第二章 §1 1.1
一、选择题
1．直线l的倾斜角α的范围是( )
A．0°<α<180° B．0°<α≤180°
C．0°≤α<180° D．0°≤α<180°且α≠90°
[答案] C
[解析] 由倾斜角的定义和规定知0°≤α<180°.
2．给出下列命题：
①任何一条直线都有唯一的倾斜角；
②一条直线的倾斜角可以为－30°；
③倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴；
④按照倾斜角的概念，直线倾斜角的集合{α|0°≤α<180°}与直线集合建立了一一映射关系．
正确命题的个数( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案] A
[解析] 由倾斜角α∈[0°，180°)知②不对；
又平行于x轴的直线的倾斜角都是0°有无数条，
∴③不对；
同样的道理，④不对，只有①是正确的．
3．已知两点A(x，－2)，B(3,0)，并且直线AB的斜率为，则x的值为( )
A．1 B．－1
C．±1 D．0
[答案] B
[解析] 由斜率公式＝，得x＝－1.
4． 直线过点A(2,3)和B(m,7)，且倾斜角θ满足90°<θ<180°，则m的取值范围是( )
A．m≥2 B．m≤2
C．m>2 D．m<2
[答案] D
[解析] ∵90°<θ<180°，∴斜率小于0，即<0，
∴m－2<0，即m<2.
5．若A(－2,3)，B(3，－2)，C三点在同一条直线上，则m的值为( )
A．－2 B．2
C．－ D．
[答案] D
[解析] A，B，C三点在同一条直线上，则kAB＝kAC，所以＝，解得m＝.
6．如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( )
A．k1
C．k3[答案] D
[解析] 由题图可知直线l1的倾斜角为钝角，所以k1<0；直线l2与直线l3的倾斜角均为锐角，且直线l2的倾斜角较大，所以k2>k3>0.所以k2>k3>k1.
二、填空题
7．已知点A(3,4)，在坐标轴上有一点B，若kAB＝2，则B点的坐标为__________．
[答案] (1,0)或(0，－2)
[解析] 本题分B点在x轴上和y轴上两种情况讨论．
若B点在x轴上，则设B点坐标为(x,0)，
由题意知＝2，解得x＝1，即B(1,0)；
若B点在y轴上，则设B点坐标为(0，y)，
由题意知＝2，解得y＝－2，即B(0，－2)．
∴点B的坐标可以为(1,0)或(0，－2)．
8．设P为x轴上的一点，A(－3,8)，B(2,14)，若PA的斜率是PB的斜率的两倍，则点P的坐标为________．
[答案] (－5,0)
[解析] 设P(x,0)为满足题意的点，则kPA＝，kPB＝，于是＝2·，解得x＝－5.
三、解答题
9．已知直线l经过两点A(－1，m)，B(m,1)，问：当m取何值时，(1)直线l与x轴平行；(2)l与y轴平行；(3)l的斜率为.
[解析] 由k＝＝，得
(1)若l与x轴平行，则k＝0，
∴m＝1；
(2)若l与y轴平行，则k不存在，只需m＝－1即可．
(3)若l的斜率k＝，需＝，
∴3－3m＝m＋1，∴m＝.
一、选择题
1．设直线l1与x轴的交点为P，且倾斜角为α，若将其绕点P按逆时针方向旋转45°，得到直线l2的倾斜角为α＋45°，则( )
A．0°≤α<90° B．0°≤α<135°
C．0°<α≤135° D．0°<α<135°
[答案] D
[解析] 由于直线l1与x轴相交，可知α≠0°，又α与α＋45°都是直线的倾斜角，
∴
解得0°<α<135°.
2．直线m过A(4,1)，B(3，a2)(a∈R)两点，则直线m的倾斜角的取值范围是( )
A． B．∪
C． D．∪
[答案] D
[解析] 直线m过A(4,1)，B(3，a2)，则由直线的斜率公式可得k＝＝1－a2≤1，∴直线的倾斜角取值范围为∪，故选D.
二、填空题
3．已知直线l1的倾斜角是α1，则l1关于x轴对称的直线l2的倾斜角α2为________．
[答案] 0°或180°－α1
[解析] 当α1＝0°时，α2＝0°；当0°<α1<180°时，α2＝180°－α1.
4．若经过点A(1－t,1＋t)和点B(3,2t)的直线的倾斜角为钝角，则实数t的取值范围是________．
[答案] (－2,1)
[解析] k＝＝<0，<0，
∴(t－1)(t＋2)<0，由二次函数与二次不等式关系知－2三、解答题
5．已知点P(x，y)在点A(1,1)、B(3,1)、C(－1,6)为顶点的三角形内部及边界上运动，求kOP(O为坐标原点)的取值范围．
[解析] 作出△ABC如图所示，过O点作直线OP，由图形知当OP过B点时，随着直线OP逆时针旋转kOP越大，而OP过C点时随着OP绕O点顺时针旋转，kOP越小．
∵kOB＝，kOC＝－6.
∴kOP≥或kOP≤－6.
6．一条光线从点A(－2,3)射入，经过x轴上点P反射后，经过点B(5,7)，求点P的坐标．
[解析] 因为点A在入射光线上，所以点A关于镜面x轴的对称点A′在反射光线的反向延长线上，设P点的坐标为(x,0)，A′的坐标(－2，－3)，
则A′，P，B三点在同一条直线上，即kA′P＝kA′B，
也就是＝，解之可得x＝，
所以P点的坐标为(，0)．
7．已知坐标平面内三点A(－1,1)，B(1,1)，C(2，＋1)．
(1)求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角；
(2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD的斜率k的变化范围．
[解析] (1)由斜率公式得
kAB＝＝0，kBC＝＝，
kAC＝＝.
∵tan0°＝0，
∴直线AB的倾斜角为0°.
∵tan60°＝，
∴直线BC的倾斜角为60°.
∵tan30°＝，
∴直线AC的倾斜角为30°.
(2)如图，当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转，当直线CD由CA逆时针转到CB时，直线CD与线段AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kCA增大到kCB，所以k的取值范围为[，]．
第二章 §1 1.2
一、选择题
1．方程为－＋＝1的直线在x轴、y轴上的截距分别为( )
A．16,18 B．－16,18
C．16，－18 D．－16，－18
[答案] B
[解析] 令y＝0，得x＝－16；令x＝0，得y＝18，
∴在x轴、y轴上的截距分别为－16,18.
2．直线x－y＋1＝0的斜率为( )
A． B．－
C． D．－
[答案] A
[解析] 直线的斜率为－＝.
3．已知直线l不经过第三象限，设它的斜率为k，在y轴上的截距为b(b≠0)，那么( )
A．k·b<0 B．k·b≤0
C．k·b>0 D．k·b≥0
[答案] B
[解析] 当k≠0时，∵直线l不经过第三象限，
∴k<0，b>0，∴k·b<0.
当k＝0，b>0时，l也不过第三象限，∴k·b≤0.
4．(2014·北京海淀区高一测试)直线x－y－1＝0与坐标轴所围成的三角形的面积为( )
A． B．2
C．1 D．
[答案] D
[解析] 由题意得直线与坐标轴交点为(1,0)，(0，－1)，故三角形面积为.
5．直线y－4＝－(x＋3)的倾斜角和所经过的定点分别是( )
A．30°、(－3,4) B．120°、(－3,4)
C．150°、(3，－4) D．120°、(3，－4)
[答案] B
[解析] 由点斜式方程的特点知，直线过定点(－3,4)，斜率k＝－，则倾斜角为120°.
6．在等腰△ABO中，AO＝AB，点O(0,0)，A(1,3)，而点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为( )
A．y－1＝3(x－3) B．y－1＝－3(x－3)
C．y－3＝3(x－1) D．y－3＝－3(x－1)
[答案] D
[解析] 如图，由几何性质知，OA与AB的倾斜角互补，kOA＝3，kAB＝－3，
∴AB的方程为y－3＝－3(x－1)．
二、填空题
7．直线l经过点(－2,2)且与直线y＝x＋6在y轴上有相同的截距，则直线l的方程为________．
[答案] 2x－y＋6＝0
[解析] ∵y＝x＋6在y轴上的截距为6，
可知l在y轴上的截距也为6，即过点(0,6)，
∴k＝＝2，
因此直线l的方程为y＝2x＋6，
即2x－y＋6＝0.
8．已知一条直线经过点P(1,2)，且其斜率与直线y＝2x＋3的斜率相同，则该直线的方程是__________．
[答案] 2x－y＝0
[解析] 直线的斜率与y＝2x＋3的斜率相同，
故k＝2，又过P(1,2)，
∴直线的方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.
