BD，EF⊥BB1，即可得EF⊥平面BB1D1D.
5．AB是圆O的直径，C是异于A、B的圆周上的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面，则△PAB、△PAC、△ABC、△PBC中共有________个直角三角形．
[答案] 4
[解析] 由PA垂直于⊙O所在平面，知PA⊥AC，PA⊥AB，又AB为⊙O的直径，∴AC⊥BC，
由PA⊥BC，AC⊥BC，∴BC⊥平面PAC，
∴BC⊥PC，∴三棱锥P－ABC的四个面均为直角三角形．直线与平面垂直的概念的理解
[思路分析] 利用直线与平面垂直的概念和判定定理解决．
[答案] C
[规范解答] 前面的四个命题是直接利用线面垂直的定义与判定定理，显然②④正确，①③错误；命题⑤说明：如果一个平面与两条平行线中的一条垂直必与另一条直线也垂直；命题⑥中直线m，n确定平面α时，直线m，n有相交与平行两种情况，当相交时得l⊥α，当平行时不一定得到l⊥α.若直线l与平面α内的两条直线都垂直，则l与α的位置关系是( )
A．平行 B．垂直
C．相交 D．无法确定
[答案] D
[解析] ∵只知道l垂直于α内的两条直线，而没有指出两条直线的关系，∴l与α的位置关系无法确定．线面垂直的判定[思路分析] 证线面垂直的关键是在平面内找到两条相交直线与已知直线垂直，而证线线垂直时，可根据线面垂直的定义．[规律总结] 1.利用直线和平面垂直的判定定理证明直线与平面垂直的步骤：
(1)在这个平面内找两条直线，证明它和这两条直线垂直；
(2)说明这个平面内的两直线是相交的直线；
(3)根据判定定理得出结论．
2．证明线面垂直时，需要先证线线垂直，而线线垂直关系的获得往往是先证得线面垂直，从而根据线面垂直的定义得出线线垂直，因此证明过程通常是反复利用线面垂直的定义及线面垂直判定定理的过程．已知四棱锥P－ABCD的底面是菱形，且∠ABC＝60°，PA＝PC＝2，PB＝PD.若O是AC与BD的交点，求证：PO⊥平面ABCD.
[解析] ∵PA＝PC，PD＝PB，且O是AC和BD的中点，∴PO⊥AC，PO⊥BD.又AC∩BD＝O，∴PO⊥平面ABCD.面面垂直的判定
[规律总结] 本题考查线面平行及面面垂直的证明．证明线面平行只需证明线与平面内的一条直线平行；证明面面垂直只需证明一个平面经过了另一个平面的垂线，同时要注意写明条件．如图所示，四边形ABCD是边长为a的菱形，∠A＝60°，PC⊥平面ABCD，E是PA的中点，求证：平面BDE⊥平面ABCD.[证明] 连接AC，设AC∩BD＝O，连接OE.
因为O为AC的中点，E为PA的中点，
所以EO是△PAC的中位线，EO∥PC.
因为PC⊥平面ABCD，
所以EO⊥平面ABCD.
又因为EO?平面BDE，
所以平面BDE⊥平面ABCD.简单的二面角问题[思路分析] 根据二面角平面角的定义作出．
[规范解答] (1)取BD的中点O，连接CO、C1O，则∠C1OC即为二面角C1－BD－C的平面角．
因为BD是二面角C1－BD－C的棱，ABCD－A1B1C1D1为正方体，O是底面正方形ABCD对角线BD的中点，所以CO⊥BD，又C1D＝C1B，所以C1O⊥BD.因此，∠C1OC即为二面角C1－BD－C的平面角．
(2)取BD的中点O，连接AO、CO，则∠AOC为二面角A－BD－C的平面角．
因为BD是二面角A－BD－C的棱，又AB＝AD，
所以AO⊥BD；BC＝CD，所以CO⊥BD.
因此，∠AOC为二面角A－BD－C的平面角．
[规律总结] 指出或作出二面角的平面角的关键是先找出两个半平面和二面角的棱，一般先观察所给图中是否有二面角的平面角，如果没有再作出来．(1)正方体AC1中，二面角B1－AD－B的平面角是( )
A．∠B1BA B．∠BAD
C．∠B1DB D．∠B1AB
(2)三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，则二面角P－AB－C的平面角是( )
A．∠PAC B．∠PCA
C．∠APC D．∠PAB
[答案] (1)D (2)A[错解] 如图所示，连接AO、BO、CO.O为△ABC的外心，所以OA＝OB＝OC.
又PA＝PB＝PC，PO为公共边，
所以△AOP≌△BOP≌△COP.
所以∠AOP＝∠BOP＝∠COP＝90°，
于是由PO⊥OA、PO⊥OB推知PO⊥平面ABC.[辨析] 错解的原因是仅从三个三角形全等，就认为必有∠AOP＝∠BOP＝∠COP＝90°，这是没有根据的．三个三角形全等只能保证∠AOP＝∠BOP＝∠COP，没有根据说这些角都是直角．因此，上述证明是错误的．
[正解] 如图所示，取AB、BC的中点D、E，连接PD、PE、OD、OE.
因为PA＝PB＝PC，所以PD⊥AD，PE⊥BC.
又O为△ABC的外心，所以OD⊥AB，OE⊥BC.又因为PD∩OD＝D，PE∩OE＝E，所以AB⊥平面PDO，BC⊥平面PEO.于是有AB⊥PO，BC⊥PO，又因为AB∩BC＝B，所以PO⊥平面ABC.
[规律总结] 几何论证应按步骤一步步证明，似是而非，推理不严密都是不合理的．第一章 §6 6.2
一、选择题
1．直线l⊥平面α，直线m?α，则l，m的位置关系是( )
A．相交 B．异面
C．平行 D．垂直
[答案] D
[解析] 由于l⊥平面α，m?α，所以l⊥m，所以D正确．
2．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是( )
A．α⊥β，且m?α B．m∥n，且n⊥β
C．α⊥β，且m∥α D．m⊥n，且n∥β
[答案] B
[解析] ?m⊥β.
3．已知α，β为互不重合的平面，m，n为互不重合的直线，给出下列四个命题：
①若m⊥α，n?α，则m⊥n；
②若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β；
③若α⊥β，α∩β＝m，n?α，n⊥m，则n⊥β；
④若m⊥α，α⊥β，m∥n，则n∥β.
其中所有正确命题的序号是( )
A．①③ B．②④
C．①④ D．③④
[答案] A
[解析] ?m⊥n，故①正确；由面面垂直的性质可知③正确；对于②，α与β可能相交；对于④，直线n可能在β内，故②④错误．因此选A.
