必修1 第二章 基本初等函数（I） 2.2 对数函数同步训练A卷（含详细解析）
一．选择题（共10小题）
1．若log2x=4，则=（ ）
A． 4 B．±4 C．8 D． 16
2．下列指数式和对数式互化不正确的是（ ）
A．3x=1与logx3=1 B．2x=0.5与log20.5=x
C．x=log527与5x=27 D． x=lg0.3与10x=0.3
3．已知3x=2，，则2x+y的值为（ ）
A． 1 B． 2 C．3 D． 9
4．log212﹣log23=（ ）
A． 2 B．0 C． D．﹣2
5．计算log5+所得的结果为（ ）
A． 1 B． C． D．4
6．设2a=5b=m，且，则m=（ ）
A． B．10 C．20 D． 100
7．（log29）?（log34）=（ ）
A． B． C． 2 D． 4
8．下列函数表示式中，是对数函数的有（ ）
①y=logax（a∈R）；
②y=log8x；
③y=lnx；
④y=logx（x+2）；
⑤y=2log4x．
A． 1个 B． 2个 C．3个 D． 4个
9．函数y=的定义域是（ ）
A． B．
C．（，+∞） D．（，+∞）
10．已知0＜a＜b＜1，则（ ）
A．3b＜3a B．（lga）2＜（lgb）2 C．loga3＞logb3 D．（）a＜（）b21教育网
二．填空题（共6小题）
11．函数f（x）=+ln（1﹣x）的定义域是 _________ ．
12．函数的值域为 _________ ．
13．已知函数y=lg（2ax2+2x+1）（a＞0）的值域为R，则a的取值范围是 ________ ．21世纪教育网版权所有
14．已知U={y|y=log2x，x＞1}，P={y|y=，x＞2}，则?UP= _________ ．
15．已知函数y=loga（x+b）的图象如图所示，则ba= _________ ．
16．函数y=log2（x﹣1）的反函数是 _________ ．
三．解答题（共5小题）
17．求函数f（x）=的定义域和值域．
18．已知函数y=的值域为R，求a的取值范围．
19．设集合A={x|﹣2≤x≤3}，函数
（1）当k=﹣1时，求函数f（x）的值域．
（2）若 B为函数f（x）的定义域，当B?A时，求实数k的取值范围．
20．已知函数f（x）=log2（x+1），g（x）=log2（4﹣2x）．
（1）求f（x）﹣g（x）的定义域；
（2）求使f（x）﹣g（x）＞0的x的取值范围．
21．已知函数（a＞0，a≠1）是奇函数．
（1）求实数m的值；
（2）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并给出证明；
（3）当x∈（n，a﹣2）时，函数f（x）的值域是（1，+∞），求实数a与n的值．
参考答案及解析
一．选择题（共10小题）
1．若log2x=4，则=（ ）
A． 4 B．±4 C．8 D． 16
2．下列指数式和对数式互化不正确的是（ ）
A．3x=1与logx3=1 B．2x=0.5与log20.5=x
C．x=log527与5x=27 D． x=lg0.3与10x=0.3
答案：A
解：∵3x=1化为对数式应为lg31=x，故A不正确．
故选A．
3．已知3x=2，，则2x+y的值为（ ）
A． 1 B． 2 C．3 D． 9
答案：B
解：∵3x=2，
∴x=log32，
∵，
∴2x+y=2log32+==，
故选：B．
4．log212﹣log23=（ ）
A． 2 B．0 C． D．﹣2
答案：A
解：log212﹣log23
=log2（12÷3）
=log24
6．设2a=5b=m，且，则m=（ ）
A． B．10 C．20 D． 100
答案：A
解：，∴m2=10，又∵m＞0，∴．
故选A
7．（log29）?（log34）=（ ）
A． B． C． 2 D． 4
答案：D
解：（log29）?（log34）===4．
故选D．