三、解答题
9．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：
(1)斜率是，且经过点A(2,5)；
(2)过点A(－3,0)，B(0,4)；
(3)斜率为3，在y轴上的截距为－4；
(4)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点．
[解析] (1)由点斜式方程得y－5＝(x－2)，
整理得x－3y＋15－2＝0.
(2)由截距式方程得＋＝1，即4x－3y＋12＝0.
(3)由斜截式方程得y＝3x－4，即3x－y－4＝0.
(4)由两点式方程得＝，
整理得2x＋y－3＝0.
一、选择题
1．若直线Ax＋By＋C＝0通过第二、三、四象限，则系数A，B，C需满足条件( )
A．A，B，C同号 B．AC<0，BC<0
C．C＝0，AB<0 D．A＝0，BC<0
[答案] A
[解析] 将直线方程化为点斜式为y＝－x－.
由题意知直线过二、三、四象限，则有由此可知A，B，C同号．
2．两直线l1：mx－y＋n＝0和l2：nx－y＋m＝0在同一坐标系中，则正确的图形可能是( )
[答案] B
[解析] 首先C不正确，否则，若l1∥x轴，则m＝0，l2必过原点，与图形不符．同理，l2∥x轴也不可能，故m，n均不为0.此时，l1：y＝mx＋n，l2：y＝nx＋m.由图A知，两直线在y轴上的截距均为正，但有一直线斜率为负，不可能．由图D知，两直线斜率均为负，但有一直线在y轴上的截距为正，也不可能．
二、填空题
3．经过点P(2，－4)且在两坐标轴上的截距之和等于5的直线的方程为________．
[答案] 4x＋y－4＝0或x－2y－10＝0
[解析] 依题意，直线的斜率必存在，设为k，则其方程为y＋4＝k(x－2)．
令x＝0得y＝－2k－4；令y＝0得x＝＋2，所以－2k－4＋＋2＝5，解得k＝－4或k＝.
因此直线方程为y＋4＝－4(x－2)或y＋4＝(x－2)．
4．若直线(2t－3)x＋y＋6＝0不经过第一象限，则t的取值范围是________．
[答案]
[解析] y＝－(2t－3)x－6，则－(2t－3)≤0.
三、解答题
5．求经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程．
[解析] (1)当横截距、纵截距都是零时，
设所求的直线方程为y＝kx，将(－5,2)代入y＝kx中，得k＝－，此时，直线方程为y＝－x，即2x＋5y＝0.
(2)当横截距、纵截距都不是零时，设所求直线方程式为＋＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a＝－，此时，直线方程为x＋2y＋1＝0.
综上所述，所求直线方程为x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0.
6．已知直线(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x轴上的截距为3，求直线在y轴上的截距．
[解析] 由已知，直线过点(3,0)，
∴3(a＋2)－2a＝0，即a＝－6.
∴直线方程为－4x＋45y＋12＝0，
即4x－45y－12＝0.令x＝0，得y＝－.
故直线在y轴上的截距为－.
7．已知△ABC的顶点A(1，－1)，线段BC的中点为D.
(1)求BC边上的中线所在直线的方程；
(2)若边BC所在直线在两坐标轴上的截距之和是9，求BC所在直线的方程．
[解析] (1)解法一：∵线段BC的中点坐标为D，
△ABC的顶点坐标A(1，－1)，由两点式得直线AD的方程＝.
即BC边上的中线所在直线方程为5x－4y－9＝0.
解法二：本题也可由点斜式入手，由点斜式求出．
∵kAD＝＝.
∴AD的方程式为y＋1＝(x－1)．
即5x－4y－9＝0.
(2)设直线BC在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，由题意得a＋b＝9①
直线BC的截距式方程为＋＝1，
∵点D在直线BC上，∴＋＝1，
∴6b＋3a＝2ab②
由①、②联立得2a2－21a＋54＝0，
即(2a－9)(a－6)＝0，
解得a＝或a＝6.
因此，所求直线BC在两坐标轴上的截距为
或
∴直线BC的方程为＋＝1或＋＝1，
即2x＋2y－9＝0或x＋2y－6＝0.
第二章 §1 1.3
一、选择题
1．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( )
A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0
[答案] A
[解析] 解法一：所求直线斜率为，过点(1,0)，由点斜式得，y＝(x－1)，即x－2y－1＝0.
解法二：设所求直线方程为x－2y＋b＝0，
∵过点(1,0)，∴b＝－1，故选A.
2．已知点A(1,2)，B(3,1)则线段AB的垂直平分线的方程是( )
A．4x＋2y－5＝0 B．4x－2y－5＝0
C．x＋2y－5＝0 D．x－2y－5＝0
[答案] B
[解析] ∵kAB＝＝－，
∴所求直线的斜率为2.
又线段AB的中点为(2，)，
故线段AB的垂直平分线方程为y－＝2(x－2)，即4x－2y－5＝0.
3．直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是( )
A．3x＋2y－1＝0 B．3x＋2y＋7＝0
C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0
[答案] A
[解析] 本题考查直线方程的点斜式，以及两直线的垂直关系．
∵直线l与直线2x－3y＋4＝0垂直，
∴直线l的斜率k＝－，
又∵直线l过点(－1,2)，∴其方程为y－2＝－(x＋1)，即3x＋2y－1＝0.
4．过点P(－1,3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程是( )
A．2x＋y－1＝0 B．2x＋y－5＝0
C．x＋2y－5＝0 D．x－2y＋7＝0
[答案] A
[解析] 设直线方程为2x＋y＋m＝0且过点(－1,3)，故m＝－1，∴所求直线的方程为：2x＋y－1＝0.
5．已知直线－6x＋2y＋3＝0与直线3x－y－2＝0，则两直线的位置关系是( )
A．重合 B．平行
C．垂直 D．相交
[答案] B
[解析] 设两直线的斜率分别为k1、k2，在y轴上的截距分别是b1、b2，则k1＝3，k2＝3，b1＝－，b2＝－2，因为k1＝k2，b1≠b2，所以两直线平行．
6．直线x＋a2y＋6＝0和直线(a－2)x＋3ay＋2a＝0没有公共点，则a的值是( )
A．1 B．0
C．－1 D．0或－1
[答案] D
[解析] 两直线无公共点，即两直线平行，
∴1×3a－a2(a－2)＝0，
∴a＝0或－1或3，经检验知a＝3时两直线重合．
二、填空题
7．原点在直线l上的射影是P(－2,3)，则直线l的方程为__________________．
[答案] 2x－3y＋13＝0
[解析] l与原点和P点连线垂直
∴l的斜率k＝－＝，
∴l的方程为y－3＝(x＋2)．
即2x－3y＋13＝0.
8．直线l与直线3x－2y＝6平行，且直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，则直线l的方程为________．
[答案] 15x－10y－6＝0
[解析] 由题意知直线l的斜率k＝，
设直线l的方程为y＝x＋b.令y＝0，得x＝－.
∴－－b＝1，
解得b＝－.∴直线l的方程为y＝x－，
即15x－10y－6＝0.
三、解答题
9．已知A(2,2)和直线l：3x＋4y－20＝0，求：
(1)过A点且和直线l平行的直线的方程；
(2)过A点且和直线l垂直的直线的方程．
[解析] ∵直线l的方程为3x＋4y－20＝0，
∴k1＝－.
(1)设过A点且与l平行的直线为l1.∵k1＝kl1，
∴kl1＝－，∴直线l1的方程为y－2＝－(x－2)，
即3x＋4y－14＝0为所求．
(2)设过A且与l垂直的直线为l2.∵k1·kl2＝－1，
∴kl2＝.∴l2的方程为y－2＝(x－2)，
即4x－3y－2＝0为所求．
本题可以设与直线l平行的直线方程为3x＋4y＋c＝0与直线l垂直的直线方程为4x－3y＋λ＝0，确定c，λ的值即可．
一、选择题
1．已知A(－4,2)，B(6，－4)，C(12,6)，D(2,12)，则下面四个结论：①AB∥CD；②AB⊥AD；③AC∥BD；④AC⊥BD.其中正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] C
[解析] 根据判定两直线平行或垂直的方法进行判定．
∵kAB＝＝－，kCD＝＝－，
∴AB方程为y－2＝－(x＋4)，
即3x＋5y＋2＝0.
∴C(12,6)不在AB上．∴AB∥CD.
又∵kAD＝＝，
∴kAB·kAD＝－1.∴AB⊥AD.
∵kAC＝＝，kBD＝＝－4，
∴kAC·kBD＝－1，∴AC⊥BD.
∴四个结论中①、②、④正确．故选C.
