七年级数学下第八章教案（新人教版）[下学期]

8.1 二元一次方程组
教学目标：
使学生掌握二元一次方程、二元一次方程组的概念，会把二元一次方程化为用一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式。使学生了解二元一次方程、二元一次方程组的解的含义，会检验一对数是不是它们的解。
教学重点难点
重点：是学生认识到一对数必须同时满足两个二元一次方程，才是相应的二元一次方程组的解。掌握检验一对数是否是某个二元一次方程的解的书写格式。
难点：理解二元一次方程组的解的含义。
课时安排
1课时
教与学互动设计
（1） 创设情境，导入新课
鸡兔同笼问题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问鸡兔各几何？
学生思考自行解答，教师巡视。最后集体讨论解决方案。
设有只鸡，则有只兔子。根据题意得：
……
交流 此时复习一元一次方程的有关概念,“元”指什么？“次”指什么？教师：上面的问题还有其他的方法求解吗？（引入新课）
（2） 合作交流，解读探究
自主探索 放学生独立看书、自学教材。
想一想 上面的问题还有其他的方法求解吗？
（若学生想不到，教师要引导学生，要求的是两个未知数，能否设两个未知数列方程求解呢？让学生自己设未知数列方程。）
设有只鸡，有只兔，根据题意得：
1. 针对学生列出的这两个方程，引入二元一次方程和二元一次方程组
2. 二元一次方程、二元一次方程组的解
探究 满足的值有哪些？请填入表中：
x …
y …
教师：那么什么是二元一次方程组的解呢？
学生讨论达成共识：二元一次方程组的解必须同时满足方程组中的两个方程。即：既是方程①的解又是方程②的解.
教师：二元一次方程的两个方程的公共解叫做这个二元一次方程组的解。
例如：从方案一中我们知道能使方程组中的每一个方程成立，所以我们把叫做二元一次方程组的解。（注意：二元一次方程组的解是成对出现的，要用大括号连接起来，表示“且”。）
议一议 将上面“鸡兔同笼”问题的各种方案进行对比，你有哪些想法？
（3） 应用迁移，巩固提高
例1 在方程中，（1）用含的代数式表示；（2）用含的代数式表示。
[点拨]本题要求学生把二元一次方程化为用意个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，为今后的代入消元打下基础。
解：（1）；（2）
例2方程在正整数范围内的解有 组，它们是
[点拨]本题考察方程组的解，方程组的解有无数个，但在特殊的情况下，有时也就是几组。
[备选例题]写出一个二元一次方程，使它的一个解为这样的方程唯一吗？
[点拨]本题考查学生的发散思维能力，答案不唯一。
解：不唯一；（等）
（4） 总结反思，拓展升华
归纳 二元一次方程定义：
二元一次方程组定义：
二元一次方程组的解的定义：
（5） 课堂跟踪反馈
夯实基础
1.方程中是二元一次方程的有（ ）
A．1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.下列方程组中，是二元一次方程组的是 （ ）
A．B. C.D.
3.下列说法正确的是 （ ）
A． 二元一次方程只有一个解
B． 二元一次方程组有无数个解
C． 二元一次方程组的解必是它所含的二元一次方程的解
D． 二元一次方程组一定有解
4.已知代数式，当时，它的值是2；当时，它的值是8，则b、c的值是 （ ）
A． B. C. D.
5.给出两个问题：（1）两数之和为6，求这两个数？（2）两个房间共住6人，每个房间各住几人？这两问题的解的情况是 （ ）
A．都有无数解 B.有只有唯一解 C.都有有限解 D.（1）无数解；（2）有限解
6.已知,和是方程的两组解，则下列各组未知数的值中，是这个方程的解的是 （ ）
A．B．C．D．
7.二元一次方程的解的个数是 个
8.若是方程组的解，则 ， 。
提升能力
9.已知,则式子 .
10.已知，则 。
11.若是同类项，则 ， .
