博爱县2022-2023学年高二下学期期末考试
数 学 试 卷
考生注意：
1.开考前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需要改动，用橡皮檫干净后，再涂选其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在试卷上无效。
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.复数z满足(i为虚数单位)，则复数z的共轭复数是( )
A. B. C. D.
3.已知向量，且，则实数( )
A.-1 B.0 C.1 D.任意实数
4.函数的大致图象为( )
A. B.
C. D.
5.圆锥的母线长为4，侧面积是底面积的倍，过圆锥的两条母线作圆锥的截面，则该截面面积的最大值是( )
A.8 B. C. D.
6.中国空间站的主体结构包括天和核心实验舱 问天实验舱和梦天实验舱，假设空间站要安排甲 乙等5名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多二人，则甲乙不在同一实验舱的种数有( )
A.60 B.66 C.72 D.80
7.已知且，且，且，则( )
A. B.
C. D.
8.已知，为椭圆的左、右焦点，过原点O且倾斜角为30°的直线l与椭圆C的一个交点为A，若，，则椭圆C的方程为( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间的中点值作代表，则下列说法中正确的是( )
A.成绩在内的考生人数最多
B.不及格的考生人数为1000
C.考生竞赛成绩的平均分约为70.5分
D.考生竞赛成绩的中位数为75分
10.已知函数（为正整数，）的最小正周期，将函数的图象向右平移个单位长度后所得图象关于原点对称，则下列关于函数的说法正确的是( )
A.是函数的一个零点
B.函数的图象关于直线对称
C.方程在上有三个解
D.函数在上单调递减
11.已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交x轴于M，N两点，设线段AB的中点为Q.若抛物线C上存在一点到焦点F的距离等于3.则下列说法正确的( )
A.抛物线的方程是
B.抛物线的准线方程是
C.的最小值是
D.线段AB的最小值是6
12.已知三棱柱的六个顶点都在球O的球面上，.若点O到三棱柱的所有面的距离都相等，则( )
A.平面
B.
C.平面截球O所得截面圆的周长为
D.球O的表面积为
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.
13. 在的展开式中，含项的系数为 ．
14. 已知函数为定义在R上的偶函数，且当时，，则函数在处的切线斜率为___________.
15. 已知等比数列的公比，其前n项和为，且，则数列的前2021项和为___________.
16. 已知双曲线的实轴长为4，离心率为，直线l与C交于A，B两点，M是线段AB的中点，O为坐标原点.若点M的横坐标为1，则的取值范围为________.
四、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知数列的前n项和为.
（1）若，，证明：；
（2）在（1）的条件下，若，数列的前n项和为，求证.
18.（12分）
已知数列的前n项和为.
（1）记，证明：是等差数列，并求的通项公式；
（2）记数列的前n项和为，求，并求使不等式成立的最大正整数n.
19.（12分）
如图，直三棱柱的体积为4，的面积为.
（1）求A到平面的距离；
（2）设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值.
20.（12分）
己知双曲线．
（1）试问过点能否作一条直线与双曲线交于S，T两点，使N为线段ST的中点，如果存在，求出其方程；如果不存在，说明理由；
（2）直线与双曲线有唯一的公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于，两点，当点M运动时，求点的轨迹方程．
21.（12分）
已知O是平面直角坐标系的原点，F是抛物线的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，且的重心G在曲线上.
（1）求抛物线C的方程；
（2）记曲线与y轴的交点为D，且直线AB与x轴相交于点E，弦AB的中点为M，求四边形DEMG面积的最小值.
22.分
已知函数，．
（1）写出函数在的零点个数，并证明；
（2）当时，函数有零点，记的最大值为，证明：博爱县2022-2023学年高二下学期期末考试
参 考 答 案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.答案：D
解析：集合，所以，所以.故选D.
2.答案：B
解析：由题知，复数，则复数z的共轭复数是，故选B.
3.答案：B
解析：.由，得，解得.故选B.
4.答案：A
解析：本题考查函数的图象.根据函数解析式，因为，所以该函数为偶函数，其图象关于y轴对称，且恒成立，当时，函数值为0，只有选项A符合题意.
5.答案：A
解析：本题考查圆锥的侧面积、底面积、截面面积的求解.设圆锥底面半径为r，母线为l，轴截面顶角为，则，得，所以，因为为锐角，所以，即，则θ为纯角，所以当圆锥两条母线互相垂直时，截面面积最大，最大值为.故选A.
6.答案：C
解析：5名航天员安排三舱，每个舱至少一人至多二人，共有种安排方法，
若甲乙在同一实验舱的种数有种，
故甲乙不在同一实验舱的种数有种.
故选：C.
7.答案：D
解析：由，，得，，.构造函数，，则.由得，由得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，因为，，，所以.画出函数的大致图象，如图所示，故，故选D.
8.答案：A
解析：因为点A在椭圆上，所以，把该等式两边同时平方，得.又，所以，则，即，所以.因为是直角三角形，，且O为的中点，所以.不妨设点A在第一象限，则，所以，所以，即，故，所以椭圆C的方程为，故选A.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.答案：ABC
解析：由频率分布直方图可得，成绩在内的频率最高，因此考生人数最多，故A正确；由频率分布直方图可得，成绩在内的频率为，因此不及格的人数为，故B正确；C选项，由频率分布直方图可得，平均分约为（分），故C正确；因为成绩在内的频率为，在内的频率为0.3，所以中位数为，故D错误.故选ABC.