2．已知直线x＋3y－7＝0，kx－y－2＝0与x轴，y轴围成的四边形有外接圆，则实数k等于( )
A．－3 B．3
C．－6 D．6
[答案] B
[解析] 因四边形有外接圆，且x轴与y轴垂直，则直线x＋3y－7＝0和kx－y－2＝0垂直，
∴k·(－)＝－1，解得k＝3.
二、填空题
3．若直线l经过点(a－2，－1)和(－a－2,1)且与经过点(－2,1)，斜率为－的直线垂直，则实数a的值为________．
[答案] －
[解析] 由题意知两直线的斜率均存在，且直线l与斜率为－的直线垂直，则直线l的斜率为，于是＝＝＝－，解得a＝－.
4．若三条直线2x－y＋4＝0，x－y＋5＝0和2mx－3y＋12＝0，围成直角三角形，则m＝________.
[答案] －或－
[解析] 设l1∶2x－y＋4＝0，l2∶x－y＋5＝0，
l3∶2mx－3y＋12＝0，l1不垂直于l2，要使围成的三角形为直角三角形，则l3⊥l1或l3⊥l2.
由l3⊥l1得2×m＝－1，∴m＝－；
由l3⊥l2得1×m＝－1，∴m＝－.
三、解答题
5．已知点M(2,2)和N(－6，－2)，试在y轴上求一个点P，使∠MPN为直角．
[解析] 解法一：∵点P在y轴上，
∴设点P(0，y)．
∵∠MPN为直角，
∴PM⊥PN.
设直线PM的斜率为kPM，直线PN的斜率为kPN，
则kPM·kPN＝－1，
即·＝－1.
解得y＝±4.
∴点P的坐标是(0,4)或(0，－4)．
解法二：设P(0，y)为所求
因为∠MPN为直角，所以有|MP|2＋|NP|2＝|MN|2，即(0－2)2＋(y－2)2＋(0＋6)2＋(y＋2)2＝(－6－2)2＋(－2－2)2，
整理得y2＝16，所以y＝±4.
故所求的点P坐标为(0，－4)或(0,4)．
??6.已知直线l1过点A(1,1)，B(3，a)，直线l2过点M(2,2)，N(3＋a,4)．
(1)若l1∥l2，求a的值；
(2)若l1⊥l2，求a的值．
[解析] (1)∵A(1,1)，B(3，a)，
∴kAB＝＝.
又l1∥l2，∴直线l2的斜率必存在且为kMN＝＝.
又kMN＝＝＝kAB，解得a＝±.
又当a＝±时，点M不在l1上，故l1∥l2时，a＝±.
(2)①当a＝1时，直线l1⊥y轴，此时直线l2的斜率kMN＝1，
∴当a＝1时，不满足l1⊥l2.
②当a＝－1时，直线l2⊥x轴，此时直线l1的斜率kAB＝－1，
∴当a＝－1时，不满足l1⊥l2.
③当a≠±1时，由l1⊥l2可知kAB·kMN＝－1，
又kAB＝＝，kMN＝＝，
∴·＝－1，解得a＝0.
综上可知，当l1⊥l2时，a的值为0.
7．已知A(1，－1)，B(2,2)，C(3,0)三点．
(1)求点D，使直线CD⊥AB，且BC∥AD；
(2)判断此时四边形ACBD的形状．
[解析] (1)如图，设D(x，y)，
则由CD⊥AB，BC∥AD可知
得解得
即D点坐标为(0,1)．
(2)∵kAC＝＝，kBD＝＝，
∴kAC＝kBD.
∴AC∥BD.∴四边形ACBD为平行四边形．
而kBC＝＝－2，
∴kBC·kAC＝－1.
∴AC⊥BC.∴四边形ACBD是矩形．
又DC⊥AB，∴四边形ACBD是正方形．
第二章 §1 1.4
一、选择题
1． 过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线的方程为( )
A．19x－9y＝0 B．9x＋19y＝0
C．19x－3y＝0 D．3x＋19y＝0
[答案] D
[解析] 解方程组得，
∴k＝－，又过原点，
∴方程为3x＋19y＝0.
2．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是( )
A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0
[答案] D
[解析] 由，得交点A(1,1)．
且可知所求直线斜率为－.
∴直线为y－1＝－(x－1)，
即x＋2y－3＝0，故选D.
3．两直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，则k的值为( )
A．－24 B．6
C．±6 D．以上都不正确
[答案] C
[解析] 解法一：由消去y得x＝.由已知得k2－36＝0，即k＝±6.
解法二：两直线的交点在y轴上，可设交点的坐标为(0，y0)，则有由①可得y0＝，将其代入②得－＋12＝0，∴k2＝36，即k＝±6.
4．过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0的直线的方程是( )
A．2x＋y－8＝0 B．2x－y－8＝0
C．2x＋y＋8＝0 D．2x－y＋8＝0
[答案] A
[解析] 由得交点坐标(1,6)，
又所求直线斜率k＝－2，
故所求直线方程为y－6＝－2(x－1)，
即2x＋y－8＝0.
5．已知m∈R，则直线(2m＋1)x＋(2－m)y＋5m＝0必经过定点( )
A．(2,1) B．(－2,1)
C．(2，－1) D．(－1，－2)
[答案] B
[解析] 直线方程可化为(x＋2y)＋m(2x－y＋5)＝0，解方程组得因此直线必经过定点(－2,1)．
6．已知点M(0，－1)，点N在直线x－y＋1＝0上，若直线MN垂直于直线x＋2y－3＝0，则N点的坐标是( )
A．(－2，－3) B．(2,1)
C．(2,3) D．(－2，－1)
[答案] C
[解析] 直线MN的方程是y＋1＝2x，
由得
所以N点的坐标是(2,3)．
二、填空题
7．直线ax＋2y＋8＝0,4x＋3y＝10和直线2x－y＝10相交于一点，则a的值为________．
[答案] －1
[解析] 由得.
∴直线ax＋2y＋8＝0过(4，－2)点．
∴4a＋(－4)＋8＝0.
∴a＝－1.
8．直线2x＋5y＋3＝0与坐标轴围成的三角形面积为______．
[答案]
[解析] 直线2x＋5y＋3＝0与x，y轴的交点分别为A(－，0)，B(0，－)，
∴S△OAB＝××＝.
三、解答题
9．求过两直线x－2y＋3＝0和x＋y－3＝0的交点，且满足下列条件的直线l的方程．
(1)和直线x＋3y－1＝0垂直；
(2)在x轴，y轴上的截距相等．
[解析] 由可得两直线的交点为(1,2)．
(1)∵直线l与直线x＋3y－1＝0垂直，
∴直线l的斜率为3，
则直线l的方程为3x－y－1＝0.
(2)当直线l过原点时，直线l的方程为2x－y＝0，
当直线l不过原点时，令l的方程为＋＝1.
∵直线l过(1,2)，
∴a＝3，
则直线l的方程为x＋y－3＝0.
一、选择题
1．设集合A＝{(x，y)|4x＋y＝6}，B＝{(x，y)|3x＋2y＝7}，则满足C?(A∩B)的集合C的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] C
[解析] A∩B＝
则集合C是{(1,2)}的子集，又集合{(1,2)}的子集有?，{(1,2)}共2个，即集合C有2个．
2．三条直线l1：x－y＝0，l2：x＋y－2＝0，l3：5x－ky－15＝0构成一个三角形，则k的范围是( )
A．k∈R B．k∈R且k≠±1，k≠0
C．k∈R且k≠±5，k≠－10 D．k∈R且k≠±5，k≠1
[答案] C
[解析] 三条直线不能构成三角形时，可有以下几种情形：
①l1∥l3或l2∥l3，此时k＝5或k＝－5.
②l1，l2，l3相交于同一点．
∵l1与l2的交点坐标为(1,1)，代入l3的方程，
可得：k＝－10.
∴当k≠±5，k≠－10时，l1，l2，l3能构成一个三角形．
二、填空题
3．已知ax＋4y－2＝0与2x－5y＋b＝0互相垂直，交点为(1，c)，则a＋b＋c＝________.
[答案] －4
[解析] 由两直线垂直得－×＝－1，
∴a＝10，将交点坐标代入ax＋4y－2＝0，得c＝－2，再代入2x－5y＋b＝0，得b＝－12，
∴a＋b＋c＝－4.
4．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与(－2,0)重合，且点(2013,2014)与点(m，n)重合，则m－n的值为________．
[答案] －1
[解析] 点(0,2)与点(－2,0)沿某一直线对称，可判断此对称轴为y＝－x，故点(2013,2014)关于y＝－x对称的点应为(－2014，－2013)．
∴m－n＝－1.