8．下列函数表示式中，是对数函数的有（ ）
①y=logax（a∈R）；
②y=log8x；
③y=lnx；
④y=logx（x+2）；
⑤y=2log4x．
A． 1个 B． 2个 C．3个 D． 4个
答案：B
解：由于形如y=logax（a＞0，且a≠1）的函数即为对数函数，符合此形式的函数表达式有②、③，其他的均不符合．www.21-cn-jy.com
故选B．
9．函数y=的定义域是（ ）
A． B．
C．（，+∞） D．（，+∞）
10．已知0＜a＜b＜1，则（ ）
A．3b＜3a B．（lga）2＜（lgb）2 C．loga3＞logb3 D．（）a＜（）b
答案：C
解：∵0＜a＜b＜1，
∴3a＜3b；
lga＜lgb＜0，可得（lga）2＞（lgb）2；
，可得，loga3＞logb3；
．
综上可得：只有C正确．
故选：C．
二．填空题（共6小题）
11．函数f（x）=+ln（1﹣x）的定义域是 （﹣1，1） ．
解：要使函数有意义，则，
即，
∴﹣1＜x＜1，
即函数的定义域为（﹣1，1），
故答案为：（﹣1，1）．
12．函数的值域为 （﹣∞，2） ．
解：当x≥1时，f（x）=；
当x＜1时，0＜f（x）=2x＜21=2．
所以函数的值域为（﹣∞，2）．
故答案为（﹣∞，2）．
13．已知函数y=lg（2ax2+2x+1）（a＞0）的值域为R，则a的取值范围是 0＜a ．
解：∵y=lg（2ax2+2x+1）（a＞0）的值域为R，
∴（0，+∞）?{y|y=2ax2+2x+1}，
∵a＞0，
∴△=4﹣4×2a≥0，
即0＜a，
故答案为：0＜a．
14．已知U={y|y=log2x，x＞1}，P={y|y=，x＞2}，则?UP= {y|y=0或y≥} ．
解：∵y=log2x＞log21=0，即U=（0，+∞）
当x＞2时，0＜＜，即P=（0，）
则CUP={y|y=0或y≥}
故答案为{y|y=0或y≥}
16．函数y=log2（x﹣1）的反函数是 y=2x+1，x∈R ．
解：把y看作常数，求出x：
x﹣1=2y，x=2y+1，
x，y互换，得到y=log2（x﹣1）的反函数：
y=2x+1，x∈R，
故答案为：y=2x+1，x∈R．
三．解答题（共5小题）
17．求函数f（x）=的定义域和值域．
解：由函数的解析式可得 3﹣2x﹣x2＞0，求得﹣3＜x＜1，故函数的定义域为（﹣3，1）．
令t=3﹣2x﹣x2=4﹣（x+1）2，则t∈（0，4]，∴∈[﹣1，+∞），
即函数的值域为[﹣1，+∞）．
18．已知函数y=的值域为R，求a的取值范围．
解：令f（x）=x2﹣2ax+a
由题意函数的值域为R，则可得f（x）可以取所有的正数
∴△=4a2﹣4a≥0
∴a≥1或a≤0．
19．设集合A={x|﹣2≤x≤3}，函数
（1）当k=﹣1时，求函数f（x）的值域．
（2）若 B为函数f（x）的定义域，当B?A时，求实数k的取值范围．
解：（1）当k=﹣1时，kx2+4x+k+3=﹣（x﹣2）2+6≤6
∴
∴函数f（x）的值域为（﹣∞，2]
（2）设g（x）=kx2+4x+k+3，则B={x|g（x）＞0}．
①当k=0时，B=（﹣，+∞）?A，不合题意，故舍去．
②当k＞0时，注意到g（x）的图象开口向上，显然B?A，故舍去．
③当k＜0时，由B?A知解得﹣4＜k≤﹣．
综上知k∈（﹣4，﹣]．
20．已知函数f（x）=log2（x+1），g（x）=log2（4﹣2x）．
（1）求f（x）﹣g（x）的定义域；
（2）求使f（x）﹣g（x）＞0的x的取值范围．
解：（1）∵f（x）=log2（x+1），g（x）=log2（4﹣2x）．
∴f（x）﹣g（x）=log2（x+1）﹣log2（4﹣2x）．
要使函数有意义，则，即，
则﹣1＜x＜2，即函数的定义域为（﹣1，2）．
（2）∵f（x）﹣g（x）=log2（x+1）﹣log2（4﹣2x）．﹣1＜x＜2，