4．给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直
③垂直于同一条直线的两条直线相互平行
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直
其中为真命题的是( )
A．①和② B．②和③
C．③和④ D．②和④
[答案] D
[解析] 考查空间线面位置关系的判定与性质．
①错，②正确，③错，④正确．故选D.
5．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面．考查下列命题，其中正确的命题是( )
A．m⊥α，n?β，m⊥n?α⊥β B．α∥β，m⊥α，n∥β?m⊥n
C．α⊥β，m⊥α，n∥β?m⊥n D．α⊥β，α∩β＝m，n⊥m?n⊥β
[答案] B
[解析] A中可能α∥β；C中可能m∥n；D中可能n?β.
6．下列命题中错误的是( )
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
[答案] D
[解析] 本题主要考查空间中的线面、面面关系等基础知识．
对于A，α内存在直线平行于α与β的交线，故α内必存在直线平行于β，正确；对于B，由于α不垂直于β，α内一定不存在直线垂直于β，否则α⊥β，正确；对于C，由平面与平面垂直的性质知正确，故D不正确，选D.
二、填空题
7．空间四边形ABCD中，若AB＝BC＝CD＝DA＝AC＝BD，E、F、G、H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH的形状是________．
[答案] 正方形
[解析] ∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，故有EF綊AC，HG綊AC，
∴EF綊HG，则四边形EFGH为平行四边形，又所有边长均相等，
故EF＝FG＝AC＝BD，所以四边形为菱形，取BD中点O，连接AO、CO，
∴AO⊥BD，CO⊥BD?BD⊥面AOC，
∵AC⊥BD.
∴EF⊥FG，故四边形EFGH为正方形．
8．以下三个命题：①垂直于同一条直线的两条直线必平行②两个平面互相垂直，那么其中一个平面内的任一条直线都垂直于另一个平面③二面角的两个面必垂直于这个二面角的任一平面角所在的平面．
其中正确命题的序号是________(把你认为正确的都写上)．
[答案] ③
[解析] ①中，垂直于同一条直线的两条直线平行或相交或异面，∴①错；两个平面互相垂直，其中一个平面内垂直于交线的直线才垂直于另一个平面，∴②错．故正确的只有③.
三、解答题
9．正三棱锥A－BCD中，∠BAC＝30°，AB＝a，平行于AD、BC的截面EFGH分别交AB、BD、DC、CA于点E，F，G，H.
(1)判定四边形EFGH的形状，并说明理由；
(2)设P是棱AD上的点，当AP为何值时，平面PBC⊥平面EFGH？请给出说明．
[解析] (1)?AD∥HG，
同理EF∥AD，
∴HG∥EF，同理EH∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵A－BCD是正三棱锥，
∴A在底面上的正投影O是△BCD的中心，∴DO⊥BC，
∴AD⊥BC，∴HG⊥EH，四边形EFGH是矩形．
(2)当AP＝a时，平面PBC⊥平面EFGH，
在△ACP中∠CAP＝30°，AC＝a，∴AP⊥PC，
又AD⊥BC，
∴AD⊥平面BCP，
∵HG∥AD，
∴HG⊥平面BCP，
又HG?平面EFGH，∴平面BCP⊥平面EFGH.
一、选择题
1．如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，则以下结论不成立的是( )
A．EF与BB1垂直 B．EF与BD垂直
C．EF与CD异面 D．EF与A1C1异面
[答案] D
[解析] 连接B1C，则B1C与BC1相交于点F.
∵E，F分别是AB1，CB1的中点，
∴EF∥AC.
又BB1⊥AC，∴BB1⊥EF.
∴选项A成立．
又BD⊥AC，EF∥AC，
∴BD⊥EF.∴选项B成立．
观察图形易知选项C成立．
∵EF∥AC，A1C1∥AC，
∴EF∥A1C1.
故选项D不成立．
2．在三棱锥A－BCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，△BCD是锐角三角形，那么必有( )
A．平面ABD⊥平面ADC B．平面ABD⊥平面ABC
C．平面ADC⊥平面BCD D．平面ABC⊥平面BCD
[答案] C
[解析] 由AD⊥BC，BD⊥AD?AD⊥平面BCD，
又AD?平面ADC，
∴平面ADC⊥平面BCD.
二、填空题
3．下列三个命题在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成正确命题(其中l，m为直线，α，β为平面)，则此条件为________．
①?l∥α ②?l∥α ③?l∥α
[答案] l?α
[解析] 通过分析可以看出本题实际上考查的是线面平行的判定定理，缺少的条件是“l为平面α外的直线”．
4．α、β是两个不同的平面，m、n是α，β之外的两条不同直线，给出以下四个论断：
①m⊥n ②α⊥β ③n⊥β ④m⊥α
以其中三个论断作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________(填一个即可)．
[答案] ①③④?②或②③④?①
[解析] 假设①③④为条件，即m⊥n，n⊥β，m⊥α成立，过m上一点P作PB∥n，则PB⊥m，PB⊥β，设垂足为B.又设m⊥α，垂足为A，过PA、PB的平面与α、β的交线l交于C点．
∵l⊥PA，l⊥PB，∴l⊥平面PACB.
∴l⊥AC，l⊥BC.
∴∠ACB是二面角α－l－β的平面角．
由m⊥n，显然PA⊥PB，∴∠ACB＝90°.
∴α⊥β.由①③④?②成立．
反过来，如果②③④成立，与上面证法类似可得①成立．
三、解答题
5．已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝a，M，N分别是AB，PC的中点，求证：平面MND⊥平面PCD.
[解析] 取PD的中点E，连接AE，NE，如图．
∵M，N分别是AB，PC的中点，∴EN＝CD＝AB＝AM，且EN∥CD∥AB.
∴四边形AMNE是平行四边形．
∴MN∥AE.
∵在等腰直角三角形PAD中，AE是斜边上的中线，
∴AE⊥PD.
又CD⊥AD，CD⊥PA，
∴CD⊥平面PAD.
∴CD⊥AE.
又CD∩PD＝D，
∴AE⊥平面PCD.
又MN∥AE，∴MN⊥平面PCD.
又MN?平面MND，
∴平面MND⊥平面PCD.
6．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．
证明：(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE.
[证明] (1)在四棱锥P－ABCD中，
因为PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，故AP⊥CD.
因为AC⊥CD，PA∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC.
而AE?平面PAC，所以CD⊥AE.
(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.
因为E是PC的中点，所以AE⊥PC.