三、解答题
5．已知两点A(－2,1)，B(4,3)，求经过两直线2x－3y＋1＝0和3x＋2y－1＝0的交点和线段AB中点的直线l的方程．
[解析] 由解得所以交点坐标为(，)．
又线段AB的中点坐标为(1,2)，所以由两点式＝，得l的方程为7x－4y＋1＝0.
6．已知点A(1，－1)，点B(3,5)，点P是直线y＝x上的动点，当|PA|＋|PB|的值最小时，求点P的坐标．
[解析] 如图，直线AB与直线y＝x交于点Q，
则当点P移动到点Q位置时，|PA|＋|PB|的值最小．
直线AB的方程为y－5＝(x－3)，即3x－y－4＝0.
解方程组得于是当|PA|＋|PB|的值最小时，点P的坐标为(2,2)．
7．已知直线l：y＝3x＋3，求：
(1)点P(4,5)关于l的对称点坐标；
(2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程；
(3)直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程．
[解析] (1)设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点M在直线l上，且直线PP′⊥l，
即解得
所以点P′(－2,7)．
(2)设直线l1：y＝x－2关于直线l对称的直线为l2，则l1上任一点P1(x1，y1)关于l的对称点P2(x2，y2)一定在l2上，反之也成立，
所以
解得
把(x1，y1)代入y＝x－2，整理得：7x2＋y2＋22＝0，
所以l2的方程为7x＋y＋22＝0.
(3)设直线l关于点A(3,2)的对称直线l′，
由l∥l′可设：y′＝3x′＋b.
任取y＝3x＋3上的点(0,3)关于A(3,2)对称的点(x′，y′)一定在l′上，
则解得
将x′＝6，y′＝1，代入y′＝3x′＋b，得b＝－17，
即所求直线的方程为3x－y－17＝0.
第二章 §1 1.5
一、选择题
1．已知A(3,7)，B(2,5)，则A，B两点间的距离为( )
A．5 B．
C．3 D．
[答案] B
[解析] 由平面内两点间的距离公式可知|AB|＝＝.
2．点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离是( )
A． B．
C． D．
[答案] C
[解析] 由点到直线的距离公式可得＝.
3．已知点P(a，b)是第二象限的点，那么它到直线x－y＝0的距离是( )
A．(a－b) B．b－a
C．(b－a) D．
[答案] C
[解析] ∵P(a，b)是第二象限点，
∴a<0，b>0.
∴a－b<0.
∴点P到直线x－y＝0的距离d＝＝(b－a)．
4．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|＝( )
A．5 B．4
C．2 D．2
[答案] C
[解析] 设A(x,0)，B(0，y)，因P为AB的中点，
则x＝4，y＝－2，∴|AB|＝＝2.
5．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O是坐标原点，则|OP|的最小值是( )
A． B．
C．2 D．
[答案] C
[解析] |OP|最小即OP⊥l时，
∴|OP|min＝＝2.
6．已知两直线2x＋3y－3＝0与mx＋6y＋1＝0平行，则它们间的距离等于( )
A． B．
C． D．4
[答案] C
[解析] ∵直线2x＋3y－3＝0的斜率k1＝－，
直线mx＋6y＋1＝0的斜率k2＝－，
∴－＝－，得m＝4.
∴它们间的距离d＝＝.
二、填空题
7．已知A(a,6)，B(3，－2)，且|AB|＝17，则实数a的值为________．
[答案] 18或－12
[解析] |AB|＝＝17，
解得a＝18或a＝－12.
8．直线2x－y－1＝0与直线6x－3y＋10＝0的距离是________．
[答案]
[解析] 方法一：在方程2x－y－1＝0中令x＝0，则y＝－1，即(0，－1)为直线上的一点．由点到直线的距离公式，得所求距离为＝.
方法二：直线2x－y－1＝0可化为6x－3y－3＝0，则所求距离为＝＝.
三、解答题
9．过点P(1,2)引一直线，使它与两点A(2,3)、B(4，－5)的距离相等，求这条直线方程．
[解析] 方法一：设所求直线为y－2＝k(x－1)，即
kx－y＋2－k＝0，
由已知得＝，
解得k＝－4或－，
故所求直线为3x＋2y－7＝0或4x＋y－6＝0.
方法二：因为A(2,3)，B(4，－5)到这条直线的距离相等，
所以这条直线与AB平行或过AB的中点．
当与直线AB平行时，k＝kAB＝＝－4，
直线方程为y－2＝－4(x－1)，即4x＋y－6＝0.
当直线过AB的中点(3，－1)时，由两点式得
方程为＝，即3x＋2y－7＝0.
故所求直线方程为4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0.
一、选择题
1．过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与直线y＝x＋m平行，则|AB|＝( )
A．6 B．
C．2 D．不能确定
[答案] B
[解析] 由题意得kAB＝＝1，即b－a＝1，
∴|AB|＝＝，故选B.
2．P，Q分别为3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋6＝0上任一点，则|PQ|的最小值为( )
A． B．
C．3 D．6
[答案] C
[解析] |PQ|的最小值是这两条平行线间的距离．在直线3x＋4y－12＝0上取点(4,0)，然后利用点到直线的距离公式得PQ的最小距离为3.
二、填空题
3．若直线l经过点A(5,10)，且坐标原点到直线l的距离为10，则直线l的方程是________．
[答案] 4x＋3y－50＝0或y＝10
[解析] ①k存在时，设直线方程为y－10＝k(x－5)，
∴10＝.
∴k＝－或k＝0.
∴y－10＝－(x－5)或y＝10.
②k不存在时，x＝5不符合题意．
综上所述，4x＋3y－50＝0或y＝10为所求．
4．点P(m＋n，－m)到直线＋＝1的距离为______．
[答案]
[解析] 将直线＋＝1化为一般式为nx＋my－mn＝0，故P(m＋n，－m)到直线＋＝1的距离d＝＝.
三、解答题
5．已知点A(1,3)，B(3,1)，C(－1,0)，求△ABC的面积．
[解析] 设AB边上的高为h，则S△ABC＝|AB|·h，
|AB|＝＝2，
AB边上的高h就是点C到AB的距离，
AB边所在直线方程为：＝，
即：x＋y－4＝0.
点C到x＋y－4＝0的距离
h＝＝.
因此S△ABC＝×2×＝5.
6．直线l经过A(2,4)，且被平行直线x－y＋1＝0与x－y－1＝0所截得的线段的中点在直线x＋y－3＝0上，求直线l的方程．
[解析] 解法一：设所求的直线的斜率为k，则所求直线l的方程为y－4＝k(x－2)．
由
可解得P(，)；
由
可解得B(，)．
∴P、B的中点D的坐标为(，)．
又∵D在直线x＋y－3＝0上，
∴＋－3＝0，解之得k＝5.
所以，所求直线的方程为y－4＝5(x－2)，
即5x－y－6＝0.
解法二：与x－y－1＝0及x－y＋1＝0等距离的直线必定与它们是平行的，所以设x－y＋c＝0，从而＝，解之得，c＝0，∴x－y＝0，又截得的线段的中点在x＋y－3＝0上，∴由可解得中点坐标为(，)，所以直线l过点(2,4)和(，)，
从而得l的方程为5x－y－6＝0.
7．已知点P(2，－1)，求：
(1)过点P且与原点的距离为2的直线方程；
(2)过点P且与原点的距离最大的直线方程，并求出最大值；
(3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．
[解析] (1)当斜率不存在时，方程x＝2适合题意
当直线的斜率存在时，设为k，则直线方程应为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.
根据题意＝2，解得k＝.
∴直线方程为3x－4y－10＝0.
∴所求直线方程应为x－2＝0或3x－4y－10＝0.
(2)过点P且与原点的距离最大的直线方程应为过点P且与OP垂直的直线，易求其方程2x－y－5＝0，且最大距离d＝.
(3)由于原点到过点(2，－1)的直线的最大距离，而6>.
∴这样的直线不存在．
第二章 §2 2.1
一、选择题
1．以点(2，－1)为圆心，以为半径的圆的标准方程是( )
A．(x＋2)2＋(y－1)2＝ B．(x＋2)2＋(y－1)2＝2
C．(x－2)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－2)2＋(y＋1)2＝
[答案] C
2．已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是( )
A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13 B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52
[答案] A
[解析] 设直径两端点为A(x,0) B(0，y)，则圆心(2，－3)为直径中点，
∴即.∴A(4,0)，B(0，－6)．
∴r＝|AB|＝·＝，
∴圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.
3．直线x＋2y＋3＝0将圆(x－a)2＋(y＋5)2＝3的周长平分，则a等于( )
A．13 B．7
C．－13 D．以上答案都不对
[答案] B
[解析] 当直线过圆心时直线才将圆的周长平分，所以将圆心(a，－5)代入直线方程x＋2y＋3＝0，得a＋2×(－5)＋3＝0.解得a＝7.