∴若f（x）﹣g（x）=log2（x+1）﹣log2（4﹣2x）＞0，
即log2（x+1）＞log2（4﹣2x），
则x+1＞4﹣2x，即x＞1，
∵﹣1＜x＜2，∴1＜x＜2，
故不等式的解集为（1，2）．
21．已知函数（a＞0，a≠1）是奇函数．
（1）求实数m的值；
（2）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并给出证明；
（3）当x∈（n，a﹣2）时，函数f（x）的值域是（1，+∞），求实数a与n的值．
解：（1）∵函数（a＞0，a≠1）是奇函数．
∴f（﹣x）+f（x）=0解得m=﹣1．
（2）由（1）及题设知：，
设，
∴当x1＞x2＞1时，
∴t1＜t2．
当a＞1时，logat1＜logat2，即f（x1）＜f（x2）．
∴当a＞1时，f（x）在（1，+∞）上是减函数．
同理当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上是增函数．
（3）由题设知：函数f（x）的定义域为（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1），
∴①当n＜a﹣2≤﹣1时，有0＜a＜1．由（1）及（2）题设知：f（x）在为增函数，由其值域为（1，+∞）知（无解）；21cnjy.com
②当1≤n＜a﹣2时，有a＞3．由（1）及（2）题设知：f（x）在（n，a﹣2）为减函数，由其值域为（1，+∞）知21·cn·jy·com
得，n=1．
必修1 第二章 基本初等函数（I） 2.2 对数函数同步训练B卷（含详细解析）
一．选择题（共10小题）
1．已知a=（a＞0），则loga的值等于（ ）
A． 2 B． 3 C．4 D．5
2．已知实数a、b满足等式2a=3b，下列五个关系式：
①0＜b＜a
②a＜b＜0
③0＜a＜b
④b＜a＜0
⑤a=b=0，
其中有可能成立的关系式有（ ）
A． 1个 B．2个 C．3个 D． 4个
3．若a＞2，b＞2，且log2（a+b）+log2=log2+log2，则log2（a﹣2）+log2（b﹣2）=（ ）
A． 0 B． C． 1 D． 2
4．函数y=是（ ）
A． 区间（﹣∞，0）上的增函数 B．区间（﹣∞，0）上的减函数
C． 区间（0，+∞）上的增函数 D．区间（0，+∞）上的减函数
5．已知集合，N={x|y=log2（2﹣x）}，则?R（M∩N）=（ ）
A． [1，2） B．（﹣∞，1）∪[2，+∞）
C． [0，1] D．（﹣∞，0）∪[2，+∞）
6．已知函数f（x）=ax+logax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为（loga2）+6，则a的值为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A． B． C． 2 D． 4
7．已知函数f（x）=的值域为[0，+∞），则正实数a等于（ ）
A． 1 B．2 C． 3 D． 4
8．函数f（x）=|log3x|在区间[a，b]上的值域为[0，1]，则b﹣a的最小值为（ ）
A． B． C． 1 D．2
9．设定义在区间（﹣b，b）上的函数是奇函数（a，b∈R，且a≠﹣2），则ab的取值范围是（ ）21世纪教育网版权所有
A． B． C． D．
10．关于函数，有下列命题：（1）其图象关于y轴对称；（2）当x＞0时，f（x）是增函数，当x＜0时，f（x）是减函数；（3）f（x）在区间（﹣1，0）和（1，+∞）上均为增函数；（4）f（x）的最小值是lg2．其中所有正确的结论序号是（ ）21教育网
A． （1）（2）（3） B．（1）（2）（4） C．（1）（3）（4） D．（2）（3）（4）
二．填空题（共6小题）
11．函数y=ln（1﹣x2）的值域为 _________ ．