10.答案：ABD
解析：由题意得，，解得，又为正整数，所以，所以.函数的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数.
由题意，函数的图象关于原点对称，故，即.又，所以，，所以.
A选项，故A正确；
B选项：，所以B正确；
选项：令，因为，所以，，显然在内只有，两个解，故C错误；
D选项：当时，，，故函数在上单调递减，D正确.
11.答案：BC
解析：抛物线的焦点为，准线方程为，由点到焦点F的距离等于3，可得，解得，则抛物线C的方程为，准线方程为，故A错误，B正确；
易知直线l的斜率存在，，
设，，直线l的方程为
由消去y并整理，得，
所以，，
所以，
所以AB的中点Q的坐标为，
，
故线段AB的最小值是4，故D错误；
圆Q的半径，
在等腰中，，
当且仅当时取等号，
所以的最小值为，故C正确，故选BC.
12.答案：AC
解析：三棱柱的六个顶点都在球O的球面上，根据球的对称性可知三棱柱为直棱柱，所以平面，因此A正确.因为，所以.因为点O到三棱柱的所有面的距离都相等，所以三棱柱的内切球与外接球的球心重合.设该三棱柱的内切球的半径为r，则，所以，因此B错误.由，可知，解得(负值已舍去)，则.易得的外接圆的半径，所以平面截球O所得截面圆的周长为，因此C正确.三棱柱外接球的半径，所以球O的表面积，因此D错误.故选AC.
三、填空题：每小题5分，共4小题，共20分.
13.答案：
解析：由题意，其展开式的通项为，
令，解得，则含的系数为．
故答案为：．
14.答案：
解析：，，.
函数为定义在R上的偶函数，
函数在处的切线斜率与函数在处的切线斜率互为相反数，.
15.答案：
解析：因为，
所以，所以，得或（舍去），所以，故.
因为，
所以.
16.答案：
解析：由题知解得所以双曲线.设直线l的方程为，联立消去y并整理得，
所以，所以，
设，，，所以，，
所以，，又，所以，所以，易知直线l与双曲线左、右两支各交于一点，所以，所以，所以，所以
四、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）解析：（1）因为，，
所以，，
所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，
所以，
，
当时，，，
当时，满足上式，
所以，所以成立.
（2）由（1）知，
，
所以，
则，
所以，
所以成立.
18.（12分）答案：(1)证明过程见解析，.
(2)n为5.
解析：(1)由，得，
即，
.
即，
又，
数列是以1为首项，2为公差的等差数列，
.
(2)由(1)知.
，①
，②
①-②，得
，
，
是递增数列，
，
使不等式成立的最大正整数n为5.
19.（12分）答案：（1）
（2）
解析：（1）设点A到平面的距离为h，
因为直三棱柱的体积为4，
所以，
又的面积为，，
所以，
即点A到平面的距离为.
（2）取的中点E，连接AE，则，
因为平面平面，平面平面，
所以平面，所以，
又平面ABC，
所以，因为，所以平面，
所以.
以B为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
由（1）知，，所以，，
因为的面积为，所以，所以，
所以，，，，，，
则，，
设平面ABD的法向量为，
则即
令，得，
又平面BDC的一个法向量为，
所以，
设二面角的平面角为，
则，
所以二面角的正弦值为.
20．（12分）解析：（1）点不能是线段的中点，
假定过点能作一条直线与双曲线交于，两点，使为线段的中点，
显然，直线的斜率存在，设直线的方程为，即，
而双曲线渐近线的斜率为，即，
由得，则有，解得，
此时，即方程组无解，
所以过点不能作一条直线与双曲线交于，两点，使为线段的中点．6分
（2）依题意，由消去y整理得，
因为，且是双曲线与直线唯一的公共点，
则有，即，点M的横坐标为，
点，，过点与直线垂直的直线为，
因此，，，，
所以点的轨迹方程为，．6分
21.（12分）答案：(1)
(2)
解析：(1)焦点，显然直线AB的斜率存在，设，与联立，消去y得，设，，，则，所以，所以且，
故，
即，
整理得对任意的k恒成立，故，所求抛物线C的方程为.
(2)由题知，，，，，，则.又弦AB的中点为M，的重心为G，则，故，所以.
点D到直线AB的距离，
，
所以四边形DEMG的面积
当且仅当，即时取等号，
此时四边形DEMG面积的最小值为.
22.（12分）解析：在上有唯一零点．
证明如下：由，得，，
在上单调递减，又，
在上恒成立，
则在上单调递减，
，，
函数在上有唯一零点；
证明：令，得，
，由可知，在上有唯一零点，
且在上单调递增，在上单调递减，
的最大值．
下面再证明．
一方面；
另一方面，要证，即证，又，
则只需证明，
记，则，由可知在上恒成立，
在上单调递减，即．
综上所述，．