4．圆心为(1,1)且与直线x＋y＝4相切的圆的方程是( )
A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝ B．(x－1)2＋(y－1)2＝
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
[答案] D
[解析] 圆的半径r即为圆心(1,1)到直线x＋y－4＝0的距离d＝＝，所以圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
5．如图所示，ACB为一弓形，且A，B，C的坐标分别为(－4,0)，(4,0)，(0,2)，那么弓形所在圆的方程为( )
A．x2＋y2＝16 B．x2＋y2＝4
C．x2＋(y＋2)2＝20 D．x2＋(y＋3)2＝25
[答案] D
[解析] ∵圆心在弦AB的中垂线上，
∴圆心在y轴上，可设P(0，b)，∵|AP|＝|CP|，
∴＝|2－b|，解得b＝－3，
∴圆心P(0，－3)．半径r＝|CP|＝5，
∴圆的标准方程为x2＋(y＋3)2＝25.
6．圆心在直线2x－y＝3上，且与两坐标轴相切的圆的标准方程为( )
A．(x－3)2＋(y－3)2＝9
B．(x－1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x－3)2＋(y－3)2＝9或(x－1)2＋(y＋1)2＝1
D．不存在
[答案] C
[解析] 设圆心为C(a，b)，则|a|＝|b|，∵圆心在2x－y＝3上，∴当a＝b时代入得a＝b＝3，圆的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝9.
当a＝－b时，同理得a＝1，b＝－1，故选C.
二、填空题
7．(2014·陕西理，12)若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________．
[答案] x2＋(y－1)2＝1
[解析] 本题考查圆的标准方程，点关于直线的对称点求法．
(1,0)关于直线y＝x的对称点为(0,1)，
∴标准方程为x2＋(y－1)2＝1.
点(a，b)关于直线y＝x的对称点是(b，a)．
8．与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16同心且过点P(－1,1)的圆的方程是________．
[答案] (x－2)2＋(y＋3)2＝25
[解析] 设圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝r2，把点P(－1,1)代入可得r2＝25.
三、解答题
9．已知一个圆经过两个点A(2，－3)和B(－2，－5)，且圆心在直线l：x－2y－3＝0上，求此圆的方程．
[解析] 解法一：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
由已知条件得
即 ∴
∴所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
解法二：由A(2，－3)，B(－2，－5)得
AB的中点为(0，－4)，kAB＝，
∴AB的垂直平分线的方程为y＋4＝－2x，
即2x＋y＋4＝0，
解方程组 得
∴圆心为(－1，－2)，
半径r＝＝.
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
解法三：设点C是圆心，
∵点C在直线l上，∴设点C(2b＋3，b)．
又∵|CA|＝|CB|，
∴＝，
解得b＝－2，∴圆心为C(－1，－2)，半径r＝，
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
一、选择题
1． 以点(2，－1)为圆心且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的方程为( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3 B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3
C．(x－2)2＋(y＋1)2＝9 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝9
[答案] C
[解析] 首先排除B、D，由圆心到直线的距离等于半径，求得圆的半径为3.∴C正确．
2．设实数x，y满足(x＋3)2＋y2＝6，那么的最大值是( )
A． B．
C． D．
[答案] C
[解析] 令＝k，即y＝kx，直线y＝kx与圆相切时恰好k取最值．
二、填空题
3．已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为________．
[答案] (x－2)2＋y2＝10
[解析] 由题意，知线段AB中点为M(3,2)，kAB＝－，
所以线段AB的中垂线所在的直线方程为y－2＝2(x－3)．
由得圆心的坐标为(2,0)．
则圆C的半径r＝＝.
故圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.
4．一束光线从点A(－1,1)发出，经x轴反射到圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1，最短路程为__________．
[答案] 4
[解析] 设光线与x轴交于B(x,0)，
依题意得kBC＋kBA＝0.即＋＝0.
解得x＝－，于是最短路程为：
d＝＋－1＝4.
三、解答题
5．求满足下列条件的圆的标准方程：
(1)圆心C(8，－3)且过点P(5,1)；
(2)圆心在x轴上，半径为5，且截y轴所得线段长为8.
[解析] (1)方法一：设圆的标准方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝r2，
∵点P(5,1)在圆上，∴(5－8)2＋(1＋3)2＝r2.
∴r2＝25.
∴所求圆的标准方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝25.
方法二：∵圆的半径为
r＝|CP|＝＝5，
又圆心为C(8，－3)，
∴所求圆的标准方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝25.
(2)如图，由题意|AC|＝r＝5，
|AB|＝8.∴|AO|＝4.
在Rt△AOC中，
|OC|＝＝＝3.
设点C坐标为(a,0)，则|OC|＝|a|＝3，∴a＝±3.
∴所求圆的方程为(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25.
6．已知隧道的截面是半径为4 m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m，高为3 m的货车能不能驶入这个隧道？
[解析] 以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系，如图，那么半圆的方程为：x2＋y2＝16(y≥0)．
将x＝2.7代入，得y＝＝<3，
即在离中心线2.7 m处，隧道的高度低于货车的高度，因此，货车不能驶入这个隧道．
7．已知平面直角坐标系中有四个点A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，D(－1,2)，这四点能否在同一个圆上？为什么？
[解析] 设经过A，B，C三点的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．
代入三点的坐标得
解方程组，得
所以经过A，B，C三点的圆的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝5.
将D点坐标代入圆的标准方程的左边，得(－1－1)2＋(2－3)2＝5，
所以点D在圆上，
故A，B，C，D四点在同一个圆上．
第二章 §2 2.2
一、选择题
1．圆的方程为(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y＋4)＝0，则圆心坐标为( )
A．(1，－1) B．(，－1)
C．(－1,2) D．(－，－1)
[答案] D
[解析] 将圆的方程化为(x＋)2＋(y＋1)2＝，即可得到圆心坐标为(－，－1)．
2．若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)所表示的圆与x轴相切，则有( )
A．D2－4F＝0 B．D2－4E＝0
C．D＝E D．D2＋4F＝0
[答案] A
[解析] 由于圆与x轴相切，
所以|－|＝，整理得D2－4F＝0.
3．圆C∶x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x－y＝1的距离为
A．2 B．
C．1 D．
[答案] D
[解析] 圆C的方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝2，得圆心C(1，－2)，则圆心到直线x－y＝1的距离为＝.
4．若圆x2＋y2＝4和圆x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l对称，那么l的方程是( )
A．x＋y＝0 B．x＋y－2＝0
C．x－y－2＝0 D．x－y＋2＝0
[答案] D
[解析] l为两圆圆心的垂直平分线，两圆圆心为(0,0)和(－2,2)，其中点为(－1,1)，垂直平分线斜率为1，方程为y－1＝x＋1即x－y＋2＝0.
5．圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与两坐标轴都相交的条件是( )
A．D>E>4F B．E>D>4F
C．D2<4F且E2<4F D．D2>4F且E2>4F
[答案] D
[解析] 令x＝0得，y2＋Ey＋F＝0，要使与y轴相交，应有E2－4F>0即E2>4F；令y＝0得，x2＋Dx＋F＝0，要使与x轴相交，应有D2－4F>0即D2>4F.故应选D.
6．方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是半径为r(r>0)的圆，则该圆圆心在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] D
[解析] 圆心坐标为.
∵a2＋4a2－4(2a2＋3a)>0，∴－4∴圆心在第四象限．故选D.
二、填空题
7．若直线3x－4y＋12＝0与两坐标轴交点为A，B，则以线段AB为直径的圆的一般方程为________．
[答案] x2＋y2＋4x－3y＝0
[解析] 依题意A(－4,0)，B(0,3)，
∴AB中点C的坐标为(－2，)，半径r＝|AC|＝＝，
∴圆的方程为(x＋2)2＋(y－)2＝()2，
即x2＋y2＋4x－3y＝0.
8．若使圆x2＋y2＋2x＋ay－a－12＝0(a为实数)的面积最小，则a＝________.
[答案] －2
[解析] 圆的半径r＝
＝
＝，
∴当a＝－2时，r最小，从而圆面积最小．
三、解答题
9．判断方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圆，表示圆时求出圆心和半径．
[解析] 解法一：由方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0，可知D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20，
∴D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2，
因此，当m＝2时，它表示一个点；
当m≠2时，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m，－m)，
半径为r＝＝|m－2|.
解法二：原方程可化为
(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2，
因此，当m＝2时，它表示一个点；
当m≠2时，原方程表示圆的方程，
此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为r＝|m－2|.