开放探究
12.求出方程在正整数范围内的解。
8.2 消元
8.2.1 代入消元法
教学目标：
用代入法解二元一次方程组；了解解二元一次方程组是的 “消元思想”；“化未知数为已知”的化归思想。
教学重点难点
重点：灵活地用代入法解二元一次方程组。
难点：探索如何用代入法将“二元”转化为“一元”的消元过程。
课时安排
2课时
教与学互动设计
第1课时
（1） 创设情境，导入新课
篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，某队为了争取较好的名次，想在全部20场比赛中得到38分，那么这个队胜负场数分别是多少？
解：设这个队胜场，根据题意得
交流 本题我们能否用二元一次方程组来解决？（引入新课）
（2） 合作交流，解读探究
自主探索 学生自学课本，教师适当加以指导，可以用二元一次方程来解决。
在上述问题中，我们可以设出来年感个未知数，列出二元一次方程组，设胜的场数是场，负的场数是
那么怎么样解二元一次方程组呢？（引入代入消元法概念）
（3） 应用迁移，巩固提高
例1把下列方程写成用含的式子表示的形式：
（2）
解：（1）
例2用代入法解方程组：
[点拨]从题目的结构特征上来看，把（1）式作一个变形。
例3二元一次方程组的解中与互为相反数，求的值。
点拨：互为相反数的和为零
（4） 总结反思，拓展升华
归纳 用代入消元法接二元一次方程组的步骤：（学生自行总结，教师点评）
（五）课堂跟踪反馈
1. 是方程的两组解，则 a= b=
2.用代入法解下列方程组：
（1） （2）
3.二元一次方程组的解也是方程的解，那么k的值应为
3. 有一个两位数，它的十位上与个位上的数的和为5，则符合条件的两位数有 个。
4. 小明在解方程组时，遇到了“做不下去”的题目，你能根据他的解题过程，帮他找出原因吗？
解方程组：
解：由②得，③ 将③代入②得（由于x消失，无法继续）.
5. 若方程组有无数组解，则k与m的值分别为多少？
6. 已知方程组和有相同的解，求的值.
7. 已知关于x、y的方程组的解是求的值.
第2课时
（1） 创设情景，导入新课
1. 方程组如何求解？关键是什么？解题步骤是什么？
2. 把方程（1）写成用含x的代数式表示y的形式；（2）写成用含y的代数式表示x的形式.
交流 教师提出问题，学生独立思考、独立解题.（引入新课）
（2） 合作交流，解读探究
自主探索 学生自探课本，教师适当加以指导，可以用二元一次方程组来解决.
交流 你清楚用代入法解二元一次方程呢改组的一般步骤吗？在解题时，我们要熟练的写成用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式.
（3） 应用迁移，巩固提高
例1用代入法解方程组
[点拨]从题目的结构特征上来看，把（1）式作一个变形.
[回顾]这里是消去x，得关于y的一元一次方程，能否消去y呢？让学生试一试，然后通过比较，使学生明白本题消x较简单.
例1解方程组
[点拨]本题着两个方程中未知数的系数都不是1，那么如何求解呢？消哪一个未知数呢？如果将（1）写成用一个未知数来表示另一个未知数，那么用x表示y，还是用y来表示x较好.
（4） 总结反思，拓展升华
归纳 对于一般形式的二元一次方程用代入法求解关键是选择哪一贯饿方程变形，消什么元，选取的恰当往往回使计算简单，而且不易出错，选取的原则是：
1、 选择未知数的系数是1或-1的方程；
2、 若未知数的系数都不是1或-1，选系数的绝对值较小的方程，将要消的元用含另一个未知数的代数式表示，再把它代入没有变形的方程中去。这样就把二元一次方程组转化为一元一次方程了。
对运算的结果养成检验的习惯。
拓展 若关于x、y的方程组与的解相同，且则a：b：c= .
（5） 课堂跟踪反馈
1. 把方程化成含y的代数式表示x的形式x=
2. 在方程中，如果是它的一个解，那么a的值为
3. 已知二元一次方程，若，则y= ，若y=0，则x= .
