不定方程[上学期]
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文档简介
不定方程
【知识链接】
我们知道，如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说，它的解往往是不确定的。不定方程是指未知数的个数多于方程的个数，而且未知量又受某种限制(如正整数或整数解)的方程或方程组。不定方程(组)是数论中的一个古老分支，其内容极其丰富．我国对不定方程的研究已延续了数千年，“百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理．近年来，不定方程的研究又有新的进展．学习不定方程，不仅可以拓宽数学知识面，而且可以培养思维能力，提高数学解题的技能．
一般地，对于二元一次不定方程：ax+by=c，有以下结论：
（1）若（a,b）∣c，则不定方程有整数解，否则无整数解.
（2）若（a，b）＝1，（x0，y0）是ax+by=c的一组解，则原不定方程的
所有解可以写成： （ｔ为整数）
【例题精讲】
例1 小明带了50元钱去买日记本和钢笔，日记本每本3元，钢笔每支11元，问50元钱刚好买几个日记本和几支钢笔？
提示：当方程的系数较小时，而且是求非负整数解或者是实际问题时，这时候的解的组数往往较少。求解时常常先确定系数较大的未知数的取值范围，然后利用枚举法，能较容易地解出方程．
例2 大客车有42个座位，小客车有25个座位，现在有310个乘客，要使每位乘客都有座位，至少需要大、小客车各多少辆？
例3 李帅同学把他出生的月份乘以31，再把出生的日期乘以12，然后加起来，总数是170，李帅的生日是哪一天？
例4 箱子里有乒乓球若干个,其中25%是一级品,五分之几是二级品,其余91个是三级品.那么,箱子里有乒乓球多少个？
例5 某班同学分成若干小组去植树,若每组植树n棵,且n为质数,则剩下树苗20棵;若每组植树9棵,则还缺少2棵树苗.求这个班的同学共分成了多少 组
例6 某单位职工到郊外植树,其中的职工各带一个孩子参加,男职工每人种13棵树,女职工每人种10棵,每个孩子种6棵,他们共种了216棵树,那么其中有女职工多少人？
例7 一队旅客乘坐汽车,要求每辆汽车的乘客人数相等,起初每辆汽车乘22人,结果剩下一人未上车;如果有一辆汽车空车开走,那么所有旅客正好能平均分乘到其它各车上.已知每辆汽车最多只能容纳32人,求起初有多少辆汽车 有多少旅客
【在线练习】
A级
1．求方程3x＋7y=69的正整数解
2. 兔妈妈和小白兔一起背38个萝卜，兔妈妈每次背8个，小白兔每次能背3个，它们各背多少次才能把萝卜全部背回家？
３．用70张纸打印文件，甲文件每份文件要8张纸，乙文件每份文件要9张纸，问用70张纸刚好可以打印多少份这两种文件？
4．一个两位自然数等于它的十位数字与个位数字之和的3倍，求这个两位数。
B级
5．李明全家每个人各喝了一满碗咖啡加牛奶,并且李明喝了全部牛奶(若干碗)的和全部咖啡(若干碗)的.那么,全家有 口人.
6．已知△和☆分别表示两个自然数,并且 , 则△+☆= .
7．求不定方程7x+19y=213的正整数解
C级
8．现有3个既约真分数、、（a,b,c都是自然整数）。如果这3个分数的分子都加上c，分母不变，则所得3个分数的和为6，那么原来的3个既约分数的乘积是（ ）
（A） （B） （C） （D）
9．求不定方程3x+3y=xy的自然数解．
10．求不定方程3x-5y=19的正整数解
不定方程例题及练习答案
例1 解 设小明买了x个日记本，y支钢笔，于是根据题意得方程
3x+11y=50．
由观察可知，
若y=3，则x=，x不是整数，不合题意；
若y=4，则x=2，符合题意．
所以，这个方程有两组正整数解，即
也就是说，50元钱刚好能买2个日记本与4支钢笔，或者13个日记本与与1支钢笔．
例2 解：至少需要大、小客车各x,y辆,则
42x+25y=310
由观察可知，
由整除的性质可知：当且仅当x=5时，y可能取整数，此时y=4,
答：至少需要大、小客车各5辆、4辆。
例3 解：李帅的生日是x月y日，则有：31x+12y=170
由观察可知，
由整除的性质可知：当且仅当x=2时，y可能取整数，此时y=9,
故李帅的生日为2月9日。
例４ 解： 设箱子里共有n个乒乓球,二级品占.依题意,得
整理得 ①
易知 15-4 a>0,所以a≤3.