一、选择题
1． 当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，半径为的圆的方程为( )
A．x2＋y2－2x＋4y＝0 B．x2＋y2＋2x＋4y＝0
C．x2＋y2＋2x－4y＝0 D．x2＋y2－2x－4y＝0
[答案] C
[解析] 令a＝0，a＝1，得方程组解得所以C(－1,2)．则圆C的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，即x2＋y2＋2x－4y＝0.
2．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
[答案] A
[解析] 本题考查代入法求动点的轨迹方程．
设中点坐标为(x，y)，圆上的任意点为(x0，y0)，
∴，∴，
又点(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，
∴(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，∴(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
二、填空题
3．圆x2＋y2＋x－6y＋3＝0上两点P，Q关于直线kx－y＋4＝0对称，则k＝________.
[答案] 2
[解析] 圆心(－，3)在直线上，代入kx－y＋4＝0，得k＝2.
4．若实数x，y满足x2＋y2－6x＋8y＋24＝0，则x2＋y2的最大值等于________．
[答案] 36
[解析] 依题意，点P(x，y)在圆x2＋y2－6x＋8y＋24＝0上，即(x－3)2＋(y＋4)2＝1，而x2＋y2表示点P与原点O距离的平方．由于已知圆的圆心为C(3，－4)，半径r＝1.
又|OC|＝5，所以点P与原点O距离的最大值为1＋5＝6，从而x2＋y2的最大值是36.
三、解答题
5．已知x2＋y2＋(t＋1)x＋ty＋t2－2＝0表示一个圆．
(1)求t的取值范围；
(2)若圆的直径为6，求t的值．
[解析] (1)∵方程表示一个圆，则有D2＋E2－4F>0，
∴(t＋1)2＋t2－4(t2－2)>0.
∴2t>－9，
即t>－.
(2)由条件知，圆的半径是3，
∴3＝.
∴2t＋9＝36.
∴t＝>－.
∴t＝.
6．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径为，求圆的一般方程．
[解析] 圆心C(－，－)，
∵圆心在直线x＋y－1＝0上，
∴－－－1＝0，即D＋E＝－2， ①
又r＝＝，
∴D2＋E2＝20， ②
由①②可得或
又圆心在第二象限，
∴－<0，即D>0，
∴
∴圆的方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
7．已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明其轨迹．
[解析] 设点M的坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)．
由于点B的坐标是(4,3)，且点M是线段AB的中点，
所以x＝，y＝，
于是有x0＝2x－4，y0＝2y－3.
因为点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，
所以点A的坐标满足方程(x＋1)2＋y2＝4，
即(x0＋1)2＋y＝4.
把x0＝2x－4，y0＝2y－3代入上面的方程得
(2x－4＋1)2＋(2y－3)2＝4，
整理得2＋2＝1.
所以，点M的轨迹方程是2＋2＝1.
点M的轨迹是以为圆心，1为半径的圆．
第二章 §2 2.3 第1课时
一、选择题
1．直线4x＋3y－40＝0与圆x2＋y2＝100的位置关系是( )
A．相离 B．相切
C．相交 D．相切或相离
[答案] C
[解析] 圆心O到直线的距离d＝＝8<10＝r，∴直线与圆相交．
2．直线y＝kx被圆x2＋y2＝2截得的弦AB长等于( )
A．4 B．2
C．2 D．
[答案] C
[解析] 直线y＝kx过圆心，被圆x2＋y2＝2所截得的弦长恰为圆的直径2，故选C.
3．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为( )
A．x＋y－2＝0 B．x＋y－4＝0
C．x－y＋4＝0 D．x－y＋2＝0
[答案] D
[解析] 设所求切线方程为y－＝k(x－1)．
解法一：?x2－4x＋(kx－k＋)2＝0.
该二次方程应有两个相等实根，则Δ＝0，解得k＝.
∴y－＝(x－1)，即x－y＋2＝0.
解法二：点(1，)在圆x2＋y2－4x＝0上，
∴点P为切点，从而圆心与P的连线应与切线垂直．
又∵圆心为(2,0)，∴·k＝－1.解得k＝，
∴切线方程为x－y＋2＝0.
解法三：把x2＋y2－4x＝0配方，得(x－2)2＋y2＝22，圆心坐标为(2,0)，而过点P的半径所在直线的斜率为－，则切线斜率为，由此排除A、B，再代入P(1，)，排除C.
4．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( )
A．[－3，－1] B．[－1,3]
C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
[答案] C
[解析] 本题考查直线与圆的位置关系．圆的圆心为(a,0)，半径为，所以≤，即|a＋1|≤2，∴－2≤a＋1≤2，∴－3≤a≤1，几何法是解决直线与圆交点个数问题的常规方法．
5．圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝8上与直线x＋y＋1＝0的距离等于的点共有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案] C
[解析] 圆心到直线的距离d＝＝，
r＝2，
所以直线与圆相交．又r－d＝，
所以劣弧上到直线的距离等于的点只有1个，在优弧上到直线距离等于的点有2个．
6．(陕西高考)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( )
A．相切 B．相交
C．相离 D．不确定
[答案] B
[解析] 本题考查直线与圆的位置关系判定，点到直线距离公式等．
由点(a，b)在圆x2＋y2＝1外知a2＋b2>1，而圆心(0,0)到直线ax＋by＝1的距离为d＝<1，所以直线与圆相交．
二、填空题
7．已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1,2)，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________．
[答案]
[解析] 本题考查直线和圆的位置关系、点到直线的距离公式以及运算能力．
由题意知切线的斜率存在，设为k，
切线方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0，
由点到直线的距离公式，得＝，
解得k＝－，∴切线方程为－x－y＋＝0，
令x＝0，y＝，令y＝0，x＝5，
∴三角形面积为S＝××5＝.
8．(2014·湖北理，12)直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝________.
[答案] 2
[解析] 本题考查直线与圆的位置关系．
依题意，圆心O(0,0)到两直线l1：y＝x＋a，l2：y＝x＋b的距离相等，且每段弧长等于圆周的，即＝＝1×sin45°＝，得|a|＝|b|＝1.故a2＋b2＝2.
三、解答题
9．在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．
[解析] (1)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3＋2，0)，(3－2，0)．
故可设圆心C为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2，解得t＝1.
则圆C的半径为＝3.
所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组：
消去y，得到方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0.
由已知可得，判别式Δ＝56－16a－4a2>0.
因此x1,2＝，
从而x1＋x2＝4－a，x1x2＝. ①
由OA⊥OB，可得x1x2＋y1y2＝0.
又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，
所以2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0. ②
由①②得a＝－1，满足Δ>0，故a＝－1.
一、选择题
1．直线a(x＋1)＋b(y＋1)＝0与圆x2＋y2＝2的位置关系是( )
A．相切 B．相离
C．相切或相交 D．相切或相离
[答案] C
[解析] 直线过定点(－1，－1)，而点(－1，－1)恰巧是圆x2＋y2＝2上一点，故直线与圆相切或相交．
2．如果实数x，y满足(x－2)2＋y2＝3，那么的最大值是( )
A． B．
C． D．
[答案] D
[解析] ＝，即圆(x－2)2＋y2＝3上的点和原点(0,0)连线斜率的最大值．
如图所示，OA取得最大值kOA＝.故选D.
二、填空题
3．已知圆的方程是x2＋y2＝2，则经过圆上一点(1，－1)的切线方程是__________．
[答案] x－y＝2
[解析] 因为过x2＋y2＝r2上一点(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2，故x－y＝2即为所求．
4．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．
[答案] (－13,13)
[解析] 由题意知，圆心O(0,0)到直线12x－5y＋c＝0的距离d<1，∴<1，∴－13三、解答题
5．求实数m，使直线x－my＋3＝0和圆x2＋y2－6x＋5＝0.
(1)相交；(2)相切；(3)相离．
[解析] 圆的方程为(x－3)2＋y2＝4，圆心为(3,0)，半径为r＝2，圆心到直线的距离d＝.
(1)若直线与圆相交，则d即<2，
解得m<－2或m>2.
(2)若直线与圆相切，则d＝r，
即＝2，
解得m＝－2或2.
(3)若直线与圆相离，则d>r，
即>2，
解得－26．已知直线l过点P(2,3)且与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切，求直线l的方程．
[解析] 经检验知，点P(2,3)在圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1的外部，①若直线l的斜率存在，
则设直线l的方程为y－3＝k(x－2)．
∵直线l与圆相切，
∴＝1，解得：k＝.
∴所求直线l的方程为：y－3＝(x－2)，
即：12x－5y－9＝0.
②若直线l的斜率不存在，
则直线x＝2也符合题意，
∴所求直线l的方程为：x＝2，
综上可知，所求直线l的方程为
12x－5y－9＝0或x＝2.