4. 方程的正整数是
5. 方程组的解是
A.； B. C. D.
6. 解下列方程组
（1） （2）
7、若和是同类项，则m= ，n= .
7. 若，则x= ，y=
8. 已知的解是，则
A. B. C. D.
8.2.2 加减消元法
教学目标：
用加减法解二元一次方程组，解二元一次方程组时的“消元思想”，“化未知为已知”的化归思想。
教学重点难点
重点：用加减法解二元一次方程组。
难点：灵活得对方程进行恒等变形使之便于加减消元。
课时安排
1课时
教与学互动设计
（1） 创设情景，导入新课
甲、乙、丙三位同学是好朋友，平时互相帮助。甲借给乙10元钱，乙借给丙8元钱，丙又给甲12元钱，如果允许转帐，最后甲、乙、丙三位同学最终谁欠谁的钱，欠多少？
交流 教师提出问题，学生独立思考、独立解题.
我们知道，对于方程组可以用代入消元法求解.
这个方程组的两个方程中，y的系数有什么关系？利用这种关系你能发现新的消元方法吗？（引入新课）
（2） 合作交流，解读探究
自主探索 学生自看课本，教师适当加以知道.上面的两个方程中未知数y的系数相同，②-①可消去未知数y，得，即，把代入①得y=4.另外，由①-②也能消去未知数y，得即把x=18代入①得y=4.
想一想 联系上面的解法，想一想应怎样解方程组
[分析]这两个方程中未知数y 的系数互为相反数，因此由①+②可消去未知数y ，从而求出未知数x的值.
加减消元法的概念.
从上面两个方程组的揭发可以发现，把两个二元一次方程的两边分别进行加减，就可以消去一个未知数，得到一个一元一次方程。
两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
（3） 应用迁移，巩固提高
例1 用加减法解方程组（1） （2）
[点拨]这两个方程中没有同一个未知数的系数相反或相同，直接加减两个方程不能消元，试一试，能否对方程变形，使得来年感个方程中某个未知数的系数相反或相同。
想一想 本题如果用加减法消去x应如何解？解得结果与上面一样吗？（由学生完成）
[练习] 解方程组
（4） 总结反思，拓展升华
小结 本节课，我们主要是学习了二元一次方程组的另一解法——加减法.通过把方程组中的两个方程进行相加减，消去一个未知数，化“二元”为“一元”.
（1） 加减消元法解二元一次方程组的基本思想是什么？
（2） 用加减消元法解二元一次方程组的主要步骤有哪些？
[师生共析] （1）加减消元法解二元一次方程组的基本思想是“消元”.
（2）用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：
第一步：在所解的方程组中的两个方程中，如果某个未知数的系数互为相反数，可以把这两个方程的两边分别相加，消去这个未知数；如果未知数的系数相等，可以直接把两个方程两边相减，消去这个未知数.
第二步：如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等，那么应选出一组系数（选最小公倍数较小的一组系数），求出它们的最小公倍数（如果一个系数是另一个系数的整数倍，该系数即为最小公倍数），然后将原方程组变形，使新方程组的这组系数的绝对值相等（都等于原系数的最小公倍数），再加减消元.
第三步：对于较复杂的二元一次方程组，应先化简（去分母，去括号，合并同类项等），通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边，常数项在方程的右边的形式，再作如上加减消元的考虑.
（五）课堂跟踪反馈
1. 用加减法解下列方程组：
（1） （2） （3）
2. 已知方程组的解是求a与b的值.
3. 二元一次方程组的解中x与y互为相反数，求a的值.
4. 用加减法解下列方程组：（1） （2）
5. 已知与是同类项，求m和n的值.
6. 已知方程组选择a和c的值，使方程：（1）有一个解；（2）有无数个解；（3）无解.