12．已知函数f（x）=ax（a＞0，a≠1）在区间[﹣2，2]上的值不大于2，则函数g（a）=log2a的值域是 _________ ．21*cnjy*com
13．若函数f（x）=loga（2﹣ax）（a＞0，a≠1）在区间（1，3）内单调递增，则a的取值范围是 _________ ．
14．函数f（x）=|logax|（a＞0，且a≠1）的单调递增区间是 _________ ．
15．设函数，则f（x）≤2时x的取值范围是_________ ．
16．已知函数，有以下命题：
①函数f（x）的图象在y轴的一侧；
②函数f（x）为奇函数；
③函数f（x）为定义域上的增函数；
④函数f（x）在定义域内有最大值，则正确的命题序号是 _________ ．
三．解答题（共5小题）
17．已知函数f（x）=的定义域集合是A，函数g（x）=lg[（x﹣a）（x﹣a﹣1）]的定义域集合是B．【来源：21cnj*y.co*m】
（1）求集合A、B；
（2）若A∩B=A，求实数a的取值范围．
18．已知函数．
（1）求f（x）的定义域；
（2）讨论f（x）的奇偶性；
（3）证明f（x）在（0，1）内单调递减．
19．已知函数是奇函数，定义域为区间D（使表达式有意义的实数x 的集合）．
（1）求实数m的值，并写出区间D；
（2）若底数a满足0＜a＜1，试判断函数y=f（x）在定义域D内的单调性，并说明理由；
（3）当x∈A=[a，b）（A?D，a是底数）时，函数值组成的集合为[1，+∞），求实数a、b的值．21·世纪*教育网
20．已知函数f（x）=loga（ax﹣）（a＞0，a≠1且a为常数）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若a=2，试根据单调性定义确定函数f（x）的单调性；
（3）若函数y=f（x）是增函数，求a的取值范围．
21．已知函数f（x），（x∈D），若同时满足以下条件：
①f（x）在D上单调递减或单调递增
②存在区间[a，b]?D，使f（x）在[a，b]上的值域是[a，b]，那么称f（x）（x∈D）为闭函数．
（1）求闭函数f（x）=﹣x3符合条件②的区间[a，b]；
（2）判断函数y=2x+lgx是不是闭函数？若是请找出区间[a，b]；若不是请说明理由；
（3）若y=k+是闭函数，求实数k的取值范围．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．已知a=（a＞0），则loga的值等于（ ）
A． 2 B． 3 C．4 D．5
2．已知实数a、b满足等式2a=3b，下列五个关系式：
①0＜b＜a
②a＜b＜0
③0＜a＜b
④b＜a＜0
⑤a=b=0，
其中有可能成立的关系式有（ ）
A． 1个 B．2个 C．3个 D． 4个
答案：C
解：如图所示：画出函数y=2x，y=3x，的图象．
由图象可知：
（1）当x＞0时，若2a=3b，则a＞b；
（2）当x=0时，若2a=3b，则a=b=0；
（3）当x＜0时，若2a=3b，则a＜b．
综上可知：有可能成立的关系式是①②⑤．
故选C．
3．若a＞2，b＞2，且log2（a+b）+log2=log2+log2，则log2（a﹣2）+log2（b﹣2）=（ ）
A． 0 B． C． 1 D． 2
4．函数y=是（ ）
A． 区间（﹣∞，0）上的增函数 B．区间（﹣∞，0）上的减函数
C． 区间（0，+∞）上的增函数 D．区间（0，+∞）上的减函数
答案：A
解：如图，函数y=的图象与函数y=的图象关于y轴对称，所以函数y=是区间（﹣∞，0）上的增函数．
故选A．
5．已知集合，N={x|y=log2（2﹣x）}，则?R（M∩N）=（ ）
A． [1，2） B．（﹣∞，1）∪[2，+∞）
C． [0，1] D．（﹣∞，0）∪[2，+∞）
6．已知函数f（x）=ax+logax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为（loga2）+6，则a的值为（ ）