7．已知圆C∶(x－3)2＋(y－4)2＝4和直线l∶kx－y－4k＋3＝0.
(1)求证：不论k取何值，直线和圆总相交；
(2)求k取何值时，圆被直线截得的弦最短，并求最短弦的长．
[解析] 解法一：(1)∵圆的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝4，
∴圆心为C(3,4)，半径为2，
∴圆心到直线的距离为
d＝＝.
假设d＝<2，
即3k2－2k＋3>0.
∵Δ＝(－2)2－36<0，
∴k为任意实数，
∴不论k取什么值，d<2，即不论k取什么值时，直线和圆都相交．
(2)设直线和圆的交点为A，B，则由勾股定理得(|AB|)2＝r2－d2，
当d最大时，AB最小．
∵d＝＝＝；
∵k2＋1－2k＝(k－1)2≥0；
∴k2＋1≥2k.
∴≤1，当k＝1时取等号．
∴当k＝1时，d的值最大，且为，此时有
(|AB|)2＝r2－d2＝4－2＝2，
即|AB|＝2.
∴当k＝1时，圆被直线截得的弦最短，最短弦长为2.
解法二：圆的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝4，
∴圆心为C(3,4)，半径为r＝2.
(1)直线方程可化为k(x－4)＋(3－y)＝0，
∴直线过定点P(4,3)．
∵(4－3)2＋(3－4)2<4，
∴点P在圆C内部．
∴直线kx－y－4k＋3＝0与圆C总相交．
(2)∵直线经过定点P(4,3)，
∴当PC与直线垂直时，圆被直线截得的弦最短．
设直线与圆的交点为A，B，则由勾股定理得
(|AB|)2＝r2－|CP|2＝4－2＝2.
∴|AB|＝2.
∵PC与直线kx－y－4k＋3＝0垂直，直线PC的斜率为kPC＝＝－1，
∴直线kx－y－4k＋3＝0的斜率为k＝1，
∴当k＝1时，圆被直线截得的弦最短，最短弦长为2.
第二章 §2 2.3 第2课时
一、选择题
1．已知圆C1，C2相切，圆心距为10，其中圆C1的半径为4，则圆C2的半径为( )
A．6或14 B．10
C．14 D．不确定
[答案] A
[解析] 由题意知，r＋4＝10或10＝|r－4|，
∴r＝6或r＝14.
2．设r>0，两圆C1：(x－1)2＋(y＋3)2＝r2与C2：x2＋y2＝16不可能( )
A．相切 B．相交
C．内切或内含或相交 D．外切或相离
[答案] D
[解析] 圆C1的圆心为(1，－3)，圆C2的圆心为(0,0)，圆心距d＝，于是d＝<4＋r，但可能有d＝|4－r|或d<|4－r|，
故两圆不可能外切或相离，但可能相交、内切、内含．
3．两圆x2＋y2－6x＋16y－48＝0与x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切线条数是( )
A．4 B．3
C．2 D．1
[答案] C
[解析] 圆O1为(x－3)2＋(y＋8)2＝121，
O1(3，－8)，r＝11；圆O2为(x＋2)2＋(y－4)2＝64，
O2(－2,4)，R＝8，
∴|O1O2|＝＝13，
∴|r－R|<|O1O2|∴两圆相交，∴公切线有2条．
4．半径为5且与圆x2＋y2－6x＋8y＝0相切于原点的圆的方程为( )
A．x2＋y2－6x－8y＝0
B．x2＋y2＋6x－8y＝0
C．x2＋y2＋6x＋8y＝0
D．x2＋y2＋6x－8y＝0或x2＋y2＋6x＋8y＝0
[答案] B
[解析] 由题意知所求圆与已知圆只能外切，
∴选项中只有B项适合题意．
5．半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程是( )
A．(x－4)2＋(y－6)2＝6 B．(x±4)2＋(y－6)2＝6
C．(x－4)2＋(y－6)2＝36 D．(x±4)2＋(y－6)2＝36
[答案] D
[解析] 设圆心坐标为(a，b)，由所求圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1相内切，可知所求圆的圆心必在x轴的上方，且b＝6，即圆心为(a,6)．由两圆内切，
可得＝6－1＝5.∴a＝±4.
∴所求圆的方程为(x±4)2＋(y－6)2＝36.故应选D.
6．若两圆(x＋1)2＋y2＝4和(x－a)2＋y2＝1相交，则a的取值范围是( )
A．0C．－4[答案] B
[解析] 两圆圆心C1(－1,0)和C2(a,0)，
半径r1＝2，r2＝1，
∵两圆相交，∴1<|C1C2|<3，∴1<|a＋1|<3.
∴0二、填空题
7．若圆B：x2＋y2＋b＝0与圆C：x2＋y2－6x＋8y＝0没有公共点，则b的取值范围是________．
[答案] b<－100
[解析] 由已知圆B：x2＋y2＝－b，
∴－b>0，b<0.
又圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝25，
∵圆B的圆心恰在圆C上，要想两圆无公共点，圆B的半径>10，∴b<－100.
8．圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴相交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C与圆C′：(x－2)2＋(y－3)2＝25的公共弦长为________．
[答案]
[解析] 圆C的圆心坐标为(2，－3)，半径为＝，所以圆C的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5①
又C′：(x－2)2＋(y－3)2＝25②
①－②得公共弦所在直线方程为y＝－，所以公共弦长为l＝2＝.
三、解答题
9．已知圆M：x2＋y2＝10和N：x2＋y2＋2x＋2y－14＝0.
(1)求两圆的公共弦所在的直线方程；
(2)求过两圆交点且圆心在x＋2y－3＝0上的圆的方程．
[解析] (1)两圆方程相减得2x＋2y－4＝0，
∴x＋y－2＝0即为两圆的公共弦所在的直线方程．
(2)由得两圆交点为A(－1,3)，B(3，－1)．由两圆方程可得圆心连线为y＝x，由圆的性质，所求圆的圆心在y＝x上，由得x＝y＝1，
故所求圆的圆心C(1,1)，半径r＝|AC|＝＝2，
∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝8.
一、选择题
1．点M在圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4上，点N在圆C2：(x－1)2＋(y＋2)2＝4上，则MN的最大值是( )
A．5 B．7
C．9 D．11
[答案] C
[解析] C1为(x＋3)2＋(y－1)2＝4，C2为(x－1)2＋(y＋2)2＝4，所以圆心分别为(－3,1)，(1，－2)，所以两圆圆心距为5.又两圆半径分别为2,2，所以两圆外离，所以MN的最大值是5＋2＋2＝9.
2．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则实数a，b应满足的关系是( )
A．a2－2a－2b－3＝0 B．a2＋2a＋2b＋5＝0
C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0 D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0
[答案] B
[解析] 若要一圆始终平分另一个圆的周长，只需两圆的公共弦经过小圆的圆心即可．公共弦方程为：(x－a)2＋(y－b)2－b2－1－[(x＋1)2＋(y＋1)2－4]＝0，即：(2＋2a)x＋(2＋2b)y－1－a2＝0，小圆圆心为(－1，－1)，代入上式得a2＋2a＋2b＋5＝0.故应选B.
二、填空题
3．半径为3，且与圆x2＋y2－2x＋4y＋1＝0相外切的圆的圆心的轨迹方程是________．
[答案] (x－1)2＋(y＋2)2＝25
[解析] 圆x2＋y2－2x＋4y＋1＝0可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝4，故其圆心为(1，－2)，半径为2，因两圆外切，所以圆心距为3＋2＝5，因此动圆的圆心到点(1，－2)的距离等于5，其轨迹是以(1，－2)为圆心，半径等于5的圆，其方程是(x－1)2＋(y＋2)2＝25.
4．两圆相交于点A(1,3)、B(m，－1)，两圆的圆心均在直线x－y＋c＝0上，则m＋c的值为________．
[答案] 3
[解析] AB的中点在直线x－y＋c＝0上．
∴－1＋c＝0，∴m＋2c＝1.
又∵kAB＝－1＝＝，∴m＝5.
∴c＝－2，∴m＋c＝3.
三、解答题
5．求经过直线x＝－2与已知圆x2＋y2＋2x－4y－11＝0的交点的所有圆中，具有最小面积的圆的方程．
[解析] 解法一：解方程组
得两交点的坐标为A(－2,2＋)，B(－2,2－)．
从而圆心C的坐标为(－2,2)．
半径r＝·|AB|＝|2＋－(2－)|＝.
因此，所求圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝15.
解法二：直线x＝－2与圆x2＋y2＋2x－4y－11＝0的交点A，B的横坐标都为－2，从而圆心C的横坐标为－2，设A、B的纵坐标分别为y1、y2，把直线方程代入圆方程，整理得y2－4y－11＝0.