8.3 再探实际问题与二元一次方程组
教学目标：
使学生会探索事物之间的数量，通过方程（组）这个数学模型解决简单的实际问题。
教学重点难点
重点：能根据题意列二元一次方程组；根据题意找出等量关系；运用二元一次方程解决有关配套与设计的应用题。
难点：正确找出问题中的两个等量关系。
课时安排
3课时
教与学互动设计
第1课时
（1） 创设情景，导入新课
养牛场原有30只母牛和15只小牛，1天约需用饲料675kg；一周后又购进12只母牛和5只小牛，这时1天约需用饲料940kg.饲养员李大叔估计平均每只牛1天约需饲料18~20kg，每只小牛1天约需饲料8~8kg，你能否通过计算检验他的估计？
（二）合作交流，解读探究
1.题中有哪些已知量？哪些未知量？
2.题中
（三）应用迁移，巩固提高
（四）总结反思，拓展升华
小结 用二元一次方程组解实际问题的思路与用一元一次方程组解实际问题是一样的，
包括：（1）审题，分析题目中的以知与未知； （2）找出数量关系；
（3）设未知数列方程组； （4）求解方程组；
（5）检验； （6）写出答案.
拓展 在“五.一”黄金周期间，小明、小亮等同学随家人一同到象鼻山游玩，收费标准是：成人35元/张，学生票按成人票五折优惠，团体票（16人以上含16人）按成人票6折优惠。下面是购票时小明与他爸爸的对话。爸爸：大人门票每张35元学生门票对折优惠，我们共有12人，共需350元.小明：爸爸，等一下，让我算算，换一种方式买票是否可以更省钱。
（1）小明他们一共去了几个成人？几个学生？
（2）请你帮小明算算，用哪种方式买票更省钱？并说明理由.
（五）课堂跟踪反馈
1.班上有男女同学32人，女生人数的一半比男生总数少10人，若设男生人数为x人，女生人数为y人，则可列方程为
2.甲乙两数的和为10，其差为2，若设甲数为x，乙数为y，则可列方程组为
3.有甲乙两种电饭锅原来的单价之和为200元，现因市场销售情况的变化.甲商品单价降价15%，乙商品单价提高了40%，调价后，两种电饭锅的单价和比原来的单价和提高了12.5%，求甲乙两种商品原来的单价各是多少元？
第2课时
（1） 创设情景，导入新课
据以往的统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1：1.5，现在在一块长200m，宽100m的长方形土地上种这两种作物，怎样把这块地分为两个长方形，使甲、乙两种作物的总产量的比是 3：4（结果取整数）？
交流 在这个题目中，你认为有哪些问题。
（2） 合作交流，解读探究
问题 1.“甲、乙两种作物的单位面积产量比是1：1.5”是什么意思？
2.“甲、乙两种作物的总产量的比是3：4”是什么意思？
3.本题有哪些等量关系？
[点拨] 若甲种作物单位产量是a，那么乙种作物单位产量是多少？
[分析] 如图8-3-1所示，一种种植方案为：甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD和BCFE.设AE=x m，BE=y m，根据问题中涉及长度、产量的数量关系，列方程组解这个方程组得
答：这两个长方形是在长方形ABCD读地的长边上高A约106米处把这块地分为两个长方形，较大一块种甲种作物，较小的一块种乙种作物.
[思考] 这块地还可以怎样分？
[练一练] 根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装（250g）两种产品的销售数量比（按瓶计算）为2：5.某厂每天生产这种消毒液22.5瓶，这些消毒液应该分装大、小瓶装两种产品各多少瓶？
（3） 应用迁移，巩固提高
例1 两种枕木共300根，甲种枕木的总重量比乙种枕木的总重量轻1吨.如果每根枕木甲种重46千克，乙种重28千克，两种枕木个多少根？
[点拨] 已知量 未知量
枕木总根数300
甲种枕木每根重46千克 甲种枕木的根数
乙种枕木每根重28千克 乙种枕木的根数
等量关系：
甲种枕木数+乙种枕木数=枕木总数300
乙种枕木总重量-甲种枕木总重量=1000
解：设甲种枕木x根，乙种枕木y根，根据题意得
解这个方程组得
答：略.