由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，
所以AE⊥平面PCD.
而PD?平面PCD，所以AE⊥PD.
因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AB.
又AB⊥AD，且AD∩PA＝A，所以AB⊥平面PAD.
又PD?平面PAD，所以AB⊥PD.
又因为AB∩AE＝A，所以PD⊥平面ABE.
7．如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA⊥PD，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD＝90°，AD＝3BC，O是AD上一点．
(1)若CD∥平面PBO，试指出点O的位置；
(2)求证：平面PAB⊥平面PCD.
[分析] (1)可以证明BO∥CD，则四边形BCDO是平行四边形，从而确定点O的位置；(2)转化为证明PD⊥平面PAB.
[解析] (1)解：∵CD∥平面PBO, CD?平面ABCD，且平面ABCD∩平面PBO＝BO，∴BO∥CD.
又BC∥AD，∴四边形BCDO为平行四边形，
则BC＝DO.而AD＝3BC，∴AD＝3OD，
即点O是靠近点D的，线段AD的一个三等分点．
(2)证明：∵侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB?底面ABCD，且AB⊥AD，
∴AB⊥平面PAD.又PD?平面PAD，
∴AB⊥PD.
又PA⊥PD，且PA?平面PAB，AB?平面PAB，
AB∩PA＝A，∴PD⊥平面PAB.
又PD?平面PCD，
∴平面PAB⊥平面PCD.
课件41张PPT。立体几何初步第一章§6 垂直关系
6．2 垂直关系的性质 第一章飞机是一种现代化的交通工具，但不知同学们是否注意到这样一个问题，几乎所有的固定翼飞机在尾翼的上方都安有一个与尾翼平面互相垂直的翼面，这个翼面叫飞机的垂直安定面．
飞机的垂直安定面的作用是使飞机在偏航方向上(即飞机左转或右转)具有静稳定性．当飞机受到气流的扰动，机头偏向左或右时，此时作用在垂直安定面上的气动力就会产生一个与偏转方向相反的力矩，使飞机恢复到原来的飞行姿态．今天我们就来学习这种互相垂直的平面之间的知识．1．直线与平面垂直的性质定理
(1)定理内容：如果两条直线同________于一个平面，那么这两条直线平行．
(2)符号表示：若a⊥α，b⊥α，则a∥b.
(3)图形表示：
(4)简记为：线面垂直?线线平行． 垂直
拓展：直线与平面垂直的性质还有：①一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于该平面内的所有直线；②两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；③垂直于同一直线的两个平面平行．
2．平面与平面垂直的性质定理
(1)定理内容：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内________于它们交线的直线________于另一个平面．
(2)符号表示：若α⊥β，α∩β＝b，a?α，a⊥b，则a⊥β.
(3)图形表示：
(4)简记为：面面垂直?线面垂直．垂直 垂直
拓展：平面与平面垂直还有如下性质：
两个平面垂直，则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．也就是说：只要在其中一个平面内通过一点作另一个平面的垂线，那么这条垂线必在这个平面内．1．下列说法正确的是( )
A．垂直于同一条直线的两条直线平行
B．垂直于同一条直线的两条直线垂直
C．垂直于同一个平面的两条直线平行
D．垂直于同一条直线的直线和平面平行
[答案] C
[解析] 在空间中，垂直于同一条直线的两条直线，可能平行，相交，也可能异面，所以选项A，B错；垂直于同一条直线的直线和平面的位置关系可以是直线在平面内或直线和平面平行，所以选项D错．
2．对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l( )
A．平行 B．相交
C．垂直 D．互为异面直线
[答案] C
[解析] 用排除法．
直线与平面有两种位置关系：在平面α内，在平面α外(相交、平行)：当直线l在平面α内时，不存在与直线l异面的直线，排除D；当直线l与平面α相交时，不存在与直线l平行的直线，排除A；当直线l与平面α平行时，不存在与直线l相交的直线，排除B.[答案] B
[解析] 对于A，当m∩α＝A时，m不平行于l，所以A错，对于B易证成立．对于C，m可以在α内．故C错．对于D，l和n还可能是相交直线或是异面直线．故D错．从而选B.4．已知直线m，n和平面α，β满足m⊥n，m⊥α，α⊥β，则n与α的关系是________．
5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E是DD1的中点，P是棱A1B1上一动点，则OP与AE的关系是________．
[答案] 垂直
[解析] 设AD的中点为F，则OP在AE所在平面ADD1A1内的射影为A1F.又∵A1F⊥AE，A1B1⊥AE，
∴AE⊥面A1B1OF.∴OP⊥AE.线面垂直性质的应用 [思路分析] 要证EF∥BD1，只需证明EF与BD1同垂直于某一平面即可，由条件可知这里当然选择平面AB1C.
[规范解答] 如图所示，
[规律总结] 1.线面垂直的性质定理本质上揭示了空间中平行与垂直关系的内在联系，提供了一种证明线线平行的方法．
2．证明线线平行的常用方法是：(1)平行线的定义；(2)平行公理；(3)线面平行的性质定理；(4)面面平行的性质定理；(5)线面垂直的性质定理．在实际证明时，要根据题意灵活选用．已知：α∩β＝l，E是α、β外一点，EA⊥α于点A，EB⊥β于点B，a?β，a⊥AB.求证：a∥l.
[证明] ∵EA⊥α，∴EA⊥l，
∵EB⊥β，∴EB⊥l，
又EA∩EB＝E，
∴l⊥面EAB.
同理可证：a⊥面EAB.
∴a∥l.面面垂直性质定理的应用 如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD.
(1)若G为AD边的中点，
求证：BG⊥平面PAD；
(2)求证：AD⊥PB.
[分析] 解答本题可先由面面垂直得线面垂直，再进一步得出线线垂直．[证明] (1)连接PG，BD，由题知△PAD为正三角形，G是AD的中点，
∴PG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD，
∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥BG.
又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，
∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.
又AD∩PG＝G，
∴BG⊥平面PAD.
(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD，PG∩BG＝G，
∴AD⊥平面PBG，∴AD⊥PB.性质的综合应用
[规律总结] 运用两个平面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内作交线的垂线，这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直．如图所示，平面α⊥平面β，在α与β的交线上取线段AB＝4cm，AC，BD分别在平面α和平面β内，它们都垂直于交线AB，并且AC＝3cm，BD＝12cm，求CD的长．
[分析] 利用已知三角形中的长度关系求解注意△ACB，△BCD都是Rt△.[说明] 本题综合运用了面面垂直的性质以及直角三角形中的勾股定理．要求CD的长，关键要构造三角形，将CD转化到三角形中去求解．另外，本题也可以通过连接AD求解．[错解] ∵SA⊥平面ABC，且平面SAB⊥平面SBC，∴BC⊥SB，∴BC⊥平面SAB.