则y1＋y2＝4，y1y2＝－11.
∴圆心的纵坐标为＝2.
半径r＝|y2－y1|＝·
＝＝.
因此，所求圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝15.
解法三：∵直线x＋2＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－11＝0相交，
故可设过交点的圆的方程为
x2＋y2＋2x－4y－11＋λ(x＋2)＝0，
即x2＋(λ＋2)x＋y2－4y＋2λ－11＝0.
∴半径r＝
＝.
要使圆面积最小，只需半径r最小．
当λ＝2时，r最小值为，
因此，所求圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝15.
6．已知圆x2＋y2－4ax＋2ay＋20(a－1)＝0.
(1)求证对任意实数a，该圆恒过一定点；
(2)若该圆与圆x2＋y2＝4相切，求a的值．
[解析] (1)将圆的方程整理，得
(x2＋y2－20)＋a(－4x＋2y＋20)＝0，
此方程表示过圆x2＋y2＝20与直线－4x＋2y＋20＝0的交点的圆系，
解方程组解得
所以该圆恒过定点(4，－2)．
(2)圆的方程可化为(x－2a)2＋(y＋a)2＝5a2－20a＋20＝5(a－2)2.
若两圆外切，则r1＋r2＝O1O2，
即2＋＝，解得a＝1＋.
若两圆内切，则|r1－r2|＝O1O2，
即|－2|＝，
解得a＝1－，或a＝1＋(舍)．
综上所述，a＝1±.
7．已知半径为5的动圆C的圆心在直线l：x－y＋10＝0上．
(1)若动圆C过点(－5,0)，求圆C的方程；
(2)是否存在正实数r，使得动圆C中满足与圆O：x2＋y2＝r2相外切的圆有且仅有一个？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．
[解析] (1)依题意，可设动圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝25，其中圆心(a，b)满足a－b＋10＝0.
又∵动圆过点(－5,0)，∴(－5－a)2＋(0－b)2＝25.
解方程组
可得或
故所求圆C的方程为(x＋10)2＋y2＝25或(x＋5)2＋(y－5)2＝25.
(2)圆O的圆心(0,0)到直线l的距离d＝＝5.
当r满足r＋5当r满足r＋5>d时，r每取一个数值，动圆C中存在两个圆与圆O：x2＋y2＝r2相外切；
当r满足r＋5＝d时，即r＝5－5时，动圆C中有且仅有1个圆与圆O：x2＋y2＝r2相外切．
综上可知，存在r＝5－5满足条件．
第二章 §3
一、选择题
1．有下列叙述：
①在空间直角坐标系中，在Ox轴上的点的坐标一定是(0，b，c)；
②在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定是(0，b，c)；
③在空间直角坐标系中，在Oz轴上的点的坐标可记作(0,0，c)；
④在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标是(a,0，c)．
其中正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] C
[解析] ②③④正确．
2．已知点A(－1,2,7)，则点A关于x轴对称的点的坐标为( )
A．(－1，－2，－7) B．(－1，－2,7)
C．(1，－2，－7) D．(1,2，－7)
[答案] A
[解析] 在空间中，若点关于x轴对称，则x坐标不变，其余均变为相反数．由于点A(－1,2,7)关于x轴对称，因此对称点A′(－1，－2，－7)．
3．点A(1,2,3)关于xOy平面的对称点为A1，点A关于xOz平面的对称点为A2，则d(A1，A2)＝( )
A．2 B．
C．6 D．4
[答案] A
[解析] A(1,2,3)关于xOy的平面的对称点为A1(1,2，－3)，点A关于xOz平面的对称点为A2(1，－2,3)，
∴d(A1，A2)＝
＝＝2.
4．△ABC在空间直角坐标系中的位置及坐标如图所示，则BC边上中线AD的长是( )
A．2 B．
C．3 D．2
[答案] B
[解析] 由题意可知A(0,0,1)，B(4,0,0)，C(0,2,0)，所以BC边的中点坐标为D(2,1,0)，所以BC边的中线长|AD|＝＝.故应选B.
5．如图所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，棱长为1，点P在BD′上，BP＝BD′，则P点坐标为( )
A． B．
C． D．
[答案] D
[解析] 连BD′，点P在坐标平面xOy上的射影在BD上，
∵BP＝BD′，所以Px＝Py＝，Pz＝，
∴P.
6．已知A(1－t,1－t，t)，B(2，t，t)则|AB|的最小值为( )
A． B．
C． D．
[答案] C
[解析] |AB|＝＝＝≥＝.
二、填空题
7．以棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AD，AA1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则面AA1B1B对角线交点的坐标为________．
[答案]
[解析] 如图所示，A(0,0,0)，B1(1,0,1)．
面AA1B1B对角线交点是线段AB1的中点，由中点坐标公式得所求点的坐标为(，0，)．
8．在空间直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标分别是A(0,3,4)，B(3，－1,4)，C(，，4)，则△ABC是________三角形．
[答案] 直角
[解析] ∵|AB|＝＝5，
|AC|＝＝，
|BC|＝
＝，
而|AB|2＝|AC|2＋|BC|2，
∴△ABC是直角三角形．
三、解答题
9．正三棱柱ABC－A1B1C1底面边长为2，高为，D为A1B1的中点，建立适当的坐标系，写出A、B、C、D、C1、B1的坐标，并求出CD的长．
[解析] 取AC的中点为坐标原点，射线OA、OB分别为x轴、y轴，过点O作垂直于底面ABC的垂线为z轴，如图所示，建立空间直角坐标系，由题意知
A(1,0,0)，B(0，，0)，C(－1,0,0)，D(，，)，C1(－1,0，)，B1(0，，)．
∴|CD|＝＝.
一、选择题
1． 点B(，0,0)是点A(m,2,5)在x轴上的射影，则点A到原点的距离为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
[答案] C
[解析] A(m,2,5)在x轴上的射影是(m,0,0)，所以m＝，|OA|＝4.
2．已知ABCD为平行四边形，且A(－3,1,5)，B(1，－2,4)，C(0,3,7)，则点D的坐标为( )
A．(－4,2,1) B．(－4,6,8)
C．(2,3,1) D．(5,13，－3)
[答案] B
[解析] 设D(x，y，z)，由ABCD为平行四边形知，AC与BD互相平分，即AC与BD的中点重合，所以解之得故选B.
二、填空题
3．在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A(3，－1,2)，其中心M的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长等于________．
[答案]
[解析] 设正方体的棱长为a，显然C1和A点的中点为点M(0,1,2)．
∴C1(－3,3,2)．
∴|AC1|＝＝2＝a.
∴a＝.
4．已知点P在z轴上，且满足|PO|＝1(O为坐标原点)，则点P到点A(1,1,1)的距离是__________．
[答案] 或
[解析] 由题意P(0,0,1)或P(0,0，－1)，
所以|PA|＝或.
三、解答题
5．如图，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，P、Q分别是D′B，B′C的中点，求PQ的长．
[解析] 建立如图所示空间直角坐标系
∴B(a，a,0)，C(0，a,0)，B′(a，a，a)，D′(0,0，a)，
∴P(，，)，Q(，a，)．
∴|PQ|＝
＝.
6．正方形ABCD和ABEF的边长都是1，而且平面ABCD与平面ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0(1)求MN的长；
(2)求a为何值时，MN的长最小．
[解析] (1)∵面ABCD⊥面ABEF，而ABCD∩ABEF＝AB，AB⊥BE，
∴BE⊥面ABC.∴AB、BC、BE两两垂直．
∴以B为原点，以BA、BE、BC所在直线为x轴、y轴和z轴，建立如图所示空间直角坐标系．
则M(a,0,1－a)，N(a，a,0)．
|MN|＝
＝＝.
(2)则当a＝时，|MN|最短为，
此时，M、N恰为AC、BF的中点．
7．在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1)和B(1,0，－3)，试问：
(1)在y轴上是否存在点M，满足|MA|＝|MB|?
(2)在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，试求出点M的坐标．
[解析] (1)假设在y轴上存在点M满足|MA|＝|MB|，设M(0，y,0)，则有
＝，
由于此式对任意y∈R恒成立，
即y轴上所有点均满足条件|MA|＝|MB|.
(2)假设在y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形．
由(1)可知，y轴上任一点都满足|MA|＝|MB|，
所以只要|MA|＝|AB|就可以使得△MAB是等边三角形．
∵|MA|＝
＝，
|AB|＝＝，
∴＝，
解得y＝或y＝－.
故y轴上存在点M使△MAB为等边三角形，
点M的坐标为(0，，0)或(0，－，0)．