例2 蔬菜批发站有一批青菜分给两个学校的食堂，甲校食堂分得的5倍比乙校食堂分得的6倍少10 kg；甲校食堂分得的3倍与乙校食堂分得的2倍的和是470 kg.甲、乙两校食堂分得青菜多少？
[点拨] 题中有两个未知数——甲食堂分得的青菜数与乙食堂分得的青菜数.题中有两个相等关系：（1）乙校食堂分得的6倍-甲校食堂分得的5倍=10 kg；（2）乙校食堂分得的2倍+甲校食堂分得的3倍=470 kg.
例3 某单位外出参观.若每辆汽车坐45人，那么15人没有座位；若每辆汽车坐60人，则空出一辆汽车，问共需几辆汽车，该单位有几个人？
[点拨] 1.题目中的已知条件是什么？2.“有人没有座位”是指什么意思？“有空座位”是什么意思？3.基于上述分析，那么已知条件“每辆汽车坐45人，那么15人没有座位”可理解什么？“每辆汽车坐60人，则空出一辆汽车”又可理解成什么？（由学生通过上述分析，自己设未知数，列方程组求解）
[备选例题] 为满足市民对优质教育的需求，某中学决定改变办学条件，计划拆除一部分旧校舍、建新校舍.拆除旧校舍每平方米需80元，建造新校舍每平方米需700元.计划在年内拆除旧校舍与建新校舍共7200平方米，在实施中为扩大绿化面积，新建校舍只完成了计划的80%，而拆除校舍则超过了10%，结果恰好完成了原计划的拆、除的总面积.（1）求原计划拆建面积各多少平方米？（2）若绿化1平方米需200元，那么在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化大约是多少平方米
（4） 总结反思，拓展升华
小结 用二元一次方程组解实际问题的步骤是什么？
拓展 为了解决农民工子女入学难的问题，重庆市建立了一套进城农民工子女就学的保障机制，其中一项就是免交“借读费”.根据统计，2004年秋季有5000名农民工子女进入主城区中小学学习，预测2005年秋季进入主城区中小学学习的农民该子女将比2004年有所增加，其小学增加20%，中学增加30%，这样，2005年秋季将新增1160名农民子女在主城区中小学学习.
（1）如果按小学每生每年收“借读费”500元，中学每生每年收“借读费”1000元计算.求2005年新增的1160名中小学生共免收多少“借读费”？
（2）如果按小学每40名学生配备2名教师，中学每40名学生配备3名教师，若按2005年秋季入学后，农民工子女在主城区中小学就读的学生人数计算，一共需要配备多少名中小学教师？
（5） 课堂跟踪反馈
1.学校购买35张电影票共用250元，其中甲种票每张8元，乙种票每张6元，设甲种票x张，乙种票y张，则列方程组 ，方程组的解是
2.一根木棒长8米，分成两段，其中一段比另一段长1米，求这两段的长时，设其中一段为x米，另一段为y米，那么列的二元一次方程组为 .
3.一个矩形周长为20cm，且长比宽大2cm，则矩形的长为 cm，宽为 cm.
第3课时
（1） 创设情景，导入新课
七年级（5）班在上体育课时，进行、投篮比赛，体育老师做好记录，并统计了在规定时间内投进n个球的人数分布情况，体育委员在看统计表时，不慎将墨水沾到表格上（如下表）
进球数n 0 1 2 3 4 5
投进球的人数 1 2 7 2
同时，已知进球3个和3个以上的人平均每人进3.5个球；进4个和4个以下的人平均每人投进2.5个球，你能把表格中投进3个球和4个球对应的人数补上吗？
交流 你能不能用二元一次方程组，帮助体育委员把表格中的两个数字补上呢？（引入新课）
（2） 合作交流，解读探究
自主探索 学生讨论交流
（3） 应用迁移，巩固提高
例1 两台大收割机和五台小收割机，两小时收割3.6公顷，三台大收割机和两台小收割机，五小时收割8公顷，1台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦多少公顷？
[点拨] 如果1台大收割机和1台小收割机每小时个收割小麦x公顷和y公顷，那么2台大收割机和5台小收割机1小时收割小麦 2x+5y公顷，3台大收割机和2台小收割机1小时收割小麦 3x+5y 公顷.