将a=1,2,3代入①知,只有a=2符合要求,此时n=260(个)
例5 解： 设共分为x组.由树苗总数可列方程
因为22=1×22=2×11, n是小于9的质数,对比上式得x=11(组)
例6 解：设有女职工x人,男职工y人,那么有孩子人.这个条件说明3| x+ y.
由已知
即
由12|4(x+ y),12|72.
所以12| y,又≤.
所以, y=12, x=3.即有女职工3人
例7 解：设起初有x辆汽车,开走一辆汽车后每车乘n人,依题意,得
,
所以
又n, x为整数,所以(x-1)|23,故x-1=1或23,即x=2或x=24.
若x=2,则与n≤32产生矛盾.
因此x=24或n=23,故起初有24辆汽车,有旅客（名)
练习答案：
A级
1． X=9,y=6；X=16,y=3
2． X=4,Y=2 ； X=1,Y=10
3． X=２,Y=６
4． 提示；设两位数为，依题意得，即7a=2b，因为7与2互质，所以2|a，7|b又1≤a≤9,0≤b≤9,所以只有a=2,b=7，故只有=27。
B级
5．设全家共喝了x碗牛奶和y碗咖啡,依题意得:
整理得 .
易得其自然数解为x=2, y=3.故共喝牛奶和咖啡2+3=5(碗).因此,全家有5口人.
6．依题意得11△+5☆=37,易知其自然数解为△=2,☆=3.所以△+☆=5
7．
C级
8（B），提示；由题设有，即4a+3b+11c=72，由、、均为既约真分数知，a为1或2，b为1或3，c为1或5，有72=4a+3b+11c≤4×2+3×3+11×5=72，只能是a=2,b=3,c=5。
9．由3x+3y=xy得因为x为自然数，故y-3被9整除，所以y-3=1，3，9，于是y=4,6,12,对应的x=12,6,4,
10．由3x-5y=19得：，易知x=8,y=1是原方程的一组解，故原方程的解为x=8+5t,y=1+3t,其中t为自然数
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【知识链接】
我们知道，如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说，它的解往往是不确定的。不定方程是指未知数的个数多于方程的个数，而且未知量又受某种限制(如正整数或整数解)的方程或方程组。不定方程(组)是数论中的一个古老分支，其内容极其丰富．我国对不定方程的研究已延续了数千年，“百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理．近年来，不定方程的研究又有新的进展．学习不定方程，不仅可以拓宽数学知识面，而且可以培养思维能力，提高数学解题的技能．
一般地，对于二元一次不定方程：ax+by=c，有以下结论：
（1）若（a,b）∣c，则不定方程有整数解，否则无整数解.
（2）若（a，b）＝1，（x0，y0）是ax+by=c的一组解，则原不定方程的
所有解可以写成： （ｔ为整数）
【例题精讲】
例1 小明带了50元钱去买日记本和钢笔，日记本每本3元，钢笔每支11元，问50元钱刚好买几个日记本和几支钢笔？
提示：当方程的系数较小时，而且是求非负整数解或者是实际问题时，这时候的解的组数往往较少。求解时常常先确定系数较大的未知数的取值范围，然后利用枚举法，能较容易地解出方程．
例2 大客车有42个座位，小客车有25个座位，现在有310个乘客，要使每位乘客都有座位，至少需要大、小客车各多少辆？
例3 李帅同学把他出生的月份乘以31，再把出生的日期乘以12，然后加起来，总数是170，李帅的生日是哪一天？
例4 箱子里有乒乓球若干个,其中25%是一级品,五分之几是二级品,其余91个是三级品.那么,箱子里有乒乓球多少个？
例5 某班同学分成若干小组去植树,若每组植树n棵,且n为质数,则剩下树苗20棵;若每组植树9棵,则还缺少2棵树苗.求这个班的同学共分成了多少 组
例6 某单位职工到郊外植树,其中的职工各带一个孩子参加,男职工每人种13棵树,女职工每人种10棵,每个孩子种6棵,他们共种了216棵树,那么其中有女职工多少人？
例7 一队旅客乘坐汽车,要求每辆汽车的乘客人数相等,起初每辆汽车乘22人,结果剩下一人未上车;如果有一辆汽车空车开走,那么所有旅客正好能平均分乘到其它各车上.已知每辆汽车最多只能容纳32人,求起初有多少辆汽车 有多少旅客
【在线练习】
A级
1．求方程3x＋7y=69的正整数解
2. 兔妈妈和小白兔一起背38个萝卜，兔妈妈每次背8个，小白兔每次能背3个，它们各背多少次才能把萝卜全部背回家？
３．用70张纸打印文件，甲文件每份文件要8张纸，乙文件每份文件要9张纸，问用70张纸刚好可以打印多少份这两种文件？
4．一个两位自然数等于它的十位数字与个位数字之和的3倍，求这个两位数。
B级
5．李明全家每个人各喝了一满碗咖啡加牛奶,并且李明喝了全部牛奶(若干碗)的和全部咖啡(若干碗)的.那么,全家有 口人.