又∵AB在平面SAB内，∴AB⊥BC.
[辨析] 错解没有理解面面垂直的定理，误认为两个平面垂直，则一个平面内的所有直线都垂直于另一个平面，显然不正确．知道面面垂直，要证线线垂直，可将证线线垂直转化为线面垂直．由已知面面垂直，则可在一个平面内作两个平面的交线的垂线，由面面垂直的性质定理可知该直线垂直于另一个平面．
[正解] 过点A作AE⊥SB，垂足为E，
∵平面SAB垂直于平面SBC且交于SB，
∴AE⊥平面SBC，
∴BC⊥AE.
由已知SA⊥平面ABC，
∴SA⊥BC，∴BC⊥平面SAB，
∴BC⊥AB.第一章 §7 7.1
一、选择题
1．轴截面为正方形的圆柱的侧面积与表面积的比是( )
A．1∶2 B．2∶3
C．1∶3 D．1∶4
[答案] B
[解析] 设圆柱的底面半径为r，母线长为l，依题意得l＝2r，而S侧面积＝2πrl，S表面积＝2πr2＋2πrl，∴S侧面积∶S表面积＝2πrl：(2πr2＋2πrl)＝2∶3，故选B.
2．侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a，则该三棱锥的表面积是( )
A．a2 B．a2
C．a2 D．a2
[答案] A
[解析] 因为底面边长为a，则斜高为，
故S侧＝3×a×＝a2.
而S底＝a2，故S表＝a2.
3．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为( )
A．2 B．2
C．4 D．8
[答案] C
[解析] 设圆台的母线长为l，上、下底面半径分别为r，R，
则l＝(r＋R)，
又32π＝π(r＋R)l＝2πl2，∴l2＝16，∴l＝4.
4．半径为15cm，圆心角为216°的扇形围成圆锥的侧面，则圆锥的高是( )
A．14cm B．12cm
C．10cm D．8cm
[答案] B
[解析] 设圆锥的底面半径为r，
则·360°＝216°解得r＝9，
∴圆锥的高是h＝＝12(cm)．
5．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是( )
A．32 B．16＋16
C．48 D．16＋32
[答案] B
[解析] 本题主要考查三视图的基本知识．利用面积公式．
由三视图知，四棱锥为正四棱锥，四个侧面为四个全等的三角形，由图知三角形的高h＝2，S′＝×4×2×4＝16，所以表面积为S′＋4×4＝16＋16.
6．(2014·安徽理，7)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )
A．21＋ B．18＋
C．21 D．18
[答案] A
[解析] 本题考查三视图还原为直观图，几何体的表面积计算．
如图，还原直观图为边长为2的正方体截去两个角，
S表＝2×2×6－×1×1×6＋×()2×2＝21＋.
正确画出直观图是解题关键．
二、填空题
7．轴截面是正方形的圆柱，轴截面面积为S，则它的全面积是________．
[答案] πS
[解析] 设圆柱的母线长为a，则a2＝S，所以a＝.设底面圆半径为r，则2r＝a＝，所以r＝.所以圆柱的全面积为2·πr2＋2πr·a＝2π·()2＋2π··＝πS.
8．正四棱台的上、下两底面边长分别是方程x2－9x＋18＝0的两根，其侧面积等于两底面积之和，则其侧面梯形的高为________．
[答案]
[解析] 方程x2－9x＋18＝0的两个根为x1＝3，x2＝6，
设侧面梯形的高为h，则由题意得×(3＋6)·h×4＝32＋62，h＝.
三、解答题
9．一个直棱柱的底面为菱形，对角面面积分别为Q1、Q2，求直四棱柱的侧面积．
[解析] 如图所示，设底面边长为a，侧棱长为l，两条底面对角线的长分别为c，d，即BD＝c，AC＝d，
则
由①得c＝，由②得d＝，代入③，得
()2＋()2＝a2，∴Q＋Q＝4l2a2，
∴2la＝.∴S侧＝4al＝2.
一、选择题
1． 正六棱柱的高为5cm，最长的对角线为13cm，则它的侧面积为( )
A．180cm2 B．160cm2
C．80cm2 D．60cm2
[答案] A
[解析] 设正六棱柱的底面边长为a，则底面上最长对角线长2a，∴正六棱柱最长对角线长为＝13，∴a＝6，S侧＝6a×5＝180.
2．如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
[答案] C
[解析] 如图所示
∵半圆弧长为πl，圆锥的底面圆周长为2πr，
∴πl＝2πr，∴r＝l，
在Rt△PBO中，∠BPO＝30°，∴∠APB＝60°.
二、填空题
3．已知正四棱锥底面正方形的边长为4cm，高与斜高夹角为30°，则斜高为________cm，侧面积为________cm2，全面积为________cm2.
[答案] 4 32 48
[解析] 如图所示，正四棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成直角△POE.
∵OE＝2cm，∠OPE＝30°，
∴斜高h′＝PE＝＝＝4cm.
∴S正棱锥侧＝ch′＝×4×4×4＝32cm2，
S正棱锥全＝42＋32＝48cm2.
4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．
[答案] 38
[解析] 本题考查三视图知识及表面积求法．
根据三视图还原后的几何体为一个长方体中挖去一个圆柱，此长方体长、宽、高为3、4、1，圆柱底面半径为1，高为1，
∴S＝2(3×4＋3×1＋4×1)－2π＋2π×1×1＝38.
注意根据三视图还原后的几何体形状．
三、解答题
5．如图是一建筑物的三视图，现需将其外壁用油漆刷一遍，已知每平方米用漆0.2千克，问需要油漆多少千克？(尺寸如图，单位：米，π取3.14，结果精确到0.01千克)
[解析] 建筑物为一组合体，上面是底面半径为3米，母线长为5米的圆锥，下面是底面边长为3米，高为4米的正四棱柱．
圆锥的表面积＝πr2＋πrl
≈3.14×32＋3.14×3×5＝28.26＋47.1＝75.36.
四棱柱的一个底面积＝32＝9，
四棱柱的侧面积＝4×4×3＝48.
所以外壁面积S≈75.36－9＋48＝114.36(平方米)．
故需油漆114.36×0.2＝22.872≈22.88(千克)．
答：共需约22.88千克油漆．
6．一个直角梯形的两底长分别为2和5，高为4，将其绕较长的底旋转一周，求所得旋转体的表面积．
[解析] 如图所示，在梯形ABCD中，
AD＝2，AB＝4，BC＝5.