例2 为了保护环境，某校环保小组成员收集费电池，第一天收集1号电池4节，5号电池5节，总重量为460克，第二天收集1号电池2节，5号电池3节，总重量为240克，试问1号电池和5号电池分别重多少克？
[点拨] 如果1号电池和5号电池分别重x克、y克，则4节1号电池和5节5号电池总重量为4x+5y克，2节1号电池和3节5号电池总重量为2x+3y克.
（4） 总结反思，拓展升华
小结 这节课我们经历和体验了列方程组解决实际问题的过程，体会到方程组是刻画现实世界的有效模型，从而更进一步提高了我们应用数学的意识及解方程组的技能.
拓展 王老师用100元买了100份奖品，其中一等奖每份5元，二等奖每份3元，三等奖每3份1元，问王老师买了一等奖、二等奖和三等奖的奖品各几分？
（5） 课堂跟踪反馈
1. 王大伯承包了25亩土地，今年春季改种茄子和西红柿两种大棚蔬菜，用去了44000元，其中种茄子每亩用了1700元，获纯利2400元，种西红柿每亩用了1800元，获纯利2600元，问王大伯一共获纯利多少元？
2.一旅游者从下午2时步行到晚上7时，他先走平路，到山顶后又沿原路下山回到出发点，已知他走平路时每小时走4千米，爬山时每小时走3千米，下坡时每小时走6千米，问旅游者一共走了多少路？
本章复习与验收
知识框架
重点知识阐述与剖析
1. 二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是一次的整式方程.
2. 二元一次方程的解集：适合二元一次方程的一组未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解；由这个二元一次方程的所有解组成的集合叫做这个二元一次方程的解集.
3. 二元一次方程组：由几个一次方程组成并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组.
4. 二元一次方程组解：适合二元一次方程组里各个方程的一对未知数的值，叫做这个方程组里各个方程的公共解，也叫做这个方程组的解.
5. 解方程组：求出方程组的解或确定方程组没有解的过程叫做解方程组。
6. 同解方程组：如果第一个方程组的解都是第二个方程组的解，而第二个方程组的解也都是第一个方程组的解，即两个方程的解集相等，就把这两个方程组叫做同解方程组.
7. 解二元一次方程组的基本方法是代入消元法和加减消元法（简称代入法和加减法）
（1） 代入法解题步骤：把方程组里的一个方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数；用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，可先求出一个未知数的值；把求得的这个未知数的值代入第一步所得的式子中，可求得另一个未知数的值，这样就得到了方程的解
（2） 加减法解题步骤：把方程组里的一个（或两个）方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数的绝对值相等；把所得到的两个方程的两边分别相加（或相减），消去另一个未知数的一元一次方程（以下步骤与代入法相同）
8. 二元一次方程组解的情况：
（1） 当时，方程有唯一解；
（2） 当时，方程组有无数个解；
（3） 当时，方程组无解；
9. 列二元一次方程组解应用题的步骤与列方程解应用提的步骤相同，即“设”“列”“解”“验”“答”.
典型例题选讲
例1 求二元一次方程的正整数解。
例2 分别用代入法和加减法解方程组：
例3 从少先队夏令营到学校，先下山再走平路，一少先队员骑自行车以每小时12公里的速度下山，以每小时9公里的速度通过平路，到学校共用了55分钟，回来时，通过平路速度不变，但以每小时6公里的速度上山，回到营地共花去了1小时10分钟，问夏令营到学校有多少公里？
实际问题
二元一次方程组
消元思想
代入（消元）法
加减（消元）法
进一步探究利用二元一次方程组分析解决实际问题
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