6．已知△和☆分别表示两个自然数,并且 , 则△+☆= .
7．求不定方程7x+19y=213的正整数解
C级
8．现有3个既约真分数、、（a,b,c都是自然整数）。如果这3个分数的分子都加上c，分母不变，则所得3个分数的和为6，那么原来的3个既约分数的乘积是（ ）
（A） （B） （C） （D）
9．求不定方程3x+3y=xy的自然数解．
10．求不定方程3x-5y=19的正整数解
不定方程例题及练习答案
例1 解 设小明买了x个日记本，y支钢笔，于是根据题意得方程
3x+11y=50．
由观察可知，
若y=3，则x=，x不是整数，不合题意；
若y=4，则x=2，符合题意．
所以，这个方程有两组正整数解，即
也就是说，50元钱刚好能买2个日记本与4支钢笔，或者13个日记本与与1支钢笔．
例2 解：至少需要大、小客车各x,y辆,则
42x+25y=310
由观察可知，
由整除的性质可知：当且仅当x=5时，y可能取整数，此时y=4,
答：至少需要大、小客车各5辆、4辆。
例3 解：李帅的生日是x月y日，则有：31x+12y=170
由观察可知，
由整除的性质可知：当且仅当x=2时，y可能取整数，此时y=9,
故李帅的生日为2月9日。
例４ 解： 设箱子里共有n个乒乓球,二级品占.依题意,得
整理得 ①
易知 15-4 a>0,所以a≤3.
将a=1,2,3代入①知,只有a=2符合要求,此时n=260(个)
例5 解： 设共分为x组.由树苗总数可列方程
因为22=1×22=2×11, n是小于9的质数,对比上式得x=11(组)
例6 解：设有女职工x人,男职工y人,那么有孩子人.这个条件说明3| x+ y.
由已知
即
由12|4(x+ y),12|72.
所以12| y,又≤.
所以, y=12, x=3.即有女职工3人
例7 解：设起初有x辆汽车,开走一辆汽车后每车乘n人,依题意,得
,
所以
又n, x为整数,所以(x-1)|23,故x-1=1或23,即x=2或x=24.
若x=2,则与n≤32产生矛盾.
因此x=24或n=23,故起初有24辆汽车,有旅客（名)
练习答案：
A级
1． X=9,y=6；X=16,y=3
2． X=4,Y=2 ； X=1,Y=10
3． X=２,Y=６
4． 提示；设两位数为，依题意得，即7a=2b，因为7与2互质，所以2|a，7|b又1≤a≤9,0≤b≤9,所以只有a=2,b=7，故只有=27。
B级
5．设全家共喝了x碗牛奶和y碗咖啡,依题意得:
整理得 .
易得其自然数解为x=2, y=3.故共喝牛奶和咖啡2+3=5(碗).因此,全家有5口人.
6．依题意得11△+5☆=37,易知其自然数解为△=2,☆=3.所以△+☆=5
7．
C级
8（B），提示；由题设有，即4a+3b+11c=72，由、、均为既约真分数知，a为1或2，b为1或3，c为1或5，有72=4a+3b+11c≤4×2+3×3+11×5=72，只能是a=2,b=3,c=5。
9．由3x+3y=xy得因为x为自然数，故y-3被9整除，所以y-3=1，3，9，于是y=4,6,12,对应的x=12,6,4,
10．由3x-5y=19得：，易知x=8,y=1是原方程的一组解，故原方程的解为x=8+5t,y=1+3t,其中t为自然数
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