作DM⊥BC，垂足为M，则DM＝4，MC＝5－2＝3，
在Rt△CMD中，由勾股定理得CD＝＝5.
在旋转生成的旋转体中，AB形成一个圆面，AD形成一个圆柱的侧面，CD形成一个圆锥的侧面，设它们的面积分别为S1，S2，S3，则S1＝π×42＝16π，
S2＝2π×4×2＝16π，S3＝π×4×5＝20π，
故此旋转体的表面积为S＝S1＋S2＋S3＝52π.
7．如图是某几何体的三视图，(1)你能想象出它的几何结构并画出它的直观图吗？(2)根据三视图的有关数据(单位：mm)，计算这个几何体的表面积．
[解析] (1)由三视图可知这个几何体是由两个圆柱夹一个圆台组成的，其中下面圆柱底面直径为60mm，母线长40mm，中间圆台上、下底直径分别为40mm，60mm，高为20mm，上面圆柱的底面直径为20mm，高为40mm，其直观图如图所示．
(2)由三视图可知圆台母线长
l＝＝10(mm)．
∴所求的表面积S＝S下圆柱下底＋S下圆柱侧＋S圆台侧＋(S圆台上底－S上圆柱下底)＋S上圆柱侧＋S上圆柱上底
＝π()2＋2π··40＋π·(＋)·10＋π·()2＋2π··40
＝900π＋2400π＋500π＋400π＋800π
＝(4 500π＋500π)(mm2)
＝(45π＋5π)(cm2)．
课件41张PPT。立体几何初步第一章§7 简单几何体的再认识
7．1 柱、锥、台的侧面展开与面积 第一章2010年8月7日夜22点左右，甘肃省甘南藏族自治州舟曲县发生特大泥石流灾害，泥石流冲进人口密集的县城，并形成堰塞湖，造成多人死亡或失踪，数千人无家可归，在灾难面前，中华民族“众志成城，抗震救灾”，各地踊跃捐款、捐物．右上图是运往舟曲的救灾帐篷，你知道制造一顶这样的帐篷需要多大面积的帆布吗？1．圆柱、圆锥、圆台的侧面积
S圆柱侧＝________，S圆锥侧＝________.
(其中r为底面半径，l为侧面母线长)
S圆台侧＝____________
(其中r1，r2分别为上、下底面半径，l为侧面母线长．)
2πrl πrl π(r1＋r2)l 2．直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积
S直棱柱侧＝________
(其中C为底面周长，h为高)
S正棱锥侧＝________________.
(其中C为底面周长，h′为斜高，即侧面等腰三角形的高．)
S正棱台侧＝________________.
(其中C′，C分别为上、下底面周长，h′为斜高，即侧面等腰梯形的高．)Ch [答案] A
2．(2014·福建文，3)以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于( )
A．2π B．π
C．2 D．1
[答案] A
[解析] 本题考查了空间想象能力，圆柱侧面积公式．该圆柱侧面展开图是长宽分别为1,2π的矩形，面积为S＝2π.[答案] A
4．已知棱长为1，各面都是正三角形的四面体，则它的表面积是________．
5．圆台的两底面半径分别为3,5，其侧面积为16，则母线长l＝________.柱体的侧面积
[规范解答] 圆柱的侧面积S侧＝6π×4π＝24π2.
(1)以长为6π的边为轴时，4π为圆柱底面周长．
∴2πr＝4π，即r＝2.
∴S底＝4π，S全＝S侧＋2S底＝24π2＋8π.
(2)以长为4π的边为轴时，6π为圆柱底面周长．
∴2πr＝6π，即r＝3，∴S底＝9π，
∴S全＝S侧＋2S底＝24π2＋18π.
∴圆柱的全面积为24π2＋8π或24π2＋18π.
[规律总结] (1)圆柱侧面展开图为矩形；
(2)若矩形再卷成圆柱有两种卷法，形成的几何体有两个．底面是菱形的直四棱柱中，它的对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积．
[分析] 根据直棱柱的侧面积公式需要先求底面周长．正棱锥与正棱台的侧面积 [思路分析] 正棱台中，三个直角梯形把上、下底面边长、高、斜高、侧棱联系起来，由此可求得正四棱台的斜高．
[规范解答] 解法1：如图，在Rt△B1FB中，正三棱锥S－ABC的侧面积是底面积的2倍，它的高SO＝3，求此正三棱的侧面积．
[分析] 在高、斜高构成的直角三角形中应用勾股定理，求出底面边长和斜高．圆锥与圆台的侧面积[思路分析] 本题主要考查圆锥的侧面积和圆台的侧面积，关键是利用比例的关系求解．
[答案] C如图所示，一个圆台形花盆盆口半径为20cm，盆底半径为15cm，底部渗水圆孔半径为1.5cm，盆壁长15cm，那么花盆的表面积约为多少平方厘米(π取3.14，结果精确到1cm2)?
[解析] 由圆台的表面积公式得花盆的表面积
S＝π(20＋15)×15＋π×152－π×1.52＝745.5π
≈2341(cm2)．
因此，花盆的表面积约为2341cm2.与三视图有关的几何体的侧面积 [思路分析] 由三视图确定几何体形状并确定有关数值．
[规范解答] 由三视图可知该几何体是一个四棱锥，其底面是一个长、宽分别为8、6的矩形，棱锥的高为4.该几何体的直观图如图(2)所示，AB＝8，BC＝6，高VO＝4.如图，在一个几何体的三视图中，主视图和左视图都是矩形，俯视图是等腰直角三角形，根据图中标注的长度，可以计算出该几何体的表面积是________．[规律总结] 正确记忆公式，使用公式，同时合理使用底面边长、高、斜高之间的关系．第一章 §7 7.2
一、选择题
1．(2014·新课标Ⅱ文，7)正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A－B1DC1的体积为( )
A．3 B．
C．1 D．
[答案] C
[解析] 本题考查三棱柱、三棱锥的体积问题．
由条件知底面B1DC1的面积为侧面面积的一半，即为，
而高为底面等边三角形的高，为，
∴VA－B1DC1＝××＝1.
2．(山东高考)一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是( )
A．4，8 B．4，
C．4(＋1)， D．8,8
[答案] B
[解析] 由正视图知四棱锥底面是边长为2的正方形，高为2，又因为侧棱长相等，所以棱锥是正四棱锥，斜高h′＝＝，侧面积S＝4××2×＝4，体积V＝×2×2×2＝.