A． B． C． 2 D． 4
答案：C
解：因为函数f（x）=ax+logax（a＞0且a≠1），
所以函数f（x）在a＞1时递增，最大值为f（2）=a2+loga2；最小值为f（1）=a1+loga1，
函数f（x）在0＜a＜1时递减，最大值为f（1）=a1+loga1，最小值为f（2）=a2+loga2；
故最大值和最小值的和为：f（1）+f（2）=a2+loga2+a1+loga1=loga2+6．
∴a2+a﹣6=0?a=2，a=﹣3（舍）．
故选C．
7．已知函数f（x）=的值域为[0，+∞），则正实数a等于（ ）
A． 1 B．2 C． 3 D． 4
答案：B
解：∵函数f（x）=的值域为[0，+∞），
x2﹣2x+a=（x﹣1）2+a﹣1≥a﹣1，即当x=1时，f（x）=log21=0，
∴a﹣1=1，则a=2，
故选B．
8．函数f（x）=|log3x|在区间[a，b]上的值域为[0，1]，则b﹣a的最小值为（ ）
A． B． C． 1 D．2
9．设定义在区间（﹣b，b）上的函数是奇函数（a，b∈R，且a≠﹣2），则ab的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解：∵定义在区间（﹣b，b）上的函数是奇函数
∴f（﹣x）+f（x）=0
∴
∴
∴1﹣a2x2=1﹣4x2
∵a≠﹣2
∴a=2
∴
令，可得，∴
∵a=2，∴ab的取值范围是
故选A．
10．关于函数，有下列命题：（1）其图象关于y轴对称；（2）当x＞0时，f（x）是增函数，当x＜0时，f（x）是减函数；（3）f（x）在区间（﹣1，0）和（1，+∞）上均为增函数；（4）f（x）的最小值是lg2．其中所有正确的结论序号是（ ）21·cn·jy·com
A． （1）（2）（3） B．（1）（2）（4） C．（1）（3）（4） D．（2）（3）（4）
答案：C
解：由已知中函数，可得
函数为偶函数，则（1）其图象关于y轴对称正确；
区间（﹣∞，﹣1），（0，1）是函数的单调减区间，（﹣1，0），（1，+∞）是函数的单调增区间，故（2）错误，（3）正确；2·1·c·n·j·y
当x=±1时，函数取最小值lg2，故（4）是正确；
故选C
二．填空题（共6小题）
11．函数y=ln（1﹣x2）的值域为 （﹣∞，0] ．
解：要使函数有意义，则1﹣x2＞0，解得﹣1＜x＜1，
此时0＜1﹣x2≤1，
∴ln（1﹣x2）≤0，
即函数的值域为（﹣∞，0]，
故答案为：（﹣∞，0]
12．已知函数f（x）=ax（a＞0，a≠1）在区间[﹣2，2]上的值不大于2，则函数g（a）=log2a的值域是 [﹣，0）∪（0，] ．www-2-1-cnjy-com
解：由题意可得，
当a＞1时，a2≤2，解可得
当0＜a＜1时，a﹣2≤2，解可得
且log2a≠0
∴函数g（a）=log2a的值域为[﹣，0）∪（0，]
故答案为[﹣，0）∪（0，]
13．若函数f（x）=loga（2﹣ax）（a＞0，a≠1）在区间（1，3）内单调递增，则a的取值范围是（0，] ．2-1-c-n-j-y
解：令y=logat，t=2﹣ax，
∵a＞0，
∴t=2﹣ax在（1，3）上单调递减，
∵f（x）=loga（2﹣ax）（a＞0a≠1）在区间（1，3）内单调递增，
∴函y=logat是减函数，且t（x）＞0在（1，3）上成立，
∴
∴0＜a≤，
故a的取值范围是（0，]，
故答案为：（0，]
14．函数f（x）=|logax|（a＞0，且a≠1）的单调递增区间是 [1，+∞） ．
解：若a＞1，则f（x）=，
若0＜a＜1，则f（x）=，
∴当a＞1时，函数的单调递增区间为[1，+∞），
当0＜a＜1时，函数的单调递增区间为[1，+∞），
综上：函数的单调递增区间为[1，+∞），
故答案为：[1，+∞）．
15．设函数，则f（x）≤2时x的取值范围是 [0，+∞） ．
解：由分段函数可知，若x≤1，
由f（x）≤2得，