3．如图，直三棱柱ABC－A′B′C′，高为3，底面为边长是1的正三角形，则三棱锥B′－ABC的体积为( )
A． B．
C． D．
[答案] D
[解析] ∵BB′⊥平面ABC，
∴VB′－ABC＝S△ABC·h＝S△ABC·BB′＝××3＝.
4．(2014·浙江文，3)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )
A．72cm3 B．90cm3
C．108cm3 D．138cm3
[答案] B
[解析] 本题考查三视图与几何体的体积计算．考查空间想象能力与计算能力．该几何体的直观图为
左边是一个横放的棱柱，右边是一个长方体．
V＝×4×3×3＋4×6×3＝18＋72＝90cm3.
5．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是( )
A．8－ B．8－
C．8－2π D．
[答案] A
[解析] 本小题考查几何体的三视图与体积计算，此几何体为正方体内有一倒置圆锥．
∴V＝2×2×2－×π×2＝8－π.
6．三棱台ABC－A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，则三棱锥A1－ABC，B－A1B1C，C－A1B1C1的体积之比为( )
A．1∶1∶1 B．1∶1∶2
C．1∶2∶4 D．1∶4∶4
[答案] C
[解析] 设棱台的高为h，S△ABC＝S，则S△A1B1C1＝4S.
∴VA1－ABC＝S△ABC·h＝Sh，
VC－A1B1C1＝S△A1B1C1·h＝Sh，
又V台＝h(S＋4S＋2S)＝Sh，
∴VB－A1B1C＝V台－VA1－ABC－VC－A1B1C1
＝Sh－－
＝Sh.
∴体积比为1∶2∶4.∴应选C.
二、填空题
7．(2014·江苏，8)设甲、乙两个圆柱的底面分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且＝，则的值是________．
[答案]
[解析] 本题考查圆柱的侧面积及体积．
设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为r1、h1，r2、h2，则2πr1h1＝2πr2h2，＝，又＝＝，所以＝，则＝＝·＝·＝.
8．棱台的上底面积为16，下底面积为64，则棱台被它的中截面分成的上、下两部分体积之比为________．
[答案] 19∶37
[解析] 将棱台恢复成棱锥，如右图所示，AA1，BB1，CC1分别是小棱锥，中棱锥，大棱锥底面上的对应线段，
则V小∶V中∶V大＝43∶63∶83＝23∶33∶43＝8∶27∶64，
所以(V中－V小)∶(V大－V中)＝(27－8)∶(64－27)＝19∶37，即上、下两部分体积之比为19∶37.
三、解答题
9．如图所示，圆锥的轴截面为等腰Rt△SAB，Q为底面圆周上一点．
(1)若QB的中点为C，OH⊥SC，求证：OH⊥平面SBQ；
(2)如果∠AOQ＝60°，QB＝2，求此圆锥的体积．
[解析] (1)证明：连接OC，
∵SQ＝SB，OQ＝OB，QC＝CB，
∴QB⊥SC，QB⊥OC，
∴QB⊥平面SOC.
∵OH?平面SOC，
∴QB⊥OH.
又OH⊥SC，∴OH⊥平面SQB.
(2)解：连接AQ，∵Q为底面圆周上一点，AB为直径，
∴AQ⊥QB.在Rt△AQB中，∠QBA＝30°，QB＝2，
∴AB＝＝4.
∵△SAB是等腰直角三角形，
∴SO＝AB＝2.
∴V圆锥＝π·OA2·SO＝π.
一、选择题
1．半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是( )
A．πR3 B．πR3
C．πR3 D．πR3
[答案] A
[解析] 令母线长为l，底面半径为r，则πl＝2πr，
∴l＝2r，又∵l＝R，∴r＝R，
高h＝＝＝R.
∴V＝πr2h＝π·R2·R＝πR3.
2．(2014·新课标Ⅱ理，6)如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )
A． B．
C． D．
[答案] C
[解析] 本题考查立体几何的三视图及体积的求法．
∵加工前的零件半径为3，高为6，
∴体积V1＝9π·6＝54π.
∵加工后的零件，左半部为小圆柱，半径为2，高为4，右半部为大圆柱，半径为3，高为2，
∴体积V2＝7π·4＋9π·2＝34π.
∴削掉部分的体积与原体积之比＝＝.故选C.
二、填空题
3．正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5∶2∶8，体积为14cm3，则棱台的高为________cm.
[答案] 2
[解析] 由题意设正四棱台的斜高与上，下底面边长分别为5x,2x,8x，则高h＝＝4x.由棱台的体积公式可得·4x(4x2＋16x2＋64x2)＝14，
解得x＝.所以h＝2cm.
4．如下图中的三个直角三角形是一个体积20cm3的几何体的三视图，则h＝________ cm.
[答案] 4
[解析] 该几何体是一个底面是直角三角形，一条侧棱垂直于底面的三棱锥如图，V＝××h＝20，∴h＝4 cm.
三、解答题
5．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a，过顶点B、D、A1截下一个三棱锥．
(1)求此三棱锥的体积；
(2)以BDA1为底面时，求此三棱锥的高．
[解析] (1)若三棱锥以△ABD为底面，则AA1就是高，所以V＝·a2·a＝a3.
(2)若以△BDA1为底面，设高为h，则V＝S△BDA1·h＝×·(a)2·h＝a2h，又由(1)有V＝a3，
所以a2h＝a3，解得h＝a.
6．(新课标Ⅱ高考)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．
(1)证明：BC1∥平面A1CD；
(2)设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2，求三棱锥C－A1DE的体积．
[解析] (1)连接AC1交A1C于点F，则F为AC1中点，又D是AB中点，连接DF，则BC1∥DF，
因为DF?平面A1CD，BC1?平面A1CD，
所以BC1∥平面A1CD.
(2)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD.
由已知AC＝CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB.
又AA1∩AB＝A，于是CD⊥平面ABB1A1.
由AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2得
∠ACB＝90°，CD＝，A1D＝，DE＝，A1E＝3，
故A1D2＋DE2＝A1E2，即DE⊥A1D
所以VC－A1DE＝××××＝1.
7．(2014·辽宁文，19)如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．
(1)求证：EF⊥平面BCG；
(2)求三棱锥D－BCG的体积．
附：锥体的体积公式V＝Sh，其中S为底面面积，h为高．
[解析] 思路分析：(1)由三角形全等、等腰三角形的三线合一及线面垂直的判断定理可求得结论1；(2)通过作辅助线求得三棱锥A－BCD的高，从而求了三棱锥G－BCD的高，最后求出此三棱锥的体积．
证明：(1)由已知得△ABC≌△DBC，∴AC＝DC，
又G为AD的中点，∴CG⊥AD，
同理BG⊥AD，∴AD⊥面BGC.
又EF∥AD，∴EF⊥面BCG.
(2)在平面ABC内，作AO⊥CD，交CB延长线于O.
由平面ABC⊥平面BCD，知AO⊥面BDC.
又G为AD中点，因此G到平面BDC距离h是AO的一半，
在△AOB中，AO＝AB·sin60°＝，
∴VD－BCG＝VG－BCD＝S△DBC·h＝××BD·BC·sin120°·＝.
课件44张PPT。立体几何初步第一章§7 简单几何体的再认识
7．2 柱、锥、台的体积第一章被誉为世界七大奇迹之首的胡夫大金字塔，在1889年巴黎埃菲尔铁塔落成前的4000多年的漫长岁月中，一直是世界上最高的建筑物．在4000多年前生产工具很落后的中古时代，埃及人是怎样采集、搬运数量如此之多，每块又如此之重的巨石垒成宏伟的大金字塔的，这真是一个十分难解的谜．胡夫大金字塔是一个正四棱锥外形的建筑物，塔底边长230m，塔高146.5m，你能收集数据并计算建此金字塔用了多少石块吗？1．棱柱和圆柱的体积
柱体(棱柱和圆柱)的体积公式：V柱体＝________，其中S为柱体的底面积，h为柱体的高．特别地，圆柱的体积公式可表示为：V圆柱＝Sh＝πr2h，其中r为圆柱的底面半径，h为圆柱的高．Sh [答案] B
[解析] 设正方体的棱长为a，则6a2＝96，所以a＝4，于是正方体的体积为a3＝64.2．已知直角三角形两直角边长分别为a、b，分别以这两个直角边为轴，旋转所形成的几何体的体积比为( )
A．a∶b B．b∶a
C．a3∶b3 D．b3∶a3
[答案] B3．(广东高考)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( )[答案] B4．三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P－ABC的体积等于________．求柱体的体积 [思路分析] 各面面积可由长方体的三度(即长、宽、高)决定，体积也由三度决定，故建立它们之间的联系．[规律总结] 求柱体的体积关键是求其底面积和高，底面积利用平面图形面积的求法，常转化为三角形及四边形，高常与侧棱、斜高及其在底面的正投影组成直角三角形，进而求解．如图①是一个水平放置的正三棱柱ABC－A1B1C1，D是棱BC的中点．正三棱柱的主视图如图②.
求正三棱柱ABC－A1B1C1的体积．锥体的体积
[思路分析] 对于棱锥Q－ABCD，其底面为正方形ABCD，高即为QA，易求体积；对于三棱锥P－DCQ，若以△DCQ为底面，则应证明PQ是其高，然后再计算，也可将三角形CDP作为底面，这时其高易证即为AD，从而可求体积．一个边长为2的正三角形，绕它的对称轴旋转一周，如图所示，求所得几何体的体积．求台体的体积 [规范解答] 如图所示，正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，A1B1＝10 cm，AB＝20 cm.取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E是侧面ABB1A1的高．设O1、O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO1E1是直角梯形．组合体的体积 [思路分析] 由三视图还原物体，并根据三视图给出的数据求出原物体的有关数据．
[规范解答] 采用斜二测法画法，由三视图可知物体的下部分是一个正四棱台，上部分是一个长方体．如图所示．
[规律总结] 此类问题的解决关键是利用三视图获取体积公式中所涉及的基本量的有关信息，这要依靠对三视图的理解和把握．注意，计算组合体的体积时，应考虑将其转化为计算柱、锥、台、球等常见几何体的体积．第一章 §7 7.3
一、选择题
1．直径为6的球的表面积和体积分别是( )
A．144π，144π B．144π，36π
C．36π，144π D．36π，36π
[答案] D
[解析] 球的半径为3，S球＝4π×32＝36π.
V球＝π×33＝36π.
2．正方体的全面积为54，则它的外接球的表面积为( )
A．27π B．π
C．36π D．π
[答案] A
[解析] S正＝54，∴边长a＝3,2R＝3，
∴S球＝4πR2＝π(2R)2＝π×(3)2＝27π.
3．把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为( )
A．R B．2R
C．3R D．4R
[答案] D
[解析] 设圆柱的高为h，则πR2h＝3·πR3，
∴h＝4R.
4．若一个圆锥的底面半径和一个半球的半径相等，体积也相等，则它们的高度之比为( )
A．2∶1 B．2∶3
C．2∶π D．2∶5
[答案] A
[解析] 设半径为r，圆锥的高为h，由题意得：V圆锥＝πr2h＝πr3×.∴h∶r＝2∶1.
5．(2014·大纲卷理，8)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )
A． B．16π
C．9π D．
[答案] A
[解析] 本题考查空间几何体的结构特征，球的表面积运算．设球的半径是r，根据题意可得(4－r)2＋()2＝r2，解得r＝，所以球的表面积是S＝4πr2＝4π()2＝.
6．球面上四点P、A、B、C，已知PA、PB、PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝a，则球的表面积为( )
A．2πa2 B．3πa2
C．4πa2 D．6πa2
[答案] B
[解析] 可将PA、PB、PC作为正方体从同一点引出的三条棱，则正方体的对角线长为正方体外接球的直径．
∴有a＝2R，∴R＝a，
∴S＝4πR2＝3πa2.
二、填空题
7．(新课标Ⅰ)已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为________．
[答案] π
[解析] 本题考查球的表面积计算．结合图形利用截面与大圆构成的直角三角形，由勾股定理求解．
如图设球O半径为R，则BH＝R，OH＝，截面圆半径设为r，则πr2＝π，r＝1，即HC＝1，由勾股定理得R2－()2＝1，R2＝，S球＝4πR2＝π.
8．体积为8的一个正方体，其全面积与球O的表面积相等，则球O的体积等于________．
[答案]
[解析] 本题主要考查利用正方体全面积，球表面积公式等知识点解决问题的能力．由条件知正方体棱长为2，所以全面积为24，设球半径为R，则4πR2＝24，R＝，所以球的体积为π3＝.
三、解答题
9．一倒置圆锥体的母线长为10 cm，底面半径为6 cm.