21﹣x≤2，即1﹣x≤1，
∴x≥0，此时0≤x≤1，
若x＞1，
由f（x）≤2得1﹣log2x≤2，
即log2x≥﹣1，即x，
此时x＞1，
综上：x≥0，
故答案为：[0，+∞）．
16．已知函数，有以下命题：
①函数f（x）的图象在y轴的一侧；
②函数f（x）为奇函数；
③函数f（x）为定义域上的增函数；
④函数f（x）在定义域内有最大值，则正确的命题序号是 ①③ ．
解：∵函数，当a＞0时，由ax﹣1＞0，可得x＞0，此时，函数的图象仅在y轴的右侧；
当0＜a＜1时，由ax﹣1＞0，可得x＜0，此时，函数的图象仅在y轴的左侧，故①正确．
由于f（﹣x）===﹣f（x），故函数不是奇函数，故②不正确．
由于函数y=logat 和函数t=ax的单调性相同，即同是增函数或同是减函数，根据复合函数的单调性可得在它的定义域内一定是增函数，故③正确． 21*cnjy*com
由于t=ax﹣1无最值，故y=logat 无最值，故④不正确．
故答案为：①③．
三．解答题（共5小题）
17．已知函数f（x）=的定义域集合是A，函数g（x）=lg[（x﹣a）（x﹣a﹣1）]的定义域集合是B．【出处：21教育名师】
（1）求集合A、B；
（2）若A∩B=A，求实数a的取值范围．
解：（1）由x2﹣x﹣2≥0可得x≤﹣1或x≥2，
所以A={x|x≤﹣1或x≥2}．
由（x﹣a）（x﹣a﹣1）＞0得x＜a或＞a+1，
所以B={x|x＜a或x＞a+1}
（2）由A∩B=A，得
所以﹣1＜a＜1，所以实数a的取值范围是（﹣1，1）．
18．已知函数．
（1）求f（x）的定义域；
（2）讨论f（x）的奇偶性；
（3）证明f（x）在（0，1）内单调递减．
解：（1）?﹣1＜x＜0或0＜x＜1，
故f（x）的定义域为（﹣1，0）∪（0，1）；
（2）∵，
∴f（x）是奇函数；
（3）设0＜x1＜x2＜1，则
∵0＜x1＜x2＜1，∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0，
（1﹣x1）（1+x2）=1﹣x1x2+（x2﹣x1）＞1﹣x1x2﹣（x2﹣x1）=（1+x1）（1﹣x2）＞021教育名师原创作品
∴，
∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）∴f（x）在（0，1）内递减．
19．已知函数是奇函数，定义域为区间D（使表达式有意义的实数x 的集合）．
（1）求实数m的值，并写出区间D；
（2）若底数a满足0＜a＜1，试判断函数y=f（x）在定义域D内的单调性，并说明理由；
（3）当x∈A=[a，b）（A?D，a是底数）时，函数值组成的集合为[1，+∞），求实数a、b的值．
分析：（1）根据奇函数的性质，得到任意x∈D，有f（x）+f（﹣x）=0，即可得到（m2﹣1）x2﹣（2m﹣1）2+1=0在D内恒成立，即得到即可得到m，写出区间D；
（2）令，在D=（﹣1，1）上是随x增大而减小，根据复合函数的单调性即可判断；
（3）根据A?D，结合（2）知函数上是增函数，得到得到a，在根据若b＜1，则f（x）在A上的函数值组成的集合为，不满足函数值组成的集合是[1，+∞）的要求，得到b．【版权所有：21教育】
解（1）∵y=f（x）是奇函数，
∴对任意x∈D，有f（x）+f（﹣x）=0，即．
化简此式，得（m2﹣1）x2﹣（2m﹣1）2+1=0．又此方程有无穷多解（D是区间），
必有，解得m=1．
∴．
（2）当0＜a＜1时，函数上是单调增函数．
理由：令．
易知1+x在D=（﹣1，1）上是随x增大而增大，在D=（﹣1，1）上是随x增大而减小，
故在D=（﹣1，1）上是随x增大而减小
于是，当0＜a＜1时，函数上是单调增函数．
（3）∵x∈A=[a，b）（A?D，a是底数）
∴0＜a＜1，a＜b≤1．
∴由（2）知，函数上是增函数，即，
解得．
若b＜1，则f（x）在A上的函数值组成的集合为，不满足函数值组成的集合是[1，+∞）的要求，