(1)求圆锥体的高；
(2)一球刚好放进该圆锥体中，求这个球的半径以及此时圆锥体剩余的空间．
[解析] (1)设圆锥的高为h，底面半径为R，母线长为l，则h＝＝＝8(cm)．
(2)球放入圆锥体后的轴切面如图所示，设球的半径为r，
由△OCD∽△ACO1得＝.
∴＝，解得r＝3.
圆锥体剩余的空间为圆锥的体积减去球的体积，即
V锥－V球＝×π×62×8－π×33＝96π－36π＝60π(cm3)．
一、选择题
1．设球的体积为V1，它的内接正方体的体积为V2，下列说法中最合适的是( )
A．V1比V2大约多一半 B．V1比V2大约多两倍半
C．V1比V2大约多一倍 D．V1比V2大约多一倍半
[答案] D
[解析] 本题考查球的体积公式等，并考查学生的推理判断能力、估算能力．
设球的半径为R，则V1＝πR3，设正方体棱长为a，则2R＝a，V2＝a3，所以V1＝V2，估算得选项D.
2．一个物体的三视图如图所示，则该物体的体积为( )
A．2π B．＋π
C．π D．π
[答案] A
[解析] 该几何体的上部是一个球，其体积为π，下部是一个圆柱，其体积是π，则该几何体的体积为π＋π＝2π.
二、填空题
3．(天津高考)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为，则正方体的棱长为________．
[答案]
[解析] 本题考查了正方体外接球的体积.
设球半径为R，正方体棱长为a，则V球＝πR3＝π，得到R＝，正方体体对角线的长为a＝2R，则a＝，所以正方体棱长为.正方体体对角线的长为a，其长度等于外接球的直径，注意这些常用结论．
4．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________．
[答案]
[解析] 本题主要考查了球、球的截面问题，同时考查了学生解决实际问题的能力．
依据题意画出示意图：
设球半径R，圆锥底面半径r，则
πr2＝·4πR2，
即r2＝R2，在Rt△OO1C中，由OC2＝OO＋O1C2得OO1＝R.
所以，高的比为.
三、解答题
5．有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．
[解析] 设正方体的棱长为a，
(1)正方体的内切球的球心是正方体的中心，切点是六个正方形的中心，经过四个切点及球心作截面，如答图(1)，所以2r1＝a，r1＝.所以S1＝4πr＝πa2.
(2)球与正方体的各棱的切点是每条棱的中点，过球心作平行于正方体底面的截面，如答图(2)，2r2＝a，r2＝a，所以S3＝4πr＝2πa2.
(3)正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如答图(3)，所以有2r3＝a，r3＝a，所以S2＝4πr＝3πa2.
综上可得S1∶S2∶S3＝1∶2∶3.
6．两个球的体积之和为12π，这两个球的大圆周长之和为6π，求大球半径与小球半径之差．
[解析] 设两球的半径为R，r(R>r)．由已知，得
，得
∵R3＋r3＝(R＋r)(R2－Rr＋r2)＝9，
∴R2－Rr＋r2＝3，
∴(R＋r)2－3Rr＝3，得Rr＝2，
∴(R－r)2＝(R＋r)2－4Rr＝1，
∴R－r＝1.故大球半径与小球半径之差为1.
7．设四面体的各条棱长都为1，若该四面体的各个顶点都在同一个球的球面上，求球的表面积．
[解析] 如图，由已知四面体的各条棱长都为1，得各个面都是边长为1的正三角形，过A作AO⊥平面BCD于O，连接BO.
在Rt△AOB中，
AB＝1，BO＝×＝，
所以AO＝＝.
设球的半径为R，球心为O1，则O1在线段AO上，OO1＝AO－R＝－R，O1B＝R，BO＝，
在Rt△O1OB中，O1B2＝OB2＋OO，
即R2＝2＋2，解得R＝.
所以球的表面积为S＝4πR2＝.
课件31张PPT。立体几何初步第一章§7 简单几何体的再认识
7．3 球 第一章为了让上海世博会与南非世界杯这两个2010年全球最重要的盛会遥相呼应，德国馆的工程师把目光投向了馆内一个重达1.23吨的金属互动球．该球直径为3米，基底下设有声控及互动交控装置，球体表面可播放、展示LED影像及图片．一旦参观者齐声高喊，金属球就会应声摆动，这成为德国馆的一大亮点．想要计算出该球的体积吗？赶快来学习本节知识吧！1．球的体积
球的半径为R，那么它的体积是V＝________.
2．球的表面积
球的半径为R，那么它的表面积是S＝________.4πR2 1．已知两个球的半径之比为1∶2，则这两个球的表面积之比为( )
A．1∶2 B．1∶4
C．1∶6 D．1∶8
[答案] B[答案] B[答案] B4．棱长为2的正方体内有一个球，并且该球与正方体的六个面相切，则球的体积是________．5．(陕西高考)某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．
[答案] 3π球的表面积 [规范解答] (1)当球心在两个截面同侧时，如右图，设OD＝x，由题意知π·CA2＝49π，
∴CA＝7(cm)．同理可得BD＝20(cm)．
设球半径为R，则依题意，得
(CD＋OD)2＋CA2＝R2＝OD2＋BD2，
即(9＋x)2＋72＝x2＋202，解之得x＝15.
∴R＝25，故S球＝4πR2＝2500π(cm2)．(2)当球心在两个截面之间时，如右图．
设OD＝xcm，则OC＝(9－x)cm，
由题意得π·CA2＝49π，
∴CA＝7(cm)．
同理可得BD＝20cm.
设球半径为R，则依题意，知
x2＋202＝(9－x)2＋72＝R2，
即x2＋400＝(9－x)2＋49，此方程无正数解，故此情况不可能．
综上可知，所求球的表面积为2500π(cm2)．
[规律总结] 常常借助于球的轴截面性质列方程(组)求球半径，进而求出球的表面积．轴截面为空间问题转化到平面几何问题创造了条件．
[答案] C球的体积 [规律总结] 计算球的体积或体积的简单应用，都需要认真解决半径问题．一个平面截一球得到直径为6cm的圆面，球心到这个平面距离为4cm，则球的体积为________cm3.球的组合体 [规律总结] 与球有关的组合体问题，通常有两种情况：一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径，球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”“接点”作出截面图．设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A．3πa2 B．6πa2
C．12πa2 D．24πa2
[答案] B
[辨析] 错解审题有误．一个球的体积扩大了8倍，相当于扩大后的球体积是原来球体积的9倍．关于表面积扩大了几倍的理解，上述解法也是错误的．[规律总结] 正确地理解下列说法：“扩大了”、“扩大”、“扩大成”、“扩大为”、“扩大到”等的区别和联系．