∴必有b=1．
因此，所求实数a、b的值是．
20．已知函数f（x）=loga（ax﹣）（a＞0，a≠1且a为常数）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若a=2，试根据单调性定义确定函数f（x）的单调性；
（3）若函数y=f（x）是增函数，求a的取值范围．
解：（1）要使函数有意义，则ax﹣＞0，且x≥0，
即x，即函数f（x）的定义域{x|x}；
（2）若a=2，则f（x）=log2（2x﹣），
则函数的定义域为{x＞}
设，
设g（x）=2x﹣，
则=，
∵，
∴x1﹣x2＜0，，
∴，，
∴＜0，
即函数g（x）=2x﹣单调递增，∴根据复合函数的单调性之间的关系可知函数f（x）的单调递增．
（3）若函数y=f（x）是增函数，
若a＞1，设m（x）=ax﹣，则m（x）在定义域{x|x}上单调递增，
∴m'（x）=a﹣≥0，
即a≥在x上恒成立，
∵当x时，＜，此时a恒成立．
若0＜a＜1，设m（x）=ax﹣，则m（x）在定义域{x|x}上单调递减
∴m'（x）=a﹣≤0，
即a≤在x上恒成立，
∵当x时，＜，此时a不成立．
综上a＞1．
21．已知函数f（x），（x∈D），若同时满足以下条件：
①f（x）在D上单调递减或单调递增
②存在区间[a，b]?D，使f（x）在[a，b]上的值域是[a，b]，那么称f（x）（x∈D）为闭函数．21cnjy.com
（1）求闭函数f（x）=﹣x3符合条件②的区间[a，b]；
（2）判断函数y=2x+lgx是不是闭函数？若是请找出区间[a，b]；若不是请说明理由；
（3）若y=k+是闭函数，求实数k的取值范围．
分析：（1）由y=﹣x3在R上单减，可得，可求a，b
（2）由函数y=2x+lgx在（0，+∞）单调递增可知即，结合对数函数的单调性可判断
（3）易知y=k+在[﹣2，+∞）上单调递增．设满足条件B的区间为[a，b]，则方程组有解，方程x=k+至少有两个不同的解，即方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2=0有两个都不小于k的不根．结合二次方程的实根分布可求k的范围www.21-cn-jy.com
另解：（1）易知函数f（x）=﹣x3是减函数，则有，可求
（2）取特值说明即可，不是闭函数．
（3）由函数f（x）=k+是闭函数，易知函数是增函数，则在区间[a，b]上函数的值域也是[a，b]，说明函数f（x）图象与直线y=x有两个不同交点，结合函数的 图象可求
解：（1）∵y=﹣x3在R上单减，所以区间[a，b]满足
解得a=﹣1，b=1
（2）∵函数y=2x+lgx在（0，+∞）单调递增
假设存在满足条件的区间[a，b]，a＜b，则
即
∴lgx=﹣x在（0，+∞）有两个不同的实数根，但是结合对数函数的单调性可知，y=lgx与y=﹣x只有一个交点
故不存在满足条件的区间[a，b]，函数y=2x+lgx是不是闭函数
（3）易知y=k+在[﹣2，+∞）上单调递增．设满足条件B的区间为[a，b]，则方程组
有解，方程x=k+至少有两个不同的解
即方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2=0有两个都不小于k的不根．
∴得，即所求．
另解：（1）易知函数f（x）=﹣x3是减函数，则有，解得，
（2）∵函数y=2x+lgx在（0，+∞）单调递增
假设存在满足条件的区间[a，b]，a＜b，则
即
∴lgx=﹣x在（0，+∞）有两个不同的实数根，但是结合对数函数的单调性可知，y=lgx与y=﹣x只有一个根
所以，函数y=2x+lgx是不是闭函
（3）由函数f（x）=k+是闭函数，易知函数是增函数，则在区间[a，b]上函数的值域也是[a，b]，说明函数f（x）图象与直线y=x有两个不同交点，令k+，则有
k=x﹣=，（令t=），如图
则直线若有两个交点，则有k
